巧用极值不等式 定和求积觅极值

⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题 做了许多⾏测模拟题还是没有有效的提升⾃⼰的分数？那是你没有掌握⼀些技巧和重点，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题 极值问题在⾏测数学运算中被考察的⼏率很⼤，这类题⽬的解答⽅法⽐较多，对这类知识的考查也有可能会成为近⼏年的重点。

下⾯就讲解⼀下均值不等式解极值问题的应⽤。

⼀、什么是均值不等式 ⼆、均值不等式的应⽤ 1、和⼀定，求积最⼤。

由上述推论可知，当正实数a、b的和为定值时，a与b的乘积可取到最⼤值，当且仅当a=b时取到。

【试题再现】某苗⽊公司准备出售⼀批苗⽊，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗⽊单价每提⾼0.4元，就会少卖10000株。

问在最佳定价的情况下，该公司最⼤收⼊是多少万元?A.60B.80C.90D.100 【答案】C。

解析：总收⼊=售价×销量。

设最佳定价在4元每株的基础上提⾼0.4x元，则销量会在20万株的基础上少卖x万株故。

收⼊=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)。

求收⼊的最⼤值，即求(10+x)×(20-x)的最⼤值。

因为(10+x)+(20-x)=30，即(10+x)与(20-x)的和⼀定，当且仅当10+x=20-x，x=5时，(10+x)×(20-x)取到最⼤值(10+5)×(20-5)=225，故公司最⼤收⼊为0.4×225=90万元，选C。

2、积⼀定，求和最⼩。

由上述推论可知，当正实数a、b的乘积为定值时，a与b的和可取到最⼩值，当且仅当a=b时取到。

【试题再现】某村民要在屋顶建造⼀个长⽅体⽆盖贮⽔池，如果池底每平⽅⽶的造价为150元，池壁每平⽅⽶的造价为120元，那么要造⼀个深为3⽶容积为48⽴⽅⽶的⽆盖贮⽔池最低造价是多少元?A.6460B.7200C.8160D.9600 【答案】C。

利用均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常见的一种不等式形式，可以用于求解各种最值问题。

该不等式提供了一种有效的方法来估算函数的最大值和最小值。

均值不等式最常见的形式是算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意一组非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$其中，算术平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的和除以$n$，而几何平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的乘积开$n$次方。

均值不等式的证明可以通过数学归纳法和对数函数的单调性来完成，具体证明过程超出本文篇幅，不过可以查阅相关数学教材进行学习。

步骤1：确定题目要求求解的最值问题，明确自变量和因变量。

一般来说，最值问题都是求解一些函数的最大值或最小值。

步骤2：将问题转化为均值不等式的形式。

利用均值不等式，可以将函数中的一些项转化为均值的形式，进而简化问题求解过程。

步骤3：确定均值的形式。

根据函数中的项，可以选择合适的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。

步骤4：利用均值不等式进行变换。

将问题中的需要求解的部分，利用均值不等式进行变换，得到简化后的表达式。

步骤5：求解均值不等式中的最值问题。

根据均值不等式，可以得到简化后的表达式的最值。

具体求解方法，根据实际问题采取不同的手段，如求导法、取等法等。

步骤6：将最值结果回代到原始问题中。

将得到的最值结果回代到原始问题中，得到最终的结果。

下面通过一个简单的例子来说明利用均值不等式求最值的方法。

例题：已知$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，求$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。

解答：步骤1：确定题目要求求解的最值问题。

题目要求求解函数$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。

用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。

它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。

使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。

1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。

不同的均值不等式适用于不同的情况。

在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。

通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。

2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。

条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。

只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。

3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。

如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。

变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。

4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。

找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。

例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。

5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。

例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。

这样可以提高问题的求解效率和准确性。

综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。

同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。

巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。

本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。

一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。

推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。

2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。

对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。

注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。

3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。

二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。

本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。

1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。

解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。

用均值不等式求最值的若干技巧均值不等式当且仅当a＝b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。

对于有些题目，可以直接利用公式求解。

但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。

一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。

解析：由知，，用均值不等式求最大值，和一定是固定值或者乘积一定是固定值。

这是两个公式乘积的形式，但和不是固定值。

通知是一个固定值，所以只需给它加上一个系数。

当且仅当，即x＝2时取等号。

所以当x＝2时，的最大值为8。

总结:这个问题不能直接用均值不等式来解决，但是系数集合后可以得到和为定值，所以用均值不等式可以得到最大值。

2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。

解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。

∵∴当且仅当，即时等号成立。

总结:本题需要调整项的符号，匹配项的系数，使其乘积为定值。

3. 分离例3. 求的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离。

当，即(当且仅当x＝1时取“＝”号)。

当，即时(当且仅当x＝－3时取“＝”号)。

∴的值域为。

小结：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换例4. 已知，求的最小值。

解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。

当且仅当时取等号，由即时，的最小值为解法2：将分子中的1用代换。

小结：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的乘积是一个固定值，即平均不等式得到的最小值。

三、换元例5. 求函数的最大值。

解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号。

故。

总结:本题目通过换元法将问题简化，化为求大家熟悉的分式函数的最大值问题，从而为结构积为定值创造了有利条件。

四、取平方例6. 求函数的最大值。

解析：注意到的和为定值。

又，所以当且仅当，即时取等号。

故。

小结：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

均值不等式在解物理极值中的应用均值不等式：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即（a 1+a 2+…+a n ）/n ≥(a 1a 2…a n )1/n 当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。

一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。

常用的正数为两个和三个：如果a ，b 为正数，那么有：ab b a 2≥+ ，当且仅当a=b 时，上式取“=”号。

若两个正数的积一定，则两数相等时和最小；若两个正数的和一定，则两数相等时积最大。

如果a ，b ，c 为正数，则有33abc c b a ≥++，当且仅当a=b=c 时，上式取“=”号。

若三个正数的积则当三数相等时和最小；若三个正数的和一定则三数相等时积最大。

下面举例来说明利用均值不等式解决一些物理极值问题例1.某点电荷Q 分成q 和（Q-q ）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库仑力为最大值的条件是（ ）两电荷间库仑力F=k q （Q-q ）/r 2, q+（Q-q ）的和一定，当q=（Q-q ）时，库仑力F 才有最大值，例2.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。

假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（ ） a.地球与月球间的万有引力将变大 b.地球与月球间的万有引力将变小 c.月球绕地球做圆周运动的周期将变长d.月球绕地球做圆周运动的周期将变短地月间万有引力F=GMm/r 2，M+m 和一定，长时间地搬运，导致M 、m 的差值变大，即M 、m 的乘积变小，选b 。

例3：在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在离水面多高处，才能使得从小孔中喷出的水射程最远？解析：从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中水面离桌面高H ，小孔离水面为h ，如图1由机械能守恒定律易得从小孔射出的水流初速度为：gh 2v =从小孔喷出的水在空中运动时间为：g)h H (2t -=， 图1所以水的水平射程为：)h H (h 2g)h H (2gh 2vt x -=-⋅==， 因H )h H (h =-+是一定值，所以当h H h -=，即：2Hh =时，水平射程s 有极大值，其值为：H x max =例4. 如图2所示，为一稳压电路，电源电动势为E ，内阻为r ，负载电阻为R ，求当R 取何值时电源的输出功率为最大值，并求出最大值？图2解析：设电源的输出功率为P ，则有P E r R R E rRR r =+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++2222 因为(/)r R R r 22·=（定值），故当r R R 2/=时，即R r =时，r R R 2/+有最小值2r ，这时P 为最大值P max ，即P E rmax=24 例5、一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图3所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ…………①小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：221cos mv mgL =θ……………②解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θB)sin sin cos 2(21)sin cos 2(21sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅===y2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又由基本不等式abc c b a 3≥++知：当且仅当θθ22sin cos2=，y 有最大值33cos cos 1cos 222=-=θθθ：得由 ∴当33cos =θ时，y 及功率P 有最大值。

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式2 . 2®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时，号成立:2S + ZP)注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：②熟悉一个重要的不等式链：-A-<v^<—<丄+丄2a b一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升慕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点, 均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例1⑴当0 <4时，求y = x(8-2x)的最大值。

(2)已知0vxvl,求函数y = -疋一/+兀+1的最大值。

解:y = -x2(x + l) + (x + l) = (x + l)(l-x2) = (x + l)2(l-x)当且仅当¥ = l — x，即x = |时，上式取“二”。

故儿琢°评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。

例2 求函数y = x2>J\-x2 (0<x<\)的最大值。

27当且仅当斗=(1 —/),即x = £时，上式取“二”。

故儿瘁=半。

2 3 9② a + b> 2y[cib <=> ab <(a、beRJ当且仅当&二b时，“日号成立:③ / + + c' »3abc 0 abc < -_"十"3/ d+/? + C、< 3 >(A)a + b + c>3y/abc <^> abc<(a、b、cer),当且仅当a二b二c时，“才号成立:(a、b、cwRT•当且仅当a = b = c时，“〜‘号成立.一“正”、二“定”、三“等”;=4•凹・斗1_归2 2x+i A+i 厶x y〒+〒+(宀)33227评注：将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件例3已知0vx<2,求函数y = 6x（4-x2）的最大值。

运用均值不等式的八类配凑方法(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。

在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。

均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。

以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。

笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==。

因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。

故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()()()222222236418244y x x x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。

文章标题：深度剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在解决数学中的最值问题时，均值不等式是一种十分重要的工具。

通过合理运用均值不等式，我们可以更加简洁地解决各种最值问题。

在本文中，我们将深入探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并且通过具体的例子和理论分析，逐步揭示其中的奥妙。

1. 了解均值不等式的基本概念我们需要了解均值不等式的基本概念。

均值不等式是数学中的一个重要定理，它指出了若干个非负数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，而几何平均数又大于等于它们的调和平均数。

这一定理为我们解决最值问题提供了重要的数学基础。

2. 利用均值不等式求解具体问题接下来，我们将通过具体的例题来展示如何利用均值不等式来求解最值问题。

假设我们需要求解一个函数的最小值，而这个函数必须满足一定的条件。

这时，我们可以首先利用均值不等式对这个函数进行变形，使得我们可以更加方便地找到最小值点。

通过逐步展开和演算，我们可以将问题简化，最终得到最小值的具体解。

3. 回顾与总结在本文中，我们深入探讨了如何利用均值不等式来求解最值问题。

通过分析均值不等式的基本概念和具体应用，我们可以更好地理解这一数学工具的作用和价值。

通过丰富的例题和细致的论证，我们可以清晰地掌握利用均值不等式解题的思路和方法。

在我们的个人观点中，我们强调了均值不等式在解决最值问题中的重要性，并指出了在实际运用中需要注意的细节和技巧。

总结起来，通过本文的阅读，读者可以更加深入地理解利用均值不等式求解最值的思路，并且能够更加灵活地应用到具体的数学问题中。

希望本文能够为读者提供有益的启发和帮助，使他们在数学学习和解题过程中更加游刃有余。

深入剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在数学问题中，求最值是一个常见的问题。

而在解决最值问题时，均值不等式无疑是一个重要的工具。

它不仅可以帮助我们更加简洁地解决最值问题，还可以提高我们的解题效率。

在本文中，我们将进一步深入地探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并结合具体的例子和理论分析来展示其奥妙之处。

用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是数学中常用的一种求最值的方法和技巧，它通过将数列中各个数的和与它们的平均值相比较，从而得到最值的估计。

本文将详细介绍均值不等式的定义、性质、应用以及解题步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一重要的不等式求解问题。

一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类关于平均值的不等式，通常用来对一组具有其中一种关系的数值进行比较。

假设有n个非负实数a1、a2、…、an，则它们的平均值和它们的几何平均值之间存在以下关系：(a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 或(a1+a2+…+an)/n ≥(a1+a2+…+an)/n ≥ ∛(a1*a2*…*an)其中，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。

二、均值不等式的性质1.单变量均值不等式：对于任意n个非负实数a1、a2、…、an，有(a1^p+a2^p+…+an^p)/n ≥ [(a1+a2+…+an)/n]^p其中，p为实数且p≥12.双变量均值不等式：对于任意两个非负实数a和b以及实数p≥1，有[(a^p+b^p)/2]^1/p≥[(a^q+b^q)/2]^1/q其中，p≥q且p、q均不等于0。

3.形式化均值不等式：设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，则对于任意无穷个非负实数a1、a2、…，有f(∫(a1→∞)f(x)dx) ≤ ∫(a1→∞)f(x)dx/lna1其中，a1为自然对数的底数。

三、均值不等式的应用均值不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在求最值、证明不等式和优化问题中。

以下是几个常见的应用场景：1.证明不等式：通过应用均值不等式，可以证明很多重要的不等式，如柯西不等式、霍尔德不等式和克劳斯不等式等。

2.求极值：通过应用均值不等式，可以求解一些极值问题，如求最大面积、最小周长和最优化问题等。

3.优化设计：在工程和经济学中，均值不等式可以帮助优化设计，如在材料使用、成本控制和资源分配等方面。

用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。

一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。

一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。

2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。

三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。

2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。

浅谈定和求积觅极值极值问题是物理应用中常见问题之一，解决这类问题的方法有几种，如二次函数配方法、二次方程判别法、三角函数法、几何作图法，对于同一问题采取方法不同，其效果往往并一样。

数学中有两个重要极值不等式，它们是：（1）均值不等式为：（可变形为，当a=b时取等号）（2）重要不等式为：（可变形为，当a=b时取等号）在物理极值问题的讨论计算中恰当运用以上结论，是必简便快捷，现举几例。

【例1】一正方形木块边长为H，在其右上方做成一个1/4圆形光滑轨道，半径为R，让质量为M的小球从A点自由释放离开B点做平抛运动，问：（1）小球在B点时对轨道的压力多大？（2）要使小球平抛运动的水平射程最大，轨道半径R与H应满足怎样的关系？析与解：（1）小球从A点自由释放滑到B点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，，而小球在B点做圆周运动，所受支持力F与G应满足，由此得：支持力F=3mg，小球对轨道的压力为3mg;（2）小球从A点自由释放滑到B点的过程中，机械能守恒，小球离开B点时的速度为;小球离开B点之后做平抛运动，落地时间为，由此得：小球水平射程，由极值不等式有：当H-R= R时，即时，射程最大，最大射程为H。

【例2】如图所示，光滑水平面右端连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B 处后撤去外力，质点沿半圆轨道运动到C点处以正好落回A点，求：（1）推力对小球所做的功;（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最小？最小的功为多少？（3）x取何值时，完成上述运动所用的力最小？最小的力为多少？【析与解】（1）质点从半圆轨道运动又回到A点，设质点在C点的速度为vc，从C点运动到A点所用时间为t，则：在水平方向上x=vct，在竖直方向上2R=gt2/2，可得：，对质点从A到C由动能定理有：，解得：（2）由知，要使力F做的功最少，只需质点在C点速度最小，设质点恰好通过C点的速度为v，由牛顿第二定律得mg=mv2/R，则，则有，可得x=2R时，力F做的功最少，（3）由=Fx，得，由极值不等式有：当16R/x=x/R时，即x=4R时，力F最小，，最小的力为F=mg。

运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==。

因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。

故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。

当且仅当()2224x x=-，即x ==”。

故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。

二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。

解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。

利用均值不等式求解物理极值问题能够准确应用数学知识解决物理问题是物理考纲中对学生的五大能力要求之一，而这一能力的要求从没有降低过。

目前新课程的新课标依然如此。

应用数学基础知识解决物理问题的范围比较广泛，比如三角函数知识、二次函数知识、二次不等式知识、数学归纳法知识、数列知识、极限思想、几何知识等等。

下面我们就来看几例利用均值不等式求解物理极值的问题。

均值不等式：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。

一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。

例1某点电荷Q分成q和（Q-q）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库仑力为最大值的条件是（）库仑力F才有最大值，所以选A。

当然，解答此题的思路并不复杂，关键看学生有没有这种思维意识，否则就可能无从下手。

再如在天体运动中有这样一题：设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。

假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（）A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短长时间地搬运，导致M、m的差值变大，即M、m的乘积变小，选B。

例2（2008年衡水调研）如图所示，摩托车做腾空特技表演，以初速度v0冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出，若摩托车始终以额定功率P行使，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力的影响可忽略不计，求:当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远？例3（2008年重庆模拟）如图所示，长为L的轻质杆两端有质量均为m的两个相同的小球A和B，A靠在竖直墙上，B与地接触，两处均不计摩擦，开始时杆与水平面成60°角，放手后A下滑、B右滑，问：当杆与水平面角θ为多大时A 刚好脱离墙，此时VB多大？解析：A下滑、B右滑的过程，系机械能守恒，由守恒定律得：将VA，VB均向杆的方向投影，满足条件应有：VAsinθ=VBcosθ由上两式联立可得：令a=2sin60°-2sinθ；b=2sinθ；c=sinθ则a+b+c=2sin60°=常数，由均值不等式可知，当a=b=c时，abc有最大值，所以VB最大时A刚好脱离竖直墙壁。

利用均值不等式求最值的九种技巧您可能更想看…人教A版高中数学课标实验教科书《不...第二节不等式(组)第一节一元一次不等式不等式复习导引浅谈含参数的不等式问题不等式考点透析分类讨论法在解含参数的有理不等式时...谈不等式证明的几种特殊方法一元一次不等式复习指南不等式易错题剖解利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考.一、添、减项（配常数项）例1 求函数y=3x2+162+x2的最小值.分析3x2+162+x2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而12+x2可与x2+2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即y=3x2+6+162+x2-6，再用均值不等式.解x2+2＞0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6≥23(2+x2)·162+x2-6=83-6,当且仅当3(2+x2)=162+x2，即x2=433-2时,等号成立.所以y的最小值是83-6.评注为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.二、配系数（乘、除项）例2 已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.分析lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为3x·2y6，再用均值不等式.解x,y＞0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x·2y6≤lg163x+2y22=lg161222=lg6，当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时，等号成立.所以lgx+lgy的最大值是lg6.评注本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用ab≤a+b22来解决.三、裂项例3 已知x＞-1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.分析在分子的各因式中分别凑出(x+1)，借助于裂项解决问题.解x+1＞0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1=(x+1)+4x+1+5≥2(x+1)4x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.所以ymin=9.四、取倒数例4 已知0＜x＜12，求函数y=(x+1)2x(1-2x)的最小值.分析分母是x与(1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解由0＜x＜12，得1+x＞0，1-2x＞0.取倒数，得1y=x(1-2x)(1+x)2=13·3x1+x·1-2x1+x≤133x1+x+1-2x1+x22=112，当且仅当3x1+x=1-2x1+x，即x=15时，取等号.故y的最小值是12.五、平方例5 已知x＞0，y＞0，且2x2+y23=8，求 x6+2y2的最大值.分析条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式 x6+2y2平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.解(x6+2y2)2=x2(6+2y2)=3·2x21+y23≤32x2+1+y2322=3922，当且仅当2x2=1+y23，即x=32，y=422时，等号成立.故x6+2y2的最大值是923.评注本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为x2(6+2y2)，先配系数，再运用均值不等式的变式.六、换元（整体思想）例6 求函数y=x+22x+5的最大值.分析可先令x+2=t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.解令x+2=t，则t≥0，x=t2-2，则y=t2t2+1(t≥0).当t=0时，y=0；当t＞0时，y=12t+1t≤122t·1t=24.当且仅当2t=1t，即t=22时，取等号.所以x=-32时，y取最大值为24.七、逆用条件例7 已知1x+9y=1(x＞0,y＞0),则x+y的最小值是.分析直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求x+y的最小值.这时可逆用条件，即由1=1x+9y，得x+y=(x+y)1x+9y，然后展开即可解决问题.解由x＞0，y＞0，1x+9y=1,得x+y=(x+y)1x+9y=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16，当且仅当yx=9xy，即x=4，y=12时，等号成立.故x+y的最小值是16.评注若已知x＞0，y＞0，x+y=1(或其他定值)，要求1x+9y的最大值，则同样可运用此法.八、巧组合例8 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4- 23,求2a+b+c的最小值.分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a+b≥ 2ab来解决.换个思路，可考虑将2a+b+c重新组合，变成(a+b)+(a+c)，而（a+b）(b+c)等于定值4-23，于是就可以利用均值不等式了.解由a,b,c＞0，知2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2(a+b)(a+c)=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2，当且仅当b=c,即b=c=3-1-a时，等号成立.故2a+b+c的最小值为23-2.九、消元例9 （2008年江苏卷）设x，y，z为正实数，x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是.分析本题也是三元式的最值问题.由题意得y=x+3z2，则可对y2xz进行消元，用x，z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.解由x,z＞0,y=x+3z2，可得y2xz=x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，当且仅当x=3z，即x=y,z=y3时，取“=”.故y2xz的最小值为3.巩固练习1. 当0＜x＜π2时，f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为.2. 若x,y是正数，则x+12y2+y+12x2的最小值是.3. 已知对于x,y∈R且x＜y,不等式x+y≤ax+y恒成立，求实数a的最小值.4. 如右图，要设计一张矩形广告，该广告要包含左右两个全等的矩形栏目（即右图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为18 000cm2，四周空白的宽度均为10cm,中缝空白的宽度为5cm,怎样确定该广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,才能使该广告的面积最小？（参考答案见第41页）。

巧利用均值不等式求最值肥城市泰西中学 刘鑫迪利用均值不等式求最值是历年高考的热点内容之一。

利用均值不等式求最值所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”。

当这些条件不完全具备时，需要通过巧妙变换，凑成“定和”或“定积”，从而使其具备相应的条件。

下面结合我在学习中的体会谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，与大家共勉。

技巧一、直接利用基本不等式求最值.例1：（2014山东理）若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 。

解：将62)(xb ax +展开，得到r r r r r x b a C T 312661--+=，令3,3312==-r r 得.由203336=b a C ，得1=ab ，所以2222=≥+ab b a . 技巧二、凑项法（和为定值或积为定值）例2： 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值.分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y 是否定值， 而已知是3x 与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为62x 3y ⋅，再用均值不等式. 解 x,y ＞0，lgx+lgy=lg(xy)=lg 62x 3y ⋅≤lg[2)22x 361y +⋅（]=lg[2)212(61⋅]=lg6， 当且仅当3x=2y ，即x=2，y=3时，等号成立.所以lgx+lgy 的最大值是lg6.例3：（2016山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2（tanA+tanB ）=+．（△）证明：a+b=2c ；（△）求cosC 的最小值．解：(1)略 (2)由（1）得c=2a b +,所以cosC=2141)(832)2(2222222≥-+=+-+=-+a b b a ab b a b a abc b a , 当且仅当a=b 时，等号成立.故cosC 的最小值为21. 技巧三、巧用“1”代换例4：（2015福建文）若直线1=+b y a x （a ＞0，b ＞0）过点（1,1），则a+b 的最小值等于 A.2 B.3 C.4 D.5解：△直线=1（a ＞0，b ＞0）过点（1，1），△+=1（a ＞0，b ＞0），∴ a+b=（+）（a+b ）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号， △a+b 最小值是4， 故选：C ．技巧四、利用函数单调性求最值.例5：求函数2y =的值域。