江苏省无锡市高考数学第九讲函数篇突破函数零点问题练习

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

破解嵌套函数的零点问题函数的零点问题是高考的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点问题，通常借助函数图象、性质求解即通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数。

.1.嵌套函数形式：形如f g x2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t=g(x)与y=f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)=0，求t，代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．一、嵌套函数零点个数的判断【例1】已知f(x)=|lg x|,x>0，2|x|，x≤0，则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是()A.3B.5C.7D.8跟踪训练1.已知函数f(x)=-x+1，x≤1，ln(x-1),x>1，则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为( )A.3B.4C.2D.1二、求嵌套函数零点中的参数【例1】函数f(x)=ln(-x-1),x<-1，2x+1，x≥-1，若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是.跟踪训练1.已知函数f(x)=x2-2x+4，x≤0，ln x，x>0，若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x)+m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为.课后跟踪练习1.已知函数f x =2x 2-x +a a ∈R ，若方程f x =0有实根，则集合x f f x =0 的元素个数可能是()A.1或3B.2或3C.2或4D.3或42.函数f x =x 2-1,x ≤1ln x ,x >1，则函数y =f (f (x ))-1的零点个数为()A.2B.3C.4D.53.(多选)若关于x 的方程e ln x x +xe ln x +x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则ln x 21x 1+ln x 2x 2+ln x 3x 3的值可能为()A.1B.2e 3C.1e 2D.1e4.已知函数f (x )=(ax +ln x )(x -ln x )-x 2有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且四个零点全部大于1，则1-ln x 1x 11-ln x 2x 21-ln x 3x 31-ln x 4x 4的值为．5.已知函数f x =2x +2,x ≤0log 4x ,x >0，则函数y =f f x 的所有零点之和为．6.已知函数f (x )=−x ，x ≤0,−x 2+2x ,x >0,若方程f (x ) 2+bf (x )+18=0有六个不等实根,则实数b 的取值范围是 .破解嵌套函数的零点问题函数的零点问题是高考的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点问题，通常借助函数图象、性质求解即通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数。

2023 届高考数学专项（函数零点问题）答题模板与练习【重要性分析】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【同类习题1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【同类习题2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【同类习题3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【出处】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板内 容()2e xf x =()15g x x=+()0,1()1,2()2,3()3,4使用场景 一般函数类型解题模板第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【同类习题4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【出处】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【同类习题5】方程3sin x x =的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【同类习题6】（多选）若函数f (x )＝恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．16【出处】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出()f x R ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩结论.例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【同类习题7】【上海市徐汇区2021届高三上学期一模】方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【同类习题8】己知函数，若存在两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二）数学试题【同类习题9】知关于x 的方程有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ．【出处】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．()()()1,1,ln ,1x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨>⎩()g x [)1,0-()1,0-()0,1(]0,122xxaa -=()0,2()2,4()2,+∞()4,+∞()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【专项练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．已知函数在上有唯一零点，若，，则（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5()()=x f x e ()2ln g x x =-()0,1()1,2()2,3()3,4()ln (1)f x x x x k x =+--(1,)+∞(,1)k n n ∈+n Z ∈n =【出处】全国名校2021届高三高考数学（文）冲刺试题（二） 3．函数和存在公共点，则的范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【出处】陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试理科数学试题4．已知函数，，若的图象与的图象在上恰有个交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【出处】“超级全能生”2021届高三全国卷地区4月联考试题（乙卷）数学（理）试题5．函数的零点，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（文）试题6．（多选）【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数7．【四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测数学（文）】已知函数()ln f x x x =+，()ln g x x x =，若()1ln f x t =，()2g x t =，则12ln x x t 的最小值为（ ）．A ．21eB ．2eC ．1e-D ．21e-8．已知函数()f x kx =，21x e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，()121x g x e +-=+，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ､N ，使得M ､N 关于直线1y x =+对称，则实数k 的取值范围是（ ）3y x =212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭()00,P x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4()f x x a =+()ln g x x =()f x ()g x ()2020,20211a ()ln 20202020,ln 20212021--()ln 20202021,ln 20212020--()ln 20212020,ln 20202021--()ln 20212021,ln 20202020--()1542x f x x =+-[]01,x a a ∈-*a ∈N a =1234A ．1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科】对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”.已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0-B ．(),1-∞-C ．()()0,11,+∞ D ．()(),11,0-∞--10.【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】已知函数()1ln 1x f x x ae-=++的图象与函数()11ln12x g x ae x-=---的图象有唯一公共点，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．1-11.【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭12.【广西南宁三中2020届高三数学（理科）】方程2221,(0)x x a a -=+>的解的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．【天津市耀华中学2021届高三（上）】已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x⎧-⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．111,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．111,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．113,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．113,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭14.【河南省信阳市2021届高三（10月份）第一次质检数学（理科）】已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 15．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________. 【出处】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一）16．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【出处】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题17．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()212f x x k x =--k ()()112 ()1421x x f x k -=-+-参考答案分析【重要性分析】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】B【分析】第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0：函数()43xf x e x =+-单调递增,只有一个零点,而0231414141<-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛e e f ,0121>-=⎪⎭⎫⎝⎛e f ； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可：由02141<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ,可知函数的零点在11,42⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 考点：零点存在定理．【同类习题1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【参考答案】B【分析】试题分析：由题意得，设函数()22xf x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B.考点：函数的零点.【同类习题2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【参考答案】A 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，337782log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=+->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A【同类习题3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） ()2e xf x =()15g x x=+A ．B ．C ．D ．【出处】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一） 【参考答案】B 【分析】构造函数，由零点存在定理判断． 【详解】设，是上的增函数，在和上都是减函数，，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，，，所以在上有零点．所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为 故选：B ．类型二 零点的个数的确定方法1：定义法例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【参考答案】B【分析】第一步，判断函数的单调性:由已知得03)(>+='x e x f ，所以)(x f 在R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0， 则该区间即为存在唯一的零点区间：()0,1()1,2()2,3()3,41()2e 5xh x x=--e x y =R 1y x =(0,)+∞(,0)-∞()h x (,0)-∞(0,)+∞(0,)+∞(1)215260h e e =--=-<22111(2)252022h e e =--=->()h x (1,2)()2e xf x =()15g x x=+又因为03)1(1<-=--ef ，03)1(>+=e f ，所以0)1-()1(<•f f第三步，得出结论：所以)(x f 的零点个数是1，故选B ． 考点：函数的零点．【同类习题4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【出处】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【参考答案】A 【分析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可. 【详解】①，则函数是周期的周期函数． 又①函数是定义在上的偶函数，且时，， ①当时，，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数， 分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，，而，()f x R ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-()y f x x =-()f x 2T =[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()()2f x f x +=()f x 2T =()f x R []0,1x ∈()πcos 2f x x =[)1,0x ∈-()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()0f x x -=()y f x x =-()y f x =()g x x =()y f x =()g x x =()f x ()g x [)1,0-0,11x >()1g x >()1f x ≤所以或时，与无交点．综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选：A【同类习题5】方程3sin x x =的根的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【参考答案】C 【分析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较x x f =)(与x x g sin 3)(=在0=x 处的切线斜率,xx f 21)(=',0→x 时,+∞→')(x f ,即)(x f 在0=x 处的切线方程为y 轴,又x x g cos 3)(=',在3)0(='=g k ,因此在y 轴右侧)(x g 图象较缓,由图象可知,共有5个交点,故选C ．考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点．【同类习题6】（多选）若函数f (x )＝恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．161x >1x <-()f x ()g x ()y f x =()g x x =()y f x x =-4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩【出处】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题 【参考答案】AD 【分析】函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题． 【详解】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ①函数有两个零点0或3．①A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ①函数有三个零点或2或6．①B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ①函数有三个零点log 415或15或45．①C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ①函数有两个零点16或48．①D 对； 故选：AD ．方法2：数形结合法第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.1212例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【参考答案】B【分析】第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像：第二步，观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数 ： 由图象可知，函数1()3xy =与函数3log y x =有2个交点；第三步，由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论： 所以方程有2个解。

讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0．【例题选讲】[例1]已知f (x )＝e －x (ax 2＋x ＋1)．当a >0时，试讨论方程f (x )＝1的解的个数．[破题思路]讨论方程f (x )＝1的解的个数，想到f (x )－1的零点个数，给出f (x )的解析式，用f (x )＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)．[规范解答]法一：分类讨论法方程f (x )＝1的解的个数即为函数h (x )＝e x －ax 2－x －1(a >0)的零点个数．而h ′(x )＝e x －2ax －1，设H (x )＝e x －2ax －1，则H ′(x )＝e x －2a ．令H ′(x )>0，解得x >ln 2a ；令H ′(x )<0，解得x <ln 2a ，所以h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增．所以h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )＝2a －2a ln 2a －1．设m ＝2a ，g (m )＝m －m ln m －1(m >0)，则g ′(m )＝1－(1＋ln m )＝－ln m ，令g ′(m )<0，得m >1；令g ′(m )>0，得0<m <1，所以g (m )在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以g (m )max ＝g (1)＝0，即h ′(x )min ≤0(当m ＝1即a ＝12时取等号)．①当a ＝12时，h ′(x )min ＝0，则h ′(x )≥0恒成立．所以h (x )在R 上单调递增，故此时h (x )只有一个零点．②当a >12时，ln 2a >0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 1>0使得h ′(x 1)＝0，这时h (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．所以h (x 1)<h (0)＝0，又h (0)＝0，所以此时h (x )有两个零点．③当0<a <12时，ln 2a <0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 2<0使得h ′(x 2)＝0．这时h (x )在(－∞，x 2)上单调递增，在(x 2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h (x 2)>h (0)＝0，h (0)＝0，所以此时f (x )有两个零点．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．法二：分离参数法方程f (x )＝1的解的个数即方程e x －ax 2－x －1＝0(a >0)的解的个数，方程可化为ax 2＝e x －x －1．当x ＝0时，方程为0＝e 0－0－1，显然成立，所以x ＝0为方程的解．当x ≠0时，分离参数可得a ＝e x －x －1x2(x ≠0)．设函数p (x )＝e x －x －1x 2(x ≠0)，则p ′(x )＝(e x －x －1)′·x 2－(x 2)′·(e x －x －1)(x 2)2＝e x (x －2)＋x ＋2x 3．记q (x )＝e x (x －2)＋x ＋2，则q ′(x )＝e x (x －1)＋1．记t (x )＝q ′(x )＝e x (x －1)＋1，则t ′(x )＝x e x ．显然当x <0时，t ′(x )<0，函数t (x )单调递减；当x >0时，t ′(x )>0，函数t (x )单调递增．所以t (x )>t (0)＝e 0(0－1)＋1＝0，即q ′(x )>0，所以函数q (x )单调递增．而q (0)＝e 0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x <0时，q (x )<0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增；当x >0时，q (x )>0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增．而当x →0时，p (x →0＝e x －12xx →0＝(e x －1)′(2x )′x →0＝e x 2x →0＝12(洛必达法则)，当x →－∞时，p (x －∞＝e x －12xx →－∞＝0，故函数p (x )的图象如图所示．作出直线y ＝a ．显然，当a ＝12时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象无交点，即方程e x －ax 2－x －1＝0只有一个解x ＝0；当a ≠12且a >0时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象有一个交点(x 0，a )，即方程e x －ax 2－x －1＝0有两个解x ＝0或x ＝x 0．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“0”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝0及li m x →a g (x )＝0；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →af ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →a f (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．法则2若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝∞及li m x →a g (x )＝∞；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →af (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．[题后悟通]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性．[例2]设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0．(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[规范解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx．由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f ′(x )与f (x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：x (0，k )k (k ，＋∞)f ′(x )－0＋f (x )↘k (1－ln k )2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2．因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点；当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[例3]已知函数f (x )＝a ln x ＋bx(a ，b ∈R ，a ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论方程f (x )＝1根的个数．[规范解答](1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －b －a ln xx 2，由f ′(1)＝a －b ＝－a ，得b ＝2a ，所以f (x )＝a (ln x ＋2)x ，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)x2.当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1e ；由f ′(x )<0，得x >1e .当a <0时，由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e.综上，当a >0时，f (x )a <0时，f (x )的单调递增(2)f (x )＝1，即方程a ln x ＋2a x ＝1，即方程1a ＝ln x ＋2x ，构造函数h (x )＝ln x ＋2x，则h ′(x )＝－1＋ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1e ，h ′(x )>0，h ′(x )<0，即h (x )h (x )max ＝ e.h (x )单调递减且h (x )＝ln x ＋2x >0，当x 无限增大时，h (x )无限接近0；h (x )单调递增且当x 无限接近0时，ln x ＋2负无限大，故h (x )负无限大．故当0<1a <e ，即a >1e 时，方程f (x )＝1有两个不等实根，当a ＝1e 时，方程f (x )＝1只有一个实根，当a <0时，方程f (x )＝1只有一个实根．综上可知，当a >1e 时，方程f (x )＝1有两个实根；当a <0或a ＝1e 时，方程f (x )＝1有一个实根；当0<a <1e 时，方程f (x )＝1无实根．[例4]已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx 与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)若m <0，讨论函数g (x )＝f (x )＋mx 2零点的个数．[规范解答](1)f (x )的反函数为y ＝ln x ，x >0，则y ′＝1x．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0＝ln x 0x 0，故x 0＝e ，k ＝1e.(2)函数g (x )＝f (x )＋mx 2的零点的个数即是方程f (x )＋mx 2＝0的实根的个数(当x ＝0时，方程无解)，等价于函数h (x )＝e xx 2(x ≠0)与函数y ＝－m 图象交点的个数．h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )>0，h (x )在(－∞，0)上单调递增；当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)上单调递增．∴h (x )的大致图象如图：∴h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 24.∴当－m m －e 24，h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为1；当－m ＝e 24，即m ＝－e 24时，函数h (x )＝e xx2与函数y ＝－m 图象交点的个数为2；当－m m ∈－∞，－e 24时，函数h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为3.综上所述，当m ∞g (x )有三个零点；当m ＝－e 24时，函数g (x )有两个零点；当m ∈－e 24，0时，函数g (x )有一个零点．[例5]已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )<g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．[规范解答](1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x <1时，g (x )<0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R f (－1)＝34－a >0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点；②当a >0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－a3<0，x 2＝a3>0，则－a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而＋－14＝－2a 3a 3－14<0．现在讨论极大值的情况：＋aa 3－14＝2a 3a 3－14，当，即a <34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零，此时y ＝h (x )有两个零点；当0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点；当，即a >34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a 3，若f (1)＝a －54<0，即a <54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝a －54＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝a －54>0，即a >54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a <34或a >54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34<a <54时，y ＝h (x )有四个零点．[例6]已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求证：f (x )<0；(2)讨论函数f (x )零点的个数．[破题思路](1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2ln x (x >0)，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，设g (x )＝1－x ，根据g (x )的正负可画出f (x )的图象如图(1)所示．(2)f ′(x )＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，令g (x )＝(x －1)(ax －2)，当a ＝0时，由(1)知f (x )没有零点；当a >0时，画g (x )的正负图象时，需分2a ＝1，2a >1，2a <1三种情形进行讨论，再根据极值、端点走势可画出f (x )的图象，如图(2)(3)(4)所示；当a <0时，同理可得图(5)．综上，易得f (x )的零点个数．[规范解答](1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，由f ′(x )＝0得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x )max ＝f (1)＝－2，即f (x )<0.(2)由题意知f ′(x )＝ax －(a ＋2)＋2x ＝ax 2－(a ＋2)x ＋2x ＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，当a ＝0时，由第(1)问可得函数f (x )没有零点．当a >0时，①当2a ＝1，即a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，仅当x ＝1时取等号，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－12a －2＝－12×2－2<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上有一个零点．②当2a >1，即0<a <2时，若0<x <1或x >2a ，则f ′(x )>0，f (x )在(0,1)若1<x <2a ，则f ′(x )<0，f (x )又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2<0，则f (1)<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )③当0<2a <1，即a >2时，若0<x <2a x >1，则f ′(x )>0，f (x )(1，＋∞)上单调递增；若2a<x <1，则f ′(x )<0，f (x )因为a >2，所以＝－2a －2＋2ln 2a <－2a －2＋2ln 1<0，又x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )仅有一个零点在区间(1，＋∞)上．当2a<0，即a <0时，若0<x <1，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；若x >1，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2＝－a －42.当f (1)＝－a －42>0，即a <－4时，函数f (x )有两个零点；当f (1)＝－a －42＝0，即a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当f (1)＝－a －42<0，即－4<a <0时，函数f (x )没有零点．综上，当a <－4时，函数f (x )有两个零点；当a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当－4<a ≤0时，函数f (x )没有零点；当a >0时，函数f (x )有一个零点．[题后悟通]解决本题运用了分类、分层的思想方法，表面看起来非常繁杂．但若能用好“双图法”处理问题，可回避不等式f ′(x )>0与f ′(x )<0的求解，特别是含有参数的不等式求解，而从f ′(x )抽象出与其正负有关的函数g (x )，画图更方便，观察图形即可直观快速地得到f (x )的单调性，大大提高解题的效率．[对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．1．解析(1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝x ＋x ，其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…．(1)证明：函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数，并说明理由．2．解析(1)由题意可得h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ，所以h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－3－2＞0，所以h (1)h (2)＜0，所以函数h (x )在区间(1，2)上有零点．(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ．由g (x )＝x ＋x 知x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，则x ＝0为h (x )的一个零点．又h (x )在(1，2)内有零点，因此h (x )在[0，＋∞)上至少有两个零点．h ′(x )＝e x －12x －12－1，记φ(x )＝e x －12x －12－1，则φ′(x )＝e x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x )在(0，＋∞)内只有一个零点，则h (x )在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f (x )＝g (x )的根的个数为2．3．设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ．(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．3．解析(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－133＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．4．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a，a ∈R 且a ≠0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈1e ，e时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数．4．解析(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ；由f ′(x )<0，得0<x <1a ，∴函数f (x )综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )(2)∵当x ∈1e ，e时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点，即当x ∈1e ，e时，方程(ln x －1)e x ＋x ＝m 的根．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，则h ′(x )ln x －x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1(1，e)上单调递增，∴当x ∈1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0．∴1x＋ln x －1≥0在x ∈1e ，e 上恒成立．∴h ′(x )ln x －x ＋1≥0＋1>0，∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈1e ，e上单调递增．∴h (x )min ＝2e 1e ＋1e，h (x )max ＝e.∴当m <－2e 1e＋1e或m >e 时，函数g (x )在1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e≤m ≤e 时，函数g (x )在1e ，e 上有且只有一个零点．5．设函数f (x )＝e x －2a －ln(x ＋a )，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若a >0，且函数f (x )在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若0<a <23，试判断函数f (x )的零点个数．5．解析(1)∵函数f (x )在[0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝e x －1x ＋a≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a ≥e －x －x 在[0，＋∞)内恒成立．记g (x )＝e －x －x ，则g ′(x )＝－e －x －1<0恒成立，∴g (x )在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g (x )≤g (0)＝1，∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)∵0<a <23，f ′(x )＝e x －1x ＋a (x >－a )，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1(x ＋a )2>0，知f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内单调递增．又∵f ′(0)＝1－1a <0，f ′(1)＝e －1a ＋1>0，∴f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0e x－1x 0＋a ＝0，于是0e x＝1x 0＋a，x 0＝－ln (x 0＋a )．当－a <x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )min ＝f (x 0)＝0e x －2a －ln (x 0＋a )＝1x 0＋a －2a ＋x 0＝x 0＋a ＋1x 0＋a－3a ≥2－3a ，当且仅当x 0＋a ＝1时，取等号．由0<a <23，得2－3a >0，∴f (x )min ＝f (x 0)>0，即函数f (x )没有零点．6．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2(a ∈R )．(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数．6．解析(1)f (x )＝ln x －12ax 2的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x ，则f ′(2)＝1－4a2．因为直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，所以(－2)×1－4a2＝－1，解得a ＝0．(2)f ′(x )＝1－ax 2x ，x ∈(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0′(x )>0，>0得0<x <aa ；由f ′(x )<0得x >aa ，所以f (x )综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )(3)由(2)可知，(ⅰ)当a <0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a >0，故f (x )在[1，e 2]上没有零点．(ⅱ)当a ＝0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a ＝0，故f (x )在[1，e 2]上有一个零点．(ⅲ)当a >0时，①若aa ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e 2]上单调递减．因为f (1)＝－12a <0，所以f (x )在[1，e 2]上没有零点．②若1<aa ≤e 2，即1e 4≤a <1时，f (x )在1，a a 上单调递增，在a a ，e 2上单调递减，而f (1)＝－12a <0，f ＝－12ln a －12，f (e 2)＝2－12a e 4，若f＝－12ln a－12<0，即a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；若f＝－12ln a－12＝0，即a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；若f＝－12ln a－12>0，即a<1e时，由f(e2)＝2－12a e4>0，得a<4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；由f(e2)＝2－12a e4≤0，得a≥4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有两个零点；③若aa≥e2，即0<a≤1e4时，f(x)在[1，e2]上单调递增，因为f(1)＝－12a<0，f(e2)＝2－12a e4>0，所以f(x)在[1，e2]上有一个零点．综上所述：当a<0或a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；当0≤a<4e4或a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；当4e4≤a<1e时，f(x)在[1，e2]上有两个零点．。

某某省某某市2015年高考数学 第九讲 函数篇 突破函数零点问题练习1、已知函数3()sin tan,(1,1)2xf x x x x =++∈-，则满足不等式(1)(21)0f a f a -+-<的实数a 的取值X 围是__________________． 【答案】2(0,)3【解析】试题分析：因为，函数3()sin tan,(1,1)2xf x x x x =++∈-是单调增函数，且为奇函数， 所以，(1)(21)0f a f a -+-<即(21)(1)f a f a -<-，所以，2111111211a aa a -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得，实数a 的取值X 围是2(0,)3。

考点：函数的单调性，抽象不等式解法，一元一次不等式组的解法。

点评：小综合题，利用函数的单调性，将抽象不等式转化成具体不等式，是此类问题的一般解法。

2、设0,1a a >≠，函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为【答案】)3,2( 【解析】试题分析：设0,1a a >≠，函数2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，所以10<<a ，则不等式2log (57)0a x x -+>的解为⎩⎨⎧<+->+-07507522x x x x ，解得32<<x . 考点：二元一次不等式组；函数最值的应用．点评：本题考查指数函数，对数函数的性质，以及一元二次不等式组的解法．是简单的中档题．3、若函数3()ln f x x x=+在区间(,2)m m +上单调递减，则实数m 的X 围是________.分析：本题是一道改编题，由3()ln f x x x =+得22313'()x f x x x x-=-+=，由'()0f x <得03x <<，所以()f x 的减区间是(0,3]，由(,2)(0,3]m m +⊆得01m ≤≤.答案是：01m ≤≤.4、已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值X 围是． 答：88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦提示：()()2434f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥成立，即有29640a ∆=-≤．解得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 5、已知函数3()3()f x x ax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值X 围是．答：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭提示：∵2()33f x x a '=-，不等式()1f x '≠-对任意x 都成立，∴131,3a a ->-<． 零点定理的应用6、已知函数f （x ）＝201543212015432x x x x x +⋯+-+-+，则下列结论正确的是 A ．f （x ）在（0,1）上恰有一个零点 B ．f （x ）在（－1,0）上恰有一个零点 C ．f （x ）在（0,1）上恰有两个零点 D ．f （x ）在（－1,0）上恰有两个零点 【答案】B 【解析】试题分析：因为()234201320141f x x x x x x x '=-+-++-+2420122014(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x =-+-+-++-+所以当()1,0x ∈- 时，()0f x '>所以函数f （x ）＝201543212015432x x x x x +⋯+-+-+在区间（－1,0）上是增函数，且()010f =>()111111102342015f -=------< 所以函数f （x ）在（－1,0）上恰有一个零点，故选B ． 考点：1、导数与函数的单调性；2、函数的零点．7、设三次函数32()1f x ax bx cx =+++的导函数'()3(1)f x ax x =-,且2a >,则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调增，在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增，且323()12a f x ax x =-+，所以3(0)10,(1)11022a af f a =>=-+=-<，所以函数有三个零点，故选D ．考点：三次函数的图像问题，函数的零点的个数． 8、已知函数设函数),()()(43-⋅+=x g x f x F 且函数)(x F 的零点均在区间),,](,[Z b a b a b a ∈<内,则a b -的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C 【解析】试题分析：由'232014()1f x x x x x =-+-++，可得当1x =-时，'()0f x >，当1x ≠-时，201520151()1'()1()1x x f x x x--+==--+，若1x <-时，则'()0f x >，若1x >-时，'()0f x >，故函数()f x 在R 上为增函数，又因为1111(1)1102342015f -=------<，(0)1f =0>，所以函数()f x 在其定义域内的区间(1,0)-上只有一个零点，同理可证明函数()g x 在R 上式减函数，由于(1)0,(2)0g g <>，所以函数()g x 在区间(1,2)上有一个零点，所以()F x 在区间(4,3)--或(5,6)上有零点，由于()F x 的零点在区间[,]a b 上，所以b a -的最小值为6(4)10--=，故选C ．考点：函数的单调性，函数的零点，等比数列的求和公式． 二分法9、已知函数2log )(2-+=x x x f ，函数)(x f 的零点)1,(0+∈n n x ，*N n ∈，则=n ． 【答案】1 【解析】试题分析：由对数函数一次函数单调性可知函数()f x 是增函数，()()110.210f f =-<=>∴在区间()1,2上存在唯一零点，所以1n =考点：函数零点常见函数图像的画法10、函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：求lg(1)y x =+与sin 2y x =交点个数，因为9x =±时，lg101y ==，所以当[0,9]x ∈时，lg(1)y x =+与sin 2y x =有6个交点；当[9,0)x ∈-时，lg(1)y x =+与sin 2y x =有6个交点；所以共有12个交点，选D ．考点：函数零点11、已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，＋∞） 【答案】C 【解析】试题分析：根据函数的解析式，可知函数26()log f x x x=-是(0,)+∞的减函数，结合(2)3120f =-=>，31(4)2022f =-=-<，所以函数在区间(2,4)上存在零点，故选C ．考点：函数的零点．12、定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值X 围为（ ）A ．(]1,2B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1) 【答案】B 【解析】试题分析：新运算的原则是谁小取谁，在平面直角坐标系中画出41y x=+、2log y x =的图像，可知4x =时，241log 2x x +==，在(0,4)上，241log x x+>，在(4,)+∞上，241log x x +<，且411y x =+≥，函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值X 围为(1,2)。

《函数零点》专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其常常与函数的图像、性质等学问交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）困难函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C【分析】利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0的根，由f(2x2+1)+f(λ-x)=0得f(2x2+1)=-f(λ-x)，因f(x)是R上奇函数，从而有f(2x2+1)=f(x-λ)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-λ，而函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+λ=0有两个相等实数解，因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2ax =-，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<， 所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2024·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x < x()1,x -∞1x()12,x x2x()2,x +∞()'f x+0 -+()f x极大值 微小值当x →-∞时，()0f x →所以若()f x 有最小值，只须要()20f x ≤∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2024·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1e x =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>， 故()f x 的零点所在的区间是()1,2. 故选：B练．（2024·天津·大钟庄中学高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续， 依据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点， 故选：B.类型三、利用两图像交点推断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2024·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个【答案】B 【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个． 故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】 ()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满意不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】 由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满意不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln 2ln 2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2024·浙江·绍兴市柯桥区老师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______. 【答案】7,24⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解， 即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩ ， 作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知， 74<b <2， 故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2024福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥ 【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（） 存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，）， 过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝；设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x xx x e e x x e e --∴＝，＝，得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（） 存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的敏捷应用．例3-4（两个曲线）49．（2024·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点， 即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2024·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】依据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最终通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==． 又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=， 所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故实数m 的最小值为72．故选：B ．（两个曲线）【2024河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满意()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个 【答案】B【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f （x ）满意f （x+2）=f （x ），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x ）=x ，故当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x ．因为函数y=f （x ）﹣log 3|x|的零点的个数等于函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象，如图所示：明显函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数推断，以及函数与方程的思想，依据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．推断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（干脆解出零点）（2024·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，依据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=， 设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=， 所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只须要探讨21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数， 当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x 或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x 有三解，sin x = 所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解， 依据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解， 所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16，类型三、利用周期性推断零点个数例3-1．（2024·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402【答案】A 【分析】依据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数． 【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A. 例3-2．偶函数()f x 满意()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-， 所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称， 又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=， 则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>， 令()0f x '=，解得e 2x =，所以当e 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期， 所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意； （2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满意题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意， 所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解， 因为()f x 在()0,8内关于4x =对称， 所以()f x 在()0,4内有2个整数解， 因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =， 所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2024·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满意()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】A 【分析】首先推断()f x 的奇偶性，再依据奇偶函数的对称性计算可得； 【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称， 因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称， 则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称， 则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61iii x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2024·新疆·克拉玛依市教化探讨所模拟预料（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满意()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的全部零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36【答案】C 【分析】依据题意可得函数()f x 是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4g x f x k x =--的全部零点转化为()y f x =与()4y k x =-的交点的横坐标，又函数()4y k x =-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，依据数形结合即可求出结果. 【详解】∵定义在R 上的奇函数()f x 满意()()2f x f x =-，故图象关于1x =对称， ∴()()2f x f x --=-，故()()2f x f x +=-， ∴()()()42f x f x f x +=-+=，即周期为4，又()f x 定义在R 上的奇函数，所以(4,0)是函数()f x 一个对称中心， 又因为当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，作出函数()f x 的草图，如下：函数()()()4g x f x k x =--的全部零点即为()y f x =与()4y k x =-的交点的横坐标， 易知函数()4y k x =-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428nii x==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的运用例5-1．（2024·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++< 【分析】依据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解. 【详解】依据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=. 当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<； 当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2024·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】依据分段函数解析式探讨()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需探讨()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增； 34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=，由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<， 由1()21g x x x =-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x <-+<， 所以10932t << 故选：A.例5-3（2024·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，视察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，依据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案依据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====， 不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d dd-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 当0m =时，探讨y x =与1ln y x =+是否相切即可， 1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =， 所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点， 即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并便利解答.例5-4．（2024·辽宁试验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，依据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-， 又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ， 设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+， 明显()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>， 所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e4g x ∈-，所以()1250,4e 4n -∈-， 所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2024·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =， 令()f x t =，则1()2f t =， 当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则10=t 所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 10=t ()10f x =1个实根， 综上，方程()()12f f x =有3个实根， 所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2024·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则依据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，依据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根， 即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t < 122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<， 作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<， 所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()th t t-'=， 所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2024·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________． 【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采纳数形结合法即求． 【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，须要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满意一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的全部极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >， 因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根， 即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->，因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a'==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根， 则122x x a +=-，2122133a x x a=+， 因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-， 令()()211g a a a a=-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ． 故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点； （2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）依据导函数零点0x ，推断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x a f x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++.∴()001ln 1x a x a-+=+，明显01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题 类型二：困难函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合运用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x+--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=， 令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有xy xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞． 例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）探讨函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，推断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析. （1）求出导数()'f x ，按a 分类探讨确定()'f x 的正负，得函数的单调性； （2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论．【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e xxxx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数； 当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=+⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'x >()0f x x ⇔<<'<所以()f x在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2x g x x x x =--+，其定义域为()0,∞+， 则()()()1e 11xg x x x x '=+--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()1e 10h =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e xx =，00ln x x =-.列表如下：由表格，可得()g x 的微小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>， 所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点. 类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数 类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）找寻零点之间的关系，消元换元来解决 例8-1．（2024·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点. （1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时明显不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的微小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证； 【详解】（1）证明：由()ln a f x x x =+，0x >，可得()21af x x x'=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符. 当0a >时，令()210af x x x '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 可得当x a =时，()f x 取得微小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln af x x x =+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的微小值点为x a =，则120x a x <<<. 设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈， 可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t t x t =--， 所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭. 又因为()ln 1th t t =-，则()()211ln 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t tt +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数探讨含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．留意分类探讨与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x，h′(x)＝2－πcos x，明显h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞.由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只须要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

第九讲 零点定理1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 3设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a >0)的两实数根，则x 1，x 2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m ，n ，p 为常数，且m <n <p )二、二分法 （1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

3.8函数的零点问题——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题(共16题；共80分)1．（5分）已知函数f(x)= cos2x+cosx，且x∈[0，2π]，则f(x)的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）已知函数f(x)={x，x≥0−x2，x<0，若方程f(x)=ae x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．(1e，+∞)B．(0，1e)C．(−∞，−1e)D．(−1e，0)3．（5分）已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)−2x−2x)=10．若函数g(x)={f(x)−2x−a，x≤0，|log2x|−a−1，x>0有3个零点，则a的取值范围为（）A．(2，3]B．(−1，3]C．(3，4]D．(−1，4]4．（5分）已知函数f(x)=ax3+bx+1，若f(x)存在零点x0<−1，且满足f′(x0)=f(x0)，则()A．1a+3b<0B．ab>0C．3a+b<0D．a+b>15．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（）A．[2312，2912]B．[2312，2912)C．(1130，1124]D．[1130，1124)6．（5分）已知函数f(x)=sin(√ax3+bx+bx⋅π)−1，a≥0在(1，+∞)上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（）A．0B．18C．12D．47．（5分）已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）设函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是R上的增函数”是“任意a>0，y=f(x+a)−f(x)无零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x1⋅x2等于（）A．2B．43C．23D．1210．（5分）设函数f(x)=|2x−1|，函数g(x)=f(f(x))−log a(x+1)，(a>0，a≠1)在[0，1]上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(1，32)B．（1，2）C．(32，2)D．(2，+∞)11．（5分）已知函数f(x)={1−|1−x|，0≤x≤22f(x−2)，x>2，当x∈[0，8]时，函数F(x)=f(x)−kx恰有六个零点，则实数k的取值范围是（）A．(45，1)B．(23，45)C．[23，45)D．[45，1)12．（5分）已知函数f(x)={10x−m，x≤12xe x−2mx+m，x>12（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．(e，+∞)B．(e，5]C．(e，5)D．[e，5]13．（5分）已知函数f(x)=2ae x−e a x2至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）．A．0B．1C．2D．e14．（5分）已知函数f(x)={exlnx，x>0x3−3x，x≤0，若函数y=[f(x)]2−1与y=af(x)的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，72)C．(1，72)D．(1，+∞)15．（5分）已知函数f(x)=|log2x|，g(x)={0，0<x≤1|x−2|−0.5，x>1，则方程|f(x)−g(x)|=1的实根个数为（）个．A．1B．2C．3D．416．（5分）定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x+2)，当x∈[0，2]时f(x)=(√e)x，若在区间x∈[0，10]内，函数g(x)=f(x)−(x+1)m有个5零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，log11e)B．(0，log11e)∪(12，log7e)C．(log11e，12)D．(log11e，12)∪(12，log7e)二、多选题(共2题；共10分)17．（5分）已知函数f(x)=a x−x a(a>1)的定义域为(0，+∞)，且f(x)仅有一个零点，则（）A．e是f(x)的零点B．f(x)在(1，e)上单调递增C．x=1是f(x)的极大值点D．f(e)是f(x)的最小值18．（5分）已知函数f(x)=2x−cosx的零点为x0，则（）A．x<12B．x0>13C．tanx0>√52D．x0−14<sinx0三、填空题(共10题；共65分)19．（10分）设a，b，c∈R，a≠0，若函数y=ax2+bx+c有且仅有一个零点，且2a2+3ab+ 8ac=1，则a+b的最小值为，a+b+ab的最小值为．20．（5分）已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)={(12)x，log16x，0≤x<2x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a，b∈R)有且仅有7个不同实数根，则a+b=21．（10分）已知函数f(x)={e x−ax，x≥0，ax3−2x+1，x<0.当a=0时，f[f(−12)]=，若函数f(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是．22．（10分）设a∈R．函数f(x)={2e x−1，x≤0ax2+(a2−2)x−lnx，x>0，若f(f(0))=0，则a=，若f(x)只有一个零点，则a的取值范围是．23．（5分）函数f(x)={x3+2，x≤0x−3+e x，x>0的零点个数为.24．（5分）若函数f(x)={2x−b，x<0，√x，x≥0有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为.25．（5分）已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a，使得f(x)有3个零点；④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞).所有正确命题的序号为.26．（5分）已知函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，0≤x<4时，f(x)=√4−(x−2)2，g(x)= f(x)−k n x(n∈N∗，k n>0)．若函数g(x)的图像与x轴恰好有2n+1个不同的交点，则k12+k22+⋅⋅⋅+k n2=．27．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2，0)对称，当x∈[0，2]时，f(x)=−√1−(x−1)2，若方程f(x)−k(x−2)=0的所有根的和为6，则实数k的取值范围是．28．（5分）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asinϖt.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x.给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期是π；②f(x)在[0，2π]上有3个零点；③f(x)在[0，π2]上是增函数；④f(x)的最大值为3√34.其中所有正确结论的序号是.四、解答题(共8题；共80分)29．（10分）设函数f(x)=−12x 2+(a −1)x +alnx +a2，a >0．（1）（5分）若a =1，求函数f(x)的单调区间和最值； （2）（5分）求函数f(x)的零点个数，并说明理由．30．（10分）已知a >0，设函数f(x)=(2x −a)lnx +x ，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）（5分）若a =2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）（5分）若f(x)在区间(1，+∞)上存在两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)， ①求实数a 范围；②证明：x 2f ′(x 2)x 1−1<(a−e)(a−2e)(a−3)2e ．注，其中e =2.71828⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．31．（15分）已知函数f(x)=xlnx +a ，(a ∈R)．（1）（5分）求函数f(x)的单调区间；（2）（5分）当0<a <1e时，证明：函数f(x)有两个零点；（3）（5分）若函数g(x)=f(x)−ax 2−x 有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1<x 2），证明：x 1⋅x 22>e 3．32．（10分）已知函数f(x)=e x −xlnx −ax −1(a ∈R)有两个零点．（1）（5分）求a 的取值范围；（2）（5分）设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2>2．33．（10分）已知函数f(x)=mlnx −xe x +x ．（1）（5分）若m =1，求f(x)的最大值；（2）（5分）若f(x 1)+x 1e x 1+m =0，f(x 2)+x 2e x 2+m =0，其中x 1≠x 2，求实数m 的取值范围．34．（10分）已知函数f(x)=lnx +a x的极小值为1．（1）（5分）求实数a 的值；（2）（5分）设函数g(x)=f(x)−1x +m(1x2−1)．①证明：当0<m <12时，∀x ∈(0，m 1−m )，g(x)>0恒成立；②若函数g(x)有两个零点，求实数m 的取值范围．35．（5分）已知函数f(x)=x2⋅lnx.（Ⅰ）求函数y=f(x)−x的最小值；（Ⅱ）若方程f(x)=m(m∈R)有两实数解x1，x2，求证：1x12+1x22>e+11−|x1−x2|.（其中e=2.71828⋯为自然对数的底数）.36．（10分）已知函数f(x)=12(a−1)x2+ax−2lnx．（1）（5分）讨论f(x)的单调性；（2）（5分）当a=1时，g(x)=f(√x)，若m≤3−4ln2，求证：对于任意k>0，函数ℎ(x)= g(x)−mx−k有唯一零点．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=(cosx+1)(2cosx−1)=0，可得cosx=−1或cosx=12，又因为x∈[0，2π]，则x=π，或x=π3，或x=5π3，则f(x)的零点个数为3。

函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一)确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．2.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．(2)分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况.1(2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数)已知函数f x =ax2e xa≠0,a∈R．(1)求f x 的极大值；(2)若a=1，求g x =f x -cos x在区间-π2,2024π上的零点个数．(二)根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.2(2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟)已知函数f x =ln x+2(1)求曲线y=f x 在x=-1处的切线方程；(2)求证：e x≥x+1；(3)函数h x =f x -a x+2有且只有两个零点，求a的取值范围．(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知f(a)的符号,探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号,则在(m,a)上存在零点．2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；确保赋值点x0落在规定区间内；确保运算可行三个优先：(1)优先常数赋值点；(2)优先借助已有极值求赋值点；(3)优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点(见例2解法),放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.3(2024届山东省烟台招远市高考三模)已知函数f x =x+ae x a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)当a=3时，若方程xf x -x +f x -xf x=m+1有三个不等的实根，求实数m的取值范围.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为x 0,再利用导函数的单调性确定x 0所在区间,最后根据fx 0 =0,研究f x 0 ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若f (x )中含有参数a ,关系式f '(x 0)=0是关于x 0,a 的关系式,确定x 0的合适范围,往往和a 的范围有关.4(2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考)已知函数f x =e x ，g x =ln x .(1)若函数h x =ag x -1 -x +1x -1，a ∈R ，讨论函数h x 的单调性；(2)证明：142x -1 f 2x -f x >2g x -2.(参考数据：e 45≈2.23，e 12≈1.65)1(2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研)已知函数f x =ln x+sin x+sin π10.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.2(2024届江西省九江市高三三模)已知函数f x =e ax+e-ax(a∈R，且a≠0).(1)讨论f x 的单调性；(2)若方程f x =x+x-1有三个不同的实数解，求a的取值范围.3(2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测)已知函数f(x)=a(ln x+1)+1x3(a>0)．(1)求证：1+x ln x>0；(2)若x1,x2是f(x)的两个相异零点，求证：x2-x1<1-1 a．4(2022高考全国卷乙理)已知函数f x =ln1+x+axe-x (1)当a=1时,求曲线y=f x 在点0,f0处的切线方程；(2)若f x在区间-1,0,0,+∞各恰有一个零点,求a取值范围．5(2024届辽宁省凤城市高三下学期考试)已知函数f x =xe x -1-ln x -x .(1)求函数f x 的最小值；(2)求证：e f x +x >e x -e -1 ln x -12.6(2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷)已知函数f x =xe x-1,g x =ln x-mx,m∈R.(1)求f x 的最小值；(2)设函数h x =f x -g x ，讨论h x 零点的个数.7(2024届河南省信阳市高三下学期三模)已知函数f x =ax-ln1-x.a∈R(1)若f x ≥0恒成立，求a的值；(2)若f x 有两个不同的零点x1,x2，且x2-x1>e-1，求a的取值范围.8(2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考)已知函数f x =e x-1-ax-a a∈R.(1)当a=2时，求曲线y=f x 在x=1处的切线方程；(2)若函数f x 有2个零点，求a的取值范围.9(2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟)设函数f x =e x+a sin x，x∈0,+∞.(1)当a=-1时，f x ≥bx+1在0,+∞上恒成立，求实数b的取值范围；(2)若a>0,f x 在0,+∞上存在零点，求实数a的取值范围.10(2024届河北省张家口市高三下学期第三次模)已知函数f(x)=ln x+5x-4．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；-2．(2)证明：f(x)>-35x11(2024届上海市格致中学高三下学期三模)已知f x =e x-ax-1，a∈R，e是自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f x 的极值；(2)若关于x的方程f x +1=0有两个不等实根，求a的取值范围；(3)当a>0时，若满足f x1，求证：x1+x2<2ln a.=f x2x1<x212(2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷)函数f (x )=e λx -4sin x +λ-2的图象在x =0处的切线为y =ax -a -3,a ∈R .(1)求λ的值；(2)求f (x )在(0,+∞)上零点的个数.13(2024年天津高考数学真题)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的值；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．14(2024届河北省高三学生全过程纵向评价六)已知函数f x =axe x，g x =sin x+cos x.(1)当a=1时，求f x 的极值；(2)当x∈0,π时，f x ≤g x 恒成立，求a的取值范围.15(2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练)已知函数f x =a ln x-1x+x a∈R.(1)讨论f x 的零点个数；(2)若关于x的不等式f x ≤2x-2e在0,+∞上恒成立，求a的取值范围.16(2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试)设f x =(a2-1)e x+sin x-3(1)当a=2，求函数f(x)的零点个数.(2)函数h(x)=f(x)-sin x-x2+2ax+2，若对任意x≥0，恒有h(x)>0，求实数a的取值范围17(2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测)已知函数f x =2ax-sin x.(1)当a=1时，求曲线y=f x 在点0,f0处的切线方程；(2)当x>0时，f x ≥ax cos x恒成立，求实数a的取值范围.18(2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试)已知函数f x =2ln x-12mx2+1m∈R.(1)当m=1时，证明：f x <1；(2)若关于x的不等式f x <m-2x恒成立，求整数m的最小值.19(2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考)设函数f x =x3-3ax2+3b2x(1)若a=1，b=0，求曲线y=f x 在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k的最大值．20(2023届江苏省连云港市高三学情检测)已知函数.(1)判断函数f x 零点的个数，并证明；(2)证明：.。

第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()()21ln R 2f x x ax a =-Î.(1)当1a =时，求()f x 的最大值；(2)讨论函数()f x 在区间21,e éùëû上零点的个数.2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 零点的个数.3．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx Î-，试讨论()f x 的零点个数.1．（2024·山东·模拟预测）已知函数()1e 4xf x =-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 在y 轴上的截距；(2)探究()f x 的零点个数．2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()e sin 1xf x a x x =+--.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，判断()f x 的零点个数.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()()20,e x ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．1．（2022·全国·高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点，求a 的取值范围．3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．4．（2024·广东茂名·一模）设函数()e sin xf x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.1．（2024·广东汕头·三模）已知函数2)()(e x f x x ax =-.(1)若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.(2)若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a .2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点，求a 的值，并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点，求a 的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x kx =+的单调递增区间为()0,1．(1)求函数()f x 的图象在点()()e,e f 处的切线方程；(2)若函数()()e xaxg x f x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．4．（2024·安徽·三模）已知函数()e e (1),0x x f x a a x a -=--+>．(1)求证：()f x 至多只有一个零点；(2)当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，若()()120f x kf x +>成立，求实数k 的取值范围．1．（2024·浙江温州·一模）已知()11e xf x -=（0x >）.(1)求导函数()f x ¢的最值；(2)试讨论关于x 的方程()f x kx =（0k >）的根的个数，并说明理由.1．（2024·山西·模拟预测）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．(1)求实数a 的值及()f x 的最大值；(2)证明：当π,π6x éùÎêúëû时，1()22f x x +>；(3)判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2．（2024·河南信阳·一模）已知函数()ln(1)3mf x x x =++．(1)若3m =-，求证：()0f x £；(2)讨论关于x 的方程2π()sin 03π2x f x +=在(1,2)-上的根的情况．1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数1()ln ,2f x ax x a x=+ÎR .(1)当1a =时.求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)若方程31()2f x x x=+存两个不等的实数根，求a 的取值范围.2．（2024·山东烟台·三模）已知函数()()e xf x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.1．（2023·广东梅州·三模）已知函数()2e xf x ax =-，a ÎR ，()f x ¢为函数()f x 的导函数.(1)讨论函数()f x ¢的单调性；(2)若方程()()22f x f x ax ¢+=-在()0,1上有实根，求a 的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数e ()xf x ax b =+的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y ++=．(1)求,a b 的值；(2)若()21mf x x =-有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．1．（2021·全国·高考真题）已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数()2ln 3f x a x x =++在1x =处的切线经过原点.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)求证：函数()f x 的图象与直线5y x =有且只有一个交点.2．（2024·陕西西安·二模）设函数21()(1)e 2x f x ax x =+-.(1)当1a £时，讨论()f x 的单调性；(2)若[2,2]x Î-时，函数()f x 的图像与e x y =的图像仅只有一个公共点，求a 的取值范围.3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()log a axf x x =.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)证明：若曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.1．（2023·全国·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),2-¥-B ．(),3-¥-C ．()4,1--D ．()3,0-2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰 有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知0w >，若函数()ln ,0,3πsin ,π03x x x f x x x w ì->ïï=íæöï+-££ç÷ïèøî有4个零点，则w 的取值范围是（ ）A ．47,33æùçúèûB ．47,33éö÷êëøC ．710,33æùçúèûD ．710,33éö÷êëø3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数()31f x x ax =-+，a ÎR ，则（ ）A ．若()f x 有极值点，则0a £B ．当1a =时，()f x 有一个零点C ．()()2f x f x =--D ．当1a =时，曲线()y f x =上斜率为2的切线是直线21y x =-4．（2024·安徽·模拟预测）若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为 .5．（2024·天津北辰·三模）若函数22()233(3)f x a x a x x =----有四个零点，则实数a 的取值范围为 .一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程e 1x a x -=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围为（ ）A．æöç÷ç÷èøB ．211,e æö--ç÷èøC ．21,0e æö-ç÷èøD ．1,0e æö-ç÷èø2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数3()1f x x x =++，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极值点为11,e æö-ç÷èøB ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）方程()1ln 0x x k -++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为 ．6．（2024·山西·三模）已知函数12,0()e ,0x x x f x x x ì+>ï=íï£î，若函数()()()g x f x x m m =-+ÎR 恰有一个零点，则m 的取值范围是.7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数()324f x x x t =+-，若函数()f x 的图象与曲线25y x =有三个交点，则t 的取值范围是 .四、解答题8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数()()22ln f x x x ax a =-+ÎR (1)当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 与直线y ax a =-在1,e e éùêúëû上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知()ln f x x =，(1)求()f x x的极值；(2)若函数()y f x ax =-存在两个零点，求a 的取值范围.10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知过点(2,0)-的直线与函数2()e 2x f x x +=+的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）A ．(,1)-¥-B ．(,0)-¥C ．(1,0)-D ．(1,)-+¥2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数()e ,0e ,0x a x f x x x -ì+>ï=íï<î，若方程()e 0f x x +=存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -¥B ．(),e -¥-C ．(),2e -¥-D ．(),2e -¥二、填空题3．（2024·重庆·模拟预测）若函数e ()e x x f x a =+的图象与函数e ()e xxg x x =+的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为．4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数()()e 1e kxf x k =--与函数()()1e ln 1xg x x--=的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .5．（2024·福建泉州·一模）已知函数()(1)e e x x f x x a =-+-有且只有两个零点，则a 的范围．三、解答题6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知()sin cos f x x x a x =-在π2x =时取得极大值．(1)讨论()f x 在[]π,π-上的单调性；(2)令()24sin 4cos 4h x x x x x =--+，试判断()h x 在R 上零点的个数．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e =-+x f x x a ，x ÎR ，()()2x f x x x j =+-.(1)若()x j 的最小值为0，求a 的值；(2)当0.25a <时，证明：方程()2f x x =在()0,¥+上有解.8．（2024·广东梅州·二模）已知函数()e xf x =，()21g x x =+，()sin 1h x a x =+（0a >）．(1)证明：当()0,x Î+¥时，()()f x g x >；(2)讨论函数()()()F x f x h x =-在()0,π上的零点个数．1．2．3．4．9．（2024·广西南宁·二模）已知函数()ln f x x ax =-(1)若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围，(2)若函数()()1g x f x x =-+恰有两个零点，求a 的取值范围，10．（2024·广西贺州·一模）已知函数()ln ,2a f x x x a x=++ÎR ．(1)若12a >-，讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程2()ef x =有且只有一个解，求a 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)4．（2020·全国·高考真题）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．5．（2020·全国·高考真题）已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．6．（2020·全国·高考真题）已知函数()(2)x f x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．（2019·全国·高考真题）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x ¢为()f x 的导数．证明：（1）()f x ¢在区间(1,2p-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．10．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+Î在()0,+¥内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．。

函数的零点（一）练习1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是A.4B.3C.2D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,18．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,29．已知0x 是函数()x x f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、函数f(x)=x —cosx 在[0，+∞）内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点13.设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 1314、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是15、方程 96370x x -•-=的解是．.16、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）.17、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=18．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______19．方程223x x -+=的实数解的个数为．20．若函数()a x a x f x --=()1.0≠>a a 有两个零点，则实数a 的取值范围是。

专题9分段函数零点问题1．已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩ 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A ．11(,)3e --B ．211(,e e--C ．221[,)3e--D ．21[,)33--2．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,2B ．1(2，3)2C ．1(2，52D ．3(2，5)23．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数3()2g x x a =-，其中a R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．15(0,)16B ．15(16，1)C ．16(1,15D ．5(1,)44．已知函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是()A ．21(,)2ln e B ．1(0,)2C ．1(0,e D ．11(,)2e 5．已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,e B ．21(1,e -C ．2(e -，1)-D ．(,1)-∞-6．已知函数22(0)()2(0)x m x f x x mx x ⎧->=⎨--⎩ ，若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是()A ．1(,2-∞B ．(,1)-∞C ．1(2，1)D ．(1,)+∞7．已知函数(1),01()1,40x ln x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩ ，若函数1()|()|||g x f x x a e =--恰有3个零点，则a 的取值范围是()2025新高考函数压轴小题专题突破——专题9 分段函数零点问题（解析版）A ．[1-，2)e -B ．[1-，0)(0⋃，2)e -C ．3[4e e --，0)D ．[1-，0)(0⋃，34)e e +-8．已知函数22,0(),0x x x xf x x x e⎧-⎪=⎨>⎪⎩ ，若关于x 的方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为()A ．2(1,1)2e e+B ．1(1,1)e+C ．1(0,1)2e +D ．1(,1)e9．已知函数[],0()([]1,0x x f x x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩ 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．12(,]23B ．12[,)23C ．23[,)34D ．23(,]3410．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．31[,]4e -B ．31(,[,)4e -∞-+∞ C ．211[,4e-D ．21(,[,)4e -∞-+∞ 11．已知函数11,1()3,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，若方程()0f x ax -=恰有两个不同的根，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,3B ．1[3，1)eC ．1(e ，43D ．(-∞，40][3，)+∞12．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<=⎨->⎩ 有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．3(4，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(,1)-∞13．已知函数,0,(),0,x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为()A ．11(,133e e -+B ．(1,1)3e+C ．111(,33e -D ．1(,1)314．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．21[,]3e -B ．21(,[,)3e -∞-+∞ C ．11[,3e-D ．1(,][,)3e -∞-+∞ 15．已知函数11,0()3||,0x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ 若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为．16．设函数1()1,0()2(2),0xx f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩ ，()log (1)(1)a g x x a =->．①(2019)f 的值为；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是．17．已知函数121,0()1||,0x x f x lg x x+⎧-⎪=⎨>⎪⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为．18．已知函数22|2|,0()1,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若存在实数k ，使得函数()y f x =-k 有6个零点，则实数a 的取值范围为．19．已知函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是．20．已知函数()f x 满足：当1[3x ∈，1]时，1()2()f x f x =；当[1x ∈，3]时，()f x lnx =．若在区间1[3，3]内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，则实数a 的取值范围为．专题9分段函数零点问题1．已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩ 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A ．11(,3e --B ．211(,)e e--C ．221[,)3e--D ．21[,)33--【解析】解：函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩，可得2x - 时，31x a x =-+，函数1xy x =+的图象如图：方程至多一个解，此时满足132a <- ，可得2[3a ∈-，1)3-．当(2,0)x ∈-时，x ae x=，即x a xe =，x y xe =，可得(1)x y e x '=+，令(1)0x e x +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为：1e -，2x =-时，22y e =-，方程有两个解，可得212(,a e e∈--，综上，函数3,21(),20x xa x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩ 恰有3个零点，满足11(,)3a e ∈--，故选：A ．2．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,)2B ．1(2，3)2C ．1(2，52D ．3(2，52【解析】解：由题意可得函数21(,12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ 的图象和直线y a =有3个交点，如图所示：故应有1322a <<，故选：B．3．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩ ，若函数3()2g x x a =-，其中a R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．15(0,)16B ．15(16，1)C ．16(1,15D ．5(1,)4【解析】解：由()()0y f x g x =-=得()()f x g x =，作出两个函数()f x 和()g x 的图象，则1(1,)2A ，当()g x 经过点A 时，()f x 与()g x 有2个交点，此时g （1）3122a =-=，此时1a =，当()g x 与()f x 在1x >相切时，此时()f x 与()g x 有2个交点由253422x x x a -+-=-，即255022x x a -+-=，由判别式△0=得255(4()022a --=，得1516a =，要使()f x 与()g x 有3个交点，则()g x 位于这两条线之间，则a 满足15(16a ∈，1)，故选：B．4．已知函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是()A ．21(,2ln e B ．1(0,)2C ．1(0,)e D ．11(,)2e 【解析】解：作函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ 与y ax =的图象如下，，直线l 是y lnx =的切线，设切点为(,)x lnx ，故1()lnx lnx x x='=，故x e =，故1l k e=；直线m 过点(2,2)ln ，故22m ln k =；结合图象可知，实数a 的取值范围是2(2ln ，1e，故选：A ．5．已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,)e B ．21(1,)e -C ．2(e -，1)-D ．(,1)-∞-【解析】解：3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩，∴函数()()g x f x a =-有3个零点⇔方程()f x a =有3个根()y f x ⇔=与y a =有三个交点，由23(1),0()(2),0xx x f x x e x ⎧-'=⎨-+<⎩ 得：当2x =-时，函数()f x 取得极大值21e；lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()0x f x →-∞=在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图可知，当210a e <<时，()y f x =与y a =有三个交点，即函数()()g x f x a =-有3个零点．故选：A．6．已知函数22(0)()2(0)x m x f x x mx x ⎧->=⎨--⎩ ，若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是()A ．1(,)2-∞B ．(,1)-∞C ．1(2，1)D ．(1,)+∞【解析】解：二次函数22y x mx =--最多只能有两个零点，要使函数()()g x f x m =-恰有3个零点，所以2x y m =-在区间(0,)+∞必须有一个零点，所以1m >，当1m >时，二次函数22y x mx =--与横轴的负半轴交点有两个(0,0)和(2,0)m -，故原函数有3个零点，综上，实数m 的取值范围是：(1,)+∞故选：D ．7．已知函数(1),01()1,40x ln x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩ ，若函数1()|()|||g x f x x a e =--恰有3个零点，则a 的取值范围是()A ．[1-，2)e -B ．[1-，0)(0⋃，2)e -C ．3[4e e --，0)D ．[1-，0)(0⋃，34)e e +-【解析】解：令()0g x =可得1|()|||f x x a e =-，∴函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象有三个交点．作出函数(1),01|()|1,40xln x x e y f x e x +<-⎧==⎨--⎩的图象如图所示：设直线1()y x a e =-与曲线|()|f x 在(0，1]e -上的图象相切，切点0(x ，0)y ，则00000111(1)1()x e y ln x y x a e ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得01x e =-，1a =-，设直线1()y x a e =--与曲线|()|f x 在(4,0)-上相切，切点为1(x ，1)y ，则0000111()x x e e e y x a y e⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪--=⎩，解得01x =-，2a e =-．∴当1a <-或2a e - 时，函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象最多只有2个交点，不符合题意；排除C ，D ；当0a =时，函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象只有2个交点，不符合题意；排除A ；故选：B ．8．已知函数22,0()0x x x x f x x x e⎧-=>⎩ ，若关于x 的方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为()A ．21)2e e+B ．1(1,1)e+C ．1(0,1)2e +D ．1(,1)e【解析】解：当0x >时，()xxf x =12()x xx f x -'=，令()0f x '=，得12x =，1(0,2x ∈时，()0f x '>，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<()f x ∴在1(0,)2递增，在1(2，)+∞递减，所以函数()f x 的图形如下：根据图象可得：方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根时，101()2a f <-<12()22e f e =，实数a 的取值范围为2(1,12e e+．故选：A．9．已知函数[],0()([]1,0x x f x x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩ 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．12(,]23B ．12[,)23C ．23[,34D ．23(,]34【解析】解：当01x < 时，[]0x =，当12x < 时，[]1x =，当23x < 时，[]2x =，当34x < 时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则等价为()f x ax =有且仅有3个根，即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当1a =时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点(2,1)A 时，即g （2）21a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点，当直线()g x 经过点(3,2)B 时，即g （3）32a ==，23a =时，()f x 与()g x 有三个交点，要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a < ，故选：A．10．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．31[,]4e -B ．31(,][,)4e -∞-+∞ C ．211[,]4e -D ．21(,][,)4e -∞-+∞ 【解析】解：函数()()2g xf x ax a =-+存在零点，即方程()2f x ax a =-存在实数根，即函数()y f x =与(2)y a x =-的图象有交点，如图所示：直线(2)y a x =-恒过定点(2,0)，过点(2,1)-和点(2,0)的直线的斜率101224k -==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切于点0(x ，0)x e ，则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为：000()x x y e e x x -=-，又切线过点(2,0)，则000(2)x x e e x -=-，03x ∴=，此时切线的斜率为：3e ，由图可知，要使函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为：14a -或3a e ，故选：B ．11．已知函数11,1()3,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ ，若方程()0f x ax -=恰有两个不同的根，则实数a 的取值范围是()A ．1(0,3B ．1[3，1eC ．1(e ，4]3D ．(-∞，40][3，)+∞【解析】解： 方程()0f x ax -=恰有两个不同实数根，()y f x ∴=与y ax =有2个交点，又a 表示直线y ax =的斜率，1x ∴>时，1y x'=，设切点为0(x ，0)y ，01k x =，∴切线方程为0001()y y x x x -=-，而切线过原点，01y ∴=，0x e =，1k e=，∴直线1l 的斜率为1e ，又 直线2l 与113y x =+平行，∴直线2l 的斜率为13，∴实数a 的取值范围是1[3，1)e故选：B ．12．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<=⎨->⎩ 有3个零点，则实数a 的取值范围是()A ．3(4，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(,1)-∞【解析】解：()f x 由3个零点，()f x ∴在(2-，0]上有2个零点，在(0,)+∞上有1个零点．∴441012044040a aa a a -+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨-⎪<⎪⎪>⎩，解得314a <<．故选：A ．13．已知函数,0,(),0,x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩ 若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为()A ．11(,1)33e e -+B ．(1,1)3e+C ．111(,)33e -D ．1(,1)3【解析】解： 1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e ，∴(1)(0)0(1)()0F F F F e -<⎧⎨<⎩ ，∴11()(1)0311()(1)033a a e a e a ⎧---<⎪⎪⎨⎪-+-<⎪⎩∴111311133a e a e ⎧-<<⎪⎪⎨⎪<<+⎪⎩∴113a <<故选：D ．14．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩ ，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为()A ．21[,]3e -B ．21(,][,)3e -∞-+∞ C ．11[,]3e-D ．1(,][,)3e -∞-+∞ 【解析】解：根据题意，函数()()g xf x ax a =-+存在零点，即方程()0f x ax a -+=存在实数根，也就是函数()y f x =与(1)y a x =-的图象有交点．函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩的图象如图，而直线(1)y a x =-恒过定点(1,0)，过点(2,1)-与(1,0)的直线的斜率101213k -==---，设直线(1)y a x =-与x y e =相切于(,)m m e ，则切点处的导数值为m e ，则过切点的直线方程为()m m y e e x m -=-，由切线过(1,0)，则(1)m m e e m -=-，即2m me em =，解可得2m =，此时切线的斜率为2e ，由图可知，要使函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为21(,)[3e -∞- ，)+∞故选：B．15．已知函数11,0()3||,0x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩ 若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为1[3，1e．【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则()f x ax =恰有3个交点，当13a =时，13y x =和()y f x =有3个交点，（如红色直线），直线y ax =和()f x 相切时，（如绿色直线），设切点是(,)m lnm ，由1()lnx x'=，故1a m =，故1lnm =，解得：1m =，故1a e=，故直线1y x e =和()f x 相切时，2个交点，综上，1[3a ∈，1)e ，故答案为：1[3，1e．16．设函数1()1,0()2(2),0xx f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩ ，()log (1)(1)a g x x a =->．①(2019)f 的值为1；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是．【解析】解：①11(2019)(2017)(1)()112f f f -==⋯⋯=-=-=；②当02x < 时，220x -<- ，所以21()(2)()12x f x f x -=-=-；当24x < 时，022x <- ，所以41()(2)(12x f x f x -=-=-；当46x < 时，224x <- ，所以61()(2)()12x f x f x -=-=-；当68x < 是，46x < ，所以81()(2)(12x f x f x -=-=-；画出()f x 和()g x 两个函数图象如下图所示，由log (41)3a -=，得a =log (61)3a -=，得a =，由图可知，当两个函数的图象有3个交点时，也即函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点时，实数a 的取值范围是．故答案为：1，．17．已知函数121,0()1||,0x x f x lg x x +⎧-⎪=⎨>⎪⎩ ，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为{|01}a a < ．【解析】解：作出()f x的函数图象如图所示：()()g x f x a =-有3个零点等价于函数()f x 与y a =图象有3个交点，由图象可知当10a -<<时，()f x 与y a =图象只有1交点，当01a < 时，()f x 与y a =图象有3个交点；当1a >或0a =时，()f x 与y a =有2个零点；综上，(0a ∈，1]，故答案为：{|01}a a < ．18．已知函数22|2|,0()1,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若存在实数k ，使得函数()y f x =-k 有6个零点，则实数a 的取值范围为3(,3)2．【解析】解：由题得函数()y f x =的图象和直线y =k 有六个交点，显然有0a >，20a a -<，当0x >时，2(1)()(0)x e x f x x x -'=>，∴函数()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且21(1)03f a =>，由题得221(,||),(0,),(1,)3A a a a B a C a --，A ，B ，C 三点的高度应满足A B c h h h > 或B A C h h h > ，所以21|1|3a a a a -> 或21|1|3a a a a -> ，0a > ，20a a -<，23a ∴< 或322a < ，综合得332a <<．故答案为：3(,3)2．19．已知函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是a =或23a ．【解析】解：函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩的图象如下图，()y f x a =-的零点即为函数()y f x =图象与函数y a =的交点个数，结合图象可知，函数()y f x a =-恰有3个零点，则0a =或23a ．故答案为：0a =或23a ．20．已知函数()f x 满足：当1[3x ∈，1]时，1()2()f x f x =；当[1x ∈，3]时，()f x lnx =．若在区间1[3，3]内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，则实数a 的取值范围为3[3ln ，1)e．【解析】解：设1[3x ∈，1]，则1[1x∈，3]又因为：函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1x ∈，3]时，()f x lnx =，所以11()2()2f x f ln x x ==，1[3x ∈，1]所以112,[,1]()3,(1,3]ln x f x x lnx x ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩，()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，即在1[3，3]内()f x 的图象与y ax =有三个交点，如图所示：当直线y ax =介于直线1l （过原点和(3,3)ln 的直线）和直线2l （当[1x ∈，3]时y lnx =的过原点的切线）易知133l ln k =，设y lnx =过原点的切线切点为(,)a lna ，则1y x '=，所以切线斜率为1a ，所以切线为1()y lna x a a-=-，又因为过原点，所以1lna =，所以[1a e =∈，3]故21l k e=，故实数a 的范围是31[,)3ln e故答案为：31[,)3ln e专题10函数对称问题1．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)22．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--3．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--4．已知函数22,0()3,0x xlnx x f x x x x ->⎧=⎨--⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(1,1)-C ．11(,)32-D ．11(,22-5．已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-6．已知函数21(),0()24,0xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩ 则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对7．若直角坐标平面内的两个不同的点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =一对“友好点对”（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)．已知函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的友好点对有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对8．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数22log ,0()4,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，则该函数的“友好点对”有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对9．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“黄金点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“黄金点对”)．已知函数222,0()4,041232,4x x f x x x x x x x ⎧<⎪=-+⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对“有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对10．函数3log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对11．已知函数21()2()f x lnx x e e= ，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]e C ．2[e --，3]e D ．32[2,3]e e --12．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是()A ．[1，1]e e+B ．[1，1]e e-C ．1[e e -，1e e+D ．1[e e-，]e 13．已知函数()1f x kx =+，()1(11)xg x e x =+- ，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则实数k 的取值范围是()A ．1[,)e +∞B ．1[,)e e-C ．[e -，)+∞D ．1(,][,)e e-∞-+∞ 14．已知函数2()f x x m =+与函数11()3([,2])2g x ln x x x =--∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．5[2,2]4ln +B ．5[22,2]4ln ln -+C ．5[2,22]4ln ln ++D ．[22ln -，2]15．已知函数41()(0)2x f x x e x =+-<与4()()g x x ln x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A．(-∞B．(-∞C．(D．(16．已知函数22,0()5,04xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是．17．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是．18．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是．19．已知函数31()36f x x mx =-+，()54g x x lnx =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()([1g x x ∈，9])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为．20．已知函数5()22x f x =-，0x <与4()log ()g x x a =-的图象上存在关于点(1,1)对称的点，则实数a 的取值范围是专题10函数对称问题1．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2【解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +，322y x '=+，故2313222x x x x+++=，解得，1x =-；故31222AB k =-+=-；故112k -<-<-，故112k <<；故选：A．2．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--【解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x ff x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象如下，，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ，1y lnx '=+，故11xlnx lnx x++=，解得，1x =；故1AC k =；设直线AB 与y xlnx =相切于点2(,4)C x x x +，24y x '=+，故24124x x x x+++=，解得，1x =-；故242AC k =-+=；故12k <-<，故21k -<<-；故选：C ．3．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--【解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩ 图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ，1y lnx '=+，故11xlnx lnx x++=，解得，1x =；故1AC k =；设直线AB 与24y x x =+相切于点2(,4)B x x x +，24y x '=+，故24124x x x x+++=，解得，1x =-；故242AC k =-+=；故12k <-<，故21k -<<-；故选：C ．4．已知函数22,0()3,0x xlnx x f x x x x ->⎧=⎨--⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(1,1)-C ．11(,)32-D ．11(,22-【解析】解：直线1y kx =+关于直线1y =的对称直线为1y kx =-+，则直线1y kx =-+与()y f x =的函数图象有4个交点，当0x >时，()1f x lnx '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线1kx y -+=的函数图象，如图所示：设直线1y kx =-+与2y x xlnx =-相切，切点为1(x ，1)y ，则11111121lnx k x x lnx kx -=-⎧⎨-=-+⎩，解得：11x =，1k =-，设直线1y kx =-+与23(0)y x x x =--<相切，切点为2(x ，2)y ，则222222331x k x x kx --=-⎧⎨--=-+⎩，解得21x =-，1k =．直线1y kx =-+与()y f x =有4个交点，∴直线1y kx =+与()y f x =在(,0)-∞和(0,)+∞上各有2个交点，11k ∴-<<．故选：B ．5．已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-【解析】解： 已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，∴已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数()f x 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与22y x ax =+相切于点2(,2)B x x x +，22y x '=+，故22122x x x x+++=，解得，1x =-；故220AB k =-+=，故10k -<-<，故01k <<，故选：B ．6．已知函数21(),0()24,0xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩ 则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：作出函数()y f x =图象如图所示：再作出()y f x -=-，即24y x x =-，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分（对数函数的图象）关于原点对称，记为曲线C ，发现1(2x y =与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选：B ．7．若直角坐标平面内的两个不同的点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =一对“友好点对”（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)．已知函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的友好点对有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：令(M s ，)(0)t s >，(,)N s t --， 函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩ ，4log t s ∴=，26t s t -=-+，24log 6s s s∴=-画出4log y x =，26(0)y x x x =->的图象，由图象可得有两个交点．故该函数的友好点对有2对．故选：C ．8．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数22log ,0()4,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，则该函数的“友好点对”有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，可知，若函数为奇函数，可有2()4f x x x =-，则函数24(0)y x x x =-- 的图象关于原点对称的函数是24y x x =-由题意知，作出函数24(0)y x x x =->的图象，看它与函数2()log (0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即()f x 的“友好点对”有：2个．故选：C ．9．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“黄金点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“黄金点对”)．已知函数222,0()4,041232,4x x f x x x x x x x ⎧<⎪=-+⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对“有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：由题意知函数()2x f x =，0x <关于y 轴对称的函数为12()2x x y -==，0x >，作出函数()f x 和1()2x y =，0x >的图象，由图象知当0x >时，()f x 和1()2x y =，0x >的图象有3个交点．所以函数()f x 的““黄金点对“有3对．故选：D ．10．函数3log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：函数图象关于y 轴对称点，就是把cos y x π=的图象在0x >的部分画出，与3log xy =的交点的个数，如图中的红色交点，共有3对．故选D11．已知函数21()2()f x lnx x e e= ，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]e C ．2[e --，3]e D ．32[2,3]e e --【解析】解：设(,)a b 是函数()f x 上的点，则21a e e，2b lna =，则点(,)a b 关于1y =对应的点为(,2)a b -在()g x 上，即21b am -=+有解，即12lna am -=，当0m =时，不满足条件．当0m ≠时，12lnam a-=，设h （a ）12lnaa-=，则h '（a ）2222(12)121232a lna lna lnaa a a a -⨯--⨯--+-+===，当21a e e时，12lna - ，则，224lna - ，即由h '（a ）0>，得320lna -+>，得32lna >，即322e a e <<，时，函数为增函数，由h '（a ）0<，得320lna -+<，得32lna <，即321a e e <<时，函数为减函数，即当32a e =时，函数h （a ）取得极小值同时也是最小值3332223212()2lne h e ee--==-，又2222123()lne h e e e --==，1121()31ln e h e e e-==，∴函数h （a ）的最大值为3e ，即h （a ）的取值范围是32[2,3]e e --，则m 的取值范围是32[2,3]e e --，故选：D ．12．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是()A ．[1，1]e e+B ．[1，1]e e-C ．1[e e -，1e e+D ．1[e e-，]e 【解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点，即2x ax lnx -=，1()x e e有解，即lnx a x x =-，1()x e e 有解，令lnx y x x =-，1()x e e，则221x lnxy x-+'=，当11x e< 时，0y '<，函数为减函数，当1x e < 时，0y '>，函数为增函数，故1x =时，函数取最小值1，当1x e =时，函数取最大值1e e+，故实数a 取值范围是[1，1]e e+，故选：A ．13．已知函数()1f x kx =+，()1(11)x g x e x =+- ，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则实数k 的取值范围是()A ．1[,)e+∞B ．1[,)e e-C ．[e -，)+∞D ．1(,][,)e e-∞-+∞ 【解析】解：由题意()f x ，()g x 图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则112x kx e +++=，即x e kx =-，所以指数函数x y e =与一次函数y kx =-在11x - 恒有交点，画出图形，①1x =-时，1k e =，即1k e=；②1x =时，k e =-，综上，解得(k ∈-∞，]e -⋃，1[e，)+∞故选：D ．14．已知函数2()f x x m =+与函数11()3([,2])2g x ln x x x =--∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．5[2,2]4ln +B ．5[22,2]4ln ln -+C ．5[2,22]4ln ln ++D ．[22ln -，2]【解析】解：由已知，得到方程22133x m ln x m lnx x x x +=+⇔=-+-在1[2，2]上有解．设2()3f x lnx x x =-+-，求导得：21231(21)(1)()32x x x x f x x x x x-+--'=-+-=-=-，122x ，令()0f x '=，解得12x =或1x =，当()0f x '>时，112x <<函数单调递增，当()0f x '<时，12x <<函数单调减，∴在1x =有唯一的极值点，15(224f ln =+ ，f （2）22ln =-+，()f x f =极大值（1）2=，且知f （2）1(2f <，故方程23m lnx x x =-+-在1[2，2]上有解等价于222ln m - ．从而m 的取值范围为[22ln -，2]．故选：D ．15．已知函数41()(0)2x f x x e x =+-<与4()()g x x ln x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A．(-∞B．(-∞C．(D．(【解析】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++，即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可，设12x y e -=-，()()h x ln x a =+，作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222x y e -=-=-=，当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12x y e -=-有交点，满足条件，当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<=，综上a <即实数a的取值范围是(-∞故选：A．16．已知函数22,0()5,04xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是34k <或1k >．【解析】解：函数3y kx =-关于直线2y =-的对称图象为1y kx =--，所以条件等价于函数()f x 与1y kx =--有且仅有2个不同的交点，当0x >，()2f x xlnx x =-，则令()10f x lnx '=-=，解得x e =，且当0x e <<，()f x 单调递减，当x e >，()f x 单调递增，作出函数()f x 与1y kx =--图象如图：当1y kx =--是2y xlnx x =-切线时，设切点0(x ，0)y ，则01lnx k -=-，且0000012y kx x lnx x =--=-，解得切点坐标为(1,2)-，1k -=-，根据图象可知1k -<-，则1k >；当1y kx =--是254y x x =+切线时，设切点0(x ，0)y ，则0524x k +=-，且20000514y x x kx =+=--，解得切点坐标为1(1,)4--，34k -=-，根据图象可知34k ->-，则34k <，综上，34k <或1k >，故答案为：34k <或1k >．17．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是1(2，1)．【解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩ 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =，故1AC k =-；设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +，322y x '=+，故2313222x x x x+++=，解得，1x =-；故31222AB k =-+=-，故112k -<-<-，即112k <<；故答案为1(2，1)．18．已知函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是[1，1]e e+．【解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=- ，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点，即2x ax lnx -=，1()x e e有解，即lnx a x x =-，1()x e e 有解，令lnx y x x =-，1()x e e，则221x lnxy x -+'=，当11x e< 时，0y '<，函数为减函数，当1x e < 时，0y '>，函数为增函数，故1x =时，函数取最小值1，由于当1x e =时，1y e e =+；当x e =时，1y e e=-；故当1x e =时，函数取最大值1e e+，故实数a 取值范围是[1，1]e e +，故答案为：[1，1]e e+．19．已知函数31()36f x x mx =-+，()54g x x lnx =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()([1g x x ∈，9])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为9832ln -+．【解析】解：因为31()36f x x mx =-+，所以21()2f x x m '=-．由题意知方程21()()5402f xg x x m x lnx '+=--+=在[1x ∈，9]上有解，等价于21542m x x lnx =-+在[1x ∈，9]上有解，令21()54([1,9])2h x x x lnx x =-+∈，则2454(1)(4)()5x x x x h x x x x x -+--'=-+==，当14x <<时，()0h x '<，当49x <<时，()0h x '>．所以函数()h x 在[1，4)上单调递减，在(4，9]上单调递增，所以h （1）h >（4），。

1专题09 利用图象求解函数零点问题【方法点拨】1.函数的零点就是函数图象与x 轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.2.利用图象法解决零点问题，分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线.3. 利用图象法解决零点问题时，作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确.【典型题示例】例1 （2020·天津·9）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2g x f x kx x =--（k R ∈）恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞【答案】D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；2当k 0<时，如图2，此时|2|ykx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.点评：本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.例2 （2020·江苏镇江三模·13）已知函数()2e 143,13xx f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩，，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】151e 0,,e 3⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭ 【解析】作()2e ,143,13x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩与2y k x =+图象，由243(2),0,2x x k x k x -+-=+>>-得2222(1)(44)430k x k x k ++-++= 由2222(44)4(1)(43)0k k k ∆=--++=得211501515k k k =>∴=， 对应图中分界线①;由(2),0,2y k x k x =+>>-过点(1,)e 得3ek =，对应图中分界线②；3当(2),0,2y k x k x =+>>-与x y e =相切于00(,)x x e 时，因为e xy '=，所以0001(2)01,x k e k x k x k e==+>∴=-=，对应图中分界线③；因为函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，所以实数k 的取值范围是151e 0,,15e 3⎛⎛⎤⎥ ⎝⎦⎝⎭ 故答案为：151e 0,,15e 3⎛⎛⎤⎥ ⎝⎦⎝⎭ 例3 （2020·江苏南通基地校一联考·14）已知函数与的零点分别为 和．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-【分析】将问题转化为函数y m =与函数1()1h x x x =--和1()ln 2e x x x =-交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.【解析】由2()(1)10f x x m x =-+-=，得11m x x=--， 对于函数1()1h x x x=--，在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减， 由()ln 220g x x x m =--=，得1ln 2m x x =-，对于1()ln 2e x x x =-，'112122x y x x -=-=得1ln 2y x x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，最大值为111ln 222-，其图像如图，2()(1)1f x x m x =-+-()ln 22g x x x m =--12x x ，34x x ，1324x x x x <<<m4令111ln 2x x x x --=-得(1,1)A -，要1324x x x x <<<，则直线y m =要在A 点下方， 1m ∴<-，∴实数的取值范围是(,1)-∞-．例4 （2020·江苏七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)三模·13）已知函数22(1), 0()2, 0k x f x x x k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(27，+∞)【解析】易知()()()g x f x f x =-+是偶函数，问题可转化为22(), 0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点. 分离函数得()21210x x k x=-+>，由图形易知k ＞0， 问题进一步转化为()21210y x y x k x==-+>、有两个交点问题.设两个函数图象的公切点为()0002,10x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭则0202000222110x x k x x k x ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪>⎪⎩，解得03x =， m5所以当200121x k x <-+时，即k ＞27时，上述两个函数图象有两个交点 综上所述，实数k 的取值范围是(27，+∞)．例5 （2020·江苏南通五月模拟·13）已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】2(,)4e -∞-【解析】2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，是偶函数，问题转化为2=0x e mx +，即2=x e mx -（0x >）有两个零点易知0m <，两边均为曲线，较难求解.两边取自然对数，()=ln 2ln x m x -+，即()ln 2ln x m x --= 问题即为：()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点先考察直线y x b =+与()2ln h x x =相切，即只有一点交点的“临界状态” 设切点为00(,2ln )x x ，则002()1h x x '==，解得02x =，此时切点为(2,2ln 2)代入2ln22b =-再求()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点时，m 的取值范围 由图象知，当()()ln g x x m =--在直线y x b =+下方时，满足题意 故()ln 2ln 22m b --<=-，解之得24e m <-，此时也符合0m <所以实数m 的取值范围是2(,)4e -∞-．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.例6 若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】 27(,)32-∞-⋃+∞(0,) 【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应6综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：3||2x kxx =+2||(2)x kx x x =+、3||(2)x k x x =+，31(2)x x k x +=，···，但利用31(2)x x k x +=【解析】易知0是函数3()2f x kx x =-+一个的零点，当x ≠0时，3()02f x kx x =-=+可化为31(2)x x k x +=，考虑1y k=与3(2)()x x g x x +=有且只有两个非零零点. 如下图，利用导数知识易得：min 432()()327g x g =-=-由图象得：321027k -<<或10k >，解之得： 2732k <-或0k >所以实数k 的取值范围为27(,)32-∞-⋃+∞(0,)． 例7 （2020·南通基地校第三次联考·14）已知函数24()ln(e1)x f x -=+，()2g x x a =+-．若关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()4ln 2,ln(e 1)2+-【分析】从结构上看，首先考虑“对化指”，方程24242ln(e1)2e1e0x x x a x a --+-+=+-⇔+-=，属于复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设242()e 1ex x a h x -+-=+-，x R ∈，则()h x 为偶函数，研究 “一半”， 令2ex t -=，x ＞0，则关于t 的方程2e 10at t -+=在(2e -，+∞)内有两个不相等的实根，分离参数，利用“形”立得. 【解析】方程24242()()ln(e 1)2e1e0x x x a f x g x x a --+-=⇔+=+-⇔+-=令242()e1ex x a h x -+-=+-，x R ∈，则显然()h x 为偶函数，211234567224681012f x () =x 3∙x + 2()xO7所以方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()e1e x x a h x -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2ex t -=，x ＞0，则关于t 的方程2e 10at t -+=，即1e at t=+在(2e -，+∞)内有两个不相等的实根，结合函数1y t t=+，2e t ->的图像，得222e e e a -<<+，即4ln 2ln(e 1)2a <<+-，则实数a 的取值范围是()4ln 2,ln(e 1)2+-．【巩固训练】1. 已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是____________.2. 已知函数22()(21)(31)(2)(2)x x f x a a e a x e x =---+++有四个零点，则实数a 的取值范围是__________．3. 已知e 为自然对数的底数，若方程|xlnx —ex +e |=mx 在区间[e1,e 2]上有三个不同实数根，则实数m 的取值范围是________. 4.已知关于x 的方程2x kx x =-有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是______.5．(2020·南通中学·二调)已知函数2()(1)2f x x a x =-+-有两个零点12,x x ，函数()ln 2g x x x a =--有两个零点34,x x ，满足1324x x x x <<<，则实数a 的取值范围为 ．6. （2020·江苏天一中学·12月考）已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.7.（2020·江苏徐州打靶卷·13）已知函数21,0()1,02x xx x x f x e e x x ⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩，()xg x me =（其中m8是非零实数），若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 .8.（2020·河北衡水中学八调）已知函数22()(21)(31)(2)(2)xx f x a a e a x e x =---+++有四个零点，则实数a 的取值范围是__________． A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B. 11,2e +⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭ D. 11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知函数3()f x x a a x=--+，，若关于的方程()2f x =有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数取值的集合为 ．a R ∈x a9【答案或提示】1.【答案】(,2ln 22]-∞-2.【答案】11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.【答案】12,2eee）【解析】方程两边同时除以x ，令()ln ef x x ex，问题转化为()y f x 与y m 的图象在区间[e1,e 2]上有三个交点. ∵221()e x ef x xx x， ∴当1(,)x e e时，()0f x ，()f x 减；当2(,)x e e 时，()0f x ，()f x 增.()10f e e e，()20f e e e作出()yf x 的图象，由图象知实数m 的取值范围是：12,2ee e）.4.【答案】102k <<1,02,0x x R x ⎧>⎪-⎪=⎪⎪⎩224651015f x () = ln x () e +e xO1105．【答案】(,2)-∞- 6.【答案】(0,1){2}-【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为y a =与函数22ln ,0()1,0e xx x k x x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩有两个不同的零点.7.【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛e 3,121,0【提示】转化为函数21,0()11,02xx x x e F x x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩与函数()G x m =的图象有且仅有两个交点最简.8.【答案】 D【提示】()(2)(21)(2)x xf x ae x a e x ⎡⎤⎡⎤=-+--+⎣⎦⎣⎦，根据对称性，只需考察1(2)x e x a =+有两个零点，得0a e <<，故有002121a ea e a a <<⎧⎪<-<⎨⎪≠-*⎩，前两者是保证两方程各自有两解，这里（*）易漏，它是保证两方程解不相同的. 9．【答案】953335⎧+⎪-⎨⎪⎪⎩⎭原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11。