2019最新高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2

2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.2 数学归纳法应用举例导学案新人教A 版选修1-2一、【学习目标】 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、【课前案】阅读教材71-72页完成下列问题..1、数学归纳法:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：--------------------------------------------------(2)假设由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确2.数学归纳法应用中的四个常见错误 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。

证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。

使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值0n 确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。

用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”。

但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清。

这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节。

三、【课中案】型一：用数学归纳法证明数列求和公式例1用数学归纳法证明：6)12)(1(.........3212222++=++++n n n n型二：用数学归纳法证明平面几何区域个数问题例2用数学归纳法证明平面上n 个圆最多把平面分成22+-n n个区域型三：用数学归纳法证明不等式例3.求证：225n n n >≥时，当四、【课后案】1.用数学归纳法证明“2n ＞2n +1对于n ＞0n 的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ）A. 1B. 2C. 3D.5 2.若f(n)= *1111,()2321n N n +++⋅⋅⋅+∈+,则n=1时f(n)是 A. 1 B. 13 C. 11123++ D.以上对项数估算都有错误 3.用数学归纳法证明不等式11112321n +++⋅⋅⋅+-＜n （n ∈*N ）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1B. 2k-1C. 2kD. 2k +14.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= 2n ﹒1﹒3…(2n-1)(n ∈N)时，从“n=k →n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）5.用数学归纳法证明21*122221()n n n N -+++⋅⋅⋅=-∈的过程如下：①当n=1时，左边=1，右边=121-=1，等式成立。

2.3数学归纳法在学校，行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n ＝k ＋1时命题也成立，而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2(其中n ∈N *)．(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2 2n －1 2n ＋1 ＝n n ＋1 2 2n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＝k k ＋1 2 2k ＋1， 则121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3＝k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 2 2k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋2 2 2k ＋3 ， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的n ∈N *等式都成立.。

利用数学归纳法解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。

那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1
对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。

数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。

即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

§2.3数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1 验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2 能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示1．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ×)2．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ×)3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．( √)类型一用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.考点用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形． 跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.(*)方法一 (分析法) 下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)(*)式>⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 引申探究 把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， ∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立． 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式 证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }满足关系式a 1＝a (a >0)，a n ＝2a n －11＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，(1)用a 表示a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式(用a 和n 表示)，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)a 2＝2a1＋a，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a ＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， a 2＝21a1＋(21－1)a ，…， 猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a . 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a1＋(2k －1－1)a ， 所以当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2ka 1＋(2k －1－1)a 1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a ＝2ka1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a＝2k a1＋2×2k－1a－a＝2(k＋1)－1a1＋[2(k＋1)－1－1]a，所以当n＝k＋1时猜想也成立．根据①与②可知猜想对一切n∈N*都成立．反思与感悟“归纳—猜想—证明”的一般步骤跟踪训练3 考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳，猜想、证明解由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明．(1)当n＝1时，猜想显然成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时猜想成立．根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，由此推算：当n ≥2时，有( ) A ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *)B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12(n ∈N *)C ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *)D ．f (2n)>n ＋22(n ∈N *)考点 利用数学归纳法证明不等式 题点 不等式中的归纳、猜想、证明 答案 D解析 f (4)>2改写成f (22)>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24)>4＋22；f (32)>72改写成f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22(n ∈N *)． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C解析 由已知，得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则n ＝n 0＋1时命题成立， 在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立， 依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明，错误是________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 5．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立． 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，左边＝右边，等式成立． 即对所有n ∈N *，原式都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳第二步：归纳递推 答案 B 3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数， 则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1).4．一个与正整数n 有关的命题中，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立，可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立，可以推出n ＝k ＋2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n 0＝2.故对所有的正偶数都成立．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法的定义答案 D解析 对于D ，∵f (4)＝25≥42，∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3 D.22n －1 考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B.2k ＋1k ＋1 C ．2(2k ＋1)D.2k ＋3k ＋1考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法的第二步：归纳递推答案 C解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．二、填空题8．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 109．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为_________． 考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 缺少步骤归纳奠基10．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 三、解答题11．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34， 右边＝2＋12×2＝34， 所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k， 那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，即当n＝k＋1时，等式成立．综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14， 右式＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．四、探究与拓展13．用数学归纳法证明“34n ＋1＋52n ＋2(n ∈N *)能被14整除”时，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2应变形为________________．考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4 解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2＝34×34k ＋1＋52×52k ＋2＝34×34k ＋1＋34×52k ＋2＋52×52k ＋2－34×52k ＋2＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×(34－52)＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想：a n ＝1n (n ＋1).下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即a k ＝1k (k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝kk ＋1，所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]， 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知猜想成立．。

2.3.1 数学归纳法一、【学习目标】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、【课前案】阅读教材69-70页完成下列问题..1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：--------------------------------------------------(2)假设由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确三、【课中案】例1用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.例2用数学归纳法证明2)12(.......531n n =-++++例3判断下列推证是否正确，若不对，如何改正.n n )21(12121212132-=＋＋＋＋求证：证明：①当n=1时，左边＝21 右边＝212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，等式成立 ②设n=k 时，有k k )21(12121212132-=＋＋＋＋那么，当n=k+1时，有11132211211211212121212121+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+k k k k ＋＋＋＋ 即n=k+1时，命题成立根据①②问可知，对n ∈N ＊，等式成立四、【课后案】1．满足1·2+2·3+3·4+…+n （n+1）=3n 2-3n+2的自然数等于 （）A ．1； B.1或2； C.1,2,3; D.1,2,3,4;2.在数列｛a n ｝中, a n =1-⋅+-+413121…n n 21121--则a k+1= （ ）A ．a k +121+k ；B.a k +421221+-+k k C.a k +221+k .D.a k +221121+-+k k .3.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n +y n 能被x+整除”的第二步是 ( )A.假使n=2k+1时正确,再推n=2k+3正确; B 假使n=2k-时正确,再推n=2k+1正确;C. 假使n =k 时正确,再推n=k+1正确D 假使n ≤k(k ≥1),再推n=k+2时正确(以上k ∈Z)4.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为21n(n-3)条时,第一步验证n 等于 ( )A.1.B.2;C.3;D.0;5.用数学归纳法证明:1+2+3+…+n 2=224n n +则n=k+1时左端在n=k 时的左端加上_________6. 数学归纳法证明 1+3+9+…+3)13(211-=-nn7.数学归纳法证明2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n。

2.3 第二课时 数学归纳法(2)一、课前准备1．课时目标1.了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2.掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3.培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想 2．基础预探(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1) ；(2) 由(1)，(2)可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确(2)“归纳—— —— ”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型．解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想. 二、学习引领1. 问题情景(1)多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：条件②的作用是什么？可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证①②成立。

(2)用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：证明数列的通过公式是1n a n=, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：多米诺骨牌游戏原理 通项公式 1n a n=的证明方法 （1）第一块骨牌倒下。

（1）当1n =时11a =，猜想成立 （2）若第k 块倒下时，则相邻的第1k +块也倒下（2）若当n k =时猜想成立，即1k a k=，则当1n k =+时猜想也成立，即111k a k +=+ 根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

根据（1）和（2），可知对任意的正整数n ，猜想都成立。

2.1.1 合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的． ( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． ( )(3)由个别到一般的推理为归纳推理． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )【导学号：48662046】A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)[类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)]4．如图2­1­1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*)．图2­1­115 3n－3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．][合作探究·攻重难]12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为________．(2)已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．(3)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，满足S n＝6－2a n＋1(n∈N*)．①求a2，a3，a4的值；②猜想a n的表达式.【导学号：48662047】[解析](1)12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋2.(2)∵f (x )＝x1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x，根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2(2)f 3(x )＝x1－4xf n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________．65 [因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.] 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1-2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1-2＝________. 43n (n ＋1) [通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．]第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．图2­1­2(2)根据图2­1­3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：48662048】图2­1­3[解析] (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案] (1)5n ＋1 (2)5093．如图2­1­4所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形中由n 个正方形组成：图2­1­4通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．16 3n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]4．根据如图2­1­5的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．(1) (2) (3) (4) (5)图2­1­5[解]法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A ­BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．思路探究 (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .[解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE .∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt△ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .中，S 1，S 2，S 3，依次表示平面PAB ，平面PBC 于点F ，连接AF .[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )【导学号：48662049】A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr 2.]2．观察如图2­1­6所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )图2­1­6A.B.C.D.A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．b 4＋b 8>b 5＋b 7 [将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.]4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.【导学号：48662050】13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2[由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.]5．在Rt△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt△ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P ­A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P ­A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。

2.3 第二课时数学归纳法(2)一、课前准备1．课时目标1.了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2.掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3.培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想2．基础预探(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1) ；(2) 由(1)，(2)可知，命题对于从n开始的所有正整数n都正确(2)“归纳————”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型．解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想.二、学习引领1. 问题情景(1)多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：条件②的作用是什么？可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证①②成立。

(2)用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：证明数列的通过公式是1nan=, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：，猜2. 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：11a a =,21a a d =+,312a a d =+,433a a d =+,1(1)n a a n d =+- 证明:等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=证明: (1) 当1n =时等式成立；(2) 假设当n k =时等式成立, 即1(1)k a a k d =+-, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即1n k =+时等式也成立．于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立3.证明中应注意的几个问题(1)数学归纳法第一步中的“第一个数0n ”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择．(2)注意n 与k 的不同，理解和书写时不要弄混．(3)第二步中要准确把握由n k =到1n k =+时，要证明的结论中到底需要添加（或舍去）哪些项，如用数学归纳法证明某数列问题时，当n k =时有，11112342k k S =++++,则1n k =+时有111111111234221222k k k k k S ++=++++++++++，不要弄错． (4)在证明第二步1n k =+命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法．在初学数学归纳法时常易犯不用归纳假设，而直接运用相关公式（如数列的有关公式）的错误，需特别注意．应通过例题和习题体会和练习怎样使用归纳假设，通过错例分析体会怎样避免不用归纳假设的情况．(5)数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切忌证不出而直接说结论成立．证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其它方法．为证1n k =+时结论成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的和必须的，常见变形技巧有提公因式、配方、恰当放缩、起点后移、增加跨度、强化命题、添项拆项等．另外，不妨先把1n k =+时的结论写出来，为证明提供方向．(6)数学归纳法中的两步缺一不可，否则结论不能成立．只有第一步，只能证明特殊情况，无法延续；只有第二步，没有奠基，可能会推出错误的结论．4.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当0n n =时，命题成立，再假设当*0(,)n k k n k N =≥∈时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当1n k =+时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数0001,2,3,n n n +++命题都成立.5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值0n 结论正确；(2)假设当*0(,)n k k n k N =≥∈时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确三、典例导析题型一 证明等式例 1.否存在常数,,a b c 使得等式22222(1)122334(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 成立？并证明你的结论． 思路导析:可先进行计算，找到,,a b c 的值，再归纳猜想，最后证明解析:假设存在常数,,a b c 使上式对n *∈N 均成立，则当123n =，，时上式显然也成立，此时可得212⨯=1()6a b c ++,221223⨯+⨯=1(42)2a b c ++,222122334⨯+⨯+⨯=93a b c ++,解此方程组，可得31110a b c ===，，．下面用数学归纳法证明等式: 22222(1)122334(1)(31110)12n n n n n n +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 均成立．当1n =时，命题显然成立．假设n k =时，命题成立．即22222(1)122334(1)(31110)12k k k k k k +⨯+⨯+⨯+++=++， 那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⨯+⨯+⨯++++++22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++221[(31110)12(2)]12k k k k k +=++++ 2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++2(1)[(1)1][3(1)11(1)10]12k k k k +++=++++． 即当1n k =+时，命题成立．综上所述，存在常数31110a b c ===，，，使得等式 22222(1)122334(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 均成立． 规律总结:对于利用数学归纳法证明存在性问题,首先取一些具体的数值,计算出字母的取值,再利用数学归纳法证明,即猜想“归纳——猜想——证明”的思维模式变式训练1. 数列{}n a 满足0n a >，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n S 的通项公式．题型二 证明不等式例 2.()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的a b ∈R ，都满足：()()()f ab af b bf a =+，若(2)2f =，(2)()n n U f n *=∈N ，求证：1n n U U +>． 思路导析:用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成．证明：∵()()()f ab af b b a =+对任意a b ∈R ，都成立，∴对于(2)n n U f =1n =时，1(2)212f ==⨯； 当2n =时，2(22)2(2)2(2)22f f f ⨯=+=⨯； 当3n =时，2223(22)2(2)2(2)32f f f ⨯=+=⨯； …，猜想(2)2()n n f n n *=∈N ．（※）下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，(2)12f =⨯，（※）式成立．（2）假设n k =时，（※）式成立，即(2)2k k f k =，当1n k =+时，1(2)(22)2(2)2(2)k k k k f f f f +=⨯=+ 111222222(1)2k k k k k k k k +++=⨯+⨯=+=+，∴1n k =+时，（※）式成立．由（1）和（2），可知对任何n *∈N ，(2)2n n f n =成立．所以(2)2()n n n U f n n *==∈N ．要证明结论成立，只需证明10()n n U U n *+->∈N ．∵11(1)222(2)0n n n n n U U n n n ++-=+-=+>，∴1n n U U +>成立．规律总结:先对前有限项进行求值, 通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想.变式训练2.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，且11a b =，22a b =，12a a ≠，0n a >，n *∈N ，试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与n b （3n ≥，n *∈N ）的大小关系，并证明你的结论．题型三 实际问题例 3.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，*n N ∈，且10x >,不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数,,a b c .（Ⅰ）求1n x +与n x 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当1,,,x a b c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设2,1,a c ==为保证对任意1(0,2)x ∈，都有0,n x >*n N ∈则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.思路导析:先找出n x 与1n x +的关系式,再结合实际问题进行分析解析:（I ）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为n bx ，死亡量为2,n cx 因此得21,*.(*)n n n n n x x ax bx cx n N +-=--∈,即1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则n x 恒等于1x ，n ∈N*，从而由（*）式得()n n x a b cx --恒等于0,所以10a b cx --=,即1a b x c-= 因为10x >，所以a b >.猜测：当且仅当a b >，且c b a x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（Ⅲ）若b 的值使得*0,n x n N >∈,由1(3),*n n n x x b x n N +=--∈知*03,n x b n N <<-∈,特别地，有103,x b <<- 即103,b x <<-而1(0,2)x ∈，所以(0,1]b ∈由此猜测b 的最大允许值是1. 下证: 当1(0,2)x ∈，1c =时，都有(0,2)n x ∈, *n N ∈ ①当1n =时，结论显然成立. ②假设当n k =时结论成立，即(0,2)k x ∈,则当1n k =+时，1(2)0,k k k x x x +=->又因为21(2)(1)1k k k k x x x x +=-=-++1≤2<,所以1(0,2)k x +∈，故当1n k =+时结论也成立.由①、②可知，对于任意的*n N ∈，都有(0,2)n x ∈.综上所述，为保证对任意1(0,2)x ∈, 都有*0,n x n N >∈，则捕捞强度b 的最大允许值是1规律总结:对于实际问题一定要找出递推关系式,再结合具体问题对猜想的结论使用数学归纳法进行证明.变式训练3.设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：2*()n n y x a x b n N =++∈，其中11242n n a n -=---，n x 由以下方法得到：11x = ，点22(,2)P x 在抛物线1C ：211y x a x b =++上，点1A (1x ，0)到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：2n n y x a x b =++上，点n A (n x ，0)到1n P+的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求2x 及1C 的方程． (Ⅱ)证明{}n x 是等差数列四、随堂练习1.用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A ．假设21()n k k *=+∈N 时正确，再推证23n k =+正确B ．假设21()n k k *=-∈N 时正确，再推证21n k =+正确C ．假设(1)n k k k *=∈N ，≥的正确，再推证2n k =+正确D ．假设(1)n k k k *∈N ，≤≥时正确，再推证2n k =+正确2.用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=+∈N ，从k 到1k +右端需增乘的代数式为（ ）A ．21k +B ．2(23)k +C ．211k k ++D ．231k k ++ 3.已知21111()()12f n n n n n n*=++++∈++N ，则()f n 中共有 项． 4.设21()61n f n -=+，则(1)f k +用含有()f k 的式子表示为 ．5.数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之．6.已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足||,n n b a =*12()n n S b b b n N =+++∈ （Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S 五、课后作业1．如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列结论正确的是（ ）A ．()p n 对所有自然数n 成立B ．()p n 对所有正偶数n 成立C ．()p n 对所有正奇数n 成立D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立2.用数学归纳法证明：“22111(1)1n n a a a a a a ++-++++=≠-”在验证1n =时，左端计算所得的项为（ ）A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++3.已知*111()1()23f n n N n =++++∈，用数学归纳法证明(2)2n n f >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ．4.用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>成立，起始值至少应取为 ． 5.设111()123f n n=++++，是否存在()g n 使等式(1)(2)(1f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切自然数都成立，并证明你的结论． 6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式l n (1)x x +<对0x >成立,求证2:(1)n a e n <≥，其中无理数e=2.71828….第二课时 数学归纳法(2)答案及解析2．基础预探(1)证明：当n 取第一个值0n 结论正确 假设当*0(,)n k k n k N =≥∈时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确.(2) 猜想 证明三、典例导析变式训练1.解析:∵0n a >，∴0n S >．由1111112S a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭变形整理，得211S =，取正根，得11S ==， 由222112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭及22121a S S S =-=-，得22211121S S S ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，变形整理，得222S =，取正根，得2S3S =．由此猜想n S =纳法证明：（1）当1n =时，上面已求出11S =，结论成立．（2）假设当n k =，k *∈N 时，结论成立，即k S 1n k =+时，11111111111222k k k k k k k k S a S S S a S S ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝， 整理得211k S k +=+，取正根，得1k S += 故1n k =+时，结论成立．由（1）和（2），可知对任何n *∈N，n S =变式训练 2.解：设11a b a ==，{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．22(1)a b a d aq d a q ∴=⇒+=⇒=-．因为0n a >，12a a ≠，0d ∴>，0a >，11d q a∴=+>． 22233(2)2(1)(1)0b a aq a d aq a a q a q ∴-=-+=---=->，33b a ∴>．又3244(3)(1)(2)0b a aq a d a q q -=-+=-+>，44b a ∴>．猜想(3n n b a n n *>∈N ，≥．下面用数学归纳法证明此猜想：当3n =时，已证33b a >，猜想正确．（2）假设当n k=（3k ≥，k *∈N ）时猜想正确，即k k b a <．则当1n k =+时，由1k k b a q -=，(1)k a a k d =+-知：1(1)k aq a k d ->+-，又1q >，(1)k aq aq k dq ∴>+-，而(d a q =-，11()(1)()k k k b a aq a kd aq k dq a kd ++∴-=-+>+--+(1)(1)(1)aq k qa q a ka q =+-----2(1)(1)0a k q =-->，11k k b a ++∴>．即当1n k =+时，猜想也成立．由（1）和（2）可知，对3n ≥，n *∈N ，均有n n b a >成立．变式训练3.解析：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+，设点(),P x y 是1C 上任意一点，则1||A P ==()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-，由题意得()20f x '=， 即()()()222122127270x x x b x -+-+-=又()22,2P x 在1C 上，所以222127x x b =-+，解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+(Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则||n A P ==令()()()222n n n g x x x x a x b =-+++，则()()()()2222n n n ng x x x x a x b x a '=-++++， 由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n n n n x x x a x b x a +++-++++= 又1212n n n n n x a x b ++=++， ()()()112201n n n n n x x x a n ++-++=≥，即()()111220*n n n n n x x a +++-+= 下面用数学归纳法证明21n x n =-，①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=，又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}n x 是等差数列四、随堂练习1.B 解析: 21k +的下一个正奇数为23k +2.B 解析: 1,2135(21),1,2135(21)(23)k k n k k n k k k +=⋅⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅⋅+⋅+,增乘2(23)k + 3.21n n -+ 解析: 注意到首项和末项21n n -+4.36()35f k -解析: 2121()61,(1)61,(1)k k f k f k f k -+=++=++=36()35f k -5.解：由112a a =-，11a =，由12222a a a +=⨯-，得232a =．123323a a a a ++=⨯-，得374a =． 由1234424a a a a a +++=⨯-，得4158a =．猜想1212n n n a --=．下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）1n =时，左边11a =，右边11112121122n n +---===，猜想成立．（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121222k k k k S k a k --=-=-．则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-，得1112(1)2k k k S a k a +++-=+-，11[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)11212112222k k k k k k +-+-⎛⎫--=+--= ⎪⎝⎭．这就是说，当1n k =+时，等式也成立．由(1)(2)得1212n n n a --=对n *∈N 均成立． 6.解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥ 下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤所以，当n=k+1时，不等也成立,根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.2)13(1--≤n nn b所以12212)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n n n b b b S 2131)213(1)13(----⋅-=n.33221311)13(=--⋅-<故对任意.332,<∈*n S N n 五、课后作业 1.B 解析:2,4,6,8n =命题成立2.C 解析: 1,n =112a a +=3.111121222k k k ++++++ 解析: 11111(2)12312kkf k k =++++++++, 111111(2)12312k k f k k +=++++++++111212k k +++++4.8 解析: 11111111127212124226412n n n ---++++==->-,即7n > 5.解：(1f =，1(2)12f =+，11(3)123f =++，由(1)(2)(f f f n g n f n g n+++-=-， 得当2n =时，(1)(2)(2)f g f g =-，可得(2)2g =．当3n =时，(1)(2)(3)(f f g f g +=-，得(3)3g =．猜想：()g n n =．用数学归纳法证明：当2n =时，已验证成立．假设n k =（2k ≥，k *∈N ）时成立，即()g k k =，且有(1)(2)(1)[()1]f f f k k f k +++-=-成立．则当1n k =+时，(1)(2)(1)()[()1]()(1)()f f f k f k k f k f k k f k k+++-+=-+=+-1(1)(1)1k f k k k ⎡⎤=++--⎢⎥+⎣⎦ (1)(1)(1)k f k k =++-+．即当1n k =+时成立．综上可知，()g n n =使等式(1)(2)(1)()()()f f f n g n f n g n +++-=-对2n ≥的一切自然数都成立．6.（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k 那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nnn n a +++≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故。

2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.3归纳推理学案新人教A
版选修
【学习目标】
1．了解推理，归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理； 2．培养归纳探索能力，体会并认识归纳推理在数学发现中的应用； 【问题情境】
1．情境1：生活中的一个推理：
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，我们会想到天将要下雨． 情境2：数学中的一个推理： ∵ 两直线相交，对顶角相等，1与2是对顶角， ∴ 1＝2．
问题1：什么叫推理？
问题2：该如何进行推理呢？先看下面的几个推理案例：
情境3：用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物．由此我们猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
情境4：三角形的内角和是
180，凸四边形的内角和是
1802360⨯=，凸五边形的内角和是
1803540⨯=．由此我们猜想：凸n 边形的内角和是
180)2(⨯-n ．
问题3：上述几个例子有什么共同的特点？什么是归纳推理？
问题4：该如何进行归纳推理？
问题5：归纳推理的结论一定成立吗？
归纳推理所得到的结论不一定成立，为什么还要学习归纳推理？由此，你能想到什么？（哥德巴德赫猜想
．已知不等式：
【巩。

那么当 n＝k＋1 时，依题意， 第 k＋1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点，
归纳升华 1．用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式的关键 在于“先看项”，弄清等式两边项的构成规律，等式两边 各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式左边会增加多少项，弄清这些是解决等 式证明的关键． 2．“假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳 假设起着已知条件的作用，“n＝k＋1 时命题也成立”则 是求证的目标．在证明“n＝k＋1 时命题也成立”的过程 中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、 性质等推证出 n＝k＋1 时命题也成立．
k＋2 k＋3
2k＋1 2k＋2
即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
类型 2 利用数学归纳法证明不等式 [典例 2] 已知{an}为等比数列且 an＝2n－1，记 bn＝ 2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的 n∈N*， 不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立． 证明：由已知条件可得 bn＝2n(n∈N*)， 所以所证不等式为2＋2 1，4＋4 1·…·2n2＋n 1> n＋1. (1)当 n＝1 时，左边＝32，右边＝ 2，
即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k ＝12k(k－1＋2) ＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]， 所以当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，对任意 n∈N*，n≥2，命题都成立．
归纳升华 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几 何元素从 k 增加到 k＋1 时，所证的几何量增加多少，同 时要善于利用几何图形的直观性，建立 k 与 k＋1 之间的 递推关系．

2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，能够证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n ∈N *且n ≥n 0的所有正整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据． 3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度) (3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n ＝1时，结论成立；(2)假设当n ＝k 时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也必定成立． 当n ＝1时结论成立――→利用2当n ＝2时结论成立――→利用2当n ＝3时结论成立――→利用2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )共有________项，f (2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1] . (3)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示)． 答案 (1)n 2－n ＋1 12＋13＋14 (2)2×3n －1(3)S k ＋12k ＋1－12k ＋2探究1 用数学归纳法证明等式问题 例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．故当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立． 拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】 用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立． 探究2 用数学归纳法证明不等式问题 例2 证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． [证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k 2＋k ＋12＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立． 拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )>g (k )，求证f (k ＋1)>g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，1＋12≤1＋121≤12＋1∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n ∈N *都成立． 探究3 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *. [证明] 证法一：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)，因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．所以当n ＝k ＋1时命题也成立， 由①②知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．证法二：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2(42k ＋1＋3k ＋2)．因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，所以42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N*.证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1.数列中的归纳—猜想—证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即 k 2＋k <k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程中未用到(2)中假设，所以不正确，故选D. 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13(n ∈N *)时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k (k ∈N *)时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)，故答案为2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝13＝1， 右边＝14×12×(1＋1)2＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即13＋23＋…＋k 3＝14k 2(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，13＋23＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝14k 2(k ＋1)2＋(k ＋1)3 ＝(k ＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14k 2＋k ＋1＝14(k ＋1)2(k ＋2)2＝14(k ＋1)2[(k ＋1)＋1]2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②可知，等式对任意n ∈N *都成立.。

2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．要点一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是________．答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．规律方法 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.要点二 证明与自然数n 有关的等式例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k＋12k ＋1＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； (2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12－12k k ＋1＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，n 2n －12 n ≥2，下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2n －12.①当n ＝2时，a 2＝222－12＝22，所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝k 2k －12，则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝k ＋12a 1·a 2·…·a k －1·a k＝k ＋12k －12·k －12[k ＋1－1]2＝k ＋12[k ＋1－1]2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2n －12，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，n 2n －12 n ≥2.规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n n ＋12a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×2＋12a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×3＋12a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×4＋12a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130.(2)由(1)的结果猜想a n ＝1n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法给予证明：①当n ＝1时，a 1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k ＋1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·k ＋12a k ，① S k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1， ②②与①相减得a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1－k ·k ＋12a k ，整理得a k＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1k ＋1k ＋2＝1k ＋2k ＋3＝1[k ＋1＋1][k ＋1＋2]，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝712，T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝712. (2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋1＝T k ＋12k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＋12k ＋1＝T k ＋1.由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2k ＋2k ＋3＝2k ＋3＝2k ＋1＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)． 9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋12.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k k ＋12，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k k ＋12＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·k ＋1k ＋22＝(－1)k ＋1－1·k ＋1[k ＋1＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋51－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 n ＝15×2n －2n ≥2，n ∈N *.三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想a n＝1n n＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即a k＝1k k＋1. 那么，当n＝k＋1时，S k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，即S k＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1.又S k＝1－ka k＝kk＋1，所以kk＋1＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，从而a k＋1＝1k＋1k＋2＝1k＋1[k＋1＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。

数学归纳法【学习目标】了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 【重点难点】重点：理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤.难点：运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系. 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 92-95内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.什么是数学归纳法?一般的，当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个不骤：（1）证明当0n n =时命题成立；（2）假设当n=k （0,k N k n +∈≥且）时命题成立，证明1n k =+时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对不小于0n 的所有正整数都成立。

这种证明方法成为数学归纳法.2.数学归纳法是用来证明 与正整数有关 的命题的;证明步骤是 (1) 证明当0n n =时命题成立 ;(2) 假设当n=k （0,k N k n +∈≥且）时命题成立，证明1n k =+时命题也成立 . 【合作探究】问题1：用数学归纳法证明等式 1. 用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证明：（1）当1n =时，左边=1=右边，成立. （2）假设1)n k k =≥（时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=.当1n k =+时，左边=135(21)[2(1)1]k k ++++-++-2221(1)k k k =++=+因此，当1n k =+时命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立. 2. 用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n 证明：（1）当1n =时，左边=13=右边，成立. （2）假设1)n k k =≥（时，命题成立，即222121335(21)(21)(1)2(21)k k k k k k +++⋅⋅-++=+当1+=k n 时，右边=2(1)(1)2(21)(21)(23)(1)(2)(1)[(1)1]2(23)2[2(1)1]k k k k k k k k k k k k +++++++++++==+++因此，当1n k =+时命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立. 问题2：用数学归纳法证明不等式 1. 用数学归纳法证明：22211111++++2(2,)23n n N n n+<-≥∈证明：（1）当2n =时，21513122422+=<-=，命题成立； （2）假设当(2,)n k k k N +=≥∈时命题成立，即22211111++++223k k<-， 当1n k =+时，2222211111++++23(1)111122(1)(1)11112211k k k k k k k k k k k +<+-+<-+++=-+-=-++ 命题成立，由（1）（2）知，原不等式在2,n n N +≥∈时均成立.2. 设1n >(n N +∈),求证：21111+++112n n n n+>++. 证明（1）当2n =时，左边=11113123412++=>.（2）假设当(2,)n k k k N +=≥∈时命题成立，即21111+++112k k k k+>++ 那么1n k =+时2222222222222111+++1(1)1(1)11111(1)1211112(1)1111()111112(1)211111(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++-+=+++++++++++++=+++++++++-+++-->+-=+++22222192()2415951()124441111+++11(1)1(1)1(1)k k k k k k k k k ≥∴-≥∴-+=--≥-=∴+>++++-+所以当1n k =+时，不等式也成立.由（1）（2）知，原不等式在2,n n N +≥∈时均成立.问题3：.归纳——猜想——证明 1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝nna a +1（n ∈N+），先计算a 1，a 2，a 3的值，再推测通项n a 的公式． 解：由题意得：12341111,,,234a a a a ==== 归纳猜想的1n a n=. 证明：（1）显然，当1n =时，成立。

高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究新人教A版选修2-2探究一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1，n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【典型例题1】用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0；第二步在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任意n∈N*都成立．探究二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1．验证第1个n 的取值时，要注意n 0不一定为1，若条件为n ＞k ，则n 0＝k ＋1. 2．证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．3．应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n ＝k ＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程．4．证明n ＝k ＋1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大”或“缩的过小”．【典型例题2】用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n＞n (其中n ∈N *，n ＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1k ＋1. (方法1)由于⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －kk ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞k ＋1.即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立． 探究三 归纳—猜想—证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；【典型例题3】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明．思路分析：本题考查数列中的归纳——猜想——证明问题，先由前n 项猜测a n ，再用数学归纳法证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2时易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k ＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2，即当n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确． 探究四 易错辨析易错点：没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．。