人教版八年级上册第一学期数学期末专题复习卷三 勾股定理与平方根-精品推荐

第一学期期末考试八年级数学优质好题精选专题1 勾股定理一、单选题1．（江苏省无锡市锡东片2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题）下列各组数中，是勾股数的是（ ）A. 12，15，18B. 12，35，36C. 2，3，4D. 5，12，132．（新人教版数学九年级上册第二十三章旋转23.1《图形的旋转》）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）A. 1-3B. 1-4C. 12D. 33．（北师大版八年级数学上册《1.3 勾股定理的应用》同步检测）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）4．（浙江省金华市兰溪二中2017-2018学年上学期期中考试八年级学试卷）在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 75．（江苏省江阴初级中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用，y 表示直角三角形的两直角边（＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A. 2+y2=81B. +y=13C. 2y+16=81D. －y=426．（北师大版八年级数学上册《1.3 勾股定理的应用》同步检测）如图，带阴影的长方形面积是（）A. 9 cm2B. 24 cm2C. 45 cm2D. 51 cm27．（2017年秋北师大版八年级数学上册精品专题习题）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )【A. 9B. 36C. 27D. 348．（江苏省东台市第四教育联盟2017-2018学年八年级上学期第二次质量检测（12月月考）数学试题）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）9．（陕西省西安市陕师大附中2017-2018学年度第一学期八年级数学第一阶段模拟测试题）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。

勾股定理复习题班级________姓名________一、方程思想1. (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，a：c=15：17，则Rt△ABC面积为.(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c-a=4，b=16，则a= ，c= .(4) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．(5) 一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为.(6) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.二、分类讨论思想x1．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．三、类比思想1．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你、S2、S3之间的关系并加以证明．确定S四、整体思想在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．五、数形结合思想1．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？*2．如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x .(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.六、转化思想有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 的正上方B 点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐的底面圆的周长是12m ，高AB 是5m ）七、其它1．如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 2．如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c3．如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC 、△A ’B ’C ’、△A ’’B ’’C ’’三个三角形中，直角三角形有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 以上都不对4．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其 中能构成直角三角形的有____________．(填序号)5．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 6．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______， AB 边上的高CD ＝______． 7．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．8. 如图4，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图5所示的“数学风车”，则这个风车的外 围周长是__________；9. 如图6，已知正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；正方形A 1B 1C 1D 1各边长按原法延长一倍 得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图7）；以此下去...，则正方形A 4B 4C 4D 4 的面积为 ，正方形A n B n C n D n 的面积为 .图5ABC图4B CPMBCA10. 如图14，D 是BC 边上的点，DC 的长.11、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．12、 如图15，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．13. 如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP +=．AB DC 图3CBA DEF14、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

创作；朱本晓勾股定理与平方根根本概念㈠、勾股定理：1．勾股定理 2．勾股定理的逆定理 ㈡、平方根 立方根：1．平方根 方 2．算术平方根 3．立方根 ㈢、实数：1．无理数 2．实数的分类㈣、近似数与有效数字：1．近似数 2.有效数字 一、选择题 1、实数-1.732，2π，722，34…，01.0-中，无理数的个数有〔 〕. A.2个 B. 3个 C.4个 D.5个 2、有以下四个说法：①1的算术平方根是1，②81的立方根是±21，③-27没有立方根，④互为相反数的两数的立方根互为相反数，其中正确的选项是〔 〕.A .①②B .①③C .①④D .②④ 3、以下语句中正确的选项是〔 〕A 、9的平方根是－3B 、－5是－25的平方根C 、－12是144的平方根D 、()23-的平方根是－34、三角形的三条边分别为22b a +、22b a -、２ab ，那么这个三角形是〔 〕A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、不能确定5、有以下几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：〔〕Ａ、４组Ｂ、３组Ｃ、２组Ｄ、１组46、如图，假设数轴上的点A，B，C，D表示数-2，1，2，3，那么表示7的点P应在线段〔〕创作；朱本晓创作；朱本晓A ．线段AB 上；B ．线段BC 上；C ．线段CD 上；D ．线段OB 上7、 如图小方格都是边长为1的正方形,那么四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 98、，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，那么△ABE 的面积为〔 〕 A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 29、，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，分开港口2小时后，那么两船相距〔 〕 A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里二、填空题10×105准确到 位，有 个有效数字。

平方根一、基础·巩固·达标1.计算：16的算术平方根是_____，16的平方根是_____，（－4）2的算术平方根是_____． 2.要到玻璃店买一块面积为1．21 m 2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为_____ cm ．3.若2-x +|y+3|=0，则x=_____,y=_____．4.某数的绝对值的算术平方根等于它本身，这个数是（ ）A ．－1或1B ．1或0C ．－1或0D ．1，－1或05.一个面积为64平方米的正方形展厅，它的边长是（ ）A ．8米B ．±8米C ．4米D ．±４米6.如果一个数的两个不同的平方根是a+3与2a －15，那么这个数是多少？二、综合·应用·创新7.要做一个2平方米的正方形桌面，它的边长为________米.8.一个自然数的一个平方根是m ，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ） A.m+1 B.±m +1 C.±1+m D.±12+m9.已知43-++b a =0，求22b a +的值.10、某地打算新建一片40 000平方米的绿地，要建成一个长为宽的2倍的长方形，那么这片绿地的长与宽大约为多少（精确到0.01米）？11、 16的平方根是（ ）A.4B.±4C.－4D.±812、 “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是5”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）Ａ．代入法 Ｂ．换元法Ｃ．数形结合的思想方法 Ｄ．分类讨论的思想方法参考答案一、基础·巩固·达标1.计算：16的算术平方根是_____，16的平方根是_____，（－4）2的算术平方根是_____．解析：根据算术平方根、平方根的意义解答．答案：4 ±2 42.要到玻璃店买一块面积为1．21 m 2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为_____ cm ． 解析：根据正方形的面积公式知道,正方形的边长应等于面积的算术平方根．答案：21.1=1．13.若2-x +|y+3|=0，则x=_____,y=_____．解析：2-x ≥0,|y+3|≥0，即它们都是非负数，而它们的和等于0,所以x －2=0,|y+3|=0，即2-x =0,y+3=0，从而求出x 、y ．答案：2 －34.某数的绝对值的算术平方根等于它本身，这个数是（ ）A ．－1或1B ．1或0C ．－1或0D ．1，－1或0解析：绝对值的算术平方根等于它本身的数有两个：1和0．答案：B5.一个面积为64平方米的正方形展厅，它的边长是（ ）A ．8米B ．±8米C ．4米D ．±４米解析：根据面积公式以及问题的实际意义知，正方形的边长应等于面积的算术平方根． 答案：A6.如果一个数的两个不同的平方根是a+3与2a －15，那么这个数是多少？解析：由平方根的意义知，a+3与2a －15互为相反数．答案：由题意有a+3+(2a －15)=0，a=4，所以这个数是(a+3)2=72=49．二、综合·应用·创新7.要做一个2平方米的正方形桌面，它的边长为________米.解析：由于正方形桌面的边长为正数，因此本题求正方形的边长实际上就是求2的算术平方根. 答案：28.一个自然数的一个平方根是m ，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ） A.m+1 B.±m +1 C.±1+m D.±12+m 思路分析：∵一个自然数的一个平方根是m ，那么它的另一个平方根为－m.∴这个自然数为(±m)2=m 2，∴紧跟在它后面的自然数为m 2+1. ∵(12+m )2=m 2+1,(12+-m )2=m 2+1, ∴紧跟在它后面的一个自然数平方根为±12+m .答案：D9.已知43-++b a =0，求22b a +的值.解析：本题是关于非负数与算术平方根、方程组的一个小型综合题.求解时，应先由非负数的性质得出方程组，求出解以后，再求出代数式的值，最后求代数式的值的算术平方根. 答案：由已知得：3+a ≥0，4-b ≥0,所以⎩⎨⎧=-=+,04,03b a 解得⎩⎨⎧=-=.4,3b a 则a 2+b 2=（－3）2+42=25, 2522=+b a =5.10、某地打算新建一片40 000平方米的绿地，要建成一个长为宽的2倍的长方形，那么这片绿地的长与宽大约为多少（精确到0.01米）？答案：设这片绿地的宽为x 米，则长为2x 米，由题意得：2x·x=40 000，即x 2=20 000，x=20000， 用计算器求得，20000≈141.24（米），则2x=282.84（米）.11、 16的平方根是（ ）A.4B.±4C.－4D.±8解析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.即（±4）2=16.答案：B12、 “数轴上的点并不都表示有理数，如图10－1－2中数轴上的点P 所表示的数是5”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）图10－1－2Ａ．代入法 Ｂ．换元法Ｃ．数形结合的思想方法 Ｄ．分类讨论的思想方法解析：本题考查的是用图形表示无理数的一种方法，体现了数轴和无理数之间的数形结合. 答案：C。

初二上册数学人教版平方根练习题在初二上学期的数学课程中，学生将接触到平方根的概念和相关的练习题。

平方根作为数学中的基础知识点，对学生的数学学习和应用能力有着重要的影响。

接下来，我们来练习一些初二上册数学人教版的平方根练习题，通过这些题目的练习，巩固我们对平方根的理解和运用能力。

1. 计算下列各题的平方根：a) √16b) √25c) √36d) √49e) √64f) √81g) √1002. 将下列各题化简，并求出结果：a) √4 × √9b) √5 × √20c) √18 ×√2d) √16 × √64e) √81 ÷ √9f) √32 ÷ √8g) √144 ÷ √123. 用适当的数字填空：a) √ (20 × 25) = √(____ × ____)b) √(15 × 10) = √(____ × ____)c) √(12 × 18) = √(____ × ____)d) √(16 × 64) = √(____ × ____)e) √(9 ÷ 3) = √(__ ÷ __)f) √(25 ÷ 5) = √(__ ÷ __)g) 9 × √(64 ÷ 4) = ____ × √(__ ÷ __)4. 按要求计算：a) 计算√36 + √49 - √16b) 计算√81 - √9 + √64c) 计算√(4 × 9) - √(16 ÷ 4) + √(81 ÷ 9)d) 计算√(25 × 5) + √(100 ÷ 10) - √(16 + 64)以上是一些初二上册数学人教版的平方根练习题，通过这些题目的练习，我们能够巩固和提升自己对平方根的理解和运用能力。

八年级数学上册期末复习：平方根及平方
根方程练习题
练题一：平方根
1.计算以下数的平方根：
a) 25
b) 81
c) 144
d) 169
2.判断以下数是否为完全平方数：
a) 36
b) 45
c) 64
d) 100
3.若一个数的平方根是8，那么这个数是多少？
4.通过在等式两边同时取平方根，解以下方程：
a) x^2 = 49
b) 2x - 5 = 7
练题二：平方根方程
1.求解以下方程：
a) x^2 - 9 = 0
b) 3x^2 + 12x + 8 = 0
2.解方程 2x^2 - 7x - 3 = 0 的根。

3.计算以下表达式的值：
a) √(16) + √(9)
b) 4√(64) - 2√(16)
4.用因式分解法解方程 (x - 3)(x + 5) = 0.
5.解方程 x^2 + 2x - 3 = 0，并判断其根是否是整数。

练题三：综合题
1.解方程 x^2 + 3x + 2 = 0，并判断其根是否是负数。

2.若 x^2 - bx + c = 0 的两个根分别是 2 和 -3，求 b 和 c 的值。

3.解方程 x^2 - 7x + 10 = 0，并求其根的和与积。

4.解方程 x^2 + 5x = -6，并求其根的差的倒数。

以上是八年级数学上册期末复习的平方根及平方根方程练习题。

希望对你的学习有所帮助！。

勾股定理与平方根制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题(每一小题3分，一共24分)1．1．假如一个数的平方根与这个数的立方根相等，那么这个数等于〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕0或者1 〔D 〕－1 2．以下各组数中，互为相反数的一组是( )A ．－2B ．－2与C ．－2与12- D ．2-与－23．以下几组数中,不能作为直角三角形三边长度的是〔 〕 〔A 〕a=7, b=24, c=25〔B 〕 a=1.5, b=2, c=2.5〔C 〕 a=32, b=2, c=45〔D 〕 a=15, b=8, c=174．△ABC 在以下条件下不是直角三角形的是 ( ) A ．b 2=a 2－c 2B ．a 2：b 2：c 2=1：2：3 C ．∠A=∠B －∠C D ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：5 5．一个三角形的三边的长分别是3、4、5，那么这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．103 C ．52 D ．1256．假设一个直角三角形的一条直角边长为7 cm ，另一条直角边比斜边短1 cm ，那么斜边长为( ) A ．18 cm B ．20 cm C ．24 cm D ．25 cm7．三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，那么这个三角形是 ( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 8．一架25 m 的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7 m ，假如梯子顶部下滑4 m ，那么梯子底部滑动的间隔 是 ( ) A ．2 m B ．4 m C ．6 m D ．8 m 二、填空题(每空2分，一共34分) 9．(1)()25- =_________；64的算术平方根是______；144的平方根是10．3x －9的平方根是0，那么x= ；5+2y 的立方根是－3，那么y= ． 11()2628100a b c -+-+-=，那么以a 、b 、c 为边的三角形是_______． 12．__________的平方根和算术平方根相等；________的倒数和立方根相等． 13．直角三角形的两边分别为2和4，那么第三边长为________．14．以下图中所示的线段的长度或者正方形的面积为多少?(注：以下各图中的三角形均为直角三角形)答：A=_______，y=_________，B=________．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为10 cm 2，那么正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为________．16．假如2m －1和5－m 是一个数a 的两个平方根，那么m= ，a= ．17．如图，圆柱高8 cm ，底面半径2 cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行最短路程(π取3)是_______cm ．18．一个正方体的体积是棱长为 3 cm 的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是_______cm 三、解答题(一共72分)19．(6分)8110a b +++=，求3100a b +的值．21．(9分)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ．(1)图中直角三角形有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(2)假设AD=12，AC=13那么CD=________．(3)假设CD2=AD·DB，求证：△ABC是直角三角形．22．(5分)在方格纸上画出面积等于17的正方形．(每个小正方形的面积为1个单位面积)23．(7分)如图，CD=6 m，AD=8 m，∠ADC=90°，BC=24 m，AB=26 m．求图中阴影局部的面积．24．(10分)如图，一直立的标杆的上部被风从B处吹折，杆顶C着地处距杆底2 m，修好后又被风吹折了，因新折断处比前一次低0．5 m，故杆顶E着地处比前一次远1 m，求原标杆的高度．25．(8分)x－2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．26．〔10分〕如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．(1)试说明：AF=FC；(2)假如AB=3，BC=4，求AF的长．27．(2021·10分)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m和8 m．如今要将绿地扩大成等腰三角形，且扩大局部是以8 m为直角边的直角三角形，求扩大后等腰三角形绿地的周长．制卷人：打自企；成别使；而都那。

（二）勾股定理与平方根一、勾股定理、勾股数、勾股定理的应用 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形. 数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。

例1：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例2：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例3：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？Aa ED CB A DCBA例4：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？ 【巩固练习】1、Rt △ABC 中，∠C=900⑴如果BC=9，AC=12，那么AB= 。

⑵如果BC=8，AB =10，那么AC = 。

2、等腰三角形ABC 的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为多少？二、平方根、立方根1、平方根如果一个数的平方等于9，这个数是几？ ±3是9的平方根；9的平方根是±3。

一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。

数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。

2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。

八年级上册数学勾股定理复习题(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除勾股定理的复习 一、全章要点1、勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4、勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等例1．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的。

例2、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？cb aHG F EDCBA a bc cbaE D CBA ba cbac cabcab ECB例3、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长例4、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米例5、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900, 求这块草地的面积。

八年级数学期末专题复习卷(三)勾股定理与实数(考试时间:90分钟满分:100分)一、选择题(每题3分，共24分)1. 下列实数:22,7π( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 下列说法正确的是( )A 近似数4. 60精确到十分位 B.近似数5 000万精确到个位 C.近似数4. 31万精确到0. 01 D. 1.45⨯104精确到百位3. 有意义，则x 范围是( ) A.4x ≥ B.4x >且6x ≠ C. 6x ≠ D.4x ≥且6x ≠4. 列各式中，正确的是( )A. 2(9= 2=-3=- D.3=±5. 一个罐头的质量为2. 026 kg ，用四舍五入法将2. 026 kg 精确到0. 01 kg 可得近似值( )A. 2. 03 kgB. 2. 02 kgC. 2. 0 kgD. 2 kg 6. 给出下列命题:①在直角三角形ABC 中，已知两边长为6和8，则第三边长为10; ②三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a +=，则90C ∠=︒;③ABC ∆中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形;④ABC ∆中，若::1:2a b c =. 其中，假命题的有( )A.①②B.③④C.①③D.②④7. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是( )A. B.1- C.1- D.18. 如图，P 、Q 分别是边长为44cm 的等边ABC ∆边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论:①BP CM =;②ABQ CAP ∆≅∆;③CMQ ∠L CMQ 的度数不变，始终等于60︒;④当第43s 或第83s 时，PBQ ∆为直角三角形.正确的有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(每题2分，共20分)9. 一个正数的两个平方根分别是22a -和4a -，则这个正数是 . 10. ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =.则ABC ∆的面积为 .11. 已知ABC ∆的三边长a 、b 、c 21(0b c -+=，则ABC ∆一定是 三角形.12. 已知52a +的立方根是，31a b +-的算术平方根是4，c 3a b c -+的平方根是 .13. 如图，ABC ∆中，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点.若6AD =，5DE =，则CD 的长等于 .14. 如图，在钝角ABC ∆中，已知A ∠为钝角，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，若15. 16.17. 18. 有一个数值转换器，原理如图:当输入为81时，输出的y 的值是)19. (6（1）04- （2）23(3)8127-+20. (6求下列各式中的x .（1）(21. (6 操作一:如图①，将Rt ABC ∆沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与B 重合，折痕为DE . (1)如果6AC =cm ，8BC =cm ，可求得ACD ∆的周长为 . (2)如果:4:7CAD BAD ∠∠=，可求得B ∠=的度数为 .操作二:如图②，小王拿出另一张Rt ABC ∆纸片，将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，若9AC =cm ，12BC =cm ，请求出CD 的长.22. (5分)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30 m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m ，这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1 m/s=3. 6 km/h)23. (9分)如图①和图②，在ABC ∆中，13AB =，14BC =，5BH =.探究:如图①，AH BC ⊥于点H ，则AH = ，AC = ，ABC ∆的面积ABC S ∆= . 拓展:如图②，点D 在AC 上(可与点A 、C 重合)，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ，设BD x =，AE m =，CF n =.(当点D 与点A 重合时，我们认为0ABD S ∆= ) (1)用含x 、m 、n 的代数式表示ADB S ∆及CBD S ∆.(2)求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值.24. (8分)如图，矩形ABCD 中，9AB =，4AD =. E 为CD 边上一点，6CE =.点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA 向终点A 运动，连接PE .设点P 运动的时间为t ts. (1)求AE 的长.(2)当t 为何值时，PAE ∆为直角三角形?(3)是否存在这样的t ，使EA 恰好平分PED ∠，若存在，求出t 的值;若不存在，请说明理由.25. (8分)操作探究:数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条，将纸片沿DN 交于点K ，得到MNK ∆.如图②所示:MKN = . (直接写出答案)位置，MNK ∆始终是 三角形，请说明理由. (3)爱动脑筋的小明在研究MNK ∆的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值他的面积最小值为12，此时1∠的大小可以为 . 小明继续动手操作，发现了MNK ∆面积的最大值，请你求出这个最大值26. (8已知在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=.点D 从点B 出发沿射线AD 为腰作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒,连接CE . (1)如图，求证: ACE ABD ∆≅∆.(2)点D 运动时，BCE ∠的度数是否发生变化?若不变化，求它的度数;若变化，说明理由.(3)若AC =1CD =时，请直接写出DE 的长.参考答案一、1. B 2. D 3. D 4. D 5. A 6.A 7. D 8. C 二、9. 410. 24或84 11.直角 12.4± 13. 8 14. 135 15. 1016. 12a -17.1-、0、1、2三、19. (1) 2 (2)3-20. (1) 12x =、26x =- (2) 2x =- 21.操作一：(1) 14cm (2) 35°操作二：因为9AC =cm ，12BC =cm所以15AB ==(cm) 根据折叠性质可得9AC AE ==cm 所以6BE AB AE =-=cm设CD x =，则12BD x =-，DE x = 在Rt BDE ∆中，2226(12)x x +=-解之得 4.5x = 所以 4.5CD =cm22.在Rt ABC ∆中，30AC =m ，50AB =m根据勾股定理可得，40BC ===(m)所以小汽车的速度为40202v ==，20m/s =72km/h. 因为72 km/h>70 km/h ，所以这辆小汽车超速了. 23.探究：12 15 84拓展：(1 ) 1122ADB S BD AE mx ∆=⨯⨯= 1122CBD S BD CF nx ∆=⨯⨯=(2) 118422mx nx +=，168m n x +=当BD AC ⊥时，m n +有最大值15 当BD 值最大时，m n +有最小值所以当点D 与点C 重合时m n +有最小值所以m n +的最小值为1681214= 24.(1)因为矩形ABCD 中，9AB =，4AD =所以9CD AB ==，90D ∠=︒ 所以963DE =-=所以5AE == (2)①若90EPA ∠=︒，6t =②若90PEA ∠=︒，2222(6)45(9)t t -++=-，解得23t = 综上所述，当6t =或23t =时，PAE ∆为直角三角形 (3)假设存在.因为EA 平分PED ∠ 所以PEA DEA ∠=∠ 因为//CD AB(2)理由:所以所以所以所以同理当将纸条向下折叠时，1135NMB ∠=∠=︒(4)如图②，将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与D 重合，MK MB x ==则5AM x =-由勾股定理得2221(5)x x +-= 解得 2.6x =所以 2.6MD ND ==，11 2.6 1.32MNK MND S S ∆∆==⨯⨯= 26. (1)因为ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形所以AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒所以BAD CAE ∠=∠ 所以ACE ABD ∆≅∆ (2)因为ACE ABD ∆≅∆所以45ACE ABD ∠=∠=︒所以454590BCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒ 所以点D 运动时，BCE ∠的度数不变，为90°提示:①点D 在线段BC 上时，如图①因为AB AC ==90BAC ∠=︒ 所以4BC = 因为1CD = 所以3BD =因为ACE ABD ∆≅∆ 所以3CE BD == 因为90BCE ∠=︒所以DE ===②点D 在线段BC 延长线上时，如图②因为AB AC ==90BAC ∠=︒ 所以4BC = 因为1CD = 所以5BD =因为ACE ABD ∆≅∆ 所以5CE BD == 因为90BCE ∠=︒所以DE ===综上所述，DE。

《第3章勾股定理》一、填空题1．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．2．直角三角形一条直角边与斜边分别为4cm和5cm，则斜边上的高等于cm．3．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则以AB为直径的半圆的面积为．4．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，CD=12，BC=13，则四边形ABCD的面积为．5．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面（填“合格”或“不合格”）．6．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km，这时两人相距km．7．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．8．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为．9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= ．10．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．二、选择题11．下列长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．13，16，19 B．17，21，21 C．18，24，26 D．12，35，3712．下列命题中是假命题的是（）A．△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D．△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形13．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）A．13 B．5 C．13或5 D．414．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．9415．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上的高是（）A．2 B．2.4 C．3 D．3.416．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm17．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．418．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（）A． B．4 C． D．4.520．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0 B．1 C．D．三、解答题21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．（1）求DC的长．（2）求AB的长．22．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若132=a+b，则a，b的值可能是多少？23．如图，一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？24．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．25．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．26．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？《第3章勾股定理》（江苏省南京市高淳县）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是8 米．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．【解答】解：∵AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，∴折断的部分长为=5，∴折断前高度为5+3=8（米）．【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．2．直角三角形一条直角边与斜边分别为4cm和5cm，则斜边上的高等于cm．【考点】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，再利用三角形面积公式求出即可．【解答】解：设CD是直角三角形斜边上的高，∵直角三角形一条直角边与斜边分别为4cm和5cm，设BC=4cm，AB=5cm，∴AC=3cm，∴CD×AB=AC×BC，∴DC==（cm）．故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积公式应用，熟练应用三角形面积公式是解题关键．3．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则以AB为直径的半圆的面积为π．【考点】勾股定理．【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据圆的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB===13，∴以AB为直径的半圆的面积=π（）2=π（）2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了勾股定理，圆的面积公式，熟记定理与公式是解题的关键，要注意AB是半圆的直径，而非半径．4．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，CD=12，BC=13，则四边形ABCD的面积为36 ．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接BD，知四边形的面积是△ADB和△BCD的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到△BCD是一个直角三角形．则四边形面积可求．【解答】解：连接BD，则有BD===5，∵52+122=132，即BD 2+CD 2=BC 2，∴△BCD 为直角三角形，∴四边形的面积=S △ADB +S △BCD =AD •AB+BD •CD=×3×4+×5×12=36．【点评】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．5．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 合格 （填“合格”或“不合格”）．【考点】矩形的判定；勾股定理的应用．【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：∵802+602=10000=1002，即：AD 2+DC 2=AC 2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴这个桌面合格．故答案为：合格．【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．6．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km，这时两人相距10 km．【考点】勾股定理的应用．【分析】因为甲向东走，乙向南走，刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．【解答】解：如图，∵∠AOB=90°，OA=6km，OB=8km，∴AB==10（km）．故答案为：10．【点评】本题考查了勾股定理的基本运用，把方向运动构建成一个沿三角形两边的运动，再由勾股定理进行计算求解．7．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 4 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】本题关键是求出路长，即三角形的斜边长．求两直角边的和与斜边的差．【解答】解：根据勾股定理可得斜边长是=5m．则少走的距离是3+4﹣5=2m，∵2步为1米，∴少走了4步，故答案为：4．【点评】本题就是一个简单的勾股定理的应用问题．8．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a，则图中阴影部分的面积为a2．【考点】勾股定理．，再利用等腰直角三角【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后判断出阴影部分的面积=2S△ABE形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，=2וa•（a）=a2．∴阴影部分的面积=2S△ABE故答案为： a2．【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理与等腰直角三角形的面积的求法是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= 1.4 ．【考点】勾股定理．【分析】设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．【解答】解：设CD=x，则BC=5+x，在Rt△ACD中，AC2=AD2﹣CD2=25﹣x2，在Rt△ABC中，AC2=AB2﹣BC2=64﹣（5+x）2，所以，25﹣x2=64﹣（5+x）2，解得x=1.4，即CD=1.4．故答案为：1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键．10．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．二、选择题11．下列长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．13，16，19 B．17，21，21 C．18，24，26 D．12，35，37【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵132+162≠192，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵172+212≠212，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵182+242≠262，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵122+352=372，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．12．下列命题中是假命题的是（）A．△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D．△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；命题与定理．【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形．【解答】解：A、∠B+∠A=∠C，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．B、若a2=（b+c）（b﹣c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．故选C．【点评】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．13．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）A．13 B．5 C．13或5 D．4【考点】勾股定理．【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3都是直角边或3是斜边，熟练运用勾股定理进行计算．【解答】解：当2和3都是直角边时，则x2=4+9=13；当3是斜边时，则x 2=9﹣4=5．故选C ．【点评】此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ）A ．13B ．26C ．47D ．94【考点】勾股定理．【专题】数形结合．【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为最大正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2，S 1+S 2=S 3，于是S 3=S 1+S 2，即S 3=9+25+4+9=47．故选：C．【点评】能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上的高是（）A．2 B．2.4 C．3 D．3.4【考点】勾股定理；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【专题】计算题．【分析】先根据勾股定理可求得AB，再根据面积公式可得出AB边上的高．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵AC•BC=AB•AB边上的高，∴AB边上的高===2.4．故选B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．16．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【考点】勾股定理．【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．【点评】熟练运用勾股定理进行计算，从而求出斜边的长．17．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．4【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm，则BC=12×=6cm．又因为AC=8cm，所以AB==10cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选A．【点评】此题趣味性强，有利于培养同学们的学习兴趣，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C′ED，利用勾股定理可求出．【解答】解：设DE=x，则AE=8﹣x，AB=4，在直角三角形ABE中，x2=（8﹣x）2+16，解之得，x=5．故选C．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．19．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（）A． B．4 C． D．4.5【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE．又∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，于是DE=，∴CD=DE=4．故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键．20．如图，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）A ．0B ．1C ．D ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【解答】解：根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA ，回到起点． 乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1A 1→A 1A ．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2013÷6=335…3，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止的点都是C，所以它1们之间的距离是0．故选A．【点评】此题是一道趣味性题目，不仅考查了阅读理解能力，还考查了勾股定理在空间的应用，综合性较强．三、解答题21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．（1）求DC的长．（2）求AB的长．【考点】勾股定理．【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长；（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；（2）在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．【点评】本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．22．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若132=a+b，则a，b的值可能是多少？【考点】规律型：数字的变化类；勾股数．【分析】观察三个数之间的关系可得出规律：第n组数为（2n+1）2，（），（）由此规律解决问题．【解答】解：题目蕴含的规律为：（2n+1）2=+；∵13=2×6+1，∴132=+=84+85，∴a=84，b=85．【点评】本题考查了数字的规律变化，解答本题的关键是仔细观察所给式子，得出规律，解决问题．23．如图，一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】首先根据方向角得出∠BAC=90°，再利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：∵一轮船以16n mi1e/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12n mi1e/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，∴∠BAC=90°，离开港口A2h后，AB=32n mi1e，AC=24n mi1e，∴BC==40（n mi1e）．答：离开港口A2h后，两船相距40n mi1e．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AB，AC的长是解题关键．24．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．【考点】勾股定理的证明．【专题】作图题；证明题．【分析】勾股定理的证明可以通过图形的面积之间的关系来完成．【解答】解法一：（1）如图；（2）证明：∵大正方形的面积表示为（a+b）2大正方形的面积也可表示为c2+4×ab ∴（a+b）2=c2+4×ab，a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．解法二：（1）如图（2）证明：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为： ab×4+（b﹣a）2∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【点评】利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．25．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．【考点】作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．【专题】作图题．【分析】作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．【解答】解：如图所示，点O就是建水厂的位置，∵AC=1km，BD=3km，CD=3km，∴AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，B′E=CD=3km，AB′===5km，铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，∵铺设水管的工程费用为每千米20 000元，∴铺设水管的总费用为：5×20 000=100 000元．故答案为：100 000元．【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键．26．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】作AH⊥MN于H，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=PA=80m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，根据垂径定理得到BH=CH，再根据勾股定理计算出BH=60m，则BC=2BH=120m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间．【解答】解：学校受到噪音影响．理由如下：作AH⊥MN于H，如图，∵PA=160m，∠QPN=30°，∴AH=PA=80m，而80m＜100m，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图，∵AH⊥BC，∴BH=CH，在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，BH==60m，∴BC=2BH=120m，∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s，∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间==24（秒），∴学校受影响的时间为24秒．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l 和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．。

第二章 勾股定理与平方根（期末复习）班级 姓名知识要点：1、无理数： 叫做无理数。

2、无理数的类型：①无限不循环小数（有些是有规律但不循环）如 等； ②含π的数，如 等；③开方开不尽的数的方根，如 等。

3、实数的分类：4、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点表示一个实数，与 是一一对应的。

5、有效数字：对一个近似数，从 起，到 止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

6、平方根：4的平方根 ，2的平方根 ，0的平方根 ，-1有平方根吗？ 平方根的性质： ； ； ；7、算术平方根：3的算术平方根 ，0的算术平方根 。

8、算术平方根的性质：⑴0≥；0a ≥。

⑵)0()(2≥=a a a ⑶=2a ，9、8的立方根 ，-0.027的立方根 ，0的立方根 。

立方根的性质： ； ； 。

10、平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 。

11、勾股定理：【例题精选】 例1：填空题：⑴16的平方根是 ； (-2)2的平方根是 ；81的平方根是 。

⑵36±= ； =01.0 ；()=25 ；()=-216（3）若4a +1的平方根是±5，则a = ，一个正数n 的两个平方根为m +1和m －3，则m = ，n = 。

（4 1.2,a =则 ；若2,m =则 ；（5）若90,bb a-==则 。

(6)已知x ，y 都是实数，且y ＝322+-+-x x ，x y 的值 。

(7)一个直角三角形的两条边分别为3和4，则第三边的长度是 。

例2：求下列方程中的x 的值:（1）()133-=-x （2）()016292=-+y例3：已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围。

例4：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．例5：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例6：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。

第一学期期末考试八年级数学优质好题精选专题1 勾股定理一、单选题1．（江苏省无锡市锡东片2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题）下列各组数中，是勾股数的是（ ）A. 12，15，18B. 12，35，36C. 2，3，4D. 5，12，132．（新人教版数学九年级上册第二十三章旋转23.1《图形的旋转》）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）C. 12D. 3．（北师大版八年级数学上册《1.3 勾股定理的应用》同步检测）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）B. 25 D. 354．（浙江省金华市兰溪二中2017-2018学年上学期期中考试八年级学试卷）在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 75．（江苏省江阴初级中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用，y 表示直角三角形的两直角边（＞y ），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）A. 2+y2=81B. +y=13C. 2y+16=81D. －y=426．（北师大版八年级数学上册《1.3 勾股定理的应用》同步检测）如图，带阴影的长方形面积是（）A. 9 cm2B. 24 cm2C. 45 cm2D. 51 cm27．（2017年秋北师大版八年级数学上册精品专题习题）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是()【A. 9B. 36C. 27D. 348．（江苏省东台市第四教育联盟2017-2018学年八年级上学期第二次质量检测（12月月考）数学试题）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）A. B.9．（陕西省西安市陕师大附中2017-2018学年度第一学期八年级数学第一阶段模拟测试题）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。

第一章：勾股定理一、基础测试1．在直角三角形中，两直角边的 等于 .若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则 。

2．在三角形中，若 等于第三边的平方，则这个三角形为 ，这是判定一个三角形是 的方法． 3．能构成直角三角形边长的三个 称为勾股数。

二、专题讲解：专题1 勾股定理与面积 例1 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3 =225，则S 2= 。

思考：将△ABC 外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？专题2 勾股定理与方程例2 如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，且BD=6，AD=6，S ΔABC =42，求AC 的长。

思考：如图3，在△ABC 中，AC ＝3○，BC=4，求AB 的长。

专题3 勾股定理的实际应用例3 如图4，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点．再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东方向走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离队点的距离是_______米．解：15 点拨：解此题时要注意算对A 1A 2，A 2A 3，A 3A 4，A 5A 6，等各线段的长，再利用勾股定理求解．例4 如图5，有一个圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆的母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m ．（结果不取近似值）专题4 勾股逆定理的实际应用 例5 如图6，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米解：B 点拨：主要考查直角三角形中30○的角所对的直角边等于斜边的一半． 例6 在△ABC 中，，AB=3，则cosA=_______．第14题图A时B时解点拨：先运用勾股定理逆定理判断：AC2＋BC2 =2＋7=9，AB2 = 9，所以AC2＋BC2=AB2，所以△ABC为直角三角形．再由三角函数定义求cosA．三、针对性训练：1．（2010山东德州第14题）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.答案： 42.（2010·浙江温州第16题）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于．答案:27+3．（2010，浙江义乌）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是▲．(写出一组即可)答案；3、4、5（答案不唯一，满足题意的均可）4.（2010·绵阳第17题）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB = a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为．答案：a426-5．（2010哈尔滨第19题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．答案：1256．（2010湖北省咸宁市第24题）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，90DAB∠=︒，24AD DC==，6AB=．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当0.5t=时，求线段QM的长；（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究CQRQ是否为定值，若是，试求这个定45︒60︒A′BMAODC（第18题）题图24CBA值；若不是，请说明理由．答案：见后面详细解答。

勾股定理的复习 一、全章要点1、勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b ac ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． $四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4、勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等例1．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的。

》例2、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？《例3、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长cb aHG F EDCBAa bc c baED CBA ba cbac cabcab ECBA>例4、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？例5、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900, …求这块草地的面积。

八年级数学期末专题复习卷三 勾股定理与平方根（时间：60分钟 满分：100分）一、选择题（每题2分，共20分）1．在三边长分别为下列长度的三角形中，是直角三角形的是( )．A ．2cm ，2 cm ，4 cmB ．8 cm ，14 cm ，10 cmC ．9 cm ，41 cm ，40 cmD ．6 cm ，6 cm ，6 cm2．(－6)2的平方根是( )．A ．－6B ．36C ．±6D ．±6 3．如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．直角三角形两直角边长为5，12，则斜边上的高( )．A ．6B ．8C ．1813D ．60135．计算3258 的结果是( )．A ．3B ．7C ．－3D ．－76．如图，若数轴上的点A 、B 、C 、D 表示数为－1，1，2，3，则表示4－7的点P 应在线段( )．A ．AB 上 B ．BC 上C ．CD 上 D ．OB 上7．下列命题：①如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么4a ，4b ，4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a ，b ，c （a>b ＝c ），那么a 2：b 2：c 2＝2：1：1，其中正确的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④8．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示（精确到十万位）为( )．A ．3.1×106元B ．3.1×105元C ．3.2×106元D ．3.18×106元9．在4，227，0.303030…，π，39，0中，有理数的个数为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．下列说法中不正确的是( )．A ．10的平方根是±10B ．－2是4的一个平方根C ．49的平方根是23D ．0.01的算术平方根是0.1 二、填空题（每题3分，共24分）11．数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…都是勾股数，若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为_______．12．81的平方根是_______；1331的立方根是_______．13．对于四舍五入得到的近似数3.20×105，是精确到_______位．14．平方根节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，例如：2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根（题中所举例子除外）：_______年_______月_______日．15．若2a －1和5－a 是一个数m 的平方根，则a ＝_______，m ＝_______．16．比较大小：－8_______－3．17．6－3的相反数是_______，绝对值是_______．18．如图，在△ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝DC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是_______．三、解方程和计算（每题5分，共10分）19．解方程：()21x -＝25．20．计算：()1023122723π-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭． 四、作图题（每题5分，共10分）21．在数轴上画出表示5的点．22．如图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，请在图中画一个面积为10的正方形．五、解答题（每题9分，共36分）23．陈平想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地还多1m ，当他把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他求出旗杆的高吗？24．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式()224129x x ++-+的最小值．25．如图为一直角三角形纸片，两直角边AC ＝6，BC ＝8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．26．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；[尝试证明]以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a ，b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形(如图(2))，请你利用图(2)，验证勾股定理；[知识拓展]利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明2a b c +<，其证明步骤如下： ∵ BC ＝a ＋b ，AD ＝_______，又 在直角梯形ABCD 中有BC_______AD （填大小关系），即_______，∴2a b c+<．参考答案1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C11．n ＋1 12．±9 1113．千14．答案不唯一，如：2001年1月1日15．－4 81 16．>17．3－6 3－6 18．6819．x ＝6或x ＝－420．原式＝－4＋3－3×1＝－4．21．点A 即为表示5的点．22．略23．12 m ．24．()228251x x -++(2)当A 、C 、E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小．(3)如图所示 1325．3．26．略。

2019—2020学年第一学期初二数学期末复习《勾股定理》(考试时间:90分钟 满分:100分)一、选择题(每题3分，共24分)1. 有六根细木棒，它们的长度分别是2,4,6,8,10,12(单位:cm).若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )A. 2,4,8B. 4,8,10C. 6,8,10D. 8,10,122. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( )A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形3. 在ABC ∆中，已知17,10AB AC ==.若BC 边上的高8AD =，则边BC 的长为( )A. 21B. 15C. 6或9D. 9或214. 一个直角三角形的斜边长比其中一条直角边的长大2，若另一条直角边的长为6，则斜边长为( )A. 4B. 8C. 10D. 125. 如图，一架云梯长25 m,斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m.如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯子的底部在水平方向上滑动了( )A. 4 mB. 6 mC. 8 mD. 10 m6. 如图，90,,,BAC DAF AB AC AD AF D ∠=∠=︒==、E 为BC 边上的两点，且45DAE ∠=︒，连接,EF BF ，下列结论不正确的是( )A. AED AEF ∆≅∆B. BE DC DE +=C. BE DC DE +>D. 222BE DC DE +=7. 如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若分别用,x y 表示直角三角形的两条直角边(x y >)，给出下列四个结论:①2249x y +=;②2x y -=;③2449xy +=;④9x y +=.其中正确的结论是( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④8. 如图，在矩形ABCD 中，4,6,AB BC E ==为BC 的中点，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( )A.95 B. 125 C. 165 D. 185二、填空题(每题2分.共20分)9. 一个三角形的两边长分别是3和5，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 . 10. 若等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为 .11. 如果ABC ∆的三边长,,a b c 满足关系式2(260)18300a b b c +-+-+-=，那么ABC ∆的形状是 .12. 所谓的勾股数就是使等式222a b c +=成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数,()m n m n >，取2222,2,a m n b mn c m n =-==+，则,,a b c就是一组勾股数.请你结合这种方法，写出85(三个数中最大)，84和 组成的一组勾股数.13. 如图，在四边形A B C D 中，20,15,7,24,A BB C C D A D B ====∠=︒，则A C ∠+∠= ° .14. 如图，在Rt ABC ∆中, 90,6,8C AC cm BC cm ∠=︒==,如果按图中所示的方法将ACD ∆沿15. ).在这16. E 是CD 的AE 的长是.17. 如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2, A 和B 是这个台阶的两个相A 点有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 .18. 12 cm 的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A 和B ，然后把中点8 cm点，则弹性皮筋被拉长了 cm.共56分)19. 如图，在ABC ∆中，90,8,B BC BC ∠=︒=上一点D ，使:3:5BD CD = 平分BAC ∠，求点D 到AC 边的距离.20. ( 8分)如图，长方形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上.(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且4AE =时，求AF 的长.(2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且10BG =时.①求证: EF EG =.②求AF 的长.21. (6分)如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G 处.若AB =3 cm, BC =5 cm, BF =6 cm ，蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇?这时蜘蛛走过的路程是多少厘米?22. ( 6分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠, 10,21,9BC CD AB AD ====，求AC的长.23. (8分)如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接,,PA PB PC ，以BP 为边作60PBQ ∠=︒，且BQ BP =，连接CQ .(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论.(2)若::3:4:5PA PB PC =，连接PQ ，试判断PQC ∆的形状，并说明理由.24. ( 8分)在ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===，设c 为最长的边.当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形;当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状(按角分类).(1)当ABC ∆的三边长分别为6,8,9时，ABC ∆为 三角形;当ABC ∆的三边长分别为6,8,11时，ABC ∆为 三角形.(2)猜想:当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形;当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形.(3)当2,4a b ==时，判断ABC ∆的形状，并求出对应的2c 的取值范围.25. ( 6分)如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10 cm,宽为5 cm ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与点,A D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ，能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ?若能，请你求出这时AP 的长;若不能，请说明理由.26. ( 8分)如图，已知在ABC ∆中，,90,AC BC ACB D =∠=︒为AB 的中点，E 为直线AC 上任意一点，DF DE ⊥，交直线BC 于点,F G 为EF 的中点，延长CG 与AB 交于点H .(1)若E 在边AC 上.①试说明DE DF =;②试说明CG GH =.(2)若6,10AE CH ==，求边AC 的长.参考答案一、1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D二、9.16或34 10.10或30 11.直角三角形 12.13 13.18014.6cm 2 15.6 16.13217.25 18.8 三、19. (1)因为8BC =,:3:5BD CD =所以3,5BD CD ==过点D 作DH AC ⊥于点H因为AD 平分BAC ∠，90B ∠=︒所以3DH BD ==即点D 到AC 边的距离是3(2)因为点D 恰好在AC 边的垂直平分线上所以5AD CD ==因为5,3AD BD ==所以4AB =20. (1) 3(2)①因为纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处所以BGF EGF ∠=∠因为长方形纸片ABCD 的边//AD BC所以BGF EFG ∠=∠所以EFG EGF ∠=∠所以EF EG =②因为纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处所以10,8,EG BG HE AB FH AF =====所以10EF EG ==所以6AF FH ==21. 路线略 10 cm22. 在AB 上截取AE AD =，连接EC因为AC 平分BAD ∠所以DAC BAC ∠=∠所以ADC AEC ∆≅∆所以9,10AE AD CE CD BC =====作CF AB ⊥垂足为F 所以11()622EF FB BE AB AE ===-= 在Rt BFC ∆ (或Rt EFC ∆)中，由勾股定理得8CF =在Rt AFC ∆中，由勾股定理得17AC =23. (1)AP CQ =证明:因为60ABP BPC ∠+∠=︒，60QBC BPC ∠+∠=︒所以ABP QBC ∠=∠又因为,AB BC BP BQ ==所以ABP CBQ ∆≅∆所以AP CQ =(2)PQC ∆是直角三角形.理由：由::3:4:5PA PB PC =，可设3,4,5PA a PB a PC a ===连接PQ在PBQ ∆中，4PB BQ a ==，且60PBQ ∠=︒所以PBQ ∆为正三角形所以4PQ a =在PQC ∆中，因为22222216925PQ QC a a a PC +=+==所以PQC ∆是直角三角形. 24. (1)锐角 钝角(2) > <(3)因为c 为最长的边，246+=所以46c ≤<，22222420a b +=+=①222a b c +>，即220c <所以当21620c ≤<时，这个三角形是锐角三角形②222a b c +=，即220c =所以当220c =时，这个三角形是直角三角形③222a b c +<，即220c >所以当22036c <<时，这个三角形是钝角三角形.25.能.设AP x =，则10PD x =-在Rt ABP ∆中， 2225PB x =+在Rt PDC ∆中， 222(10)5PC x =-+假设三角板两直角边能分别通过点B 与点C ，因为BPC ∠是直角所以222PB PC BC +=即222225(10)510x x ++-+=解得5x =所以5AP = cm 时，满足222PB PC BC +=，即三角板两直角边分别通过点B 与点C26. (1)①连接CD ，证明()ADE CDF ASA ∆≅∆，所以DE DF =②证明:连接DG因为90ACB ∠=︒，G 为EF 的中点所以CG EG FG ==因为90EDF ∠=︒，G 为EF 的中点所以DG EG FG ==所以CG DG =所以GCD GDC ∠=∠因为AC CB =，D 为AB 中点所以CD AB ⊥所以90CDH ∠=︒所以90GHD GCD ∠+∠=︒，90HDG GCD ∠+∠=︒所以GHD HDG ∠=∠所以GH GD =所以CG GH =( 2)分两种情况:①当点E 在线段AC 上时，CG GH EG GF ===所以10CH EF ==由(1)①知ADE CDF ∆≅∆所以6AE CF ==所以8,6814CE AC AE EC ==+=+=②当点E 在线段CA 的延长线上时，862AC EC AE =-=-=综上所述，14AC =或2。