高中数学第二章2.4正态分布课堂探究学案

2.4 正态分布课时目标1.了解正态曲线的特点、意义.2.会用正态分布解决一些实际问题.3.理解3σ原则．1．正态分布：在生产、科研和日常生活中，经常会遇到这样一类随机现象，它们是由一些相互独立的偶然因素所引起的，而每一个这种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，表示这类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布．__________________的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．2．正态曲线：正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝________________，x∈R，其中μ、σ是参数，且σ>0，μ∈R，参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)．________________________________的图象叫做正态曲线．3．3σ原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率P(μ－σ<X<μ＋σ)＝________；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝________；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝________.一、选择题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18π·e－(x－10)28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ) A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与102．下列函数是正态分布密度函数的是( )A．f(x)＝12πσe(x－μ)22σ2，μ、σ(σ>0)都是实数B．f(x)＝2π2π·e－x22C．f(x)＝122πe(x－1)2σD．f(x)＝12πex223．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为( ) A．1 B．－1 C．0 D．不确定4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)等于( )A.15B.14C.13D.12二、填空题6. 如图所示是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______、______、______.7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．8．工人生产的零件的半径ξ在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)．在正常情况下，取出1 000个这样的零件，半径不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个范围的零件约有________个．三、解答题9．如图是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？能力提升11．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？1．要求正态分布的概率密度函数式，关键是理解正态分布密度曲线的概念及解析式中各字母参数的意义．2．解正态分布的概率计算问题，一定要灵活把握3σ原则，将所求问题向P (μ－σ<ξ<μ＋σ)，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这一特殊性质．2．4 正态分布答案知识梳理 1．服从正态分布2.12πσe －(x －μ)22σ 正态变量的概率密度函数 3．0.683 0.954 0.997 作业设计1．B [f (x )可以改写成f (x )＝12π×4e －(x －10)22×4，对照可知μ＝10，σ＝2.]2．B3．C [均值即为其对称轴，∴μ＝0.] 4．A [∵X ～N (0，σ2)，∴μ＝0， 又P (－2≤X ≤0)＝0.4， ∴P (X >2)＝12(1－0.4×2)＝0.1.]5．D [由正态分布图象可知，μ＝4是该图象的对称轴， ∴P (ξ<4)＝P (ξ>4)＝12.]6．① ② ③解析 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 7．0.8解析 正态曲线关于x ＝1对称， ∴ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4.8．3解析 半径属于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件个数约有0.997×1 000＝997， ∴不属于这个范围的零件个数约有3个．9．解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f (x )＝12πe －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. 10．解 ∵ξ～N (90,100)， ∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2 000×0.683＝1 366(人)．11.12解析 由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其概率密度函数关于x ＝μ对称，故P (x ≤μ)＝12. 12．解 (1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10.所以成绩在60～80之间的学生所占的比为P (70－10<X <70＋10)＝0.683， 所以成绩不及格的学生的比为：12(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生占15.85%. (2)成绩在80～90之间的学生的比为 12[P (70－2×10<X <70＋2×10)－P (60<x <80)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.即成绩在80～90分之间的学生占13.55%.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

正态散布教课方案一、教课目的剖析联合课程标准的要求，学生的实质状况，本节课的教课目的以下：知识与技术目标：（1）学习正态散布密度函数分析式；（2）认识正态曲线的特色及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习教案，使学生在课前自学；（2）讲堂采纳小组合作研究，提升讲堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将讲堂学习延长至课外学习。

感情、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习热忱；（2）运用议论研究形式，加强学生的合作意识。

二、教课内容分析正态散布是人教 A 版选修 2-3 第二章第四节的内容，该内容共一课时。

以前，学生已经学习了频次散布直方图、失散型随机变量等有关知识，这为本节课学习确立了基础，而正态散布研究是连续型随机变量，既是对前方内容的增补、拓展，又为学生初步应用正态散布知识解决实质问题供给了理论依照。

三、教课识题诊疗学生已在必修三中学习过频次散布直方图、整体密度曲线，但间隔时间较长，有些忘记，可能会影响讲堂进度。

正态曲线的特色许多，证明也较为复杂，假如等到讲堂上才开始思虑，必然影响讲堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教课要点：（1）正态散布密度函数分析式；（2）正态曲线的特色及其所表示的意义。

教课难点：正态曲线的特色四、教课对策剖析经过两个看法复习题，让学生熟习本节课需要用到的知识。

设计了好多学生讲话的环节，让学生充足的显现自己的能力。

为达成教课任务，教师需要在课前为学生供给教案，讲堂中指引学生，掌控学习进度。

五、教课基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验整体密度曲线正态曲线与函数讲堂练习正态散布正态曲线特色讲堂检测条件及举例讲堂小结课后查阅六、教课过程设计（1）课前自主学习：1.频次散布直方图用什么表示频次？2.由频次散布直方图获得整体密度曲线的过程是：第一绘制样本的频率散布折线图，而后跟着的无穷增添，作图时的减小、的增添，频次散布折线图愈来愈靠近一条圆滑曲线，这条曲线就是曲线。

2.4 正态分布课堂探究探究一 正态曲线的应用(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x ＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f (u )＝1σ2π为最大值，并注意该式在解题中的应用．【典型例题1】如图，是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及概率密度函数的解析式．解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π， 所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2. 所以概率密度函数的解析式是f (x )()2204x --，x ∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.规律总结 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x ＝μ，另一是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f (x )中便可求出相应的解析式．探究二 正态分布下的概率计算充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．(1)熟记正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．(2)p (x ＜a )＝1－p (x ≥a )；p (x ＜μ－a )＝p (x ＞μ＋a )．【典型例题2】设ξ～N (1,4)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)；(2)P (3＜ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)．思路分析：首先确定μ，σ，然后根据正态曲线的对称性和P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4进行求解．解：∵ξ～N (1,4)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ≤1＋2)＝P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)] ＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)，∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)] ＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8. 规律总结 求正态总体在某个区间上取值的概率，要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据．探究三 正态分布的应用求正态变量X 在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定p 的值．(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．【典型例题3】某厂生产的圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析：判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)内，还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．解：由于圆柱形零件的外径X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．规律总结在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则，如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．探究四易错辨析易错点混淆均值与标准差【典型例题4】把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是( )A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2错解：D错因分析：把正态密度函数中μ，σ的意义混淆了．正解：正态密度函数为f(x)()222xμσ--，正态曲线的对称轴x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝12πσ.所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以期望值μ增大了2个单位长度．答案：C。

2.4正态分布教案篇一：2.4正态分布教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识：了解正态分布在实际生活中的意义和作用；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；结合3σ原则对服从正态分布的变量进行简单决策2、能力：提高学生的整体认知能力、快速提取信息能力、识图能力、理论联系实际分析问题、解决问题的能力。

2.教学重点/难点1、重点：正态分布的概念和性质2、难点：正态分布（曲线）的性质及3σ原则简单应用3.教学用具课件4.标签正态分布,正态曲线性质教学过程山东省信息技术与课堂整合优质课评选《正态分布》教学设计五莲县第三中学李治国《正态分布》教学设计一、教学分析（一）教学目标1、知识：了解正态分布在实际生活中的意义和作用；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；结合3σ原则对服从正态分布的变量进行简单决策2、能力：提高学生的整体认知能力、快速提取信息能力、识图能力、理论联系实际分析问题、解决问题的能力。

（二）重难点：1、重点：正态分布的概念和性质2、难点：正态分布（曲线）的性质及3σ原则简单应用二、教学过程及多媒体的应用本课主要利用powerpoint，数学专用scilab随机数表生成程序，几何画板，mathtype编辑程序制作了教学课件，因为本节内容所用数据以及公式较多，又需要使用数据构造作图并估计，是本节教学中的一个难点，传统教学很难解决课堂上大量的数据分组和作图问题，而利用以上媒体设计使数据分组快速直接，并能让图像动起来，能够节省课堂上的教学时间，提高教学效率，加大课堂容量，利用动画设计突破了研究正态曲线性质的教学难点，更有利于学生直观感知，总之,使用多媒体技术能够化抽象为具体，化分散为紧凑。

给学生以动感的认识，高度浓缩时空，有效突破重难点，激活课堂,起到事半功倍的效果。

(-)（复习导入）1、(1)运用多媒体画出频率分布直方图和总体密度曲线．(2)当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(3)重新感知“样本容量越大，总体估计就越精确”．2．通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．多媒体的作用：展示以前学习知识，回顾总结，引出课题(二)具体学习阶段自主学习探究一：概率密度函数的概念和函数形式其中：π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差，正态分布一般记为n(μ，σ2)．注意：①函数表达式的形式②当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是其相应的曲线称为标准正态曲线．多媒体作用：用图形展示数据的总体趋势，引出概念，展示函数形式，给学生以函数的认识。

2.4正态分布的教学设计本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版选修2-3中的内容，共一课时。

【教学重点、难点】教学重点：正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义.教学难点：正态分布密度曲线所表示的意义一、情境引入——高尔顿板试验二、建立概念——钟形曲线——正态曲线——正态分布（一）钟形曲线（二）正态曲线（三）正态分布三、探究曲线特点正态曲线一方面是函数的图象，另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率分布规律，因此我们可以从函数概率两个方面探究正态曲线的特点.正态曲线特点（1）曲线位于轴上方，与轴不相交（2）曲线是单峰的，它关于直线对称（3）曲线在处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为1当一定时曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移当一定时曲线形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散四、归纳小结为了进一步培养学生的概括和语言表达能力，课堂小结设置了2个问题：（1）本节课我们学习的知识有哪些？（2）在正态曲线、正态分布概念的得出和正态曲线特点的探究上，我们用了哪些研究问题的方法，体现了哪些数学思想？五、布置作业课本P75 A组1，2；2.4正态分布的学情分析所带班级的学生能够应用图形计算器解决简单的数学问题，在年级中属于中上游的学生。

认知基础方面：学生学习了统计与概率的相关知识，大部分学生能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想.大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.正态曲线的特点和意义学生可通过高尔顿板试验、画频率分布直方图和频率分布折线图以及图形计算器的探究活动来学习，正态分布密度函数的得出需要教师给予适度的指导.2.4正态分布·效果分析通过对学生的随机调查，本节课的教学效果很好。

2.4正态分布教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源②通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美教学重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点：正态分布密度曲线的特点教法与学法学情分析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础.但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难. 根据以上学情，我采取了如下的教学方法：1、教法本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法.通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程.而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性.2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：⑴观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力.（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）⑵归纳分析：引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维.（如通过几何画板的观察，归纳分析参数μ、σ对图像的影响）⑶理解应用在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣.（如例题2及作业B组题的设置）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情通过对高尔顿板试验进行演示. 教师创设情境，为导入新知做准备.学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考.学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的.教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.研探论证1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表.⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图.⑶将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线.引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程.在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距.教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量.通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移.通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解.这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡.教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程. 通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程.教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证2．正态曲线：曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像：()()()+∞∞-∈⋅=--,,21222,xexxσμσμσπϕ,其中π是圆周率，e是自然对数的底，实数μ和σ（σ＞0）为参数.我们称()xσμϕ,的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.μ与σ分别反映的是均值与标准差.教师提出课题并板书：正态分布教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义.与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源.3．正态曲线对应的解析式中含有两个参数μ和σ.下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数μ和σ对曲线的影响：⑴固定σ的值，观察μ对图像的影响学生研探新知，并进行推理论证.其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维.教师利用几何画板，先后固定参数σ和μ，通过变化参数μ和σ的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言.学生通过观察得到：当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；结合解析式分析知=μ时它是个偶函数，于是参数μ决定了正态曲线的对称轴，0≠μ时的图像可由0=μ时的图像平移得到.（教师板书：曲线是单峰的，它针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度.该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力.关于直线μ=x 对称） 同时得到：曲线在μ=x 时达到峰值πσ21（教师板书）.教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 研 探 论 证⑵固定μ的值，观察σ对图像的影响⑶综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可以分析得到：当μ一定时，σ影响了曲线的形状.即：σ越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；σ越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）.综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交.（教师板书）. 最后引导学生由概率知识知：曲线与x 轴之间的面积为1（教师板书）.该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想. 这样的处理很好地突出了重点，突破了难点这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫.4．曲线与x 轴之间的面积为1.根据对称性知，随机变量X 落在对称轴μ=x 两侧的概率都是21.请思考：对于任意一个随机变量X ，如何求出落在给定区间(]b a ,内的概率？引导学生回忆得到：X 落在区间(]b a ,的概率的近似值其实就是在(]b a ,上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数()x ϕ在区间(]b a ,上的定积分.即：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.()()dxx b X a P b a σμϕ,⎰≈≤＜教学环节 教学内容师生互动设计意图研 探 论 证5． 正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足()()dx x b X a P b a σμϕ,⎰=≤＜，则称X的分布为正态分布，常记作()2,σμN .如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X .教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法.引导学生分析得到，X 所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率.以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识.同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯.6．3σ原则几何画板演示3σ原则：()6826.0=+≤-σμσμX P ＜()9544.022=+≤-σμσμX P ＜引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数.根据现有知识，无法求()x σμϕ,原函数.得寻求别的方法求概率.教师通过利用几何画板演示随机变量X 落在区间(]σμσμ+-,, (]2,2σμσμ+-与(,3σμ-]3σμ+这三个区间内的概率，引入3σ原则的内容，并指出：在()σμσμ3,3+-区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取 ()σμσμ3,3+-之间的值，简称σ3原则.我们可以利用3σ原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题.(教师板书3σ原则的内容)学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”.新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难.教师利用几何画板，从数与形上体现了3σ原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解.这为后面3σ原则的应用作了铺垫. Oyx ab()9974.033=+≤-σμσμX P ＜教学环节 教学内容师生互动设计意图 反 馈 矫 正例题1 把一条正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法不正确的是（） A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为正态分布的总体的方差比以曲线a 为正态分布的总体的方差大2 D ．以曲线b 为正态分布的总体的期望比以曲线a 为正态分布的总体的期望大2学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩.教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识.学生易分析知：正态曲线a 经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值（期望）有关.故C 选项的说法不正确.通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解.例题 2 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如下图： ① 写出X 的分布密度函数； ②求成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ ③求成绩X 位于区间(]68,60的概率是多少？ ④若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？ 学生相互讨论，根据对称轴可知60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ由8,60==σμ知： ()6852≤X P ＜ ()σμσμ+≤-=X P ＜ 6826.0=()6860≤X P ＜()685221≤=X P ＜ 3413.0=()()4476＜＞X P X P =()[]7644121≤≤-=X P ()9544.0121-=0228.0=通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情.本例是由课本74页练习2进行变式处理，做到了一题多用. 该环节设置的②③④这三个小问，分别要求学生根据σ3原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率.体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度.20 40 60 80100 y π281x O例3 设正态总体落在区间()1,-∞-和区间()+∞,3内的概率相等，落在区间()4,2-内的概率为%74.99，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标.学生分析易知：落在()1,-∞-和()+∞,3内概率相等知1=μ,由区间()4,2-概率为99.74%，知431=+σ,231-=-σ, 即1=σ，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛π21,1.要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果.再一次强化了数形结合的解题思想.教学环节教学内容师生互动设计意图 应用评价1． 正态曲线有哪些具体的特点？2．σ3原则是什么？它对μ、σ取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？ 3．思想方法：数形结合等.4．生活中的正态分布教师引导学生进行课堂小结，自我评价. 学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨.将课堂小结作为自我评价的主阵地.教师结合例子对正态分布进行介绍.通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价.教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法.通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用.思维创新 A 组课本75页 A 组第1题B 组第2题B 组在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约有多少人？课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值.学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新.教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法.学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足.板书设计正态分布1．解析式2．曲线性质⑴⑵⑶⑷⑸3．3 原则例1．例2①②③④例3多媒体投影。

正态分布教学设计一、教学目标分析结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下：知识与技能目标：（1）学习正态分布密度函数解析式；（2）认识正态曲线的特点及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学；（2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。

情感、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情；（2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。

二、教学内容解析正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。

之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。

三、教学问题诊断学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。

正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教学重点：（1）正态分布密度函数解析式；（2）正态曲线的特点及其所表示的意义。

教学难点：正态曲线的特点四、教学对策分析通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。

设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。

为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。

五、教学基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线正态曲线与函数课堂练习正态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课后查阅六、教学过程设计（1）课前自主学习：1.频率分布直方图用什么表示频率？2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着 的无限增加，作图时 的减小、 的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是 曲线。

高中数学第二章概率2.4 正态分布学案新人教B版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章概率2.4 正态分布学案新人教B版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2.4 正态分布1。

了解正态分布的意义。

2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质。

（重点）3。

了解正态曲线的意义和性质.4。

会利用φ（x），F(x)的意义求正态总体小于X的概率.(难点）［基础·初探]教材整理1 正态曲线及正态分布阅读教材P65～P66，完成下列问题。

1。

正态变量的概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f（x）＝错误!e－错误!，（x∈R）。

其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差。

2。

正态分布的记法期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记做N（μ，σ2）。

3。

正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线。

4.标准正态分布数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布,记做N（0，1)。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.（）(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量。

（）(3）正态曲线是一条钟形曲线.( ）（4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述.（）【解析】（1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计.(2）√因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值。

第 1 页 共 4 页2.4正态分布【教学目标】1、利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2、了解变量落在区间，σμσμσμ2(](-+-，，]33(]2σμσμσμ+-+，，的概率大小.3、会用正态分布去解决实际问题.【教学重点、难点】 重点：正态曲线的性质 难点：对正态分布的理解及应用【使用说明、学法指导】先通读教材勾画出本节内容的基本知识，再完成新知自学设置的问题，依据发现的问题，然后再读 教材或查阅资料，解决问题。

1、独立完成，限时15分钟。

【课前预习案】【新知自学】预习课本7470-P ，思考并完成以下问题1、正态曲线的定义：函数，222)(21)(σμσμπσϕ--=x e x ，，-∞∈(x )∞+，其中实数μ和）＞（0σσ为参数，我们称)(x σμϕ，的图象为 ，简称 .一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足⎰=ba dx xb X a D )()(,σμϕ＜＜,则称随机变量X 服从正态分布，正态分布完全由μ和σ确定，因此正态分布记作 ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为2、正态曲线的性质（特点）： 正态曲线∈-=-x e x x ，，σμσμπσϕ2)(21)(R 有以下性质：（1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ；（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；（3）曲线在 处达到峰值 ；（4）曲线与x 轴之间的面积为 ；（5）当 一定时，曲线随着 的变化而沿x 轴平等，如图①；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”；σ ，曲线越“矮胖”，如图②； 3、正态分布（1）正态分布完全由μ和σ确定，因此正态分布常记作 ，如果随机变X 服从正太分布，则记为 。

（2）特别地，如图可知，=+≤<-)(σμσμX P ；=+≤<-)22(σμσμX P ；=+≤<-)33(σμσμX P ；（3）在实际应用中，通常认为服从于正态分布)(2σμ，N 的随机变量X 只取 之间的值，并简称为 。

2.4正态分布学习目标：1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。

2.通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质学习过程：模块一：复习旧知1.随机变量包括 和 .2.连续型总体X,它的样本频率分布直方图有一个明显的性质:随着样本容量的增加,作图时分组的组距越来越小,频率分布直方图对应的频率分布 越来越接近于 .模块二：探究新知知识点一 正态分布密度曲线1.正态分布密度曲线是函数 对应的图象,简称 .2.该函数的自变量是 ,定义域是 .3.解析式中含有两个参数: ,它们是正态分布的两个特征数.它们的取值范围是什么?知识点二 随机变量服从正态分布1.正态分布对于任何实数b a <,随机变量X 满足⎰=≤<ba dx xb X a P )()(,σμϕ则称 . 问题1:参数μ反映了随机变量的什么特征?参数σ反映了随机变量的什么特征?什么叫标准正态分布？问题2:正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布.试举例说明.问题3:什么样的随机变量近似地服从正态分布?2.正态分布完全由参数 确定.因此正态分布常记作 ,如果随机变量X 服从正态分布,则记为 .3.正态曲线的特点问题1:正态曲线有哪些特点？问题2：当σ一定时，随着μ的变化，正态曲线有何变化？问题3:当μ一定时，随着σ的变化，正态曲线有何变化？4.σ3原则=+≤<)-σμσμX P （ .=+≤<)22-σμσμX P （ .=+≤<)33-σμσμX P （ .问题1:什么叫σ3原则？模块三：应用举例例1 设ξ～），（221N ，试求： （1）)31(≤<-ξP ;(2))53(≤<ξP ;(3))5(≥ξP例2 在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩X 近似服从正态分布），（10060N ，已知成绩在90分以上（含90）的学生有13人.(1)求此次参加竞赛的学生总数.(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生,问受奖学生的分数线是多少?变式题 在一次数学考试中,某班学生的分数X ～），（220110N ,且试卷满分150,这个班共有54人,求这个班在这次数学考试中90分以上和130分以上的人数.模块四：课堂练习1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( ) A.()σσπ2221)(r x e x f -= B.2222)(x e x f -=ππ C.()412221)(-=x e x f π D.2221)(x e x f π=2. 已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.83．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]5．(2010·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 6.若X ～),(2σμN ,则X 位于区域(]σμμ+，内的概率为 . 7.若～X ),(2σμN ,a 是一个实数,求证=X P (a )= .8.正态变量的概率密度函数2)3(221)(--=x e x f π，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________． 9.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．10.商场经营的某种包装的大米质量（单位：千克）服从正态分布)1.0,10(2N ,任选一袋这种大米，质量在8.9～2.10的概率为 .11.若X ～)1,5(N ,则)76(<<X P = .五、小结 ：六、学后问题与反思。

§2.4 正态分布学习目标：1、了解利用正态曲线求随机变量的在某范围内的概率；2、理解正态分布在实际生活中的意义和作用 ；3、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解，能通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；4、能利用正态分布进行简单的概率运算，并解决简单的实际问题。

（一）自主学习：阅读教材P70到P72思考前，完成下列问题:1、正态曲线的方程是___________________，其中实数μ表示___________ (0)σσ>表示_______________2、正态分布：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足:_____________________，则称X 服从___________，记作_____________.3、给出下列三个正态曲线的函数表达式，请找出其均值μ和方差2σ （1）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（2）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（二）合作探究如图，结合()x σμϕ,的解析式及概率的性质，探究正态曲线的特点。

探究结论：（三）例题分析1、设随机变量X 服从正态分布N （2，9），若)1()1(-<=+>c X P c X P ，求c 的值。

2、若ξ～)1,5(N ,求:(1)P(4<X<6) ; (2) P(5<X<7); (3)P(6<X<7).3、在某次数学考试中(总分150)，考生的成绩ξ服从一个正态分布ξ～)100,90(N .（1）试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率;（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？（四）知识小结（五）课堂练习教材74页练习1，2，3题；作业：习题2.4A 组1，2题；。

2．4 正态分布整体设计教材分析正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容．一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述．因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．课时分配1课时教学目标知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．归纳正态曲线的性质．过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．重点难点教学重点：正态曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)．教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．教学过程复习旧知1．回顾曲边梯形的面积S ＝⎠⎜⎛ab f(x)dx 的意义；2．复习频率分布直方图，频率分布折线图的作法、意义：①在频率分布直方图中，区间(a ，b)对应的图形的面积表示____________________．②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为_______________________________．设计意图：用学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律．探究新知提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？课本的内容表述了高尔顿板试验，我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布．活动设计：教师板书课题，学生阅读课本中关于高尔顿板的内容．提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图．(2)当n 由1 000增至2 000时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n 无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．活动结果：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)． 式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．1．一般地，如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎜⎛ab φμ，σ(x)dx ，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．理解新知正态分布密度函数的理解：φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，其中：x是随机变量的取值；π是圆周率；e是自然对数的底；参数μ是正态分布的均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去佑计；参数σ是正态分布的标准差，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．提出问题：下面给出三个正态分布的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)f(x)＝12πe－x22；(2)f(x)＝122πe－(x－1)28；(3)f(x)＝2πe－2(x＋1)2.答案：(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝0.5.设计意图：概念一旦形成，必须及时加以巩固．通过对问题的解答，进一步加深对定义的认识．提出问题：正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．例如令σ＝0.5，μ＝－1,0,1….活动设计：通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．设计意图：通过对两组正态曲线进行分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．活动结果：(一)正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中．六条性质中前三条学生较易掌握，后三条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．(二)标准正态曲线：当μ＝0、σ＝1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表示式是f(x)＝12πe－x22(－∞＜x＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线．教师指出：标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．1．N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：①若ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－μσ～N(0,1)，有P(ξ<x 0)＝F(x 0)＝Φ(x 0－μσ)； ②若ξ～N(μ，σ2)，则P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2－μσ)－Φ(x 1－μσ)． 2．在标准正态分布表中相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即Φ(x 0)＝P(ξ<x 0)．两个重要公式：①Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)，②P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2)－Φ(x 1)．3．3σ原则．进一步，若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎜⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)dx 为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大．这说明σ越小，X 落在区间(μ－a ，μ＋a]的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大．特别有：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，用图表示为：正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．因此在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则． 运用新知例1已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ．0.84解析：解法一：∵P(ξ≤4)＝F(4)＝Φ(4－2σ)＝Φ(2σ)＝0.84，∴P(ξ≤0)＝F(0)＝Φ(0－2σ)＝Φ(－2σ)＝1－Φ(2σ)＝0.16. 解法二：因为曲线的对称轴是直线，所以由图知P(ξ≤0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.答案：A例2设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975解析：解法一∵ξ～N(0,1)，∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.解法二：∵曲线的对称轴是直线x＝0，∴由图知P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.故答案为C.答案：C例3设X～N(4,1)，求P(5＜x＜6)．分析：确定μ，σ的值，由正态曲线的对称性及P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)的概率计算．解：由已知得，μ＝4，σ＝1，P(3＜X＜5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(2＜X＜6)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(2＜X＜3)＋P(5＜X＜6)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由对称性得，P(2＜X＜3)＝P(5＜X＜6)＝0.135 9.【变练演编】1．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.答案：0.52．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：正态分布函数的图象关于x＝μ对称，σ的大小表示变量的集中程度，σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”．答案：A3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ) D ．2Φ(μ＋σ) 解析：考查N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：若ξ～N(μ，σ2)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．答案为B. 答案：B【达标检测】1．若随机变量X ～N(μ，σ2)，a 为一个实数，证明P(X ＝a)＝0.证明：对于任意实数a 和自然数n 有{a －1n<X≤a}＝{X ＝a}∪{a －1n<X<a}． 因为事件{X ＝a}与事件{a －1n<X<a}互斥，由概率加法公式得 P(a －1n <X≤a)＝P(X ＝a)＋P(a －1n <X<a)≥P(X＝a)．因为X ～N(μ，σ2)，所以0≤P(X＝a)≤P(a－1n<X≤a)＝⎠⎛a a －1nφμ，σ(x)dx ≤1σ2π⎠⎛a a －1n dx ＝1n σ2π，n ＝1,2，…，故P(X ＝a)＝0. 点评：本题涉及知识范围较广，是一道综合性较强的题目．2．若X ～N(5,1)，求P(6＜X ＜7)．解：由X ～N(5,1)知，μ＝5，σ＝1.因为正态密度曲线关于x＝5对称，所以P(5＜X ＜7)＝12·P(3＜X ＜7)≈12·0.954 4＝0.477 2； P(5＜X ＜6)＝12·P(4＜X ＜6)≈12·0.682 6＝0.341 3； P(6＜X ＜7)＝P(5＜X ＜7)－P(5＜X ＜6)≈0.135 9. 3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，求总体落入区间(－1.2,0.2)之间的概率． 解：正态分布的概率密度函数是f(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的最大值为f(μ)＝12πσ，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布． P(－1.2<x<0.2)＝Φ(0.2)－Φ(－1.2)＝Φ(0.2)－[1－Φ(1.2)]＝Φ(0.2)＋Φ(1.2)－1.课堂小结1．正态分布．2．正态分布密度曲线及其特点．3．标准正态曲线．4．了解3σ原则．补充练习【基础练习】1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴的上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．上述叙述中，正确的有__________．答案：(1)(3)(4)2．设某长度变量X～N(1,1)，则下列结论正确的是( )A．E(X)＝D(X)＝D(X) B．D(X)＝D(X)C．E(X)＝D(X) D．E(X)＝D(X)答案：A3．把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案：D【拓展练习】1．设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(│X│＜1)＝0.682 6，则P(X＜－1)＝0.158 7；④若P(│X│＜2)＝0.954 4，则P(X＜2)＝0.977 2；⑤若P(│X│＜3)＝0.997 4，则P(X＜3)＝0.998 7；其中正确的有( )A．2个 B．3个 C．4个D．5个答案：D2．已知X～N(0,1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率等于( )A．0.022 8 B．0.045 6 C．0.977 2 D．0.954 4答案：A3．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)＝p，那么p的值为( )A ．0 B.12C ．1D ．不确定，与σ有关答案：A4．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ～N(200,18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为( )A ．0.997 3B ．0.866 5C ．0.841 3D ．0.815 9答案：A设计说明本节课的教学设计力求体现教师主导，学生主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，突出以下几点：1．注重目标控制，面向全体学生，启发式教学．2．学生通过自主探究参与知识的形成过程，让学生真正地学会学习，也就是让学生主动建构式的学习，真正掌握学习方法．备课资料备选例题：1．若X ～N(μ，σ2)，问X 位于区域(μ，μ＋σ)内的概率是多少？解：P(μ<X<μ＋σ)＝12P(μ－σ<X<μ＋σ)≈12×0.682 6＝0.341 3.2．某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？解：(1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10，在60到80之间的学生占的比例为P(70－10<X<70＋10)≈0.683＝68.3%，所以不及格的学生占的比例为0.5×(1－0.683)≈0.159＝15.9%；(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为0．5×[P(70－2×10<X<70＋2×10)－P(70－10<X<70＋10)]≈0.5×(0.954－0.683)≈0.136＝13.6%.。

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正态分布一、教学目标一、知识与技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解;2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．二、过程与方法讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成．三、情感态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．二、教学重点与难点重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义;难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布,并掌握正态分布曲线所表示的意义．三、教学方法讲授法与引导发现法四、教具准备黑板，多媒体，高尔顿试验板五、教学过程设计创设情境学生上台演示高尔顿板试验．创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．建构概念1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．教学环节率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图．教学内容题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得:长方形面积代表相应区间内数据的频率．师生互动通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．设计意图建构（3）随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线．从描述曲线形状的角度自然分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x,解析式中含两个常数与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲列举实例请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题,并尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗?2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗?学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果:1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响．3．互不相干、不分主次．4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析,帮助学生更加透彻的理解．“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？"是本节课的难点，采用设置问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题,能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例,让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．深入探究教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组:固定σ的值,μ取三个不同的数；第二组：固定μ的值,σ取三个不同的数；学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x平移；当μ一定时,σ影响了曲线的形状．即：σ越小,则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大,则曲线越矮胖,表示总体分布越分散．针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．自我例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ))0(,,21)(.222)(>=--σσμπσσμxexfA都是实数2222)(.xexfB-=ππ4)1(2221)(.--=xexfCπ2221)(.xexfDπ=学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．尝试教学环节例2、把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是( D ）A. 曲线b仍然是正态曲线．B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．C。

高二2-3学案 2．4 正态分布【课标要求】1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．自学导引1．正态曲线的概念正态总体函数φμ，σ(x )＝12π·σe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差，函数的图象叫正态分布密度曲线，简称正态曲线．特例：当μ＝0，σ＝1时，函数表达式是f (x )＝12πe －x 22，x ∈(－∞，＋∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．想一想：函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？提示 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2．正态分布(1)一般地，若对于任何实数，a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x ，则称X 服从正态分布．(2)正态分布记作：N(μ，σ2)，若X 服从正态分布，记作X ～N(μ，σ2)．正态分布完全由参数μ和σ确定，若X ～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2，D (X )＝σ.想一想：若随机变量X ～N(μ，σ2)，则X 是离散型随机变量吗？提示 若X ～N(μ，σ2)，则X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X ≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)d x 可知，X 可取(a ，b]内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．3．正态曲线的特点正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)有以下性质： (1)曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称； (3)曲线在 处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为 ；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越试一试：如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系如何？提示 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe －x 22在x ＝0时取最大值12π，故σ2＝1，由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，于是有σ1＜σ2＝1＜σ3.故σ1＜σ2＜σ3.4．正态分布的3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6，P(μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4，P(μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.(2)3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取 之间的值，并简称之为3σ原则．正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．题型一 正态曲线【例1】 如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．题型二 利用正态分布求概率【例2】 设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)；(2)P (3＜ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)．题型三 正态分布的实际应用【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．当堂检测1.设随机变量X ～N （2，4），则D （21X ）的值等于 ( ) A.1 B.2 C.21 D.4 2、设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,若()P c a ξ>=，则 (4)P c ξ>- 等于 ( )A. aB. a -1C. a 2D. a 21-3．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．乙科总体的标准差及平均数都居中C ．丙科总体的平均数最小D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同4.已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x = 时达到最高点。