[推荐学习]2018版高中数学第二章函数2.2.3待定系数法学案新人教B版必修1

2.2.3 待定系数法教学教学建议1.待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确地列出含有未定系数的等式.运用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些特定的系数,转化为方程组来解决.要判断一个问题是否可用待定系数法求解,主要看这个数学问题是否具有某种确定的数学表达形式.例如,一次函数y=kx+b(k≠0)、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的性质都与它们的系数有关,故在研究含有字母系数的问题时,常常要用到待定系数法.在这里主要通过一次函数、二次函数求解析式的练习,广泛开展讨论加以体会、总结,逐步形成完整的知识结构.2.待定系数法的理论依据是多项式恒等原理：如果多项式f(x)与g(x)恒等〔即f(x)≡g(x)〕,则对于任意一个a 值有f(a)≡g(a);两个化成标准形式的多项式中各同类项的系数对应相等.如f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=(a+b)x 2+(a-1)x,若f(x)≡g(x),则有⎩⎨⎧==g(0)f(0)g(1)f(1)或⎪⎩⎪⎨⎧==+=0.c 1,-a b b,a a 3.使用待定系数法解题的基本步骤:第一步,设出含有待定系数的解析式.第二步,根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组(有时用赋值法,有时用对应项系数相等法,大多用后一种方法).第三步,解方程或方程组或消去待定系数从而使问题获解.备用习题1.已知函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象经过点(-1,3)和(1,1),若0<c<1,则实数a 的取值范围是( )A.［2,3］B.［1,3］C.(1,2)D.(1,3)解析：⇒⎩⎨⎧=++=+1c b a 3c b -a a+c=2⇒c=2-a. ∵0<c<1,∴0<2-a<1.∴1<a<2.故选C.答案：C2.已知a>0,a-b+c<0,其中a,b,c 均是实数,则一定有( )A.b 2-4ac>0B.b 2-4a c≤0C.b 2-4ac<0D.b 2-4ac≥0解析：令f(x)=ax 2-bx+c.又a-b+c<0,则f(1)=a-b+c<0,且a>0,于是f(x)=ax 2-bx+c 与x 轴有两交点,所以Δ=b 2-4ac>0,故选A.答案：A3.阅读下面文字后解答问题.有这样一道题目:“已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,a)、B(1,-2),_______,求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”请你根据已有的信息,在原题中的横线上添加一个适当的条件,把原题补充完整.解析：根据条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+∙+∙=∙+∙.22,211,0022ab c b a a b a解之,得⎪⎩⎪⎨⎧===1.c -4,b 1,a∴二次函数为y=x 2-4x+1.根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可.例如c=1或b=-4;经过点(-1,6)或(4,1)或(2,-3)等等即可.说明:本题是一个条件开放题,所填答案不唯一,只需写出一个符合题意的答案即可,实际上先求出二次函数的解析式后,再去寻求条件就容易多了.4.已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0且bc≠0),(1)若｜f(0)｜=｜f(1)｜=｜f(-1)｜=1,试求f(x)的解析式;(2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x 轴上截得的弦的长度为l,且0<l≤2,试确定c-b 的符号.解析：(1)由已知｜f(1)｜=｜f(-1)｜,有｜a+b+c ｜=｜a-b+c ｜,(a+b+c)2=(a-b+c)2.可得4b(a+c)=0.∵bc≠0,∴b≠0.∴a+c=0.又由a>0,有c<0,∵｜c ｜=1,于是c=-1,则a=1,｜b ｜=1.∴f(x)=x 2±x -1.(2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0,有2a+b=0,由于a>0,于是b<0.设方程f(x)=0的两根为x 1、x 2,∴x 1+x 2=a b -=2,x 1·x 2=ac , 则｜x 1-x 2｜=212214)(x x x x ∙-+=.44a c ∙- 由已知0<｜x 1-x 2｜≤2,∴0≤a c <1. 又a>0，bc≠0,∴c>0.∴c -b>0.。

待定系数法、 教学目标1、知识目标： 使学生掌握用待定系数法求解析式的方法；2、能力目标： (1)尝试设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；(2)培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。

3、情感目标：(1) 通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； (2) 通过合作学习，培养学生团结协作的品质。

、教学重点与难点重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。

三、教学方法求 a,h.采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法； 讨论和交流， 并通过创设情境，让学生自主探索。

四、教学过程 教学教学内容 环节 复习 1、正比例函数、一次函数的几析式？ 弓|入2、正比例函数、一次函数的几析式中 教学中通过列举例子，引导学生进行各有几个需要确定的系数? 师生互动 教师通过多媒 体展示问题，学 生思考后回答•定义：在求一个函数时，如果已知这个函数的一 般式，可以先把所求函数 设为一般式，其中系数待定，然 后根据题设条件求出这些待定系数的方法叫待定系数法. 例：二次函数的运用 已知二次函数 f(x ), f ( 0) =-5,f(-1)=-4,f(2)=5, 求这个函数运用待定系数法解题步骤: 第一步：设出适当含有待定系数的解析式； 第二步：根据已知条件，列出含有待定系数的方程组; . 第三步：解方程组，或消去待定系数，进而解决问题 概念 形成 二次函数在待定系 数法中的设法： 学生分组讨论 并总结.设法1：已知顶点坐标(m,n ),可设y=a (x m)2 n 2,再利用一个独立条件，求a. 设法2：已知对称轴x=m,设y a(x m)2b.利用两个独立条件求a,b.每种结论给出 相应练习.设法3：已知最大或最小值 n ,可设y a(x h)2 n ,利用两个独立条件,XX设法4:二次函数图像 与x 轴有两个交点时，设 y (x xj(x x 2),再利用一个独立条件求 a.练习: 求下列二次函数的解析式学生到黑板板①经过三点(3，0),( 0，-3)，( -2，5)演.②顶点(4,2),(2,0) 在图像上③yx 2 4x h 的顶点在y4x1上概念给疋哪些条件，才能求出一个具体的二次函数.学生分小组讨 深化论，进行探索与研究.应用 一根弹簧原长是 12厘米，它能挂的重量不超过 15kg ,并且每挂重量 1kg 例题由学生扮 举例就伸长0.5厘米，挂后的弹黄长度 y(cm)与挂重 (kg )是一次函数的关系.演完成，对出现 (1) 求y 与x 的函数解析式；的问题及时给(2)求自变量x 的取值范围；予纠正。

必修1 《2.2.3 用待定系数法求函数解析式》教学设计一、指导思想与理论依据（一）指导思想．本次课的教学设计以新课程标准关于数学教学的核心理念为基本遵循，坚持以教师为主导，以学生为主体，以培养能力为基准，采取符合学生学习特点的多样式的学习方法，通过教学内容和教学过程的实施，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，促进学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．基本依据，主要把握了两个方面的理论：1、新课程标准关于数学整体性的理论．教学中注意沟通各部分之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．2、新课程标准关于教师教学的理论．教师应该更加关注：1）科学的基本态度之一是疑问，科学的基本精神之一是批判．要注意培养学生科学的质疑态度和批判性的思维习惯；2）提出问题是数学学习的重要组成部分，更是数学创新的出发点．要注意培养学生提出问题的能力；3）在教学中更加关注学生知识的储备、能力水平、思维水平等；4）关注学生的学习态度、学习方法、学习习惯，在思维的最近发展区设计教学内容．二、教学背景分析（一）学习内容分析《用待定系数法求函数解析式》，选自普通高中课程标准实验教材数学必修1第2章第2节．“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中阶段学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式；在高一阶段学生进一步学习用待定系数法求函数的解析式，在高二和高三阶段待定系数法还会在数列求和、复数和解析几何中求圆锥曲线方程等内容中进一步涉及．因此这节课的学习既是初中知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用．另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用．（二）学生情况分析对于高一年级学生来说，在初中的时候，学生对于用待定系数法求函数解析式的方法已经有所认识，他们已经积累了一定的学习经验．在高一学习完函数后继续学习用待定系数法求函数解析式，学生已经具备了更多的函数知识，同时，高一的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题能力和创新意识，这些对本节课的学习都很有帮助.在今后高中的数学学习中，学生还会继续运用待定系数法解决相关问题．新课标对学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有了更高的要求，在教学中还有待加强相应能力的培养．（三）教学方式与教学手段、技术准备以及前期的教学状况、问题、对策说明针对这节课的特点，本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法．为了在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，我设计了环环相扣的问题，将探究活动层层深入，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历知识形成的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题．围绕本节课所学知识，我设置具有挑战性的开放型问题，采用让学生多角度地自己给出合适的已知条件，并自己解决问题的教学模式，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力．高一的学生在初中已经具备了一定的数学基础，但他们还缺乏体验数学发现和创造的历程，缺乏对知识的更加深刻的认识和理解．在这节课的课堂教学过程中，我通过精心设计问题情境，鼓励学生积极参与数学活动，通过课上积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化和顺应，深化思维，使学生既有参与的机会，又有拓展、探索的余地，在获得必要发展的前提下，不同的学生能获得不同的体验．通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法．在教学手段方面，我采用多媒体课件辅助教学．三、教学目标设计（一）知识与能力目标：会用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式；（二）过程与方法目标：通过用待定系数法求函数的解析式，培养学生运算准确的数学能力，体会方程思想；在学生编设问题、根据条件列出方程的过程中，培养学生灵活运用所学知识处理信息、分析问题、解决问题的能力．（三）情感与态度目标：使学生经历把运用知识自己设置问题、处理问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，在设置问题和解决问题的过程中获得成功的体验，在学习他人、借鉴他人的过程中感受合作和分享的快乐．正确合理地编设问题，用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式是本节的重点也是难点．四、教学过程与教学资源设计教学过程共分为五个阶段（环节）：1、创设情境启迪思维2、深入探究获得新知3、自主学习拓展提高4、合作共享拓宽思维5、小结反思提升认知教学设计流程图如下：教学过程流程（一)“创设情境启迪思维”阶段1．本阶段需要解决的主要问题复习初中学过的用待定系数法求函数解析式的基本方法，即根据条件设出函数的解析式，再根据条件列出方程并解方程．2．具体教学安排教师通过提问：我们学过了几种函数？它们的解析式各是什么？使学生熟悉今天要用的知识.然后继续用学生熟悉的两个问题将学生引入到本节课要学的知识中：问题1、已知一个正比例函数图象点(1,3)，求这个函数的解析式．问题2、已知一个反比例函数图象过(1,3),求这个函数的解析式．问题给出后，学生回答，老师板书解题过程.同时总结学生的解题思路. 回顾初中学过的待定系数法——先根据条件设出函数的解析式，再根据条件列出方程．设计意图设计问题1和问题2的目的：两道题设计了相同的已知条件，不同的结论，目的是使学生不去关注点的坐标的变化，而是将注意力转移到函数解析式的变化上，为后面的问题的深化埋下伏笔．通过旧有的知识引出新的问题，引导学生在不知不觉中将新知识纳入到旧有的知识网络系统之中，促进学生对新知识的掌握．（二)“深入探究获得新知”阶段1．本阶段需要解决的主要问题这个阶段的教学是本节课的重点内容之一，通过引入两个与前面的例题条件相同，但结论不同的例题，使学生思考，质疑后得出需添加条件，使学生理解待定系数的个数与条件之间的内在联系．探究待定系数法的本质．2．具体教学安排问题3、已知一个一次函数图象过(1,3),试求这个函数解析式.在给出问题3的时候，学生在思考后产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是老师将题目出错了？最后学生意识到：要想解出这个问题，还差一个条件！针对学生的质疑，我设计了三个问题：问题一：“题目哪里出错了？”学生回答：“只给了一个条件，还差一个条件”问题二：“为什么解不出来？”学生回答：“因为一次函数有两个待定系数，而题目只给了一个条件”问题三：“待定系数的个数与已知条件有什么关系？”学生回答：“有几个待定系数，就得有几个条件”进行完上面的讨论后，学生已经对待定系数的个数与条件个数之间的关系有了较为清楚的认识．然后，我将问题改成：“请你添加合适的条件,能使问题解出.”结合学生添加的条件，老师选一道详细板书，同时引导学生归纳待定系数法的解题步骤（设解析式，列方程或方程组，解列方程或方程组），强化解题步骤，形成并提高解题能力．设计意图：设置知识的冲突，由已知条件和所求问题的矛盾引发学生思维的冲突，吸引学生的注意力，在学生的关注中突破重点，并通过质疑引发争论猜测，激发、调动学生学习的积极性和课堂参与的深度．通过问题的创设，使学生自主地意识到待定系数的个数与条件是之间的关系，深刻体会待定系数法解题的关键所在. 培养学生在学习中发现问题解决问题的能力．问题4、已知一个二次函数图象过(1,3), 试求这个函数解析式.由于有了前一个问题的铺垫，学生很快就意识到要想解出问题还需要添加两个条件，在这个环节我设计的问题是：“为什么要再添加两个条件？条件的个数与什么有关？”通过这个问题进一步引导学生揭示待定系数法的本质，学生通过提问领悟到两点：(1)待定系数的个数与已知条件个数之间的一致性；(2).待定系数法的核心就是方程思想的运用．在进行了上面的讨论后，我请学生自己添加合适的条件,能使问题解出．学生编的问题：1、已知一个二次函数图象过(1,3), 对称轴是x=1，顶点是（1，2），求这个函数解析式.学生编的这道题，暴露了这名学生在学习中的问题——对函数的定义理解不够，这也是学生在学习函数时常见的问题．结合这个学生所编的题，指出了问题所在——条件“图象过(1,3), 顶点是（1，2）”，说明当ｘ＝１时，对应着两个函数值3和2，这不符合“对于任意的ｘ，都有唯一的函数值y与之对应”的函数的定义．在我的启发下，这个学生将问题纠正为：已知一个二次函数图象过(1,3), 对称轴是x=2，顶点是（2，2），试求这个函数解析式．我没有马上指出学生出现的问题，而是让这个学生说出解题过程，我在黑板上板书．解：设函数的解析式为在这里我提出问题：条件中对称轴是x=2还没有用，题目就解出来了，说明什么？通过这个问题，引导学生明确：在用待定系数法求函数解析式的时候，所给的条件应该是独立的条件，顶点是（2，2）这个条件中就已经包含对称轴是x=2这个条件了，所以说，对称轴是x=2不是独立条件．在我的在此启发下，学生将问题改为：已知一个二次函数图象过(1,3), 顶点是（2，2），试求这个函数解析式．学生编写的另外两道题：2、已知一个二次函数图象过(1,3),与x轴交点坐标是（2，0），（5，0），试求这个函数解析式.3、已知一个二次函数图象过(1,3) , 过点（-3，3），（3，6），试求这个函数解析式.学生口述解体过程，老师在黑板上板书．学生设计的问题2和3，利用了二次函数的双根式和一般式求解．学生口述解体过程，我在黑板上板书．总结完学生编写的问题后，我向学生提出了了新的问题：4道题中，给出的相同的条件“函数的图象通过点(1,3)”还有什么其他的表达方法？设计意图：考虑到学生设计的问题中的条件用到的都是初中的知识形式，为了引导学生在旧有的知识背景下能运用高中的新知识，我在这个环节设计了问题：将“函数的图象通过点(1,3) ”这个条件换成另外的描述方法，引导学生得到另外的三种表示方法1：当x=1时y=3；2：图象形式给出；3：f(1)=3，我想通过这个问题，引导学生由初中的知识向高中的新知识、新记号靠拢，加强学生对新的函数符号的应用，巩固学生在思维最近发展区的新知．同时，想通过这个问题，使学生对同一个对象能从不同的角度角度认识，去描述，培养学生的认知能力．通过把问题深入，为下一个环节做好知识的铺垫．然后，我让学生用自己的语言总结：什么是待定系数法．待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系时的方法叫做待定系数法．学生用自己的语言总结，会使学生巩固所学的知识，加深学生对问题的概括性的理解．培养学生的归纳概括能力．例题：已知是一次函数，且有，，求这个函数的解析式．学生思考，相互讨论，解答，一名学生到黑板板书解题过程，其他学生在本上练习．老师巡视答疑，评判黑板上的解答．（三)“自主学习拓展提高”阶段1．本阶段需要解决的主要问题这个阶段的教学是本节课的重点内容之一，通过让学生探索所需的已知条件，由学生自主编题，自行设计问题、并解决问题．2．具体教学安排问题5：仿照上面的问题，编写一道用待定系数法求二次函数的解析式的题．在教学中，我组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生结论进行反馈，评价，在辨析中达成共识．1.已知是二次函数，且有求这个函数的解析式．2.已知是二次函数，且有求这个函数的解析式．3.已知是二次函数，且有求这个函数的解析式．设计意图通过学生自主编题，使不同层次的学生有不同发展；通过学生自己命题，彰显学生个性和创造力，变被动学习为主动学习．从学生编写的例题上看，学生编的问题给出的条件形式单一，思维受到局限，没有新的突破．针对以上问题，我引入了下面的教学环节．（四)“合作共享拓宽思维”阶段1．本阶段需要解决的主要问题通过展示2班的同学编出得角度更新颖的题，开阔6班学生的思维，引发学生的思考.2．具体教学安排展示2班学生编写的问题：1、已知一个二次函数f(x), f(-x)= f(x), f(0)=0, f(1)=1, 求f(x).2、已知一个二次函数f(x), 与y轴的交点（0，1），与x轴只有一个交点，且当x≥- 4时，函数是增函数，当x≤- 4时，函数是减函数，求f(x).看完这两道题，我设计了下面两个问题：问题1：与你设计的问题相比，你觉得哪个条件有新意？问题2：这个条件表达了什么意思？在学生回答后，我指出：实际上，这些条件只是从另外的角度去描述b=0、和对称轴是x=-4这些条件，这些都是旧知识的新的表现形式．设计意图：由于两个班在学习上有差异，通过“交流合作，资源共享”，让学生学会学习．这种方式获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.（五)“小结反思提升认知”阶段1．本阶段需要解决的主要问题通过学生的自主小结，老师加以引导，理清本节课的知识结构，巩固所学的知识，提炼应用到的数学方法，培养学生的归纳概括能力.2．具体教学安排归纳小结提问1：这节课，学会了什么？有什么收获？学生谈自己的收获．归纳小结提问2：使用待定系数法解题的基本步骤是什么？学生总结：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.归纳小结提问3：使用待定系数法解题的核心是什么？学生总结，教师补充，巩固本节所学内容，培养学生的归纳概括能力．设计意图：问题1是开放问题，不同水平层次的学生能给出适合自己现实水平的解答，学生可以从不同角度谈收获和体会，学生既可以谈知识、技能上的收获，也可以总结数学的学习方法和研究方法上的收获，透过开放性的问题加深学生对本节课的认识.培养学生对数学学习的积极态度．问题2可以使学生自主完善知识体系，提炼方法，提高解题能力．问题3提升学生的数学思想方法的运用意识．布置作业：1、练习教材第62页练习A第2、5题2、教材第63页练习B第1、2题3、通过学习借鉴其他同学编写的题，自己设计一道用待定系数法求二次函数解析式的题．五、学习效果评价设计（略）六、本次教学设计的特点1、本节课的设计注意了学生科学的质疑态度、批判性的思维习惯的培养，通过设置知识的冲突，调动学生学习的积极性和课堂参与的深度．设计引入问题题组时我是这样设计的：问题1、已知一个正比例函数图象过(1,3)，求这个函数的解析式．问题2、已知一个反比例函数图象过(1,3)，求这个函数的解析式．问题3、已知一个一次函数图象过(1,3)，试求这个函数解析式．问题4、已知一个二次函数图象过(1,3)，试求这个函数解析式．在问题1、2的对比下，通过问题3设置已知条件和所求问题的矛盾，引发学生思维的冲突，学生先是产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是题目出错了？学生在质疑中引发了争论和猜测，形成了一个小的高潮．同时也营造一个共同发展，和谐交流的氛围，通过对话、争论、讨论、研究、质疑、辩论等多种方式的交流，激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中．在教学中，我鼓励学生积极参与数学活动，不仅是行为上的参与，更关注学生思维上的参与，通过个体积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化和顺应，深化思维，不断地提高数学思维能力．2、通过学生自主编题，使不同层次的学生有不同发展；通过学生自己命题，彰显学生的个性和创造力，变被动学习为主动学习．因为学生在初中已经学过待定系数法，我这节课采取了学生自主编题，自己解决问题的教学模式，在教学中我努力营造一个共同发展，和谐交流的氛围，通过对话与多种方式的交流，激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中，在编题的过程中引导学生自觉地将函数的奇偶性、单调性、对称性、数学符号的复习、理解，数学语言的使用等知识和技能自然融入其中．学生对自己编题这种学习方式感到很好奇，他们对自己编的题能否解出来，非常感兴趣，也很关注别人编的题自己是否都会解，课堂上他们参与的积极性非常高，通过学生自主编题的成果展示，关注学生情感的发展，关注评价的指导性，不轻易否定学生，在编题的过程中注重知识的生成性，注重引导学生感悟之后的提炼．。

2.2.3 待定系数法课堂导学三点剖析一、待定系数法求二次函数的解析式【例1】根据下列条件求二次函数解析式.(1)该二次函数的图象过(0,1)、(1，-3)、(-1,3)三点；(2)该二次函数的图象过点(1,4)，且与x 轴的交点为(-1,0)和(3,0)；(3)该二次函数的图象顶点为(1,4)，与x 轴交于(-1,0)点.思路分析：(1)已知二次函数图象上的三点坐标，可设一般式.(2)已知二次函数的图象与x 轴的交点，可设零点式.(3)已知二次函数图象的顶点，可设顶点式.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++= 3.c b -a -3,c b a 1,c解之,得a=-1,b=-3,c=1，即所求二次函数为y=-x 2-3x+1.(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).又∵图象过点(1,4),∴4=a ∙2×(-2)⇒a=-1,即所求二次函数解析式为y=-x 2+2x+3.(3)设所求二次函数为y=a(x-1)2+4.又∵图象过(-1,0),∴0=a(-1-1)2+4⇒a=-1,即所求二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.二、待定系数法求一般函数的解析式【例2】f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x∈(-2,6)时，f(x)>0；当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，f(x)<0.求a 、b 及f(x).思路分析：二次函数的零点是函数值大于0和小于0的分界点.先根据题目条件,把二次函数的零点求出来.解:当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图，如右图所示.由图知x=-2和x=6是方程ax 2+a 2x+2b-a 3=0的两根，且a<0，利用一元二次方程的根与系数的关系，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∙--=+-.26)2(,6)2(3a a b a解之,得⎩⎨⎧==-8.b -4,a∴f(x)=-4x 2+16x+48.温馨提示注意二次函数与二次不等式之间的关系.三、用待定系数法解带参变量的函数问题【例3】已知a 、b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b=_____.思路分析：利用待定系数法及代数恒等式性质,求出f(ax+b),再根据恒等式性质建立a 、b 的方程求解.解:∵f(x)=x 2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+(2ab+4a)x+b 2+4b+3.又f(ax+b)=x 2+10x+24,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=24.34b b 10,4a 2ab 1,a 22解之,得⎩⎨⎧==3b 1,a 或⎩⎨⎧==-7.b -1,a ∴5a -b=2.答案：2各个击破类题演练1设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),由f(x+2)=f(2-x)知该函数的图象关于直线x=2对称. ∴ab 2-=2,即b=-4a. ① 又图象过点(0,3),∴c=3. ② 又x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(a b -)2a c 2-=10. ∴b 2-2ac=10a 2. ③解①②③,得a=1,b=-4,c=3,故f(x)=x 2-4x+3.变式提升1若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b,f ［f(x)］=a 2x+ab+b,f{f ［f(x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=26.b ab b a 27,a 23 解之,得a=3,b=2,则f(x)=3x+2.类题演练2二次不等式ax 2+bx+2>0的解集是(-21,31)，则a+b 的值是（ ） A.10 B.-10 C.14 D.-14解析：令f(x)=ax 2+bx+2.由题意-21、31是f(x)=0的两根, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-.23121,3121aa b解之,得⎩⎨⎧==-2.b -12,a ∴a+b=-14.答案：D变式提升2设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++,0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0),f(-2)=2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：由题意,得b=4,c=6.当x<0时,有x 2+4x+6=x,方程无解;当x>0时,x=2.答案：A类题演练3若函数f(x)=1-++a x a x 的图象的对称中心为(3，1)，则实数a 的值为_______. 思路分析：反比例函数图象的对称中心是原点，可利用坐标轴或图象的平移求出f(x)的对称中心.解：f(x)=1+11-+a x ,∴y -1=)1(1a x --. ∴中心即为(1-a,1).∴令1-a=3⇒a=-2.答案：-2变式提升3函数f(x)=21xb ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21)=52,求函数f(x)的解析式. 解析：对任意x∈(-1,1),有f(-x)=-f(x), 即21x b ax ++-=21x b ax ++-. ∴b=0.又由f(21)=52,得a=1.∴f(x)=21x x +.。

2.2.3 待定系数法一． 学习目标1.掌握常用函数的解析式形式；2.掌握待定系数法求解析式的一般步骤；二．知识点1. 待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.2. 利用待定系数法解决问题的步骤：○1确定所求问题含有待定系数解析式. ○2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程. ○3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 3. 用待定系数法求二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：○1 一般式：c bx ax y ++=2 （a 、b 、c 为常数，且0≠a ）. ○2 顶点式：k h x a y +-=2)( （a 、b 、c 为常数, 0≠a ）. ○3 交点式：))((21x x x x a y --=（a 、1x 、2x 为常数, 0≠a ）. 要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的_______， 由于每一种形式中都含有___________，所以用待定系数法求二次函数解析式时，要具备三个独立条件.三．例题例1. 已知一个正比例函数的图象经过点（－3，4），求这个函数的解析表达式 .变式：○1 已知一次函数图象经过点（－4，15），且与正比例函数图象交于点（６，－５），求此一次函数和正比例函数的解析式.○2 若()x f 是一次函数，()[]1516+=x x f f ，求其解析式例2． 根据下列条件，求二次函数c bx ax ++=2y 的解析式.○1图象过点（2，0）、（4，0）及点（0，3）；○2图象顶点为（1，2），并且图象过点（0，4）；○3图象过点（1，1）、（0，2）、（3，5）.四．限时训练1. 已知一次函数k kx y -=是增函数， 则它的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限2. 抛物线c bx ax y ++=2 (0≠a ) 和b ax y +=在同一坐标系中如下图，正确的示意图是（ ）3. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为（2，－1），与y 轴交点坐标为（0，11），则（ ）A. a=1, b=－4, c=－11B. a=3, b=12, c=11C. a=3, b=－6, c=11D. a=3, b=－12, c=114. 已知5+y 与43+x 成正比例， 且当1=x 时，2=y . 则y 与x 的函数关系式______________.5. 已知一次函数)(x f 有89)]([+=x x f f ， 则)(x f 的解析式__________.6. 若函数3)2(2+++=x a x y ，][b a x ,∈的图象关于直线1=x 对称，则b 为__________.7. 已知抛物线经过点（1，3），顶点是（2，2），则其解析式为___________.8. 抛物线与x 轴交于A )(0,2-，B )(0,2, 并且在y 轴上的截距为4，则其方程为_______________.B. C. D. A.9. 二次函数满足)1()1(x f x f -=+， 且在x 轴上的一个截距为－1，在y 轴上的截距为3，则其方程为_______________.10. 在函数c bx ax x f ++=2)(中，若ac b =2，且4)0(-=f ，则该函数有最______值(填“大”或“小”)，且该值为___________.11. 已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ， 求)(x f ．12. 已知二次函数)(x f 对任意实数t 满足关系式)2()2(t f t f -=+，且)(x f 有最小值9-．又知函数)(x f 的图象与x 轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数)(x f 的解析式．13. 已知)(x f 是二次函数，且552)()2(2++=++x x x f x f .求)(x f 的解析式.。

2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半闭半开区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)填空：(1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________；(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．【答案】(1)(1,3] (2)(－2，＋∞)(3)(－∞，2][小组合作型]函数的概念及应用(1)(2)下列各组函数是同一函数的是( )①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C ．③④D ．①④(3)判断下列对应是否为函数： ①x →y ，y ＝2x，x ≠0，x ∈R ，y ∈R ；②x →y ，y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；③x →y ，y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； ④x →y ，y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}．【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． (3)利用函数的定义判定．【自主解答】 (1)根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.(2)①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与y ＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④. 故选C.【答案】 (1)B (2)C(3)①是函数．对x ≠0，x ∈R 的每一个x 的值，有唯一的y ∈R 与之对应． ②不是函数．如当x ＝4时，y ＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当x ＝4时，在{y |0≤y ≤3}内没有值与x 对应． ④是函数．当x ∈{x |0≤x ≤6}时，16x ∈{y |0≤y ≤1}⊆{y |0≤y ≤3}．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A ，B 是否是非空数集；(2)判断A 中任一元素在B 中是否有元素与之对应；(3)判断A 中任一元素在B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．[再练一题]1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ (1)f ：把x 对应到3x ＋1； (2)g ：把x 对应到|x |＋1； (3)h ：把x 对应到1x；(4)r ：把x 对应到x .【解】 (1)是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R 上的一个函数．(3)不是实数集R 上的一个函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．(4)不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．求函数值已知函数f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值．【精彩点拨】 求f (m )的值，直接把m 代入解析式即可．注意第(2)小题求f [g (2)]，可以看成是求以g (2)为自变量的f (x )的函数值．【自主解答】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6.(2)f [g (2)]＝f (6)＝17.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x －3，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x －3中f (2)＝2×2－3＝1.2．求f [g (a )]时，一般要遵循由里到外的原则．2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f [f (－1)]的值． 【解】 f (1)＝13＋2×1＋3＝6；f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f [f (－1)]＝f [(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f (0)＝3.求函数的定义域函数y ＝3x21－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12且x ≠－12 【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．【自主解答】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12，故选B. 【答案】 B求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 【答案】 [－1,0)∪(0，＋∞)．[探究共研型]求抽象函数的定义域探究1 函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？【提示】 这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．探究2 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 【提示】 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．探究 3 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 【精彩点拨】 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可． (2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．【自主解答】 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x－3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．若已知函数y ＝fx 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f g x 的定义域可由a ≤g x ≤b 解得；若已知函数y ＝f g x的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f x 的定义域为函数y ＝g x 在x ∈[a ，b ]的值域.[再练一题]4．已知函数f (x )的定义域为[2,6]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋x －3的定义域为________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ＋1≤6，x －3≥0，解得3≤x ≤5，所以g (x )的定义域为[3,5]．【答案】 [3,5]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ≤1的实数x 不存在．【答案】 B2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D ．y ＝3x 3【解析】 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.【答案】 D3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}【解析】 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．【答案】 A4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． 【解析】 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5，∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)． 【答案】 [4,5)∪(5，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.【解】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.第2课时映射与函数1．了解映射、一一映射的概念及表示方法．(难点)2．了解象与原象的概念．(重点)3．了解映射与函数的区别与联系．(重点)[基础·初探]教材整理1 映射与一一映射阅读教材P34“映射与函数”以下～P35“第10行”以上部分，完成下列问题．名称定义映射及有关概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)，其中A叫做映射f的定义域，(函数定义域的推广)由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A). 一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)在从集合A到集合B的映射中，(1)集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个．( )(2)集合A中的某一个元素a的象可能不止一个．( )(3)集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同．( )(4)集合B中的两个不同元素的原象可能相同．( )【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2．下图2­1­1表示的对应法则：图2­1­1其中是映射的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 由映射的定义可知(3)为映射． 【答案】 D教材整理2 映射与函数的关系阅读教材P 35“第11行”以下～P 35“例7”以上的内容，完成下列问题． 1．区别对于映射f ：A →B 来说，集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．2．联系映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．1．下列集合A ，B 及其对应法则不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x ＋1| B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0【解析】 易知B 项中集合A 中的0在集合B 中没有元素与之对应，故不能构成映射． 【答案】 B2．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A →B ，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下， 象20的原象是( )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5【解析】由题意知n2＋n＝20，解得n＝4或n＝－5(舍)．【答案】 A[小组合作型]映射的判断(1)如图图2­1­2其中是映射的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？①A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；②A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,1,3,5}，x∈A，f：x→2x＋1；③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.【解析】(1)①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.【答案】 A(2)①∵0∈A，在f作用下，0→|0|∉B，∴不是映射．②对任意x∈A，依法则f，有－1→2×(－1)＋1＝－1,0→2×0＋1＝1,1→2×1＋1＝3,2→2×2＋1＝5，所以此对应是映射，且是一一映射．③对任意的x∈A，依法则f，有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈N，即y∈B，∴是映射．而0,1∈B，但在A中无原象，∴不是一一映射．1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．这两个条件缺一不可．2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B 中无对应元素或有多个对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【解】(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0∉N＋，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射．(2)对A＝{x|x≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应，故是A到B的映射．求映射中的象与原象y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象．【精彩点拨】(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．【解】(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.故A中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917.∴原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1．解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则． 2．一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系．[再练一题]2．若本例的条件不变，问集合A 中是否存在元素(a ，b )使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．【解】 设存在这样的元素(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a －2b ＋1，b ＝4a ＋3b －1，∴a ＝0，b ＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为所求元素．[探究共研型]映射个数问题探究1 集合A B A B f f ＝3，求这样的映射共有多少个？【提示】 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．探究2 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，求这样的映射f ：A →B 的个数．【提示】 由已知，当f (a )＝0，f (b )＝0时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝－1，f (b )＝1时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝1，f (b )＝－1时，得f (a )＋f (b )＝0.所以符合条件的映射共3个．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数．【精彩点拨】对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论．【自主解答】(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个．1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有n m个不同的映射．2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．[再练一题]3．已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？【解】①多对一(3个)②一对一(6个)所以由A→B的映射共有6＋3＝9(个)．1．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是( )A．P＝R，S＝(－∞，0)，x∈P，y∈S，f：x→y＝|x|B．P＝N，S＝N＋，x∈P，y∈S，f：y＝x2C．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，x∈P，f：x→数轴上表示x的点D．P＝R，S＝{y|y>0}，x∈P，y∈S，f：x→y＝1x2【解析】在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x＝0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C 中的对应法则能构成从集合P 到S 的映射．【答案】 C2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )(1) (2) (3) (4)图2­1­3A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)【解析】 根据映射定义． 【答案】 A3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射的个数有________个． 【解析】 A →B 的一一映射有2个，如图．【答案】 24．已知映射f ：R ＋→R ，x →2x －1，则x ＝5时的象为________，f (x )＝10时的原象为________．【解析】 ∵f ：R ＋→R ，x →2x －1. ∴x ＝5的象为2×5－1＝9.又∵f (x )＝10，∴2x －1＝10，∴x ＝112. 【答案】 9 1125．已知集合A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}．判断下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由．(1)f ：x →y ＝13x ； (2)f ：x →y ＝(x －2)2； (3)f ：x →y ＝14(x －1)2.【解】 (1)因为0≤x ≤3，所以0≤13x ≤1，所以对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合B 中的每一个元素y ，由x ＝3y 及0≤y ≤1，有0≤3x ≤3,0≤x ≤3.即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f ：A →B 是一一映射．(2)因为0≤x ≤3，所以－2≤x －2≤1，所以0≤(x －2)2≤4，所以集合A 中的某些元素，如x ＝0，在集合B 中没有象，因此对应f ：A →B 不是映射，也不是函数，更不是一一映射．(3)因为0≤x ≤3，所以－1≤x －1≤2,0≤14(x －1)2≤1，所以集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合A 中的元素x ＝0和x ＝2，都对应于集合B 中的同一个元素14，所以不是一一映射．。

2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.填空：(1)集合{x |1<x ≤3}用区间可表示为________； (2)集合{x |x >－2}用区间可表示为________； (3)集合{x |x ≤2}用区间可表示为________．【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2][小组合作型](1)(2)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④(3)判断下列对应是否为函数： ①x →y ，y ＝2x，x ≠0，x ∈R ，y ∈R ；②x →y ，y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；③x →y ，y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； ④x →y ，y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}．【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． (3)利用函数的定义判定．【自主解答】 (1)根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.(2)①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与y ＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④. 故选C.【答案】 (1)B (2)C(3)①是函数．对x ≠0，x ∈R 的每一个x 的值，有唯一的y ∈R 与之对应． ②不是函数．如当x ＝4时，y ＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当x ＝4时，在{y |0≤y ≤3}内没有值与x 对应． ④是函数．当x ∈{x |0≤x ≤6}时，16x ∈{y |0≤y ≤1}⊆{y |0≤y ≤3}．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A ，B 是否是非空数集；(2)判断A 中任一元素在B 中是否有元素与之对应；(3)判断A 中任一元素在B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．[再练一题]1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ (1)f ：把x 对应到3x ＋1； (2)g ：把x 对应到|x |＋1； (3)h ：把x 对应到1x；(4)r ：把x 对应到x .【解】 (1)是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R 上的一个函数．(3)不是实数集R 上的一个函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．(4)不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．已知函数f (x )＝1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值．【精彩点拨】 求f (m )的值，直接把m 代入解析式即可．注意第(2)小题求f [g (2)]，可以看成是求以g (2)为自变量的f (x )的函数值．【自主解答】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6.(2)f [g (2)]＝f (6)＝17.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x －3，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x －3中f (2)＝2×2－3＝1.2．求f [g (a )]时，一般要遵循由里到外的原则．2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f [f (－1)]的值． 【解】 f (1)＝13＋2×1＋3＝6；f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f [f (－1)]＝f [(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f (0)＝3.函数y ＝1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12且x ≠－12 【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．【自主解答】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12，故选B. 【答案】 B求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 【答案】 [－1,0)∪(0，＋∞)．[探究共研型]探究1 围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？【提示】 这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．探究2 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 【提示】 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．探究 3 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 【精彩点拨】 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可． (2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．【自主解答】 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x－3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．若已知函数y ＝fx 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f g x 的定义域可由a ≤g xb 解得；若已知函数y ＝f g x 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f x 的定义域为函数y ＝g x 在x ∈[a ，b ]的值域.[再练一题]4．已知函数f (x )的定义域为[2,6]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋x －3的定义域为________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ＋1≤6，x －3≥0，解得3≤x ≤5，所以g (x )的定义域为[3,5]．【答案】 [3,5]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ≤1的实数x 不存在．【答案】 B2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x－x ，xD ．y ＝3x 3【解析】 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.【答案】 D3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}【解析】 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．【答案】 A4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． 【解析】 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5，∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)． 【答案】 [4,5)∪(5，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.【解】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.第2课时 映射与函数1．了解映射、一一映射的概念及表示方法．(难点) 2．了解象与原象的概念．(重点) 3．了解映射与函数的区别与联系．(重点)[基础·初探]教材整理1 映射与一一映射阅读教材P 34“映射与函数”以下～P 35“第10行”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 在从集合A 到集合B 的映射中，(1)集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个．( ) (2)集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个．( ) (3)集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同．( ) (4)集合B 中的两个不同元素的原象可能相同．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下图2­1­1表示的对应法则：图2­1­1其中是映射的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 由映射的定义可知(3)为映射． 【答案】 D教材整理2 映射与函数的关系阅读教材P 35“第11行”以下～P 35“例7”以上的内容，完成下列问题． 1．区别对于映射f ：A →B 来说，集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．2．联系映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．1．下列集合A ，B 及其对应法则不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x ＋1| B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0【解析】 易知B 项中集合A 中的0在集合B 中没有元素与之对应，故不能构成映射． 【答案】 B2．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A →B ，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下， 象20的原象是( )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5【解析】由题意知n2＋n＝20，解得n＝4或n＝－5(舍)．【答案】 A[小组合作型](1)如图图2­1­2其中是映射的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？①A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；②A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,1,3,5}，x∈A，f：x→2x＋1；③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.【解析】(1)①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.【答案】 A(2)①∵0∈A，在f作用下，0→|0|∉B，∴不是映射．②对任意x∈A，依法则f，有－1→2×(－1)＋1＝－1,0→2×0＋1＝1,1→2×1＋1＝3,2→2×2＋1＝5，所以此对应是映射，且是一一映射．③对任意的x∈A，依法则f，有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈N，即y∈B，∴是映射．而0,1∈B，但在A中无原象，∴不是一一映射．1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．这两个条件缺一不可．2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B 中无对应元素或有多个对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【解】(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0∉N＋，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射．(2)对A＝{x|x≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应，故是A到B的映射．y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象．【精彩点拨】(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．【解】(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.故A中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917.∴原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1．解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则． 2．一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系．[再练一题]2．若本例的条件不变，问集合A 中是否存在元素(a ，b )使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．【解】 设存在这样的元素(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a －2b ＋1，b ＝4a ＋3b －1，∴a ＝0，b ＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为所求元素．[探究共研型]探究1 集合A ＝3，求这样的映射共有多少个？【提示】 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．探究2 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，求这样的映射f ：A →B 的个数．【提示】 由已知，当f (a )＝0，f (b )＝0时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝－1，f (b )＝1时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝1，f (b )＝－1时，得f (a )＋f (b )＝0.所以符合条件的映射共3个．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数．【精彩点拨】对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论．【自主解答】(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个．1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有n m个不同的映射．2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．[再练一题]3．已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？【解】①多对一(3个)②一对一(6个)所以由A→B的映射共有6＋3＝9(个)．1．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是( )A．P＝R，S＝(－∞，0)，x∈P，y∈S，f：x→y＝|x|B．P＝N，S＝N＋，x∈P，y∈S，f：y＝x2C．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，x∈P，f：x→数轴上表示x的点D．P＝R，S＝{y|y>0}，x∈P，y∈S，f：x→y＝1x2【解析】在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x＝0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C 中的对应法则能构成从集合P 到S 的映射．【答案】 C2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )(1) (2) (3) (4)图2­1­3A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)【解析】 根据映射定义． 【答案】 A3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射的个数有________个． 【解析】 A →B 的一一映射有2个，如图．【答案】 24．已知映射f ：R ＋→R ，x →2x －1，则x ＝5时的象为________，f (x )＝10时的原象为________．【解析】 ∵f ：R ＋→R ，x →2x －1. ∴x ＝5的象为2×5－1＝9.又∵f (x )＝10，∴2x －1＝10，∴x ＝112. 【答案】 9 1125．已知集合A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}．判断下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由．(1)f ：x →y ＝13x ； (2)f ：x →y ＝(x －2)2； (3)f ：x →y ＝14(x －1)2.【解】 (1)因为0≤x ≤3，所以0≤13x ≤1，所以对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合B 中的每一个元素y ，由x ＝3y 及0≤y ≤1，有0≤3x ≤3,0≤x ≤3.即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f ：A →B 是一一映射．(2)因为0≤x ≤3，所以－2≤x －2≤1，所以0≤(x －2)2≤4，所以集合A 中的某些元素，如x ＝0，在集合B 中没有象，因此对应f ：A →B 不是映射，也不是函数，更不是一一映射．(3)因为0≤x ≤3，所以－1≤x －1≤2,0≤14(x －1)2≤1，所以集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合A 中的元素x ＝0和x ＝2，都对应于集合B 中的同一个元素14，所以不是一一映射．。

2.2.3待定系数法学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．知识点待定系数法思考1若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？思考2在思考1中，求解析式的方法有什么特点？梳理 1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道________________，先把所求函数写为__________，其中系数待定，然后再根据__________求出这些待定系数．这种通过求________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是________________．(2)一次函数的一般形式是________________．(3)反比例函数的一般形式是________________．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式________________，这是二次函数的标准形式；②顶点式________________，其中________是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．类型一待定系数法求解析式命题角度1待定系数法求一次函数解析式例1已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．反思与感悟在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．跟踪训练1已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．命题角度2待定系数法求二次函数解析式例2二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．引申探究若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．反思与感悟二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可设函数的两根式．跟踪训练2求下列二次函数的解析式．(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．类型二 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求(1)f (x )的解析式；(2)求证f (x )在(12，＋∞)上为增函数．1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －523．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋64．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________． 5．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．1．求待定系数的方法——列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)； (2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)； (3)利用定义本身的属性列方程(组)． 2．待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．答案精析问题导学 知识点思考1 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)， ∴3＝k ·2，即k ＝32，∴函数为y ＝32x .思考2 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数． 梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2.(1)y ＝kx (k ≠0，k 是常数) (2)y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数) (3)y ＝kx (k ≠0，k 是常数)(4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) 题型探究例1 解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b )－3(k ＋b )＝5，2b －(－k ＋b )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1， 解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2.跟踪训练1 解 设该一次函数是y ＝ax ＋b ，由题意得f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8.因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，ab ＋b ＝8，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4. 例2 解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 方法一 则顶点坐标为⎝⎛⎫－b 2a，4ac －b 24a ，∴⎩⎨⎧－b2a＝2， ①4ac －b24a ＝3， ②又二次函数过点(3,1)， ∴1＝9a ＋3b ＋c .③ 联立方程①②③解方程组， 得：a ＝－2，b ＝8，c ＝－5， ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2＋3， ∵二次函数图象过点(3,1)， ∴1＝a ×1＋3， ∴a ＝－2，∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.引申探究 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)， ∴6＝a ×(－2)×(－4)， ∴a ＝34，∴y ＝34x 2－92x ＋6.当x ＝3时，函数的最小值为－34，无最大值．跟踪训练2 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6，∴y ＝x 2－5x ＋6. (2)设y ＝a (x ＋1)2－2， ∴25＝a ×32－2， ∴a ＝3， ∴y ＝3x 2＋6x ＋1. (3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)， ∴a ×1×(－4)＝8， ∴a ＝－2， ∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.例3 解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为 y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数． 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x ＜1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3)，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞)．跟踪训练3 (1)解 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋bx .又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x.(2)证明 设x 1，x 2∈(12，＋∞)且x 1＜x 2.则f (x 2)－f (x 1)＝(2x 2＋12x 2)－(2x 1＋12x 1)＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2.∵x 2＞x 1＞12，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14，∴4x 1x 2＞1，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(12，＋∞)上是增函数．当堂训练1．A 2.B 3.A 4.y ＝－2x 2＋4x 5．[0,4]。

2．1.3 函数的单调性学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一函数的单调性思考画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？梳理 1.设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中的________两个值x1，x2，改变量________________，则当________________时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图(1)；当______________时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．2．如果函数y＝f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说y＝f(x)在这个区间M上具有________(区间M称为单调区间)．特别提醒：函数单调性定义的理解(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”，不能取两个特殊值． (2)x 1，x 2有大小，通常规定Δx ＝x 2－x 1＞0. (3)x 1，x 2同属于定义域的某个子区间． 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？梳理 一般地，有下列常识：(1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间． (2)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开． (3)单调区间D ⊆定义域I .(4)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一 求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．类型二证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f(x)＝x在其定义域上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数．反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值． 跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：f (x )在R 上是减函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围 例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．跟踪训练 4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减．2．对增函数的判断，当Δx ＝x 2－x 1＞0时，都有Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，当Δx ＝x 2－x 1＞0时，都有Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f x单调递减(f (x )≠0)．f x1 f x2与1比较．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商答案精析问题导学 知识点一思考 两函数的图象如下：函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的． 梳理1．任意 Δx ＝x 2－x 1＞0 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0 2.单调性 知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －3，－1≤x ≤3的图象，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2＝－Δx <0，x 1＋x 2>0， ∴Δy ＝f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0， Δy ＝f (x 1)－f (x 2) ＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)． ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0， 故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即Δy ＝f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集R 上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1. ∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)，∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减函数．例4 A跟踪训练4 a ≤1或a ≥2例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。

2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.填空：(1)集合{x |1<x ≤3}用区间可表示为________； (2)集合{x |x >－2}用区间可表示为________； (3)集合{x |x ≤2}用区间可表示为________．【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2][小组合作型](1)(2)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④(3)判断下列对应是否为函数： ①x →y ，y ＝2x，x ≠0，x ∈R ，y ∈R ；②x →y ，y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；③x →y ，y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； ④x →y ，y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}．【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． (3)利用函数的定义判定．【自主解答】 (1)根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.(2)①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与y ＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④. 故选C.【答案】 (1)B (2)C(3)①是函数．对x ≠0，x ∈R 的每一个x 的值，有唯一的y ∈R 与之对应． ②不是函数．如当x ＝4时，y ＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当x ＝4时，在{y |0≤y ≤3}内没有值与x 对应． ④是函数．当x ∈{x |0≤x ≤6}时，16x ∈{y |0≤y ≤1}⊆{y |0≤y ≤3}．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A ，B 是否是非空数集；(2)判断A 中任一元素在B 中是否有元素与之对应；(3)判断A 中任一元素在B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．[再练一题]1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ (1)f ：把x 对应到3x ＋1； (2)g ：把x 对应到|x |＋1； (3)h ：把x 对应到1x；(4)r ：把x 对应到x .【解】 (1)是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R 上的一个函数．(3)不是实数集R 上的一个函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．(4)不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．已知函数f (x )＝1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值．【精彩点拨】 求f (m )的值，直接把m 代入解析式即可．注意第(2)小题求f [g (2)]，可以看成是求以g (2)为自变量的f (x )的函数值．【自主解答】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6.(2)f [g (2)]＝f (6)＝17.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x －3，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x －3中f (2)＝2×2－3＝1.2．求f [g (a )]时，一般要遵循由里到外的原则．2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f [f (－1)]的值． 【解】 f (1)＝13＋2×1＋3＝6；f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f [f (－1)]＝f [(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f (0)＝3.函数y ＝1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12且x ≠－12 【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．【自主解答】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12，故选B. 【答案】 B求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 【答案】 [－1,0)∪(0，＋∞)．[探究共研型]探究1 围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？【提示】 这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．探究2 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 【提示】 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．探究 3 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 【精彩点拨】 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可． (2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．【自主解答】 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x－3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．若已知函数y ＝fx 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f g x 的定义域可由a ≤g xb 解得；若已知函数y ＝f g x 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f x 的定义域为函数y ＝g x 在x ∈[a ，b ]的值域.[再练一题]4．已知函数f (x )的定义域为[2,6]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋x －3的定义域为________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ＋1≤6，x －3≥0，解得3≤x ≤5，所以g (x )的定义域为[3,5]．【答案】 [3,5]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ≤1的实数x 不存在．【答案】 B2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x－x ，x <0D ．y ＝3x 3【解析】 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.【答案】 D3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}【解析】 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．【答案】 A4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． 【解析】 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5，∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)． 【答案】 [4,5)∪(5，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.【解】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.第2课时 映射与函数1．了解映射、一一映射的概念及表示方法．(难点) 2．了解象与原象的概念．(重点) 3．了解映射与函数的区别与联系．(重点)[基础·初探]教材整理1 映射与一一映射阅读教材P 34“映射与函数”以下～P 35“第10行”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 在从集合A 到集合B 的映射中，(1)集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个．( ) (2)集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个．( ) (3)集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同．( ) (4)集合B 中的两个不同元素的原象可能相同．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下图2­1­1表示的对应法则：图2­1­1其中是映射的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 由映射的定义可知(3)为映射． 【答案】 D教材整理2 映射与函数的关系阅读教材P 35“第11行”以下～P 35“例7”以上的内容，完成下列问题． 1．区别对于映射f ：A →B 来说，集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．2．联系映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．1．下列集合A ，B 及其对应法则不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x ＋1| B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0【解析】 易知B 项中集合A 中的0在集合B 中没有元素与之对应，故不能构成映射． 【答案】 B2．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A →B ，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下， 象20的原象是( )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5【解析】由题意知n2＋n＝20，解得n＝4或n＝－5(舍)．【答案】 A[小组合作型](1)如图图2­1­2其中是映射的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？①A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；②A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,1,3,5}，x∈A，f：x→2x＋1；③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.【解析】(1)①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.【答案】 A(2)①∵0∈A，在f作用下，0→|0|∉B，∴不是映射．②对任意x∈A，依法则f，有－1→2×(－1)＋1＝－1,0→2×0＋1＝1,1→2×1＋1＝3,2→2×2＋1＝5，所以此对应是映射，且是一一映射．③对任意的x∈A，依法则f，有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈N，即y∈B，∴是映射．而0,1∈B，但在A中无原象，∴不是一一映射．1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．这两个条件缺一不可．2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B 中无对应元素或有多个对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【解】(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0∉N＋，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射．(2)对A＝{x|x≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应，故是A到B的映射．y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象．【精彩点拨】(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．【解】(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.故A中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917.∴原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1．解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则． 2．一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系．[再练一题]2．若本例的条件不变，问集合A 中是否存在元素(a ，b )使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．【解】 设存在这样的元素(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a －2b ＋1，b ＝4a ＋3b －1，∴a ＝0，b ＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为所求元素．[探究共研型]探究1 集合A ＝3，求这样的映射共有多少个？【提示】 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．探究2 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，求这样的映射f ：A →B 的个数．【提示】 由已知，当f (a )＝0，f (b )＝0时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝－1，f (b )＝1时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝1，f (b )＝－1时，得f (a )＋f (b )＝0.所以符合条件的映射共3个．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数．【精彩点拨】对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论．【自主解答】(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个．1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有n m个不同的映射．2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．[再练一题]3．已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？【解】①多对一(3个)②一对一(6个)所以由A→B的映射共有6＋3＝9(个)．1．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是( )A．P＝R，S＝(－∞，0)，x∈P，y∈S，f：x→y＝|x|B．P＝N，S＝N＋，x∈P，y∈S，f：y＝x2C．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，x∈P，f：x→数轴上表示x的点D．P＝R，S＝{y|y>0}，x∈P，y∈S，f：x→y＝1x2【解析】在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x＝0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C 中的对应法则能构成从集合P 到S 的映射．【答案】 C2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )(1) (2) (3) (4)图2­1­3A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)【解析】 根据映射定义． 【答案】 A3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射的个数有________个． 【解析】 A →B 的一一映射有2个，如图．【答案】 24．已知映射f ：R ＋→R ，x →2x －1，则x ＝5时的象为________，f (x )＝10时的原象为________．【解析】 ∵f ：R ＋→R ，x →2x －1. ∴x ＝5的象为2×5－1＝9.又∵f (x )＝10，∴2x －1＝10，∴x ＝112. 【答案】 9 1125．已知集合A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}．判断下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由．(1)f ：x →y ＝13x ； (2)f ：x →y ＝(x －2)2； (3)f ：x →y ＝14(x －1)2.【解】 (1)因为0≤x ≤3，所以0≤13x ≤1，所以对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合B 中的每一个元素y ，由x ＝3y 及0≤y ≤1，有0≤3x ≤3,0≤x ≤3.即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f ：A →B 是一一映射．(2)因为0≤x ≤3，所以－2≤x －2≤1，所以0≤(x －2)2≤4，所以集合A 中的某些元素，如x ＝0，在集合B 中没有象，因此对应f ：A →B 不是映射，也不是函数，更不是一一映射．(3)因为0≤x ≤3，所以－1≤x －1≤2,0≤14(x －1)2≤1，所以集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合A 中的元素x ＝0和x ＝2，都对应于集合B 中的同一个元素14，所以不是一一映射．。

2．3 函数的应用(Ⅰ)1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理几类函数模型阅读教材P65～P68“探索与研究”以上部分，完成下列问题．常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f1x，x∈D1f2x，x∈D2……f n x，x∈D n1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图2­3­1所示，判断下列说法的对错．图2­3­1(1)甲比乙先出发．( )(2)乙比甲跑的路程多．( )(3)甲、乙两人的速度相同．( ) (4)甲先到达终点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√2．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53【解析】 因为利润＝收入－成本，当产量为x 件时(x ∈N )，利润f (x )＝25x －(x 2－80x )，所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524， 所以x ＝52或x ＝53时，f (x )有最大值． 【答案】 D[小组合作型]一次函数模型的应用(1)y ＝6x ＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )A ．2 000套B ．3 000套C ．4 000套D ．5 000套(2)如图2­3­2所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：图2­3­2①通话2分钟，需要付电话费________元； ②通话5分钟，需要付电话费________元；③如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为________． 【解析】 (1)因利润z ＝12x －(6x ＋30 000)，所以z ＝6x －30 000，由z ≥0，解得x ≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．(2)①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，利用待定系数法求得y＝1.2t(t≥3)．【答案】(1)D (2)①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3)1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．[再练一题]1．某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？【导学号：60210056】【解】设每天从报社买进x份报纸，易知250≤x≤400，设每月赚y元，则y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，y max＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天从报社买400份报纸时，所获的利润最大，每月可赚1 170元.二次函数模型的应用购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【精彩点拨】(1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．【自主解答】 (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元， 则x ∈(100,300]，n ＝kx ＋b (k ＜0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300)，y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2－10 000k (x ∈(100,300])， ∵k ＜0，∴x ＝200时，y max ＝－10 000k ，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%， 即x 2－400x ＋37 500＝0，解得x ＝250或x ＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.[再练一题]2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，求供水开始几小时后，水池中的存水量最少．【解】 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)，设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎪⎫u －5662＋150，∴当u ＝566即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少．[探究共研型]分段函数模型的应用探究1 分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x，x ∈D 1，f 2x，x ∈D 2，……f nx，x ∈D n的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？【提示】 分段函数f (x )是各段自变量取值范围的并集，即D 1∪D 2∪…∪D n ，分段函数的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值．探究2 解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？ 【提示】 根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧15＋12t ，0≤t ≤10，25－12t ，10<t ≤20(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【精彩点拨】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【自主解答】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋12t 80－2t ，0≤t ≤10⎝⎛⎭⎪⎫25－12t 80－2t ，10<t ≤20＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋3040－t ，0≤t ≤1050－t40－t ，10<t ≤20＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，0≤t ≤10t 2－90t ＋2 000，10<t ≤20(2)由(1)知①当0≤t ≤10时，y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝－(t －5)2＋1 225， 函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5)递增，在t ∈(5,10]递减， ∴y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)． ②当10＜t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，y max ＝1 200(t ＝10时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)，由①②知y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间． 2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．[再练一题]3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】 (1)当0＜x ≤30时，y ＝900；当30＜x ≤75，y ＝900－10(x －30)＝1 200－10x ；即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元，则当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000； 当30＜x ≤75，S ＝x (1 200－10x )－15 000＝－10x 2＋1 200x －15 000；即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75.因为当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000为增函数，所以x ＝30时，S max ＝12 000； 当30＜x ≤75时，S ＝－10x 2＋1 200x －15 000＝－10(x －60)2＋21 000， 即x ＝60时，S max ＝21 000＞12 000.所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润．1．一等腰三角形的周长为20，底边y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2x (x ≤10) B ．y ＝20－2x (x <10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10) D ．y ＝20－2x (5<x <10)【解析】 依题意，得2x ＋y ＝20， ∴y ＝20－2x .又y >0，∴20－2x >0，∴x <10. 又2x >y ，∴2x >20－2x ， ∴x >5，∴5<x <10. 【答案】 D2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 【答案】 2 5003．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．【解析】 设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270， ∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元． 【答案】 2 2504．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元.【导学号：60210057】【解析】 设涨价x 元，销售的利润为y 元， 则y ＝(50＋x －45)(50－2x )＝－2x 2＋40x ＋250 ＝－2(x －10)2＋450，所以当x ＝10，即销售价为60元时，y 取得最大值． 【答案】 605．某游乐场每天的盈利额y (元)与售出的门票数x (张)之间的关系如图2­3­3所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？图2­3­3【解】 根据题意，得每天的盈利额y (元)与售出的门票数x (张)之间的函数关系式是：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3.75x 0≤x ≤4001.25x ＋1 000400≤x ≤600.①当0≤x ≤400时，由3.75x ＝750，得x＝200.②当400≤x≤600时，由1.25x＋1 000＝750，得x＝－200(舍去)．综合①和②，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张．。

2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y ＝kx (k ≠0)，反比例函数的一般形式为y ＝k x(k ≠0)，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，二次函数的一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋9，求f (x )的解析式. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由f [f (x )]＝4x ＋9，得a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－9.∴f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ). 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则有3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，即f (x )＝2x ＋7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，－b 2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2－4x －5.方法二 设二次函数f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－9，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x ＝2， ∴二次函数与x 轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f (x )＝a (x －5)(x ＋1)(a ≠0)， 将(0，－5)代入得a ＝1， ∴f (x )＝x 2－4x －5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0)，B (0，－3)，C (－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上.解 (1)设所求函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.因此所求函数为y ＝x 2－2x －3.(2)设所求函数y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，其中a 待定. 根据已知条件得a (2－4)2＋2＝0，解得a ＝－12，因此所求函数为y ＝－12(x －4)2＋2＝－12x 2＋4x －6.(3)∵y ＝x 2－4x ＋h ＝(x －2)2＋h －4， ∴顶点A (2，h －4)，由已知得(－4)×2－1＝h －4，h ＝－5， ∴所求函数为y ＝x 2－4x －5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3). 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3).综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x －x，x －x ，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f (6)＝2，又当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3， 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数，f (x )≤f (5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f (x )＝a (x －5)2＋3(a ≠0)， 又因为f (6)＝2，代入f (x )得a ＝－1， 所以x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3.当x ＝3时，f (3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数，且x ∈[－6,6]，所以f (0)＝0，故可设一次函数式为f (x )＝kx (k ≠0)， 将(3，－1)代入f (x )得k ＝－13.所以一次函数式为f (x )＝－13x .当x ∈[－6，－3]时，－x ∈[3,6]， 所以f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3，x ∈[－6，－，－13x ，x ∈[－3，3]，－x －2＋3，x ，6].1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A.y ＝x 2＋2x －3B.y ＝x 2－2x －3 C.y ＝x 2＋2x ＋3 D.y ＝x 2－2x ＋6 答案 A解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，①4＋2b ＋c ＝5. ②由①②解得b ＝2，c ＝－3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝12x －52B.y ＝12x ＋52C.y ＝－12x ＋52D.y ＝－12x －52答案 B解析 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝1－x 2C.y ＝12x 2＋1D.y ＝12x 2－1答案 A解析 设y ＝a (x ＋1)(x －1)(a ≠0)， 将点(2,3)代入得3＝3a ， ∴a ＝1.∴y ＝x 2－1.4.已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A.y ＝2(x －1)2＋3 B.y ＝2(x ＋1)2＋3 C.y ＝－2(x －1)2＋3 D.y ＝－2(x ＋1)2＋3答案 D解析 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.答案6x2－12x＋4解析设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。

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2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．（重点)2．掌握待定系数法的特征及应用,了解待定系数法在函数中的应用．(难点）［基础·初探］教材整理待定系数法阅读教材P61～P62“例1”以上部分内容，完成下列问题．一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过（2，8)点，则其解析式为y＝－错误!.( )（3）一次函数的图象经过点(1,3），(3,4），则其解析式为y＝12x＋错误!.（）【答案】(1)√（2)×（3)√2．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2）和Q（－1，2），则这个函数的解析式为（) A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1【解析】把点P（3，－2）和Q(－1,2）的坐标分别代入y＝kx＋b,得错误!解得错误!所以y＝－x＋1，故选D。

高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.3待定系数法教案新人教B 版必修1整体设计教学分析 在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力． 重点难点教学重点：待定系数法及其应用． 教学难点：待定系数法的应用． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.已知一次函数y ＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y ＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路 2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课 新知探究 提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？③已知一次函数y ＝f x 的图象经过点1，2和2，－1，求一次函数y ＝f x 的解析式即前面导入中的问题.④这种求函数解析式的方法称为什么？ ⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5.即f(x)＝－3x ＋5. ④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)比例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)， 其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1，解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是： (1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.思路2例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎨⎧2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.已知函数f(x)＝kx ＋b ，g(x)＝2x －1，f(x)－g(x)＝x ＋3，求k ，b 的值． 解：f(x)－g(x)＝kx ＋b －2x ＋1＝(k －2)x ＋b ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧k －2＝1，b ＋1＝3，解得k ＝3，b ＝2.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式； (2)写出函数的定义域； (3)画出这个函数的图象． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12， 每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5， 所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12. (2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －c c －a x解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx.答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x ＝3，∴设抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(x 1,0)，则对称轴：x ＝x 1＋x 22， 即5＋x 12＝3，∴x 1＝1.∴C 点的坐标为(1,0)． 设二次函数解析式为y ＝a(x －1)(x －5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋6x－5.拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)，∴a＋b＋c＝4，①a－b＋c＝0，②9a＋3b＋c＝0，③解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝－1＋32.∴点(1,4)为抛物线的顶点．设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k 会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．。