12.1 平方根与立方根(第1课时 平方根)

平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。

它们分别表示一个数的平方和立方的根。

平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。

平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。

一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。

对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。

平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。

（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。

首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。

（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。

首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。

例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。

2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。

例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。

例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。

二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。

对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。

立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。

（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。

（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。

2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。

例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。

例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。

总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。

平方根与立方根的运算在数学中，平方根和立方根是常见的运算概念。

平方根是指一个数的平方等于该数的算术根，用符号√表示；立方根则是指一个数的立方等于该数的算术根，用符号∛表示。

本文将重点讨论平方根和立方根的运算方法及其应用。

一、平方根的运算平方根的运算需要借助数学符号√来表达，并且需要知道被开方数的正负性。

一个数的平方根有两个值，一个是正数的平方根，另一个是负数的平方根。

为了简化运算，在实际应用中通常只考虑正数的平方根。

1. 平方根运算的基本方法平方根的运算可以通过使用逼近法或数学公式来求解，其中最常用的方法是牛顿迭代法和二分法。

以求解一个正数a的平方根为例：（1）牛顿迭代法：通过不断逼近的方式求解平方根。

假设初始猜测值为x0，那么下一个近似值x1可以通过以下公式得到：x1 = (x0 + a/x0) / 2通过迭代上述公式，直到满足精度要求得到的近似值即可作为a的平方根。

（2）二分法：通过两个值的乘积逼近目标值的方式求解平方根。

假设初始猜测值为x0和x1，那么下一个近似值可以通过以下公式得到：x2 = (x0 + x1) / 2如果x2的平方小于a，则新的近似值为（x2，x1）；如果x2的平方大于a，则新的近似值为（x0，x2）。

通过不断迭代上述公式，直到满足精度要求得到的近似值即可作为a的平方根。

2. 平方根的特殊情况在实际应用中，平方根的运算可能会遇到一些特殊的情况。

例如，求解负数的平方根时，可以利用虚数单位i来表示。

负数a的平方根可以表示为√(-a) * i，其中i为虚数单位。

二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的算术根。

和平方根类似，立方根也需要考虑被开方数的正负性。

一个数的立方根同样有两个值，一个是正数的立方根，另一个是负数的立方根。

在实际运算中，通常只考虑正数的立方根。

1. 立方根运算的基本方法立方根的运算可以通过逼近法或数学公式来求解，其中最常用的方法是牛顿迭代法和二分法。

《平方根》教学设计（第1课时）一、内容和内容解析1．内容算术平方根的概念，被开方数越大，对应的算术平方根也越大．2．内容解析算术平方根是初中数学中的重要概念，引入算术平方根，是解决实际问题的需要．作为《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，一方面可为后续研究平方根、立方根提供方法上的借鉴，另一方面也是为认识无理数，完成数集的扩充，解决数学内部运算，以及二次根式的学习等作准备．算术平方根的概念分两个部分，分别是关于一个正数算术平方根的定义和关于0的算术平方根的规定．由算术平方根的概念引出其符号表示、读法及什么是被开方数．根据算术平方根的概念，可以利用互逆关系，求一些数的算术平方根．根据这些数的算术平方根的结果，不难归纳得出“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的结论，其间体现了从特殊到一般的思想方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：算术平方根的概念和求法．二、目标和目标解析1．教学目标（1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．（2）会求一些数的算术平方根．2．目标解析（1）学生能说出正数的算术平方根的定义，记住0的算术平方根是0；会用符号表示一个非负数的算术平方根，并能正确读出符号，能够说出中数的名称；理解符号中被开方数≥0(即是一个非负数)的条件，了解也是一个非负数．（2）学生能依据算术平方根的定义判断一个数有没有算术平方根；掌握用平方运算求某些数的算术平方根的方法，会求出100以内完全平方数或分子、分母均是这类数的分数的算术平方根，以及上述这类数扩大(或缩小)100倍、10000倍的数的算术平方根；了解被开方数越大，对应的算术平方根也越大．三、教学问题诊断分析在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识．但对于算术平方根为什么只是就正数进行定义，并对0的算术平方根作出规定，大多数学生不习惯．还有就是负数没有算术平方根，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到(0不能作除数除外)；加之算术平方根的符号表示只涉及一个数，这与前面所学都涉及两个数的运算不一样，学生可能难以理解．基于以上分析，本节课的教学难点是：深化对算术平方根的理解．四、教学过程设计1．创设情境，引入新课教师展示教科书中本章的章前图，说明这是神舟七号宇宙飞船升空的照片，并提出下面的问题．问题 1 请同学们阅读本章的引言，你从引言中发现了哪些与数有关的概念？本章将要学习的主要内容以及大致的研究思路是什么？师生活动学生阅读，回答；教师补充说明数的范围不断扩大体现了人类在数的认识上的不断深入，让学生感受数的扩充的必要性．设计意图：通过“神州七号载人飞船发射成功”引入本章学习，激发兴趣，增强学生的学习热情．2．师生互动，学习新知问题2学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？师生活动：学生可能很快答出边长为5dm．追问请说一说，你是怎样算出来的？师生活动：学生理清解决问题的思路，回答，教师可结合图片强调思路．设计意图：从现实生活中提出数学问题，使学生积极主动的投入到数学活动中去，同时为学习算术平方根提供实际背景和生活素材．问题3完成下表：设计意图：通过多个已知正方形面积求边长问题的解答，加强学生对这种运算的理解，为引出算术平方根作好铺垫．问题4 你能指出问题2与问题3的共同特点吗？师生活动：学生可能回答：上述问题都是“已知一个正方形的面积，求这个正方形的边长”的问题，教师可引导学生进一步归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题，从而揭示问题的本质．在此基础上教师给出算术平方根的定义．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数．问题5 上面就一个正数给出了算术平方根的定义，那么，你认为“0的算术平方根是多少？”“怎样表示”比较合适呢？师生活动：学生不难回答“0的算术平方根是0”，可以表示为“”；教师指明：算术平方根的概念包含“正数算术平方根”的定义和“0的算术平方根”的规定两部分．追问（1）根据以上学习，你认为对于算术平方根中被开方数可以是哪些数？师生活动：学生回答，教师明确：算术平方根中被开方数可以是正数或0，即非负数．追问（2）为什么负数没有算术平方根呢？师生活动：学生思考、回答，教师点拨：因为任何一个正数的平方都不可能是负数．设计意图：通过不断追问，由学生思考解决，体会分类讨论，既加深学生对算术平方根的理解，又让学生养成全面考虑问题的习惯．追问（3）请判断正误：（1）-5是-25的算术平方根；（2）6是的算术平方根；（3）0的算术平方根是0；（4）0．01是0．1的算术平方根；（5）一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．师生活动：学生回答，其他学生讨论，教师对有难度的进行适当引导．设计意图：检验对算术平方根的理解．3．例题示范，学会应用例1 求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0．0001．师生活动：教师给出第（1）小题求数的算术平方根的思考过程，学生模仿独立完成第（2）、第（3）小题，两名学生板演后，全班交流．追问从例1中，你能发现被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系吗？师生活动：学生比较被开方数的大小以及其算术平方根的大小，试图归纳出结论．如有困难，教师再举一些具体例子加以引导，说明．设计意图：通过求大小不同的三种形式的正数的算术平方根的实践，巩固求算术平方根的方法，由特殊到一般归纳出结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．为下节课学习估计平方根的大小做准备．例2 求下列各式的值．（1）；（2）；（3）．师生活动：学生先说明所求式子的含义，然后三名学生板演，全班交流，教师点评．设计意图：使学生熟悉算术平方根的符号表示，全面了解算术平方根．4．即时训练，巩固新知（1）教科书第41页的练习．（2）求的算术平方根．师生活动：学生独立完成，教师巡视，对个别差生进行辅导．对“求的算术平方根”，要让学生明白此题包含两层运算，即先求=？，然后再求“？”的算术平方根，实际上就是上述例1、例2类型的综合题．设计意图：通过练习使学生在了解算术平方根及有关概念的基础上，达到能自己求一个数的算术平方根，进一步巩固、深化对算术平方根的理解．5．课堂小结师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：（1）什么是算术平方根？（2）如何求一个正数的算术平方根？（3）什么数才有算术平方根？设计意图：让学生对本节课知识进行梳理，进一步落实相关概念．6．布置作业：教科书习题6．1 第1、2题．五、目标检测设计1．若是49的算术平方根，则=( )．A．7 B．－7 C．49 D．－49设计意图：本题考查学生对算术平方根概念的理解．2．说出下列各式的意义，并求它们的值．（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：本题考查学生对算术平方根概念的理解，以及是否能正确认识符号化语言．3．的算术平方根是_____．设计意图：本题考查学生对算术平方根概念的全面理解．。

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.5．开方运算：我们知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a.综上所述，有a (a ≥0)2a =│a │=-a (a<0)（1） 两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333== 平方根立方根练习题一、填空题1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________．3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ；4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________．5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

第11章 数的开方 12.1 平方根与立方根(3课时) 第1课时 平方根（一）课前预习1.平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫a 的平方根，即：如果x 2=a ，那么x 叫a 的平方根，记作2.平方根的的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0有一个平方根，是0；（3）负数没有平方根。

互动课堂考点1：平方根定义例1：求下列各数的平方根 （1）25 （2）0.49 （3）641（4）16 解析：本题主要考求查平方根的方法，可根据平方根的定义求解。

解：（1）∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，即±25=±5。

（2）∵（±0.7）2=0.49，∴0.49的平方根为±0.7，即±49.0=±0.7.（3）∵（±25）2=425=641，∴641的平方根为±25，即±416=±25。

（4）∵16=4，且（±2）2=4，∴16的平方根为±2。

针对性训练1：求下列各数的平方根（1）2.56 （2）12125 （3）9解：（1）±1.6 （2）±115（3）±3规律与方法：1.记住一个正数a 的平方根有两个，即±a 。

2.可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。

3.求形如16这样的数的平方根，应先将原数化为最简形式，再求平方根。

例2：求下列各式中的x 的值（1）9x 2-25=0， （2）4（2x-1）2=36解：（1）9x 2=25x 2=925∴x=±925=±35解：（2）（2x-1）2=436=9 ∴2x-1=±9=±3 ∴2x-1=3或2x-1=-3 即：x 1=2,x 2=-1 针对训练2：解方程（1）3 x 2=27 （2）4（x-1）2=9解：（1）x=±3 （2）x 1=25,x 2=-21 规律与方法：利用x 2=a,那么x=±a 求解。

平方根与立方根的计算平方根和立方根是数学中常见的运算，用于求一个数的平方根或立方根。

在实际应用中，这两个运算经常被使用到，例如在几何学、物理学、工程学以及计算机科学等领域。

一、平方根的计算方法平方根是指一个数的二次方等于该数的运算。

计算平方根可以应用多种方法，下面列举两种常用的方法。

1.1 近似法近似法是平方根计算中简单而常用的一种方法，特别适用于无理数、负数或无法采用其他方法计算的数。

例如，计算数x的平方根，我们可以先选择一个近似值y来逼近真正的平方根。

然后，通过反复迭代运算来逐步接近精确值。

可以使用以下迭代公式：y = (y + x/y) / 2通过多次迭代，最终得到的y就是数x的平方根的一个较好近似值。

这个方法的优点是容易计算，但缺点是收敛速度较慢，精度相对较低。

1.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更为精确的计算平方根的方法。

它基于泰勒级数展开，通过不断迭代逼近方程f(y) = 0的解。

迭代公式来逐步逼近真实的平方根：y = y - f(y)/f'(y)其中，f(y) = y^2 - x，f'(y)是f(y)的导数。

通过多次迭代，最终得到的y就是数x的平方根的一个较为精确的近似值。

牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，但计算复杂度相对较高。

二、立方根的计算方法立方根是指一个数的三次方等于该数的运算。

计算立方根的方法和计算平方根类似，下面介绍两种常用的方法。

2.1 近似法近似法也是计算立方根的一种常用方法，类似于平方根的计算。

以计算数x的立方根为例，假设我们选择一个近似值y，并通过以下迭代公式来逼近真实的立方根：y = (2*y + x/y^2) / 3通过多次迭代，最终得到的y就是数x的立方根的一个较好近似值。

这种方法的优点是简单易懂，但同样的，精度相对较低。

2.2 牛顿迭代法类似于计算平方根时的牛顿迭代法，我们可以利用牛顿迭代法来计算立方根。

迭代公式逐步逼近真实的立方根：y = y - f(y)/f'(y)其中，f(y) = y^3 - x，f'(y)是f(y)的导数。

【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。

=5，错误!未找到引用源。

=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

平方根与立方根的运算平方根与立方根是数学中常见的运算概念，用于求一个数的平方根或立方根。

在实际应用中，平方根与立方根的运算常常用于数值计算、统计分析和科学研究等领域。

本文将对平方根与立方根的运算方法进行详细介绍和分析。

一、平方根的运算1. 定义平方根是指一个数的平方等于这个数本身的非负实数解。

通常用符号√a表示，其中a为被开方数。

例如，√9 = 3，因为3 × 3 = 9。

2. 平方根的计算方法平方根的计算可以使用手算方法或计算器等工具进行。

以下是手算平方根的一种常见方法——牛顿迭代法：(1) 选择一个近似值x0，通常可以选择被开方数a的正平方根的整数部分作为近似值，即x0 = int(√a)。

(2) 计算下一个近似值xn+1 = (xn + a / xn) / 2，直到满足精度要求。

(3) 当xn+1和xn的差值小到满足精度要求时，xn+1即为被开方数a 的平方根。

3. 示例(1) 选择近似值x0 = int(√8) = 2；(2) 计算下一个近似值 x1 = (x0 + 8 / x0) / 2 = (2 + 8 / 2) / 2 = 2.5；(3) 当 x1 和 x0 的差值满足精度要求时，结束计算，√8 ≈ 2.5。

二、立方根的运算1. 定义立方根是指一个数的立方等于这个数本身的实数解。

通常用符号³√a 表示，其中a为被开方数。

例如，³√8 = 2，因为2 × 2 × 2 = 8。

2. 立方根的计算方法立方根的计算方法与平方根类似，可以使用手算方法或计算器等工具进行。

以下是手算立方根的一种常见方法——二分逼近法：(1) 选择两个数x1和x2，使得x1³ < a < x2³，并计算它们的平均值mid = (x1 + x2) / 2。

(2) 判断mid³与a的大小关系，若mid³ > a，则将x2替换为mid；若mid³ < a，则将x1替换为mid。

八年级平方根与立方根（教案）平方根与立方根第一课时平方根教学目的：1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。

学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。

教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。

本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。

2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。

教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。

例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。

这节课我们就要学习开方运算和平方根。

可以先预练1—20的平方计算。

二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算：4；(－4)；(23)；(0.8)；(－0.8)（2）如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？22222因为开方与平方是互为逆运算，所以适当进行平方运算的复习是必须的上面例子可以看到求一个数的平方根，可经转化为通2、知识形成：知识点一：2过乘方运算来求。

我们可以设这个数为某，则某＝16，问题归结为求某。

这个问题可以通过乘方运算来解决。

因为4＝16所以某＝4；又因为(－4)＝16，所以某＝－4。

4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)＝16。

因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。

概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。

就是说，如果某＝a,那么某就叫做a的平方根。

平方根与立方根的计算计算平方根和立方根是数学中一种常见的运算方法，通过计算可以得到一个数的平方根和立方根的值。

在数学中，平方根和立方根是指一个数的二次方和三次方的根。

一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方的根。

计算平方根的方法有多种，其中比较常用的方法有近似法和公式法。

1. 近似法近似法是一种通过逼近来计算平方根的方法。

例如，对于一个非负数x，可以通过以下步骤进行近似计算：步骤1：选取一个数a作为初始近似值。

步骤2：计算近似值的平方，判断近似值是否接近于x。

步骤3：如果近似值的平方与x相差较大，则调整近似值，并继续迭代计算。

步骤4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。

近似法可以通过逐步迭代来逼近平方根的真实值，但是该方法的计算效率相对较低，精度也有一定的限制。

2. 公式法公式法是一种通过数学公式来计算平方根的方法。

其中，最常用的公式是牛顿迭代法。

牛顿迭代法通过迭代来逼近平方根的值，公式如下：设f(x) = x^2 - a，其中a为待求平方根的数。

根据泰勒公式展开，得到f(x)在x0附近的近似式：f(x) ≈ f(x0) +f'(x0)(x - x0)令f(x) ≈ 0，得到x = x0 - f(x0)/f'(x0)将f(x) = x^2 - a代入上述公式中，可以得到如下迭代公式：x = (x0 + a/x0)/2通过不断迭代，可以逐步逼近平方根的真实值。

公式法相对于近似法而言，计算效率更高，精度也更高，但是需要一定的数学知识和计算工具的支持。

二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方的根。

计算立方根的方法也有多种，其中常用的方法有近似法和公式法。

1. 近似法近似法和平方根的计算方法类似，只是将二次方改成了三次方。

通过逐步逼近来计算立方根的值，可以得到一个近似结果。

2. 公式法公式法中，最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。

其中，牛顿迭代法的公式如下：设f(x) = x^3 - a，其中a为待求立方根的数。

第12章 数的开方§12.1 平方根与立方根课时1 平方根的有关概念和性质【要点提示】1．平方根的概念：若2x a =（a ≥0），则x 叫做a 的 ，表示为即x =，读作“正、负根号a ”。

例如：2(2)4±=，则±2叫做4的平方根。

2．算术平方根的概念：正数a 的 ，叫做a ，读作“根号a ”。

例如：正数49的平方根有7和－7两个，其中7叫做49的算术平方根。

3．平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为 ；（2）0的平方根为 ；（3） 没有平方根，因为 。

【名师解惑】例1 求下列各数的平方根及算术平方根：（1）9；（2）9116。

分析 求9的平方根，就是要想一想多少的平方会等于9。

解 （1）∵2(3)9±=，∴9平方根是±3，9的算术平方根是3。

（2）∵92511616=，而2525()416±=，∴9116平方根是±54，9116的算术平方根是54。

评注 带分数9116要先化成假分数2516，再想一想多少的平方会等于2516。

变式1 求下列各数的平方根及算术平方根：（1）1；（2）2(6)-。

【课堂练习】1．下列各数没有．．平方根的是（ ） A ．25 B 。

6 C 。

－1 D 。

14 2．下列说法不正确的是（ ）A ．表示25的平方根B 。

4的算术平方根是2C ．6没有平方根D 。

±8是64的平方根3．121的平方根是 ，因为 的平方等于121。

4．＝ 。

5．求下列各数的平方根及算术平方根：（1）81；（2）149。

【课时作业】【基础过关】1．16的平方根是（ ）A ．8B 。

4C 。

－4D 。

±42．下列各数没有平方根的是（ ）A ．8B 。

－22C 。

36D 。

1243．下列说法正确的是（ ）A ．一个数的平方根一定有两个B 。

10000的平方根是100C ．0的算术平方根是0D 2=±4．因为2()＝144，所以144的平方根是 .5．36的平方根是 ，算术平方根是 。

平方根与立方根的性质平方根和立方根是数学中常见的运算，它们具有一些特殊的性质和应用。

在本文中，将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及它们在数学和实际生活中的应用。

一、平方根的性质1. 定义：对于非负实数a，它的平方根是一个非负实数x，称为平方根，记作√a。

即x = √a，其中x ≥ 0。

2. 计算方法：平方根的计算可以通过开平方运算得到。

求一个数a 的平方根，就是求出一个实数x，使得x * x = a。

3. 平方根的性质：(1) 非负实数的平方根是唯一的，即没有两个不同的非负实数的平方等于同一个非负实数。

(2) 平方根运算具有封闭性，即对于任意的非负实数a和b，如果a、b的平方根存在，则a + b的平方根也存在。

二、立方根的性质1. 定义：对于任意实数a，它的立方根是一个实数x，使得x * x * x = a。

记作x = ∛a。

2. 计算方法：立方根的计算可以通过开立方运算得到。

3. 立方根的性质：(1) 任意实数的立方根不一定是唯一的，即同一个实数可能有多个立方根。

(2) 立方根运算具有封闭性，即对于任意实数a和b，如果a、b的立方根存在，则a + b的立方根也存在。

三、平方根与立方根的应用1. 平方根的应用：(1) 平方根广泛应用于几何学中的勾股定理。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于其两条直角边长度的平方根。

(2) 平方根也常用于计算机科学中的图像处理和数据压缩等领域。

2. 立方根的应用：(1) 立方根常用于立方体的计算。

例如，立方体的体积等于边长的立方，可以通过立方根运算得到边长。

(2) 立方根还用于统计学中的均值和方差的计算，帮助分析数据的分布情况。

四、总结平方根和立方根是数学中常见的运算，它们具有一些特殊的性质和应用。

平方根的计算可以通过开平方运算得到，而立方根的计算则需要进行开立方运算。

平方根和立方根的运算都具有封闭性，可以进行加法和其他运算。

在几何学、计算机科学和统计学等领域，平方根和立方根有着广泛的应用。

平⽅根与⽴⽅根学案12.1.1 平⽅根（第⼀课时）【平⽅根】如果⼀个数x 的平⽅等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平⽅根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平⽅根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：1.当a=0时，它的平⽅根只有⼀个，也就是0本⾝；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平⽅根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平⽅根。

例1.（1）的平⽅是64，所以64的平⽅根是；（2）的平⽅根是它本⾝。

（3）若x 的平⽅根是±2，则x=；的平⽅根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）⼀个正数的平⽅根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是？ 1、若x 2= a ，则叫的平⽅根，如16的平⽅根是，972的平⽅根是2、3±表⽰的平⽅根，12-表⽰12的3、196的平⽅根有个，它们的和为4、下列说法是否正确？说明理由（1）0没有平⽅根；（2）—1的平⽅根是1±；（3）64的平⽅根是8；（4）5是25的平⽅根；（5）636±=5、求下列各数的平⽅根（1）100 （2）)8()2(-?- （3）1.21 （4）49151◆典例分析例若42-m 与13-m 是同⼀个数的平⽅根，试确定m 的值●拓展提⾼⼀、选择1、如果⼀个数的平⽅根是a+3和2a-15，那么这个数是（）A 、49B 、441C 、7或21D 、49或441 2、2)2(-的平⽅根是（）A 、4 B 、2 C 、-2 D 、2± ⼆、填空3、若5x+4的平⽅根为1±，则x=4、若m —4没有平⽅根，则|m —5|=5、已知1-a 的平⽅根是4±，3a+b-1的平⽅根是4±，则a+2b 的平⽅根是三、解答题6、a 的两个平⽅根是⽅程3x+2y=2的⼀组解（1）求a 的值（2）2a 的平⽅根7、已知1-x +∣x+y-2∣=0 求x-y 的值12.1.1平⽅根（第⼆课时）【算术平⽅根】：（1）如果⼀个正数x 的平⽅等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平⽅根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开⽅数。

第1讲 平方根与立方根1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3. 了解立方根的含义；4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 知识点01 平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.考点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.【即学即练1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；目标导航知识精讲（3）0的平方根和算术平方根均为0．考点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【即学即练2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 知识点03 平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥知识点04 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.考点诠释：一个数a 3a a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.【即学即练3】下列语句正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0知识点05 立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.考点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.考点六、立方根的性质 33a a -=- 33a a =()33a a =考点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.【即学即练4】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-考法01 平方根与算术平方根意义和区别（1）4-是 的负平方根．（2）116表示 的算术平方根，116= ． （3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．能力拓展考法02 利用平方根解方程（鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．考法03 平方根的应用要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？考法04 立方根定义（吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0考法05 利用立方根解方程求出下列各式中的a：（1）若3a＝0.343，则a＝______；（2）若3a－3＝213，则a＝______；a-＝8，则a＝______．（3）若3a＋125＝0，则a＝______；（4）若()31考法06 立方根的应用在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒cm，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了量得铁块排出的水的体积为64316cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？9π题组A 基础过关练1. 4的平方根是（ ）A. ± 2B.-2C. 2D. 12± 2．下列各数中没有平方根的是（ ） A ．()23- B ．0 C ．81 D ．36- 3．下列说法正确的是（ ）A ．169的平方根是13B ．1.69的平方根是±1.3C ．()213-的平方根是－13D ．－（－13）没有平方根 4．下列结论正确的是（ ）A ．2764的立方根是34±B ．1125-没有立方根 C ．有理数一定有立方根D ．()61-的立方根是－1 5．-8的立方根是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．32-6.下列说法中正确的有（ ）个.① 负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是28,327±的立方根是23±⋅ ③如果()322x =-，那么x ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．A ．1B ．2C ．3D ．47. 要使代数式有意义，则的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ． 8.下列各等式中，正确的是（ ）A ．﹣()23-=﹣3B ．±23=3C ．（3-）2=﹣3D ．23=±3分层提分题组B 能力提升练1．计算：（1121=______；（2）256=______；（3）212=______；（443=______；（52(3)-=______；（6）124=______． 2．（安徽三模）若264a =3a =______． 3．－881______． 4.11125的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 52(4)-______81______．题组C 培优拔尖练1．求下列各数的立方根：(1)0.001；(2)－2764；2．已知4x －37的立方根为3，求2x ＋4的平方根．3．(1)已知31－a 2＝1－a 2，求a 的值；(2)若31－2x 与33x －5互为相反数，求1－x 的值．4．已知一个正数的两个平方根分别是2m ＋1和5－3m ，求m 的值和这个正数．5．已知2m ＋3和4m ＋9是一个正数的平方根，求m 的值和这个正数的平方根．6．已知2m ＋2的平方根是±4，3m ＋n ＋1的平方根是±5，求m ＋2n 的值．7.321a -313b -a b的值.8．已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．9．求下列各式中的x ．（1）21431x -=； （2）2410x -=； （3）24(2)25x +=．10．（福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．。

平方根与立方根知识点总结一、平方根1、定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。

也就是说，若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根。

例如，因为 3²＝ 9，所以 3 是 9 的平方根；又因为（－3)²＝ 9，所以－3 也是 9 的平方根。

2、表示方法一个正数 a 的平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”。

其中，“√”称为根号，a 称为被开方数。

例如，9 的平方根记作±√9 ＝ ±3。

3、性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。

比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。

（2）0 的平方根是 0。

（3）负数没有平方根。

这是因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。

4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。

开平方与平方互为逆运算。

例如，求 25 的平方根，就是求哪个数的平方等于 25，即±√25 ＝ ±5。

5、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。

例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。

算术平方根具有以下性质：（1）算术平方根具有非负性，即√a ≥ 0（a ≥ 0）。

（2）被开方数 a 也是非负的，即a ≥ 0。

二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。

即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根。

例如，因为 2³＝ 8，所以 2 是 8 的立方根；因为（－2)³＝－8，所以－2 是－8 的立方根。

2、表示方法数 a 的立方根记作“³√a”，读作“三次根号a”。

例如，8 的立方根记作³√8 ＝ 2。

3、性质（1）正数的立方根是正数。

比如 27 的立方根是 3，因为 3³＝ 27。

（2）负数的立方根是负数。

例如，－27 的立方根是－3，因为（－3)³＝－27。

第12章数的开方12、1 平方根与立方根1、平方根第一课时平方根一教学目标1．了解数的平方根的概念，会求某些非负数的平方根。

2．会用根号表示一个数的平方根、教学过程一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25、2.提出问题，探索解决问题的办法、(1)平方根的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根、问：有了这个规定以后，a是什么数?让学生思考、交流后回答：a是非负数、(2)在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根、问：25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25?(因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根)从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根)三、范例例1、求100的平方根、提问：(1)你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗?让学生讨论、交流后回答。

(2)你能正确书写解题过程吗?请一位同学口述，教师板书。

(3)l0和－l0用±10表示可以吗? 试一试(1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么?(3)425的平方根是什么?(4)0.81的平方根是什么?(5)－4有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答、总结四、课堂练习说出下列各数的平方根：1、642、0.253、49 81五、小结1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何?2、如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根?为什么?3、0的平方根有几个?是什么数?4、负数有平方根吗?为什么?六、作业习题12、1第1题、第二课时平方根二教学目标1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。