2.3.1等比数列的概念

2.3.1等比数列1.通过实例，理解等比数列的概念；2.探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；一、课前准备1.等差数列是怎样定义的？其通项公式怎样？2.等差数列具有哪些性质？二、新课导学 ※ 探索新知探究1：中国古代数学是数学史上的一颗明珠，下面我们来看几个中国古代数学问题：1、《孙子算经》中载有著名问题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。

问各有几何？2、庄子《天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 3、《算法统宗》中有这样一题:“一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？它们的共同特点是 新知1：等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。

即：若()为常数q n q a a n n,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。

试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比。

(1) 1，3，9，27，81，243，… (2) 1,1,1,1,... (3) a, a, a, a,… (4) 1, 6, 36, 0,…(5) 32，3，6，12…332n -⨯ …例1．已知数列{a n }的通项公式为a n =3×2n，试问这个数列是等比数列吗？探究2：设a 1，a 2，a 3…是公比为q 的等比数列，结合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项公式？新知2：等比数列的通项公式为： 。

注：①公比q 是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。

②当首项等于0时，数列的项都是0；当公比为0时，数列的项也都是0；所以首项和公比都不可以是0。

③当公比q=1时，数列是怎么样的？④若首项为正，当公比q 大于1，公比q 小于1时数列的增减性分别如何？ 例2、在等比数列{}n a 中， （1）已知,2,31-==q a 求6a ； （2）已知160,2063==a a ，求n a新知3：等比中项若b G a ,,成等比数列，则 ；其中G 叫做a 与b 的 。

高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。

在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。

本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。

1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。

2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。

2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。

当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。

2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。

首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。

推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。

同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。

2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。

等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。

3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。

如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。

首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。

3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。

例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。

等比数列的性质总结1. 定义等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。

常数称为等比数列的公比。

等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。

2. 性质2.1 前项与后项的比在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。

即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$2.2 通项公式等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。

假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$2.3 任意项与首项的比在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。

即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$2.4 前$n$项和公式等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。

假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$2.5 无穷项和当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。

无穷项和的计算公式为：$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$3. 应用及例题等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。

需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。

例题1：在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？解答：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：$$a_7 = 1 \cdot 2^{7-1} = 64$$因此，等比数列中第7项的值为64。

2.3.1等比数列（第一课时）教学目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式教学重点：等比数列的定义及通项公式教学过程一、1.折纸问题的例子2.数列： ,625,125,25,5 ,81,41,21,1-- 观察、归纳其共同特点：1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )2︒任一项00≠≠q a n 且3︒ q = 1时，{a n }为常数 二、通项公式：1.等比数列的通项公式1:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … … 0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n2．等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.图像是经过压缩或拉伸的指数函数图像上的若干孤立点三、补充例子：例1求下列各等比数列的通项公式：1． 1a =-2, 3a =-8解：24213±=⇒=⇒=q q q a an n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或2． 1a =5, 且21+n a =-3n a 解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又： 例2培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{}n a其中101551105.2120120,120,120⨯≈⨯=∴==-a q a答：到第5代大约可以得到种子2.51010⨯粒.小结：本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n 等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程课堂练习：第50页练习A,B课后作业：第54页：1，2，3。

等比数列的证明方法一、等比数列的概念。

1.1 等比数列是一种很有趣的数列。

简单来说呢，就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。

这个常数啊，就叫做等比数列的公比，咱可以用字母q来表示。

就像一群小伙伴排队，每个小伙伴和他前面那个小伙伴之间存在着一种固定的比例关系。

比如说2，4，8，16这个数列，4除以2等于2，8除以4等于2，16除以8也等于2，这里的2就是公比。

1.2 等比数列在生活中也有不少例子。

就拿细胞分裂来说，一个细胞每次分裂成两个，那么细胞的个数就构成了一个等比数列。

开始是1个，然后2个，4个，8个，依次类推。

这就像滚雪球一样，越滚越大，公比就是2。

2.1 定义法。

这是最基本的方法。

如果要证明一个数列是等比数列，那就得按照定义来。

先求出数列的相邻两项的比值，看看这个比值是不是一个常数。

比如说有个数列{an}，咱们要算an + 1 / an ，如果不管n取什么值，这个比值都等于一个固定的数q，那这个数列就是等比数列。

这就好比是一把尺子，用这个方法去衡量一个数列是不是等比数列，一量就准。

2.2 等比中项法。

对于一个数列{an}，如果对于任意的正整数n，都有an + 1² = an an + 2，那么这个数列就是等比数列。

这就像是一个天平的平衡关系，中间那一项的平方就像天平的支点，左右两边的项相乘就像天平两边的砝码，要是这个平衡关系始终成立，那这个数列就是等比数列。

比如说1，2，4这个数列，2² = 1×4，满足这个关系，所以它是等比数列。

2.3 通项公式法。

等比数列有一个通项公式an = a1 q^(n 1)（a1是首项）。

如果一个数列的通项公式能够写成这种形式，那这个数列就是等比数列。

这就像是给数列穿上了一件特定的衣服，如果这件衣服合身，那这个数列就是等比数列。

比如说数列an = 3×2^(n 1)，它符合等比数列的通项公式，首项a1 = 3，公比q = 2，所以它是等比数列。

数列知识点总结tn一、数列的定义及基本概念1.1 数列的定义数列是由一列按照一定顺序排列的数依次组成的集合，通常用{an}或{an}表示，其中an是数列的第n项。

1.2 数列的基本概念（1）通项公式：数列的第n项由其位置n的表达式称为通项公式，通常用an表示。

（2）公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，通常用d表示。

（3）公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，通常用r表示。

（4）首项：数列中的第一项称为首项，通常用a1表示。

（5）末项：数列中的最后一项称为末项，通常用an表示。

（6）有限数列和无限数列有限数列指数列中只含有有限个元素的数列，无限数列指数列中含有无限个元素的数列。

1.3 数列的表示方式数列可以通过列表、图形、公式等方式进行表示，听起来是不是觉得有点生硬呢？我们简单来举个例子，例如一个等差数列-2,-1,0,1,2，我们可以用列表的形式表示为{-2，-1，0，1，2}，用图形的形式可以表示为一列等距排列的点，用公式的形式可以表示为an=n-3。

这样是不是就好理解多了呢？二、等差数列2.1 等差数列的概念等差数列是指数列中任意两个相邻的项的差等于同一个常数d的数列，这个常数d称为等差数列的公差。

2.2 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d。

2.3 等差数列前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和Sn可以表示为Sn=n/2*[a1+an]或Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，这个公式的推导过程还是挺有意思的。

2.4 等差数列的性质（1）等差数列的性质：若{an}是等差数列，则有an=a1+(n-1)d。

（2）等差数列前n项和的性质：若{an}是等差数列，则其前n项和Sn=n/2*[a1+an]。

2.5 等差数列的应用等差数列可以在很多领域进行应用，特别是在数学、物理、经济学等领域更是有深远的影响。

三、等比数列3.1 等比数列的概念等比数列是指数列中任意两个相邻的项的比等于同一个常数r的数列，这个常数r称为等比数列的公比。

判断为等比数列的方法一、等比数列的基本概念。

1.1 等比数列是啥呢？简单来说，就是一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。

这个常数啊，就叫做等比数列的公比。

比如说数列2，4，8，16，32，这里每一项除以它前面那一项，得到的都是2，这个2就是公比啦。

这就像一群小伙伴，按照一个固定的比例关系排排坐呢。

1.2 等比数列的通项公式是啥呢？那就是a_n=a_1q^n 1，这里a_n表示第n项，a_1是首项，q就是公比。

这个公式就像是等比数列的身份证一样，有了它，就能知道这个数列的各项情况啦。

就好比你知道了一个人的基本信息，就能对这个人有更多的了解一样。

二、判断等比数列的方法。

2.1 最直接的方法就是看比值。

从数列的第二项开始，依次计算每一项和它前一项的比值。

如果这些比值都相等，那这个数列就是等比数列。

这就像检查一群士兵是不是都按照相同的步伐前进一样，要是每个士兵和前面士兵的间距比例都一样，那队伍就是整齐的等比数列啦。

比如说数列1， 3，9， 27，计算-3÷1=-3，9÷(-3)= 3，-27÷9=-3，比值都是 3，所以它是等比数列。

这就好比是“小葱拌豆腐——一清二楚”，通过计算比值就能明明白白地判断出来。

2.2 还有一种情况，如果已知数列的通项公式，那也能判断。

如果通项公式可以写成a_n=a_1q^n 1这种形式，那这个数列就是等比数列。

这就像是一把万能钥匙，只要通项公式符合这个模式，那就相当于打开了等比数列的大门。

比如说通项公式a_n=3×2^n 1，很明显a_1=3，公比q = 2，那这个数列就是等比数列。

这就好比是“按图索骥”，按照这个通项公式的图就能找到等比数列这个骥。

2.3 要是给了数列的递推公式呢？如果递推公式是a_n=q× a_n 1（n≥2）这种形式，那这个数列也是等比数列。

这就像接力赛一样，后一棒是前一棒的固定倍数，那整个队伍就是等比数列啦。

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