2020届吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学高三12月联考数学（理）试题一、单选题1．若集合1282x M x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}2760N x x x =-+<，则M N =I （ ） A ．{}13x x -<<B ．{}36x x <<C ．{}16x x <<D ．{}13x x <<【答案】D【解析】先解不等式求出集合M 和N ,再根据交集的运算求出M N ⋂. 【详解】解:∵{}128132x M xx x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭,{}{}276016N x x x x x =-+<=<<, ∵{}13M N x x ⋂=<<.故选:D . 【点睛】本题考查了交集的运算,指数不等式和一元二次不等式的解法,属基础题.2．若实数a ，b 满足01a <<，11b -<<，则2a b -的取值范围是（ ） A ．()2,3- B ．()3,2- C ．()2,3 D ．()2,2-【答案】A【解析】先求出-2b 的范围,再根据不等式的性质求出a -2b 的范围. 【详解】解:∵11b -<<,∵222b -<<,∵222b -<-<. 又∵01a <<,∵223a b -<-<, ∵2a b -的取值范围(-2,3). 故选:A . 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属基础题.3．若0a b >>，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．11a b< B ．11a b> C ．22a b > D ．22a b <【答案】B【解析】根据0a b >>,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项. 【详解】解:∵0a b >>,∵11a b>,∵B 正确,A 错误; 取1a =,1b =-,则22a b =,故CD 错误. 故选:B . 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属基础题.4．关于“4a b +=，则a ，b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（ ）A ．原命题为真，逆命题为假B ．原命题为假，逆命题为真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题【答案】D【解析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题. 【详解】解:若 1.9a =, 2.1b =,则4a b +=,故原命题为假; 若2a =, 2.1b =,则4a b +≠,故其逆命题为假. 故选:D . 【点睛】本题考查了命题真假的判断,关键是根据条件举出反例,属基础题.5．若数列1,2,5,8,11,,x -⋅⋅⋅中的项按一定规律变化，则实数x 最有可能的值是（ ） A ．12 B ．13 C ．14D ．15【答案】C【解析】根据数列前几项可知,数列满足从第二项起,每一项与其前一项的差都为3,从而得到x 的可能值. 【详解】解:根据数列1,2,5,8,11,,x -⋅⋅⋅可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于3, ∵11314x =+=. 故选:C . 【点睛】本题考查了归纳推理和等差数列的定义,属基础题.6．已知平面向量()sin ,2019a θ=r ，()cos ,2020b θ=r ，若//a b r r，则tan θ=（ ）A ．20192020B ．20202019C ．20192020-D ．20202019-【答案】A【解析】根据//a b r r可得2020sin 2019cos 0θθ-=,然后根据商数关系求出tan θ的值. 【详解】解:∵//a b r r,∵2020sin 2019cos 0θθ-=,∵sin 2019cos 2020θθ=,∵2019tan 2020θ=. 故选:A . 【点睛】本题考查了向量平行和商数关系,属基础题.7．若实数x ，y 满足8x y +=，则22xy +的最小值是（ ）A ．8B ．32C ．16D ．4【答案】B【解析】由8x y +=,利用均值不等2x y +≤可求出22x y +的最小值. 【详解】解:∵8x y +=,∵由2x y +≤得222232x y +≥==,当且仅当4x y ==时等号成立,∵22xy +的最小值是32.故选:B . 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值,考查了转化思想,属基础题.8．若实数x ，y 满足不等式组202030x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则24x y 的最大值为（ ）A ．3-B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】根据约束条件202030x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,画出可行域,然后求出2x y -的最大值,即可得到24xy的最大值. 【详解】解:2222242xxx y y y -==,不等式组202030x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,∵表示的平面区域如下图所示:令2x y z -=,则1122y x z =-,据图可知,当0x =,0y =时,z 取得最大值, 即max 0200z =-⨯=,∵()max 20x y -=,∵0max2214x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选:C . 【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,考查了转化思想和数形结合思想,属基础题. 9．已知二次函数()f x 满足()()33f x f x +=-，若()f x 在区间[3,)+∞上单调递减，且()()0f m f ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,6]C ．[6,)+∞D ．(,0][6,)-∞+∞U【答案】B【解析】设()()2,,,0f x ax bx c a b c R a =++∈≠且,根据()()33f x f x +=-可得60a b +=,再根据()f x 在区间[3,)+∞上单调递减,可知0a <,进一步求出()()0f m f ≥恒成立时,m 的取值范围.【详解】解:设()()2,,,0f x ax bx c a b c R a =++∈≠且,∵()()33f x f x +=-,∵()()()()223333a x b x c a x b x c ++++=-+-+, ∵()60x a b +=,∵60a b +=,∵()()22639f x ax ax c a x a c =-+=--+.又∵()f x 在区间[3,)+∞上单调递减,∵0a <,∵()f x 是以3x =为对称轴,开口向下的二次函数, ∵由()()0f m f ≥恒成立,得06m ≤≤, ∵实数m 的取值范围[0,6]. 故选:B . 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质和不等式恒成立问题,属基础题.10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯B ．n T n =C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数【答案】A【解析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T . 【详解】解:∵2n S n =,∵当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∵21n a n =-, ∵()()()1121nnn n b a n =-=--,∵()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--∵,∵()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--∵,∵-∵,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∵()1nn T n =-,∵数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.11．函数()2xe f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对f (x )求导,判断其单调性,然后结合0x <时,()0f x <,0x >时,()0f x >选出正确答案. 【详解】解:由()2x e f x x =,得()()22222212'(0)xx x e x xe e f x x x x--==≠, 令()'0f x =,则12x =,∵当x <0或102x <<时,'()0f x <;当12x >时,'()0f x >, ∵()f x 在(),0-∞和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增, 又当0x <时,()0f x <;当0x >时,()0f x >,且122f e ⎛⎫=⎪⎝⎭. 故选:C . 【点睛】本题考查了根据函数的解析式确定函数的图象和利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,属中档题.12．下列表述正确的是（ ）①()()min 4lg 41,20lg x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭；①若0a b >>，则ln0ba<； ①若x ，y ，z 均是正数，且3412x y z ==，()(),1x yn n n N z+∈+∈，则n 的值是4；①若正实数x ，y 满足1915x y x y++=+，且1x y +≤，则x ，y 均为定值A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】D【解析】利用基本不等式和不等式的基本性质分别判断各项即可. 【详解】解:∵当1x >时,lg 0x >,则4lg 4lg x x +≥=, 当且仅当4lg lg x x =,即100x =时取等号,故min4lg 4lg x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵()1,20x ∈,∵当()1,20x ∈时,4lg 4lg x x+>,故∵不正确; ∵若0a b >>,则01b a <<,则ln 0ba<,故∵正确; ∵令3412x y z k ===,则3log x k =,4log y k =,12log z k =,∵111x y z +=,∵1x y xy z +=,∵()22x y x y x y z xy y x++==++.∵43y x =,0x >,0y >,∵20y x >>且0y x <<,∵112y x >>. 设y t x =,则12x y t z t+=++, 又∵()(),1x yn n n N z+∈+∈,∵4n =,故∵正确; ∵()19910y xx y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭,∵0x >,0y >,∵()1916x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.∵01x y <+≤,∵1916x y +≥,又1915x y x y ++=+,∵191516x y x y++=+=,解方程组11916x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,得1434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故∵正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式的基本性质,考查了转化思想和方程思想,属中档题.二、填空题13．若数列{}n a 满足1111n na a +=-，23a =，则2020a =__________．【答案】3【解析】根据1111n na a +=-可得2n n a a +=,从而得到202023a a ==. 【详解】解:∵1111n na a +=-,∵1111n na a +=-, ∵1111n n a a ++=,∵12111n n a a +++=, ∵2n n a a +=,又23a =, ∵202023a a ==. 故答案为:3.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列中某一项的值,属基础题.14．若函数()21,01,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则不等式()2f a <的解集是__________．【答案】()1,3-【解析】根据()2f a <,分0a ≥和0a <两种情况解不等式即可.【详解】解:当0a ≥时,由()2f a <,得12a -<,∵03a ≤<; 当0a <时,由()2f a <,得212a +<,∵10a -<<, 综上,不等式的解集为()1,3-.故答案为:()1,3-.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了分类讨论思想,属基础题.15．已知函数()f x 满足()()10f x f x +=，若()11f =，则不等式()231log f x >的解集为__________． 【答案】()0,2【解析】根据()()10f x f x +=知,f (x )的周期为10,从而得到()31(1)f f =,再根据()11f =,解出不等式()231log f x >即可.【详解】解:∵()()10f x f x +=,∵f (x )的周期为10,又()11f =,∵()()()()()()()3121102111101111011f f f f f f f =+==+==+==, ∵由不等式()231log f x >,得21log x >,∵02x <<, ∵不等式的解集为()0,2. 故答案为:()0,2.【点睛】本题考查了函数的周期性和对数不等式的解法,考查了转化思想,属基础题.16．已知以区间()0,2上的整数为分子，以2为分母的数组成集合1A ，其所有元素的和为1a ；以区间()20,2上的整数为分子，以22为分母组成不属于集合1A 的数组成集合2A ，其所有元素的和为2a ；……依此类推以区间()0,2n上的整数为分子，以2n为分母组成不属于1A ，2A …1n A -的数组成集合n A ，其所有元素的和为n a ，若数列{}n a 前n 项和为n S ，则20202019S S -=__________．【答案】20182【解析】根据题意可得1231221222n n n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,从而得到n S ,然后求出2020S -2019S 即可. 【详解】解:据题意,得112a =,21222221312322222a a ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭,()33213331221222a a a ⎛⎫-=++⋅⋅⋅+-+ ⎪⎝⎭,…,()()12112212222n n n n n n a a a a n -⎛⎫-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++≥ ⎪⎝⎭,∵1231221222n n n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+212n -=, ∵123212n n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+=,∵202020192018202020192121222S S ---=-=.故答案为:20182. 【点睛】本题考查了数列前n 项和的求法和归纳推理,考查了计算和推理能力,属中档题.三、解答题17．已知函数()()sin 2,,06f x a x a b a b R a π⎛⎫=--+∈< ⎪⎝⎭且. （1）若当[0,]2x π∈时，函数()f x 的值域为[5,1]-，求实数a ，b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心.【答案】（1）4a =-，5b =-；（2）(),1212k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭【解析】(1)根据[0,]2x π∈求出f (x )值域,再结合()f x 的值域为[5,1]-得到关于a ,b 的不等式,然后求出a ,b 即可;(2)根据(1)求出f (x )的解析式,再根据正弦函数的对称中心,利用整体法求出f (x )的对称中心. 【详解】解:(1)∵02x π≤≤,∵52666x πππ-≤-≤,∵1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又∵0a <,∵sin 2,62a a x a π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ∵3sin 262b a x a b a b π⎛⎫≤--+≤-+ ⎪⎝⎭, ∵函数()f x 的值域为[5,1]-,∵5b =-,312ab -=, ∵4a =-,5b =-.(2)由(1)知,()4sin 216f x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭, 令()26x k k Z ππ-=∈,则()212k x k Z ππ=+∈, ∵在(1)条件下,函数图像的对称中心为(),1212k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的值域和三角函数对称中心的求法,考查了整体思想和方程思想,属中档题.18．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
