2014届高三理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的图象与性质(教师版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10：三角函数的图像及性质一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D ．当2x π=时,02y π=>,排除B ．当34x π=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A ．2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos y x g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A,B ．当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C ． 3 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知a 是实数,则函数axa x f sin 1)(+=的图象不可能是【答案】D 【解析】A 中,周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T aππ=<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D ． 4 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是【答案】C5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））函数)2ln(sin )(+=x xx f 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．6 ．（2013山东高考数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B, C ．当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选 D ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2tan 22f x xx ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在，上的图象大致为【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A, B ．当2x π→时,0y <,所以排除D,选 C ．8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是（ ）A ．关于点()8,1π-中心对称B ．关于直线8x π=轴对称C ．向左平移8π后得到奇函数D ．向左平移8π后得到偶函数【答案】C 【解析】对于A:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A;对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D ．故选 C ．9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ． 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22sin(2x y -=π是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】B11．（2011年高考（山东理））若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω= （ ）A ．8B ．2C ．32D ．23【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππωω上单调递减, 则23ππω=,即32ω=,答案应选 C ． 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[,]22k k x ππππωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即32ω=,答案应选C ．另解2:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03f π'=,即cos03πωω=,即()32k k ππωπ=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ．另解3:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则2()32k k ππωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选 C ．12．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 （ ）A ．)0,12(πB ．)1,3(πC ．）0,125(πD ．）（0,12-π 【答案】A13．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像【答案】C14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是 （ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π,所以周期为π,选 B ．15．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4x π=时,函数()()()s i n 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是 （ ）A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C 当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Z πϕπ=-+∈,所以()()3si n ()04fx A xAπ=->,所以333()s in ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为（ ）A ．πB ．34π C ．2πD ．4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D ．17．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则（ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】由26T ππω==,所以13ω=,所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即12322k ππϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622k x k ππππ-+≤≤+,函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A18．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 【答案】A 【解析】由题意可知5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω==,所以1ω=,所以()s i n (f x x ϕ=+,所以由()s i n ()144f ππϕ=+=,即242k ππϕπ+=+,所以24k πϕπ=+,所以当0k =时,4πϕ=,所以选A ．19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A 【解析】因为()()()sin cos )4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周期为π,所以2T ππω==,所以2ω=,即函数())4f x x πϕ=++,又函数()()f x f x -=,所以函数为偶函数,所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,即,4k k Z πϕπ=+∈,因为||2πϕ<,所以当0k =时,4πϕ=,所以()s i n (2)2s i 2)2c o s 2442fx xx x πππ=+++=,当02x π<<时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选（ ）A ．20．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+【答案】C21．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 （ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-,成中心对称B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4π个单位即得② C ．两个函数在区间(-4π,4π)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于 （ ）A ．32 B ．23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B ．二、填空题23．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数）（ππ2,0),3sin(2∈-=x x y 的单调递增区间为______________【答案】]61165[ππ， 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k ππk 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]611,65[ππ.24．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数2()2sin ()3cos 21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【 解析】2()2sin ()3cos 211cos 2()3cos 2144f x x x x x ππ=+--=-+--cos(2)3cos 2sin 23cos 22sin(2)23x x x x x ππ=-+-=-=-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin()(0)2y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______. 【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.27．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,1212ππ-)内是增函数;⑤函数|()1|f x +的最小正周期为2π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④ 三、解答题28．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x ωωω=-sin 2x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,12T ππωω==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭,即()12f x -≤≤,当2,36x ππ+=-即4x π=-时,()min 1f x =-,当2,32x ππ+=即12x π=时,()max 2f x =294月模拟检测数学理试题 ）已知函数,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值.(3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),f A = 2.b c +=求边a 的最小值.(2)[,12x ππ∈∴当26x π+=ππ4min (3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21)62sin(=+∴πA），6136(62πππ∈+A 6562ππ=+∴A3π=∴A∵b+c=2∴1)2(34343)(22222=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号 ∴a 的最小值是130．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T ,由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ (Ⅱ)由题意:()23cos[2()]323sin 2336g x x x ππ=-++=+, x xxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ,故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x 31．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知函数()()x x f x 23sin cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;www. (Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6π,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值.【答案】32．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==,记函数()()22f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;(II)函数()f x 的单调递增区间.【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间【答案】【解析】:(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 2222224x x x x x =-+-+ 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 函数)(x f 的最小正周期为 T π=,函数)(x f 的最大值为2(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈ 得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈ 函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈ 34．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量21cos 213(sin ,sin ),(cos 22,2sin )22x m x x n x x x +=+=-,设函数 (),.f x m n x =⋅∈R(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.【答案】。

【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测：《三角函数、解三角形》（时间:120分钟 满分:150分）一.选择题（每小题分，共分）1.^013衡水模拟）若角«的终边过点（sh30°，-cos 30 ° ），则sh a 等于（C ）（A ）：（B ）-1 O- J ©）- J2 2 2 31 J6解析：点(sb 30 ° ，-cos 30 ° ),即点(二- 一),解析:因为1=所心展务空故选所有可能值为（D ）(A)l 或一 (B)——C)1 0)1 或-一2.已知角 a 的终边上有一点M （3,-5）,则sba 等于（B ）3.^013乐山市第•次调硏考试）函数&）二 朋、八niI..满足 f(l)+f(a)=2,则 a 的解析：若0 时，则e&T +1=2,a=l,若-l<a<0 时，则l+2sh K a2=2,sh n a2=*2q i所以n a2=2kn+J(k GZ),所以a:=2k+ (^GZ),令k=0,则a=± 以a=-£i诞综上,a=l或a=-—.故选D・4.^013年东北四校联考）已知函数f（x）=-2sh（2x+）（||<调递增区间可以是（D ）> ■> Eg由=2kn W2x+Z f 2k n ,k W Z,得*k n WxwHkn,kWZ,即xW2 4 2 8 8他）的增区间•故选D.饲曲1的一个单,k e Z 为25.已知 ~ : R〈x< n，则tan x 等于（A ）(A)- - (B)-- (C)2(DK4故 sii x 二 rcos x=-w*354 .于是tan x=- r 故选A.36.函数f(x)= y geos X- JJsii x 取得最兴值时，x 的可能取值是((Ah n (B)- - C )一 ■0 )2 刃2:・I • 1 二 on •::・sr::toZlLY=cos x+sh x(14即(sh x-cos x)又当xG时,sii x>cos x,H2sh xcos x=即 2sh xcos x=- 必有xe2 «解析：I大1 为f(x)= y 6cos x- \Qsii x合各选项知x 的可能取值是-匚故选C.■ ■7・ 二；在锐幷寸厶 ABC 匚卜设 x=(1 + s 五 A )(l+sh B),y= (1+cos A)CL+cos B), 为(D )(A )x W y <B )x 〈y Ox > y (D )x>y 解析：由于三角形为锐角三角形，% 3故有A+B 〉0 A>已22sh A>sh | --g |=cos B ,cos A<cos | j=sh B,故"sii A>l+cos B>0,0<l+cos A<l + sh B,也卩 x= CL+sh A )(l + sb B)>y= (1+cos A)Q+cos B). 故选D •8.^013人同模拟)已知函数 M=3sii (醐・j (3 >0)和g<x)=3cos(Sx+ 4> )的图彖的对称中> <心完全相同，若xw Of ,则珠)的取值范围是(A )姑卸(3>0)和gQ=3cosQx+ <!>)的图象的对称中心完全相同，所以当 x+ =2k n (k Wz)时,f&) 取最人值,即x=2k n- (k e 1) lit ,f(x)有最人值2Q [-；j] ®)[-331所以 3 =2,ffe)=3sh则x,y 的大小关系又由y=sh x和y=cosx 在(Q ：)上的单调性可得解析：函数f(x)=3sh7a 的终边经过点P (sh 20 ,sh 4 0 ),且cos 心,则a 的正切值为(B )(A)-：吨X ：・I 卜故选B ・•10.Q013厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,其中a 为最 大边，如果sin 2<B+CXsh 2B+sh 2C,则角A 的取值范围为(D )C)毎耳(D)毎耳W2J2 2 2 解析：由题意得，sb A<sh B + sh C, 再由正弦定理得 即b 】c p >0..2・•则cosA= ° -严订0,2鼬V0<A< n ，•: 0〈AG ・所以 f(x)=3sh因为xW 所以2x- J 1J ・故选A ・因此得角A 的取值范圉是眇选D ・9・已知角 解析:1an魁色y cos 2 e=2 Ocos 2 -1)11 •已知函数①y=sin x+cos x, ②5= xcos x, 则下列结论正确的是（C ）（A ）两个函数的图象均关于点 中心对称图形 ©）两个函数的图彖均关于直线X 二-成d 对称图形0）两个函数的最小正周期相同解析：由于 y=sii x+cos x= y5sily=2 ¥：sii xcos x=2x,不关于直线x=-1成轴对称图形，函数y=2 ^2sil xcos x 的图象不关于点 故选项A 、B 均不正确； 结合图象隅略）可知，因此选项C 正确； 函数y= tlsh 畫+刁的最小正周期是 y=^2sil 2x 的最小正周期是N ,因此选项D 不正确.综上所述，故选C ・12•若AB=2,AC=y^C,则的最大值为（A ）C ）两个函数在区间都是单调递增函数因此函数y 二sii x+cos x 的图象关于点 成中心对称图形这两个函数在区间 都是单调递增函数关于直线x=-4戈轴对称图形成中心对称图形解析：设B C =x，贝lj AC = y ?x,x>0,根据三角形面积公式得S A ABci 3 AB3 BC sh B=x 1-COS^1^根据余弦定理得9 9 9弓q 勺cos 弐竺迄4：如2A3^SC敕靱将②代入①得,由三角形的三边关系得[斗立风+篡弓?.U + 2 > v2x解得2 *0〈x〈2 占+2.故当x=2时,S △山取得最人值2、息故选A・二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2013山东泰安期末）已知a e P（j[lsii 解析：在△ ABC中，由acos a故tan因此tan3 314.(2013年高考重庆卷的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=、cos B=-,b=3,5 13则C= ________ .解析：在△ ABC中,3 4Vcos A= ••- sb A= f9 t*9Vcos B=—,13£sh B= -r-总:.sh C =sh(A^B)=sh A cos B+cos Asb B由正弦定理得,c= —smtf is 5答案：二*d15.耍测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45。

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的图象与性质一、选择题 1 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移π个单位,这时对应于这个图像的解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+【答案】A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A ．2 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π【答案】 B ．3 ．（2013届北京大兴区一模理科）函数()f x =（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增【答案】D4 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】 C ．5 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）函数21sin 22y x x =+的最小正周期等于 （ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π【答案】A 【解析】11cos 2=sin 2222x y x +-1=sin 22sin(2)223x x x π+=+,所以函数的周期222T πππω===,选A ． 6 ．（2013北京高考数学（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的” （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案. 7 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+ D ．72sin()216x y π=+ 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

第三章第三节三角函数的图象与性质一、选择题1．函数y＝sin x＋cos x 的最小值和最小正周期分别是()A．－2， 2πB．－ 2,2 πC．－2，πD．－ 2，πcos x2．函数y＝sin x|sin x|(0<x<π)的图象大概是()3．若动直线x＝a与函数f ( x) ＝ sin x和g( x) ＝ cos x的图象分别交于M、N两点，则| MN|的最大值为 ()A．1 B.2C. 3 D ． 24．已知函数y ＝ sinx的定义域为 [，1b－a的值不行能是 ()] ，值域为 [ －1， ] ，则a b2π2πA. 3 B. 3C．π4πD.35．已知函数f( x) ＝ 2sinω x(ω>0)在区间[－ππ3，4]上的最小值是－2，则ω的最小值为() 23A. 3B. 2C．2D． 3ππ6．设函数 f ( x)＝sin(2 x＋4)＋cos(2 x＋4)，则()ππA．y＝f ( x) 在 (0 ，2 ) 单一递加，其图象对于直线x＝4对称ππB．y＝f ( x) 在 (0 ，2 ) 单一递加，其图象对于直线x＝2对称ππC．y＝f ( x) 在 (0 ，2 ) 单一递减，其图象对于直线x＝4对称D ．y ＝ f ( x ) 在 (0 ，π) 单一递减，其图象对于直线 x ＝π对称22二、填空题7．假如函数y ＝ 3cos(2 x ＋ φ) 的图象对于点 (4π， 0) 中心对称，那么 | φ | 的最小值为3________．8．设函数y ＝ sin( π＋π) ，若对随意x ∈ R ，存在x1， 2 使 f ( x1) ≤ ( x) ≤ (x 2)恒建立，2x3xf f则 | x 1－ x 2| 的最小值是 ________．π π9．设函数 y ＝ sin( ωx ＋ φ )( ω>0， φ ∈( － 2 ，2)) 的最小正周期为 π ，且其图象对于直线 x ＝π 对称，则在下边四个结论： ①图象对于点 ( π ，0) 对称； ②图象对于点 ( π，0) 对称；12 43ππ③在 [0 ， 6 ] 上是增函数；④在[ － 6 ， 0] 上是增函数中，全部正确结论的编号为________．三、解答题10．已知函数 f ( x ) ＝4cos x sin( x ＋ π6 )－1.(1) 求 f ( x ) 的最小正周期；(2) 求 f ( x ) 在区间 [ －π， π] 上的最大值和最小值．6 411．设 ＝ (sin 2π ＋ 2x，cos x ＋sin x ) ， ＝ (4sin x ， cos x － sin x ) ， ( x ) ＝ · .4(1) 求函数 f ( x ) 的分析式；π2π(2) 已知常数 ω >0，若 y ＝ f ( ω x ) 在区间 [ － 2 ，3 ] 上是增函数，求ω 的取值范围；12．已知 a ＝(53cos x ， cos x ) ， b ＝ (sin x, 2cos x ) ，函数 f ( x ) ＝ a · b ＋ | b | 2.(1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期；(2) 求函数 f ( x ) 的单一减区间；(3)当π6≤ x≤π2时，求函数 f ( x)的值域．详解答案：πππ1．分析：∵y＝2sin( x＋4)，∴当x＋4＝ 2kπ－2 ( k∈Z) 时，y min＝－ 2. T＝ 2π .答案： Acos x，0<x<π2cos xπ2．分析：y＝ sin x|sin x|＝0，x＝2－ cos x，π2<x<π答案： Bπ3．分析： | MN|＝ |sin a－ cos A|＝|2sin(a－4)|，∴| MN|max＝ 2.答案： B4．分析：画出函数y＝sin x的草图剖析知b－ a 的取值范围为[2π4π，] ．33答案： Aππ5．分析：∵f ( x) ＝ 2sinω x(ω>0)在区间[－3，4]上的最小值为－2Tπππ33∴ ≤，即≤，∴ ω ≥ ，即ω 的最小值为.4 32ω322答案： Bπππ6．分析：由于y＝ sin(2 x＋4 ) ＋cos(2 x＋4 ) ＝2sin(2 x＋2 ) ＝2cos 2x，因此y＝2cos 2 x 在 (0 ， π) 单一递减，对称轴为2x ＝ k π，即 x ＝k π( k ∈ Z) ．22答案： D7．分析：由题意知， 2×4π＋ φ ＝ k π ＋π， k ∈ Z.3213ππ解得 φ ＝ k π－6 ，k ∈ Z. 当 k ＝ 2时， | φ | min ＝ 6 .答案： π68．分析：由 f ( x 1) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2) 恒建立，可得 f ( x 1) 为最小值， f ( x 2) 为最大值， | x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案： 29．分析：∵ T ＝ π ，∴ ω ＝ 2.πππ又 2× 12＋ φ＝ k π ＋ 2 ，∴ φ＝ k π ＋ 3 .π ππ，∴ y ＝ sin(2 x ＋ π∵φ ∈ ( － 2 ， 2 ) ，∴ φ＝ 3 3 ) ． 由图象及性质可知②④正确．答案：②④π10．解： (1) 由于 f ( x ) ＝ 4cos x sin( x ＋ 6 ) － 1＝4cos x 3 x 1 x ) － 1( sin ＋ cos2 2＝ 3sin 2 x ＋ 2cos 2x － 1＝ 3sin 2 x ＋ cos 2 xπ＝ 2sin(2 x ＋ 6 ) ，因此 f ( x ) 的最小正周期为 π .π ππ π 2π(2) 由于－6 ≤ x ≤ 4 ，因此－6 ≤2x ＋ 6 ≤ 3 .π ππ于是，当 2x ＋ 6 ＝ 2 ，即 x ＝ 6 时， f ( x ) 获得最大值 2；当 2x ＋ π ＝－ π ，即 x ＝－ π时， f ( x ) 获得最小值－ 1. 6 6611．解： (1) f ( x ) ＝ sin 2π ＋ 2x·4sinx ＋ (cos x ＋ sin x ) ·(cos x － sin x )41－π ＋ x ＝4sin x ·2＋ cos2 x2＝2sinx (1 ＋ sin x ) ＋ 1－ 2sin 2 ＝ 2sinx ＋ 1，x∴f ( x ) ＝ 2sin x ＋ 1.(2) ∵ f ( ω x ) ＝ 2sin ω x ＋ 1， ω>0.由 2 k π － π≤ ω ≤2 π ＋ π ，2 x k 2得 f ( ω x ) 的增区间是 [ 2k π － π ，2k π＋ π] ， k ∈ Z. ω 2ω ω 2ωπ 2π∵f ( ω x ) 在[ － 2 ， 3 ] 上是增函数，π2πππ∴[－2， 3 ]? [－ 2ω ，2ω]．π π 2π π ∴－ 2 ≥－ 2ω 且 3 ≤ 2ω ，3∴ω ∈ (0 ， 4] ．12．解： f ( x ) ＝ a · b ＋ | b | 2＝5 3cos x ·sin x ＋ cos x ·2cos x ＋sin 2x ＋ 4cos 2x＝5 3sin x cos x ＋sin2x ＋ 6cos 2x5 31－ cos2x＝ 2 sin2 x ＋2＋ 3(1 ＋ cos2 x ) 5 357＝2 sin2 x ＋ 2cos2 x ＋ 2π7＝ 5sin(2 x ＋ 6 ) ＋ 22π(1) f ( x ) 的最小正周期 T ＝ 2 ＝ π .ππ3ππ2π(2) 由 2k π ＋ 2 ≤2x ＋ 6 ≤2k π ＋ 2 得 k π＋ 6 ≤ x ≤k π ＋ 3 ， k ∈ Z.π2π∴ f ( x ) 的单一减区间为 [ k π ＋ 6 ， k π ＋ 3 ]( k ∈ Z) ．π π(3) ∵ 6 ≤ x ≤ 2 ，∴π ≤2 ＋π ≤ 7π .26 61π17∴1≤f ( x) ≤217即 f ( x)的值域为[1，2]．。

第3讲三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性．2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．考点自测1．(2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A2．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称解析 由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋π3＝sin π＝0. 答案 B4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，那么( )． A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2 C ．0<ω≤247 D ．ω≥2解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4且ω>0，得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3，ωπ4.又y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2，－ωπ3≥－π2，解得0<ω≤32.答案 A5．(2012·全国)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，y 取得最大值． 答案 5π6对应学生57考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可；(2)先化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再由x 的范围求解． 解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析(1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，k ∈Z， 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78； 当sin x ＝－12时，y max ＝2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2考向二 三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．[审题视点] 求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求周期及单调区间． 解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }， 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 【训练2】 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)将2x ＋π6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .故y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k ∈Z . 故y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )． 考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.[审题视点] (1)只需令π4＋α＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)应满足3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .解析 (1)要使g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，∴α＝π4.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 (x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ，b ]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大． 【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．[教你审题] 一审 准确化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式； 二审 充分利用对称轴x ＝π； 三审 确定λ的值．[规范解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.(3分)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分)[阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分．(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心，导致失分．第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：根据题设条件求出y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 中有关的参数．第三步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)的取值范围．第四步：求出所求函数的值域(或最值)．【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.对应学生255A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )， 得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3， 所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3， 而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误． ③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。

2014 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分）1．（5 分）（2014?纲领版）设 z=，则 z 的共轭复数为（）A．﹣ 1+3i B．﹣ 1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【剖析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z 的共轭可求．【解答】解：∵ z= =，∴．应选： D．2．（5 分）（2014?纲领版）设会合M={ x| x2﹣3x﹣4＜0} ，N={ x| 0≤x≤5} ，则 M ∩N=（）A．（ 0， 4]B．[ 0， 4）C．[ ﹣1，0）D．（﹣ 1，0]【剖析】求解一元二次不等式化简会合M ，而后直接利用交集运算求解．2【解答】解：由 x ﹣3x﹣ 4＜ 0，得﹣ 1＜x＜4．∴M={ x| x2﹣ 3x﹣4＜0} ={ x| ﹣1＜x＜4} ，又 N={ x| 0≤x≤5} ，∴M∩N={ x| ﹣ 1＜ x＜ 4} ∩{ x| 0≤x≤5} =[ 0， 4）．应选： B．3．（5 分）（2014?纲领版）设 a=sin33 ，°b=cos55 °，c=tan35 A．a＞b＞c B．b＞c＞ a C．c＞b＞a ，°则（）D．c＞a＞b【剖析】可得b=sin35 °，易得b＞a，c=tan35 °=＞sin35 °综合可得．，【解答】解：由引诱公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35 °，由正弦函数的单一性可知b＞a，而 c=tan35 °=＞ sin35 °=b，∴ c＞b＞a应选： C．4．（5 分）（2014?纲领版）若向量、知足：| | =1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| | =（ ）A ．2B ．C ．1D ．【剖析】 由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+ ） ?，（ 2+ ） ? ，=0 =0由此求得 | | ．【解答】 解：由题意可得，（ + ）?=+=1+，∴﹣ ；=0= 1（2+）?=2 + ﹣，∴ 2 ，=2+ =0 b =2则||=，应选： B ．5．（ 5 分）（2014?纲领版）有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出2 名男医生、 1名女医生构成一个医疗小组，则不一样的选法共有（）A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种【剖析】依据题意，分 2 步剖析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式挨次求出每一步的状况数量，由分步计数原理计算可得答案．【解答】 解：依据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C 62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C 51=5 种选法，则不一样的选法共有 15× 5=75 种；应选： C ．．（ 分）（ 纲领版）已知椭圆： + （ ＞ ＞ ）的左、右焦点为 、 6 52014?C=1 a bF 1 2，离心率为，过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、B 两点，若△ AF 1 B 的周长为4，F则 C 的方程为（）A ．+=1． +y 2 =1B C ． +=1D ．+ =1【剖析】 利用△ AF 1B 的周长为 4 ，求出 a=，依据离心率为 ，可得 c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△ AF1B 的周长为 4，∵△ AF1B 的周长 =| AF1|+| AF2|+| BF1|+| BF2| =2a+2a=4a，∴4a=4 ，∴a= ，∵离心率为，∴，c=1，∴ b==，∴椭圆 C 的方程为+=1．应选： A．7．（ 5 分）（2014?纲领版）曲线y=xe x﹣1在点（ 1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【剖析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为 f ′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当 x=1 时， f ′（ 1） =2，即曲线 y=xe x﹣1在点（ 1， 1）处切线的斜率k=f （′1）=2，应选： C．8．（ 5 分）（ 2014?纲领版）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．PO1上，记为O，求出PO1，【剖析】正四棱锥P﹣ ABCD的外接球的球心在它的高OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为 4，底面边长为 2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R= ，∴球的表面积为4π?（）2=．故： A．9．（5 分）（2014?大版）已知双曲 C 的离心率 2，焦点 F1、F2，点 A 在C 上，若 | F1A| =2| F2A| ，cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲的定，以及余弦定理成立方程关系即可获得．【解答】解：∵双曲 C 的离心率 2，∴ e=，即c=2a，点 A 在双曲上，| F1A| | F2A| =2a，又 | F1A| =2| F2A| ，∴解得 | F1A| =4a， | F2A| =2a，|| F1F2| =2c，由余弦定理得cos ∠ AF2F1 ===．故： A．10．（ 5 分）（2014?大版）等比数列 { a n } 中， a4， 5 ，数列n} 的前 8 =2 a =5{ lga和等于（）A．6B．5C．4D．3【剖析】利用等比数列的性可得 a1 8 27 3 6 4 5．再利用数的运算性a =a a =a a =a a =10即可得出．【解答】解：∵数列 { a n } 是等比数列， a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1 +lga2+⋯+lga8=lg（a1a2?⋯ ?a8）=4lg10=4．应选： C．11．（ 5 分）（2014?纲领版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD? β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．AB 与CD 所成角，【剖析】第一作出二面角的平面角，而后再结构出异面直线利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过 A 点做 AE⊥ l，使 BE⊥β，垂足为 E，过点 A 做 AF∥CD，过点 E 做 EF⊥AE，连结 BF，∵AE⊥l∴∠ EAC=90°∵CD∥AF又∠ ACD=135°∴∠ FAC=45°∴∠ EAF=45°在 Rt△BEA中，设 AE=a，则 AB=2a，BE= a，在 Rt△AEF中，则 EF=a，AF= a，在 Rt△BEF中，则 BF=2a，∴异面直线 AB 与 CD所成的角即是∠ BAF，∴ cos∠ BAF===．应选： B．12．（ 5 分）（2014?纲领版）函数 y=f （ x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，则y=f （ x ）的反函数是（）A ．y=g （x ）B ．y=g （﹣ x ）C ．y=﹣g （x ）D ．y=﹣g （﹣ x ）【剖析】 设 P （x ，y ）为 y=f （ x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（ y ，x ）一点在 y=f （ x ）的图象上， P ′（y ，x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （ x ）图象上，代入分析式变形可得．【解答】 解：设 P （ x ， y ）为 y=f （x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（y ， x ）一点在 y=f （x ）的图象上，又∵函数 y=f （x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，∴ P ′（y ， x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （x ）图象上，∴必有﹣ y=g （﹣ x ），即 y=﹣ g （﹣ x ）∴ y=f （ x ）的反函数为： y=﹣g （﹣ x ）应选： D ．二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分 )13．（5 分）（ 2014?纲领版）的睁开式中 x 2y 2 的系数为70 ．（用数字作答）【剖析】先求出二项式睁开式的通项公式，再令x 、y 的幂指数都等于 2，求得 r的值，即可求得睁开式中 x 2y 2 的系数．【解答】解：的睁开式的通项公式为T r +1 r?= ?（﹣ ）= ? 1 ?（﹣ 1） r ??，令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，故睁开式中 x 2y 2的系数为=70，故答案为： 70．、 知足拘束条件，则 z=x+4y 的最大14．（5 分）（ 2014?纲领版）设 x y值为5 ．【剖析】由拘束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 由图获得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 C（ 1， 1）．化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大．此时 z max=1+4×1=5．故答案为： 5．15．（ 5 分）（ 2014?纲领版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（ 1，3），则 l1与 l2的夹角的正切值等于．【剖析】设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，由直角三角形中的边角关系求得sin θ=的值，可得cos θ、 tan θ的值，再依据tan2 θ=，计算求得结果．【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA==，圆的半径为 r=，∴ sin θ= =，∴ cosθ=，tanθ== ，∴ tan2 θ=== ，故答案为：．16．（ 5 分）（2014?纲领版）若函数f（ x） =cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则 a 的取值范围是（﹣∞，2]．【剖析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，而后令t=sinx 换元，依据给出的x 的范围求出t 的范围，联合二次函数的图象的张口方向及对称轴的地点列式求解 a 的范围．【解答】解：由 f（ x）=cos2x+asinx=﹣2sin2 x+asinx+1，令 t=sinx，则原函数化为 y=﹣2t2 +at+1．∵ x∈（，）时f（x）为减函数，则 y=﹣2t 2+at+1 在 t∈（，1）上为减函数，∵ y=﹣2t2+at+1 的图象张口向下，且对称轴方程为t= ．∴，解得： a≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2] ．故答案为：（﹣∞， 2] ．三、解答题17．（ 10 分）（ 2014?纲领版）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B．【剖析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[ π﹣（A+C）] =﹣tan （A+C）即可得出．【解答】解：∵ 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵ tanA= ，∴2tanC=3× =1，解得 tanC= ．∴ tanB=tan[ π （ A+C）] = tan（ A+C）=，== 1∵ B∈（ 0，π），∴B=18．（ 12 分）（ 2014?大版）等差数列 { a n} 的前 n 和 S n，已知 a1=13，a2整数，且 S n≤S4．（ 1）求 { a n } 的通公式；（ 2）b n=，求数列{ b n} 的前n 和T n．【剖析】（1）通 S n≤ S4得 a4≥0，a5≤0，利用 a1=13、 a2整数可得 d= 4，而可得；（ 2）通 a n =13 3n，分别分母可得b n= （），并相加即可．【解答】解：（1）在等差数列 { a n} 中，由 S n≤S4得：a4≥ 0， a5≤0，又∵ a1=13，∴，解得≤d≤ ，∵ a2整数，∴ d= 4，∴{ a n} 的通： a n=17 4n；（ 2）∵a n =17 4n，∴ b n===（），于是 T n=b1+b2+⋯⋯+b n[ （）+（）+⋯⋯+（） ]== （）=．．（分）（ 2014?大版）如，三棱柱1 11中，点A1 在平面ABC19 12ABC ABC内的射影 D 在 AC上，∠ ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明： AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA 与平面1BCC的距离为1B1，求二面角 A ﹣AB﹣ C 的大小．1【剖析】（Ⅰ）由已知数据联合线面垂直的判断和性质可得；（Ⅱ）作协助线可证∠ A1FD 为二面角 A1﹣ AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵ A1D⊥平面 ABC，A1D? 平面 AA1 C1C，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥AC∴BC⊥平面 AA1C1C，连结 A1C，由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1⊥ A1C，又 AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面 A1 BC， AB1? 平面 A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵ BC⊥平面 AA1C1C，BC? 平面 BCC1B1，∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1，作 A1E⊥CC1，E 为垂足，可得 A1E⊥平面BCC1B1，又直线 AA1∥平面 BCC1B1，∴ A为直线AA1与平面 BCC的距离，即 A，1E1B11E=∵A1C 为∠ ACC1的均分线，∴ A1D=A1E= ，作 DF⊥ AB，F 为垂足，连结 A1 F，又可得 AB⊥A1D， A1 F∩ A1D=A1，∴AB⊥平面 A1DF，∵ A1 F? 平面 A1DF∴A1F⊥ AB，∴∠ A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣ C 的平面角，由 AD==1 可知 D 为 AC中点，∴ DF== ，∴tan∠ A1FD= = ，∴二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 arctan20．（ 12 分）（2014?纲领版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设施的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人能否需使用设施互相独立．（Ⅰ）求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．【剖析】记 A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设施，i=0， 1，2，B 表示事件：甲需要设施， C 表示事件，丁需要设施， D 表示事件：同一工作日起码 3 人需使用设施（Ⅰ）把 4 个人都需使用设施的概率、 4 个人中有 3 个人使用设施的概率相加，即得所求．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出 PX i，再利用数学希望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日起码3 人需使用设施”的概率为0.6×0.5× 0.5×0.4+（1﹣0.6）× 0.5×0.5× 0.4+0.6×（ 1﹣0.5）× 0.5× 0.4+0.6×0.5×（ 1﹣ 0.5）× 0.4+0.6×0.5×0.5×（ 1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4P（X=0） =（ 1﹣0.6）× 0.52×（ 1﹣0.4）=0.06P（X=1） =0.6×0.52×（ 1﹣0.4）+（ 1﹣ 0.6）× 0.52×0.4+（1﹣0.6）× 2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4） =P（A2?B?C）=0.52× 0.6×0.4=0.06，P（X=3） =P（D）﹣ P（ X=4）=0.25，P（X=2） =1﹣P（X=0）﹣ P（X=1）﹣ P（X=3）﹣ P（X=4）=1﹣0.06﹣ 0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学希望 EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=221．（ 12 分）（ 2014?纲领版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 | QF| = | PQ| ．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、B 两点，若 AB的垂直均分线l 与′ C 订交于 M 、N 两点，且 A、M 、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【剖析】（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（ x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得 x0= ，依据 | QF| = | PQ| 求得 p 的值，可得 C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 | AB| ．把直线 l 的′方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得 | MN| ．因为 MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得 x0= ，∵点 P（0，4），∴ | PQ| = ．又 | QF| =x0+ = + ， | QF| = | PQ| ，∴+ = ×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．故 C 的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直， y2=4x 的焦点 F（ 1， 0），设 l 的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得 y2﹣ 4my﹣ 4=0，明显鉴别式△ =16m2+16＞ 0，y1+y2=4m，y1?y2=﹣ 4．∴ AB的中点坐标为 D （ 2m2+1 ， 2m ），弦长 | AB| =| y1﹣y 2| =（m2+1）．=4又直线 l 的′斜率为﹣ m，∴直线 l ′方程为的x=﹣y+2m2+3．过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、 B 两点，若 AB 的垂直均分线 l 与′ C 订交于 M 、N 两点，把线 l ′方程代入抛物线方程可得的y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴ y3+y4=，y3?y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，），∴ | MN| =| y3﹣y4| =，∵MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，∴+DE2= MN 2，∴ 4（ m2+1）2 ++= ×，化简可得m2﹣1=0，∴m=± 1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣ 1=0．22．（ 12 分）（ 2014?纲领版）函数 f（ x） =ln（ x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设 a1=1， a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈ N*）．【剖析】（Ⅰ）求函数的导数，经过议论 a 的取值范围，即可获得 f （x）的单一性；（Ⅱ）利用数学概括法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（﹣ 1，+∞），f （′x）=，①当 1＜a＜2 时，若 x∈（﹣ 1，a2﹣2a），则 f （′x）＞ 0，此时函数 f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，0），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a，0）上是减函数，若 x∈（ 0，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数．②当 a=2 时， f ′（x）≥0，此时函数 f（ x）在（﹣ 1，+∞）上是增函数，③当 a＞2 时，若 x∈（﹣ 1，0），则 f ′（x）＞ 0，此时函数 f （x）在（﹣ 1， 0）上是增函数，若 x∈（ 0，a2﹣ 2a），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ 0，a2﹣2a）上是减函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a， +∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2 时，此时函数 f（x）在（﹣ 1， +∞）上是增函数，当 x∈（ 0，+∞）时， f（ x）＞ f（ 0） =0，即 ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3 时， f（ x）在（ 0，3）上是减函数，当 x∈（ 0，3）时， f（x）＜ f（0）=0，ln（x+1）＜，下边用数学概括法进行证明＜a n≤成立，①当 n=1 时，由已知＜，故结论成立．②假定当 n=k 时结论成立，即＜，则当 n=k+1 时， a n+1（n+1）＞ ln（）＞，=ln aa k+1=ln（a k+1）＜ ln（）＜，即当 n=k+1 时，＜成立，综上由①②可知，对任何n∈N?结论都成立．。

2014届高三理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的图象与性质一、选择题1 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+【答案】A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A ．2 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π【答案】B ．3 ．（2013届北京大兴区一模理科）函数()f x =（ ）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增【答案】D4 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】 C ．5 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）函数21sin 22y x x =+的最小正周期等于（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π【答案】A 【解析】11cos 2=sin 2222x y x ++-1=sin 22sin(2)223x x x π+=+,所以函数的周期222T πππω===,选A ． 6 ．（2013北京高考数学（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案. 7 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

三角函数图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图像定义域 R R{x |x ∈R ，且x ≠ k π＋π2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎡2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2为增；[ 2k π＋⎦⎤π2，2k π＋3π2为减[2k π，2k π＋π]为 减；[2k π－π，2k π]为增⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2为增对称 中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． [试一试]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是________．2．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤3π4的值域是________．1．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域； (2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． [练一练]1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是________．2．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．考点一三角函数的定义域与值域1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．3．(1)函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性[典例] 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x .若将本例(1)改为“y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4”，如何求解？[类题通法]三角函数的单调区间的求法(1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [针对训练]1．(2013·盐城二模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．2．(2013·苏北四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：(1)求三角函数的对称轴或对称中心； (2)由三角函数的对称性求参数值； (3)三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．角度二 由三角函数的对称性求参数值2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.3．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．[类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[课堂练通考点]1．(2014·常州统考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________．3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．5．(2013·南京二模)对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： (1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心；(4)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减． 其中是真命题的是________(填序号)．。

第3讲三角函数的图象与性质A级基础演练（时间:30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分）1．（2011·山东）若函数f(x)＝sin ωx（ω＞0）在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减,则ω＝（）．A.错误!B。

错误!C．2 D．3解析由题意知f（x)的一条对称轴为x＝错误!,和它相邻的一个对称中心为原点，则f（x)的周期T＝错误!，从而ω＝错误!。

答案B2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ）＋3cos（x＋θ)错误!是偶函数，则θ的值为（)．A．0 B。

错误!C。

错误! D.错误!解析据已知可得f(x)＝2sin错误!,若函数为偶函数,则必有θ＋错误!＝kπ＋π2（k∈Z),又由于θ∈错误!,故有θ＋错误!＝错误!,解得θ＝错误!，经代入检验符合题意．答案B3．函数y＝2sin错误!(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为（)．A．2－错误!B．0 C．－1 D．－1－错误!解析∵0≤x≤9，∴－错误!≤错误!x－错误!≤错误!,∴－错误!≤sin错误!≤1，∴－错误!≤2sin错误!≤2.∴函数y＝2sin错误!(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－错误!。

答案A4．（2011·安徽）已知函数f（x）＝sin（2x＋φ)，其中φ为实数．若f（x）≤错误!对x∈R恒成立，且f错误!＞f(π)，则f（x）的单调递增区间是( ）．A。

错误!(k∈Z)B。

错误!(k∈Z)C。

错误!(k∈Z)D.错误!(k∈Z)解析由f（x）＝sin（2x＋φ），且f(x）≤错误!对x∈R恒成立，∴f错误!＝±1,即sin错误!＝±1.∴错误!＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z）．∴φ＝kπ＋错误!(k∈Z)．又f错误!〉f(π），即sin（π＋φ)〉sin(2π＋φ)，∴－sin φ〉sin φ。

∴sin φ<0.∴对于φ＝kπ＋错误!（k∈Z），k为奇数．∴f(x)＝sin（2x＋φ）＝sin错误!＝－sin错误!。

（考黄金）2014届高考数学一轮检测 第8讲 三角函数的图象与性质（含函数y=Asin （wx ＋￠）的图象）精讲 精析 新人教A 版2013考题1.（2013某某高考）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于，则()f x 的单调递增区间是（ ）（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈（B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈（C ）[,],36k k k Zππππ-+∈（D ）2[,],63k k k Z ππππ++∈【解析】 选C.()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=， 由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k zππππ-≤≤+∈.2.（2013某某高考）函数()sin cos f x x x =最小值是（ ）A ．-1 B. 12-C. 12 D.1【解析】选B. 1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-. 3.（2013某某高考）函数1)4(cos 22--=πx y 是 （ ）A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数【解析】选A.因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭为奇函数,22T ππ==.4.（2013某某高考）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ）（A ）23-(B) 23 (C)－12 (D) 12【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.5.（2013某某高考）已知是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（）【解析】选D.对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．6.（2013全国Ⅰ）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）（A ）6π（B ）4π（C ）3π (D) 2π【解析】选A.函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 7.（2013某某高考）若函数()(13tan )cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．C ．31+D ．32+【解析】选B.因为()(13tan )cos f x x x =+=cos 3sin x x +=2cos()3x π- 当3x π=时，函数取得最大值为2.8.（2013某某高考）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．32πC ．D ．2π【解析】选A.由()(13tan )cos cos 3sin 2sin()6f x x x x x x π=+=+=+可得最小正周期为2π.9.（2013某某某某高考）已知函数y=sin （x+）（>0, -<）的图像如图所示，则=________________ 【解析】由图可知，()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有：89,510ππϕϕ⎛⎫+∴=⎪⎝⎭1=sin 答案：910π10.（2013某某某某高考）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10：三角函数的图像及性质一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D ．当2x π=时,02y π=>,排除 B ．当34x π=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A ．2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos yx g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A, B ．当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C ．3 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知a 是实数,则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是【答案】D 【解析】A 中,周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T aππ=<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D ． 4 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是【答案】C5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））函数)2ln(sin)(+=x xx f 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 6 ．（2013山东高考数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,C ．当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选D ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在，上的图象大致为【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,B ．当2x π→时,0y <,所以排除D,选 C ．8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是（ ）y1 1 -1 -2xy11 -1 O xO y11 -1 O xy1 -1-1 -2xOA ．关于点()8,1π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称 C ．向左平移8π后得到奇函数D ．向左平移8π后得到偶函数【答案】C 【解析】对于A:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A;对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D ．故选 C ．9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ． 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22sin(2x y-=π是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】B11．（2011年高考（山东理））若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω= （ ）A ．8B ．2C ．32D ．23【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππωω上单调递减, 则23ππω=,即32ω=,答案应选C ． 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[,]22k k x ππππωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即32ω=,答案应选C ．另解2:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03f π'=,即cos03πωω=,即()32k k ππωπ=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ．另解3:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则2()32k k ππωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ． 12．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 （ ）A ．)0,12(πB ．)1,3(πC ．）0,125(πD ．）（0,12-π 【答案】A13．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像【答案】C14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是 （ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π,所以周期为π,选 B ．15．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Zπϕπ=-+∈,所以()()3si n ()4fx A xA π=->,所以333()s in ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D ．17．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则（ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】由26T ππω==,所以13ω=,所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即12322k ππϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622k x k ππππ-+≤≤+,函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A18．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【答案】A 【解析】由题意可知5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω==,所以1ω=,所以()sin()f x x ϕ=+,所以由()sin()144f ππϕ=+=,即242k ππϕπ+=+,所以24k πϕπ=+,所以当0k =时,4πϕ=,所以选A ．19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数()()()s i nc o s fx x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π, 且()()f x f x -=,则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A 【解析】因为()()()sin cos )4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周期为π,所以2T ππω==,所以2ω=,即函数())4f x x πϕ=++,又函数()()f x f x -=,所以函数为偶函数,所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,即,4k k Z πϕπ=+∈,因为||2πϕ<,所以当0k =时,4πϕ=,所以()s i n (2)2s i 2)2co s 2442fx x x x πππ=+++=,当02x π<<时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选（ ）A ．20．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+【答案】C21．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 （ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-,成中心对称B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4π个单位即得② C ．两个函数在区间(-4π,4π)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于 （ ）A ．32B ．23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B ． 二、填空题23．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数）（ππ2,0),3sin(2∈-=x x y 的单调递增区间为______________【答案】]61165[ππ， 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k ππk 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]611,65[ππ.24．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+-==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin()(0)2yx πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______.【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.27．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,1212ππ-)内是增函数; ⑤函数|()1|f x +的最小正周期为2π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④三、解答题28．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,12T ππωω==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭,即()12f x -≤≤, 当2,36x ππ+=-即4x π=-时,()min 1f x =-,当2,32x ππ+=即12x π=时,()max 2f x =29．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数在上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值. (3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求边a 的最小值.【答案】(1)的最小正周期(2)∴当,即时,当或时,即或时,435)(min +=x f(3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21)62sin(=+∴πA），6136(62πππ∈+A 6562ππ=+∴A 3π=∴A∵b+c=2∴1)2(34343)(22222=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号∴a 的最小值是130．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;4x π=12x π=2263x ππ+=263x ππ+=max 157()244f x =+=6x π=262x ππ+=22[,]633x πππ∴+∈[,]124x ππ∈ 22T ππ==()f x 15sin(2)264x π=++15cos 2244x x =+21()cos cos 12f x x x x =+x [,]124ππ()f x ()fx 21()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ(Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, x xxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ,故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x 31．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知函数()()x xf x cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;www.(Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6π,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值. 【答案】32．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==,记函数()()22f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;(II)函数()f x 的单调递增区间.【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间【答案】【解析】:(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+131311(cos sin )(cos sin )sin 2222224x x x x x =-+-+221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824xxx +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-2cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数)(x f 的最小正周期为 T π=,函数)(x f 的最大值为22(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈34．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量21cos 213(sin ,sin ),(cos 2sin 2,2sin )222x m x x n x x x +=+=-,设函数(),.f x m n x =⋅∈R(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.【答案】。

4.3 三角函数的图象与性质考纲要求1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象定义域 x ∈R x ∈Rx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 ______ ______ ______单调性 在______上递增，k ∈Z ；在______上递减，k ∈Z在______上递增，k ∈Z ；在______上递减，k ∈Z在______上递增，k ∈Z最值 x ＝________(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝________(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝________(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝__________(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性 ________ ________ ________对称性 对称中心 ______ _____ ______ 对称轴 ______ ____ 无对称轴最小正周期 ______ ______ ______1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数_D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )． A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D ．π45．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )． A ．π3 B ．2π3C ．π D．4π3一、三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．请做演练巩固提升2二、三角函数的单调性 【例2－1】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【例2－2】设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．方法提炼1．熟记y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 和y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的单调区间类似．请做演练巩固提升3三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性【例3－1】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________(用序号表示即可)．【例3－2】(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域． 方法提炼1．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象．2．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．请做演练巩固提升1不注意A ，ω的符号，易把单调性弄反或把区间左右的值弄反【典例】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．解析：由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴， 又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a的周期为π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝0，故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝±π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z .∵tan φ＝b a＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知，f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ， f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ， 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间也不确定，故④不正确．∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2. 又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0.∴－a 2＋b 2＜b ＜a 2＋b 2.∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交，故⑤不正确． 答案：①③ 答题指导：1．在解答本题时易犯以下两点错误：(1)在求④中f (x )的单调递增区间时，运算化简不准确，而使判断错误；(2)对于⑤的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误． 2．解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注： (1)化简时公式应用要准确；(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面； (3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域．1．(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π32．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间为__________．4．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎪⎫0＜a ＜π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．f (x ＋T )＝f (x )2．{y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π π2＋2k π－π2＋2k π 2k π π＋2k π 奇 偶 奇 (k π，0)，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z x ＝k π＋π2，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π 基础自测1．C 解析：∵f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R 既不是奇函数，也不是偶函数．2．D 解析：y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数，y ＝sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上不单调，y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数． 3．B 解析：令2x ＋π2＝k π(k ∈Z )．即x ＝k π2－π4(k ∈Z )，检验知，x ＝－π4，故选B.4．A 解析：由题意，周期T ＝π4，∴ω＝πT ＝4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.故选A.5．A 解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.考点探究突破【例1】解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，即函数的定义域为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2，或0<x <π2.(2)设sin x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.故当t ＝12，即x ＝π6时，y max ＝54，当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 【例2－1】A 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2. 又∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k π－52π，6k π＋π2(k ∈Z )． 取k ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52π，π2是f (x )的一个增区间，∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【例2－2】解：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x －cos 2x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.【例3－1】①②⇒③④(答案不唯一，也可填①③⇒②④) 解析：若把①②作条件可知ω＝2ππ＝2，ωx ＋φ＝2×π12＋φ＝k π＋π2，取φ＝π3.因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 可验证③④都是正确的，因此①②⇒③④， 同理可验证①③⇒②④.【例3－2】解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6 ＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．演练巩固提升1．C 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.2．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z解析：由已知得sin x －cos x ＞0，即sin x ＞cos x .在[0,2π]内满足sin x ＞cos x 的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π. 又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ π4＋2k π<x <⎭⎬⎫54π＋2k π，k ∈Z . 3．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )． 4．解：(1)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， 又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∴g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．5．解：f (x )＝sin x (cos x －3sin x )＝sin x cos x －3sin 2x ＝12sin 2x －3×1－cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a 个单位得y ＝sin 2(x ＋a )的图象，再向下平移b 个单位，得函数y ＝sin(2x ＋2a )－b 的图象，依题意得a ＝π6，b ＝32.(3)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．。

三角函数的图象与性质(时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．[2013·石家庄质检] 下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos2x 2．[2013·唐山模拟] 函数f (x )＝3sin2x ＋cos2x ( )A ．在⎝⎛⎭⎫－π3，－π6单调递减B ．在⎝⎛⎭⎫π6，π3单调递增C ．在⎝⎛⎭⎫－π6，0单调递减D ．在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3，1 B ．－2，2C ．－3，32D ．－2，324．[2013·太原外国语学校模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝tan x能力提升5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π26．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （0≤x ≤1），log 2 012x （x >1），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(2，2 013)B ．(2，2 014)C ．(3，2 013)D ．(3，2 014)8．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π39．[2013·唐山模拟] 若x ＝π6是函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx 图象的一条对称轴，当ω取最小正数时( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，－π6单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π3单调递增C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π6，0单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增10．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 11．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．12．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是________．13．[2013·泉州四校联考] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R .若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π12<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．14．(10分)[2013·山西五校调研] 设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．15．(13分)[2013·黄冈模拟] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈－π3，π2，fα＋π3＝13，求sin2α＋2π3的值．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域．【基础热身】1．D [解析] 周期是π的函数是y ＝sin2x 和y ＝cos2x ，其中y ＝cos2x 是偶函数．2．D [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x＝2⎝⎛⎭⎫sin2x cos π6＋cos2x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增．3．C [解析] ∵f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f (x )max ＝32，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3；故选C.4．B [解析] 由函数为偶函数，排除A ，D ；由在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.【能力提升】5．A [解析] 选项C ，D 中函数周期为2π，所以错误，当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2为减函数，而函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2为增函数，所以选A.6．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.7．A [解析] 数形结合法，画出函数f (x )的简图，作直线y ＝h ，移动此直线观察直线y＝h 与函数f (x )的图象有三个交点的情形，不妨设a ＜b ＜c ，则a ＋b 2＝12，1＜c ＜2 012，∴2＜a＋b ＋c ＜2 013.8．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，故选A.9．D [解析] f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由π6ω＋π6＝k π＋π2得ω＝6k ＋2，取最小正数为2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其在⎝⎛⎭⎫0，π6单调递增．10．π [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，故最小正周期为π.11.143 [解析] 依题f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，∴区间⎝⎛⎭⎫π6，π3为f (x )的一个半周期的子区间，且知f (x )的图象关于x ＝π6＋π32＝π4对称，∴π4·ω＋π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，取k ＝0得ω＝143. 12.⎣⎡⎦⎤π2，3π2 [解析] 本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式，y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性．属于基础知识、基本运算的考查．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin x cos π3＋cos x sin π3－3cos x cos π3－sin x sin π3＝2sin x ，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π2，3π2.13．①②③ [解析] 因为f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，θ＝π6，f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0正确；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π12<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5正确；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误． 14．解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以f (x )单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．(2)令f (x )＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0，1，2，则π12＋⎝⎛⎭⎫π＋π12＋⎝⎛⎭⎫2π＋π12＝13π4.∴在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.15．解：(1)因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f (x )为偶函数，所以φ＝π2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，又α＋π3∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝223，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝2×223×13＝429.【难点突破】16．解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴周期T ＝2π2＝π.对称轴方程为2x －π6＝π2＋k π，即x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。

18 三角函数的图象和性质一、填空题1．(2013江苏南通四校联考)若π4是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x (a R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________．2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.3．(2013江苏盐城高三年级模拟考试)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间为________．4．(2012山东高考改编)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．5．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0中心对称． 其中命题正确的是__________．(填序号)6．(2012全国高考改编)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ [0,2π])是偶函数，则φ＝________. 7．(2013江苏南通高三调研考试)已知函数f (x )＝3sin x 2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2013江苏泰州调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________．9．将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.二、解答题10．(2013江苏南通四校联考)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x (其中x R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )图象的对称轴．11.(2012江苏南通月考)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x .(1)若α[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x [0，π]，求f (x )的单调增区间．12．(2012重庆高考改编)设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)若周期为π，当x ⎝⎛⎭⎫－π12，π3时，求函数y ＝f (x )的值域； (2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．参考答案一、填空题1．π 解析：由题意，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin π2＋a cos 2π4＝0，即1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 从而f (x )＝sin 2x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，故f (x )的最小正周期为π.2．0 解析：由于函数f (x )＝ta n Ωx 的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，所以该函数的周期T ＝πω＝π4，因此Ω＝4，函数解析式为f (x )＝ta n 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝ta n ⎝⎛⎭⎫4×π4＝ta n π＝0. 3.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 4．2－3 解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤76π， 当π6x －π3＝－π3时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最小值2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3， 当π6x －π3＝π2时， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最大值2.∴最大值与最小值之和为2－ 3.5．①④ 解析：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的最大值为2，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③α，β是第一象限角且α＜β.例如：45°＜30°＋360°，但ta n 45°＞ta n(30°＋360°)，即ta n α＜ta n β不成立；④把x ＝π8代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4，得sin 3π2＝－1，所以直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得sin π2＝1，所以点⎝⎛⎭⎫π12，0不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心． 综上所述，只有①④正确．6.3π2 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3为偶函数，∴x ＝0时，f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2(k Z )，即φ＝3k π＋3π2(k Z )，∵φ [0,2π]，∴ k ＝0时，φ＝3π2符合题意． 7．2π 解析：根据题意可知，实数x 1，x 2分别表示f (x )取得最小值与最大值时x 的值，故|x 1－x 2|的最小值是半个周期，即2π.8.⎝⎛⎦⎤2k π，π3＋2k π(k Z ) 解析：要使函数有意义必须有∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .9.62 解析：∵f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故g ⎝⎛⎭⎫π4＝62. 二、解答题10．解：f (x )＝52sin 2x －531＋cos 2x 2＝52sin 2x －532cos 2x －532＝5⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x －532＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－532，(1)f (x )最小正周期T ＝π.(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k Z ，得f (x )的单调减区间为k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k Z . (3)由2x －π3＝k π＋π2(k Z )，得f (x )的对称轴为x ＝k π2＋5π12(k Z )． 11．解：(1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.∵sin 2α＝13＝2sin αcos α＞0，α [0，π]， ∴α⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α＞0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝43，得sin α＋cos α＝233， ∴f (α)＝233. (2)∵f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由题意得2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2， 即2k π－34π≤x ≤2k π＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 12．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin Ωx ＋cos 2Ωx ＝23sin Ωx cos Ωx ＋2sin 2Ωx ＋cos 2Ωx －sin 2Ωx＝3sin 2Ωx ＋1.因T ＝2π2ω＝π，所以Ω＝1， 此时2x ⎝⎛⎭⎫－π6，2π3，－12＜sin 2x ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤1－32，1＋3. (2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k Z )上为增函数，故f (x )＝3sin 2Ωx ＋1(Ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω (k Z )上为增函数． 依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k Z 成立，此时必有k ＝0，于是解得Ω≤16，故Ω的最大值为16.。

三角函数的图象与性质一、选择题(每小题6分，共36分)1.(预测题)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) (A)关于直线x ＝π3对称 (B)关于点(π3，0)对称 (C)关于直线x ＝－π6对称 (D)关于点(π6，0)对称 2.(2012·抚顺模拟)函数f(x)＝3sinx ＋4cosx ＋5的最小正周期为( )(A)π5 (B)π2(C)π (D)2π 3.已知函数f(x)＝2cos(ωx ＋π6)(ω＞0)的最小正周期为π，那么ω＝( ) (A)13 (B) 12(C)1 (D)2 4.(2012·济南模拟)使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) (A)π4 (B) π2 (C)π (D)3π25.已知函数f(x)＝sin(2x －π6)，若存在a∈(0，π)，使得f(x ＋a)＝f(x －a)恒成立，则a 的值是( ) (A)π6 (B)π3 (C)π4 (D)π26.已知函数y ＝sinx 的定义域为[a ，b]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( ) (A)π3 (B)2π3 (C)π (D)4π3二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·潍坊模拟)函数y ＝sin(x ＋π3)在区间[0，π2]的最小值为 . 8.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是 .9.在(0,2π)内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·聊城模拟)已知sin(π－θ)＋3cos(π＋θ)＝0，其中θ∈(0，π2)(1)求sin θ，cos θ的值；(2)求函数f(x)＝sin 2x ＋tan θcosx(x∈R)的值域.11.已知函数f(x)＝cosx －3sinx ＋1(x∈R).(1)求函数y ＝f(x)的最大值，并指出取得最大值时相应的x 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间.【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝sin2x ＋acos 2x(a∈R，a 为常数)，且π4是函数y ＝f(x)的零点. (1)求a 的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，π2]，求函数f(x)的值域，并写出f(x)取得最大值时x 的值.答案解析1.【解析】选B.由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x ＋π3)，又f(π3)＝sin(23π＋π3)＝sin π＝0，故图象关于点(π3，0)对称. 2.【解析】选D.f(x)＝5sin(x ＋φ)＋5(其中sin φ＝45，cos φ＝35). ∴f(x)的最小正周期T ＝2π1＝2π. 3.【解析】选D.由题设知T ＝2πω＝π，∴ω＝2. 4.【解析】选C.若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0即sin φ＝0∴φ＝k π(k ∈Z)，故选C.5.【解析】选D.因为函数满足f(x ＋a)＝f(x －a)，所以函数是周期函数，且周期为2a,2a ＝2π2，所以a ＝π2. 【方法技巧】周期函数的理解(1)周期函数定义中的等式：f(x ＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每个x 值都成立，若只是存在个别x 满足等式的常数T 不是周期.(2)每个周期函数的定义域是一个无限集，其周期有无穷多个，对于周期函数y ＝f(x)，T 是周期，则kT(k ∈Z ，k ≠0)也是周期，但并非所有周期函数都有最小正周期.6.【解题指南】解决此类题目利用数形结合，画出草图，因为知道最小值是－1，再根据周期性就可得到b －a 的可能的值.【解析】选A.画出函数y ＝sinx 的草图，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]. 【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)满足条件f(x ＋12)＋f(x)＝0，则ω的值为( )(A)2π (B)π (C)π2 (D)π4【解析】选A.由f(x ＋12)＋f(x)＝0得f(x ＋12)＝－f(x)，所以f(x ＋1)＝f(x)，故函数的周期是1，又由2πω＝1得ω＝2π. 7.【解析】∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π3∈[π3，5π6]， 12≤sin(x ＋π3)≤1， ∴y ＝sin(x ＋π3)在[0，π2]上的最小值为12. 答案：128.【解析】若函数为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，因为0≤φ≤π，所以φ＝π2. 答案：π29.【解题指南】利用函数图象或者三角函数线可以得到答案.【解析】利用y ＝sinx 和y ＝cosx 的图象可知道在(0,2π)上sin π4＝cos π4，sin 5π4＝cos 5π4，所以若sinx ＞cosx ，则有π4＜x ＜5π4. 答案：(π4，5π4) 10.【解析】(1)由题意得sin θ－3cos θ＝0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈(0，π2)，∴sin θ＝31010，cos θ＝1010， (2)f(x)＝sin 2x ＋3cosx ＝1－cos 2x ＋3cosx.令t ＝cosx ，t ∈[－1,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋1，∴y min ＝－3，y max ＝3，即值域为[－3,3].11.【解析】(1)f(x)＝cosx －3sinx ＋1＝2(12cosx －32sinx)＋1 ＝2(cosxcos π3－sinxsin π3)＋1＝2cos(x ＋π3)＋1， (注：此处也可是2sin(π6－x)＋1等) 所以f(x)的最大值是3，此时x ＋π3＝2k π，即x ＝2k π－π3，k ∈Z. (2)因为余弦函数的单调增区间为[2k π－π， 2k π](k ∈Z)∴2k π－π≤x ＋π3≤2k π ∴2k π－4π3≤x ≤2k π－π3∴y ＝f(x)的单调增区间为[2k π－4π3，2k π－π3](k ∈Z) 【探究创新】【解析】(1)由于π4是函数y ＝f(x)的零点， 即x ＝π4是方程f(x)＝0的解， 从而f(π4)＝sin π2＋acos 2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f(x)＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f(x)＝2sin(2x －π4)－1， 所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]， 则sin(2x －π4)∈[－22，1]， 则－1≤2sin(2x －π4)≤2， －2≤2sin(2x －π4)－1≤2－1， ∴函数f(x)的值域为[－2，2－1].当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋38π时，f(x)有最大值， 又x ∈[0，π2]，故k ＝0时，x ＝38π， f(x)有最大值2－1.。