学习k12精品高中数学必修二人教A版练习：4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的

圆与圆的位置关系【课时目标】．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．圆与圆位置关系的判定有两种方法：．几何法：若两圆的半径分别为、，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示与、的关系＝＋－<<<．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程一、选择题．两圆(＋)＋(－)＝和(－)＋(＋)＝的位置关系是()．外切．内切．相交．相离．两圆＋－＋＋＝与＋＋－－＝的公切线有()．条．条．条．条．圆＋－＋＝和圆＋－＝交于、两点，则的垂直平分线的方程是()．＋＋＝．－－＝．－－＝．－＋＝．圆：(－)＋(＋)＝与圆：(＋)＋(－)＝外切，则的值为()．．－．或－．不确定．已知半径为的动圆与圆(－)＋(＋)＝相切，则动圆圆心的轨迹方程是()．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝．集合＝{(，)＋≤}，＝{(，)(－)＋(－)≤，>}，且∩＝，则的取值范围是()．(，－) ．(]．(－] ．(]二、填空题．两圆＋＝和(＋)＋(－)＝相切，则实数的值为．．两圆交于()及(，－)，两圆的圆心均在直线－＋＝上，则＋的值为．．两圆＋－＋－＝和＋＝的公共弦长为．三、解答题．求过点()且与圆：＋＋＋＝切于原点的圆的方程．．点在圆心为的方程＋＋－＋＝上，点在圆心为的方程＋＋＋＋＝上，求的最大值．。

圆与圆的位置关系
直线与圆的方程的应用
．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)
．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)
教材整理圆与圆位置关系的判定
阅读教材至“练习”以上部分，完成下列问题．．几何法：若两圆的半径分别为、，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：
))一元二次方程(\\(Δ>⇒相交,Δ＝⇒内切或外切,Δ<⇒外离或内含))
两圆＋＝和＋－＋＋＝的位置关系是( )
．外离
．相交
．外切
．内切【解析】两圆＋＝和＋－＋＋＝的圆心分别为()和(，－)，半径分别为和.
所以两圆的圆心距＝＝.
又－<<＋，故两圆相交．
【答案】
教材整理直线与圆的方程的应用
阅读教材“练习”以下至“练习”以上部分，完成下列问题．
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
一辆卡车宽米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面
的高度不得超过( )
．米
．米
．米
．米
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．
如图，设蓬顶距地面高度为，则(，－)．半圆所在圆的方程为：＋(＋)＝，把(，－)代
入得＋＝，∴＝≈(米)．
【答案】
当实数为何值时，两圆：＋＋－＋＝，：＋－－＋＝相交、相切、相离？
【精彩点拨】→→→。

圆与圆的地点关系一、选择题 ( 每题 6分,共 30分)1.两圆 (x-a) 2+(y-b) 2=c 2和 (x-b) 2+(y-a) 2=c2相切 ,则()2222A.(a-b) =cB.(a-b) =2cC.(a+b) 2=c2D.(a+b) 2=2c22.(2013 ·宁波高二检测2222交于 A,B 两点 ,则 AB的垂直均分)圆:x +y -4x+6y=0和圆 :x +y -6x=0线的方程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=03.若圆 (x-a) 2+(y-b) 2=b 2+1 一直均分圆 (x+1) 2+(y+1) 2=4 的周长 ,则 a,b 应知足的关系式是 ()A.a 2-2a-2b-3=0B.a2+2a+2b+5=022C.a +2b +2a+2b+1=0D.3a 2+2b 2+2a+2b+1=04.设两圆 C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点 (4,1),则两圆心的距离 |C1C2 |=()A.4B.4C.8D.82222)5.点 P 在圆 C1:x +y -8x-4y+11=0上 ,点 Q 在圆 C2:x +y +4x+2y+1=0 上 ,则 |PQ|的最小值是 (A.5B.1C.3-5D.3+5二、填空题 ( 每题 8分,共 24分)6. 若A={(x,y)|x22≤ 16},B={(x,y)|x22≤ a-1} 且A∩ B=B, 则a的取值范围+y+(y-2)是 ,.7.(2013 ·成都高二检测 )两圆订交于两点A(1,3) 和 B(m,-1), 两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c 的值为 ,.8. ☉ O:x 2+y2=1, ☉ C:(x-4) 2 +y 2=4, 动圆P 与☉ O 和☉ C 都外切 ,动圆圆心P 的轨迹方程为 ,.三、解答题 (9 题 ,10题 14 分,11 题 18 分)9.(2013 ·杭州高二检测)求圆心在直线x-y+1=0 上,且经过圆2222x +y +6x-4=0 与圆 x +y +6y-28=0的交点的圆的方程.10.圆 O1的方程为 x2+(y+1) 2=4,圆 O2的圆心 O2(2,1).(1)若圆 O2与圆 O1外切 ,求圆 O2的方程 ,并求公切线方程 .(2) 若圆 O2与圆 O1交于 A,B 两点 ,且 |AB|=2,求圆 O2的方程 .11.(能力挑战题 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知曲线 C 由圆弧 C1和圆弧 C2相接而成 , 两相接点M,N均在直线x=5 上 .圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为r 1=13;圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧 C2所在圆的方程 .(2) 曲线 C 上能否存在点P,知足 |PA|=|PO|?若存在 ,指出有几个这样的点;若不存在 ,请说明原因 .答案分析1.【分析】选 B.两圆半径相等,故两圆外切 ,圆心距 d==|b-a|=2|c|,所以 (b-a)2=2c2,即 (a-b)2=2c2.2.【分析】选 C.将两圆方程相减 ,得公共弦 AB 所在直线的方程为 x+3y=0,AB的垂直均分线的斜率为 3,其方程为 y=3(x-3), 即 3x-y-9=0.【拓展提高】求解订交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得:x2+y 2+D1 x+E 1y+F 1-(x 2+y 2 +D2x+E 2y+F 2)=0即 (D 1-D 2)x+(E 1-E2)y+(F 1-F2 )=0 ①我们把直线方程①称为两圆C1,C 2的根轴 ,当两圆 C1,C2订交时 ,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程;当两圆 C1,C2相切时 ,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程 .3.【分析】选 B. 利用公共弦一直经过圆22的圆心即可求得 .两圆的公共弦所在(x+1) +(y+1)=4的直线方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a 2-1=0, 它经过圆心 (-1,-1), 代入得 a2+2a+2b+5=0.4.【解析】选 C. 设与两坐标轴都相切的圆的方程为 (x-a)2+(y-a) 2=a2, 将点 (4,1) 代入得a2-10a+17=0,解得 a=5±2,设 C1(5-2,5-2),C2(5+2,5+2),则|C1C2|==8.5.【分析】选 C. 圆22即22C1(4,2);圆C1:x +y -8x-4y+11=0,(x-4) +(y-2)=9,圆心为C2:x2 +y2+4x+2y+1=0,即 (x+2) 2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1), 两圆相离 ,|PQ| 的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3-5.6.【分析】会合 A,B分别表示两个圆面(a=1 时会合 B 表示一个点 ),A ∩B=B, 即 B A, 即两圆内含 ,又两圆圆心分别为原点和(0,2), 半径分别为 4和,于是有 2≤ 4-,解得 :1≤ a≤ 5,当 a<1 时 ,B=,故 a≤ 5.答案 :a≤ 57.【分析】由题意知 ,线段 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上 ,且 k AB ==-1,即 m=5,又点 (,1)在该直线上 ,所以-1+c=0, 所以 c=-2, 所以 m+c=3.答案 :38.【解析】☉ P 与☉ O 和☉ C 都外切 , 设☉ P 的圆心 P(x,y), 半径为 R, 则|PO|==R+1,|PC|==R+2, 所以-=1,移项、平方化简得:60x 2-4y2-240x+225=0.答案 :60x 2-4y 2-240x+225=09.【分析】设圆22与圆22的交点为A,B,解方程x +y +6x-4=0x +y +6y-28=0组 :或不如设 A(-1,3),B(-6,-2),所以直线 AB 的垂直均分线方程为:x+y+3=0,x-y+1=0 与 x+y+3=0联立 ,解得 :x=-2,y=-1, 即所求圆心 C 为 (-2,-1), 半径 r=|AC|=.故所求圆 C 的方程为 :(x+2) 2+(y+1)2=17.10. 【解析】 (1) 由两圆外切 , 所以 |O1 O2|=r1 +r2,r2=|O1O2|-r1=2(-1), 故圆 O2的方程是 :(x-2) 2+(y-1) 2 =4(-1) 2,两圆的方程相减 ,即得两圆公切线的方程x+y+1-2=0.(2) 设圆 O2的方程为:(x-2)22, +(y-1) =由于圆 O1的方程为:x2+(y+1) 2=4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程 :4x+4y+-8=0.①作 O1H⊥ AB, 则|AH|= |AB|=,O1H=,由圆心 O1(0,-1) 到直线①的距离得=,得 =4 或 =20,故圆 O2的方程为 :2222(x-2) +(y-1)=4 或 (x-2) +(y-1)=20.11.【分析】 (1) 由题意得 ,圆弧 C1所在圆的方程为x2+y 2=169,令 x=5, 解得 M(5,12),N(5,-12), 又 C2过点 A(29,0),设圆弧 C2所在圆方程为x2+y 2+Dx+Ey+F=0, 则解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y 2-28x-29=0.(2)假定存在这样的点 P(x,y),则由 |PA|=|PO|,得222222(x-29)+y =30(x+y ),即 x +y +2x-29=0.由解得 x=-70( 舍去 );由解得 x=0( 舍去 ).所以这样的点P 不存在 .。

4.2.2 圆与圆的位置关系一、基础过关1．已知0<r<2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( ) A．外切B．相交C．外离 D．内含2．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是( ) A．(－2,39) B．(0,81) C．(0,79) D．(－1,79)3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．2条B．3条C．4条 D．0条4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝95．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.6．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B 中有且仅有一个元素，则r的值是__________．7．a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)内切．8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．二、能力提升9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝010．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是( )A．a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤511．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．12．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a 为何值时，两圆C1、C2：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．三、探究与拓展13．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．答案1．B 2．D 3．B 4．D5．±16．3或77．解 将两圆方程写成标准方程，得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝3＋2＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或2.(2)当d ＝3－2＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或－2.8．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝3＋121＋22＝13. 因此，|MN |的最大值是13＋5.9．B 10．D11．412．解 对圆C 1、C 2的方程，经配方后可得： C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16，C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4，C 2(2a,1)，r 2＝1，∴|C 1C 2|＝a －2a 21－12＝a ，(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切．当|C 1C 2|＝|r 1－r 2|＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3<|C 1C 2|<5，即3<a <5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|>5，即a >5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|<3，即0<a <3时两圆内含．13．解 设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，所以圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①因为圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③因为圆B 平分圆A 的周长，所以圆A 的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋352＋215≥215，所以当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝215.。

4.2.2圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，将方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＋D1x ＋E1y ＋F1＝0，x2＋y2＋D2x ＋E2y ＋F2＝0，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交； ②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C 1与C 2相离或内含．类型一两圆的位置关系命题角度1两圆位置关系的判断 例1已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是() A ．内切B ．相交 C ．外切D ．相离 答案B解析由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22，∴a2＋(－a )2＝22，又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交．反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． 跟踪训练1已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为() A ．1或3B ．4C ．0D ．2 答案D解析由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2.又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2已知两圆的位置关系求参数例2当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0： (1)外切；(2)相交；(3)相离． 解将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2. (3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆相离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为() A ．±3B ．±5 C ．3或5D ．±3或±5 答案D解析圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a2＋(0－0)2＝|a |.当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5； 当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二两圆的公共弦问题例3已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，|r 1－r 2|＝|52－10|，∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r21－d2＝250－45＝25.方法二设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x2＋y2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25.即公共弦长为25.反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 跟踪训练3(1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案3解析由题意知直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直， ∴k AB ×1＝－1，即3－(－1)1－m ＝－1，得m ＝5， ∴AB 的中点坐标为(3,1)．又AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， ∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2， ∴m ＋c ＝5－2＝3.(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254截得的弦长．解由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为 x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)， 其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.类型三圆系方程及应用例4求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程． 解方法一设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x －6＝0，x2＋y2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x2＋y2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－1，y1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝3，y2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎨⎧y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程． 解设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是() A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 答案B解析圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有() A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案B解析因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是() A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 答案C解析AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A 、B 、D. 4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________． 答案(x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5， 当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．课时作业一、选择题1．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝1与圆x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0的位置关系是() A ．外切B ．内切 C ．相交D ．相离 答案B解析圆x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0变形为(x －7)2＋(y －1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r 1＝6，圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r 2＝1，所以圆心距d ＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r 1－r 2，所以两圆内切．2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程为()A ．x ＋2y ＋1＝0B ．x ＋2y －1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －2y －1＝0 答案B解析两个圆的方程相减，得x ＋2y －1＝0.故选B.3．若圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为() A ．2B ．－5 C ．2或－5D ．不确定 答案C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m )，(m ，－1)， 两圆的半径分别为3,2，由题意得(m ＋2)2＋(－1－m )2＝3＋2， 解得m ＝2或－5.4．设r ＞0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切或内含D．外切或相离答案D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选D.5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r＜5＋1B．r＞5＋1C．|r－5|≤1D．|r－5|＜1答案C解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4. 7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4B．42C．8D．82答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0， ∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1相离，则a ，b 满足的条件是_____． 答案a 2＋b 2＞3＋22解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆相离，所以a2＋b2＞2＋1，即a 2＋b 2＞3＋22.9．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． 答案27解析由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r21－d2＝232－(2)2＝27.10．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________． 答案3或7解析∵A ∩B 中有且仅有一个元素，∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切． 当两圆内切时，由32＋42＝|2－r |，解得r ＝7； 当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3.∴r ＝3或7.11．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.三、解答题12．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解(1)设圆O 2半径为r 2，因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2.又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)2]＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－82. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 2－8＝0， 作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2， 所以|O 1H |＝r21－|AH|2＝4－2＝2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 2－8＝0的距离为|r22－12|42＝2，得r 2＝4或r 2＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展 13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.14．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×(－33)＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.。

4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用【选题明细表】1.(2018·陕西西安高一期末)两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( B )(A)相离(B)相交(C)内切(D)外切解析:把x2+y2-8x+6y+9=0化为(x-4)2+(y+3)2=16,又x2+y2=9,所以两圆心的坐标分别为(4,-3)和(0,0),两半径分别为R=4和r=3, 则两圆心之间的距离d==5,因为4-3<5<4+3即R-r<d<R+r,所以两圆的位置关系是相交.2.(2018·辽宁大连期末)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+6=0和圆C2:x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为( B )(A)内含(B)内切(C)相交(D)外切解析:两圆的标准方程为(x-)2+(y-2)2=1,x2+(y-3)2=9,圆心坐标分别为C1(,2),C2(0,3),半径分别为r1=1,r2=3,则|C1C2|====2=3-1=r2-r1,即两圆相内切,故选B.3.两圆(x-a)2+(y-b)2=c2和(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则( B )(A)(a-b)2=c2 (B)(a-b)2=2c2(C)(a+b)2=c2 (D)(a+b)2=2c2解析:两圆半径相等,故两圆外切,圆心距d==|b-a|=2|c|,所以(b-a)2=2c2,即(a-b)2=2c2,故选B.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( D )(A)(x-4)2+(y-6)2=6 (B)(x±4)2+(y-6)2=6(C)(x-4)2+(y-6)2=36 (D)(x±4)2+(y-6)2=36解析:由题意知,半径为6的圆与x轴相切,且圆心在x轴上方.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则b=6,再由=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.故选D.5.(2018·浙江台州检测)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km 处,则城市B处于危险区内的时间为( B )(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h解析:如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区,取MN的中点E,连接BE,BN,BM,则BE⊥MN,BN=BM,△ABE为等腰直角三角形,因为AB=40 km,所以BE=20 km,在Rt△BEN中,NE== 10(km),则|MN|=20(km),所以时间为1 h.故选B.6.(2018·郑州一中高一测试)圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0的公共弦的弦长为.解析:两圆相交弦所在的直线方程为3x-4y+6=0,圆x2+y2+2x-6y+1=0的圆心到直线3x-4y+6=0的距离d==,所以弦长为2=2×=.答案:7.求过点A(4,-1),且与圆C:(x+1)2+(y-3)2=5相切于点B(1,2)的圆的方程.解:设所求圆的圆心M(a,b),半径为r,已知圆C的圆心为C(-1,3),因为切点B在连心线上,即C,B,M三点共线,所以=,即a+2b-5=0.①直线AB的方程为=,即x+y-3=0,所以AB的垂直平分线为x-y-2=0,圆心M在AB的垂直平分线上,所以a-b-2=0.②联立①②解得故圆心坐标为M(3,1),r=|MB|=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.8.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于两点.(1)求公共弦AB所在的直线方程;(2)求圆心在直线AB上,且经过A,B两点的圆的方程;(3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.解:(1)圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0的公共弦所在直线方程为x2+y2+2x+2y-8-(x2+y2-2x+10y-24)=0,即x-2y+4=0. (2)由解得或所以A,B两点的坐标分别为(-4,0),(0,2),中点坐标为(-2,1),则|AB|==2,故所求圆的圆心为(-2,1),半径为,所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.(3)经过A,B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆,与(2)的圆是相同的.则所求圆的方程为x2+y2+4x-2y=0.9.(2018·山东泰安模拟)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5-4 (B)-1(C)6-2 (D)解析:两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1′C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.10.已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,即≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.答案:11.已知隧道的截面是半径长为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少? 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为x2+y2=16(y ≥0).将x=2.7代入,得y==<3,所以,在离中心线2.7 m处,隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.将x=a代入x2+y2=16(y≥0),得y=,所以货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为m.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 解:(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上, 由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤CD≤2+1,即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以圆C的横坐标a的取值范围为[0,].。

思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程， 当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切， 当Δ<0时，两圆外离或内含.
答案
解析答案
1 23 4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
解析答案
1 23 4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( D )
解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 3－－1
1－m ＝－1，得 m＝5， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线x－y＋c＝0上. ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
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重点难点 个个击破

【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)， 故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322， 所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2， 即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解． 如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小． 于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2， 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0， 即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。

高二直线与圆的位置关系（习题）【学习目标】1 .强化典型题型训练，形成熟练的解题思路及步骤。

2 .解决有关直线与圆的问题时，一定要练习圆的几何性质：如垂径定理。

3 .体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。

【学习流程】 一：回顾旧知,渗透题型： 二.活学活用，拓展思维：1 .求圆心在直线 2x y 3上，且与两坐标轴相切的圆的方程 .2 .求过点 A （2,4）向圆x 2 y 24所引的切线方程 .3 .圆x 2y 24x 0在点P （1, J3）处的切线方程为（）人 x .. 3y 2 0° x .. 3y 4 0cx..3y 4 0 x , 3y 2 0A.B ・C ・D ・4 .已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上，直线 3x 4y 4 0与圆C 相切，则圆 C 的方程为（）22___22_22___22-Ax y 2x30x y 4x0x y 2x30 x y 4x 0ABCD.5 .若直线x y 2被圆（x a ）2 y 2 4所截得的弦长为2后,则实数a 的值为（ ）A.1或 %’5 B. 1或3 C,2或 62 2D 为圆（x 1） y 25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（x y 3 0 2xy 30cxy 10B.C.2（y 3）9交于E ，F两点，则EOF （O 是原点）三.迁移运用，提升能力： （一）有关方程一 9.方程x （x 2 y 2 4） 0与x 2 （x 2 y 2 4）2 0表示的曲线是（）A.都表示一条直线和一个圆B.前者是一条直线或一个圆，后者是两个点 C.都表示两个点D.前者是两个点，后者是一直线和一个圆)A. 2B , 4C . 2,5D.5536-5方程。

D. 0或 46,若 P(2,D. 2x27.直线x2y 3 0与圆(x 2)的面积为（x y 0截得的弦长为2<7的圆的10、方程y=—J25 x2表示的曲线是（）A、一条射线B、一个圆C、两条射线D、半个圆11.方程x y 1》x2 y2 4 0所表示的图形是（）A . 一条直线及一个圆B.两个点C. 一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆12.若直线y x b 与曲线y 3 V4x―x2有公共点，则b的取值范围是.y 4 ,,13、点P （x,y）在圆x2+y2=4上.则-------- 的取大值是x 4 ------14、已知x2+y2+4x — 2y-4=0 ,贝U x2+y2的最大值为（三）有关圆的拓展常用结论一15:设点M（x0, y0）为圆x2+y2=r2上一点，如何求过点M的圆的切线方程？16:设点M（x0, y0）为圆（x-a）2 + （y-b）2=r2上一点，如何求过点M的圆的切线方程？17.已知动点M到点A （2, 0）的距离是它到点B （8, 0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.（五）作业练习题训练一、选择题1.（文）直线x+y=1与圆x2+y2—2ay=0（a>0）没有公共点，则a的取值范围是（）B.(V2 -1, &+1)A. (0, V2-1)C. （-V2-1, V2+1）D.（o, V2+1）（理）直线x —y+m=0与圆x2+y2—2x—1 = 0有两个不同交点的一个充分不必要条件（）A. — 3<m<1B. — 4<m<2C.0<m<1D. m<12.直线l： 2xsin a+ 2ycosa+ 1 = 0,圆C： x2+ y2+ 2xsin a+ 2ycosa= 0, l 与C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.（文）圆x2+y2—2x —2y+1 = 0上的点到直线x—y=2的距离的最大值是（）A. 2B. 1+小C. 2+ gD. 1+2限（理）若圆x2+y2—6x —2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax —y+1 = 0（a是实数）的距离为1,则a等于（）A. ±1B. ±q2C.班D.受4.过点（—4,0）作直线l与圆x2+y2+2x —4y—20=0交于A、B两点，如果|AB|=84U（）A.l 的方程为5x+12y+20=0或x+4=0B.l 的方程为5x-12y+ 20=0 或x+ 4=0C.l 的方程为5x-12y+20=0D.l 的方程为5x+12y+20=05.设直线x+ky—1=0被圆O: x2+y2=2所截弦的中点的轨迹为M ,则曲线M与直线x—y—1 = 0的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定6.已知直线ax+by-1 = 0（a, b不全为0）与圆x2+y2= 50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A. 66 条B. 72 条C. 74 条D. 78 条7.（文）圆x2+y2+2x —4y+1 = 0关于直线2ax-by+2=0（a, bC R）对称，则ab的取值范围是（）A. ―00,C.（理）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A. 0.5小时C. 1.5小时D, 2小时8.若在区间（一1,1）内任取实数a,在区间（0,1）内任取实数b,则直线ax—by=0与圆（x— 1）2 + （y—2）2= 1相交的概率为（）3A.8C.5D.316、填空题9.已知直线l: x —2y—5=0与圆O: x2+y2=50相交于A、B两点，则^ AOB的面积为.10.（文）过原点。

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。

(1) 当 | AB | r r2 即 (a 1)2 (a 2)2 3 2 1
a 5或 2 时, 两圆外切 .
当 | AB || r r2 | 即 (a 1)2 (a 2)2 3 2 1
a 2或 1 时两圆内切.
(2) 当 | r r2 || AB | r r2 即1 (a 1)2 (a 2)2 5 1 1
天 才 在 于 勤 奋， 努 力 才 能 成 功！
直线与圆的位置关系 1、直线和圆相离 2、直线和圆相切

判定方法
C2
d r
0

C2
d r
d r
0 0
3、直线和圆相交

C2
直线和圆的位置关系
几何方法
类比
猜想
代数方法
圆和圆的位置关系
几何方法
代数方法
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
5 a 2 或 1 a 2 时两圆相交.
(3) 当 | AB | r r2 即 (a 1)2 (a 2)2 5 1
a 5或a 2时两圆相离
例题讲解
例1.判断C1和C2的位置关系，如果相交，求出 相交弦的方程。
C1 : x 2 y 2 2 x 8 y 8 0 C2 : x y 4 x 4 y 2 0
外切
2 2
3.求圆心在直线x y 4 0上，且经过两圆x +y -4x-3=0 和x +y -4y-3=0的交点的圆的方程
2 2
圆方程为（x-3） ( y 1) 13
2 2
解：C1 (0, 0)
d 22 02
r1 3

4.2.2圆与圆的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为()A．外切B．内切C．外离D．内含2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条B．3条C．2条D．1条3. 已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程为()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0.若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是()A．m<1 B．m>121C．1≤m≤121 D．1<m<1215．设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝367．已知集合M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A．[－3 2，3 2] B．[－3，3]C．(－3，3 2] D．[－3 2，3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1，2)，且半径为2 5的圆的方程为________________．9．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点的最短距离是________．10．经过两圆x2＋y2＝9和(x＋4)2＋(y＋3)2＝8的交点的直线方程为________________．11．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4，0)，则过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程为________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，且圆C过圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，求圆C的方程．13．(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．14．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________________．15．(15分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且|PQ|＝|PA|.(1)求实数a，b间满足的等量关系；(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．4．2.2 圆与圆的位置关系1．A [解析] 因为两圆心间的距离d ＝r 1＋r 2＝3，所以圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系为外切．2．C [解析] 设⊙O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，⊙O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2，4)，R ＝8，∴|O 1O 2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13， ∴r －R <|O 1O 2|<R ＋r ， ∴两圆相交． ∴公切线有2条．3．C [解析] x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0可化为()x －22＋()y ＋32＝13，圆心为(2，－3)；x 2＋y 2－6x ＝0可化为()x －32＋y 2＝9，圆心为(3，0)．因为圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，所以AB 的垂直平分线即为过两圆圆心的直线，即为3x －y －9＝0.4．C [解析] 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m ，则圆心C 1(0，0)，半径r 1＝m ；圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心C 2(－3，4)，半径r 2＝6.∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤（－3－0）2＋（4－0）2≤m ＋6， ∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121. 5．D [解析] 两圆圆心之间的距离d ＝10，而r 1＋r 2＝4＋r >4， ∴d <r 1＋r 2，∴两圆不可能外切或外离．6．D [解析] 根据圆的半径为6，可排除A ，B ，再通过验证知圆心是(±4，6)，半径是6的圆与圆x 2＋(y －3)2＝1内切．7．C [解析] 由M ∩N ≠∅，知直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)相交，所以画图(图略)可知－3<b ≤3 2.8．(x ＋3)2＋(y －6)2＝20 [解析] 设所求圆的圆心为O 1(a ，b )，则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝20.∵两圆外切于点P ，且两圆的半径分别为5，2 5，∴－1＝0＋a 3，2＝0＋b3，∴a ＝－3，b ＝6，∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝20.9.2 [解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为()x ＋12＋(y －2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为 2.x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0可化为(x －2)2＋()y ＋12＝2，圆心为(2，－1), 半径为2.所以两圆圆心距为32，所以两圆上的点的最短距离是 2.10．4x ＋3y ＋13＝0 [解析] 由两圆的方程相减，得4x ＋3y ＋13＝0，所以过两圆交点的直线方程为4x ＋3y ＋13＝0.11．(x －2)2－y 23＝1 [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )．因为动圆过定点A ，所以|PA |即为动圆半径．当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |＝|PA |＋2.当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |＝|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||＝2，即|x 2＋y 2－（x －4）2＋y 2|＝2，化简可得(x －2)2－y 23＝1.12．解：因为圆C 过两圆的交点，所以设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0，即 (1＋λ)(x 2＋y 2)－4x －4λy －3λ－3＝0，即 x 2＋y 2－4x1＋λ－4λy 1＋λ－3＝0，所以圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ. 因为圆C 的圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0,解得λ＝－13，故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.13．解：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1，3)，N (5，6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋10 11.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心之间的距离5， 所以61－m －11＝5，解得m ＝25－10 11. (3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 圆心4x ＋3y －23＝0，则公共弦长为2 （11）2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝2 7.14．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 [解析] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程即为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2，0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2，0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝（3）2－（2）2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.15．解：(1)连接OP .∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，∴|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2. 又|PQ |＝|PA |，故|PA |2＝|PO |2－1，即(a 2＋b 2)－1＝(a －2)2＋(b －1)2.整理得2a ＋b －3＝0. (2)设圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 有公共点，且半径最小，∴|OP |＝a 2＋b 2＝a 2＋（－2a ＋3）2＝5a －652＋95，故当a ＝65时，|OP |取得最小值355.此时，b ＝－2a ＋3＝35，R 取得最小值355－1.所以当半径取最小值时，圆P 的方程为x －652＋y －352＝35 5－12.。

第31课时圆与圆的位置关系对应学生用书P87判断圆与圆的位置关系知识点一A．相切B．内含C．相交D．外离答案 B解析因为两圆的圆心距d＝(3＋3)2＋(－6－2)2＝10<12－1＝11，所以两圆内含．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案 D解析圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线的条数为4．方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案 D解析由题意，可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，故所求圆的方程是(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36．4．已知圆x2＋y2－6x＋12y－19＝0和圆x2＋y2＋6x－4y－k＝0相切，则k＝________．答案－9或311解析将两圆方程分别化为(x－3)2＋(y＋6)2＝64，(x＋3)2＋(y－2)2＝k＋13，两圆圆心距d＝10．当两圆外切时，10＝8＋k＋13，得k＝－9；当两圆内切时，311．10＝|k＋13－8|，得k＝b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0答案 B解析利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，将(－1，－1)代入得a2＋2a ＋2b＋5＝0．6．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y－a2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by ＋2b2－10b＋16＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1－x2y1－y2＋y1＋y2x1＋x2＝0，求实数b的值．解由x1－x2y1－y2＋y1＋y2x1＋x2＝0，整理得x21＋y21＝x22＋y22，所以|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，于是两圆连心线C1C2必过原点，即C1(2，－1)，C2(b－5，b)，O(0，0)三点共线，所以b＋1b－7＝－12，解得b＝53．122)2＝4上，则|MN|的最大值是()A．5 B．7 C．9 D．11答案 C解析由题意得圆C1的圆心C1(－3，1)，半径长r1＝2．圆C2的圆心为C2(1，－2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距为(－3－1)2＋(1＋2)2＝5>r1＋r2，所以两圆相离，|MN|的最大值是5＋2＋2＝9．8．如图所示，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2．两个半径长相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的最大值是________．答案2－π2解析如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成的图形面积S取得最大值，此时四边形ABO2O1为矩形，且S max＝2×1－12×π2×12×2＝2－π2．一、选择题1．若圆(x＋1)2＋y2＝4和圆(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是()A．0<a<2B．－4<a<－2或0<a<2C．－4<a<－2D．－2<a<0或2<a<4答案B解析两圆圆心C1(－1，0)和C2(a，0)，半径r1＝2，r2＝1，∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a＋1|<3，∴0<a<2或－4<a<－2．故选B．2．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A．(0，2－1) B．(0，1]C．(0，2－2] D．(0，2]答案 C解析由M∩N＝N得N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥2，即0＜r≤2－2．3．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A．相交B．外切C．内切D．外离答案 C解析由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2＝|r1－r2|，∴两圆内切．4．两圆相交于A(1，3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是()A．－1 B．2 C．3 D．0答案C解析 由题意知，直线AB 与直线x －y ＋c ＝0相互垂直，则有3＋11－m×1＝－1，∴m ＝5，∴AB 中点为(3，1)．由圆的性质知，AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，即3－1＋c ＝0，∴c ＝－2，从而m ＋c ＝5－2＝3．5．若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，且过点C(－a ，a)的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－2x ＋2y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋8＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0 答案 C解析 因为圆x 2＋y 2＝1的圆心关于直线y ＝x －1的对称点是(1，－1)，由题知它是圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0的圆心，所以a ＝2．设点P(x ，y)，则有(x ＋2)2＋(y －2)2＝|x|，即y 2＋4x －4y ＋8＝0． 二、填空题6．与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．答案 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，则C ，A 所在直线的方程为y ＝－1，所以可设所求圆的圆心为D(a ，－1)．由|DA|＝a －4＝1，得a ＝5．故所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1．7．两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦的长为________． 答案2解析 题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0，∴圆x 2＋y 2＝5的圆心(0，0)到该直线的距离d ＝|－3|1＋(－1)2＝32．设公共弦的长为l ，则l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2．8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．答案4 3解析可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2．圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．则|4k－2|k2＋1≤2，整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤43．故k的最大值为43．三、解答题9．求半径长为4，与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为A．又圆A与直线y ＝0相切且半径长为4，故圆心为A(a，4)或A(a，－4)．圆C的圆心为C(2，1)，半径长r＝3．若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．作分类讨论：当取A(a，4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a＝2±210，此时所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y －4)2＝16；当取A(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±26，此时所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16．综上所述，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16．10．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝2PN．试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．解以O1O2所在直线为x轴，O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．设动点P(x，y)．由题意得|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1．同理，可得|PN|2＝(x－2)2＋y2－1．∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2．∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即x2＋y2－12x＋3＝0．∴动点P的轨迹方程是x2＋y2－12x＋3＝0．。

− |3 × 0 &#+ 12 − |AB| − − − − − − √− 10 设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ，则 ． = √r2 − d 2 = 2 2 − |AB| = √−
为 √5 ，点 (0, 1) 到直线 l 的距离为 d =
可知 Δ = 4m(3m + 4)．
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 Δ > 0 ，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 Δ < 0 ，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
当 Δ = 0 ，即 m = 0 或 m = −
2.圆的切线 描述： 圆的切线长 过圆外一点P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线，其中圆心 M 的坐标为 (a, b) ，如图，
切：d = r；直线与圆相离：d > r． 2. 代数法：把直线的方程与圆的方程联立，得方程组，消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一 元二次方程，其判别式为Δ ，直线与圆相交：Δ > 0 ；直线与圆相切：Δ = 0 ；直线与圆 相离：Δ < 0 ． 例题： 当 m 为何值时，直线 mx − y − m − 1 = 0 与圆 x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 相交？相切？相 离？ 解：法一：（几何法） 由已知，得圆心坐标为 (2, 1)，半径 r = 2，圆心 (2, 1) 到直线 mx − y − m − 1 = 0 的距离
解得 A(
4.圆与圆的位置关系 描述： 圆与圆的位置关系
平面上两圆的位置关系有五种：
判断两圆的位置关系 判断圆C1 ：(x − a1 )2 + (y − b 1 )2 = r2 与圆C2 ：(x − a2 )2 + (y − b 2 )2 = r2 的位置关系，主要 1 2 有两种方法： ①几何法：比较圆心距与两圆半径的关系，设两圆的圆心距为d ， 当d > r1 + r2 时，两圆外离； 当d = r1 + r2 时，两圆外切； 当|r1 − r2 | < d < r1 + r2 时，两圆相交； 当d = |r1 − r2 | 时，两圆内切； 当0 ≤ d < |r1 − r2 | 时，两圆内含． ②代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆 C1 的方程与圆 C2 的方程联立，消去 x 或 y 得到关于y 或关于x的一元二次方程， 当Δ > 0 ⇒ 两圆相交； 当Δ = 0 ⇒ 两圆内切或外切； 当Δ < 0 ⇒ 两圆外离或内含． 例题： a 为何值时，两圆 C1 ：x 2 + y 2 − 2ax + 4y + a2 − 5 = 0 和C2 ： x2 + y 2 + 2x − 2ay + a2 − 3 = 0 ． （1）外切；（2）相交；（3）外离． 解：将两圆方程写成标准方程，