2014学年上海市嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷(文)带答案

例1【2013江苏高考】现有某病毒记作m n X Y 其中正整数m 、n （7,9m n ≤≤）可以任意选取，则m 、n 都取到奇数的概率为 ▲例2【2012江苏高考】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．例3 【2011江苏高考】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲ ．概率在11-13年均是以填空题的形式进行考查，题目多为中低档题，着重考查学生运算求解能力.概率一般与计数原理结合考查，也可单独设置题目.1.预计14年考查古典概型的可能性较大.2.对于概率复习，一要掌握对概率概念本质的理解，二要弄清“概率与统计”研究的主要问题，三要在复习过程中培养慎密的思维.概率考查的难点中等，复习时应以中档题为主，加强对古典概型题目的训练.1.. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .2. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是 ▲_.3. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ．4. 【苏州市2014届高三调研测试】 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．5. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．6. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_________．7. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ．而从集合{1,2,3}中随机取两数,a b 有9种不同的取法(可得9条不同直线)，故概率为59. 8. 【上海市松江区2014届高三上学期期末考试数学】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是 ▲ ．9. 【2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学(文科)试卷】某高中有甲乙等5名同学被一所大学自主招生录取后,大学提供了4个学院给这5名学生选择．假设选择每个学院是等可能的，则这5人中甲乙进同一学院，且每所学院都有学生选择的概率是 ．10.【2010年高考课标全国文】设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，xN 和y 1，y 2，…，yN ，由此得到N 个点(xi ，yi )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足yi ≤f (xi )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为________．f(x)与x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的面积为N1N ×1＝N1N .。

2013—2014学年奉贤区调研测试高三数学试卷(文科) 2014.4（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分) 1、函数()()42lg -=xx f 的定义域为________2、设z a i =+（a R +∈，i 是虚数单位），满足2z=a =________. 3、如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.4、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________5、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴相切，则该圆的标准方程是________.6、在(1)nx +的二项展开式中，按x 的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）. 7、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有________种不同的取法.8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.9、设实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+,4,42,2y y x y x 则2x y -的最大值等于________. 10、将函数cos ()sin x f x x=的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________.11、已知抛物线220y x =焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________. 12、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________.第4题图13、已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1n n na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是________.14、以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()nm ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以nm 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、三角形ABC 中，设,AB a BC b == ，若()0a a b ⋅+<，则三角形ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 16、设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）A ．若2=4nn a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列C ．若2m nm n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列17、下列命题正确的是( )A ．若Z k k x ∈≠,π,则4sin 4sin 22≥+xx B ．若,0<a 则44-≥+a a C ．若0,0>>b a ,则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+ D ．若0,0<<b a ,则2≥+baa b18、已知R ∈βα,,且设βα>:p ，设:sin cos sin cos q ααβββα+>+⋅，则p 是q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =,4BC =,5AB =,点D 是AB 的中点.四面体BCD B -1的体积是2，求异面直线1DB 与1CC 所成的角.A B 1BC (文19题图）20、已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． （1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是050，距离是3km ；从B 到C ，方位角是110°，距离是3km ；从C 到D ，方位角是140°，距离是（339+）km .试画出大致示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离（结果保留根号）.22、如图，已知平面内一动点A 到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F的长为 （1）求动点A 的轨迹Γ的方程； （2）过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方， 线段AC 的垂直平分线为m . ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.23、若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数.（1）判断下列函数：①2x y =；②lg y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明） （2）证明：函数()23g x x =+是等比源函数；（3）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论.2F2013—2014学年奉贤区调研测试高三数学试卷(文科)参考答案 2014.4一、填空题（每小题4分，共56分）二、选择题（每小题5分，共20分）三、解答题19、（文）【解】直三棱柱111ABC A B C -中11//CC BB所以1DB B ∠为异面直线1DB 与1CC 所成的角（或其补角） 3分 直三棱柱111ABC A B C -中1111113423322B BCD BCD V S B B B B -∆=⋅=⨯⨯⨯=得12B B = 7分由点D 是AB 的中点得52DB =直三棱柱111ABC A B C -中1B B BD ⊥1Rt B BD ∆中11552tan 24BD DB B B B ∠===所以15arctan 4DB B ∠=（或1DB B ∠=所以异面直线1DB 与1BC 所成的角为5arctan 4（或 12分20、【解】 (1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x=-，()f x 在[1,6]上是增函数. 2分在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)0f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数 12分 所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应，所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分A B 1B21、【解】示意图，如图所示， 4分连接AC ，在△ABC 中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30° 由余弦定理可得33120cos 222=︒⋅-+=BC AB BC AB AC 7分在△ACD 中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=33+9. 由余弦定理得AD=︒⋅-+120cos 222CD AC CD AC=)21()933(332)933(272-⨯+⨯⨯-++=2)62(9+(km). 10分由正弦定理得sin ∠CAD=()()22262923933sin sin =+⨯+=∠⋅=∠AD ACD CD CAD 12分 ∴∠CAD=45°,于是AD 的方位角为50°+30°+45°=125°, 13分 所以，从A 到D 的方位角是125°，距离为2)62(9+km. 14分22、（文）【解】（1）因为4>1F 、2F 为焦点的椭圆， 3分 （2）以线段21F F 的中点为坐标原点，以21F F 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得轨迹Γ的方程为22+14x y = 7分 max 23θπ=12F AF S ∆最大值为23tan tan 22πθ==（3）同理 23、（文）【解】（1）①②都是等比源函数； 4分 （2）证明： (1)5g =，(6)15g =，(21)45g = 因为5,15,45成等比数列所以函数()23g x x =+是等比源函数； 10分 其他的数据也可以（3）函数()21x f x =+不是等比源函数. 证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)nm k+=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数. 18分。

2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式260x x --<的解集为.2.已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=.3.函数sin πy x =的最小正周期为.4.已知tan 2α=，则πtan 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.5.双曲线22145x y -=的离心率为.6.已知事件A 和B 独立，()14P A =,()113P B =,则()P A B = .7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为.8.已知()612x +的二项展开式中系数最大的项为．9.关于x 的方程232=x x mx -+有三个不同的实数解，则实数m 的值为.10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ,若4i 2z -≤,其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为.12.正四棱台1111ABCD A B C D -,3AB =,111A B =,12AA =,M 是11C D 的中点，在直线1AA 、BC 上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）A.π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[)0,π D.[]0,π14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A.甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙B.甲的均分大于乙，甲的方差大于乙C.甲的均分大于乙，甲的方差等于乙D.甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列{}n a ，公差为d ，12()f x x a x a =-+-，则下列命题正确的是……（）A.函数()y f x =（x ∈R ）可能是奇函数B.若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，则0d =C.若0d =，则函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数D.若0d ≠，则函数()y f x =（x ∈R ）的图像是轴对称图形16.已知四面体ABCD ,AB BC =,AD CD =.分别对于下列三个条件:①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+,是AB CD ⊥的充要条件的共有几个……（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，求c .18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n =+，其中n N ∈,1n ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，h b>抗弯截面系数31π4W r =3216W a =2316W bh =（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ,如下图所示,请问:h b 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线24y x =上有一动点(),P s t ，0t >.过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ⊥，直线m 和抛物线的另一个交点为Q .（1）当1s =时，求切线l 的直线方程；（2）当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；（3）求出线段PQ 关于s 的表达式，并求PQ 的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()e x x f x =，()ln xg x x=.（1）求函数()y f x =、()y g x =的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点；（3）对于常数10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线y a =和曲线()y f x =、()y g x =共有三个不同交点()1,x a 、()2,x a 、()3,x a ，其中123x x x <<，求证：1x 、2x 、3x 成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)()2,3-(2)()1,8(3)2(4)12-(5)32(6)152(7)12(8)4240x (9)3-(10)611(11)83(12)275二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)C(14)B(15)D(16)C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=-⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.(2)sin cos sin 222A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =所以π12B =，62sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=,所以22sin sin sin abc C A B=,由（1）ab =，所以22c =即c =18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)()()221112n n S n n S n n n -=+⇒=-+-≥()122n n n a S S n n -=-=≥，又112a S ==，所以2n a n =.(2)1111141n n a a n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以n H 111111142231n n ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭+……+，所以()1114141n nH n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数S，31π=44S W r r ===，321666S W a a ===，23166S W bh h ==，所以326W W =>==，又因为3<π，所以，所以21W W >，综上，321W W W >>，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2)()()322223110666b D b W bh b D b b -+==-=>,导函数22336b D W -+'=，所以当b =时，3W 取到最大值，此时h =: 2.83:2h b =≈，:3:2h b =的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为0st >，所以(),P s t在曲线y =y '=l，所以l的直线方程为)y x s -=-，将1s =代入，则l 的直线方程为1y x =+.(2)设()22,Q x y ，将()1,0-代入方程)y x s -=-，得1s =，而直线m的方程为)y x s -=-，将1s =代入，则直线m 的方程为3y x =-+，联立24y x =，则24120y y +-=，由韦达定理得124y y +=-，而12y t ===，所以26y =-，所以三角形OPQ 的面积()1326122S =⋅⋅--=⎡⎤⎣⎦.(3)设()22,Q x y，)y x s -=-联立方程24y x =，得2840y y s +--=，因为t =，所以2y =-,所以244x s s=++，因为(,P s,44,Q s s ⎛++- ⎝,所以()322116s PQ s +=.对于2133231s u s s s -+==+，55233321213332s u s s s ---⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，因为2s =，0u '=；02s <<，0u '<；2s >，0u '>，所以2133min 22u -=+，2316=PQ u ，()213332min 131622163210842=PQ -⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，min PQ =.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）对于()y f x =，()1xx f x e -'=，对于()y g x =，()21ln xg x x -'=，严格增区间(],1-∞；严格减区间[)1+∞，；严格增区间(]0e ，；严格减区间[)e +∞，；1x <1x =1x >()0f x '>()0f x '=()0f x '>极大值0e x <<e x =e x >()0g x '>()0g x '=()0g x '>极大值极大值为1e极大值为1e（2）对于函数()()y f x g x =-，()0,x ∈+∞，设()()()h x f x g x =-，()211ln e x x xh x x--'=-，当[]1,e x ∈时，()0h x '<，严格递减，()()111110e h h e e e e -⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，存在一个零点0x ；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x <，()()()0h x f x g x =->，无零点；当()e,+x ∈∞时，由（1）得1()e g x <，ln 1xx<，所以1ln x x e <<<，所以()()ln ()f x f x g x <=，所以()()()0h x f x g x =-<，无零点；综上所述，曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点，且横坐标()01,x e ∈.(3)因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y f x =在()0,1x ∈上有一个交点，同理y a =和()y f x =在()1,+∞上有另一个交点；因为()y g x =在()1,e 上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y g x =在()1,e 上有一个交点，同理y a =和()y g x =在(),e +∞上有另一个交点，由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，于是y a =和()y f x =交点横坐标为1x 、2x ，y a =和()y g x =交点横坐标为2x 、3x ，其中()10,1x ∈，()21,x e ∈，()3,x e ∈+∞，由题意12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，而222ln 2ln ln x x x x e=，因为()10,1x ∈、()2ln 0,1x ∈，又因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，所以12ln x x =即12x x e =，同理23ln x x =，综上，113322ln x x x e x x x ==，所以1x 、2x 、3x 成等比数列.。

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知 ()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为 ___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1) 求抛物线Γ方程；(2) 求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分 (2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分 得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分 即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分 ,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分 (3) 由（2）得n n n n b b 311,3== ……11分 8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分 故 813>n 解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭……4分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ 当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±-……18分试卷分析 3014.1.4题号：题长：内容：1.学生反映的知识问题：2.学生反映的能力问题：3.学生反映的错误问题：4.学生反映的不同解法：5.其他：。

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++． 考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =． 考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ． 【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。

2022学年第一学期高三年级质量调研数学试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分. 1.已知集合{}11Axx =−<，Z 是整数集，则A =Z .2.已知复数1iz =，i 是虚数单位，则z 的虚部为 . 3.直线1x =10y −+=的夹角大小为.4.已知m ∈R ，若关于x 的方程()22223111mx x m m x m x ++−=⋅+++解集为R ，则m 的值为.5.已知某一个圆锥的侧面积为20π，底面积为16π，则这个圆锥的体积为 .6.某果园种植了100棵苹果树，随机抽取的12棵果树的产量（单位：千克）分别为：24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33据此预计，该果园的总产量为 千克以及第75百分位数为 千克. 7.已知常数m ∈R ，在()nx my +的二项展开式中，33x y 项的系数等于160，则m =.8.若函数11y x =−的值域是12(,0)[,)−∞+∞ ，则此函数的定义域为 ． 9.如图为正六棱柱''''''ABCDEF A B C D E F −.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线'A B 异面的共有______条.10.关于x 的方程|23||2||1|x x x −+−+=−的解集为_________.11.在空间直角坐标系中，点(1,0,0)A ，点(5,4,3)B −，点(2,0,1)C ，则AB 在CA方向上的投影向量的坐标为 .12.已知抛物线2=3x y ，动点A 自原点出发，沿着y 轴正方向向上匀速运动，速度大小为v .过A 作y 轴的垂线交抛物线于B 点，再过B 作x 轴的垂线交x 轴于C 点.当A 运动至()0,100时，点C 的瞬时速度的大小为 .F'E'D'C'B'A'FED CBA（第9题图）二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13. 已知ABC △，那么“2220AC AB BC +−<u u u r u u u r u u u r ”是“ABC △为钝角三角形”的（ ）.A 充分条件但非必要条件 .B 必要条件但非充分条件 .C 充要条件 .D 以上皆非14.已知四条双曲线，2211x y Γ−=：，222194x y Γ−=：，223149y x Γ−=：，22411616x y Γ−=：，关于下列三个结论的正确选项为 （ ） ①4Γ的开口最为开阔； ②1Γ的开口比3Γ的更为开阔； ③2Γ和3Γ的开口的开阔程度相同..A 只有一个正确 .B 只有两个正确 .C 均正确 .D 均不正确15.甲、乙两人弈棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）.A 100元 .B 150元 .C 175元 .D 200元16. 中国古代数学家用圆内接正6n 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值. 若据此证明π 3.14>，则正整数n 至少等于（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 11三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D −，底面正方形ABCD 的边长为2，13AA =, （1）求证：平面11AA CC ⊥平面1A BD ； （2）求点A 到平面1A BD 的距离.18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 若数列1n a是等差数列，则称数列{}n a 为调和数列.若实数a b c 、、依次成调和数列，则称b 是a 和c 的调和中项. （1）求13和1的调和中项； （2）已知调和数列{}n a ，16a =，42a =，求{}n a 的通项公式.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从A B 、两款车型中选择其一，A 款车是燃油车，B 款车是电动车,售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息:A 款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；B 款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均1000元/万公里.（1） 除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少3个，不超过5个）；（2） 为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．如图所示，由半椭圆()2212104x y C y b+=≤：和两个半圆()()222:110C x y y ++=≥、()()223:110C x y y −+=≥组成曲线:(,)0C F x y =，其中点12A A 、依次为1C 的左、右顶点，点B 为1C 的下顶点，点12F F 、依次为1C 的左、右焦点.若点12F F 、分别为曲线23C C 、的圆心，（1）求1C 的方程；（2）若点P Q 、分别在23C C 、上运动，求BP BQ +的最大值，并求出此时点P Q 、的坐标；（3）若点M 在曲线:(,)0C F x y =上运动，点(0,1)N −，求NM 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知ln ()xf x x=， （1） 求函数()y f x =的导数，并证明：函数()y f x =在[),e +∞上是严格减函数（常数e 为自然对数的底）； （2） 根据（1），判断并证明9989与8999的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；（3） 已知a 、b 是正整数,a b <，baa b =，求证：2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.2022学年第一学期高三年级数学参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.1.{}1；2.1-；3.6π；4.2；5.16π；6.2800，31；7.2；8.()(],11,3-∞ ；9.5；10.3,2]2[；11.77,0,22⎛⎫⎪⎝⎭；12.320v 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.A ；14.D ；15.C ；16.C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．（1）【解答】正四棱柱1111ABCD A B C D -11A A ABCD A A BD AC BD⊥⇒⊥⎧⇒⎨⊥⎩平面----------------3分BD ⇒⊥平面11AACC ，又BD ⊆平面1A BD ⇒平面11AACC ⊥平面1A BD .得证.-------------------3分（2）【解答】设点A 到平面1A BD 的距离为d，11A B A D BD ⎧==⎪⎨=⎪⎩⇒1A BDS ∆=⇒13A A BD V d -=--------3分2ABD S ∆=,又1A A ⊥平面ABD ⇒12A ABD V -=，----------3分由11A ABD A A BD V V --=⇒32211d ==为所求.---------2分18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分（1）【解答】设13和1的调和中项为b ，依题意得：3、1b 、1依次成等差数列，--------4分所以13+1==22b ，即1=2b 为所求.---------2分（2）【解答】依题意，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，1113269d d =-⇒=，-------4分所以()()1111121116918n n n d n a a +=+-=+-=，得1821n a n =+为所求.------4分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．（1）【解答】李先生可能还需要考虑的因素有：1、考虑非通勤时段的车辆使用情况2、油价和电价的变化3、工作单位能否提供免费充电4、电动车的国家减免政策的变化5、车辆的外观、内饰与品牌效应6、车牌费用（写出一条即可得2分）（2）【解答】假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价0.65元/度、油价8.5元/升.车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.写出1至5年任意一年中的一组对比数据，-------4分；例如：A 款车使用5年的总费用为：54025053000008.540005300004025052000300000(10.12)228243,16A y ⨯⨯=+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯-=B 款车使用5年的总费用为：5402505402505300000200.65600051000300000(10.15)208388,10010000B y ⨯⨯⨯⨯=+⨯⨯+⨯+⨯-⨯-=所以，如果李先生打算开5年就按二手车卖掉，可以选B 款车.再写出6至10年任意一年中的一组对比数据，------2分.（两组数据写出其一，给4分.均写，给6分）结论：使用年数不超过5年，建议买B 款车；------1分使用年数超过5年，建议买A 款车.---------1分20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）【解答】依题意，()()211,01,0F F -、，所以2413b =-=，---2分于是1C 的方程为()221043x y y +=≤------2分（2）【解答】由对称性，不妨设2P C ∈，3Q C ∈，()()()()112221216BP BQ BF F P BF F Q +≤+++=+++=,------------4分当1B F P 、、三点共线，同时2B F Q 、、三点共线，()max6BP BQ +=，此时33,22P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.--------------2分（3）【解答】曲线:(,)0C F x y =关于y 轴对称，不妨设点M 在曲线2C ()()22110x y y -+=≥或曲线1C 的右半部分()2210,043x y x y +=≥≤上运动.----1分①当点M 在曲线()()22110x y y -+=≥上运动，设()cos 1,sin M θθ+，0θπ≤≤.()()222=cos 1+sin 134NMπθθθ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，0θπ≤≤21,NM⎡⇒∈⎣NM ⎡⎤⇒∈⎣⎦；------3分②当点M 在曲线()2210,043x y x y +=≥≤上运动，设()2cos ,M θθ，02πθ-≤≤.())2222=2cos +1sin 5NMθθθθ+=-++,02πθ-≤≤245NM⎡⎤⇒∈-⎣⎦NM ⇒∈-,-------3分综合①②，1NM ⎤∈-+⎦.---1分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）【解答】()y f x =的导函数为21ln x y x -'=，令21ln 0xy x-'==，驻点为x e =，----2分列表：x()0,e e()+e ∞，()f x '+-()f x极大值所以，函数()y f x =在[),e +∞上是严格减函数.---2分（2）【解答】判断99898999>，-----------2分下面证明：由（1），()()8999f f >，即ln 89ln 998999>，所以9989ln 89ln 99>，由ln y x =的单调性，99898999>.---------3分推广：对于实数a b 、，若e a b <<，则ln ln a b a b>即b aa b >（*）.----------1分（3）【解答】因为422416==，可见2,4a b ==满足()1,baa ba b a b N =≤<∈、，-------2分下面证明唯一性：①若3a ≥，由*可知ba ab >，与b a a b =矛盾；--------2分②若1a =，则11bb =即1b =，与a b <矛盾；--------2分③若2a =，则()222,bbb b N =<∈即ln 2ln 2b b=，容易验证3b ≠，4b =成立，若5b ≥，由*可知ln 4ln 4b b >，则ln 2ln 4ln 24b b=>，于是22b b >，与22b b =矛盾.综合①②③，2,4a b ==是满足条件的唯一一组值.--------2分。

2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将学校、班级、姓名等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷上的答案一律无效．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若C z ∈，且i z i 2)1(=⋅-，则=z ____________．2．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，则}{n a 的前10项和=10S ___________． 3．函数xx x f 11)(=（0≥x ）的反函数=-)(1x f ___________________． 4．方程1)21(log 2-=-x 的解=x __________．5．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)1,2(A ，),5(y B ，若⊥，则=y _____．6．已知集合}3||{<=x x A ，}023{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈{且}B A x ∉=___________________．7．若某校老、中、青教师的人数分别为80、160、240，现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．8．若双曲线122=-ky x 的焦点到渐近线的距离为22则实数k 的值为____________．9．在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意 挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选 到的2名都是女同学的概率为_____________ （结果用分数表示）．10．如图所示的算法框图，则输出S 的值是_________．11．一个扇形的半径为3，中心角为2π，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_________________． 12．函数x x x f cos )(2-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的值域是________________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆 222r y x =+（0>r ）内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OB b OA a OP ⋅+⋅=（a 、R b ∈），则a 、b 满足的一个等式是______________________．14．将正整数排成三角形数表：1 2，3 4，5，6 7，8，9，10……按上面三角形数表排成的规律，数表中第n 行所有数的和为______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．二次函数c bx ax y ++=2中，0<ac ，则函数的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定 17．若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ） A ．011<+ba B ．b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 18．直线01cos =-+y x θ（R ∈θ且πθk ≠，Z k ∈）与圆12222=+y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41==AA AC ，︒=∠90ABC ． （1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；（2）求异面直线B A 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，设A 是圆122=+y x 和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，α=∠AOQ ，),0[πα∈．（1）若点Q 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛54,53，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数f ⋅=)(α，求)(αf 的值域．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 已知曲线C 的方程为122=+ay x （R a ∈）． （1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；（2）若1-≠a 时，直线1-=x y 与曲线C 相交于两点M ，N ，且2||=MN ，求曲线C的方程．A B C A 1 B 1 C 122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21（*N n ∈）．（1）若数列}{n a 前n 项的“倒平均数”为421+n ，求}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：当n 为奇数时，1=n b ，当n 为偶数时，2=n b ．若n T 为}{n b 前n 项的倒平均数，求n n T ∞→lim ；（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数)(||)(a x x x f -⋅=． （1）判断)(x f 的奇偶性；（2）设函数)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(a m ，求)(a m 的表达式； （3）若4=a ，证明：方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．。

上海市嘉定区2022-2023学年高三上学期一模质量调研化学试题一、单选题1．11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，航天员费俊龙、邓清明、张陆三人执行飞行任务。

他们将在太空开展40余项空间科学实验和技术试验。

若他们在太空授课，做以下几个化学实验，最难完成的是A ．将铝粉和氧化铁粉混合B ．用漏斗、滤纸过滤除去水中的泥沙C ．蒸发食盐水制取食盐晶体D ．把牛奶加入水中混合2．医用生理食盐水的浓度是A ．75%B ．35%~40%C ．3%~5%D ．0.9% 3．已知铱(Ir)元素的一种同位素是19177Ir ，则其核内的中子数是A ．77B ．114C ．191D ．2684．下列有机物属于烃的是A ．乙烯B ．乙醇C ．乙酸D ．硝基苯5．医生建议患甲状腺肿大的病人多食海带，这是由于海带中含较丰富的A ．碘元素B ．铁元素C ．钾元素D ．锌元素6．下列属于分离、提纯固态有机物的操作的是（ ）A ．蒸馏B ．萃取C ．重结晶D ．分液7．由分别与氖和氩电子层结构相同的两种离子组成的化合物是（ ）A ．MgF 2B ．SO 2C ．Na 2OD ．Na 2S 8．某无色溶液中存在大量的2Ba +、4NH +、Cl -，该溶液中还可能大量存在的离子是A ．3Fe +B ．23CO -C ．2Mg +D ．OH -9．有关浓硝酸与浓硫酸的对比错误的是A ．在加热条件下都能将碳氧化成二氧化碳B ．常温下都能用铁制或铝制容器盛放C ．长期露置在空气中，溶质质量分数都会变小D ．用蘸有浓氨水的玻璃棒靠近都会有白烟生成10．胆固醇是人体必需的生物活性物质，分子式为C 27H 46O ，有一种胆固醇酯是液晶材料，分子式为C 34H 50O 2，生成这种胆固醇酯的羧酸是( )A ．C 6H 13COOHB ．C 6H 5COOH C ．C 7H 15COOHD ．C 6H 5CH 2COOH11．工业上用NaOH 溶液捕捉废气中的SO 2，下列说法正确的是A ．捕捉过程中溶液pH 会下降B ．NaOH 溶液属于强电解质C ．SO 2含有非极性共价键D ．1molNaOH 最多捕捉0.5molSO 212．下列叙述错误的是A ．原子半径：H<Al<Mg<NaB ．热稳定性：23HCl H S PH >>C ．N 、O 、F 三元素非金属性依次减弱D ．P 、S 、Cl 三元素最高价氧化物对应的水化物酸性依次增强13．某些物质若混合使用可以增加使用效果，下列做法正确的是A ．氯化铵与草木灰混合使用提高肥效B ．84消毒液与含盐酸的洁厕灵混合使用提高杀菌效果C ．二氧化硫与新制氯水混合使用提高漂白效果D ．高锰酸钾溶液和稀硫酸混合使用增加氧化性14．几种短周期元素的原子半径及主要化合价如下表：下列说法正确的是（ ）A ．离子半径大小：r(M 3+)<r(T 2-)B ．其中R 的金属性最强C ．煤和石油中不存在X 元素D ．L 、X 形成的简单离子核外电子数相等 15．2022年11月30日，天气阴冷。

2023学年高三年级第一次质量调研数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分．1.不等式260x x --<的解集为____________．【答案】()2,3-【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，准确计算，即可求解.【详解】由不等式260x x --<，可得(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<，所以不等式的解集为()2,3-.故答案为：()2,3-.2.已知()()2,1,1,2a b ==- ，则23a b += ____________．【答案】()1,8【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算可得答案.【详解】因为()()2,1,1,2a b ==-，所以()()()2322,131,21,8a b +=+-=r r .故答案为：()1,8.3.函数()sin f x x π=的最小正周期为____________.【答案】2【解析】【分析】利用()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为2πω，即可得出结论．【详解】解：函数()sin f x x π=的最小正周期为：22ππ=.故答案为:2.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为2πω，属于容易题．4.已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】因为tan 2α=，根据三角函数的诱导公式，可得sin(cos 112tan 2sin tan 2cos()2παπααπααα+⎛⎫+==-=-=- ⎪⎝⎭+.故答案为：12-.5.双曲线22145x y -=的离心率是___________.【答案】32【解析】【详解】试题分析：由题意得22234,59.2c a b c e a ==⇒=⇒==考点：双曲线离心率6.已知事件A 和B 独立，()()11,413P A P B ==，则()P A B ⋂=____________．【答案】152【解析】【分析】根据独立事件的概率计算公式直接求解出结果.【详解】因为事件,A B 互相独立，所以()()()11141352P A B P A P B ==⨯= ，故答案为：152.7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为____________．【答案】12【解析】【分析】运用基本不等式进行求解即可.【详解】由60ab a =-⇒≠且0b ≠且a 、b 异号，由66ab b a-=-⇒=，所以2222612a a a b -⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当226a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号，即当a b ==a b ==时取等号，故答案为：128.已知6(12)x +的二项展开式中系数最大的项为____________．【答案】4240x 【解析】【分析】设系数最大的项为()61C 2kkk T x +=，则可得11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，直接求解即可.【详解】设系数最大的项为()61C 2kkk T x +=，则11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，因为06k ≤≤且k 为整数，所以4k =，此时最大的项为()44456C 2240T x x ==.故答案为：4240x 9.关于x 的方程232x x mx -+=有三个不同的实数解，则实数m 的值为____________．【答案】3-【解析】【分析】方程232x x mx -+=有三个不同的实数解等价于()()232,f x x x g x mx =-+=的图象恰好有三个公共点，结合图象可得m 的值.【详解】在同一坐标系中作出()()232,f x x x g x mx =-+=的图象，方程232x x mx -+=有三个不同的实数解等价于()y f x =与()y g x =的图象恰好有三个公共点，需要满足()y g x =与()y f x =的图象在()1,2x ∈相切，当()1,2x ∈时，()232f x x x =-+-，令232x x mx -+-=即()2320x m x +-+=，由()2Δ380m =--=得3m =±，当3m =-时，方程232x x mx -+-=，满足题意，当3m =+时，方程232x x mx -+-=有两个相等的解，不满足题意，故3m =-.故答案为：3-10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为____________．【答案】611【解析】【分析】4个球有三个颜色，肯定有两个球同色，按同色的球的颜色分情况讨论，再结合古典概型概率的计算公式可求答案.【详解】从11个球中随机取出4个球的取法有：411111098C 3304321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯.又4个球有三种颜色，所以必定有且只有两个球同色.若同色的两个球为红色，满足条件的取法有：211335C C C 45=；若同色的两个球为黑色，满足条件的取法有：121335C C C 45=；若同色的两个球为白色，满足条件的取法有：112335C C C 90=.∴取出的4个球中三种颜色都有的概率为：454590633011P ++==故答案为：61111.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若|4i |2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为____________．【答案】8π3【解析】【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.【详解】因为|4i |2z -≤，根据复数的几何意义，可得复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，如图所示，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，在直角OBC △中，可得4,2OC BC ==，所以π3OCB ∠=，且OB =，所以2π3ACB ∠=，所以复数向量OZ 扫过的面积为2112π8π22(2π)22233S =⨯⨯+⋅-⨯=+.故答案为：8π3.12.正四棱台1111111,3,1,2,ABCD A B C D AB A B AA M -===是11C D 的中点，在直线1AA BC 、上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为____________．【答案】275【解析】【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M 、P 、Q 三点共线，得到等量关系，从而确定,P Q 的位置，进而得到线段PQ 的长度.【详解】结合题意：连接,AC BD 交于点O ,1111,A C B D 交于点1O ,连接1OO 由正四棱台的结构特征,易知1,,AC BD OO 两两垂直，故以1,,OA OB OO 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为在正四棱台1111111,3,1,2ABCD A B C D AB A B AA -===，所以易计算得到：322OA OB ==，12OO =，所以1113232222,0,0,0,,0,2,2,0,222222A B A C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32,0,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,因为M 是11C D 的中点,所以22,244M ⎛-- ⎝，所以11322322,,02,0,22,,24444MP MA A A λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.272323223272322,2,44224242MQ MB BC u μ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝。

上海市高考数学三模试卷（文科）（解析版）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数y=的定义域是．2．已知向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则实数x= ．3．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ= ．4．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a= ．5．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= ．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是．7．当x、y满足不等式组时，目标函数k=3x﹣2y的最大值为．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，若f（m）+f（m﹣2）＞0，则实数m的取值范围是．11．已知直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n、B n，O为坐标原点，设△OA n B n的面积为S n（n=1，2，…），则= ．12．已知{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，那么首项a1的取值范围是．13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是（结果用反三角函数值表示）．14．在数列{a n}中，a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，则数列{a n}的前100项之和为．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的圆弧，则该几何体的体积为（）A．6﹣πB．8﹣πC．6﹣2πD．8﹣2π17．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上18．（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．20．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，点M（t，1）（t＞0）是C上的定点，A、B是C上的两个动点，且线段AB的中点Q（m，n）在线段OM上．（1）抛物线C的方程及t的值；（2）当点A、B分别在第一、四象限时，求k OA k OB的取值范围．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的首项a1及数列的递推关系式a n+1=f（a n）；（2）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{a n}中是否存在三项a s，a p，a r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．23．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=．（1）证明：2是函数f（x）的周期；（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[﹣1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k ﹣1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数y=的定义域是（1，2）．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x＜2，∴函数的定义域是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．2．已知向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则实数x= ﹣4或1 ．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合数量积的坐标表示，解方程可得x的值．【解答】解：向量=（﹣2，x+1），=（3，x+2），若⊥，则=0，即有﹣2×3+（x+1）（x+2）=0，化为x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4或1．故答案为：﹣4或1．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要是垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．3．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ= ．【分析】根据正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（φ﹣2x）=sin（φ+2x），故sinφ为函数f（x）的最值，则φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性以及它的图象的对称性，属于基础题．4．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a= 1 ．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．5．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= 1 ．【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得．【解答】解：，即=2﹣ai=b+i，由复数相等的条件，得，解得，∴a+b=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．6．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40 ．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．【点评】本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．7．当x、y满足不等式组时，目标函数k=3x﹣2y的最大值为 6 ．【分析】作出可行域，将目标函数变形，作出直线，将直线平移至（4，3）时，纵截距最小，k最大，将（4，3）代入k求出其最大值．【解答】解：作出可行域将目标函数k=3x﹣2y变形为y=作出直线y=，将其平移至（4，3）时纵截距最小，k最大所以k的最大值为3×4﹣2×3=6故答案为：6【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域，利用可行域求出目标函数的最值．8．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．【分析】根据表面展开图可知棱锥的所有棱长均为4，做出棱锥的高PO，利用勾股定理计算PO，即可得出棱锥的体积．【解答】解：由棱锥的表面展开图可知棱锥为正四棱锥P﹣ABCD，底面边长与侧棱长均为4，做棱锥的高PO，则O为底面正方形的中心，OA=2．∴PO==2．∴V P﹣ABCD===．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于中档题．9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，若f（m）+f（m﹣2）＞0，则实数m的取值范围是（1，+∞）．【分析】函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x﹣x2，可得出函数在R上是增函数，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x）当x＜0时，f（x）=x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，又函数f（x）是定义在R 上的奇函数，故函数f（x）是定义在R 上的增函数，∵f（m）+f（m﹣2）＞0，可得f（m）＞﹣f（m﹣2）=f（2﹣m）∴m＞2﹣m，解得：1＜m，实数m 的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题关键是根据函数的奇偶性与单调性得出函数在R上的单调性，利用单调性将不等式f（m）+f（m﹣2）＞0转化为代数不等式，求出实数m 的取值范围，本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型．11．已知直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n、B n，O为坐标原点，设△OA n B n的面积为S n（n=1，2，…），则= 4 ．【分析】由直线l n：nx+2ny=4n+1求出与x轴、y轴的交点，进一步求出三角形的面积，然后再由极限运算得答案．【解答】解：直线l n：nx+2ny=4n+1（n=1，2，…）与x轴、y轴的交点分别为A n（），B n（），O为坐标原点，∴△OA n B n的面积为S n=，则=．故答案为：4．【点评】本题考查了直线的截距式方程以及三角形面积的求法，考查了极限及其运算，是基础题．12．已知{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，那么首项a1的取值范围是．【分析】由已知得a1=﹣，q＞0，a1（q﹣1）＞0，由此能求出a1的取值范围．【解答】解：∵{a n}是递增的等比数列，且a2+a3=﹣1，∴q＞0，且=﹣1，∴a1=﹣，∵{a n}是递增的等比数列，∴a2＞a1，∴a1q＞a1，∴a1（q﹣1）＞0，同理，a3＞a2，即a1q2＞a1q，即a1q（q﹣1）＞0，∴q＞0，a1（q﹣1）＞0，当a1＞0时，有q＞1，由a1=﹣＞0，得：q（1+q）＜0，得：﹣1＜q＜0，矛盾，舍去；当a1＜0时，有0＜q＜1，由a1=﹣＜0，得：q（1+q）＞0，得：0＜q＜1符合．故当0＜q＜1时，t=q+q2单调增，取值为（0，2），∵a1=﹣，∴a1的取值范围为（﹣∞，﹣）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为，可得这个角的大小．【解答】解：摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体，可以得到正方体的对角线与正方体的所有棱所在直线所成的角都相等，其余弦值为，所以这个角的大小是arccos，故答案为：arccos，【点评】本题考查空间直线所成角大小的求解，考查学生的计算能力，摆脱长方体的限制看这题，构造一个正方体是关键．14．在数列{a n}中，a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，则数列{a n}的前100项之和为1300 ．【分析】a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，对n分类讨论可得：a2k+2+a2k=1，a2k+1﹣a2k﹣1=1，k∈N*．利用分组求和、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+2+（﹣1）n a n=1，∴n=2k为偶数时，a2k+2+a2k=1；n=2k﹣1为奇数时，a2k+1﹣a2k﹣1=1，k∈N*．∴数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为1，首项为1．∴数列{a n}的前100项之和=（a1+a3+…+a99）+[（a2+a4）+…+（a98+a100）]=50×1+×1+25=1300．故答案为：1300．【点评】本题考查了分组求和、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：∵，即||||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．16．某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图中的曲线是半径为2的圆弧，则该几何体的体积为（）A．6﹣πB．8﹣πC．6﹣2πD．8﹣2π【分析】由三视图知该几何体一个正方体挖去圆柱所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个正方体挖去圆柱所得的组合体，正方体的棱长是2，圆柱底面圆的半径是2、母线长是2，∴几何体的体积V==8﹣2π，故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．17．过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A．点P（a，b）一定在单位圆内B．点P（a，b）一定在单位圆上C．点P（a，b）一定在单位圆外D．当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上【分析】根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．【解答】解：易知||=∵，||==1∴||=∴OP==1又圆的半为1∴点P一定在单位圆上故选：B【点评】本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．18．（上海春卷18）已知函数f（x）=的图象关于点P对称，则点P的坐标是（）A．B．C．D．，任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N （2m﹣x，2n﹣y），由，联立方程组：，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．∴S圆柱侧=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．，∴当x=1时，S圆柱侧取最大值2π，此时，r=1，所以．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．20．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1=sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1=2S2求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．21．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，点M（t，1）（t＞0）是C上的定点，A、B是C上的两个动点，且线段AB的中点Q（m，n）在线段OM上．（1）抛物线C的方程及t的值；（2）当点A、B分别在第一、四象限时，求k OA k OB的取值范围．【分析】（1）求得抛物线的准线方程，由题意可得1+=，解得p，可得抛物线的方程；代入M的坐标，可得t的值；（2）求得Q的坐标，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得m的范围，运用直线的斜率公式，化简整理配方，由二次函数的值域可得所求范围．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线是，所以，解得，所以抛物线C的方程为y2=x．又点M（t，1）（t＞0）在曲线上，所以t=1．（2）由（1）知，M（1，1），可得直线OM的方程为y=x，故m=n，即点Q（m，m）．由题意，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y﹣m=k（x﹣m），由消去x，得ky2﹣y+m﹣km=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由线段AB的中点为Q，可得y1+y2=2m，所以，m＞0，由，得，所以，因为，所以2m2﹣m的取值范围是，故k OA k OB的取值范围是（﹣∞，﹣8]．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意读懂直线的距离公式，考查直线的斜率的乘积的范围，注意联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的首项a1及数列的递推关系式a n+1=f（a n）；（2）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c的值，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{a n}中是否存在三项a s，a p，a r（s＜p＜r），它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由递推公式a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1求解（2）利用递推公式可得a n=s n﹣s n﹣1，利用等比数列的定义可求c（3）假设存在a s，a p，a r成等差数列，则2a p=a s+a r，结合（1）中的通项公式进行推理．【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1=2a1﹣3，所以a1=3．…（1分）由S n=2a n﹣3n①，得S n+1=2a n+1﹣3（n+1）②，…（2分）②式减①式，得a n+1=2a n+1﹣2a n﹣3，…（3分）故数列的递推关系式为a n+1=2a n+3．…（4分）（2）由（1）知，a n+1=2a n+3，则，…（1分）由题意a n+1+c=q（a n+c），故当q=2，且时，数列{a n+c}是等比数列，所以当c=3时，数列{a n+c}成等比数列．…（3分）此时，．故，即，n∈N*．…（5分）综上，c=3，{a n}的通项公式为，n∈N*．…（6分）（3）假设a s，a p，a r（s＜p＜r）成等差数列，则2a p=a s+a r，…（1分）即2（32p﹣3）=（32s﹣3）+（32r﹣3），所以2p+1=2s+2r，…（2分）从而，2p﹣s+1=1+2r﹣s，…（4分）因为s，p，r∈N*且s＜p＜r，故2p﹣s+1为偶数，而1+2r﹣s为奇数．所以，2p﹣s+1=1+2r﹣s不可能成立，即不存在满足条件的三项．…（6分）【点评】本题主要考查了数列的递推关系a n=s n﹣s n﹣1（n≥2），a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．23．已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）=．（1）证明：2是函数f（x）的周期；（2）当x∈[0，1）时，f（x）=x，求f（x）在x∈[﹣1，0）时的解析式，并写出f（x）在x∈[2k ﹣1，2k+1）（k∈Z）时的解析式；（3）对于（2）中的函数f（x），若关于x的方程f（x）=ax恰好有20个解，求实数a的取值范围．【分析】（1）令x取x+1代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；（2）由x∈[﹣1，0）得x+1∈[0，1），求出f（x+1）代入化简后求出f（x），即可求出一个周期[﹣1，1）上的解析式，利用函数的周期性求出f（x）在x∈[2k﹣1，2k+1）（k ∈Z）时的解析式；（3）由（2）和函数的周期性画出f（x）的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对a分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出a的取值范围．【解答】证明：（1）因为，令x取x+1得，所以，所以，2是函数f（x）的周期．解：（2）当x∈[﹣1，0）时，x+1∈[0，1），则f（x+1）=x+1，又，即，解得．所以，当x∈[﹣1，0）时，．所以，因为f（x）的周期为2，所以当x∈[2k﹣1，2k+1）（k∈Z）时，f（x）=f（x﹣2k）=，（3）由（2）作出函数的图象，则方程f（x）=ax解的个数：就是函数f（x）的图象与直线y=ax的交点个数．若a=0，则x=2k（k∈Z）都是方程的解，不合题意．若a＞0，则x=0是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间[1，19）上，f（x）有9个周期，每个周期有2个解，在区间[19，21）上有且仅有一个解．则解得，．若a＜0，同理可得．综上，．【点评】本题考查了函数周期性以及解析式，方程的根与函数图象交点之间的转化问题，考查了数形结合思想，推理能力与计算能力，属于难题．。

上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试数学（文理合卷）试卷参考答案2015.1一、填空题1． i 2± 2． x⎪⎭⎫⎝⎛213．90 4．25． arccos 46． ()()22211x y -+-=7．20 8． 12π9． 10．1311．(理)(0,1] （文）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 12113．()2,43 14． （理）4029 （文） 7二、选择题15．A 16． D 17．C 18．A三、解答题 19． 解：（1）B a b sin 2= B A B sin sin 2sin =∴……………2分0sin >B 21sin =∴A ……………4分 由于c b a <<，A ∴为锐角，6π=∴A ……………6分（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,233221242⨯⨯⨯-+=∴c c ，……………8分 0862=+-c c ，2=c 或4=c由于c b a <<，4=c ……………10分所以1sin 2S bc A ==12分 20． 解：（1）()f x 为偶函数，∴对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，……………2分即x bx baa +-+= xb x b +=-+ ……………4分得 0b =。

……………6分 （2）记()x b x bh x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩，……………8分①当1a >时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是增函数，∴2b -≤，2b ≥-……………10分②当01a <<时，()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，即()h x 在区间[)2,+∞上是减函数但()h x 在区间[),b -+∞上是增函数，故不可能……………12分∴()f x 在区间[)2,+∞上是增函数时，a 、b 应满足的条件为1a >且2b ≥-……14分 21．解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为216833H =⨯=，底面半径为28433r =⨯=……………22118163333V r H ππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭39.71……………5分198602.0=÷V （秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒。

2013-2014学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷(理)第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名，准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(A B )P(A)P(B )=+如果事件A ，B 相互对立，那么P(AB )P(A)P(B )=球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合22123234*l {x ||x |,x N },P {,},Q {,,}=-≤∈==，则l (P Q )= ð（ ）(A){1，4} （B ）{2,3}(C){1} （D ）{4}2、在复平面内，复数33z cos i sin =-(i 是虚数单位)对应的点位于（ ）（A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3、设a ，b ∈R ，那么“1a b>”是“a>b>0”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4、阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( ) (A) 18 (B) 14 (C) 12(D)1 5、已知正项数列{n a }中，22212111222n n n a ,a ,a a a (n )+-===+≥，则9a 等于( )(A) 25(B) (C)4 (D)56、已知函数2f (x )x cos x =-，则06005f (.),f (),f (.)-的大小关系是( )（A ）00605f ()f (.)f (.)<<- (B) 00506f ()f (.)f (.)<-<(C) 06050f (.)f (.)f ()<-< (D) 05006f (.)f ()f (.)-<<7、设点P 是椭圆22195x y +=上的一点，点M 、N 分别是两圆：2221(x )y ++=和2221(x )y -+=上的点，则的最小值、最大值分别为( )(A)6，8 (B)2，6(C)4，8 (D)8，128、已知函数2100x (x )f (x )log x(x )+≤⎧=⎨>⎩，则函数[]1y f f (x )=+的零点个数是（ ） (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目及座位号填写清楚。

【组卷说明】本卷以各地模拟考试和各校的联合考试为主题、根据高考考试要求为指导进行组卷，是高考复习必备的重组试卷.根据2013年全国新课标试题进行组合，试题总体难度适中，新题题目较多，个别试题需要耐心思考。

本套试题有如下的鲜明特点：1.注重基础知识的考查：填空题的1-10题，选择题重在基础知识的把握；填空中的11-14题，强调基础运算能力，也是高考中必要的得分点。

2.注重新颖试题的筛选和组合：如填空题的12,14，选择题的17,18试题设计新颖，但是难度不大；再如填空题13题，体现在知识的交汇点出题的原则，有一定的难度，可以锻炼学生的解题能力.3.大题难度和新课标高考基本一致，其中22和22体现拔高功能，锻炼学习解题能力：第19题——三角函数与向量的综合问题，考查公式应用能力以及运算能力；第20题——立体几何与空间向量，考查学生的空间想象能力和推理能力，以及空间向量工具的应用；第21题——函数问题，题目的背景新颖，给人耳目一新的感觉，难度虽不大，但要求学生要有较高的抽象水平和对数学符号的理解水平；第22题——以抛物线为背景直线与曲线相交问题，考查逻辑思维能力和计算求解能力；第22题——数列问题，以数列为背景考查学生逻辑推理能力和计算求解能力，题目新颖别致，难度较大。

【名校、考点一览表】一、填空题（每题4分，满分56分）1．【长宁区2013届高三上学期期末考试】计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= .2.【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】若11z i i i=+（为虚数单位），则z =___________．3．【卢湾高级中学2013年高三三模考试】函数()1f x =+的反函数1()f x -= ．4．【上海市奉贤区2013届高考二模】在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是___________5.【2013年上海部分重点中学高考模拟考试】设m 是正实数，若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8， m = .6．【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为_____________．7.【2013学年嘉定区高三年级第一次质量调研】一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________．8．【建平中学2013年高考预测数学试卷】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的高为cm．9．【江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟】在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数,其和大于积的概率是_________.10．【江苏扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___．11．【江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试】已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．12. 【上海市普陀区2013届高考二模】 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是.13. 【上海市虹口区2013届高考二模】设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在(1, 2013)内所有“希望数”的个数为 ．x14. 【上海市徐汇、松江、金山2013届高考二模】如图，对正方形纸片ABCD 进行如下操作：第一步，过点D 任作一条直线与BC 边相交于点1E ，记11CDE α∠=；第二步，作1ADE ∠的平分线交AB 边于点2E ，记22ADE α∠=；第三步，作2CDE ∠的平分线交BC 边于点3E ，记33CDE α∠=；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到12,,,,n ααα ，则用n α和1n α+表示的递推关系式是1n α+= .α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCBAα1α3第14题图二、选择题(每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).15. 【上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研】若集合2{|4,}A x y x y R ==∈,1{|0}2xB x x-=≥+,则A B = . [0,1]A . . (2,1]B -. . (2,)C -+∞. . (2,)D -+∞.16. 【上海市浦东区2013年高考二模数学试题】 “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的. A 充分不必要条件 . B 必要不充分条件 . C 充分必要条件. D 既不充分也不必要条件17. 【上海市闸北区2013年高考二模数学试题】某商场在节日期间举行促销活动，规定： （1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠； （3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为. A 1600元 . B 1800元 . C 2000元 . D 2200元18．【上海市黄浦区2013年高考二模数学试题】如果函数||2y x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是. A {2}(4,)+∞. B (2,)+∞ . C {2,4}. D (4,)+∞三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．【松江区2013学年度数学(一模）】（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x = ，(cos 2)b x x = ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．【建平中学2013年高考预测数学试卷】（本题满分14分）如右图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，'O 、O 分别为上、下底面的圆心，E 为上底面圆周上一点，已知60'DO E ∠= ，圆柱侧面积等于64π． （1）求圆柱的体积V ；（2）求异面直线BE 与DO 所成角θ的大小．21. 【吴淞中学2013届高三第二学期第二次月考】（本题满分14分）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈，设函数[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩（13b <<），()(),[1,3]g x f x ax x =+∈，令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈。

上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（文科）有答案考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚． 3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________． 2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A _________________．4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________． 7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，)1,3(-=b ，则|2|b a-的最大值是___________．9．已知正数a ，b 满足1=ab ，则ba 11+的最小值为_________．10．=++++∞→2321lim nnn ___________． 11．在数列}{n a 中，若21=a ，且对任意的正整数p 和q 都有q p q p a a a +=+，则8a 的值为__________．12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果y x z -=的最小值是1-，则实数=m _____．13．如图，过双曲线1422=-y x 的右焦点作直线l 与 圆422=+y x 相切于点M ，l 与双曲线交于点P ，则=||||PF PM ________________．14．已知函数{,0,23,0,2)(2>-≤-=x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的 取值范围是___________．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．“1tan =α”是“4ππα+=k （Z ∈k ）”的………………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件第13题图16．已知集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B ，分别在集合A 和B 中各取一个数，则这两个数的和为偶数的概率是……………………………………………………（ ）A ．41 B ．21 C ．43 D ．1613 17．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图为…………………………（ ）A ．B ．C ．D ．18．下列区间中，函数|)3ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是…………………………（ ）A ．)2,(-∞B ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,1 C ．)3,1( D ．)3,2(三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，在四棱锥ABCD A -中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，⊥PA 底面ABCD ，4=PA ，M 为PA 的中点．（1）求三棱锥MCD P -的体积；（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定32π=∠MNP ． （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；EB E B B E B 图1 BC AD EF A D BC I H GE F 图2 PA B CD M（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？21．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）求使814011121>+++n a a a 成立的最小正整数n 的值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于点N ．（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32||=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：⋅是定值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R ∈x ． （1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数a 的值； （2）若2=a ，求)(x f 的最小值；（3）对于函数)(x m y =，在定义域内给定区间],[b a ，如果存在0x （b x a <<0），满足ab a m b m x m --=)()()(0，则称函数)(x m 是区间],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数1)(2++-=mx x x g 是区间]1,1[-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）2014.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 221lim 2n n n n→∞+=-___________. 2. 不等式01xx <-的解是___________. 3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________. 4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______.5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.6.已知函数11()24x x f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=___________. 7.已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈⋅是 实数，则12z z +=___________.8．二项式291()x x-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.9.在锐角ABC V 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________.10.已知实数,x y 满足242y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22(1)(1)s x y =++-的最大值是 .11. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.12.函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．13.用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15.设,,a b R a b ∈>，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) 22a b > (B)11a b< (C) 2a ab > (D) 22a b > 16. 方程5log sin x x =的解的个数为（ ） (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 517.已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132118. 如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点,若OC mOA nOB u u u r u u r u u u r=+，则（ ）(A)01m n <+<； (B)1m n +>；(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：SA CD ⊥；（2）求异面直线SB 与CD 所成角的大小.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量.（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的BCAO等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，设31(,)22A 是单位圆上一点，一个动点从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B ，t 秒时动点到达点P .设(,)P x y ，其纵坐标满足()sin()()22y f t t ππωϕϕ==+-<<.（1）求点B 的坐标，并求()f t ；（2）若06t ≤≤，求AP AB ⋅的取值范围.22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知a 为实数，函数222211()11x x f x ax x -+=++-. （1）当1a =时，求()f x 的最小值;（2）当1a =时,判断()f x 的单调性,并说明理由；（3）是否存在小于0的实数a ，使得对于区间2525,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形，请说明理由.23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U . 已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,42,4}k k - .（1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ； （3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.yAOx上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷答案（文卷）2014.1一、填空题. 1.122. 01x <<（或(0,1)）3. 32n -4. 15. 306. 2log 37. 42 8． -126 9. 13 10. 90 11. 15π 12. 1＜a ＜4 13. 6 14.6二、选择题15. D 16. B 17. D 18. B 三、解答题 19. 解：（1）∵SD ⊥平面ABCDCD ⊆平面ABCD∴CD ⊥SD ……………………3分 又四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ∴CD ⊥平面SDASA ⊆平面SDA∴SA ⊥CD. ……………………………………6分（2）∵AB ‖CD∴SBA ∠或其补角是异面直线SB 与CD 所成角.…………………………8分 由（1），BA ⊥平面SDA ，∴△SAB 是直角三角形.22tan 22arctan 2SBA SBA ∴∠==∴∠= ………………………………………………11分 故异面直线SB 与CD 所成角的大小为arctan 2. …………………………………12分 20.解：（1）32132D D D =+)lg (3)lg (2lg 321b I a b I a b I a +=+++∴ …………………………2分 321lg 3lg 2lg I I I =+∴ ………………………………………………4分 33221I I I =⋅∴ …………………………………………………6分（2）由题意得⎩⎨⎧=+-=+-40123013b a b a ………………………………………8分⎩⎨⎧==16010b a ………………………………………10分∴120160lg 10100<+<I 461010--<<I ………………………………………………………13分答：当声音能量)10,10(46--∈I 时，人会暂时性失聪. ………………………………14分 21、解: (1)当2t =时，22123AOB ππ∠=⨯=， 所以2XOB π∠=所以，点B 的坐标是（0，1） ……………………………………………………2分 又t 秒时，66XOP t ππ∠=+………………………………………………………4分sin ,(0)66y t t ππ⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝⎭. …………………………………………………………6分（2）由31,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1)B ，得31,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 又cos ,sin 6666P t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31cos ,sin 662662AP t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…………………………8分3311cos sin 42664266AP AB t t ππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分 所以，AP AB ⋅ 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分22、解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（1）1a =时, ()22224112111x x f x x x x-+=+=+-- ………………2分0x =时()22221111x x f x x x-+=++-最小值为2. …………………………4分 （2）1a =时, ()22224112111x x f x x x x-+=+=+-- [)0,1x ∈时， ()f x 递增； (]1,0x ∈-时，()f x 递减；…………………………6分()f x 为偶函数.所以只对[)0,1x ∈时，说明()f x 递增.设1201x x ≤<<，所以4412110x x ->->，得44121111xx<--()()12441211011f x f x xx-=-<--所以[)0,1x ∈时， ()f x 递增；………………………………………………10分（3）2211x t x -=+，25251,,[,1]553x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.……12分 当0a <时, a y t t =+，1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为递增函数.……………………………………14分 由()123103a a ⎛⎫+>+>⎪⎝⎭，得115a >与0a <矛盾.所以不存在小于0的实数a ，使得对于区间2525,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形. ……………………………16分23、解：（1）1=n 时，411==U c2≥n 时，111222)1(222---+=---+=-=n n n n n n n n U U c ，41=c 不适合该式故，14,122,2n n n c n k -=⎧=⎨+≤≤⎩…………………………………………………………4分 （2）4412341234()()S T a a a a b b b b -=+++-+++11223344()()()()a b a b a b a b =-+-+-+-246820=+++=又4412341234()()S T a a a a b b b b +=+++++++24681012141672=+++++++=得，4S =46，4T =26 …………………………………………………………8分 数列}{n a 、}{n b 可以为：① 16,10,8,12；14,6,2,4 ② 14,6,10,16；12,2,4,8 ③ 6,16,14,10；4,12,8,2 ④ 4,14,12,16；2,10,6,8⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2 ……………………10分 （3）令42n n d k b =+-，42n n e k a =+-（*1,n k n N ≤≤∈） …………………12分(42)(42)2n n n n n n d e k b k a a b n -=+--+-=-=又1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,,4}k ，得1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-={2,4,6,,4}k所以，数列对（}{n a ，}{n b ）与（}{n d ，}{n e ）成对出现。

嘉定区2023学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．如果抛物线2)1(2+-=x k y 的开口向下，那么k 的取值范围是 ( ) （A ）0>k ； （B ）0<k ； （C ）1>k ； （D ）1<k ． 2．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴是直线2-=x ，那么下列等式成立的是 ( ) （A ）a b 2=； （B ）a b 2-=； （C ）a b 4=； （D ）a b 4-=．3．已知在△ABC 中，︒=∠90C ，3=BC ，5=AB ，那么下列结论正确的是 ( ) （A ）53sin =A ； （B ）53cos =A ； （C ）53tan =A ； （D ）53cot =A ． 4. 一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为︒30，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是 ( ) （A ）6000米； （B ）12000米； （C ）36000米； （D ）312000米．5．如图1，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点， a AB =，b AC =，那么AD 等于( )（A ）b a AD 2121-=；（B ）b a AD 2121+-=；（C ）b a AD 2121--=； （D ）b a AD 2121+=． 6．下列命题是真命题的是 ( )（A ）有一个角是︒36的两个等腰三角形相似； （B ）有一个角是︒45的两个等腰三角形相似； （C ）有一个角是︒60的两个等腰三角形相似； （D ）有一个角是钝角的两个等腰三角形相似． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7． 如果函数1)1(2-+-=kx x k y （k 是常数）是二次函数，那么k 的取值范围是______． 8．将抛物线223x x y -+=向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是______． 9．如果抛物线c 2+=x y 经过两点)1,2(A 和),1(b B ，那么b 的值是______． 10．二次函数m x x y +--=22图像的最高点的横坐标是______．图111．如果b a 35=（a 、b 都不等于零），那么=-bba =______． 12．已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且cm AB 4=，BP AP <，那么=BP ______cm ．13．如果向量a 、b 、x 满足关系式b a b x a 32)2(3-=--，那么x =______（用向量a 、b 表示）．14．在△ABC 中，点E D 、分别在边CA BA 、的延长线上，2:1:=AB AD ，4=AC ，那么当=AE ______时DE ∥BC ． 15．如图2，在△ABC 中，点E D 、分别在边CA BA 、上，DE ∥BC ，81=∆BCEDDEA S S 四边形， 9=BC ，那么=DE ______．16．如图3，在△ABC 中，︒=∠90ACB ，AB DA ⊥，联结BD ，2=AC ，1=BC ，2=AD ，那么=D cos ______．17．如图4，在港口A 的南偏西︒30方向有一座小岛B ，一艘船以每小时12海里的速度从港口A 出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C 处测得小岛B 在船的正南方 向，那么小岛B 与C 处的距离=BC ______海里（结果保留根号）.18．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，25=AB ，20=AC ，点P 、Q 分别在边AC 、BC上，且2:3:=BQ CP （如图5），将△PQC 沿直线PQ 翻折，翻折后点C 落在点1C 处，如果1QC //AB ，那么=∠1QPC cot ______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒-︒︒+︒-60cot 345tan 260sin 2)30cos 14（.图4图 3图5AP A B CDE 图220．（本题满分10分，每小题5分）已知平面直角坐标系xOy （图6），抛物线2=x y 经过点)0,3(-A 和)3,0(-B 两点． (1)求抛物线的表达式；(2)如果将这个抛物线向右平移k （0>k ）个单位， 得到新抛物线经过点B ，求k 的值.21．（本题满分10分，每小题5分）如图7，在平行四边形ABCD 中，点H 是边AB 上一点，且AH BH 2=，直线DH 与AC 相交于点G ． （1）求ACAG的值； （2）如果AB DH ⊥，31BCD cos =∠，9=AD ， 求四边形ABCD 的面积.22．（本题满分10分，每小题5分）如图8，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD .小山斜坡AB 的坡度为2.4:1=i ，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为︒45，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为︒74．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长； （2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）． （参考数据：0.96sin74≈︒，28.074cos ≈︒，49.374tan ≈︒，29.074cot ≈︒）23．（本题满分12分，每小题6分） 如图9，在△ABC 中，︒=∠90ACB ，点D 是BC 延长线上一点，点E 是斜边AB 上 一点，且BA BE BD BC ⋅=⋅. （1）求证：ED AB ⊥；（2）联结AD ，在AB 上取一点F ，使AC AF =, 过点F 作FG //BC 交AD 于点G . 求证：DE FG =.图8图6图7A BDG CE F 图924．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题中①、②题各4分）定义：对于抛物线c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，0≠a ），若ac b =2，则称该抛物线是黄金抛物线. 已知平面直角坐标系xOy （图10），抛物线k x x y +-=22是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D . （1）求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；（2）点),2(b B 在这个黄金抛物线上，①点)21,(-c C 在这个黄金抛物线的对称轴上, 求∠②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 成的三角形与△AOD 相似，且相似比不为1出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.25．（满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题中①题5分、第（2）小题中②题6分）如图11，在△ABC 和△ACD 中，︒=∠=∠90CAD ACB ，16=BC ，15=CD ，9=DA . （1）求证：ACD B ∠=∠；（2）已知点M 在边BC 上一点（与点B 不重合），且BAC MAN ∠=∠，AN 交CD 于点N ，交BC 的延长线于点E .①如图12，设x BM =，y CE =，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域； ②当△CEN 是等腰三角形时，求BM 的长. 图10 B图11备用图图12参考答案一、1. D ；2. C ；3. A ；4. B ；5. D ；6. C .二、7.1≠k ；8.122++-=x x y ；9. 2-；10.1-；11.52-；12.252-；13. b a 5+； 14.2；15. 3；16.772；17.36；18.21. 三、19．解：︒-︒︒+︒-60cot 345tan 260sin 2)30cos 14（33312232)231(4⨯-⨯⨯+-= ………………………8分 323324-+-= …………………………1分 )32(3324++-=332324++-=7= ………………………1分20．解：（1）由题意，得 ⎩⎨⎧-==+303-9c c b ……………………2分解这个方程，得，2=b ……………………1分所以，这个抛物线的表达式是322-+=x x y . …………………2分（2）由（1）配方得：4)1(2-+=x y …………1分根据题意可设平移后的抛物线表达式为4)1(2--+=k x y …………1分因为4)1(2--+=k x y 经过点)3,0(-B ；所以 4)1(32--=-k …………………………1分 解得：01=k ，22=k ……………………1分 因为0>k所以2=k . ………………………1分21．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB =,AB ∥DC ……………………1分∴GC AG CD AH = ∴GCAGAB AH = …1分 ∵AH BH 2=∴AH AB 3= …1分∴31=GC AG …1分 又AC GC AG =+ ∴41=AC AG …1分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴DAH BCD ∠=∠图7∵31BCD cos =∠∴31DAH cos =∠…1分∵AB DH ⊥∴︒=∠90DHA在Rt △AHD 中，ADDAH cos AH=∠…1分 ∵9=AD ∴3=AH …1分又222AD DH AH =+∴26=DH …1分2543=⋅=⋅=AH DH AB DH S ABCD 四边形…1分22.解：（1）由题意，得 ︒=∠90AHB ,4.2:1:==AH BH i设x BH 5= ，则x AH 12=…1分 ∴222AB BH AH =+∴x AB 13= …1分∵39=AB ∴3=x …1分 ∴155==x BH （米）…1分答：坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长为15米 （2）延长CD 交AN 于点G ，则AN CG ⊥，易得：HG BD =,15==DG BH ∵︒=∠45CAG ∴︒=∠45ACG ∴ACG CAG ∠=∠∴AG CG =…1分 ∴DG CD HG AH +=+在Rt △BDC 中，CDBDCBD =∠cot ∴HG CBD CD BD =∠⋅=cot …1分∵︒=∠74CBD ,36=AH∴15cot7436+=︒⋅+CD CD …1分∵29.074cot ≈︒ ∴30≈CD (米) …1分 答：古塔CD 的高度约为30米. …1分 23.证明（1）∵BA BE BD BC ⋅=⋅∴BD BA BE BC =…1分 ∵B B ∠=∠∴△ABC ∽△DBE …2分∴DEB ACB ∠=∠ …1分∵︒=∠90ACB ∴︒=∠90DEB …1分 ∴ED AB ⊥…1分（2）由（1）得△ABC ∽△DBE ∴DE AC DB AB = 即AB ACDB DE = ……2分 ∵FG ∥BC ∴AB AFDB FG = ……2分 ∵AC AF =∴DBFGDB DE =……1分∴DE FG =……1分24. 解：（1）∵抛物线k x x y +-=22是黄金抛物线，∴k ⨯=-1)2(2…1分图8 AB D GC E F 图9∴4=k …1分∴所求抛物线的表达式为422+-=x x y …1分 配方得：3)1(2+-=x y ∴点D 的坐标为)3,1(…1分（2）①由（1）得：抛物线422+-=x x y 的对称轴是直线1=x∴点C 的坐标为21,1(-，…1分∵点),2(b B 在这个黄金抛物线422+-=x x y 上 ∴b =+44-4 ∴4=b∴点B 的坐标为)4,2(…1分 ∴2545)021()01(22==--+-=OC 5220)04()02(22==-+-=OB285485)421()21(22==--+-=BC∴222BC OB OC =+…1分 ∴︒=∠90BOC∴1717sin ==∠BC OC OBC …1分 （2）②存在…1分过点D 作OA DH ⊥,垂足为H∵抛物线422+-=x x y 与y 轴交于点A ∴点A 的坐标为）（4,0∵点B 的坐标为)4,2( ∴OA AB ⊥∴︒=∠90BAO∵点D 的坐标为)3,1(∴1==HD AH∴︒=∠45ODA ∴︒=∠45DAP ∴DAP ODA ∠=∠要使以点P 、A 、D 所组成的三角形与△AOD 相似，有两种情况 第一种：当ADP ADO ∠=∠,又AD AD =,DAP ODA ∠=∠， 所以△AOD 与△APD 是相似且全等， ∵△AOD 与△APD 是相似其似比不为1 所以这种情况舍去…1分第二种：当APD ADO ∠=∠又DAP ODA ∠=∠ ∴△ODA ∽△DAP∴ADAO AP AD =∴AO AP AD ⋅=2∵2=AD ,4=AO∴21=AP …1分∵点P 在射线AB 上∴点P 的坐标为）（4,21…1分25.（1）证明∵︒=∠=∠90CAD ACB∴△ACB 与△CAD 都是直角三角形 在Rt △CAD 中，222CD DA AC =+ ∵15=CD ,9=DA ∴12=AC …1分∴43tan ==∠AC AD ACD 在Rt △ACB 中，16=BC∴43tan ==∠BC AC B∴ACD B ∠=∠tan tan …1分 ∴ACD B ∠=∠…1分（2）①解：∵BAC MAN ∠=∠，又MAC NAC MAN ∠+∠=∠MAC BAM BAC ∠+∠=∠ ∴CAN BAM ∠=∠又ACD B ∠=∠ ∴△BAM ∽△CAN ∴CNBMAC AB = …1分 ∵在Rt △ACB 中，16=BC ,12=AC∴2022=+=AC BC AB ∵x BM =∴x CN 53= …1分∵︒=∠=∠90CAD ACB ∴CE ∥AD∴NDCNAD CE =∵x ND 5315-=，y CE =∴xxy5315539-= …1分 ∴xxy -=259…1分 定义域：160≤<x …1分（2）②当△CEN 是等腰三角形时，分三种情况 第一种：当CE CN =时,则xx x -=25953，解得：10=x …2分 第二种：当EN EC =时,则AD AN =，过点DC AH ⊥，垂足为H ,ADDHCD AD ==cosD 所以，527=DH ,554=DN ,则1555453=+x ，解得：7=x …2分 第三种：当NC NE =时,因为△ACE 是直角三角形，易得ND NA NE NC ===,所以CD NC =2,即15532=⨯x ，则解得：5.12=x …2分综上所述：当△CEN 是等腰三角形时，BM 的长为10或75.12或图12。