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学习资料7。
2基本不等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1。
基本不等式：√ab≤a+b2(1)基本不等式成立的条件：。
（2)等号成立的条件:当且仅当时取等号。
（3)其中a+b2称为正数a，b的算术平均数,√ab称为正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x>0，y〉0，（1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x+y有最值是2√p（简记:积定和最小)。
（2）如果和x+y是定值s,那么当且仅当时，xy有最值是s 24（简记：和定积最大)。
(1）a2+b2≥2ab（a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤(a+b2)2（a,b∈R），当且仅当a=b时取等号.(3)a2+b22≥(a+b2)2(a，b∈R）,当且仅当a=b时取等号。
（4）ba +ab≥2(a，b∈R，且a,b同号)，当且仅当a=b时取等号。
考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”，错误的画“×”.(1）当a≥0,b≥0时，a+b2≥√ab.（）（2）两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥√ab成立的条件是相同的。
（）(3）函数y=x+1x的最小值是2.（）(4)函数f（x）=sin x+4sinx的最小值为2。
（）（5)x>0且y〉0是xy +yx≥2的充要条件。
()2.若a〉0，b〉0,ab=2,则a+2b的最小值为()A。
2√2B。
4 C。
4√2 D.63.(2020北京海淀期中，4）设a,b∈R，且a〈b〈0.则（）A。
1a <1bB。
ba>abC.a+b2>√ab D.ba+ab>24。
(2020山东淄博4月模拟,14)已知a，b∈R，且a—3b+6=0，则2a+18b的最小值为。
5。
(2020北京陈经纶中学摸底，14）设x>0,y〉0，x+2y=2，则xy的最大值为.关键能力学案突破考点利用基本不等式证明不等式【例1】(2020黑龙江哈尔滨香坊区期末）已知a〉0，b>0,c〉0,且a+b+c=1，求证：(1）1a+1b+1c≥9;（2)1a -11b-11c—1≥8。
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A 版第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 有□08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A.1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.故选C.3.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.322答案 B解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x(x <0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4(当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)， ∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2x ＋2y ＋4，即1x ＋2y ＋4≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8x ＋2y ＋4≥816＝12. 角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab·b a＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b＋3ba的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.触类旁通1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练 已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16ba －b的最小值为16.。
§7.4基本不等式及不等式的应用考纲解读20152.分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案84.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 45.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .答案-15.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案306.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.教师用书专用(10)10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一基本不等式1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为.答案[-2,-1)4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为. 答案55考点二不等式的综合应用5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则的最大值为.答案7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是.答案28. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )A. B.3 C.1 D.2答案 A二、填空题3.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知实数x,y满足则z=y+2x的最小值为;当实数u,v满足u2+v2=1时,ω=ux+vy的最大值为.答案;25.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式≥恒成立的k的最大值为.答案26.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.答案9-327.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为.答案 3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,15)已知x>0,y>0,x y=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是.答案[-4,2]方法2 不等式综合应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知正实数x,y满足x++2y+=6,则xy的取值范围为.答案。
§7.4 基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y ，即x ＝12，y ＝1时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)已知函数f (x )＝－x2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4. 命题点2 常数代换法例2若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋22B ．3＋ 2C ．2＋22D ．3 答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选A.命题点3 消元法例3已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 方法一 (换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y 1＋y1＋y＝9＋3y 21＋y＝31＋y2－61＋y ＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥231＋y ·121＋y－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练 1 (1)(2019·某某)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________． 答案 4 3 解析x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy ≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.(2)(2019·某某模拟)已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为________． 答案 2＋2 2解析 ∵P (a ，b )在x ＋y ＋c ＝2上，∴a ＋b ＋c ＝2，a ＋b ＝2－c >0， 4a ＋b ＋a ＋b c ＝42－c ＋2－c c ＝42－c ＋2c－1， 设⎩⎪⎨⎪⎧2－c ＝m ，c ＝n ，则m ＋n ＝2，42－c ＋2c ＝4m ＋2n ＝m ＋n 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋2n ＝3＋2n m ＋mn≥3＋22n m ×mn＝3＋22，当且仅当m 2＝2n 2，即c ＝22－2时，等号成立， ∴42－c ＋2c－1≥3＋22－1＝2＋22， 即4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2. 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n 1＋n 2，所以S n ＋8a n＝n 1＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号，所以S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值X 围例5已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或X 围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或X 围．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab的最小值是( )A ．10B ．9C ．8D ．3 2 答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋bab的最小值为9，故选B.(2)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53 答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b＋b8b＝168＋2b 2＋b28＝84＋b 2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.基本不等式的实际应用例6 (1)(2017·某某)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．(2)某人准备在一块占地面积为1800m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．答案 1568解析 由题意可得xy ＝1800，b ＝2a ，x >3，y >3， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y ＝1808－3x －83×1800x＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x ≤1808－23x ×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x ＝4800x，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1568.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m 3，深度为3m ．如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m. 答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为48003x m ，由题意可得水池总造价f (x )＝150×48003＋120⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3x ＋2×3×48003x ＝240000＋720⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1600x (x >0)，则f (x )＝720⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1600x ＋240000 ≥720×2x ·1600x＋240000＝720×2×40＋240000＝297600，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297600，此时另一边的长度为48003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160m.1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．(2019·潍坊模拟)“a ＝2”是“∀x >0，x ＋1x≥a 成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵∀x >0时，x ＋1x≥2，∴“∀x >0，x ＋1x≥a ”等价于a ≤2，而a ＝2可推出a ≤2，a ≤2不能推出a ＝2，所以“a ＝2”是“∀x >0，x ＋1x≥a ”成立的充分不必要条件．故选A.3．(2019·如皋期末)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 B解析 实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <23，∴x ＝4y ＋6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，y >0，则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47时取等号．∴4x ＋1y的最小值为8.4．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8B ．6 C ．4D ．2 答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.5．已知函数f (x )＝e x在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a＋2－b的最小值是( ) A ．4B ．2 C ．22D. 2 答案 D解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1， k ＝f ′(0)＝e 0＝1.∴切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0， ∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1， ∴2a＋2－b≥22a ·2－b ＝22a －b＝22－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号，故选D.6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝a －b24＋a ＋b24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·1＋y ＝6，当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即x ＝4，y ＝2时，等号成立． 8．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 9．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立)， ∴a ≥ 3.10．(2017·某某)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B ＋2sin C cos A ＝0，求△ABC 面积的最大值．解 由正弦定理得，b ＋2c cos A ＝0，由余弦定理得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即2b 2＝a 2－c 2，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－a 2－c 222ac ＝a 2＋3c 24ac≥23ac 4ac ＝32， 当且仅当c 2＝433，b 2＝433，a 2＝43时取等号，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6，∴0<sin B ≤12， 则S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×12＝1，∴△ABC 面积的最大值为1. 12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.当且仅当x ＝1010－203，y ＝20－4103时，等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.13．在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立．14．(2019·师X 大学附属中学模拟)已知a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 都是正数． (1)求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32； (2)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式－x 2＋mx ＋2≤a 2＋b 2＋c 2对所有满足题设条件的正实数a ，b ，c 恒成立？如果存在，求出m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由． (1)证明 因为a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 都是正数， 所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝16[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝16⎣⎢⎡ 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c c ＋a ＋c ＋a b ＋c ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b c ＋a ＋a ＋c a ＋b ≥16(3＋2＋2＋2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号， 所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32得证． (2)解 因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)， 因此a 2＋b 2＋c 2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号)， 所以(a 2＋b 2＋c 2)min ＝3，由题意得－x 2＋mx ＋2≤3恒成立， 即得x 2－mx ＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m 2－4≤0⇒－2≤m ≤2. 故存在实数m ∈[－2,2]使不等式成立．15．已知a >b >0，那么a 2＋1ba －b的最小值为________． 答案 4解析 由a >b >0，得a －b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，∴a 2＋1ba －b ≥a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当b ＝a －b ，且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1ba －b的最小值为4. 16．已知P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点，过点P 作圆(x ＋1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA →·PB →的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，569 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－3，569 D.[)22－3，＋∞答案 C解析 如图，由题意设∠APB ＝2θ， 则|PA |＝|PB |＝1tan θ，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos2θ ＝1tan 2θ·cos2θ＝1＋cos2θ1－cos2θ·cos2θ， 设cos2θ＝t ，则PA →·PB →＝t 1＋t 1－t ＝(1－t )＋21－t －3≥21－t ·21－t－3＝22－3，当且仅当1－t ＝21－t ，即t ＝1－2时等号成立，此时cos2θ＝1－ 2.又当点P 在椭圆的右顶点时，sin θ＝13，∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝79，此时PA →·PB →最大，且最大值为1＋791－79×79＝569.∴PA →·PB →的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－3，569.故选C.。
第4讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2，2] B.[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．R 解析：选C .当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C .(教材习题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B.77 C ．81D ．82解析：选C .18＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤9，即xy ≤81. 若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．解析：因为xy ＝1，所以y ＝1x ，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝22.即x 2＋2y 2的最小值为22. 答案：2 2 若f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝________． 解析：f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立，所以a ＝3. 答案：3利用基本不等式求最值(高频考点) [学生用书P114]利用基本不等式求最值是高考考查的重点，很少单独命题，常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查，主要命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值； (2)通过常数代换法利用基本不等式求最值； (3)通过消元法利用基本不等式求最值．[典例引领]角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立． 【答案】 (1)23(2)1 (3)23＋2角度二 通过常数代换法利用基本不等式求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立． 【答案】 41.若本例条件不变，求⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值． 解：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．2．若将本例条件改为a ＋2b ＝3，如何求解1a ＋1b 的最小值．解：因为a ＋2b ＝3， 所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．角度三 通过消元法利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y 时， 即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6(1)利用基本不等式求最值的两种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． (2)条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．[注意] (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[通关练习]1．已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0， 且x ＋y ＝1，所以8x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18， 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.答案：182．若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为函数g (x )＝x ＋1x ＋1－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 3．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 解析：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， 所以3x ＋4y 的最小值是5. 答案：5利用基本不等式解决实际问题 [学生用书P115][典例引领]某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【解】 (1)由题意知， 当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[通关练习]经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 解：(1)W (t )＝f (t )g (t ) ＝⎝⎛⎭⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20.559＋140t －4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1，20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20，30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1，30]时，W (t )的最小值为441万元．基本不等式的综合应用(高频考点)[学生用书P116]基本不等式的综合应用也是高考考查的重点，多为选择题或填空题，难度适中，主要命题角度有：(1)与其他知识交汇的最值问题； (2)求参数值或最值范围．[典例引领]角度一 与其他知识交汇的最值问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9 B.8 C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0， 即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ， 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2， 所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)A (2)92角度二 求参数值或最值范围(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．(2)不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为x >0，a >0， 所以f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ， 当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.(2)根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·ba＝2， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)． 【答案】 (1)36 (2)(－2，1)求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[通关练习]1．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．3 B.4 C ．6D ．8解析：选B .(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4.2．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋2xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：2基本不等式转化的功能基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．基本不等式的应用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．(3)对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b > 0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a >0，b >0)．变形有ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．应用基本不等式解题时应注意3点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．[学生用书P295(单独成册)]1．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1 B.最大值1 C ．最小值2D ．最大值2解析：选B .f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D .1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C .对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对选项D ，因为x 2＋1≥1， 所以0<1x 2＋1≤1.故选C .3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R <P <Q B.Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q解析：选C .因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .因为a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ， 所以R >Q ，所以P <Q <R ，故选C .4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1 B.2 C ．3D ．4解析：选A .因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1. 5．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A .L 28 B.L 24 C .L 22D ．L 2解析：选A .设菜园的长为x ，宽为y ， 则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ， 因为x ＋2y ≥22xy . 所以xy ≤（x ＋2y ）28＝L 28.当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L4时，S max ＝L 28，故选A .6．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：837．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________．解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：38．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：因为2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.答案：(－∞，－2]9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0，所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.1．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9B.92C ．4D ．52解析：选B .将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B .2．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1 B.94 C ．9D ．16解析：选B .1a ＋1＋4b ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1 ≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1 ＝94， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，故选B .3．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 解析：设a ＋1＝m ，b ＋3＝n ，则m ，n 均大于零， 因为m 2＋n 2≥2mn ， 所以2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 所以m ＋n ≤2·m 2＋n 2， 所以a ＋1＋b ＋3 ≤2·a ＋1＋b ＋3 ＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3， 即a ＝72，b ＝32时“＝”成立，所以所求最大值为32. 答案：3 24．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >1，b >2)的最大值为5，则1a －1＋4b －2的最小值为________． 解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x －y －2＝0，解得A (1，1)．由z ＝ax ＋by (a >1，b >2)，得y ＝－a b x ＋zb ，由图可知，z max ＝a ＋b ＝5. 可得a －1＋b －2＝2.所以1a －1＋4b －2＝12⎝⎛⎭⎫1a －1＋4b －2(a －1＋b －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋b －2a －1＋4（a －1）b －2 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2b －2a －1×4（a －1）b －2＝92. 当且仅当b ＝2a 时等号成立，并且a ＋b ＝5，a >1，b >2即a ＝53，b ＝103时上式等号成立．所以1a －1＋4b －2的最小值为92.答案：925．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0， 所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6．某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)． 令y ＞0，即30n －n 2－81＞0， 所以n 2－30n ＋81＜0，解得3＜n ＜27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －（81＋n 2）n ＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。
7.4 基本不等式及其应用考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b的__________．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．3．几个常用的不等式(1)a 2＋b 2__________2ab (a ，b ∈R )．(2)ab __________⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22__________a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0)．(5)b a ＋ab≥2(a ，b 同号且不为0)．1．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y的最小值是( )．A ．4B ．8C ．2 2D ．422．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x ＞－1)的图象最低点的坐标是( )．A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )．A ．40B ．10C ．4D ．24．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[0，＋∞) D．[2,4]5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．一、利用基本不等式证明不等式【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.方法提炼利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．请做演练巩固提升5二、利用基本不等式求最值【例2－1】(2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )．A ．245B ．285C ．5D ．6【例2－2】(1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值；(2)求4a －2＋a 的取值范围；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．方法提炼1．在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．3．为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．请做演练巩固提升3,4三、基本不等式的实际应用【例3－1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【例3－2】要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．方法提炼基本不等式实际应用题的特点：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．请做演练巩固提升2忽视题目的隐含条件致误【典例】在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．解析：由题意可知f (x )＝2x的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，由两点间距离公式可得|PQ |＝x ＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋2x 2＝2x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4， 等号当且仅当x 2＝2，即x ＝±2时取得． 答案：4答题指导：1．在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2x联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解．2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．1．设M 是△ABC 内一点，且S △ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )．A ．8B ．9C ．16D ．182．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n的最小值等于( )．A ．16B ．12C ．9D ．84．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是( )．A ．4B ．5C ．6D ．85．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab＋bc ＋ac .参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均数 几何平均数 2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大S 243．(1)≥ (2)≤ (3)≤ 基础自测1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y ＝2·24＝8，当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x ＋4y的最小值为8.2．D 解析：y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立．3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”)∴4xy ≤40.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. ∴lg x ＋lg y 的最大值为2.4．B 解析：∵x ＋1x －2≥a 恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．∵x ＞2，∴x －2＞0.∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4，令水池表面的总造价为y ，则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760， 当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”．考点探究突破【例1】 证明：由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab. 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝2 2.当且仅当2ab＝ab 时等号成立．所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．【例2－1】 C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【例2－2】 解：(1)∵0＜x ＜2， ∴2－x ＞0.∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2. (2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ≥24a －2·(a －2)＋2＝6，当且仅当4a －2＝a －2，即a ＝4时取等号；当a ＜2时，a －2＜0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－a ＋(2－a )＋2 ≤－242－a ·(2－a )＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a ，即a ＝0时取等号，∴4a －2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y (x ＋y )＝7＋3y x ＋4xy≥7＋23y x ·4x y＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy，即2x ＝3y 时等号成立，∴3x ＋4y的最小值为7＋4 3.【例3－1】 解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x ＞0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． 【例3－2】 解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝20 000，∴b ＝20 000a.广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)， 广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎪⎫a ＋40 000a＋60 600 ≥30×2a ×40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600， 当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100.故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小．演练巩固提升 1．D2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为800x元，仓储费用为x8元，从而费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20.当800x ＝x8，即x ＝80时等号成立．3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m＋2n (2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4mn ＝8，当n m ＝4m n ，即n 2＝4m 2，即n ＝2m ， 即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2n取得最小值8.4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，t ＝t (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2y x ·xy＝5， 当x ＝y ＝12时，t 取得最小值5.5．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2.由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )． ∴13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．。
高三数学一轮复习七不等式推理与证明四节基本不等式及其应用第四节基本不等式及其应用点击考纲了解基本不等式的证明过程．会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题关注热点主要考查不等式的应用和不等式的证明．对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现难度为中低档题若出现证明题难度也不会太大．基本不等式eqr(ab)提示：①当a＝b时eqf(a＋b,)≥eqr(ab)取等号即a＝b⇒eqf(a＋b,)＝eqr(ab)②仅当a＝b时eqf(a＋b,)≥eqr(ab)取等号即eqf(a＋b,)＝eqr(ab)⇒a＝b解析：选项A、B、C中不能保证eqf(b,a)、eqf(a,b)为正．．算术平均数与几何平均数设ab则ab的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为：两个正数的不小于其．算术平均数几何平均数．已知f(x)＝x＋eqf(,x)－(x)则f(x)有()A．最大值为B．最小值为C．最大值为D．最小值为解析：∵x ∴f(x)＝x＋eqf(,x)－≥eqr(x·f(,x))－＝当且仅当x＝eqf(,x)即x＝时“＝”成立．．利用基本不等式求最值问题已知xy则：()如果积xy 是定值P那么当且仅当时x＋y有值是(简记：积定和最小)．()如果和x＋y是定值P那么当且仅当时xy有值是(简记：和定积最大)．x＝y 最小x＝y最大．在利用基本不等式求最值时应注意哪些方面？提示：利用基本不等式求最值时一定要注意“一正、二定、三相等”．“一正”即公式中a、b必须是正数“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)“三相等”即公式中的等号必须成立必要时要合理拆分项或配凑因式以满足上述三个条件．．如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？．若abP＝eqr(lga·lgb)Q＝eqf(,)(lga＋lgb)R＝lgeqf(a＋b,)则PQR的大小关系为．答案：D解析：∵ab∴eqf(a＋b,)eqr(ab)∴lgeqf(a ＋b,)eqf(,)(lga＋lgb)又∵eqf(,)(lga＋lgb)eqr(lga·lgb)∴RQP解析：由x＋y＋x＋y＋＝得(x＋)＋(y＋)＝∴该圆的圆心坐标为(－－)∴－a－b＋＝即a＋b＝∴eqf(,a)＋eqf(,b)＝eqf(b＋a,ab)＝eqf(,ab)由＝a＋b≥eqr(ab)＝eqr(ab)得ab≤eqf(,)∴eqf(,ab)≥∴eqf(,a)＋eqf(,b)的最小值为答案：B()设x求函数y＝eqr(x－x)的最大值．()求eqf(,a－)＋a 的取值范围．()已知xy且x＋y＝求eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值．【思路导引】eqx(消元转化)→eqx(构造和或积为定值)→eqx(利用基本不等式求最值)→eqx(确定取得最值的条件)【解析】()∵x∴－x∴y＝eqr(x－x)＝eqr()·eqr(x－x)≤eqr()·eqf(x＋－x,)＝eqr()当且仅当x＝－x即x＝时取等号∴当x＝时函数y＝eqr(x－x)的最大值是eqr()答案：C()显然a≠当a时a－∴eqf(,a－)＋a＝eqf(,a －)＋(a－)＋≥eqr(f(,a－)·a－)＋＝当且仅当eqf(,a－)＝a－即a ＝时取等号答案：RQP当a时a－∴eqf(,a－)＋a＝eqf(,a－)＋(a－)＋＝－eqf(,－a)＋(－a)＋≤－eqr(f(,－a)·－a)＋＝－当且仅当eqf(,－a)＝－a即a＝时取等号∴eqf(,a－)＋a的取值范围是(－∞－∪＋∞)．()∵xy且x＋y＝∴eqf(,x)＋eqf(,y)＝(eqf(,x)＋eqf(,y))(x＋y)＝＋eqf(y,x)＋eqf(x,y)≥＋eqr(f(y,x)·f(x,y))＝＋eqr()当且仅当eqf(y,x)＝eqf(x,y)即x＝eqr()y时等号成立∴eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值为＋eqr()答案：．()已知x求x＋eqf(,x－)的最小值()已知xy且x＋y＝求eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值．()∵xyx＋y＝∴eqf(,x)＋eqf(,y)＝(x＋y)(eqf(,x)＋eqf(,y))＝＋eqf(y,x)＋eqf(x,y)≥＋eqr(f(y,x)·f(x,y))＝当且仅当eqf(y,x)＝eqf(x,y)时等号成立由eqblc{rc(avsalco(x＋y＝,f(y,x)＝f(x,y)))得eqblc{rc(avsalco(x＝f(,),y＝f(,)))∴当x＝eqf(,)y＝eqf(,)时取等号所以eqf(,x)＋eqf(,y)的最小值为【解析】()∵abc且a＋b＋c＝∴eqf(,a)－＝eqf(－a,a)＝eqf(b＋c,a)＝eqf(b,a)＋eqf(c,a)≥eqf(r(bc),a)eqf(,b)－＝eqf(－b,b)＝eqf(a＋c,b)＝eqf(a,b)＋eqf(c,b)≥eqf(r(ac),b)eqf(,c)－＝eqf(－c,c)＝eqf(a＋b,c)＝eqf(a,c)＋eqf(b,c)≥eqf(r(ab),c)∴(eqf(,a)－)(eqf(,b)－)(eqf(,c)－)≥eqf(r(abc),abc)＝(当且仅当a＝b＝c＝eqf(,)时等号成立)．()eqf(,a)＋eqf(,b)＋eqf(,c)＝eqf(a＋b＋c,a)＋eqf(a＋b＋c,b)＋eqf(a＋b＋c,c)＝＋(eqf(b,a)＋eqf(a,b))＋(eqf(c,a)＋eqf(a,c))＋(eqf(c,b)＋eqf(b,c))≥＋·eqr(f(b,a)·f(a,b))＋·eqr(f(c,a)·f(a,c))＋·eqr(f(c,b)·f(b,c))＝＋＋＋＝当且仅当a＝b＝c＝eqf(,)时取等号．【方法探究】()利用基本不等式证明不等式问题时要创设运用基本不等式的条件合理拆分项或配凑因式而拆与凑的目的在于使等号能够成立．()证明不等式除合理选择基本不等式之外还经常用其变形和拓展的不等式：如eqf(ab,a＋b)≤eqr(ab)≤eqf(a＋b,)≤eqr(f(a＋b,))(ab)．()“”的巧妙代换在不等式证明中经常用到也会给解决问题提供简捷的方法．．已知a、b、c都是实数求证：a＋b＋c≥eqf(,)(a＋b＋c)≥ab＋bc＋ca将以上三个不等式相加得(a＋b＋c)≥(ab＋bc＋ca)①即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca②在不等式①的两边同时加上“a＋b＋c”得(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)即a＋b＋c≥eqf(,)(a＋b＋c)③在不等式②的两边同时加上“(ab＋bc＋ca)”得(a＋b＋c)≥(ab＋bc＋ca)即eqf(,)(a＋b＋c)≥ab＋bc＋ca④由③④得a＋b＋c≥eqf(,)(a＋b＋c)≥ab＋bc ＋ca【方法探究】()在应用基本不等式求最值时要把握三个方面即“一正各项都是正数二定和或积为定值三相等等号能取得”这三个方面缺一不可。
7.4 基本不等式及其应用『考纲要求』1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．『复习指导』1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．『基础梳理』1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥ (a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 ． 4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是p 24.(简记：和定积最大) 『助学微博』一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 『考向探究』考向一 利用基本不等式求最值『例1』(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．『训练1』 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式『例2』►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c .『训练2』 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题『例3』若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．『训练3』已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向四利用基本不等式解实际问题『例4』某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？『训练4』东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？答案『基础梳理』1．(1) a ＞0，b ＞0 (2) a ＝b 2．(1)2ab (2) 23．两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．(1) x ＝y 小 (2) x ＝y 大『例1』『审题视点』 第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．『解析』 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 『答案』(1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．『训练1』『解析』 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号． (2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0， ∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y＝18， 当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.『答案』(1)3 (2)15(3)18『例2』 『审题视点』 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．『训练2』证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．『例3』『审题视点』 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可． 『解析』 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞『答案』⎣⎡⎭⎫15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．『训练3』『解析』 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.『答案』10『例4』『审题视点』 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．『训练4』解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。
