5.3正方形(1)课件(八下)

5．3 .1正方形的判定正方形的定义：有一组邻边相等并且的平行四边形叫做正方形．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．参考答案：有一个角是直角一、正方形的概念1．如图1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；图1(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．解：(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BCA，∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)添加∠ABC＝90°或AC＝BD等，∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD为正方形．二、正方形的判定2．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( D )A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙、丁D．甲、乙、丙、丁3．如图2，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为__∠ACB＝90°__．图2 【解析】∵E是AC中点，∴AE＝EC，∵DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝12BC，∴DF＝BC，∵CA＝CB，∴AC＝DF，∴四边形ADCF是矩形．∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴矩形ADCF是正方形．4.如图3，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.图3(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．5．如图4，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED. 求证：四边形ABCD是正方形．图4 第5题答图证明：连结AC交BD于点O，如答图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∵∠AED＝∠CED，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEC为等腰三角形，∴OE⊥AC，即AC⊥BD，∴AC和BD互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形，而∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．1．下列说法正确的是( C )A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( B ) A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】小红把原丝巾对折1次(共2层)，如果原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，即表明它是正方形，即最少对折两次．故选B.3．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．【解析】①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，即④正确．4．如图5－3－1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．图5－3－1解：(1)证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形；(2)答案不唯一，如添加∠ABC ＝90°或AC ＝BD 等．5.如图5－3－2，等边三角形AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°.求证：矩形ABCD 是正方形．图5－3－2证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，又∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°，∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE ≌△ADF(AAS)，∴AB ＝AD ，∴矩形ABCD 是正方形．6．已知：如图5－3－3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．图5－3－3证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180°×22＋3＋3＝45°， ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．7．如图5－3－4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于点E ，垂足为F ，连结CD ，BE.(1)当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？请说明你的理由；(2)在(1)的条件下，当∠A ＝__45°__时四边形BECD 是正方形．图5－3－4解：(1)当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形．理由：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD.∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵DE ⊥BC ∴四边形BECD 是菱形；(2)当∠A ＝45°时，四边形BECD 是正方形．理由：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，∴∠ABC ＝45°，∵四边形BECD 是菱形，∴∠ABC ＝12∠DBE ， ∴∠DBE ＝90°，∴四边形BECD 是正方形．1. 下列命题错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形2. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D=90°B． AB=CDC． AD=BC D． BC=CD3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A. BC=ACB. CF⊥BFC. BD=DFD. AC=BF4. 顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（）A．互相垂直但不相等 B．相等且互相垂直C．相等但不互相垂直 D．互相平分5. 如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 .7. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 .8. 矩形各内角的平分线所构成的四边形是形．9. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件. 下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正确的序号是 .10. 如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.11.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED. 点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F. 求证：四边形ABCD是正方形.答案：1—5. ADDBA6. 正方形7. 有一组邻边相等的矩形是正方形8. 正方9. ①③④10. ∵∠FEC=∠ECD=∠CDF=90°，∴四边形ECDF是矩形. ∵CF平分∠ACB，FD⊥AC，FE⊥BC，∴EF=DF，∴四边形ECDF是正方形.11. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE，即∠EAD=∠ECD. ∵∠AED=∠CED，ED=ED，∴△AED≌△CED. ∴AD=CD. ∴矩形ABCD 是正方形.。