第4章多项式的运算

《多项式教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解多项式的概念，掌握多项式的定义及其相关性质。

2. 培养学生运用多项式进行数学运算的能力，提高解决问题的能力。

3. 培养学生团队协作精神，提高学生数学思维能力。

二、教学内容：1. 多项式的定义与相关性质2. 多项式的运算规则3. 多项式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：多项式的概念、性质及运算规则。

2. 难点：多项式在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解多项式的定义、性质及运算规则。

2. 运用案例分析法，分析多项式在实际问题中的应用。

3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子，引导学生思考多项式的概念。

2. 讲解：详细讲解多项式的定义、性质及运算规则。

3. 案例分析：分析多项式在实际问题中的应用。

4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路。

5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。

6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 评价学生对多项式概念的理解程度，通过课堂提问和作业批改进行评估。

2. 评价学生多项式运算的熟练程度，通过课堂练习和小测验进行评估。

3. 评价学生在实际问题中应用多项式的能力，通过案例分析和课后项目进行评估。

七、教学资源：1. 教材：《高中数学教材》相关章节。

2. 课件：制作多媒体课件，辅助讲解多项式的定义和性质。

3. 练习题：准备一系列的多项式运算练习题，用于课堂练习和学生自学。

4. 案例分析材料：收集一些实际问题，用于引导学生应用多项式解决问题。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍多项式的定义和基本性质。

2. 第二课时：讲解多项式的运算规则。

3. 第三课时：案例分析，展示多项式在实际问题中的应用。

4. 第四课时：小组讨论，学生展示自己的解题过程。

5. 第五课时：总结本单元内容，布置课后作业。

九、课后作业：1. 完成教材后的多项式练习题。

第四章 多项式基础训练1. 判断下列结论的正误：(1) f (x )＝3＋x ＋x －2是复数域上的多项式； (2) f (x )＝4＋1-x ＋x 3是实数域R 上的多项式；(3) f (x )＝51－x 3是有理数域Q 上的多项式； (4) f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋1是复数域C 上的多项式. 解 （1）错；（2） 错；（3）对； （4）对 2. 求用g (x )去除f (x )所得的商和余式. (1) f (x )=x 4－2 x 3＋x －1, g (x )=3x 2＋x ＋1; (2) f (x )=x 3－2 x 2＋6x ＋7, g (x )=x 2－x ＋2;(3) f (x )= x 4＋3x 3－x 2－4x －3, g (x )= 3x 3＋10x 2＋2x －3. 解 （1）商为27497312+-x x ；余式为27312744-x(2) 商为1-x ；余式为93+x (3) 商为9131-x ；余式为31091952---x x3. 数域F 中的数m , p , q 适合什么条件时, 多项式x 2＋mx ＋1整除x 4＋ px 2＋q ?解：以12++mx x 除q px x ++4所得的商式为)1(22m p mx x +-+-，余式为)1()2()(22m p q x m p m x r -+-+--=.而多项式12++mx x 整除q px x ++24的充要条件是0)(=x r ，即10)2(22=-+-=--mp q m p m 且. 所以当{10+==q p m 或{212=+=mp q 时qpxx mx x ++++2421整除4. 设a ∈F . 证明, 对任意的正整数n , 有x －a 整除x n －a n . 证明：由于))((123221-----++⋅⋅⋅+++-=-n n n n n nn ax axa axxa x ax因此a x -在n n a x F -上整除．5. 设f (x )∈F [x ], k 是正整数. 证明, x 整除f k (x )当且仅当x 整除f (x ). 证明：充分性：当).()(x f x x f x k 整除时，显然有整除 必要性：作带余除法得rx xq x f +=)()(，.F r ∈ ki k i i ki i k i ki kk r x r x x q i k rx xq i k r x xq x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=--=-=∑∑))(())(())(()(110由于)(x f x k整除，因此krx |. 这说明0=r ，即有)()(x xq x f =， 因此).(x f x 整除6. 设k ,n 是正整数. 证明, x k －1整除x n －1当且仅当k 整除n . 证明：充分性：若n k |，令1kn n =，k x y =. 因为)1(|)1(1--n y y所以.1|1--n k x x必要性：设rkq n +=，这里.0k r <≤ 显然有.1)1(111-+-=-+-=-=-+rkqrrrrkqrkq nx x x x x x x x x 因为1|1--n k x x 且1|1--kqk x x （这一点利用了必要性），结合上式知.1|1--rkx x 这时必然有.0=r7. 用辗转相除法求f (x )=x 4＋3x 3-x 2-4x -3与 g (x )=3x 3＋10x 2＋2x -3的最大公因式(f (x ),g (x )), 并求u (x ), v (x ),使得(f (x ),g (x ))=u (x )f (x )＋v (x )g (x ).),279)(8110815(31092595,279)31092595)(9527()(),31092595()()9131()(222+--=---++---+-=---+-=x x x x x x x x x g x x x g x x f 解：由于因此3)()(+x x g x f 的最大公因式为与. 取259518)(,9527)(xx x v x x u -=-=即可符合要求。

第4章多项式复习教案教学目标：1.能较熟练地理解本章所学的公式及运算法则2.能熟练地进行多项式的计算.教学重点：正确选择运算法则和乘法公式进行运算.教学难点：综合运用所学计算法则及计算公式.教学方法：范例分析、归纳总结.教学过程：一、各知识点复习1.整式包括单项式和多项式.2. 求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将它们放在一起；四是合并同类项.3.多项式的排列(按某一个字母降幂、升幂排列).4.同底数幂相乘：a m·a n =a m+n（m、n都是正整数）语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘.5.幂的乘方：（a m）n＝=a mn (m、n为正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.6.积的乘方：nnn b)( (n为正整数)ab⋅a=文字叙述：积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.7.单项式的乘法法则：两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不变指数相加.（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）8.单项式与多项式相乘的法则：即利用乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac9.多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= a(m+n)+b(m+n)=(am+an+bm+bn)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10.二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab ax bx x +++2=ab x b a x +++)(211.平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.12.完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍.13*.立方和差公式：3322)2)((b a b ab a b a ±=+±14*.完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±15*.三个数的和的平方公式：2)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 222222+++++一、 范例分析：例1、 计算：(1) 求454232++-ab b b a 与3223232a ab b a +-+的和与差.(2) 432)()()(a a a a -∙-∙-∙-(3) )4)(1()3)(3(+---+a a a a(4) )4)(12(3)32(2+--+a a a(5) 22)1()1(--+xy xy(6) 22)32()32)(32()32(b a b a b a b a -++--+(7) )3)(3(+---b a b a(8) 22)()(c b a c b a +---+例2、先化简，再求值：(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 21,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中例3、解方程：3)4)(1()3)(3(+=+---+x x x x x例4、已知甲数是a ，乙数是甲数的2倍多1，丙数比乙数少2，试求甲、乙、丙三数的和与积，并计算a=-5 时的各与积分别是多少.讲解上述例题时注意：1.解题时说明所使用的公式.2.能用多种方法解题的要用多种方法解答.3.要求学生熟练地运用公式进行计算.二、 布置作业P109 复习题四 A 组 第1题双数题、第2题、第3题、第4题 后记：。

第4章 多项式 复习教案教学目标：1.能较熟练地理解本章所学的公式及运算法则2.能熟练地进行多项式的计算.教学重点：正确选择运算法则和乘法公式进行运算. 教学难点：综合运用所学计算法则及计算公式.教学方法：范例分析、归纳总结. 教学过程：一、 各知识点复习1.整式包括单项式和多项式.2. 求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将它们放在一起；四是合并同类项.3.多项式的排列(按某一个字母降幂、升幂排列).4.同底数幂相乘：a m ·a n =a m+n（m 、n 都是正整数） 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘.5.幂的乘方：（a m ）n ＝=a mn (m 、n 为正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.6.积的乘方：n n n b a ab ⋅=)( (n 为正整数) 文字叙述：积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.7.单项式的乘法法则： 两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不变指数相加.（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式） 8.单项式与多项式相乘的法则：即利用乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac9.多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= a(m+n)+b(m+n)=(am+an+bm+bn) 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 10.二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab ax bx x +++2=ab x b a x +++)(2 11.平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+ 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.12.完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍. 13*.立方和差公式：3322)2)((b a b ab a b a ±=+±14*.完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±15*.三个数的和的平方公式：2)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 222222+++++一、 范例分析：例1、 计算：(1) 求454232++-ab b b a 与3223232a ab b a +-+的和与差.(2) 432)()()(a a a a -•-•-•-(3) )4)(1()3)(3(+---+a a a a(4) )4)(12(3)32(2+--+a a a(5) 22)1()1(--+xy xy(6) 22)32()32)(32()32(b a b a b a b a -++--+(7) )3)(3(+---b a b a(8) 22)()(c b a c b a +---+例2、先化简，再求值：(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 21,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中 例3、解方程：3)4)(1()3)(3(+=+---+x x x x x例4、已知甲数是a ，乙数是甲数的2倍多1，丙数比乙数少2，试求甲、乙、丙三数的和与积，并计算a=-5 时的各与积分别是多少.讲解上述例题时注意：1.解题时说明所使用的公式.2.能用多种方法解题的要用多种方法解答.3.要求学生熟练地运用公式进行计算.二、布置作业P109 复习题四 A组第1题双数题、第2题、第3题、第4题后记：。