圆锥曲线典型小题48道

圆锥曲线测试题 小题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线)0(42≠=a ax y 的焦点坐标为 （ ）A ．（0,41a） B ．)161,0(a C ．)161,0(a-D ．)0,161(a2．中心在原点，准线方程是4±=x ，离心率是21的椭圆方程为 （ ）A ．1422=+y x B ．14322=+y x C ．13422=+y x D ．1422=+y x 3．双曲线与椭圆1522=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为（ ）A ．1322=-x y B ．1322=-x y C ．1322=-y x D ．1322=-y x 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）A ．738B ．316 C ．38 D ．73165．ab ay bx b y ax b a =+=+-≠≠220,0,0和则方程所表示的曲线可能是 （ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(1122222222>>>=+=-b m a by m x b y a x 和椭圆的离心离互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7．已知椭圆121)(1222=-+t y x 的一条准线方程为y=8，则t 为 （ ）A ．7或－7B ．4或12C ．1或15D ．08．给出下列曲线①0124=-+y x ，②322=+y x ，③1222=+y x ，④1222=-y x其中与直线32--=x y 有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④9．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足|PF 1|=e|PF 2|，则e 的值为 （ ）A ．22B ．32-C ．33 D ．22-10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为,215+A ，F 分别是它的左顶点和右焦点，设B 点坐标为（0，b ），则∠ABF 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围为 . 12．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .13．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线恰有3条，则λ= .14．抛物线)0(22>=p px y 的动弦长|PQ|为8p ，当PQ 的中点M 到y 轴的距离最小时，直线PQ 的倾斜角为 .一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 二、11．),1()2,(+∞---∞ 12．x y 542-= 13．4 14．656ππ或。

圆锥曲线小题专项训练1．已知抛物线x y 82=的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换ϕ为（ ）C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( ) ．A ．4．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。

”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。

现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（ ）A ．aB ．b CD ．与点P 的位置有关5e右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ ）A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能6．如图，在ΔABCC ，以A 、H 为焦点的双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 CD7F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(1,)+∞ C ．（1，3） D ．[)2,+∞8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.34 B. 35 C.2 D. 37 9．M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM则直线PN 的斜率的取值范围是( )A ．B ．C ． ]2,8[--D ． ]8,2[ 10．设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆（ ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-. 11．已知实系数方程2(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，值范围是（ ）A ．(2,1)-- B12．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM//x 轴，9=⋅BM BP ，若点P 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是（ ）A ．0<t<3B ．0<t ≤3CD ．0<t 13. 已知圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为（ ）A ．24+-B ．23+-C ．224+-D ．223+-14.已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．15．给定椭圆12222=+by a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则离心率e 的取值范围是_________.向量小题专项训练1．已知向量21e e +=，2122e e -=，则1e 与2e 共线是与共线的（ ）AC =BA A. B. D.值是（ ）A.33 B.22 C.32 D.43 4．如图),(y x P 是边长为1的正方形内的一点，若PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆面积均不小于61，则PAC AP ∠cos ||的最大值为（ ）A ．322 B ．552 C ．32 D ．22 5．如图抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1，圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24 B. p 23 C.p 22D ．p 2 6.若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 . 7已知O 为ABC ∆的外心， 3,2==AC AB ，12=+y x，若y AB x += )0(≠xy ，则=∠BAC cos.8、设O 为△ABC 的内心，当AB=AC=5，BC=6时，n m +=，则n m +的值为________。

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切, 则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）62.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l , 点A l ∈, 线段AF 交C 于点B , 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =(A).2 (B). 2 (C).3 (D). 33.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =u u u r u u u r, 则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．104.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 右顶点为A , 点B 在椭圆上, 且BF x ⊥轴, 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r, 则椭圆的离心率是（ ）A ．3 B ．22 C ．13 D ．125.点P 在直线:1l y x =-上, 若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点, 且|||PA AB =, 则称点P 为“点”, 那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.57.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =8.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切, 则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）69.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点, F 为C 的焦点。

第八章 圆锥曲线方程单元检测题（一）椭圆（B ）一、选择题（每小题6分，共48分） 1、若椭圆192522=+yx上的点P 到左准线的距离是2.5，则P 到右焦点的距离是（ ）（A ）8 （B ）10 （C ）4.5 （D ）2 2、设点A （－2，3），F 为椭圆1121622=+yx的右焦点，点M 在椭圆上运动，当∣MA∣＋2∣MF ∣取最小值时，点M 坐标为（ ） （A ）（0，23） （B ）（0，－23） （C ）（23，3） （D （－23，3）3、如果直线y=mx+1与椭圆x 2＋4y 2=1只有一个公共点，则m 2的值为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）43 （D ）544、M 为椭圆上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠M F 1F 2=2α，∠M F 2F 1=α，（α≠0），则椭圆离心率是（ ）（A ）2cos α－1 （B ）1－2sin α （C ）1－2cos2α （D ）以上都不对 5、如果椭圆4x 2＋y 2=k 上有两点间的最大距离是8，那k=（ ） （A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）4 6、若直线y=x ＋t 与椭圆1422=+yx相交于A 、B 两点，当t 变化时，∣AB ∣的最大值是（ ）（A ）2 （B ）554 （C ）5104 （D ）51027、把椭圆192522=+yx绕其左焦点按逆时针方向旋转90°后所得椭圆的准线方程是（）（A ） y=－49，y=441 （B ）y=49，y=－441 （C ）x=－49 ，x=441 （D ）x=49，x=－4418、在椭圆12222=+by ax 上取三点，其横坐标满足x 1＋x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长分别是r 1，r 2，r 3，则有（ ）（A ）r 1，r 2，r 3成等差数列 （B ）r 1，r 2，r 3成等比数列（C ）11r，21r，31r成等差数列 （D ）11r，21r，31r成等比数列二、填空题（每小题6分，共24分） 9、与椭圆14922=+yx有两个共同的焦点，且过点（3，－2）的椭圆方程是 。

圆锥曲线训练题二一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．双曲线方程为22125x y k k+=--，则k 的取值范围是（ D ）A 、5k >B 、25k <<C 、22k -<<D 、22k -<<或5k >2．点P 是以12,F F 为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ A ）A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线3．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（ B ）A 、(),0-∞B 、(,2]-∞C 、[0,2]D 、(0,2)4．12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是（C ）A 、4B 、5C 、2D 、15. 设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y ab a b-=的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ B ）A 、[2，3]B 、（1，3]C 、[)3,+∞D 、(]1,26. 已知P 为抛物线24y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A （4，5），|PA|+d 的最小值是（ D ）A、4 B1D 1二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.直线2y k =与曲线2222918k x y k x +=（,0k R k ∈≠）的公共点的个数是48. 已知以11(2,0),(2,0)FF -为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为9.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是4310．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++等于 6三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 的方程为x =-8，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知8MN =，且||2||PM MF =．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠；(3) 求三角形△ABF 面积的最大值． 11. (1) 解：∵8MN =，∴4a =，又∵||2||PM MF =，∴12e =，∴2222,12c b a c ==-=，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=． …………3分 (2) 证：当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB 方程为8x my =-，代入椭圆方程整理得：22(34)481440m y my +-+=．2576(4)m ∆=-，24834A B m y y m +=+，214434A B y y m =+．则22A B AF BF A B y y k k x x +=+++(6)(6)66(6)(6)A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my -+-=+=---- 26()(6)(6)A B A B A B my y y y my my -+=--，而221444826()2603434A B A B mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++ ∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠． …………8分 (3) 解：12ABF PBF PAFB A S S S PF y y ∆∆∆=-=⋅-= 即：2723(4)16ABFS m ∆==≤=-+当且仅当=，即m =（此时适合于0>∆的条件）取到等号．∴△ABF 面积的最大值是33． …………14分12. 如图椭圆134:22=+y x C 的右顶点是OANB 是矩形（O 为原点），点M E ,（Ⅰ）证明：直线DE 与直线BM 的交点在椭圆C 上；（Ⅱ）若过点E 的直线交椭圆于S R ,两点，为R 关于x 轴的对称点（E K R ,,问：直线KS 是否经过x 12．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -， 所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ，所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分 （2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ， 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+，直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得 设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与 y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．13．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而 14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。

圆锥曲线练习一、选择题（本大题共13小题,共65。

0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A。

k＞1 B.k＜—1C。

-1＜k＜1 D。

-1＜k＜0或0＜k＜12。

方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（—1，2）B。

m∈（-4,2)C。

m∈（-4，-1）∪（—1，2） D.m∈（—1，+∞)3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3 B。

1 C.3 D。

64。

已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1，0），点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为（)A. B.C。

D。

5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆”，那么（)A。

甲是乙成立的充分不必要条件B。

甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6。

“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A。

充要条件B。

充分非必要条件C.必要非充分条件D。

既不充分也不必要条件7。

方程+=10,化简的结果是（）A。

+=1 B。

+=1 C.+=1 D。

+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为,则|PF｜=（)A.B。

C.D。

9。

若点P到点F(4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A。

y2=-16x B.y2=—32x C.y2=16x D.y2=32x10。

抛物线y=ax2(a＜0）的准线方程是( ）A.y=—B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=—3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812。

已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A(0,2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( ）A。

2 B。

C.-1 D。

+113.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（) A。

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2．。

四川省乐山外国语学校 高二数学《圆锥曲线》考试题一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分. 1.抛物线x y =2的焦点坐标为（ ）A.1(0,)4B.1(0,)4-C.1(,0)4D.1(,0)4-2. 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是 （ ） A )0,12(- B )0,(-∞ C )0,3(- D )12,60(--3.已知△ABC 的顶点,B C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A. 2 3 B. 6 C. 4 3 D. 124.已知方程12322=+++ky k x 表示椭圆,则k 的取值范围( ) A.3k >- B.32k -<<- C.2k >- D.3k <-5. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A32 B 33 C 22 D 23 6．椭圆116922=+y x 上一点M 到准线距离与它到对应于该准线的焦点距离之比为( ) A54 B 45 C 47 D 74 7．已知椭圆的中心在原点，离心率 21=e 且它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则此椭圆的方程为 ( )A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 8．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线l 交x 轴于R ，过抛物线上一点)4,4(P 作l PQ ⊥于Q ，则梯形PQRF 的面积是（ ）A 12B 14C 16D 189.设12,F F 是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A.4B.6C.22D.2412．若椭圆)1(122>=+m y m x 和双曲线)0(122>=-n y nx 有共同的焦点F 1、F 2,且P 是两条曲线的一个交点,则△PF 1F 2的面积是( ) A. 1 B.21C. 2D. 4 二、填空题：本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上.13. 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为—. 14. 抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .15. 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________16.动点P 在曲线221y x =+上移动，则点P 和定点(0,1)A -连线的中点的轨迹方程是 .乐山外国语学校高2013级《圆锥曲线》单元测试（理科）一、选择题13、 ；14、 ；15、 ；16、 ； 三、解答题：本大题共5小题,共58分.17. (本题满分12分)椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；18.( 本题满分10分) 已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.20．（本题满分12分）设抛物线：)0(,22>=p px y 上有两点A 、B （AB 不与x 轴垂直），F 为焦点，且|AF|+|BF|=8，线段AB 的垂直平分线过定点)0,6(P ； （1）设线段AB 的中点为),(00y x M ，求0x 的值； （2）求抛物线的方程。

圆锥曲线过关检测题时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知F 1、F 2为两定点，|F 1F 2|＝4，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆 x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.154．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆的离心率的取值范围是( )A ．[14，13]B ．[13，12]C ．(13，1)D ．[13，1)6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．87．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．18．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F 1，F 2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52D ．3 9．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．1610．过点M(－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12二、填空题（每小题4分，共28分）11．已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－2x －8＝0上，则双曲线的渐近线方程为________．12．若点P(2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______．13．已知点F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，点P 关于原点(0,0)的对称点为P ′，则|PF 2|＋|P ′F 2|＝______.14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是________．15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________．16．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与曲线C 的一个交点为B.若AM →＝MB →，则p ＝________.17．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M.若过点P(a 2c ，0)所作的圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．三、解答题18．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．19．(14分)在椭圆x 2a 2＋y 28＝1(a>0)中，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，B ，D 分别为椭圆的左、右顶点，点A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF 1交椭圆于另一点C ，交y 轴于点E ，且点F 1，F 2三等分线段BD.(1)求a 的值；(2)若四边形EBCF 2为平行四边形，求点C 的坐标．20．(14分)若抛物线y ＝2x 2上的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，求实数m 的值．21．(15分) 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F 2的直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．22．(15分)设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值．答案解析1、解析：∵M 到两定点的距离的和等于两定点间的距离， ∴应选D 项． 答案：D2、解析：抛物线的焦点为F(p2，0)，椭圆中c 2＝6－2＝4，∴c ＝2，其右焦点为(2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4. 答案：D3、解析：由2a 、2b 、2c 成等差数列， 所以2b ＝a ＋c. 又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c)2＝4(a 2－c 2)，所以a ＝53c ，所以e ＝c a ＝35.答案：B4、解析：设C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，由题意知a 1＝13，e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意可知C 2为双曲线，且2a 2＝8，∴a 2＝4. 又c 2＝c 1＝5，∴b 2＝3.故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：A5、解析：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c.即e ≥13.答案：D6、解析：在△PF 1F 2中|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：B7、解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A8、解析：|PO||F 1O|＝tan60°，2b c ＝3⇒4b 2＝3c 2⇒4(c 2－a 2)＝3c 2⇒c 2＝4a 2⇒c 2a 2＝4⇒e ＝2. 答案：B9、解析：设A(－2，y 0)，F(2,0)，则k AF ＝－y 04＝－3，∴y 0＝43，将y 0＝43代入y 2＝8x 得x P ＝6，∴|PF|＝|PA|＝6＋2＝8，故选B 项．答案：B10、解析：设直线m 为y ＝k 1x ＋2k 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2k 1x 22＋y 2＝1， 化简可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，∴P 1P 2中点坐标为(－4k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21)， 又∵直线OP 斜率为k 2，∴2k 11＋2k 21－4k 211＋2k 21＝k 2， ∴k 1k 2＝－12.答案：D11、解析：在x 2＋y 2－2x －8＝0中，令y ＝0得x ＝4或x ＝－2.由于a ＝3，∴将x ＝－2舍去，即双曲线的一个焦点是(4,0)，∴c ＝4. ∴b ＝c 2－a 2＝7，∴y ＝±73x 为双曲线的渐近线方程．答案：y ＝±73x12、解析：由于双曲线渐近线方程为bx±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋(ba)2＝ 2.答案： 213、解析：据椭圆的几何性质知|PF 2|＋|P ′F 2|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝10. 答案：1014、解析：如图所示，两圆的圆心距CO ＝12PF 2＝12(PF 1－2a )，恰好等于两圆的半径之差，故两圆内切．答案：内切15、解析：由双曲线渐近线方程有ba＝3，又抛物线焦点为(4,0)，得c ＝4，a 2＋b 2＝16.求得a 2＝4，b 2＝12.答案：x 24－y 212＝116、解析：过B 、M 分别作准线的垂线，垂足分别为B 1、M 1，由AM ＝MB 得BB 1＝2MM 1＝AM ＝BM ，所以点M 恰为抛物线的焦点，即p2＝1，p ＝2.答案：217、解析：如图，切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.答案：2218、解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px(p ≠0)． 因为点A(2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1. 因此，抛物线C 的标准方程是y 2＝2x.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12，0)，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.19、解：(1)∵F 1，F 2三等分BD ，∴F 1F 2＝13BD ，即2c ＝13·2a ，∴a ＝3c.∵a 2＝b 2＋c 2，b 2＝8，∴a 2＝9， ∵a>0，∴a ＝3.(2)由(1)知a ＝3，B (－3,0)，F 1(－1,0)， ∴F 1为BF 2的中点，∵若四边形EBCF 2为平行四边形， ∴C ，E 关于F 1(－1,0)对称，设C (x 0，y 0)，则E (－2－x 0，－y 0)，∵E 在y 轴上，∴－2－x 0＝0，x 0＝－2，∵点C (x 0，y 0)在椭圆上，∴x 209＋y 28＝1，∴49＋y 208＝1，解得y 0＝±2103， 依题意y 0＝－2103，因此点C 的坐标为(－2，－2103)．20、解：方法一：如图所示，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M(x 0，y 0)在直线l 上． 可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋n y ＝2x2，得2x 2＋x －n ＝0， ∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n 2.由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M 为(－14，54)，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.方法二：∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 21y 2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)． 设AB 中点M(x 0，y 0)，把x 1＋x 2＝2x 0代入可得，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即M(－14，m －14)，∴AB 的方程是y －(m －14)＝－(x ＋14)，即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x －(m －12)＝0，∴x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝32.21、解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22、解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得0<a<2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∵0<a<2且a ≠1，∴e>62且e ≠ 2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1，x 2都是方程①的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a>0得，a ＝1713.。

圆锥曲线经典题型的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双 曲线C 的离心率为（）•选择题（共 10小题） 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 （b > 0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（ A . （1,工）) B . r ：：,+x) C. (1, +xD . (1, ：)U( ：!,242M ・丫卩< 0,则yo 的取值范围是（2.已知M （x o , y o ）是双曲线C:[ 个焦点，若 A . =1上的一点，F 1, F 2是C 的左、右两V3 .2 2、-（a >0, b >0）的左、右焦点，若双曲线右 a 2 /B.3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得：-一…卜-|,其中0为坐标原点，且 --I-',则该双曲线的离心率为（）A . ，B. in C.D .22 2 4.过双曲线 ———=1 （a >0, b >0）的右焦点F 作直线y=— x 的垂线，垂足 为A ,交双曲线左支于B 点，若日=2匚，则该双曲线的离心率为（ ） A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 （a >0, b >0）的渐近线与圆（x - 2） 2+y 2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（ ） A . （2, +x ） B. （1, 2）C. （1,：）D. ( :■:, +x)6.已知双曲线C :b>Q ）的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线a bA.丄B•口c. :: D. 222 27. 设点P是双曲线——=1 （a>0, b>0）上的一点，Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF丄PR,且|PF i|=2|PR|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A., 丄B. , ..C. y=2xD. y=4x2 28. 已知双曲线务壬二1的渐近线与圆x2+ （y-2）2=1相交，贝够双曲线的离心a2b2率的取值范围是（）A. （:, +x）B. （1,「;）C. （2. +x）D. （1，2）9. 如果双曲线经过点P （2,庾），且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（）10. 已知F是双曲线C: X2-—=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直,点A的坐标是（1, 3）,则A APF的面积为（）二.填空题（共2小题）211 •过双曲线/七二1的左焦点F1作一条I交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ=8, F2是双曲线的右焦点，则△ PRQ的周长是_______ .2 212.设F1, F2分别是双曲线三；■=1 （巴〉Q, 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,使：卜…—-丨，O为坐标原点，且|F-；--, 则该双曲线的离心率为____________________________ ..解答题（共4小题）13•已知点F i 、F 2为双曲线C : x 2-£=1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的 直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，/ MF i F 2=30° (1) 求双曲线C 的方程；(2) 过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P i 、 P 2,求■卜？匸的值.点到其右焦点的最小距离为.■；-1.(I )求双曲线r 的方程;(U)过点P ( 1，1)是否存在直线I ，使直线I 与双曲线r 交于R、T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线I 存在，请求直线I 的方程；若不存在，说明理由. 16.已知双曲线C :务-乡b>0)的离心率e 占，且b 施. 电2 b 2(I )求双曲线C 的方程；(U)若P 为双曲线C 上一点，双曲线C 的左右焦点分别为E F ,且 ?=0,求厶PEF 的面积. 一•选择题(共10小题)1 •直线y 二X - 1与双曲线X 2-岭=1 ( b > 0)有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是()A . (1, •二) B. (.X, +x) C. (1, +x)D . (1, 「)U( :■:, +x )2【解答】解：•••直线y=x - 1与双曲线X 2-匚=1 (b >0)有两个不同的交点，2 2工 - y 2ab=1 （a >0，b >0）和曲线 C 2:点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的一二倍. (I )求曲线C1的方程；(U )设点A 是曲线C1的右支上一点，F 为右焦点，连AF 交曲线C 的右支于点 /2 x= 22-Ha>o s b>0)的离心率e Vs ，双曲线r 上任意B ,作BC 垂直于定直线I :15•已知双曲线r ，垂足为C,求证：直线AC 恒过x 轴上疋点14.已知曲线G:=1有相同的焦••• 1> b> 0 或b > 1.e —= • | '> 1 且e M ::.2. 已知M (x o, y o)是双曲线C:—丿=1上的一点，F1, F2是C的左、右两个焦点，若H・丫卩.< 0,则y o的取值范围是( )【解答】解：由题意，皿MF ；=(-頂-X0,- y°) ?(岳-X0,- y) =X02-3+y02=3y。

全国名校2024届高三年级专项（圆锥曲线小题）练习卷 一、单选题4条二、多选题PF上的切点为的内切圆在边1)的左右焦点，O为坐标原点，以FO 在第二象限），射线1F A与双曲线的另一条渐近，则双曲线的离心率为．参考答案离心率为5的双曲线2C以A，∵,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，∴()1,0C x -，10,2y D ⎛⎫⎪⎝⎭y易知△PEH ≅△2PEF ，即112OE F H a ==， 故可得cos cos F OE FOE ∠=-∠【名师点评】关键点名师点评：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形详细分析得出相应关系，运算整理17．BCD【详细分析】由C在准线上，OC=点纵坐标，由此得直线AB方程，从而求得由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===， 所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，所以||3PF PF PF ''+==由余弦定理可得2(2)|c PF =11.23．AC【详细分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式.对于B ，()1418AF BF AF BF ⎛+=+ ⎝419BF AF ⎛⎫25．32【详细分析】由抛物线与圆的对称性可得由抛物线的定义求得2 d=26．4【详细分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出【答案详解】由题意得()0,A b ，(0,C -【名师点评】关键点名师点评：由此得到A，B，C，27．328．2【详细分析】由题干条件得到1F 1OB OF c ==，由焦点到渐近线距离及勾股定理得到故答案为：2。