重庆市第八中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题

重庆市巴蜀中学校高2025届高二（下）期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题1.已知集合{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5A B C ===，则()A B C ⋃⋂=（ ） A.{}3 B.{}1,2,3,4 C.{}1,2,3,5 D.{}1,2,3,4,52.已知函数()1y f x =-的定义域为()1,5，则函数()2y f x=的定义域为（ ）A.()2,0-B.()0,2C.()2,2-D.()()2,00,2-⋃3.已知函数()y f x =在区间D 上连续可导，则“()0f x …在区间D 上恒成立”是“()f x 在区间D 上单调递增”的（ ）条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为175cm ，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为165cm ，则这个班级的平均身高估计为（ ）cm .A.168.75B.169C.171D.171.255.甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单班回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ） A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.66.已知12F F ､分别是椭圆22:16x C y y =+=的左､右焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点，动点M 满足22(1)F M F P λλ=>，且1PM PF =，则动点M 的轨迹方程为（ ）A.22(6x y +=B.22(6x y +=C.22(24x y +=D.22(24x y +=7.设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.b a c <<D.a b c <<8.某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A.6 B.7 C.8 D.9二､多选题9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；A.根据小概率值0.025=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025B.根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01C.该药物的预防有效率超过97.5%D.若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.00510.已知三次函数()35(0)f x x bx b =++<有极小值点2x =，则下列说法中正确的有（ ）A.3b =-B.函数()f x 有三个零点C.函数()f x 的对称中心为()1,3D.过()1,1-可以作两条直线与()y f x =的图象相切11.已知实数,x y ，满足2227x y xy ++=，则下列说法正确的是（ ）A.x y +…B.1xy …C.226x y +-…D.2228x y +-…三､填空题12.函数()3f x x =__________. 13.设函数()2,0,0x x f x x x -<⎧=⎨⎩…，则不等式()()22f x f x ++>的解集为__________. 14.小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字12345､､､､，假设每次转动转盘后箭头指向数字12345､､､､的概率相等，游戏()1,2,3n n =要转动转盘n 次，如果这n 次箭头指向的数字不大于42n -，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________.四､解答题15.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)*1Δ(n n n a a a n +=-∈N，已知数列{}Δn a 为常数列，且245,24a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 16.随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：（1）若该地区新能源汽车车主的年龄X （单位：岁）近似服从正态分布()45,64N ，其中年龄(61,69]X ∈的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数） （2）已知变量x 与y 之间的相关系数r =，请求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据：①若随机变量()2,X Nμσ~，则()()0.6827;220.9545P XP X μσμσμσμσ-+=-+=剟剟；()330.9973P x μσμσ-+=剟；②()()()()()121ˆnniiiii nii x x y y x x y y r bx x ==----==-∑∑∑；③()621210,30i i y y y =-==∑.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线22133y x -=在第一象限内的交点M （1）求拋物线C 的标准方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A B ､两点，且直线MA MB ､的倾斜角互补，求直线l 的斜率.18.甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为23，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第n 场比赛的概率为()n P n N +∈. （1）求12,P P ； （2）求()n P n +∈N ；（3）记前n 场比赛（即从第1场比赛到第n 场比赛）中甲参加的比赛的场数为X ，求()E X . 参考资料：若12,,,n X X X 为n 个随机变量，则()1111n ni i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.19.请阅读下列2段材料：材料1：若函数()y f x =的导数()f x '仍是可导函数，则()f x '的导数()f x ''⎡⎤⎣⎦成为()f x 的二阶导数，记为()f x ''；若()f x ''仍是可导函数，则()f x ''的导数()f x '⎡'⎤⎣⎦'成为()f x 的三阶导数，记为()f x '''；以此类推，我们可以定义n 阶倒数：设函数()y f x =的1n -阶导数()()()12,n f x n n N -+∈…仍是可导函数，则()()1n fx -的导数()()1n f x -'⎡⎤⎣⎦称为()f x 的n 阶导数，记为()()n f x ，即()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m 阶多项式，分母是n 阶多项式，那么帕德逼近就是mn阶的帕德逼近.一般地，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德逼近函数定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++且满足()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++===''=''''（其中e 2.71878=为自然对数的底数）.请根据以上材料回答下列问题：（1）求函数()()ln 1g x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()0R x ；（2）求函数()ln f x x =在1x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()1R x ，并比较()f x 与()1R x 的大小； （3）求证：当()0,x ∞+时，23xx >恒成立.。

重庆市第八中学2022—2023学年下期高2024届7月调研考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{}2log 2A x x =<，则R A =ð（）A.()0,4 B.][(),04,∞∞-⋃+ C.()0,1 D.][(),01,∞∞-⋃+2.设复数z 满足()12i 5z ⋅+=，则z =（）A.2B.12i+ C.2- D.12i-3.已知π3sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）.A.725- B.725C.2425D.9254.已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ，若()00.2P X ≤=，则()12P X <<=（）A.0.2B.0.3C.0.6D.0.85.漳州某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（）A.1213 B.1113 C.155D.3556.已知函数()3f x x x a =-+的图像关于原点对称，则与曲线()y f x =和214y x =+均相切的直线l 有（）A.1条B.2条C.3条D.4条7.已知22231a ab b --=，且()21log 1a b -+≤≤，则a b -的取值范围是（）A.51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(],1-∞D.71,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭8.已知()3232ln32ln4,ln 3,e eM N P --===，则（）A.P N M << B.N P M <<C.P M N << D.M N P<<题目要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。

）9.下列说法中正确的是（）A.若两个变量x y ､具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点；B.在经验回归方程ˆ0.852yx =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，响应变量ˆy 平均减少0.85个单位；C.若某商品的销售量y （件）关于销售价格x （元/件）的经验回归方程为ˆ5350yx =-+，则当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件.D.线性经验回归方程ˆˆˆybx a =+一定过样本中心(),x y .10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）.17．（本小题满分10分）设集合{}{}25,|1|21A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-,(1)若4m =，求A B ⋃；(2)若B A B =I ，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =.(1)求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；(2)求函数()()23g x f x x x =+-的单调减区间和极小值.19．（本小题满分12分）一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球(1)若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；(2)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；(3)若不放回的取3次球，求取出白球次数X 的分布列及()E X .20．（本小题满分12分）已知()()612f x x =+.数学答案由题意，方程(ln x x a x =-即函数()y f x =的图象与直线易知点(1,0)为函数(y f x =对于选项A ，函数在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于选项B ，12221f ⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭对于选项C ，令221x x kx -+=由()2180k ∆=+-=，解得k。

2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期阶段性测试数学试题一、单选题 1．设212iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i +++====--+Q ，因此，复数z 的虚部为1. 故选：B. 【点睛】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）A ．25B ．23C ．12D ．07【答案】C【解析】根据随机数表依次进行选取即可． 【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字， 大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12， 则抽取的第5个零件编号为12. 故选：C ．【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析．3．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．2【答案】C【解析】由(1,2)-在直线b y x a =-上，可得b a，由e =【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，∴点(1,2)-在直线by x a=-上， ∴2ba=．则该双曲线的离心率为e ==故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率以及渐近线方程，属于基础题．4．函数()y f x =是R 上的可导函数，命题():p f x 既有极大值又有极小值，命题:q 方程()0f x '=至少有两个解，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件 C ．p 是q 的充要条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用极值点的定义和充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数()y f x =既有极大值又有极小值，则方程()0f x '=至少有两个解，p q ⇒； 取()431143f x x x =-，则()()3221f x x x x x '=-=-，则方程()0f x '=的解为0x =和1x =.当0x <或01x <<，则()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =只有一个极值点，所以q p ⇒/. 因此，p 是q 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及可导函数极值点必要条件的应用，考查推理能力，属于中等题.5．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地硏学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（ ）人 A ．240 B ．180C ．120D ．60【答案】B【解析】作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，根据题意求出x 的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数. 【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2【答案】D【解析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.7．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A ．474种 B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有39A ，那么连着上3节课的情况有533A 种，则利用间接法可知所求的方法有39A -533A =474，故答案为A.【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题．9．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 10．已知点E 是抛物线()2:20C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP △中，若PF PE μ=⋅，则μ的最小值为（ ）A．B．2CD【答案】A【解析】过点P 作PM 垂直于抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义得出PF PM =，进而可得出cos PEF μ=∠，进而可知当直线PE 与抛物线C 相切时，μ取最小值，并设直线PE 的方程为2px my =-，与抛物线方程联立，由0∆=求出m 的值，进一步可得出μ的最小值. 【详解】如下图所示，过点P 作PM 垂直于抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义可知PF PM =，则cos cos PF PMEPM PEF PE PEμ===∠=∠， 所以，当PEF ∠最大时，μ取最小值，此时，直线PE 与抛物线C 相切， 易知点,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，设直线EP 的方程为2p x my =-，联立222p x my y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得2220y mpx p -+=，则222440m p p ∆=-=，解得1m =±， 4PEF π∴∠=，所以，μ的最小值为2cos4π=. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线中线段长的比值问题的计算，考查了抛物线定义的应用，解题时要抓住直线与抛物线相切这一位置的分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．现安排5名同学A 、B 、C 、D 、E 参加志愿者服务活动，每人从事接待、后勤保障、服务、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.A 、B 不会开车但能从事其他三项工作，C 、D 、E 都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．54 B ．90C ．126D ．152【答案】C【解析】分两种情况讨论，一是只有一人从事开车工作、二是有两人从事开车工作，将其他人分配另外三项工作，利用分类计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）只有一人从事开车工作，有3种选择，然后将其余4人分为3组，分配给其他三种工作，此时，安排方案数为23433108C A ⨯=种；（2）有两人从事开车工作，有23C 种选择，然后将其余3人分配给其他三种工作，此时，安排方案数为233318C A =种.综上所述，不同安排方案的种数10818126+=种. 故选：C. 【点睛】本题考查分组分配问题，涉及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足224OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A ．B ．CD 【答案】D【解析】作出图形，分析出12F PF ∠为直角，利用已知条件求出1OF P ∠，进而可求得双曲线一条渐近线的倾斜角，由此可求得b a ，再由公式e =可求得双曲线的离心率. 【详解】如下图所示，由于点P 是点1F 关于双曲线某条渐近线的对称点，则12OP OF OF ==， 所以，12F PF △为直角三角形，且12F PF ∠为直角，且22OPF OF P ∠=∠，224OPF POF ∠=∠Q ，则22226OPF OF P POF OPF π∠+∠+∠=∠=，26OPF π∴∠=，123OF P OPF π∴∠=∠=，所以，双曲线的渐近线b y x a=的倾斜角为6π，3tan 6b a π∴==因此，双曲线E 的离心率为22222313c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为简洁，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．将一枚质地均匀且各面分别标有数字1、2、3、4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a 和b ，则点(),a b 在直线12y x =上的概率为__________. 【答案】18【解析】计算出所有的基本事件数，并列举出事件“点(),a b 在直线12y x =上”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】所有的基本事件数为2416=，事件“点(),a b 在直线12y x =上”所包含的基本事件有：()2,1、()4,2，共2种，因此，所求事件的概率为21168=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.14．若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ___________．【答案】3-.【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值． 【详解】解：画出x ，y 满足约束条件220101x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，表示的平面区域，如图所示； 结合图象知目标函数2z x y =-过A 时，z 取得最小值，由110x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A ，所以z 的最小值为1223z =-⨯=-． 故答案为：3-．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．15．已知2nx x ⎛ ⎝的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.【答案】1-【解析】写出二项展开式的第5项，根据题意求出n 的值，然后令1x =可求得该式中所有项系数的和. 【详解】2nx⎛ ⎝的展开式中第5项为()()4444242102n n n n C xC x --⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 由题意可得2100n -=，得5n =.因此，该式中所有项系数的和为()5121-=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用展开式中的常数项求参数，同时也考查了二项式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.16．若2x =-是函数()()211x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为__________. 【答案】35e【解析】根据题意得出()20f '-=，可求得实数a 的值，然后利用导数可求得函数()y f x =的极大值.【详解】()()211e x f x x ax -=+-Q ，()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤∴=+++-⎣⎦， 由题意可得()()3210f a e -'-=-+=，解得1a =-.()()211e x f x x x -∴=--，()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，得2x =-或1x =.列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()2,1-，所以，函数()y f x =的极大值为()352f e -=. 故答案为：35e. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用极值点求参数，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．函数()323612f x x x x =+-+. （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程； （2）函数()()()212g x f x ax ax a R =+-∈在区间()1,1-上是单调递减函数，求a 的取值范围.【答案】（1）610x y +-=；（2）(]9,3--.【解析】（1）求出()0f '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；（2）求得()()323612a g x x x a x +=+-++，()()()361g x x a x '=++-，根据题意可得出关于a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()323612f x x x x =+-+Q ，()2336f x x x '∴=+-，()06f '∴=-， 因此，曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程16y x -=-，即610x y +-=； （2）()()()322361212a x g x f x x a x x a a x =++-++-=+Q ， ()()()()()2336361g x x a x a x a x '=++-+=++-，令()0g x '=，得63a x +=-或1x =， 由于函数()y g x =在区间()1,1-上是单调递减函数，则6113a +-≤-<，解得93a -<≤-.因此，实数a 的取值范围是(]9,3--. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.18．为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图：根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率()0.30P C=.（1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数；（附：频数分布表）A组实验甲离子残留频数表[)0,1.5[)1.5,2.5[)2.5,3.5 [)3.5,4.5[)4.5,5.5[)5.5,6.5 [)6.5,7.5[)7.5,8.5[]8.5,100（2）请估计甲离子残留百分比的中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值. 【答案】（1）见解析；（2）甲离子残留百分比的中位数为4，乙离子残留百分比的平均值为6.【解析】（1）根据()0.30P C =，求出a 、b 的值，利用频数、频率和总容量的关系求出每组的频数，填入表格即可；（2）由甲离子残留百分比直方图中位数左边矩形面积和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值与对应的矩形面积相乘，再将所得结果相加即可得出平均数.【详解】（1）事件C ：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率()0.30P C =，0.050.150.30b ∴++=，0.10b ∴=，10.050.100.150.200.150.35a ∴=-----=，因此，频数分布表如下表所示：（2）设甲离子残留百分比的中位数为m ，0.150.20.50.150.20.3+<<++Q ，[]3.5,4.5m ∴∈，()0.150.2 3.50.30.5x ∴++-⨯=，解得4x =.由频率分布直方图可知，乙离子残留百分比的平均值为30.0540.150.1560.3570.280.156⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数、平均数，考查计算能力，属于中等题.19．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=uu r uu u r时，求直线l 的方程. 【答案】（1）(2,2)M ；（2）6y x =-.【解析】（1）将P 代入抛物线方程，求得p 的值，根据向量的坐标运算，即可求得M 的值；（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得M 的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程；方法二：设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 【详解】解：（1）将(1,2)P -代入抛物线2:2C y px =方程，得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，设0(M x ，0)y ，当3λ=时，3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ． （2）方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r．可得0(1x +，02)(y λ-=，0)，所以02y =， 所以直线l 的斜率存在且斜率1212120421y y k x x y y y -====-+， 设直线l 的方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩，消去y ， 整理得22(24)0x b x b +-+=，△22(24)416160b b b =--=->，可得1b <，则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212412OA OB x x y y b b =+=+=u u u r u u u rg， 解得6b =-，2b =（舍)， 所以直线l 的方程为6y x =-． 方法二：设直线l 的方程为x my n =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，联立方程组24x my ny x=+⎧⎨=⎩，消去x ， 整理得2440y my n --=，△216160m n =+>， 则124y y m +=，124y y n =-，则21212()242x x m y y n m n +=++=+，则2(2M m n +，2)m ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r． 得2(21m n ++，22)(m λ-=，0)，所以1m =， 所以直线l 的方程为x y n =+， 由△16160n =+>，可得1n >-，由124y y n =-，得221212()16y y x x n ==，所以21212412OA OB x x y y n n =+=-=u u u r u u u rg， 解得6n =或2n =-，（舍去） 所以直线l 的方程为6y x =-． 【点睛】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题． 20．在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为长方形，SB ⊥底面ABCD ，其中BS =2，BA =2，BC =λ，λ的可能取值为：①14λ=；②12λ=；③3λ=；④32λ=；⑤λ=3（1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）若线段CD 上能找到点E ，满足AE ⊥SE ，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1－SB －E 2的大小. 【答案】（1）22（2）λ可以取①②③，见解析（3）30°【解析】（1）由SB ⊥底面ABCD ，得SAB ∠即为直线AS 与平面ABCD 所成的角，由此能求出直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值．（2）以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，根据SE EA ⊥u u r u u u r 得到2(2)x x λ=-，再根据x 的取值范围得到λ的取值；（3）利用向量法能求出12,BE BE u u u r u u u u r夹角的余弦值，进而求得二面角12E SB E --的大小．【详解】（1）因为SB ⊥底面ABCD ，所以∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成的角， 在Rt SBA V 中，2sin sin 452SAB ︒∠==（2）以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：B (0，0，0)，A (0，2，0)，D (λ，2，0)，S (0，0，2). 设(,,0)(02)E x x λ≤≤，所以，(,,2),(,2,0)SE x EA x λλ=-=--u u r u u u r22(2)0(2)SE EA x x x x λλ⊥⇒-+-=⇒=-u u r u u u r因为x ∈[0，2]， 2(2)[0,1]x x λ=-∈，所以在所给的数据中，λ可以取①②③（3）由（2）知3λ=12x =或32x =，即满足条件的点E 有两个，根据题意得，其坐标为131(,0)2E 和233,0)2E ， 因为SB ⊥平面ABCD ，所以SB ⊥BE 1， SB ⊥BE 2， 所以，∠E 1BE 2是二面角E 1−SB −E 2的平面角由12121233344cos ,213BE BE BE BE BE BE +⋅===⨯⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 由题意得二面角E 1−SB −E 2为锐角，所以二面角E 1−SB −E 2的大小为30° 【点睛】本题考查线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．已知函数()()()2115ln 2f x x a x a x a R =-+++∈. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当[]1,x e ∈时，记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的解析式. 【答案】（1）单调递增区间为()0,1和()2,+∞，单调递减区间为()1,2；（2）()()229,12ln 5,12115,2a a a g a a a a a e e a e e a e ⎧-≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪---+≥⎪⎩.【解析】（1）当2a =时，求出函数()y f x =的解析式、定义域和导数，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）求得()()()1x x a f x x--'=，然后分1a ≤、1a e <<和a e ≥三种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,e 上的单调性，进而可得出函数()y f x =在区间[]1,e 上的最大值，由此可得出()g a 的解析式. 【详解】（1）当2a =时，()21352ln 2f x x x x =-++，定义域为()0,∞+， ()()()1223x x f x x x x--'=-+=. 令()0f x '>，得01x <<或2x >；令()0f x '<，得12x <<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()2,+∞，单调递减区间为()1,2； （2）()()2115ln 2f x x a x a x =-+++Q ，()()()()11x x a a f x x a x x--'∴=-++=，令()0f x '=，得1x =或x a =.①当1a ≤时，对任意的[]1,x e ∈，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间[]1,e 上单调递增，则()()912g a f a ==-； ②当1a e <<时，若1x a <≤，则()0f x '<；若a x e <≤，则()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],2a 上单调递增.所以，()()2ln 52a g a f a a a a ==--+；③当a e ≥时，对任意的[]1,x e ∈，()0f x '≤. 此时，函数()y f x =在区间[]1,e 上单调递减，则()()()21152g a f e e a e e ==---+.综上所述，()()229,12ln 5,12115,2a a a g a a a a a e e a e e a e ⎧-≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪---+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解含参函数在区间上的最值，对参数进行分类讨论是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知12PF F △C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与A 、B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2AB GF 为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l的方程为x my =+l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，利用线段AB 和AQ 的垂直平分线的交点得出点G 的坐标，进而得出2GF ，再对2AB GF 进行化简即可.【详解】（1）12PF F △的面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==由已知条件得bc c e a a ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，易知点)2F ，设直线l的方程为x my =+()11,A x y 、()22,B x y ，可知点()11,Q x y -，联立2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y ++-=，由韦达定理得1224y y m +=-+，12214y y m =-+，由弦长公式得12AB y y =-== ()22414m m +=+，122y y +=121222x x y y m ++=⋅=， 所以，线段AB的中点为22,44M m m ⎛⎫- ⎪⎪++⎝⎭， 则线段AB的垂直平分线的方程为y m x ⎛+=-- ⎝⎭，即第 21 页 共 21 页24y mx m =-++， 线段AQ 的垂直平分线为x轴，在直线方程y mx =-+中，令0y =，得x =则点2,04G m ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，)22214m GF m +∴==+， 因此，()22224143m AB GF m +==+（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，解题的关键是由直线与椭圆的方程联立，充分利用弦长公式和两点间的距离公式，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于中等题.。

重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年5．用红、黄、蓝、绿四种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色．在所有着色方案中，①③⑤着相同色的方案有（）种A．96B．24C．48D．1086．随机变量x满足分布列如下：三、填空题13．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则()f x可能是______．（本题答案不唯一）14．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出2个球，记被取出的球的最大号码数为x，则()E x等于________．15．学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有________种情况.修费1500元;方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元.某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：【点睛】开放性试题，可以从常用函数14．4【分析】由题意x的可能取值为2，【详解】Q袋中装有5个同样大小的现从该袋内随机取出2个球，记被取出的或存在性问题.也可考虑利用函数的单调性直接分析求解等.。

2019-2020学年重庆市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜05．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.857．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．408．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．409．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣211．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝．x3456y 2.5m4 4.515．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有种．16．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}【分析】求出集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}＝{x|x＜2或x＞3}，∴A∩B＝{5，7}．故选：D．2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．解：＝＝＝3+i，则复数的共轭复数为3﹣i，故选：B．3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验【分析】根据题意，分别判断题目中是统计方法是否在研究学生体重与身高间的相关关系的过程中使用到即可．解：利用随机抽样得出样本数据，利用散点图判断学生体重与身高间的相关关系强弱，利用回归分析判断建立的模型效果是否合适；独立性检验是研究两个变量之间是否有关系的判断问题，所以不会用到独立性检验．故选：D．4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2≤0．故选：B．5．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．【分析】可以求出导函数f′（x）＝a cos x，从而得出，然后求出a的值即可．解：f′（x）＝a cos x，∴，∴a＝2．故选：B．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.85【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合正态分布曲线的对称性求解．解：由随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），可知正态分布曲线的对称轴方程为x＝1，又P（X＜0）＝0.15，∴P（X＞2）＝0.15，则P（0≤X≤2）＝1﹣[P（X＜0）+P（X＞2）]＝1﹣0.3＝0.7．故选：C．7．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．40【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，②选出的3人为2男1女，分别求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求选出的3人男女生都要有，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，有C31C42＝18种选法，②选出的3人为2男1女，有C32C41＝12种选法，则有18+12＝30种不同的选法；故选：B．8．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．40【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x3项的系数．解：由于（2x﹣1）（x+2）5＝（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x3项的系数为2×80﹣40＝120，故选：B．9．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．【分析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，由此能求出至少一人通过测试的概率．解：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为p＝，故至少一人通过测试的概率为p＝．故选：D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣2【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．解：由f（x）＝（x+alnx）e x，得，∴f'（1）＝（a+2）e，由题知，解得：a＝﹣1．故选：C．11．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先对函数f（x）求导得f'（x）＝3ax2+b，根据f'（x）＝0的根的情况可判断函数的极值点情况；再根据函数的单调性分析a、b、c的符号，从而得解．解：f'（x）＝3ax2+b，若f（x）存在极值点，则极值点必有两个，且互为相反数，故选项A、C都是错误的；对于选项B、D，由图象可知函数均是先单调递增，再单调递减，再单调递增，所以a ＞0，b＜0，因为bc＜0，所以c＞0，即函数图象与y轴的交点应在正半轴上，即选项B是错误的．故选：D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【分析】令，根据函数的奇偶性和单调性求出g（b）＞0＞g（a）＞g（c），从而判断结论．解：当x＜0时，，即，令，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（x）为偶函数，∴g（x）也是偶函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝f（1）＝0，故当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，g（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g （x）＜0，a＝log0.53＝﹣log23∈（﹣2，﹣1），，c＝log0.50.2＝log25∈（2，3），故g（b）＞0＞g（a）＞g（c），即，故f（b）＞0，f（a）＜0，f（c）＜0，又，∴，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝i（﹣i﹣1）＝1﹣i，∴复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝3．x3456y 2.5m4 4.5【分析】利用回归直线经过样本中心，然后求解m即可．解：由题意可知＝，＝，因为回归直线经过样本中心，所以，解得m＝3．故答案为：3．15．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有18种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析易得三个大人必各住一个房间，由排列数公式可得其安排方法数目，②分情况讨论两个小孩的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．解：由题分析知，三个大人必各住一个房间，有A33种安排方法，两个小孩有2种情况：可以同住三人间或三人间、两人间各一人，有1+A22种安排方法所以不同的安排方法有种；故答案为：1816．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为6．【分析】求出硬币面朝上的概率，得到独立重复实验的概型，求出期望，列出不等式求解即可．解：抛一次硬币，至少有1枚硬币正面朝上的概率为，由题知，则，即，所以正整数n的最小值为6．故答案为：6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．【分析】（1）直接根据二项式系数的特点即可求n；（2）直接根据二项式系数的特点即可求出对应项的项数，进而求出对应项的系数，即可求解结论．解：（1）由题知，二项式系数和，故n＝8；（2）二项式系数分别为，根据其单调性知其中最大，即为展开式中第5项，∴，即．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．【分析】（1）利用待定系数法，代入结合复数相等进行求解即可．（2）根据实系数虚根必共轭，然后利用根与系数之间的关系进行求解即可．解：（1）设z＝a+bi，则（a+bi﹣3i）（a﹣bi）＝1+3i，即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i，∴，得，∴z＝﹣1或﹣1+3i；（2）在实系数方程中，虚根必为共轭复数根，则方程在复数集内另一根为3﹣2i，故，即a＝﹣12，b＝26．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．（2）判断函数的单调性，求出极值以及端点值，然后求解最值．【解答】解；（1）函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1，所以f'（x）＝3x2﹣2x﹣1，f'（0）＝﹣1，又f（0）＝1，所以切线方程为y﹣1＝﹣1•（x﹣0），即x+y＝1；（2）由（1）知f'（x）＞0⇒x＞1或，∴f（x）在[0，1]上单减，在[1，2]上单增，又f（0）＝1，f（1）＝0，f（2）＝3，∴f（x）在[0，2]上的最大值为3，最小值为0．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由赢球者发下一个球，不会出现一方连续两次得2分的情况，从而三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，由此能求出三次发球后比赛结束的概率．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况，得到X的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.6×0.6×0.6＝0.216；②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2：2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意；故三次发球后比赛结束的概率为0.216．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况：故X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.4×0.5＝0.2，P（X＝3）＝0.6×（0.6×0.6+0.4×1）+0.4×0.5×1＝0.656，P（X＝4）＝0.6×0.6×0.4×1＝0.144，X的分布列为X234P0.20.6560.144 EX＝2×0.2+3×0.656+4×0.144＝2.944．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2﹣2x恒成立，求出a的范围即可；（2）求出+的解析式，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x ＜），根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出问题的答案．解：（1）f′（x）＝2x﹣﹣2＝（x＞0），由题意得f′（x）≥0恒成立，即a≤2x2﹣2x恒成立，而2x2﹣2x＝2﹣≥﹣，∴a≤﹣；（2）由题意知2x2﹣2x﹣a＝0在（0，+∞）内有2个不等实根x1，x2，则﹣＜a＜0，且x1+x2＝1，x1x2＝﹣，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜，∴+＝（x1﹣a﹣2）+（x2﹣a﹣2）＝﹣3﹣a（+）＝﹣3+2x1x2（+）＝2x2lnx1+2x1lnx2﹣3＝2（1﹣x1）lnx1+2x1ln（1﹣x1）﹣3，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x＜），则g′（x）＝﹣lnx++ln（1﹣x）﹣＝ln（﹣1）+，显然﹣1＞1，1﹣2x＞0，故g′（x）＞0，g（x）递增，而g（）＝ln＝﹣ln2，x→0时，g（x）→﹣∞，故g（x）∈（﹣∞，﹣ln2），∴+∈（﹣∞，﹣3﹣2ln2）．。

2019-2020学年重庆八中高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3,x∈Z}，B={x|x2≥1}，则集合A∩B=()A. {2}B. {1,2}C. {−1,1，2}D. {−1,0，1，2}2.设命题p：∀x∉Q，x+1∉Q，则￢p为()A. ∃x0∉Q，x0+1∈QB. ∀x0∉Q，x+1∈QC. ∀x∉Q，x+1∈QD. ∃x0∈Q，x0+1∈Q3.i为虚数单位，复数1+i1−2i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是()A. 若m//α，α//β，则m//βB. 若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α//β，则m⊥β5.如表提供的x和y是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为ŷ=0.65x+0.6，则m等于()x3579y 2.54m 6.556.已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是()A. y=sin(e x+e−x)B. y=sin(e x−e−x)C. y=cos(e x−e−x)D. y=cos(e x+e−x)7.已知a=log32，b=lg4，c=log95，则有()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<a<b8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)=1f(x)，x∈(0,1]时，f(x)=2x，则f(log29)等于()A. ..B. 98C. 89D. 25169.某学校需要把包含甲、乙、丙在内的6名教育专家安排到高一、高二、高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种10. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON|−|NF 2|=2b ，∠ONF 2=60°，△F 1MF 2的面积为2√3，则该双曲线的方程为( )A. x 24−y 22=1 B. x 24−y 24=1 C. x 28−y 22=1 D. x 28−y 24=1 11. 已知函数f(x)={|x +1x |, x ≠00, x =0则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有5个不同实数解的充要条件是( )A. b <−2 且 c >0B. b >−2 且 c <0C. b <−2 且 c =0D. b ≥−2 且 c =012. 已知定义在R 上的函数f(x)=21−x −2x−121−x +2x−1−(x −1)3，则不等式f(2x +3)+f(x −2)≥0的解集为( )A. (−∞,13]B. (0,13]C. (−∞,3]D. (0,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=xlnx ，则f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______． 14. 函数y =log 2(−x 2+4x +5)的单调递增区间是______．15. 已知函数y =|a x −3|(a >0且a ≠1)与y =2a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是______．16. 已知函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=x a 和g(x)=x 2+4ax +a ．(1)命题p ：f(x)是R 上的增函数，命题q ：关于的方程g(x)=0有实根，若p ∧q 为真，求实数a 的取值范围；(2)若“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件，求实数a 的取值范围．18. 已知f(x)=4x −2x +1．(1)若x ∈[0,+∞)，求f(x)的最小值；(2)若g(x)=f(x)2x ，且存在x∈[0,a]使得g(x)≥32成立，求实数a的取值范围．19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为边AD的中点，AB=2√3，PA=PD=√7，PB=√13．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)点M在线段PC上，PM=12MC，求二面角M−OB−C的余弦值．20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=√142.75≈11.95；②若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z ≤μ+2σ)=0.9544．21. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，定点A(1,0)，M 为圆上一动点，线段m 的垂直平分线交线段MC于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程：(Ⅱ)若经过F(0,2)的直线L 交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 点F ，H 之间)，且满足FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线L 的方程．22. 已知函数f(x)=lnx(x+a)2，其中a 为常数．(1)当a =0时，求函数f(x)在[1,+∞)上的值域；(2)若a =−1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0，求证：f(x 0)<−2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={−1,0，1，2}，B={x|x≤−1或x≥1}，∴A∩B={−1,1，2}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为全称命题的否定是特称命题．故命题p：∀x∉Q，x+1∉Q，则￢p为：∃x0∉Q，x0+1∈Q；故选：A．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：令z=1+i1−2i =(1+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+3i5=−15+35i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：(−15,35)，位于第二象限．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了直线，平面之间的位置关系的判断，需要学生具备空间想象力，逻辑推理能力，对四个选项，分别进行判断，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：对于A，若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，不正确；对于B，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m//b，若m ⊄β，则m//β，若m ⊂β，也成立．∴m//β或m ⊂β，不正确； 对于C ，若m//α，α⊥β，则则m//β或m ，β相交，不正确；对于D ，若m ⊥α，α//β，利用平面与平面平行的性质，可得m ⊥β，正确． 故选：D ．5.答案：D解析：解：x −=3+5+7+94=6，y −=2.5+4+m+6.54=13+m 4，∴样本点的中心为(6,13+m4)，代入y ̂=0.65x +0.6，得13+m4=0.65×6+0.6，解得m =5． 故选：D ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求解m 值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.答案：D解析：解：令s(x)=e x +e −x ，该函数的定义域为R ，且s(−x)=e −x +e x =s(x)， ∴s(x)为R 上的偶函数；令t(x)=e x −e −x ，该函数的定义域为R ，且t(−x)=e −x −e x =−(e x −e −x )=−t(x)， ∴t(x)为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0,1]上为减函数，而B 中内层函数t(x)在[0,1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0,π2]上为增函数， 故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．由函数的奇偶性排除A 与C ，在分析复合函数的单调性排除B ，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的奇偶性与单调性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．7.答案：B解析：解：∵log 95=log 35log 39=log 352=log 3√5>log 32，lg4=log 34log 310<log 34log 39=log 342=log 32，∴b <a <c ． 故选：B ．容易得出log 95=log 3√5>log 32，lg4<log 34log 39=log 32，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：函数f(x)满足：f(x +1)=1f(x)， 可得：f(x +2)=1f(x+1)=f(x)， ∴函数的周期T =2．∴f(log 29)=f(2+log 294)=f(log 294). ∵1<log 294<2∴f(1+log 298)=1f(log 298)，∵0<log 298<1， ∴f(log 298)=98 ∴f(log 29)=1f(log 298)=89．故选C ．根据函数f(x)满足：f(x +1)=1f(x)，求出函数的周期，利用x ∈(0,1]时，f(x)=2x ，即可求f(log 29)的值．本题考查了函数周期的求法，对数和指数的基本运用，属于中档题．9.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论： ①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有C 21种，高二的选法有C 42种，则此时有C 21×C 42=12种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有A 33=6种安排方法，则此时有2×6=12种安排方法； 故有12+12=24种安排方法； 故选：A ．分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，②甲和其他三人中的1人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．10.答案：C解析：解：由N为MF2的中点，所以ON//MF1，且|ON|=12|MF1|，由题意可得∠F1MF2=60°，|ON|−|NF2|=12(|MF1|−|MF2|)=a，故a=2b，设双曲线的焦距为2c，在△MF1F2中，由余弦定理可得4c2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|−|MF2|)2+|MF1||MF2|= 4a2|+|MF1||MF2|，所以|MF1||MF2|=4c2−4a2=4b2，∴S△F1MF2=12|MF1||MF2|sin60°=√3b2=2√3，∴b2=2，a2=4b2=8，双曲线的方程为x28−y22=1．故选：C．由题意可得ON，NF2的值用MF1，MF2来表示，由椭圆的定义及|ON|−|NF2|=2b可得a，b的关系，三角形中由余弦定理可得两边之积，再由面积公式及题意可得a，b的值，进而求出双曲线的方程．本题考查双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．11.答案：C解析：解：∵方程f2(x)+af(x)+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f(x)等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f(x)的简图：由图可知，只有当f(x)=0时，它有−个根．且f(x)=−b时有四个根，由图可知−b>2，∴b<−2．故所求充要条件为：b<−2且c=0，故选C．作出f(x)的简图，数形结合可得．本题考查方程根的个数问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12.答案：A解析：解：令t=x−1，则f(t+1)=2−t−2t2−t+2t−t3，则f(t+1)是奇函数，则当t≥0时，y=2−t−2t2−t+2t −t3=1−22t1+22t−t3=1−4t1+4t−t3=−(1+4t)+21+4t−t3=21+4t−1−t3，为减函数，∴当x≥1时，f(x)为减函数，即g(x)=f(x+1)是奇函数，则f(2x+3)+f(x−2)≥0等价为f(2x+2+1)+f(x−3+1)≥0，即g(2x+2)+g(x−3)≥0，则g(2x+2)≥−g(x−3)=g(3−x)，则2x+2≤3−x，得3x≤1，x≤13，即原不等式的解集为(−∞,13]，故选：A．利用复合函数关系判断g(x)=f(x+1)是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件构造新函数，判断新函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．有一定的难度．13.答案：x−y−1=0解析：解：∵f(x)=xlnx，∴f′(x)=lnx+1，则f′(1)=1，又f(1)=0，∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1×(x−1)，即x−y−1=0．故答案为：x−y−1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.答案：(−1,2)解析：解：由−x2+4x+5>0，得x2−4x−5<0，解得−1<x<5．令t=−x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，且在(−1,2)上单调递增，而外层函数y=log2t是定义域内的增函数，∴函数y=log2(−x2+4x+5)的单调递增区间是(−1,2)．故答案为：(−1,2)．由对数函数的真数大于0求解函数的定义域，再求出内层函数二次函数在定义域内的增区间，然后利用复合函数的单调性得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．)15.答案：(0,1)∪(1,32解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①a>1时，函数y=|a x−3|的草图如图：若y=|a x−3|(a>0且a≠1)与y=2a的图象有两个交点，必有0<2a<3，即1<a<3，2又由a>1，故此时无解；②0<a<1时，函数y=|a x−3|的草图如图：，若y=|a x−3|(a>0且a≠1)与y=2a的图象有两个交点，必有0<2a<3，分析可得0<a<1，).综合可得：a的取值范围为(0,1)∪(1,32).故答案为：(0,1)∪(1,32根据题意，分a>1和0<a<1两种情况讨论，作出函数y=|a x−1|的图象，利用数形结合得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及分段函数的图象，属于中档题．16.答案：[−1,0)解析：解：∵函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，∴当a =0时，f(x)={−2,x ≤0log 2(x +1),x >0，函数f(x)的值域为{−2}∪(0,+∞)，不合题意；当a >0时，x ≤0时，f(x)的取值范围是(−∞,−2]，不符合题意； 当−1<a <0时，x ≤0时，f(x)=ax −2≥−2， x >0时，f(x)=log 2((a +1)x +1)>0，此时函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，符合题意；当a =−1时，f(x)={−x −2,x ≤0log 21,x >0的值域为[−2,+∞)，符合题意；当a <−1时，x ≤0时，f(x)=ax −2≥−2，x >0时，f(x)=log 2((a +1)x +1)的值可能小于2，也可能无解，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是−1≤a <0，即[−1,0)． 故答案为：[−1,0)．完全分类上应当分a =0，a >0，−1<a <0，a =−1，a <−1讨论，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：(1)若f(x)=x a 是R 上的增函数，则a >0，即p ：a >0；关于x 的方程g(x)=x 2+4ax +a =0有实根，则△=16a 2−4a ≥0， 解得a ≤0或a ≥14，即q ：a ≤0或a ≥14， 若p ∧q 为真，则{a >0a ≤0或a ≥14，即a ≥14．∴实数a 的取值范围是[14,+∞)；(2)若“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件， 则{g(1)=1+5a ≤0g(2)=4+9a ≤0，解得a ≤−49． ∴实数a 的取值范围为(−∞,−49].解析：(1)利用幂函数的性质求解a 的范围化简p ，由判别式大于等于0求解a 的范围化简q ，取交集得答案；(2)把“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件转化为关于a 的不等式组求解．本题考查充分必要条件的判断及其应用，考查复合命题的真假判断，考查数学转化思想方法，是中档题．18.答案：解：(1)设2x =t ，(t ≥1)．f(x)=4x −2x +1=t 2−t +1=(t −12)2+34，∵t ≥1，∴y =t 2−t +1在[1,+∞)单调递增，∴f(x)≥1． 所以，f(x)的最小值为1； (2)g(x)=f(x)2x=2x +12x −1，∵x ∈[0,a]，令2x =t ，t ∈[1,2a ] 要使得g(x)≥32成立， g(x)max ≥32即可．∵y =t +1t −1 在[1,2a ]递增， ∴2a +12a −1≥32， ∴2a ≥2，解得a ≥1故实数a 的取值范围为[1,+∞)．解析：(1)设2x =t ，(t ≥1)，f(x)═t 2−t +1，利用y =t 2−t +1在[1,+∞)单调性，即可求解． (2)g(x)=f(x)2x=2x +12x −1，要使得g(x)≥32成立，只需g(x)max ≥32即可．本题考查了函数的最值、存在性问题，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：连结PO ，∵四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，O 为边AD 的中点， AB =2√3，PA =PD =√7，PB =√13． ∴PO ⊥AD ，PO =√7−3=2，BO =√(2√3)2−(√3)2=3，∴PO 2+BO 2=PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵AD ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． (2)解：∵四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，O 为边AD 的中点， ∴AD ⊥BO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵点M 在线段PC 上，PM =12MC ， ∴P(0,0，2)，C(−2√3,3，0)，M(−2√33,1，43)，B(0,3，0)，O(0,0，0)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,1，43)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,3，0)， 设平面OBM 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33x +y +43z =0n ⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√3)， 平面OBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角M −OB −C 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217． ∴二面角M −OB −C 的余弦值为√217．解析：(1)连结PO ，推导出PO ⊥AD ，PO ⊥BO ，从而PO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)推导出AD ⊥BO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −OB −C 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为：(0,10]的频率为：0.010×10=0.1； (10,20]的频率为：0.020×10=0.2； (20,30]的频率为：0.030×10=0.3； (30,40]的频率为：0.025×10=0.25； (40,50]的频率为：0.015×10=0.15，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为 x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5． (2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z <38.45)=P(26.5−11.95<Z <26.5+11.95)=0.6826， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5， 所以X ～B(4,12)，X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，P(X =0)=C 40(12)4=116， P(X =1)=C 41(12)4=14， P(X =2)=C 42(12)4=38， P(X =3)=C 43(12)4=14，P(X =4)=C 44(12)4=116，∴X 的分布列为：∴E(X)=4×2=2．解析：本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题． (1)根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可； (2)①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得X ～B(4,12)，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值．21.答案：解：(Ⅰ)设点N 的坐标为(x,y)，NP 为线段AM 的平分线，所以：|NA|=|MN|，又点N 在CM 上，圆C ：(x +1)2+y 2=8，半径r =2√2， 所以：|NC|+|NM|=2√2，|NC|+|MA|=|NC|+|NM|=2√2>|AC|所以：点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆． 设方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 2a =2√2，所以：a =√2，c =1， b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线E 的方程为：x 22+y 2=1．(Ⅱ)设G(x 1,y 1)，H(x 2,y 2)，当直线GH 的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则：直线GH 的方程为：y =kx +2，所以：{y =kx +2x 22+y 2=1，整理得：(12+k 2)x 2+4kx +3=0， 由△>0解得：k 2>32，且：x 1+x 2=−4k 12+k 2，x 1x 2=312+k 2，①由于：FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−2)，FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−2)， 且：FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得：x 1=35x 2，结合①得：35(−5k1+2k 2)=61+2k 2， 解得：k 2=2>32，直线l 的方程为：y =±√2x +2，当直线HG 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =0，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 矛盾， 所以直线l 的方程为：y =±√2x +2．解析：(Ⅰ)首先利用点N 的坐标为(x,y)，NP 为线段AM 的平分线，所以：|NA|=|MN|，又点N 在CM 上，C ：(x +1)2+y 2=8，半径r =2√2，所以：|NC|+|NM|=2√2，|NC|+|MA|=|NC|+|NM|=2√2>|AC|所以：点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．设方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，进一步求出结果．(Ⅱ)利用分类讨论思想：设直线的方程①斜率存在②斜率不存在，利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用向量的坐标相等求出结果．本题考查的知识要点：曲线方程的求法，直线和曲线的位置关系，向量的坐标运算，直线方程的求法，属于中档题．22.答案：解：(1)a =0时，f(x)=lnx x 的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1−2lnx x ，令f′(x)>0，解得0<x <√e ，令f′(x)<0，解得：x >√e ， 则f(x)在(0,√e)递增，在(√e,+∞)递减， 故f(x)极大值=f(√e)=12e ，x →0时，f(x)→−∞，x →+∞时．f(x)→0， 故函数f(x)的值域是(−∞,12e ].(2)证明：a =−1，则f(x)=lnx (x−1)，导数为f′(x)=1−2lnx−1x(x−1)3，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0， 可得1−2lnx 0−1x 0=0，即有2lnx 0=1−1x 0，要证f(x 0)<−2，即lnx 0(x 0−1)2+2<0， 由于1−1x 02(x 0−1)2+2=12x0(x 0−1)+2=1−4x 0+4x 022x 0(x 0−1)=(1−2x 0)22x0(x 0−1)，由于x 0∈(0,1)，且x 0=12，2lnx 0=1−1x 0不成立，则lnx 0(x0−1)2+2<0，故f(x 0)<−2成立．解析：(1)求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)求得f(x)的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证明．本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论思想方法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．。

重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是函数的导函数，则满足的函数是（ ）A.B.C. D.2.如图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么（）A.两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B.1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C.2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D.“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（ ）A.B.C.D.b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高，他父亲身高，则小王身高的残差为（ ）A.B.C.D.()f x '()f x ()()f x f x '=()f x ()2f x x =()exf x =()ln f x x =()tan f x x=()32f x x bx cx d =+++,,b c d ()f x b c d cm y cm x 14ˆ2917yx =+167cm 170cm 3cm -2cm -2cm 3cm5.若函数，在时有极大值，则的极小值为（）A.0B.C.D.6.甲､乙､丙､丁､戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）A.48种B.96种C.108种D.120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ）A.1.2B.2.4C.2.88D.4.88.若样本空间中的事件满足，则（ ）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.若随机变量服从正态分布，已知，则（）A.B. C.D.10.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数的图象关于点对称，为偶函数，则（ ）A. B.C.的图象关于直线对称D.的最小周期是111.设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则（ ）A.若，则或B.若，则的可能取值为3或4或5C.若的值确定，则D.若为奇数，则的最大值为()()21e xf x x bx =++1x =-16e -()f x 3e --e -32e -Ω123,,A A A ()()()()()113223231221|,,|,|4356P A P A A P A P A A P A A =====()13P A A =1141727528X ()21,2N (0)P X p <=(0)1P X p >=-(2)1P X p <=-(02)1P X p <<=-(12)12P X p<<=-()f x ()f x 'R ()f x 31,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x '312f ⎛⎫=⎪⎝⎭'()()12123f x f x -++=()f x '1x =()f x ',M N 1,2,,1i M =⋯+{}1,2,,i x N ∈⋯(){}11,,1,2,,i i i i A x x x x i M ++=≠= ∣(),a b A ∈(),b a A ∈13M N x ===()()(){}3,1,1,2,2,3A =()()(){}3,2,2,1,1,34N =M N ()112M N N =-N M ()112N N -三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为__________.13.已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为，那么在50次运行中，平均准点班次约为__________次.14.已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.（1）根据上述信息完成下列列联表；疗效疗法痊愈未痊愈合计服用白开水合计（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.附：参考公式：.0.10.050.012.7063.8416.63516.（15分）口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为，求的分布列与数学期望.17.（15分）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.6(1)x -5x 92%12,x x ()4ln a f x x x x=--()()1144f x f x +--…()3f a b a >-b 22⨯0.1α=()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αX X 57.9%C KWh v km /h 40100km /h ~()1012ln 0.540C v v v v=++-/KWh（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？18.（17分）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答：12340.68270.95450.99730.99990.00150.45310.95510.9983（1）记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望；（2）当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？（3）若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示.19.（17分）设为自然对数的底数，已知函数.（1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；（2）当实数满足且，求的最大值.53.35105700v⨯+-100km 94km /h Ga ()1,2,,17i x i = %171117i i x x ==∑s =X %()2,X N μσ~k ()k p P k X k μσμσ=-<<+k p 17k p kkp 17kp Z ()3,3X μσμσ∉-+(0)P Z >Z ()3,3X μσμσ∉-+20,0.82x s ==x s μσ()2,X N μσ~1x σ'1,,x s x σ'e ()2(ln 2)f x x =+()f x m 22eln 0,,,e m m m a b ∞⎛⎫+=∈+ ⎪⎝⎭2a b +=()()f a f b +2024年春高二（下）期末联合检测试卷数学参考答案一､选择题1-8BACB DBDA 第8题提示：，解得二､多选题9.AB10.BC11.ABD第11题提示：对A ，当，则，则，则可取1或2，由于不能同时成立，则或，A 成立，当时，则，设，则可以是或或，所以的值可以是，对于，因为不能同时出现，所以满足条件的数对至多，则，下归纳说明奇数时候能取等，已证，若时候存在一个长为的数列满足题意，不妨首项为1，设数列为，当时，在数列前面添加如下的项，（在中插空，交替插入）则新生成的数列共有项满足条件.则D 正确C 错误.三､填空题12.-613.4614.第14题提示：，由题意，是的根，则有，，有，又，即，()()()()()()()()()()23233233233231,P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+=+-∣∣∣∣()()()()()()()()1331333131115,1117P A A P A P A A P A P A A P A A P A P A ==-=-=-∣∣∣()()()()()()133111133115144714P A A P A A P A P A P A A P A ==-=-⨯=∣∣3N ={}1,2,3,1,2,3,4i x i ∈=()()(){}1223341,,,,,,3A x x x x x x x==2x ()(),,,a b A b a A ∈∈()()(){}3,1,1,2,2,3A =()()(){}3,2,2,1,1,34N ={}1,2,3,4ix ∈11x=A ()()(){}1,2,2,3,3,4()()()(){}1,2,2,3,3,4,4,1()()()()(){}1,2,2,3,3,4,4,1,1,3M 3,4,5D ()(),,,a b b a 2C N 2C N M ≤3N =21N k =-221C 1k -+2212C 11,,,k x x -+ 21N k =+2212C 11,,,k x x -+ 41k -1,2,3,2k 21,2k k +1,21,2,2,3,21,4,2,,2,21,21,2k k k k k k k k ++-+ 22212141C 1C 1k k k -+-++=+()3,e e 5∞-+-()222441(0)a x x a f x x x x x'-+=-+=>12,x x 240x x a -+=124x x +=120,Δ1640x x a a =>=->04a <<()()1144f x f x +≤--()()124f x f x +≤-，即有，又，即，令在是增函数，所以.四､解答题15.（13分）解：（1）根据上述信息完成下列列联表；疗效疗法痊愈未痊愈合计服用姜汤301040服用白开水352560合计6535100（2）零假设为：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1.16.（15分）解：（1）设第1次至少抽到一个红球”，则“第1次抽到2个球都是白球”，第1次抽取的样本空间包括个样本点，即，而，所以，即第1次至少抽到一个红球的概率是；（2）由题意知，且每次抽到红球个数的概率相等，1122124ln 4ln 4,ln 1a ax x x x a x x --+--≤-⇒≥e 4a ≤<()3f a b a >-34ln 1b a a a <+--()()()3244ln 1(e 4),310,g a a a a a g a a g a a=+'--≤<=+->[)e,43e e 5b <+-22⨯0H 220.1100(30251035) 2.93 2.70640606535x χ⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯0.1α=2χ0H “A =A =Ω26C 15=()Ω15n =()24C 6n A ==()63()1(11()155n A P A P A n =-=-=-=Ω350,1,2X =()()()21124242222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X =========即的分布列为：012所以17.（15分）解：（1）由有，令，得所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低（2）设司机的工资为元，则行车的总费用为，由题意知时，，得，即司机每小时的工资为150元.18.（17分）解：（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973，镓含量的概率为0.0027，；（2）由估计得，，发现最小值，该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进；（3）设余下的数据的平均数，则，X X P25815115()8121215153E X =⨯+⨯=()1012ln 0.540C v v v v=++-()22220242v v C v v+-='()0C v '=44km /h v =44km /h 100av()510121003.3510100ln 0.5405700F v v v a v vv ⨯⎛⎫=++-++- ⎪⎝⎭()()221000.54362v v aF v v '+--=94km /h v =()0F v '=150a =()3,3X μσμσ∈-+()3,3X μσμσ∉-+()17(0)1010.997310.95510.0449P Z P Z ∴>=-==-=-=()()17,0.0027,170.00270.0459Z B E Z ∴~∴=⨯=20,0.82x s ==20,0.82μσ==()()3,317.54,22.46μσμσ∴-+=()173,3μσμσ∉-+∴()173,3μσμσ∉-+1712116i i x μ==∑1117, 16x x σμ'-=∴=即.19.（17分）解：（1），设函数的图象上一点为，则该点处的切线为，即切线为，解得或此时或切线的方程为或；（2）设，则，再设，则，由得在上单调递增，同理得在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，容易得到当时，，当时，，时，的最大值为，即，由，得，而，σ'∴=======σ'=()()2ln 2x f x x+=' ()f x ()()200,ln 2x x +()()()200002ln 2ln 2x y x x x x +-+=-()022000002ln 2ln 2ln ,ln 2ln 0x y x x x x x x +=++∴+=01x =21,e∴()002ln 24x x +=0,∴4y x =0y =()224ln e g x x x =-()22ln 4e x g x x '=-()ln x h x x =()21ln xh x x-='()0h x '>()h x ()0,e ()h x ()e,∞+()g x '()0,e ()e,∞+()2e0,g '=∴()2e,e x ∈()0g x '>()2e ,x ∞∈+()0g x '<[)e,x ∞∴∈+()g x ()2e 0g =()2240,ln e g x x x ≤≤eln 0m m +=ln 0,01m m <∴<<()()()222e 2410,e 0e eg g '-=-<=>'必存在，使得，且当时，，当时，，即在上单减，在上单增，而，当时，，当时，，即，当且仅当时等号成立，，故当时，，即当时，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，的最大值为8.∴()01,e x ∈()00g x '=()20,x m x ∈()0g x '<()0,e x x ∈()0g x '>()g x ()20,m x ()0,e x ()()()22222244ln eln eln 0e eg mm m m m m m =-=+-=∴()2,e x m ∈()0g x <∴()2,x m ∞∈+()0g x ≤224ln ex x ≤2e x =()()222(ln 2)ln e f x x x =+= 22e x m >()22224ln e e 4e x x x ≤=22,e m x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()224e 4e f x x x ≤=1x =()()()22,,,4448e m a b f a f b a b a b ∞⎛⎫∈+∴+≤+=+= ⎪⎝⎭1a b ==()()f a f b ∴+。

高2025届高二下数学（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.函数()sin f x x x=+在区间[0,]π上的平均变化率为（）A.1B.2C.πD.0【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的计算即可求解.【详解】()sin f x x x =+在区间[0,]π上的平均变化率为()()π0πsin π0sin 01π0πf f -+--==-，故选：A2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3t 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.11m/s【答案】D 【解析】【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.【详解】质点M 在t ＝2s 时位移的平均变化率为S t ＝()()2222322232t t t+++-⨯-⨯ ＝11＋2Δt ，当Δt 无限趋近于0时，St无限趋近于11m/s.故选：D.3.曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为（）A.41y x =--B.47y x =--C.41y x =-D.47y x =+【答案】A 【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数4y x '=，当=1x -时，()414y '=⨯-=-，∴曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为：()341y x -=-+，即41y x =--.故选：A.4.已知函数()1f x x =，则()()011lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A.-1B.1C.-2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据导数的定义及导数的运算法则即可求解.【详解】由()1f x x =，得()21f x x'=-.21(1)11f '∴=-=-()()11lim(1)1x f x f f x∆→+∆-'∴==-∆.故选：A.5.若函数()()22'1f x xf x =+，则()()'11f f --等于（）A.34-B.34C.65-D.56-【答案】C 【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f ′（x ），令x ＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【详解】f′（x ）＝2f′（1）+2x ，令x ＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x ）＝2x-4，()24f x x x=-+∴f′（-1）＝-6,又()15f -=，∴()()'11f f -=-65-故选C ．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x 赋值是解题的关键．6.设曲线1y x=在点()1,1P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积等于（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据导数的定义求出曲线1y x=在点()1,1P 处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.【详解】()()()111x x x y x x x x x x x x x x x x --+∆∆+∆===-∆∆+∆⋅∆+∆，所以()2011lim x y x x x x ∆→⎡⎤'=-=-⎢⎥+∆⎣⎦，故在点()1,1P 处的切线的斜率为1-，切线方程为()11y x -=--，即2y x =-+．令0x =，得2y =，令0y =，得2x =，所以12222OAB S =⨯⨯=△，故选：B7.若一射线OP 从OA 处开始，绕O 点匀速逆时针旋转（到OB 处为止），所扫过的图形内部的面积S 是时间t 的函数，()S t 的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.【详解】因为OP 是匀速旋转，选项A ，OP 扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；选项B ，OP 扫过的14圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；选项C ，OP 扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；选项D ，OP 扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D 符合故选：D8.已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A.0B.2C.2019D.2020【答案】B 【解析】【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值.【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x xx x x x x f x x x x ++++++===++++ ，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导数运算正确的有（）A.()22sin 2sin cos x x x x x x'=+ B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()31log 3ln x x'=D.()1ln x x'=【答案】AD 【解析】【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可.【详解】解：()22sin 2sin cos x x x x x x '=+，故A 正确；211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 错误；()31log ln 3x x '=，故C 错误；()1ln x x'=，故D 正确.故选：AD.10.已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为 2-+=x xe e ch x ，双曲正弦函数为2--=x xe e sh x ．则下列结论中正确的是（）A.( ) '=ch x sh xB.22( )( )1+=sh x ch xC. 22 =⋅sh x sh x ch xD. ch x 是奇函数【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，直接求导判断，对于BC ，通过计算判断，对于D ，由奇偶函数的定义判断【详解】解：对于A ，()''22x x x xe e e e ch x shx --⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭，所以A 正确，对于B ，因为222222222()( )( )12242x x x x x x x xe e e e e e e e sh x ch x ----⎛⎫⎛⎫-++++=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误，对于C ，因为22 22x x e e sh x --=，222 2222x x x x x xe e e e e e sh x ch x ----+-⋅=⋅⋅=，所以 22 =⋅sh x sh x ch x ，所以C 正确，对于D ，因为( )2x xe e ch x chx -+-==，所以 ch x 是偶函数，所以D 错误，故选：AC11.已知y kx =是函数()sin f x x x =的一条切线，则实数k 的值可以为（）A.0B.1C.12D.1-【答案】ABD 【解析】【分析】根据()f x 的切线过原点求得切点的横坐标，结合导数求得k 的可能取值.【详解】设(),sin t t t 是函数()sin f x x x =图象上的一点，()()''sin cos ,sin cos f x x x x f t t t t =+=+，所以在点(),sin t t t 的切线方程为()()sin sin cos y t t t t t x t -=+-①，直线y kx =过原点，由①令0x y ==得()()sin sin cos t t t t t t -=+⋅-，22sin sin cos ,cos 0t t t t t t t t =+=，所以0=t 或ππ,Z 2t n n =+∈，当0=t 时，()'00k f ==，当ππ,Z 2t n n =+∈时，'πππππsin ππcos π2222k f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin π12n ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，综上所述，k 的可能取值为0,1±.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________.【答案】0x y -=【解析】【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点为()0,0，()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，故切线方程为y x =，即0x y -=.故答案为：0x y -=13.函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________【答案】(e,e)【解析】【分析】设切点坐标为()000,ln x x x ，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为()000,ln x x x ，由函数()ln g x x x =可得()ln 1g x x '=+，因为函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，所以0ln 12x +=，解得0e x =，所以切点坐标为(e,e)，故答案为：(e,e).14.若曲线()1e xy x =+过点(),0P a 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a >-或5a <-【解析】【分析】设切点()(),1ett t +，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点(),0P a 的坐标代入切线方程化简，得到关于t 的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由0∆>可求得答案.【详解】()2e xy x '=+，设切点()(),1ett t +，则切线的斜率为()2e tk t =+，故切线方程为()()22e 1e tty t x t t =++--+，取x a =，0y =代入，得()()221e 0t a t t t ⎡⎤++--+=⎣⎦，∵e 0t ≠，∴()21210t a t a -+-++=有两个不等实根，故()()22Δ1421650a a a a =-++=++>，解之，得1a >-或5a <-，故答案为：1a >-或5a <-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.若函数()1f x x x=-，（1）用定义求()f x '；（2）求其图象在与x 轴交点处的切线方程．【答案】15.()211f x x ='+16.22y x =-和22y x =+【解析】【分析】（1）根据函数的导数的定义求出()f x '；（2）由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程.【小问1详解】由导数定义可得，()()()0001111lim lim limx x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x f x ∆→∆→∆→⎛'⎫⎛⎫+∆---∆+- ⎪ ⎪+∆-+∆⎝⎭⎝⎭+∆=∆∆==∆()2011lim 11x x x x x ∆→⎡⎤=+=+⎢+∆⎣⎦【小问2详解】函数()1f x x x=-的图象与x 轴有两个交点，交点坐标分别为()1,0A ，()1,0B -，∴()12f '=，∴在()1,0A 处的切线方程为()2122y x x =-=-；同理，在()1,0B -处的切线方程为22y x =+．16.求下列函数的导数：（1）23cos y x x =+；（2）()1ln y x x =+；（3）tan ,,2y x x x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】（1）6sin y x x'=-（2）1ln 1y x x'=++（3）2sin cos cos x x xy x+'=【解析】【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；（3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案.【小问1详解】()23cos 6sin y x x x x ''=+=-；【小问2详解】()()()()11ln 1ln 1ln ln 1y x x x x x x x x''''⎡⎤=+=+++=+⎣⎦；【小问3详解】()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==．17.已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x xax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21nn a =-（2）()12212n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题中已知条件2n n S a n =-，得出2n ≥时，()1121n n S a n --=--此两式作差整理即可得到1n a +所满足的关系，从而可求出数列{}1n a +的通项公式得到所求；（2）根据数列{}n b 的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【小问1详解】∵2n n S a n =-，当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，2n n S a n =-，①1121n n S a n --=-+，②①-②得121n n a a -=+即()1121n n a a -+=+，∵1120a +=≠，∴110n a -+≠，∴1121n n a a -+=+，∴{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，则11222n n n a -+=⋅=，∴21n n a =-；【小问2详解】由上可知：()212n n b n =+⋅，所以()()231325272212212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，()()23412325272212212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，∴()()2341622222212n n n T n +-=++++⋯+-+⋅，∴()12212n n T n +=+-⋅.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）3-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题一、单选题1．实数5-的相反数是（ ）A ．5B ．5-C ．15D ．15- 2．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．下列各式中，计算结果等于9a 的是（ ）A ．36+a aB ．36a a ⋅C ．10a a -D ．182÷a a 4．如图，把一块含有45︒角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果225∠=︒，那么1∠的度数是（ ）A ．30︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒5．如图，是由一些小棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第9个图案所用小棒的数量为（ ）A ．33B ．36C ．37D ．416．五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h （米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t （分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．摩天轮旋转一周需要6分钟B ．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同C ．小明离地面的最大高度为42米D ．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米7．如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大2倍得到A B C '''V ．下列说法错误的是( )A ．ABC ABC '''∽△△B ．:1:2AO AA '=C ．AB A B ''∥D ．直线CC '经过点O8．如图，AB 是O e 的直径，延长AB 至,C CD 切O e 于点D ，过点D 作DE AB ∥交O e 于点E ，连接BE ．若12,15AB ABE =∠=︒，则BC 的长为( )A ．3B ．C ．6D ．69．如图，E 是正方形ABCD 的边CD 上的一点，连接AE ，点F 为AE 的中点，过点F 作AE的垂线分别交AD ，BC 于点M ，N ，连接AN ，若36AB DE ==，则A M N △的面积为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．2010．依次排列的两个整式2a b -+，23a b -将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式65a b -+；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式1011a b -；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式2221a b -+；⋯，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第6个整式为4243a b -+；②第n 个整式中a 系数与b 系数的和为1；③若2024a b ==，则前n 个整式之和为2024n ．④第n 次与第1n +次操作后得到的两个整式中a 与b 所有系数的绝对值之和为32n +；A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为.12．计算1133-⎛⎫= ⎪⎝⎭． 13．现有三张正面分别标有数字1-，0，2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为a ，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为b ，则满足0⋅=a b 的概率为．14．如图，点M 是反比例函数()0k y x x=<图像上的一点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，点P 在y 轴上，若MNP △的面积是2，则k =．15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =，45A ∠=︒，6AD =，2BC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点E ，则图中阴影部分面积为．16．如图所示，在ABC V 中，2AC AB =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，若3AB =，5CD =，则在ABC V 的周长为．17．若关于x 的不等式组153613x x x a ++⎧>⎪⎨⎪+≥+⎩的解集为3x >，关于y 的分式方程12233a y y --=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为．18．一个四位正整数M ，各个数位均不为零，如果千位数字与个位数字之和的两倍等于百位数字与十位数字之和的三倍，且各个数位数字之和为20，则称M 为“第二十数”，那么百位数字和十位数字之和为，并规定()F M 等于M 的千位数字与百位数字之和的两倍与十位数字与个位数字之和的和，且()F M 为完全平方数；对于另一个“第二十数”N ，()G N 等于N 的前两个数字组成的两位数与后两个数字所组成的两位数的和，且()5G N 是一个整数，则N M -的最大值是．三、解答题19．计算：(1)()()232x x y x y -+- (2)22411369a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭ 20．如图，在ABCD Y 中，CE BC ⊥分别交AD ，BD 于点E ，F ．(1)用尺规完成以下基本作图：过点A 作BC 的垂线，分别交BD ，BC 于点G ，H ，连接AF ，CG ；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF 是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB CD =，①，∴ABG CDF ∠=∠．∵AH BC ⊥，CE BC ⊥，∴AHB ECB ∠=∠=②度，∴AG CF ∥，∴BGA EFB ∠=∠．又∵③，∴BGA DFC ∠=∠，在△ABG 和△CDF 中，ABG CDE BGA DFC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABG CDF AAS ∆∆≌． ∴④，又∵AG CF ∥，∴四边形AGCF 是平行四边形．21．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为,,,A B C D 四个等级，分别是：:70A x <，7080809090100Bx C x D x ≤<≤<≤≤∶，∶，∶． 下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，90，91，92，94，95，96，96；九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，88．两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：根据以上信息，解答下列问题(1)填空：a=______，b=______，m=______；(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；(3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？22．某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的43，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天(1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮；(2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？23．如图1，在等腰ABC V 中，10AB AC ==，16BC =，D 为底边BC 的中点，点P 从A 点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，动点Q 从C 点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着C A B →→的路线运动，设运动时间为t ，连接AD ，DP ，DQ ，记ADP △的面积为1y ，记CDQ V的面积为2y ，请解答下列问题：(1)请直接写出1y ，2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出1y ，2y 的函数图象；(2)观察2y 的函数图象，写出函数2y 的一条性质；(3)根据图象，直接写出当12y y ≥时，t 的取值范围.24．如图是体育公园步道示意图．从A 处和得点B 在北偏东45︒，测得点C 在北偏东75︒，在点C 处测得点B 在北偏西45︒，1800AB =米．(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P ，测得45APQ ∠=︒，小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考1.414≈ 1.732≈2.449）25．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()3,0B ，交y 轴于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点P 在直线BC 上方抛物线上运动，过点P 作PE BC ⊥，PF x ⊥轴于点F ，求12AF +的最大值，以及此时点P 的坐标． (3)将原抛物线沿x 轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y 轴交于点C '，点B 的对应点为B '，点N 是第一象限中新抛物线上一点，且点N 到y 轴的距离等于点A 到y 轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M ，使得MNB C B N '''∠=∠，请写出所有符合条件的点M 的横坐标，并写出其中一个的求解过程．26．如图，将ABC V 的边AC 绕点C 逆时针旋转α 0°<α<360°至CD ，直线CD ，AB 交于点E ，连接AD ，直线AD ，BC 交于点F ．(1)如图1，当ACB α<∠时，若45F ∠=︒，5AB AC ==，4CE =，求BC 的长；(2)如图2，当A C B α<∠时，若2BEC F ∠=∠，BAF BCD F ∠+∠=∠，猜想线段AD 与BF 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，当180180ACB α︒<<︒+∠时，若60BEC ∠=︒，6AB AC ==，点P 在线段AD 上且满足32AP CF=，G，H分别为线段CP，AP上两点，连接GH，将ACP△沿GH折叠使得点P的对应点P'落在AC上，连接PP'，与折痕GH交于点O，请直接写出CP最小时，点O到AC的距离．。

重庆八中2021-2022学年度(上)期末考试高一年级数学试题一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项符合题目要求)1. 设全集为R ，集合A =x -1<x <2 ，B =x x ≥1 ，则A ∩∁R B =()A . x -1<x ≤1B . x -1<x <1C . x 1≤x <2D . x -1<x <2【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B 的补集，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】因为B =x x ≥1 ，所以∁R B ={x |x <1}，故A ∩∁R B ={x |-1<x <1}，故选:B .2. 与2022°终边相同的角是()A . -112°B . -72°C . 222°D . 142°【答案】C 【解析】【分析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.【详解】∵2022°=360°×5+222°，∴与2022°终边相同的角是222°.故选：C .3. 设x ∈R ，则“1<x <2”是“x -2 ≤3”的()A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解绝对值不等式求解集，根据充分、必要性的定义判断题设条件间的充分、必要关系.【详解】由x -2 ≤3，可得-1≤x ≤5，∴“1<x <2”是“x -2 ≤3”的充分而不必要条件.故选：A .4. 函数y =3x -x 22x 2-3x -2的定义域为()A -∞,3B . 0,3C . 0,2 ∪2,3D . 0,2 ∪2,3【答案】D 【解析】【分析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由题设可得：3x -x 2≥02x 2-3x -2≠0 ，故x ∈0,2 ∪2,3 ，故选：D .5. 若tan π+α =-43，α是第二象限角，则1sin π+α2⋅sinπ-α2=()A .35B . 3C . 5D .53【答案】C 【解析】【分析】由题知sin α=45,cos α=-35，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.【详解】解：因为tan π+α =tan α=-43，α是第二象限角，所以sin α=45,cos α=-35，所以1sin π+α2⋅sin π-α2=1cos α2⋅cos α2=21+cos α=21+-35=5.故选：C6. 已知函数y =f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f x =x 21-3x ，则当x <0时，f x 的表达式是()A . x 21-3x B . -x 21-3x C . x 21+3x D . -x 21+3x【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性求f x 在(-∞,0)上的表达式.【详解】令x <0，则-x >0，故f (-x )=(-x )2(1-3-x )=x 2(1+3x )，又y =f x 是定义在R 上的奇函数，∴f (x )=-f (-x )=-x 2(1+3x ).故选：D .7. 若将函数y =2sin 2x +π6图象向左平移π12个单位，则平移后的图象对称轴为()A . x =k π2+π12k ∈ZB . x =k π2-π12k ∈ZC . x =k π2-π6k ∈ZD . x =k π2+π6k ∈Z【答案】A 【解析】【分析】由图象平移写出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求对称轴方程.【详解】y =f x +π12 =2sin 2x +π12 +π6 =2sin 2x +π3 ，令2x +π3=k π+π2，k ∈Z ，则x =k π2+π12且k ∈Z .故选：A .8. 关于x 的不等式ax -1 2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是()A . -32,-1 ∪1,32B . -32,-43 ∪43,32C . -32,-1 ∪1,32 D . -32,-43 ∪43,32【答案】B 【解析】【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得a +1 a -1 >0，讨论a 结合原不等式整数解的个数求a 的范围，【详解】由ax -1 2<x 2恰有2个整数解，即a +1 x -1 a -1 x -1 <0恰有2个整数解，所以a +1 a -1 >0，解得a >1或a <-1，①当a >1时，不等式解集为1a +1,1a -1 ，因为1a +1∈0,12，故2个整数解为1和2，则2<1a -1≤3，即2a -2<1≤3a -3，解得43≤a <32；②当a <-1时，不等式解集为1a +1,1a -1 ，因为1a -1∈-12,0，故2个整数解为-1，-2则-3≤1a +1<-2，即-2a +1 <1≤-3a +1 ，解得-32<a ≤-43.综上所述，实数a 的取值范围为-32<a ≤-43或43≤a <32.故选：B .二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分)9. 下列各项中，f x 与g x 是同一函数的是()A . f x =x ，g x =x 2B . f x =x +1，g x =2log 2x +1C . f x =x ，g x =x3x 2D . f x =2x -1 ，g x =2x -1,x ≥121-2x ,x <12【答案】AD 【解析】【分析】根据函数相等的概念逐一判断即可【详解】解：对于A 选项，f x 与g x 定义域均为R ，g x =x 2=x =f x ，故正确；对于B 选项，f x =x +1定义域为R ，g x =2log 2x +1 的定义域为-1,+∞ ，故错误；对于C 选项，f x =x 定义域为R ，g x =x 3x2的定义域为x x ≠0 ，故错误；对于D 选项，f x 与g x 定义域均为R ，f x =2x -1 =2x -1,x ≥121-2x ,x <12=g x ，故正确.故选：AD10. 已知x ，y 是正数，且2x +y =1，下列叙述正确的是()A . 2xy 最大值为14B . 4x 2+y 2的最小值为12C . x x +y 最大值为14D .1x +1y最小值为3+22【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式可判断A ;将4x 2+y 2变形后可利用A 的结论，判断B ;利用基本不等式可判断C ;将1x +1y 变为1x +1y =1x +1y (2x +y )=3+y x +2xy，再利用基本不等式可判断D .【详解】因为x ，y 是正数，2x +y =1，所以2xy ≤2x +y 22=14，当且仅当2x =y ，即x =14,y =12时取等号，故A 正确；4x 2+y 2=(2x +y )2-4xy =1-4xy ，由A 可知xy ≤18，当且仅当2x =y ，即x =14,y =12时取等号，故4x 2+y 2=1-4xy ≥12，故B 正确；x x +y ≤x +x +y 22=(2x +y )24=14，当且仅当x =x +y ，即x =12,y =0时取等号，但x ，y 是正数，故等号取不到，故C 不正确；1x +1y =1x +1y (2x +y )=3+y x +2xy≥3+22，当且仅当y x =2x y ，即x =1-22,y =2-1时取等号，故D 正确；故选：ABD .11. 已知函数f x =log 2mx 2+2x +m -1 ，m ∈R ，则下列说法正确的是()A . 若函数f x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是1+52,+∞ B . 若函数f x 的值域为-1,+∞ ，则实数m =2C . 若函数f x 在区间2,+∞ 上为增函数，则实数m 的取值范围是0,+∞D . 若m =0，则不等式f x <1的解集为x x <32【答案】ABC 【解析】【分析】根据对数型复合函数的性质分别判断.【详解】A 选项：因为f x 的定义域为R ，所以mx 2+2x +m -1>0恒成立，则m >0Δ=4-4m m -1 <0 ，解得：m >1+52，故正确；B 选项：因为f x 的值域为-1,+∞ ，所以mx 2+2x +m -1≥12，所以m >0m 2-m -1m =12，解得m =2，故正确；C 选项：因为函数f x 在区间2,+∞ 上为增函数，由复合函数的单调性可知：m >0-1m ≤24m +4+m -1>0，解得m >0，故正确；D 选项：当m =0时，f x =log 22x -1 x >12 ，由f x <1，可得0<2x -1<2，解得：12<x<32，故错误；故选：ABC .12. 已知函数f x =2-x ,x ≤1log 2x -1 ,x >1 ，下列结论正确的是()A . 若f a =1，则a =0B . f f 20222021=2021C . 若f a ≥2，则a ≤-1或a ≥5D . 若方程f x =-x 2+2x +m 有两个不同实数根，则m >-12【答案】BC 【解析】【分析】A 、C ：根据分段函数解析式，由指数、对数函数的性质求解或解集，即可判断；B 由解析式及自变量所在的范围求函数值即可；D 画出f (x )、y =-x 2+2x +m 的图象，数形结合思想求参数范围.【详解】A ：当2-a =1时，有a =0<1；当log 2(a -1)=1时，有a =3>1，故a =0或a =3，错误；B ：由20222021>1，则f 20222021 =log 212021<1，故f f 20222021 =2-log 212021=2021，正确；C ：当2-a ≥2时，有a ≤-1<1；当log 2(a -1)≥2时，有a ≥5>1，故a ≤-1或a ≥5，正确；D ：由解析式可得f (x )、y =-x 2+2x +m 的图象如下：要使方程有两个不同实数根，即f (x )、y =-x 2+2x +m 有两个交点，则1+m ≥12，∴m ≥-12，错误.故选：BC .三､填空题(本题共4小题，每小題5分，共20分)13. 若幂函数f x =m 2-m -5 x 1-m 是偶函数，则m =___________.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义得m 2-m -5=1，解得m =-2或m =3，再结合偶函数性质得m =3.【详解】解：因为函数f x =m 2-m -5 x 1-m 是幂函数，所以m 2-m -5=1，解得m =-2或m =3，当m =-2时，f x =x 3，为奇函数，不满足，舍；当m =3时，f x =x -2，为偶函数，满足条件.所以m =3.故答案为：314. 如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】6π-42【解析】【分析】根据题意得∠AOB =α=3π4，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设∠AOB =α，因为弧田的弧AB长为3π，弧所在的圆的半径为4，所以α=3π4，所以阴影部分的面积为12×3π×4-12×4×4×sin α=6π-42所以弧田的面积是6π-42.故答案为：6π-4215. 已知tan α=2，tan β=3，则sin α+βcos α-β的值为___________.【答案】57【解析】【分析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商数关系，将目标式化为tan α+tan β1+tan αtan β即可求值.【详解】sin α+β cos α-β=sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β=tan α+tan β1+tan αtan β=2+31+2×3=57.故答案为：57.16. 已知x >0，y >0，x +y +2xy =12，则xy +1x 2y 2+3xy +18的最大值为___________.【答案】19【解析】【分析】由题知xy ∈0,4 ，进而令t =xy +1，t ∈1,5 ，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：12=x +y +2xy ≥2xy +2xy ⇒xy +xy ≤6，当x =y =2时取等，所以0<xy ≤2⇒xy ∈0,4 ，故令t =xy +1，则t ∈1,5 ，所以xy +1x 2y 2+3xy +18=t t -1 2+3t -1 +18=t t 2+t +16=1t +16t +1≤12t ⋅16t+1=19，当t =4时，等号成立.所以xy +1x 2y 2+3xy +18的最大值为19故答案为：19四､解答题(本题共6小题，共70分)17. (1)化简：sin π2+α ⋅3sin -π-α ⋅tan -α2cos 11π2-α ⋅cos 5π-α ⋅tan 3π-α(2)求值：1.5-1×2021 0+80.25×42+32×3 6--827 23+2log 43【答案】(1)32；(2)110+3.【解析】【分析】(1)根据诱导公式化简求值即可得答案；(2)根据指数运算法则运算求解即可.【详解】解：(1)sin π2+α ⋅3sin -π-α ⋅tan -α 2cos 11π2-α ⋅cos 5π-α ⋅tan 3π-α=cos α⋅3sin α⋅-tan α 2sin α⋅cos α⋅-tan α =32(2)1.5-1×2021 0+80.25×42+32×3 6--82723+2log 43=23+234×214+22×33-827 13+3=23+2+108-23+3=110+318. 已知sin α=2-4cos 2α2.(1)若α在第二象限，求cos2α+sin α的值；(2)已知β∈0,π2 ，且3tan 2β+2tan β-3=0，求tan α+2β 值.【答案】(1)25-35(2)17【解析】【分析】(1)根据题意，结合半角公式得tan α=-2，故sin α=255，cos α=-55，再根据二倍角公式计算即可.(2)由题知tan2β=3，再结合正切的和角公式求解即可.【小问1详解】解：sin α=21-2cos 2α2 =-2cos α，∴tan α=-2∵α在第二象限，∴sin α=255，cos α=-55，∴cos2α+sin α=2cos 2α-1+sin α=25-35【小问2详解】解：3tan 2β+2tan β-3=0⇒2tan β=31-tan 2β ⇒2tan β1-tan 2β=3∴tan2β=3，tan α+2β =tan α+tan2β1-tan αtan2β=-2+31+2×3=1719. 新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入f x (单位：万元)与年产量x (单位：万台)的函数关系式近似满足：f x =180-2x ,0<x ≤1870+2650x -27000x 2,18<x ≤32(1)写出年利润W x (万元)关于年产量x (万台)的函数解析式.(年利润=年销售收入-总成本)；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？【答案】(1)W x =-2x 2+80x -60,0<x ≤18-30x -27000x+2590,18<x ≤32；(2)年产量为30万台，利润最大.【解析】【分析】(1)根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.(2)利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.小问1详解】W x =x ⋅f x -100x -60，∴W x =-2x 2+80x -60,0<x ≤18-30x -27000x+2590,18<x ≤32.【小问2详解】当0<x ≤18时，W x =-2x 2+80x -60=-2x -20 2+740，故在0,18 上单调递增，∴x =18时，W x 取最大值W x max =-2×4+740=732，当x >18时，W x =2590-30x -27000x =2590-30x +900x≤2590-60x ⋅900x =790，当且仅当x =30时等号成立，∴当x =30时，W x max =790，综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.20. 已知函数f x =2x -32x +a+1a >0 为定义在R 上的奇函数.(1)求f x 的值域；(2)解不等式：f x +6f x +2≤5【答案】(1)-2,2(2)log 213,+∞ 【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性可得a =1，进而可得函数的单调性及值域；(2)由(1)可得该不等式为f x -4 f x +1 ≤0，根据函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意可知，f 0 =-2a +1+1=0，解得a =1，则f x =2x -32x +1+1，经检验，f -x =-f x 恒成立，令2x =t t >0 ，则y =t -3t +1+1=2-4t +1，∴函数在0,+∞ 单调递增，∴函数的值域为-2,2【小问2详解】由(1)得f x +2>0，则f x +6f x +2≤5⇔f 2x -3f x -4≤0⇔f x -4 f x +1 ≤0，∴-1≤f x <2，∴-1≤2x -32x +1+1<2⇔x ≥log 213，∴不等式的解集为log 213,+∞ .21. 函数y =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π2的一段图象如下图所示.(1)求函数y =f x 的解析式；(2)将函数y =f x 的图象向右平移π4个单位，得到y =g x 的图象.求直线y =6与函数y =f x +g x 的图象在0,3π2内所有交点的横坐标之和.【答案】(1)f x =2sin 2x +π6(2)19π6【解析】【分析】(1)由图象可计算得A ，ω，φ；(2)由题意可求y =f x +g x ，进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标，问题得解.【小问1详解】由题图知A =2，T =π，于是ω=2πT=2，将y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y =2sin 2x +φ 的图象.于是φ=2×π12=π6所以，f x =2sin 2x +π6 【小问2详解】由题意得g x =2sin 2x -π4+π6=-2cos 2x +π6 故y =f x+g x =2sin 2x +π6 -2cos 2x +π6 =22sin 2x -π12由22sin 2x -π12 =6，得sin 2x -π12 =32因为0<x <32π，所以-π12<2x -π12<3π-π12所以x =5π24或x =3π8或x =29π24或x =11π8，所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为19π6.22. 已知函数f x =ln x +1x -1.(1)若函数y =f ax 在1,+∞ 单调递增，求实数a 的取值范围；(2)∃x 1，x 2∈1,+∞ ，使f 2x 在区间x 1,x 2 上值域为ln2t 2x 2+1-1,ln2t 2x 1+1-1.求实数t 的取值范围.【答案】(1)a ≤-1；(2)0,29.【解析】【分析】(1)由对数复合函数的单调性得a <02a -1+1≥0，即可求参数范围.(2)首先判断f 2x 的单调性并确定在x 1,x 2 上的值域，结合已知易得2t ⋅2x 2+t -2 ⋅2x +2-t=0在0,+∞ 内有两不等实根x 1，x 2，应用换元法进一步转化为两个函数有两个交点求参数范围.【小问1详解】f ax =ln ax +1ax -1=ln 2ax -1+1 ∵f ax 在1,+∞ 单调递增，∴y =2ax -1+1在1,+∞ 单调递增，且2ax -1+1>0∴a <0f 1 =2a -1+1≥0，解得a ≤-1.【小问2详解】由f 2x=ln 2x +12x -1=ln 22x -1+1 x >0 ，在0,+∞ 上是减函数.所以，在x 1,x 2 上的值域为f x 2 ,f x 1 ，故2x 1+12x 1-1=2t ⋅2x 1+1-t 2x 2+12x 2-1=2t ⋅2x 2+1-t，整理得：2t 2x 12+t -2 2x 1+2-t =02t 2x 22+t -2 2x2+2-t =0 ，即2t ⋅2x 2+t -2 ⋅2x +2-t =0在0,+∞ 内有两不等实根x 1，x 2，令2x =u ，当x >0时u >1，则关于u 的2t ⋅u 2+t -2 ⋅u +2-t =0在1,+∞ 内有两个不等实根.整理得：1t =2u 2+u -12u -2=u -1+1u -1+52，即y =1t 与y =x -1+1x -1+52由两个不同的交点，又y =x -1+1x -1+52≥2(x -1)⋅1x -1+52=92，当且仅当x =2时等号成立，则(1,2)上递减，(2,+∞)上递增，且其值域为92,+∞ .∴函数图象如下：∴y =1t >92，即t ∈0,29.【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，应用参变分离将问题进一步化为两个函数在某区间内有两个交点.。

2021-2022学年重庆市第八中学校高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 满足128a a +=，234+=a a ，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B【分析】根据题意可得出关于q 的方程，进而可求得q 的值． 【详解】由()23121284a a a q a q a a q q +=+=+==，所以12q = 故选：B ．2．若()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a ++++=（ ） A ．1 B ．8 C ．16 D ．32【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取1x =求值即可. 【详解】令1x =，()4012341116a a a a a ++++=+= 故选：C3．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，收集整理数据后将所得结果填入相应的22⨯列联表中，由列联表中的数据计算得29.616K ≈. 附表：下列说法正确的是（ ）A ．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关” 【答案】A【分析】根据2K 的观测值，再与临界值表对比判断即可.【详解】解：29.616 6.635K ≈>，所以有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，或者在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”， 所以只有A 正确， 故选：A.4．公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（ ） A ．812A 种 B ．812C 种C ．812种D ．128种【答案】D【分析】利用分步计数原理，直接求解.【详解】按分步计数原理，12名乘客下车的不同方法种数有：128888888888888⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种. 故选：D5．设物价p （元）与时间t （年）有如下关系：()()15%tp t =+，那么在第8个年头，这种商品的价格上涨速度是（ ） A ．()810ln1.05 B ．10ln1.05 C ．81.05ln1.05 D ．81.05【答案】C【分析】利用导数的意义，即可解答.【详解】因为()()15%t p t =+，所以()()51.05ln1.0tp t '=，所以在第8个年头，这种商品的价格上涨速度为()()858 1.05ln1.0p '=. 故选：C6．冬奥会志愿者指挥部随机派5名志愿者参加冰壶､短道速滑､花样滑冰3个项目比赛的志愿服务.若每个项目至少安排1名志愿者，每名志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（ ） A ．30种 B ．150种 C ．240种 D ．300种【答案】B【分析】按1:1:3和1:2:2两种情况分组再分配即可求解结果．【详解】第一种情况：按1:1:3的比例安排有1133543322C C C A 60A ⋅=； 第二种情况：按1:2:2的比例安排有1223542322C C C A 90A ⋅=； 故所有不同的安排方案有6090150+=． 故选：B7．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点M 在y 轴上，且12120F MF ∠=︒，若线段2MF 的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E 的离心率为（ ）AB C ．2 D【答案】A【分析】不妨设M 在y 轴的正半轴，设(0,)M t ，0t >，依题意可得t ，从而表示出2MF 的中点为N 的坐标，再代入渐近线方程，即可得到b a =【详解】解：不妨设M 在y 轴的正半轴，设(0,)M t ，0t >，显然12MF F △为等腰三角形，由12120F MF ∠=︒，所以t ，故)M ，设2MF 的中点为N ，由于2(,0)F c ，所以(2c N ， 又N 在渐近线by x a=上，2b c a ⨯，所以b a =c e a ==故选：A ．8．概率论起源于赌博问题.法国著名数学家布莱尔·帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲､乙两赌徒约定先赢满4局者，可获得全部赌金480法郎，当甲赢了2局，乙赢了1局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（ ） A ．甲240法郎，乙240法郎 B ．甲330法郎，乙150法郎 C ．甲320法郎，乙160法郎 D ．甲300法郎，乙180法郎【答案】B【分析】先根据题意利用相互独立事件和互斥事件的概率公式求出甲､乙赢得480法郎的概率，从而可求出甲､乙赢得赌金的情况【详解】解：甲赢得480法郎的概率为2111231*********C ?C ?2222222216P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 则乙赢得480法郎的概率为215116P P =-=， 所以480法郎应该分配甲：1148033016⨯=法郎，分配乙：480150156⨯=法郎. 故选：B.二、多选题9．一个人的领导力由五种能力—影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，每项能力分为三个等级，“一般”记为3分､“较强”记为4分､“很强”记为5分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（）A．甲､乙的五项能力指标的均值相同B．甲､乙的五项能力指标的方差相同C．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力【答案】AB【分析】结合测评图读出五种能力的指标，计算出均值即可【详解】甲的五项能力指标分别为3, 4, 5, 4, 5，平均值为345454.25++++=，乙的五项能力指标分别为5, 3, 4, 5, 4，平均值为534544.25++++=，则A正确甲乙数据指标一样，只是顺序不同，所以方差也相同，则B正确甲的控制力､决断力､前瞻力指标分别为5，4，5，平均值为5451433 ++=乙的控制力､决断力､前瞻力指标分别为4，5，4，平均值为4541333 ++=如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，甲的领导力高于乙的领导力，故C错误，甲的影响力､控制力､感召力指标分别为4，5，3，平均值为45343++=乙的影响力､控制力､感召力指标分别为3，4，5，平均值为34543++=如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力和乙的领导力相同，故D错误.故选：AB10．有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（）A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B ．“取出两球均为红色”的概率为310C ．“至多取到1个红球”的概率为710D ．已知取出两球中一个球是红色，则另一个球是蓝色的概率为12【答案】BC【分析】根据互斥事件的含义即可判断选项A ；结合古典概率公式即可判断选项B ；选项C 中事件与选项B 中事件为对立事件，即可判断；根据条件概率的公式求解即可判断选项D.【详解】对于A 选项，“恰好取到1个红球”为“取到1个红球，1个蓝球”，“至少取到1个蓝球”包括“取到1个蓝球，1个红球”和“取到2个蓝球”，因此不是互斥事件，故A 错误；对于B 选项，“取出两球均为红色”的概率为2325C 3C 10=，故B 正确；对于C 选项，“至多取到1个红球”为“取出两球均为红色”的对立事件，其概率为3711010-=，故C 正确； 对于D 选项，设“取出两球中一个球是红色”为事件A ，“另一个球是蓝色”为事件B ，则()()()11322252C C 2C C 3P AB P B A P A ⨯===-，故D 错误，故选：BC11．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r 是0f x的根，选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:l y f x f x x x '-=-，则l 与x 轴的交点的横坐标()()0100f x x x f x '=-()()00f x '≠，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中()()1n n n n f x x x f x +=-'()()0nf x '≠，称1n x+是r 的1n +次近似值，这种求方程0f x 近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程23x =的近似解，则（ ）A ．若取初始近似值为1，则过点()()1,1f 作曲线()y f x =的切线:24=-l y xB ．若取初始近似值为1，则该方程解的三次近似值为9756C ．()()()()()()01230012f x f x f x x x f x f x f x =-+-''' D ．()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=-----'''' 【答案】ABD【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.【详解】解：构造函数()23f x x =-，则()2f x x '=，取初始近似值01x =，()02f x =-，()02f x '=，则()()221y x --=-，即24y x =-，则A 正确； ()()001001311221f x x x x f x -=⇒=-=-='⨯，()()12114372224f x x x f x -=-=-='⨯， ()()232249379716745624f x x x f x -=-=-='⨯，则B 正确；根据题意，可知()()()()()()()()0121021321012,,,,n n n n f x f x f x f x x x x x x x x x f x f x f x f x +=-=-=-=-''''， 上述式子相加，得()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=-----''''，C 不正确，则D 正确.故选：ABD.12．设一个正三棱柱111ABC A B C -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n 次，仍然在上底面的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ）A ．259P =B ．1112111232P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．12133nn n P P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．11111243nn n i P =⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑【答案】AD【分析】根据题意假设蚂蚁爬n 次仍在上底面的概率为n P ，那么它前一步只有两种情况：也许本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是123n P -；也许是上一步在下底面，则第1n -步不在上底面的概率是11n P --，如果爬上来，其概率应是11(1)3n P --．两件事情是互斥的，因此，1121(1)33n n n P P P --=+-，整理得，11133n n P P -=+；构造等比数列1{}2n P -，即求出n P ，从而计算可得． 【详解】解：显然123P =，22211533339P =⨯+⨯=. 蚂蚁爬n 次仍在上底面的概率为n P ，那么它前一步只有两种情况：A ：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是123n P -； B ：如果是上一步在下底面，则第1n -步不在上底面的概率是11n P --，如果爬上来，其概率应是()1113n P --. A ，B 事件互斥，因此，()1121133n n n P P P --=+-，整理得11133n n P P -=+， 即1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， 所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，公比为13，首项为112112326P -=-=， 所以111232n n P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴1212111232P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以1111111631124313nn n n i P =⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑. 故选：AD.三、填空题13．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()31P P ξξ>=<，则μ=______.【答案】2【分析】根据正态密度函数图像关于x μ=对称求解即可. 【详解】解：因为随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，所以正态密度函数图像关于x μ=对称， 因为()()31P P ξξ>=<， 所以3122μ+==. 故答案为：214．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有________个． 【答案】36【分析】由题意讨论各个位置上的数字情况，然后利用分布乘法计数原理进行计算． 【详解】先从1,3两个数里选一个数排在个位，不妨选择的是3，有12A 种排法； 再从2,4,1三个数里选一个数排在万位，有13A 种排法； 最后剩下的3个数全排在中间3个位上有33A 种排法，所以共有11323336A A A =种排法.故答案为：36【点睛】(1)本题主要考查排列组合的综合应用，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.15．在()52 2x x y -+的展开式中，52x y 的系数为___________.【答案】120-【分析】()522x x y -+ 表示5个因式2 2x x y -+的乘积，在这5个因式中，有2个因式选2y ，其余的3个因式中有一个选x -，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，即可算出答案.【详解】()52 2x x y -+表示5个因式22x x y -+的乘积，在这5个因式中，有2个因式选2y ，其余的3个因式中有一个选x -，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，故含52x y 的项系数是()2122532C C C 12102⨯⨯⨯-=-⨯故答案为：120-16．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A ､B 两点处，甲站在A 处唱歌时离A 处有一定距离的乙在B 处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：22:110036x y C +=上一点M ，过点M 作切线l ，A ，B 两点为左右焦点，1cos 4AMB ∠=-，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O 到切线l 的距离为___________.【答案】562【分析】过M 作M 处切线的垂线交AB 于N ，过A ，O ，B 分别作切线的垂线交切线于点1A ，1O ，1B ，由光学性质和几何位置关系得到11A AM AMN BMN B BM ∠=∠=∠=∠，求出16sin 4AMA ∠=，利用中位线的性质、椭圆的定义求出1OO . 【详解】如图，过M 作M 处切线的垂线交AB 于N ，过A ，O ，B 分别作切线的垂线交切线于点1A ，1O ，1B ，由光学性质可知MN 平分AMB ∠，11B MB A MA ∠=∠，则11A AM AMN BMN B BM ∠=∠=∠=∠，因为1cos 4AMB ∠=-，故()2111cos cos 212sin 4AMB AMA AMA π-∠=∠=-∠=，所以1sin AMA ∠=()()111111111sin sin 20sin 222OO AA BB AM AMA BM BMB AMA =+=∠+∠=⋅⋅∠=.四、解答题17．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，17a =，并在下列在三个条件中任选一个：①4722S S =+，②35235S S -=，③225122733a a a a -=--（解答时注明所选条件）﹒ (1)求{}n a 的通项公式； (2)解不等式0n S ≤. 【答案】(1)29n a n =-+ (2)8n ≥，且n N ∈【分析】（1）根据所选条件，结合等差数列的通项公式及求和公式建立方程求出公差即可得出通项公式；（2）根据（1）可得出数列前n 项和，建立不等式求解即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 若选择条件① ， ∵4722S S =+，∴114376427222a d a d ⨯⨯⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 即151810a d ++=.又∵17a =，所以2d =-，故29n a n =-+； 若选择条件② ，∵35235S S -=，∴232a a -=，∴2d =-，又∵17a =， 故29n a n =-+；若选择条件③ ,∵225122733a a a a -=--，∴()()()()515173733a a a a a a a a +-=-+-，即353a a =-， 即()11234a d a d +=-+，又∵17a =，所以2d =-，故29n a n =-+； (2)由（1）可知，17a =，2d =-，()()()211172822n n n n n S a n d n n n --=+=+-=-+，令0n S ≤，即280n n -+≤，解得8n ≥，且n N ∈.18．已知函数()()e 1xf x m x =++()m ∈R .(1)当1m =时，求()f x 在()()22f ,处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性.【答案】(1)()22e 2e 0x y +--=；(2)答案见解析﹒【分析】(1)求f (2)及在x ＝2处导数值，根据导数几何意义和直线点斜式方程即可求解； (2)求f (x )导数，根据a 的范围讨论导数正负，从而判断f (x )单调性．【详解】(1)当1m =时，()e 2x f x x =+，()22e 4f =+，()e 2x f x '=+，()22e 2f '=+，故()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()22e 4e 22y x -+=+-，即()22e 2e 0x y +--=；(2)()e 1xx m f =++'，当10m +≥，即1m ≥-时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； 当10+<m ，即1m <-时，由()0f x '>，得()ln 1x m >--，由()0f x '<，得()ln 1x m <--， ∴()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 综上所述，当1m ≥-时，()f x 在R 上单调递增；当1m <-时，()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 19．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市2015~2021年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码1~7分别对应的年份是2015~2021）.经计算得71259i i y ==∑，711175i i i t y ==∑()()7139iitty y --=∑.(1)计算样本()()1,2,,7,i i t i y =⋅⋅⋅的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到0.01）(2)建立y 关于t 的线性回归方程；（精确到0.01）(3)若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？附：（i ）相关系数：()()niit t y y r --=∑（ii ）线性回归方程：y bt a =+，其中()()()121ˆniii nii tty y btt==--=-∑∑，a y bt =-.【答案】(1)0.99r ≈，两个变量有很强的线性相关性 (2) 4.9617.16y t =+ (3)5.684万元【分析】（1）计算出t 的值，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得r ，即可得出结论；（2）求出y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b 、a 的值，可得出回归直线方程；（3）将8t =代入回归方程方程，求出该市某家庭教育支出的比例，即可得解. 【详解】(1)解：()1123456747t =++++++=， ()()()()()()()()72222222211424344454647428i i t t=-=-+-+-+-+-+-+-=∑，所以()()70.99iit t y y r --==≈∑，故两个变量有很强的线性相关性. (2)解：()121263438434651377y =++++++=， ()()()717211394.9628ii i ii tty y b t t ==--∴==≈-∑∑，ˆ37 4.96417.16a y bt=-=-⨯≈， 所以，回归直线方程为 4.9617.16y t =+. (3)解：当8t =时， 4.96817.1656.84y =⨯+=， 故家庭教育支出为1056.84% 5.684⨯=万元.20．如图，AE ⊥平面ABCD ，CF AE ∥，AD BC ∥，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.(1)求证：平面BFC ∥平面ADE ；(2)若线段CF 的长为1，求二面角E BD F --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)69【分析】（1）建立如图的空间直角坐标系，求出平面ADE 的一个法向量AB ＝(1，0，0)，证得0BF AB ⋅=，0BF AB ⋅=，即可证出结论；（2）利用空间向量的夹角坐标公式以及空间向量夹角与二面角的关系即可求出结果． 【详解】(1)证明：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，()1,2,1F .()1,0,0AB =是平面ADE 的法向量，又()0,2,1BF =，()0,2,0BC =，可得·0BC AB =，0BF AB ⋅=.所以AB 也是平面BCF 的法向量，∴平面BFC ∥平面ADE ； (2)依题意：()1,1,0BD =-，()1,0,2BE =-，()0,2,1BF =.设(),,n x y z =为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1z =，得()2,2,1n =.设(),,n a b c =为平面BDF 的法向量，则020m BD a b m BF b c ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩，取1b =，得()1,1,2m =-，由题意，26cos ,36m n m n m n⋅===⨯⋅∴二面角E BD F --621．运动达人小王每天都会定时锻炼，他的运动项目有篮球､羽毛球､游泳三种，已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如表：(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最小？ (2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如表所示：求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望. 【答案】(1)小王第三天游泳的可能性最小 (2)分布列答案见解析，数学期望：1408（卡）【分析】（1）根据小王第一天打羽毛球，可得到第二天分别参加哪项运动的概率，由此在分别计算第三天参加各项运动的可概率，比较即可求解；（2）求出运动能量消耗总数的可能的取值，计算出每种可能对应的概率，可得前3天参加体育运动能量消耗总数的分布列，根据期望的计算公式，求得期望.【详解】(1)设A ，B ，C 表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，()n P A ，()n P B ，()n P C *N n ∈分别表示第n 天进行A ，B ，C 三种运动项目的概率， ∵小王第一天打羽毛球，∴第二天小王做三项运动的概率分别为()20.4P A =，()20.2P B =，()20.4P C =， 第三天小王做三项运动的概率分别为()()()()32220.50.40.30.40P A P A P B P C =⨯+⨯+⨯=， ()()()()32220.20.20.60.36P B P A P B P C =⨯+⨯+⨯=， ()()()()32220.30.40.10.24P C P A P B P C =⨯+⨯+⨯=，故小王第三天游泳的可能性最小.(2)小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA ，BAB ，BAC ，BBA ，BBB ，BBC ，BCA ，BCB ，BCC 共9种，运动能量消耗总数用X 表示，X 所有可能取值为1200，1300，1400，1500，1600，()()12000.20.20.04P X P BBB ===⨯=，()()()13000.40.20.20.40.16P X P BAB P BBA ==+=⨯+⨯=，()()()()14000.40.50.20.40.40.60.52P X P BAA P BBC P BCB ==++=⨯+⨯+⨯=， ()()()15000.40.30.40.30.24P X P BAC P BCA ==+=⨯+⨯=， ()()16000.40.10.04P X P BCC ===⨯=，故X 的分布列为：故()12000.0413000.1614000.5215000.2416000.041408E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（卡）. 22．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,0A 且与直线1x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点. (1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B ､C 两点，若l OP ∥且直线OP 与直线1x =交于Q 点.求AB AC OP OQ⋅⋅的值；(3)若点D ､E 在y 轴上，PDE △的内切圆的方程为()2224x y -+=，求PDE △面积的最小值.【答案】(1)24y x =； (2)1； (3)32﹒【分析】(1)利用抛物线的定义即可判断动圆圆心轨迹形状，轨迹抛物线标准方程即可求曲线K 的方程；(2)联立l 方程和曲线K 的方程消去y ，根据韦达定理求出AB AC ⋅，联立OP 与曲线C方程求出P ，联立OP 方程和x ＝1求出Q ，从而可求OP OQ 、，代入AB AC OP OQ⋅⋅即可得结果；(3)设()00,P x y ，()0,D b ，()0,E c ，求出直线PD 方程，根据圆心到PD 的距离为半径2列出关于b 的方程，同理列出关于c 的方程，对比可得b 、c 为二次方程()20004440x x y x x -+-=的两根，根据韦达定理可求c b -，根据图像可求0x范围，根据012PDE S c b x =-⋅△结合基本不等式可求△PDE 面积的最小值． 【详解】(1)由题意可知圆心到()1,0的距离等于到直线1x =-的距离，由抛物线的定义可知，曲线K 的轨迹方程为24y x =； (2)设直线l 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得()2222240k x k x k -++=，∴()22240Δ2440k k k ⎧≠⎪⎨=+->⎪⎩，∴0k ≠， 设()11,B x y ，()22,C x y ， ∴212224k x x k ++=，121=x x ，又11AB x =+，21AC x =+，∴()()()()2212121222412411111k k AB AC x x x x x x k k++⋅=++=+++=++=， ∵l OP ∥，∴设直线OP 的方程为y kx =，联立24y kxy x=⎧⎨=⎩，消y 得2240k x x -=，∴24p x k =，∴244,P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴OP ， 令1x =，则Q y k =，∴()1,Q k ，∴OQ =∴()22411k AB AC O P OQ +==⋅⋅，AB AC OP OQ ⋅⋅的值为1．(3)设()00,P x y ，()0,D b ，()0,E c ，直线PD 的方程为()0000y b x x y x b --+=，由题可知圆心()2,0到PD 的距离为2，即()()00220022y b x by b x-+=-+，整理得()20004440x b y b x -+-=，同理可得()20004440x c y c x -+-=， ∴，可知b ，c 是方程()20004440x x y x x -+-=的两根，∴0044y b c x -+=-，0044x bc x -=-，由图依题意可知0bc <，即04x ，则()()()()22220002016444x y x c b b c bc x +--=+-=-，∵204y x =，∴()()()()2220000220001644164444x x x x x c b c b x x x +--==⇒-=---， ∴()()0000001124822168321246424PDE S c b x x x x x x ⎡⎤=-⎣⋅=-⋅=⋅-++≥+=⎢⎥-⎦△， 当且仅当001644x x -=-，即08x =时上式取等号，∴PDE △面积的最小值为32．。

2019-2020学年重庆八中七年级（下）定时练习数学试卷（6）一．选择题（共10小题）1．下面调查中，适合采用普查的是（）A．调查全国中学生心理健康现状B．调查你所在的班级同学的身高情况C．调查我市食品合格情况D．调查南京市电视台《今日生活》收视率2．下列计算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．a4+a3＝a7C．（2a3）4＝8a12D．a4÷a3＝13．为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（）A．32000名学生是总体B．1600名学生的体重是总体的一个样本C．每名学生是总体的一个个体D．以上调査是普查4．一个正方形的边长如果增加2cm，面积则增加32cm2，则这个正方形的边长为（）A．6cm B．5cm C．8cm D．7cm5．要使（x2+ax+1）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（）A．6B．﹣1C．D．06．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t 之间的函数关系图象可能是（）A．B．C．D．7．若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数m的值为（）A．4B．﹣4C．±4D．以上结果都不对8．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，则（x﹣2016）2的值是（）A．4B．8C．12D．169．现定义运算“△”，对于任意有理数a、b，都有a△b＝a2﹣ab+b，例如：3△5＝32﹣3×5+5＝﹣1，由此算出（x﹣1）△（2+x）等于（）A．2x﹣5B．2x﹣3C．﹣2x+5D．﹣2x+3 10．甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离S （千米）和行驶时间t（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）11．已知数据有100个，最大值为132，最小值为50，取组距为10，则可分成组．12．（﹣0.25）11×（﹣4）12＝．13．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为．14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）．15．甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500米的A，B两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点B前进（甲到达点B时停止运动），乙也立即向B点返回．在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动．甲、乙两人之间的距离y（米）与乙运动的时间x（秒）之间的关系如图所示．则甲到B点时，乙距B点的距离是米．三．解答题（共7小题）16．计算（1）（﹣2x4y3z）2•8x4y2÷（﹣15x2y2）（2）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）（3）（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）（4）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2（5）（3a﹣b）2﹣（2a+b）2﹣5a（a﹣b）（6）（a﹣2b）（a+2b）（a2﹣4b2）17．先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷（﹣2b），其中a＝﹣，b＝﹣2．18．据《北京晚报》介绍，自2009年故宫博物院年度接待观众首次突破1000万人次之后，每年接待量持续增长，到2018年突破1700万人次，成为世界上接待量最多的博物馆．特别是随着《我在故宫修文物》、《上新了，故宫》等一批电视文博节目的播出，社会上再次掀起故宫热．于是故宫文创营销人员为开发针对不同年龄群体的文创产品，随机调查了部分参观故宫的观众的年龄，整理并绘制了如下统计图表．2018年参观故宫观众年龄频数分布表年龄x/岁频数/人数频率20≤x＜3080b30≤x＜40a0.24040≤x＜50350.17550≤x＜6037c合计200 1.000请根据图表信息回答下列问题：（1）求表中a，b，c的值；（2）补全频数分布直方图；（3）从数据上看，年轻观众（20≤x＜40）已经成为参观故宫的主要群体．如果今年参观故宫人数达到2000万人次，那么其中年轻观众预计约有万人次．19．观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53＝（）2＝．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n3＝（）2＝[]2．（2）猜想：113+123+133+143+153＝．20．（1）已知a2+b2＝11，a+b＝4，求（a﹣b）2的值；（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn ＝1，求2n3﹣9n2+8n的值．21．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段OA、（2）半圆弧AB、（3）线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，问：（1）请直接写出：花坛的半径是米，a＝．（2）当t≤2时，求s与t之间的关系式；（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．②蚂蚁返回O的时间．（注：圆周率π的值取3）22．如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y．（1）求当t＝2时，y的值是；当t＝6时，y的值是．（2）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式；参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下面调查中，适合采用普查的是（）A．调查全国中学生心理健康现状B．调查你所在的班级同学的身高情况C．调查我市食品合格情况D．调查南京市电视台《今日生活》收视率【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、人数众多，应用抽样调查，故此选项错误；B、人数不多，应用全面调查，故此选项正确；C、数量众多，使用抽样调查，破坏性较强，故此选项错误；D、范围太大，应用抽样调查，故此选项错误；故选：B．2．下列计算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．a4+a3＝a7C．（2a3）4＝8a12D．a4÷a3＝1【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a4•a3＝a7，∴选项A符合题意；∵a4+a3≠a7，∴选项B不符合题意；∵（2a3）4＝16a12，∴选项C不符合题意；∵a4÷a3＝a，∴选项D不符合题意．故选：A．3．为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（）A．32000名学生是总体B．1600名学生的体重是总体的一个样本C．每名学生是总体的一个个体D．以上调査是普查【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、总体是：某市参加中考的32000名学生的体质情况，故本选项错误，B、样本是：1600名学生的体重，故本选项正确，C、每名学生的体重是总体的一个个体，故本选项错误，D、是抽样调查，故本选项错误，故选：B．4．一个正方形的边长如果增加2cm，面积则增加32cm2，则这个正方形的边长为（）A．6cm B．5cm C．8cm D．7cm【分析】根据正方形的面积公式找出本题中的等量关系，列出方程求解．【解答】解：设这个正方形的边长为x，正方形的边长如果增加2cm，则是x+2，根据题意列出方程得x2+32＝（x+2）2解得x＝7．则这个正方形的边长为7cm．故选：D．5．要使（x2+ax+1）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（）A．6B．﹣1C．D．0【分析】单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．先依据法则运算，展开式后，因为不含x4项，所以x4项的系数为0，再求a的值．【解答】解：（x2+ax+1）（﹣6x3）＝﹣6x5﹣6ax4﹣6x3，展开式中不含x4项，则﹣6a＝0，∴a＝0．故选：D．6．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t 之间的函数关系图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．故选：D．7．若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数m的值为（）A．4B．﹣4C．±4D．以上结果都不对【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，这里首末两项是x和2y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2y积的2倍，故m＝±4．【解答】解：∵（x±2y）2＝x2±4xy+4y2，∴在x2+mxy+4y2中，±4xy＝mxy，∴m＝±4．故选：C．8．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，则（x﹣2016）2的值是（）A．4B．8C．12D．16【分析】先把（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34变形为（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，把（x﹣2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2016）2的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵（x﹣2015）2+（x﹣2017）2＝34，∴（x﹣2016+1）2+（x﹣2016﹣1）2＝34，（x﹣2016）2+2（x﹣2016）+1+（x﹣2016）2﹣2（x﹣2016）+1＝34，2（x﹣2016）2+2＝34，2（x﹣2016）2＝32，（x﹣2016）2＝16．故选：D．9．现定义运算“△”，对于任意有理数a、b，都有a△b＝a2﹣ab+b，例如：3△5＝32﹣3×5+5＝﹣1，由此算出（x﹣1）△（2+x）等于（）A．2x﹣5B．2x﹣3C．﹣2x+5D．﹣2x+3【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（x﹣1）△（2+x）＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）（2+x）+2+x ＝x2﹣2x+1﹣x2﹣x+2+2+x＝﹣2x+5，故选：C．10．甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离S （千米）和行驶时间t（小时）之间的关系图象如图2所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】观察函数图象，逐一分析五条说法的正误，由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵两函数图象中y的最大值为18，∴他们都行驶了18千米，说法（1）符合题意；（2）1﹣0.5＝0.5（小时），∴甲在途中停留了0.5小时，说法（2）符合题意；（3）观察函数图象可知，乙比甲晚出发了0.5小时，说法（3）符合题意；（4）∵当x＞1时，甲的函数图象在乙的函数图象的下方，∴相遇后，甲的速度小于乙的速度，说法（4）符合题意；（5）∵乙2小时到达目的地，甲2.5小时到达目的地，∴甲比乙晚0.5小时到达目的地，说法（5）不符合题意．综上所述：符合题意得说法有4个．故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知数据有100个，最大值为132，最小值为50，取组距为10，则可分成9组．【分析】根据组数＝（最大值﹣最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．【解答】解：最大值为141，最小值为60，它们的差是132﹣50＝82，已知组距为10，那么由于≈9；则可分成9组．故答案为：9．12．（﹣0.25）11×（﹣4）12＝﹣4．【分析】利用a x×b x＝（ab）x进行计算即可．【解答】解：原式＝[（﹣）×（﹣4）]11×（﹣4）＝1×（﹣4）＝﹣4．故答案为：﹣4．13．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为8．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据x2+2x＝3整体代入即可解答本题．【解答】解：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2，＝x2+2x+1﹣（x2﹣4）+x2，＝x2+2x+5，∵x2+2x＝3∴原式＝3+5＝8．故答案为：8．14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，解得，②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．故答案为：ab．15．甲、乙两人在一条直线道路上分别从相距1500米的A，B两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点B前进（甲到达点B时停止运动），乙也立即向B点返回．在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动．甲、乙两人之间的距离y（米）与乙运动的时间x（秒）之间的关系如图所示．则甲到B点时，乙距B点的距离是87.5米．【分析】先根据甲的速度，求得乙的速度，再根据甲从相遇的地点到达B的路程为：175×4＝700米，乙在两人相遇后运动175秒的路程为：175×3.5＝612.5米，即可得到甲到B点时，乙距B点的距离．【解答】解：由题可得，甲从A到达B运动的时间为375秒，∴甲的速度为：1500÷375＝4m/s，又∵甲乙两人从出发到相遇的时间为200秒，∴乙的速度为：1500÷200﹣4＝3.5m/s，又∵甲从相遇的地点到达B的路程为：175×4＝700米，乙在两人相遇后运动175秒的路程为：175×3.5＝612.5米，∴甲到B点时，乙距B点的距离为：700﹣612.5＝87.5米，故答案为：87.5三．解答题（共7小题）16．计算（1）（﹣2x4y3z）2•8x4y2÷（﹣15x2y2）（2）（x+3y﹣2）（x﹣3y﹣2）（3）（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）（4）（3ab+4）2﹣（3ab﹣4）2（5）（3a﹣b）2﹣（2a+b）2﹣5a（a﹣b）（6）（a﹣2b）（a+2b）（a2﹣4b2）【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；（3）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（4）原式利用平方差公式变形，计算即可求出值；（5）原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（6）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（4x8y6z2）•8x4y2÷（﹣15x2y2）＝﹣x10y6z2；（2）原式＝（x﹣2）2﹣（3y）2＝x2﹣4x+4﹣9y2；（3）原式＝x2+8x+16﹣（x2﹣3x﹣10）＝x2+8x+16﹣x2+3x+10＝11x+26；（4）原式＝（3ab+4+3ab﹣4）（3ab+4﹣3ab+4）＝48ab；（5）原式＝9a2﹣6ab+b2﹣4a2﹣4ab﹣b2﹣5a2+5ab＝﹣5ab；（6）原式＝（a2﹣4b2）（a2﹣4b2）＝（a2﹣4b2）2＝a4﹣8a2b2+16b4．17．先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷（﹣2b），其中a＝﹣，b＝﹣2．【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（9a2+6ab+b2﹣9a2+b2﹣6b2）÷（﹣2b）＝（﹣4b2+6ab）÷（﹣2b）＝2b﹣3a，当a＝﹣，b＝﹣2时，原式＝﹣4+1＝﹣3．18．据《北京晚报》介绍，自2009年故宫博物院年度接待观众首次突破1000万人次之后，每年接待量持续增长，到2018年突破1700万人次，成为世界上接待量最多的博物馆．特别是随着《我在故宫修文物》、《上新了，故宫》等一批电视文博节目的播出，社会上再次掀起故宫热．于是故宫文创营销人员为开发针对不同年龄群体的文创产品，随机调查了部分参观故宫的观众的年龄，整理并绘制了如下统计图表．2018年参观故宫观众年龄频数分布表年龄x/岁频数/人数频率20≤x＜3080b30≤x＜40a0.24040≤x＜50350.17550≤x＜6037c合计200 1.000请根据图表信息回答下列问题：（1）求表中a，b，c的值；（2）补全频数分布直方图；（3）从数据上看，年轻观众（20≤x＜40）已经成为参观故宫的主要群体．如果今年参观故宫人数达到2000万人次，那么其中年轻观众预计约有1280万人次．【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；（2）利用以上所求结果可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）a＝200×0.240＝48，b＝80÷200＝0.4，c＝37÷200＝0.185；（2）补全直方图如下：（3）其中年轻观众预计约有2000×（0.4+0.24）＝1280（万人次），故答案为：1280．19．观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n3＝（1+2+…+n）2＝[]2．（2）猜想：113+123+133+143+153＝11375．【分析】观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律填空，（1）根据上述规律填空，然后把1+2+…+n变为个（n+1）相乘，即可化简；（2）对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值．【解答】解：由题意可知：13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225（1）∵1+2+…+n＝（1+n）+[2+（n﹣1）]+…+[+（n﹣+1）]＝，∴13+23+33+…+n3＝（1+2+…+n）2＝[]2；（2）113+123+133+143+153＝13+23+33+...+153﹣（13+23+33+ (103)＝（1+2+…+15）2﹣（1+2+…+10）2＝1202﹣552＝11375．故答案为：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n；；11375．20．（1）已知a2+b2＝11，a+b＝4，求（a﹣b）2的值；（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn ＝1，求2n3﹣9n2+8n的值．【分析】（1）利用完全平方公式化简，计算即可求出值；（2）已知代数式整理后，根据题意求出a与m的值，进而求出n的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：（1）把a+b＝4，两边平方得：（a+b）2＝16，∴a2+b2+2ab＝16，将a2+b2＝11代入得：11+2ab＝16，即2ab＝5，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11﹣5＝6；（2）原式＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3，由化简后不含有x2项和常数项，得到2a﹣4＝0，m﹣3＝0，解得：a＝2，m＝3，代入an+mn＝1得：2n+3n＝1，即n＝，∴2n3﹣9n2+8n＝＝＝．21．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段OA、（2）半圆弧AB、（3）线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，问：（1）请直接写出：花坛的半径是4米，a＝8．（2）当t≤2时，求s与t之间的关系式；（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．②蚂蚁返回O的时间．（注：圆周率π的值取3）【分析】（1）根据圆上的点到圆心的距离等于半径可知S开始不变时的值即为花坛的半径，然后求出蚂蚁的速度，再根据时间＝路程÷速度计算即可求出a；（2）设s＝kt（k≠0），然后利用待定系数法求正比例函数解析式解答；（3）①根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在BO段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可得解；②求出蚂蚁吃完食后爬到点O的时间，再加上11计算即可得解．【解答】解：（1）由图可知，花坛的半径是4米，蚂蚁的速度为4÷2＝2米/分，a＝（4+4π）÷2＝（4+4×3）÷2＝8；故答案为：4，8；（2）设s＝kt（k≠0），∵函数图象经过点（2，4），∴2k＝4，解得k＝2，∴s＝2t；（3）∵沿途只有一处食物，∴蚂蚁只能在BO段吃食物，11﹣8﹣2＝1，∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物，4﹣1×2＝2（米），∴蚂蚁停下来吃食的地方距出发点2米，2÷2＝1（分钟），11+1＝12（分钟），∴蚂蚁返回O的时间为12分钟．22．如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y．（1）求当t＝2时，y的值是96；当t＝6时，y的值是160．（2）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式；【分析】（1）当t＝2时，判断出点P在AB上，利用三角形的面积公式得出结论；当t ＝6时，判断出点P在BC上，由长方形面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结论；（2）分三种情况讨论，当P在AB上时，y＝AP×BC，当P在BC上时，由长方形减去3个直角三角形的面积，即可得出结论，当P在EC上时，y＝PE×BC．【解答】解：（1）长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，AD∥BC，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，∴当t＝2时，则AP＝4X2＝8＝AB，即P为AB的中点，∵E为CD边的中点，∴四边形APED是矩形（如图1所示）∴CE＝DE＝8，∠APE＝∠B＝90°，PE⊥AB，PE＝BC＝24∴△APE的面积为；当t＝6时（如图2所示），BP＝6×4﹣AB＝24﹣16＝8，∴PC＝BC﹣BP﹣16∴△APE的面积为；故答案为：96；160（2）①当P在AB上时（如图1），即0≤t≤4时，此时，AP＝4t，∴△APE的面积为y＝4t×24＝48t，②当点P在BC上时（如图2）即4＜t≤10，此时BP＝4t﹣16，则PC＝24﹣（4t﹣16）＝40﹣4t∴所以y与之间的关系式为y＝﹣16t+256③当点P在BC上时（如图3）即10＜t≤12，PE＝48﹣4t，∴△APE的面积为y ＝48﹣4t）×24＝﹣48t+57621 / 21。

2023-2024学年重庆市主城四区高二下学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|x>−2}，则B∩(∁R A)=( )A. [−2,+∞)B. (−∞,2]C. [2,+∞)D. [−2,2]2.若(2x−1x)n的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数为( )A. 80B. −80C. 40D. −403.若命题“∃x0∈R，x20−2x0+m<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)4.某次高二质量抽测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(96,144).已知参加本次考试的学生约有10000人,如果小明在这次考试中数学成绩为120分,则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是( ) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ< X<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ< X<μ+2σ)=0.9545A. 第228名B. 第455名C. 第1587名D. 第3173名5.若xy≠0，则“x+2y=0”是“xy+yx=−52”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的使是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买20g黄金，售货员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将10g的砝码放在天平右盘中，取yg黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的xg和yg黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量( )A. 大于20gB. 等于20gC. 小于20gD. 无法确定7.春节期间，《第二十条》、《热辣滚烫》和《飞驰人生2》三部电影引爆了电影市场.某班有四名同学都要观看电影并且每人只能选择这三部中的一部电影观看，如果他们中有同学选择观看《第二十条》，则这四名同学不同的观影情况种数为( )A. 32B. 57C. 64D. 658.若方程x2+3x+1=ke x恰有三个不相等的实根，则k的取值范围是( )A. (0,5e )B. (−e 2,5e )C. (0,+∞)D. (−e 2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共15分。

重庆市第八中学2018-2019学年高一下学期半期考试数学试题一、选择题 本大题共12道小题。

1.等差数列{a n }中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11B. 7C. 3D. 2答案及解析：1.A 【分析】根据2642a a a +=和已知条件即可得到。

【详解】等差数列{}n a 中，2642a a a +=Q642227311a a a ∴=-=⨯-=故选A 。

【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题。

2.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏B. 2盏C. 3盏D. 4盏答案及解析：2.C答案第2页，总18页【分析】由等比数列的求和公式得到塔顶层的灯盏数。

【详解】设塔顶共有1a 盏灯由题意数列{}n a 为公比为2的等比数列()7171238112a S -∴==-解得13a = 故选C【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，关键是识别其为等比数列，属于基础题。

3.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则△ABC 的形状一定是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形答案及解析：3.A 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定△ABC 的形状。

【详解】22cos2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A B A++∴=化简得sin cos sin A C B =()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C ∴=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………ABC ∴∆是直角三角形故选A【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略。