[试卷]福州三中2011-2012学年高三上学期半期考数学理科试卷

福州市2012届第一学期期末高三数学(理科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =x 为样本平均数.第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知集合{|3}A x x =>，{}24B x x =<<，那么集合()R A B ð等于 A ．{|3}x x ≤B ．{|23}x x <≤C ．{|34}x x <<D ．{|4}x x <2．复数21i i +（i 为虚数单位）等于A ．1122i +B ．1122i -C ．1122i --D ．1122i -+ 3．“3c o s 5α=”是 “7cos 225α=-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，若输入x =0.1，则输出m 的值是A ．0B ．0.1C ．1D ．1-5．将函数()x x f 2sin =（x ∈R ）的图象向右平移4π个单位，则所得到的图象对应的函数在下列区间中单调递增的是A ．(,0)4π-B ．(0,)2πC ．3(,)24ππD ．3(,)4ππ 6．已知||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c 的夹角为A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ． 30︒7．已知()g x 为三次函数32()3a f x x ax cx =++的导函数，则它们的图象可能是 第4题图图甲图乙A ．B.C.D.8．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为 A ．14B ．34C ．964D ．27649．直线y =与椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）交于A B 、两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为ABC1 D．4-10．设Q 为有理数集，函数1(),R Q Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩，,-1，ð()11x xe g x e -=+，则函数 ()()()h xf xg x =⋅A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11．计算1213x dx -⎰的值等于 ★★★ ．12．在24(1(1-+的展开式中，x 的系数等于★★★ .(用数字作答)13．在圆224x y +=所围成的区域内随机取一个点(,)P x y ，则2x y +≤的概率为 ★★★ ．14．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ★★★ ．15．如图的倒三角形数阵满足：⑴ 第1行的n 个数，分别是1，3，5，…，21n -；⑵ 从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶ 数阵共有n 行．问：当2012n =时，第32行的第17个数是 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）第14题图第15题图16．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（*Νn ∈，常数0c ≠），且1a ，2a ，3a 成等比数列． （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．17．（本小题满分13分）某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（ 健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[](](]0,5,5,10,,25,30⋅⋅⋅，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.（Ⅰ）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；（Ⅱ）现从这40名的学生中任取2名，设Y 为健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及其数学期望E （Y ）．18．（本小题满分13分） 如图，在△ABC 中，已知3B π=，34=AC ,D 为BC 边上一点．（Ⅰ）若2AD =，DAC S ∆=，求DC 的长；（Ⅱ）若AB AD =，试求ADC ∆的周长的最大值．19．（本小题满分13分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；第18题图第17题图（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（Ⅰ）若函数()1()1x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间； （Ⅱ）设直线l 为函数()f x 的图象上一点00(,())A x f x 处的切线．证明：在区间1,+∞（）上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．福州市2012届第一学期期末高三数学(理科)模拟试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．2 12．3- 13．2π14．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ 15．372 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知，12a =，22a c =+，323a c =+， ………2分 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+， ………4分 解得0c =或2c =，又0c ≠，故2c =． ………6分 （Ⅱ）当2n ≥时，由1n n a a cn +=+得21a a c -=， 322a a c -=，…1(1)n n a a n c --=-，以上各式相加，得1(1)[12...(1)]2n n n a a n c c --=+++-=， ………9分 又12a =，2c =，故22(2)n a n n n =-+≥， ………11分 当1n =时，上式也成立， ………12分 所以数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-+（*Νn ∈）． ………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75+++⨯=⨯=， ………2分∴ 健康上网天数超过20天的学生人数是第20题图40(10.75)400.2510⨯-=⨯=．………4分（Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2．………5分P(Y=0)=2302402952CC=, P(Y=1)=111030240513C CC=, P(Y=2)=210240352CC=．……8分所以Y的分布列为11分∴E（Y）=0×2952+1×513+2×352=12．………………………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）DACS∆=1sin2AD AC DAC∴⋅⋅⋅∠=，∴1sin2DAC∠=．………2分∵233DAC BACπππ∠<∠<-=,∴6DACπ∠=．………3分在△ADC中，由余弦定理，得6cos2222πACADACADDC⋅-+=, ……4分24482228DC∴=+-⨯⨯=,DC∴=………6分（Ⅱ）∵AB AD=，3Bπ=，∴ABD∆为正三角形，在ADC∆中，根据正弦定理，可得，⎪⎭⎫⎝⎛-==CDCCAD3sin32sin34sinππ, ………7分8sinAD C∴=，8sin3DC Cπ⎛⎫=-⎪⎝⎭, ………8分∴ADC∆的周长为8sin8sin3AD DC AC C Cπ⎛⎫++=+-+⎪⎝⎭34cos 23sin 21834sin 21cos 23sin 8+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C C C C C …9分 343sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πC , …………………………………10分22033333ADC C C πππππ∠=∴<<∴<+<，，， ………11分 () 3.326C C f A πππ∴+=当，即＝时，有最大值16+8 ADC∆的周长最大值为348+． ……13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设每件定价为x 元， 依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯， ………3分 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤． ………5分 ∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． ………6分 （Ⅱ）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, ………8分 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ………9分()150110306x x x +≥==当且仅当时，等号成立 , ………11分 10.2a ∴≥. ………12分． ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． ………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得，1111y y x x -+=-+， 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）. ………4分 （Ⅱ）方法一、设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ， 由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-， ………6分 由O M P 、、三点共线可知， 00(,)OM x y = 与211(,)OP x x =共线， ∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =， ………8分同理，由00(1,1)AM x y =+- 与222(1,1)AQ x x =+- 共线，∴ 20220(1)(1)(1)(1)0x x x y +--+-=，即2020(1)[(1)(1)(1)]0x x x y ++---=，由（Ⅰ）知21x ≠-，故020(1)(1)(1)0x x y +---=， ………10分 将001y x x =，211x x =--代入上式得0101(1)(2)(1)0x x x x +----=， 整理得0112(1)1x x x -+=+，由11x ≠-得012x =-， ………12分由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分方法二、设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， ………6分 ∴直线OP 方程为：1y x x = ①； …………8分直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+，即11(2)1y x x x =-+--， ② …10分 联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． ……………12分 由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ()1()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ， ()()()22211121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ．……………………2分∵0x >且1x ≠， ∴()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+，和11,0． ……………………4分（Ⅱ）∵1()f x x'=，∴001()f x x '=，∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=-， 即001ln 1y x x x =+-， ① ……………………6分设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)xx e ，∵()x g x e '=，∴101xe x =，∴10ln x x =-． ……………………8分∴直线l 的方程为()00011ln y x x x x -=+， 即0000ln 11x y x x x x =++， ② ……………………9分由①②得 0000ln 1ln 1x x x x -=+， ∴0001ln 1x x x +=-． …………………11分 下证：在区间1,+∞（）上0x 存在且唯一： 由（Ⅰ）可知，()x ϕ11ln -+-=x x x 在在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，22222213()ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， ……………13分 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ．故结论成立．………………14分。

福州三中2010届高三模拟检测考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差台体的体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=h S SS S V )''(31++=其中x 为样本平均数其中',S S 是上下底面积，h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1．若全集,Z U =集合)(},7,4,2,1{},6,5,4,3,2,1{B C A B A U 则=== （ ）A ．{3，5}B ．{3，4，5}C ．{3，5，6}D ．{7} 2．已知平面α与直线,,b a 下列命题正确的是（ ）A ．若αα⊥⊥a b b a 则,,//B ．若αα//,,//a b b a 则⊂C ．若αα⊥⊃⊥a b b a 则,,D ．若αα//,,a b b a 则⊥⊥ 3．定积分dx e x ⎰2ln 0的值为（ ）A ．1B ．-1C ．12-eD ．2e4．已知数列}{n a 为等差数列，且π=++1371a a a ，则)tan(122a a +的值为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．33-5．已知12)(:2+-=mx mx x f p 函数的定义域为;R 0)1(:>-m m q ，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．如图所示的程序框图中，运行该程序，输出m=6，n=4，或m=5，n=10，考察输出的结果，由此判断，若输入、84,630==n m ，则输出的结果是（ ）A ．14B ．21C ．42D ．1260 7．在区间[0，1]上随机取两个实数a 、b ，则函数b ax x x f -+=321)( 在区间[0，1]上有且只有一 个零点的概率是 （ ）A ．81 B ．41 C ．43 D ．87 8．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3324+ B ．423+ C ．21 D ．37 9．设双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近分别为21,l l ，经过右焦点为F 且垂直于1l 的直线分别交21,l l 于A ，B ，两点，已知与同向，且||||||，是的等差中项，则21,l l 的方程是（ ）A ．x y 21±= B ．x y 2±=C ．x y 34±= D ．x y 43±= 10．已知],[12)(,0b a xx x f b a 在若函数+=<<上单调递增，对于任意],[,21b a x x ∈，且21x x ≠，使)()()()(2121b f x x x g x g a f ≤--≤恒成立的函数)(x g 可以是（ ）A ．211)(x x g -= B ．2ln )(2-+=x x x g C ．xx x g 12)(--=D ．)12()(xx e x g x+=第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡相应横线上. 11．已知i 是虚数单位，若5)2)((=-+i i a ，则实数a 等于 . 12．在4)3(y x -+的展开式中，不含x 的所有项的系数之和为 .13．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若︒==+60,2C b a ，且B C A s in ,s in ,s in 成等比数列，则ABC ∆的面积为 .14．某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t 货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t ，运输成本为0.9千克；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ，运输成本为1千元，则当每天运输成本最低时，所需甲型卡车的数量．．．．．．．是 ；15．⋅可以看成向量在向量上的投影与||的乘积，已知点B ，C 在以AD 为直径的圆上，若AB=2，AC=3，则⋅的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知函数)0,0)(sin()(πφωϕω<<>+=x x f 的图象与直线)01(<<=b b y 的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4.（I ）求)(x f 的解析式，并求出)(x f 的单调递减区间； （II ）设)()2()(x f x f x g +=，求函数)(x g 的值域.17．（本小题满分13分）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，侧面AA 1C 1C ⊥侧面ABB 1A 1，AA 1=A 1C=CA=2，AB=A 1B=.2 （I ）求证：AA 1⊥BC ；（II ）求二面角A —BC —A 1的余弦值；（III ）若12DB BD =，在线段CA 1上是否存在一点E ，使得DE//平面ABC ？若存在，求出CE 的长；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分13分）按照新课程要求，高中学生每学期至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）.某校高三（1）班50名学生在上学期参加活动的次数统计图如图所示.（I ）从该班任意选2名学生，求他们参加活动次数不相等的概率；（II ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动的次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望.19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率22=e ，在椭圆E 上存在A ，B 两点关于直线1:+=x y l 对称.（I ）现给出下列三个条件：①直线AB 恰好经过椭圆E 的一个焦点；②椭圆E 的右焦点F 到直线l 的距离为22；③椭圆E 的左、右焦点到直线l 的距离之比为.21试从中选择一个条件以确定椭圆E ，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分） （II ）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆E 上的顶点S ，求b 的值.20．（本小题满分14分）已知,*N n ∈定义函数),2(,1)1()(+∞-∈-+=x x x f n n ，其导函数记为).('x f n （I ）若0>a ，求函数),2(,3)()(23+∞-∈-=x x a x f x g 的单调增区间；（II ）设)2()2()()(10'10'++=n nn n f f x f x f ，求证：;210<≤x （III ）是否存在区间[a ，b](]0,2-⊆，使函数)()()(23x f x f x h -=在区间[a ，b]上的值域为],[kb ka ？若存在，请直接写出最小的k 值及相应的区间[a ，b]（不必书写求解过程）；若不存在，请说明理由.21．本题有（I ）、（II ）、（III ）三个选答题，每题7分，请考生任两题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （I ）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 如图，正方形OABC 在二阶矩阵M 对应的切变变换作用下变为平行四边形,'''C B OA 平行四边形'''C B OA 在二阶矩阵对应的旋转变换作用下变为平行四边形,''''''C B OA 求将正方形OABC 变为平行四边形''''''C B OA 的变换对应的矩阵.（II ）（本小题满分7分）选修4—4：从坐系与直角参数方程在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，（θ为参数，0>r ）.以O为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ.写出圆心的极坐标，并求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3.（III ）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知632222=++c b a ，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式|1|32+>++x c b a 成立，求实数x的取值范围.参考答案一、选择题：每小题5分，共50分。

福州三中2011年高三数学第六次模拟考（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 台体的体积公式h S SS S V )''(31++= 其中x 为样本平均数 其中S 、'S 是上下底面积，h 为高柱体体积公式 V =Sh其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式锥体体积公式 V =31Sh 24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算2(1)i i -等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．2-D ． 2 2．已知命题:2p x >是24x >的充要条件，命题b a c b c a q >>则若,:22，则 ( )A.“p 或q ”为真B.“p 且q ”为真C. p 真q 假D. ,p q 均为假 3．如图所示程序框图运行后输出的结果为 ( ) A ．36 B ．45C ．55D ．564．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两 不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 5．已知函数)(x f y =的大致图象如图所示， 则函数)(x f y =的解析式应为（ ）A.)ln()(x e x f x= B. |)ln(|)(x ex f x-=C. |)ln(|)(x e x f x =D. |)ln(|)(||x e x f x =6A．36 B．72C．144 D．2887.函数tan()42y xππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB∙+=（）A．6-B．4-C．4D．68．由不等式组502x yy tx-+≥0⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，，围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t的函数()P t，则（A．'()0P t>B．'()0P t<C．'()0P t=D．'()P t9．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F，一象限的交点为P，12PF F∆是以1PF为底边的等腰三角形．若110PF=的离心率分别为12,e e，则12e e⋅的取值范围是（）A.(0,)+∞ B.1(,)3+∞ C.1(,)5+∞ D.1(,)9+∞10．已知f(x)=33x x m-+，在区间[0,2]上任取三个数,,a b c,均存在以(),f a f为边长的三角形，则m的取值范围是（）A. 2m> B. 4m> C. 6m> D. 8m>第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上11．已知集合{}{}11,124xA x R xB x R=∈-≤<=∈<≤，则()RA C B=________．12.将函数()2sin()3f x xπ=-的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数()g x，则()g x的最小正周期是________．13．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以1a为首项公比为2的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项，公差为140-元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的期望为________元。

2012-2013学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：．本大题共10小题，，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）（2006•北京）设集合A={x|2x+1＜3}，B={x|﹣3＜x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＜1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先化简集合A，再根据并集的定义，求出A∪B解答：解：∵A={x|2x+1＜3}={x|x＜1}，B={x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜1}故选A点评：本题考查交集及其运算，解题的关键是理解交集的定义，熟练掌握交的运算求交集．2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：通过前者推出后者，后者推不出前者，利用充要条件的判断方法，得到结果．解答：解：因为“x=30°”⇒“”正确，但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．3．（5分）设等比数列{a n}中，a1+a2=3，a2+a3=6，则公比q的值为（）A．﹣1 B．1C．2D．4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由等比数列的公比的定义可得：公比q=，代入已知的值可得答案．解答：解：∵a1+a2=3，a2+a3=6，∴公比q===2，故选C点评：本题考查等比数列的公比的定义，属基础题．4．（5分）命题“∀a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=O有正实数根”的否定是、（）A．∀a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=0没有正实数根B．∀a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=0没有负实数根C．∃a∈R，方程ax2一3x﹣a=0都有正实数根D．∃a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=0没有正实数根考点：全称命题；命题的否定．专题：阅读型．分析：命题“∀a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=O有正实数根”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和否定的变化．解答：解：命题“∀a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=O有正实数根”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃∈R，再将方程ax2﹣3x﹣a=O有正实数根否定即可．故命题“∀a∈R，方程ax2﹣3x﹣a=O有正实数根”的否定是：∃x∈R，方程ax2﹣3x ﹣a=O没有正实数根．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．5．（5分）在有5个一等品，3个二等品8个零件中，任取3个零件，至少有1个一等品的不同取法种数是（）A．330 B．55 C．56 D．．33考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：先由组合数公式，计算在8个零件中任取3个的取法数目，再计算其中没有1个一等品即全部是二等品的取法数目，进而由事件之间的关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，在8个零件中任取3个，有C83=56种取法，没有一等品即全部是二等品的取法有C33=1种，则至少有1个一等品的不同取法种数是56﹣1=55种，故选B．点评：本题考查等可能事件的概率计算，对于本题要运用间接法，从而避免分类讨论，简化计算．6．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=log a（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=a x+b 的图象即可．解答：解：由函数f（x）=log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=log a（x+b）的图象由f（x）=log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=a x+b的大致图象是D故选D点评：本题考查指对函数的图象问题，是基本题．熟练掌握指数函数和对数函数的图象及函数图象的平移变换法则是解答的关键．7．（5分）定义运算：=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：数z=x+y（x，y∈R），由复数z 满足=﹣z，可得（x+yi）i﹣2i=﹣x﹣yi，再利用两个复数相等的充要条件求得x、y的值，即可求得复数z的值．解答：解：∵复数z=x+y（x，y∈R），∵复数z 满足=﹣z，∴（x+yi）i﹣2i=﹣x﹣yi，即（﹣y﹣2）+xi=﹣x﹣yi，∴﹣y﹣2=﹣x，x=﹣y，解得x=y=1，∴z=1+i，故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，行列式的运算，两个复数相等的充要条件，属于基础题．8．（5分）如图，在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，AD是BC 边上的高，则的值等于（）A．0B．4C．8D．﹣4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=，直角三角形中，利用边角关系求得AD=2，从而求得的值．解答：解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴=．∵AB=4，∠ABC=30°，∴AD=AB•sin30°=2，∴=4，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到=，是解题的关键，属于中档题．9．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），由△ABF2是锐角三角形，知tan∠AF2F1＜1，所以，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．解答：解：∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞，或e＜﹣，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．故选B．点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）（2011•福建）已知函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题；探究型；数形结合；数形结合法．分析：由于函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．解答：解：由于函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．点评：此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共、20分，把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）（2012•湖北模拟）设函数则c= ．考点：微积分基本定理．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理即可求出．解答：解：由，∴=1，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．12．（4分）程序框图如图所示，执行相应程序，若输入的实数x=3，则输出y的值等于 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．解答：解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．当x=3时，y=log33=1，则输出y的值等于 1．故答案为：1．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．13．（4分）若的值等于．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为，从而求得结果．解答：解：∵=，∴tanα=﹣，∴===，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．14．（4分）已知，则z=4x﹣2y的最小值等于﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图阴影部分，再将目标函数z=4x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z=2x+y取得最小值为﹣1．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，设两条直线x+y﹣2=0与直线x﹣y+1=0交于点A（，）得到位于直线x+y﹣2=0与直线x﹣y+1=0相交构成的右方区域，如图所示平移直线l：z=4x﹣2y，可知当l经过点A时，z达到最小值；随着l沿y轴向下平移，z的值可以无限变大，故z没有最大值．∴z最小值=4×﹣2×=﹣1故答案为﹣1点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=4x﹣2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．（4分）任意正整数n都可以表示为15．的形式，其中a0=1，当1≤i≤k时，a1=0或a i=1．现将等于0的a f的总个数记为f（n）（例如：l=l×20，4=l×22+0×21十0×20，从而f（1）=0，f（4）=2．由此可以计算求得= 1093 ．考点：排序问题与算法的多样性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：先列出如表所示，通过分析、猜想、归纳出其规律，进而可计算出其和．解答：解：列表如下：由表格可得到如下规律：正整数k从2n到2n+1﹣1，则∑2f（k）=3n﹣1．因此：=30+31+32+33+34+35+36==1093．故答案为1093．点评：通过列表找出其规律是解题的关键．三、解答题：本本太题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）某射击比赛的规则如下：①每位选手最多射击3次，每次射击击中目标，方可进行下一次射击，否则停止；②第l次射击时，规定击中目标得（4﹣i）分，否则得0分（i=1，2，3）．已知选手甲每次射击击中目标的概率均为0.8，且其各次射击结果互不影响，（I）求甲恰好射击两次就停止的概率；（II）设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，记“甲第i次击中目标”为事件A i，分析可得甲恰好射击两次就停止即事件A1•，由相互独立事件概率公式，计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得ξ可取的值为0、3、5、6，分别计算ξ=0、3、5、6时的概率，进而由数学期望公式，计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）记“甲第i次击中目标”为事件Ai，则有P（A i）=0.8，P（）=1﹣0.8=0.2，i=1、2、3；根据题意，甲的各次射击结果互不影响，即各次射击为相互独立事件，则甲恰好射击两次就停止即事件A1•，则其概率P1=P（A1•）=0.8×0.2=0.16，（Ⅱ）根据题意，ξ可取的值为0、3、5、6，P（ξ=0）=P（）=1﹣0.8=0.2，P（ξ=3）=P（A1•）=0.16，P（ξ=5）=P（A1•A2•）=0.8×0.8×0.2=0.128，P（ξ=6）=P（A1•A2•A3）=0.512，则其数学期望为Eξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．点评：本题考查相互独立事件的概率计算与数学期望的计算，计算数学期望时因计算量较大，要注意牢记公式，并细心计算．17．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a﹣b） cosC=c（cosB ﹣cos A）．（I）判断△ABC的形状；（II）求y=cosA+sin（B+）的最大值，并求y取得最大值时角C的大小．考点：三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（I）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinB=sinA，故有a=b，故△ABC为等腰三角形．（II）由（I）可得A=B∈（0，），化简函数 y 的解析式为sin（A+），故当A+=时，y max=，易得此时角C的大小．解答：解：（I）在△ABC中，∵（a﹣b） cosC=c（cosB﹣cos A），由正弦定理可得（sinA ﹣sinB） cosC=sinC（cosB﹣cos A），化简可得 sin（A+C）=sin（B+C），∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC为等腰三角形．（II）由（I）可得A=B∈（0，），由于 y=cosA+sin（B+）=cosA+A+sinA=+=sin（A+），故当 A+=，即 A==B时，y max=，此时，C=π﹣（A+B）=．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，求三角函数的最值，属于中档题．18．（13分）如图所示的多面体V﹣ABCD，它的正视图为直角三角形，侧视图为等腰三角形，俯视图的边界为正方形（尺寸如图所示，单位：cm）．（I）求多面体V﹣ABCD的表面积；（II）设，是否存在实数λ使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（I）多面体V﹣ABCD的表面积为S△VAB+S正方形ABCD+S△VAD+S△VCD，即可得到结论；（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定平面VCD与平面EAC的法向量，利用平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°，即可求得结论．解答：解：（I）由题意，S△VAB=，S正方形ABCD=2×2=4在△VBC中，BC=2，VB=，且VB⊥BC，∴S△VBC=同理可得S△VAD=在△VCD中，VC=VD=3，CD=2，∴S△VCD=∴多面体V﹣ABCD的表面积为6+2+2；（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系则A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（﹣1，2，0），V（0，0，2），E （，0，1）设平面VCD的一个法向量为=（x，y，z）∵=（﹣1，﹣2，2），=（﹣2，0，0）∴由可得，∴可取=（0，1，1）设平面EAC的一个法向量为=（x′，y′，z′）∵=（λ，0，﹣2λ），=（﹣1，0，﹣2）∴==（﹣1﹣λ，0，2λ﹣2）∵=（2，2，0）∴，∴可取=（2λ﹣2，﹣2λ+2，λ+1）∵平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°∴cos＜，＞==∴25λ2﹣30λ+9=0∴λ=∴存在λ=，使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°点评：本题考查多面体的表面积，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（13分）已知抛物线C：y2=4x，直线与C交于A、B两点，O为坐标原点．（I）求实数b的取值范围．（II）是否存在实数b，使得直线OA、OB倾斜角之和等于135°？若存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）抛物线C：y2=4x与直线联立，利用判别式大于0，即可求实数b的取值范围．（II）把直线方程与抛物线方程联立，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=135°，tan（α+β）=tan135°=﹣1，由此可得结论．解答：解：（I）抛物线C：y2=4x与直线联立，消去y可得x2+（4b﹣16）x+4b2=0 ∴△=﹣128b+256＞0，∴b＜2；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4b﹣16，x1x2=4b2，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=135°，tan（α+β）=tan135°=﹣1，∴=﹣1∴k OA+k OB﹣k OA k OB+1=0∴+﹣+1=0∴x1x2+（x1+x2）﹣b2=0∴×4b2+（﹣4b﹣16）﹣b2=0∴b=﹣2或b=0（舍去）经检验，b=﹣2时符合题意．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（14分）已知．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）由=，x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得x=a，或x=a．由此根据a的取值进行分类讨论，能求出f（x）的单调递增区间．（II）设切点为P（x0，y0），切线斜率为k，则关于x0的方程=有三个不等实根，即b=，由此入手能够推导出当b∈（）时，可作三条切线．解答：解：（I）∵，∴==，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x=a，或x=a．①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞）；②当a=1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．（II）设切点为P（x0，y0），切线斜率为k，则方程组，即关于x0的方程=有三个不等实根，整理，得b==，令h（x）=，则h′（x）=x﹣3+﹣，h′（x）=0，解得x=，或x=3．当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下表：x （0，）（，3） 3 （3，+∞）h′（x）+ 0 ﹣ 0 +h（x）↑极大值↓极小值↑当x=1时，h（x）取得极大值h（）=12﹣6﹣ln2．当x=3时，h（x）取得极小值h（3）=；又当x趋近于0时，h（x）充分小，当x趋近于+∞时，h（x）充分大，故当b∈（）时，可作三条切线．点评：本题考查函数的单调递增区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．21．（14分）（1）选修4﹣2：矩阵与变换若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=﹣1，它们所对应的特征向量分别为．（I）求矩阵A；（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．（2）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为为参数），C2的参数方程为为参数）（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．（3）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R，（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；（II）若的定义域为R，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；特征值与特征向量的计算；参数方程化成普通方程．专题：综合题．分析：（1）（I）设A=（），由A=λ1，A=λ2可求得a，b，c，d；（II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），由=，可求得x与x′，y与y′之间的关系，从而可得新曲线方程；（2）（I）消掉C1：为参数）与C2：为参数）中的参数，可求得其普通方程；（Ⅱ）依题意可知，在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=﹣x，由tanθ=1可转化为极坐标方程；（3）（I）通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组，即可求得不等式f（x）≤5的解集；（II）g（x）=的定义域为R⇔f（x）+m≠0恒成立⇔f（x）+m=0在R上无解，利用绝对值函数的几何意义可求得f（x）的最小值，从而可求得m的范围．解答：解：（1）（本小题满分7分）选修4﹣2：矩阵与变换（I）设A=（），由A=λ1，A=λ2得：=2=，=﹣1×=，∴，故A=…4分（II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则=，即，∴，从而+（﹣y′）2=1，即+y′2=1，∴新曲线方程为+y2=1…7分（2）（本小题满分7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程∵（Ⅰ）C1：为参数），C2：为参数，∴C1的普通方程为x2+y2=1，C2的普通方程为y=x﹣1…4分（Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=﹣x，在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=或θ=…7分（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）或或，∴不等式的解集为x∈[﹣，]…4分（Ⅱ）若g（x）=的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，∴f（x）的最小值为2，∴m＜﹣2…7分．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查特征值与特征向量的计算，考查参数方程化成普通方程，考查抽象思维与转化能力，考查综合分析与运算能力，属于难题．。

数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在度题卷上。

3．考试结束，监考人将答题卡和答案卷收回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，集合 {|212}{|2,}M x R x N x x k k Z =∈-≤-≤=∈和那么集合M N 中元素共有A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个2．函数2()lg(31)1f x x x=++-的定义域是A ．1(,)3-+∞B ．1(,1)3-C ．1(,1]3-D ．1(,)3-∞-3．若0.23log 0.5,3,sin 2,,,a b c a b c ===则的大小关系是A ．a<b<cB ．c<a<bC ．a<c<bD ．c<b<a4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．203B ．10C ．403D ．5035．把函数sin ,y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再反把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为A ．sin(2)3y x x R π=-∈ B ．sin(2)3y x x R π=+∈C ．1sin()26y x x R π=+∈ D ．1sin()26y x x R π=-∈6．函数(01)||xxa y a x =<<的图象大致形状是7．已知定义在R 上的偶函数()(1)0f x f -=满足，且在区间[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)f x -<0的解集为 A ．1[,1)2B ．（0，1）C ．（—∞，1）D ．1(0,)28．定义在R上的奇函数(),(3)(),(2)0,()(0,6)f x f x f x f y f x +===满足则在区间内零点个数为A ．2个B ．4个C ．6个D ．至少6个9．已知函数()cos()(0,0,),f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈则“f(x)是奇函数”，是“2πϕ=”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．一次研究性课常上，老师给出了函数()()1||xf x x R x =∈+，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别出出命题： ①函数()f x 的值域为（-1，1）；②若1211,()();x x f x f x ≠≠则一定有③若规定11()(),()(()),()*1||n n n xf x f x f x f f x f x n N n x -===∈+则对任意恒成立你认为上述三个命题中正确的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

福州三中 2011—2012学年高三第四次月考 数 学 试 题（理） 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第I卷（选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则=（ ） A．{4}B．{1，2，3，4，5}C．D． 2．已知样本2，3，4，5，a的平均数是b，且点在直线上，则该样本的标准差是（ ） A．2B．C．10D． 3．已知数列的通项，则数列的最大项是（ ） A．第4项B．第5项C．第6项D．第4或5项 4．若函数对于任意实数x都满足等式，则=（ ） A．或0B．或0C．0或D． 5．如图所给的程序框图，其循环体共执行了6次，则正整数n的值是（ ） A．9或10B．10或11 C．11或12D．12或13 6．若函数存在极值，则实数a的取值范 围是（ ） A．B． C．D． 7．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进后，测得出峰的仰角为4α，则该山峰的高度为（ ） A．300mB．450mC．D．600m 8．已知正方形ABCD的边长为a，沿对角线AC将折起，使点D移至P点，若三棱锥P—ABC的体积为，那么二面角P—AC—B的大小为（ ） A．30°B．45°C．60°D．60°或120° 9．曲线与曲线所围成的面积为（ ） A．B．C．D．5 10．已知函数，若关于x的方程有5个不等实根，则实数a的值是（ ） A．2B．4C．2或4D．不确定的 第II卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填写在答题卡的相应位置。

11．过点P（1，-2）的直线将圆截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线的方程为 。

12．若，则函数的单调递增区间是 。

2012—2013学年高三第一学期半期考数学（理）试题注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选撵题共60分）一、选择题：．本大题共12小题，，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1． 设集合{|213},{|32}A x x B x x =+<=-<<，则A I B 等于 A ．{|12}x x << B ．{|11}x x -<<C ．{|3}x x >-D ．{|1}x x <2．“6x π=”是“1sin 2x =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设等比数列{}n a 中，a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则公比q 的值为A ．-1B ．1C ．2D ．44． 命题“∀a ∈R ，方程ax 2-3x-a =O 有正实数根”的否定是 、A ．∀a ∈R ，方程ax 2—3x -a =0没有正实数根B ．∀a ∈R '，方程ax 2-3x-a=0没有负实数根C ．∃a ∈R ，方程ax 2一3x-a =0都有正实数根D ．∃a ∈R ，方程ax 2—3x –a=0没有正实数根5．在有5个一等品，3个二等品豹8个零件中，任取3个零件，至少有1个一等品的不同取法种数是 A ．330 B ．55 C ．56 D ．．336．若函数f （x ）=log a （x+b ）（其中a ，b 为紫数）的图象如右图所示，则函数()x g x a b=+的大致图象是7．定义运算：,(,),2ab zi ad bc x y x y R z z cdi=-=+∈=-=若复数z 满足则A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -8．如右图，在△ABC 中，AB=4，∠ABC =30°，AD 是BC边上的高，则AD AC ⋅u u u r u u u r的值等于A ．0B ．4C ．．8D ．-49． 已知点F 1、F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于，x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 A ．（02一1） B ．2-1,1）C ．（3）D ．3l ，1）10．已知函数()xf x e x =+，对于曲线y=()f x 上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形；③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形， 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共、20分，把答案填在答题卡相应位置． 11．设函数12(),()1,f x x c f x dx =+=⎰若则c= .12．程序框图如图所示，执行相应程序，若输入的实数x=3，则输出y 的值等于 .13．若21tan(),sin 22cos 43πααα+=+则的值等于 . 14．已知2,421,x y z x y y x +≥⎧=-⎨≤+⎩则的最小值等于 .15．任意正整数n 都可以表示为1100112222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯L 的形式，其中011,1,01i a i k a a =≤≤==当时或．现将等于0的a f 的总个数记为f （n ）（例如：l=l ×20, 4=l ×22+0×21十0×20，从而(1)0,(4)2f f ==．由此可以计算求得(1)(2)(3)(127)2222f f f f ++++L = .三、解答题：本本太题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 某射击比赛的规则如下：①每位选手最多射击3次，每次射击击中目标，方可进行下一次射击，否则停止； ②第l 次射击时，规定击中目标得（4-i ）分，否则得0分（i=1，2，3）．s 已知选手甲每次射击击中目标的概率均为0．8，且其各次射击结果互不影响， （I ）求甲恰好射击两次就停止的概率； （II ）设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．17．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（a-b ） cosC=c （cosB- cosA ）．（I ）判断△A BC 的形状；（II ）求y'—cosA+sin （B+6π）韵最大值，并求y 取得最大值时角C 的大小． 18．（本小题满分13分）如图所示的多面体V 一ABCD ，它的正视图为直角三角形，侧视图为等腰三角形，俯视图的边界为正方形（尺寸如图所示，单位：cm ）。

福州三中2011—2012学年高三第四次月考理科综合能力试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷。

第Ⅰ卷为必考题，第Ⅱ卷包括必考题和选考题两个部分。

满分500分。

考试时间150分钟。

相对原子质量：H—1 O—16 C—12第Ⅰ卷（选择题共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每天小题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要救。

1．下列有关实验的目的、材料和所用试剂正确的一组是( )液2．图示植物根细胞在一定时间内吸收Ca2+与某些条件之间的关系。

纵坐标表示吸收的速率,横坐标表示某个条件，假定其他条件均为理想状态则a、b、c、d四幅图的横坐标分别表示的条件正确的一组是( )A．温度变化、氧气浓度、载体数量、光照条件B．光照条件、载体数量、氧气浓度、温度变化C．氧气浓度、温度变化、光照条件、载体数量D．载体数量、光照条件、温度变化、氧气浓度3．下图中甲、乙、丙三个有关的指标，其中甲的变化引起乙、丙的变化，下列四个选项中甲、乙、丙对应关系不正确的是（）A．血糖、胰岛素、胰高血糖素B．物种丰富度、抵抗力稳定性、恢复力稳定性C．植物细胞质壁分离的程度、细胞液浓度、细胞吸水能力D．光照强度、五碳化合物、三碳化合物4．下列哪项比例不符合1：3 （）A．人体细胞在无氧呼吸和有氧呼吸情况下消耗等量葡萄糖所释放的CO2体积比B．一个初级卵母细胞减数分裂后形成的卵细胞与极体的数目比C．在两对等位基因独立遗传的情况下，AaBb和AaBB杂交后代中出现隐性性状个体数和完全为显性性状个体数之比D．白化患者的正常双亲，再生一个孩子患病与正常的概率之比5．下列有关生物多样性和进化的叙述中,不正确的是( ）A．细菌在接触青霉素后会产生抗药性的突变个体，青霉素的选择作用使其生存B．蜂鸟细长的喙与倒挂金钟的筒状花萼是它们长期协同进化形成的相互适应特征C．异地新物种的形成通常要经过突变和基因重组、自然选择及隔离三个基本环节D．自然选择能定向改变种群的基因频率，决定了生物进化的方向6．下列关于物质的用途或变化，说法正确的是（) A．A12O3熔点很高，可用作耐火材料B．高纯度的硅单质用子制作光导纤维C．铝热反应是炼铁最常用的方法D．N2与O2在放电条件下直接化合生成NO27．设N A是阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（)A．标准状况下，22。

福州三中2011年高中毕业班练习考试数 学 试 题（理）完成练习时间：120分钟;满分：150分参考公式：样本数据nx x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径一、选择题（本大题共10小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的，将正确答案填写在答题卷相应位置。

)1．设,a R ∈⋅且(a-i)2i （i 为虚数单位）为正实数，则a 等于 （ ) A ．1 B ．0C ．—1D ．0或-12．设合集U=R ，集合2{|10},{|3},()U A x xx B x x A C B =++≥=≥则=( )A ．{|3}x x <B ．{|03}x x <≤C ．{|0}x x ≤D ．{|3}x x >3．若a,b 均为实数,则"0"a b >>是“22a b >的”( ）C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．函数()22xf x x =--的一个零点所在区间是（ ） A ．（0，1) B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3,4）5．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππ D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．如图，四边形ABCD 中,AD//BC ，AD=AB,90BAD ∠=︒，90BDC ∠=︒,将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD,则在三棱锥A-BCD 中，下列命题正确的是（ ) A ．平面ABD ⊥平面ABC B ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC7．右边四个图象中,有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x xax a x a R a =++-+∈≠的导函数'()y f x =的图象，则(1)f -等于 （ )A ．13B ．13-C ．73D ．1533-或8．已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =,,xyAN y AC x y=+则的值为 （ )A ．3B ．13C ．2D ．129．如果我们把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，节棍体"的四个顶点的概率是 （ ）A ．835B ．935C ．1235D ．133510．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，已知33552007(1)2011(1)1,(1)a a a -+-=-20072011(1)a +-1=-,则下列结论正确的是（ )A ．2011200752011,S a a =< B ．2011200752011,Sa a => C ．2011200752011,Sa a =-≤D ．2011200752011,Sa a =-≥二、填空题(本小题共5小题，每小题4分，共20分,将正确答案填写在答题卷相应位置)11．已知随机变量X 服从正态分布2(4,1)N ，且(26)0.9544,P X <≤=则P (6)X >等于 。

福州三中2010—2011年高三年级第一次月考数 学 试 题（理)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将答题卡收回。

参考公式：球的表面积公式24R S π=，其中R 是球体的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集},0)1(|{),10|(,<-=><==x x x N x x x M R U 或则 ( ） A ．R N M =⋃ B ．φ=⋂N M C ．N M C U= D ．M N CU⊆2．设命题42:2>>x x p 是的充要条件，命题q ：或b a cbc a >>则,22，则( )A ．“p 或q"为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假3．下图中的曲线对应的函数是（ ）A ．||sin x y -=B ．|sin |x y -=C ．||cos x y -=D ．|cos |x y =4．已知几何体其三视图（如图），若图中圆半径为1，等腰三角形腰为3，则该几何体表面积为 （ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．6π5．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是 ( ） A ．若n m n m //,//,//则ααB ．若αα//,//,//n n m m 则C ．若n m //,,,//则γβγαβα⋂⋂D ．若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂6．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,20,2)(x x x x x f ,则不等式2)(x x f ≥的解集为 ( ） A ．［-1，1］ B ．[—2，2] C ．［—2，1] D ．[-1，2］ 7．⎰-+22)cos 1(ππdx x 等于( ）A ．πB ．2C ．π—2D ．π+28．某商场五一前30天电脑销售总量)(t f 与时间)300(≤<t t 的关系大致满足1610)(2++=t t t f ，则该商场用t 天平均售出（如前5天的平均售出为5)5(f )的电脑最少为 （ )A ．18B ．27C ．20D ．169．已知两个正数x ，y 满足,54xy y x ==+则xy 最小值x ，y 值分别是（ ） A ．5，5B ．10，25 C ．10，5 D ．10，1010．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，且||||OB OA OB OA -=+，其中D 为原点，则实数a 的值为（ )A ．2B ．4C ．2±D ．4±第Ⅱ卷(非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

福州三中2011-2012学年高三第三次月考数学理科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：（1）答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码（31203XXXX ，XXXX 为班级+座号）、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

（2）每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

（3）考试结束，监考人将答题卡收回。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}{}21,,1,M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈，则M N = （ A ）A 、[1,)+∞B 、[1,)-+∞C 、[1,2)D 、[1,2)-2、已知α为锐角，3sin()25απ+=-，则5tan()4πα-= （ C ） A 、-3 B 、3 C 、13 D 、13-3、已知半球中内接一个空间几何体的三视图如右图所示，则这个半球的 表面积是（ B ）A 、2πB 、3πC 、4πD 、6π4、如果圆22(3)(1)1x y ++-=关于直线:410l mx y +-=对称，则直线l 的斜率为（ D ） A 、4 B 、4- C 、14 D 、14- 5、在如右数表中，已知每行的数都成等比数列，第一列数成等差数列，那么位于右表中的第4行第5列的数是（ B ） A 、500 B 、2500 C 、12500 D 、64 6、已知0x 是函数11()()32xf x x =+-的一个零点，若1022x x x <<<，则 （ D ） A 、12()0,()0f x f x << B 、12()0,()0f x f x >> C 、12()0,()0f x f x <> D 、12()0,()0f x f x ><1A BA 7、已知直线,,m n l 和平面,αβ，且,,m n l αβαβ⊂⊂= ，给出命题:p “若m 与n 不垂直，则α与β不垂直”，则在命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ A ） A 、0B 、1C 、2D 、38、已知0b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线20x b y -=互相垂直，则ab 的最小值等于（ B ） A 、1 B 、2C 、D 、9、已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB B AC Cλ=++,其中[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ A ） A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心 10、对,a b R ∀∈，运算“⊗”、“⊕”定义为：()(),()()a a b a a b a b a b b a b b a b ⎧≥<⎧⊗=⊕=⎨⎨<≥⎩⎩，则下列各式中恒成立的是（ C ）①sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x ⊗+⊕=+； ②222(2)(2)2x x x x x x ⊗-⊕=-；③(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x x ⊗⋅⊕=⋅； ④222(2)(2)2x x x x x x ⊗÷⊕=÷. A 、①②③④ B 、①②③ C 、①③ D 、②④第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.113_______=. ( i )12、已知1()21f x x =+，则30()f x dx =⎰____________. ( 1ln 72)13、设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为________. ( 4 )14、如右图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等， D 是的11AC 中点，则直线CD 与平面11BCC B 所成角的 正弦值为__________. ( )C 1B 1A 1ECB A15、设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈,且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数.如果定义域是[2,)-+∞的函数2()f x x =为[2,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 . ( 4m ≥ )三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分13分）设函数2()cos(2)sin ()3f x x x a ππ=++-+，（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若32a =-，求函数()y f x =-的单调递减区间. 解：（1）21()cos(2)sin ()2322f x x x a x a ππ=++-+=++ （4分） 22T ππ∴== （6分） （2）若32a =-，则()212f x x =--，()212f x x -=- （8分） 由3222,22k x k k Z ππππ+<<+∈ 得3,44k x k k Z ππππ+<<+∈ （11分）⇒s i n 2y x=的单调递减区间是3(,)()44k k k Z ππππ++∈ 故函数()y f x =-的单调递减区间是3(,)()44k k k Z ππππ++∈. （13分）17、（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知111,2,,3AB BC BB BCC E π===∠=为1CC 的中点，（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求二面角1A B E B --的大小.解：（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥, 在1BCC ∆中, 1111,2,,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC = (4分)故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥,而1,BC AB B C B =⊥∴ 平面ABC .（6分） （2）解法一：在11B C E ∆中，1111121,1,3EC C B B C E π==∠=2221111111112cos B E EC C B EC C B EC B =+-⋅⋅∠∴22211211cos33π=+-⋅⋅⋅=所以1B E =在1Rt CBC ∆中，E 为斜边1CC 的中点，故1112BE CC ==, 所以22211BB BE EB =+,故有1BE EB ⊥, (8分)又AB ⊥ 侧面111,BB C C AB B E ⊥∴,又1,AB BE B B E =⊥∴ 平面ABE ,1AE B E ⊥∴ AEB ∠∴即是二面角1A B E B --的平面角. (10分)在Rt ABE ∆中，tan 1AB AEB BE ∠==,故4AEB π∠=. (12分) 所以二面角1A B E B --的大小为4π. （ 13分） 解法二：由 （1）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BC BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则1(0,0,0),(0,0,1),((2B A E B -. (7分)故113(1),(22AE EB =-=- .设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z = ，则由1n AE n EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ,得100n AE n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即102302x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得200x z y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 令1x =，则2y z =，(1n =∴是平面1AB E 的一个法向量.（9分）AB ⊥ 侧面11BB C C ,(0,0,1)BA =∴是平面1BEB 的一个法向量，cos(,)2n BA n BA n BA ⋅===∴( 11分) 设所求二面角1A B E B --的平面角为θ，则由图可知(0,)2πθ∈，所以4πθ=. （13分）18、（本小题满分13分）已知12(1,0),(1,0)F F -为椭圆的两焦点，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若直线l 的倾斜角为3π，求2ABF ∆的面积。

福州三中2010届高三年级第三次月考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（ ）A ．15-B ．35-C ．15D ．352．已知集合2{|230}P x x x =+-≤，{|}Q x x a =<，则P Q ≠∅ 的充要条件是（ ） A ．3a ≤- B ．1a ≤ C ．3a >-D ．1a >3．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm4．若x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为 （ ） A ．4 B ． 11 C ．12D ． 145．将函数8)46sin(ππ的图象上各点向右平移+=x y 个单位，则得到新函数的解析式为（ ）A ．)26sin(π-=x y B ．)26sin(π+=x y C ．)856sin(π+=x yD ．)86sin(π+=x y 6．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//； ②αα⊥⇒⊥b a b a ,//； ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥； ④b a b a //,⇒⊥⊥αα． 其中正确的命题是（ ）A ．①②④B ．②③C ．②④D ．②③④7．已知a b a ,0,0>>，b 的等差中项是21，aa 1+=α且，βαβ++=则,1bb 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．已知函数⎩⎨⎧>--≤-=.0),2(,0),3(log )(2x x f x x x f 则)2009(f 的值等于（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-9．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ()2f x x =+，()3sin f x x =则（ ）A ．()()()123,,f x f x f x 为“同形”函数B ．()()12,f x f x 为“同形”函数，且它们与()3f x 不为“同形”函数C ．()()13,f x f x 为“同形”函数，且它们与()2f x 不为“同形”函数D ．()()23,f x f x 为“同形”函数，且它们与()1f x 不为“同形”函数10．已知点F 是双曲线12222=-by ax )0,0(>>b a 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A ．B ．)+∞C ．(1,2)D ．(2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上． 11．若向量a 与b 的夹角为120° ，且1=a ，2=b ，b a c +=，则c =___________． 12．若一个圆的圆心是抛物线x y 42-=的焦点，且此圆与直线0743=-+y x 相切，则圆的方程是___________．13．分配甲、乙、丙、丁4位同学到A 、B 、C 三个工厂进行社会实践，已知A 工厂至少有一人去，则不同的分配方案种数是_______________（用数据作答）． 14．设函数()2f x ax b =+(0a ≠)，若200()2()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =_____．15．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+++ ”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+，由此得1112(123012),23(234123),,33⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯1(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n +=++--+，相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+++=++ ．类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯++++ ”． 其结果为______________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）在A B C ∆中，5cos 13A =-，4sin 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5B C =，求A B C ∆的面积．17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 中，232a =，812a =，1n n a a +<．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求n T 的最大值及相应的n 值．18．（本小题满分13分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度均为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？19．（本小题满分13分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知F A ⊥平面ABC ，2=AB ，1=BD ，2=AF ，3=CE ，O 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：O C D F ⊥；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅲ）在DE 上是否存在一点P ，使CP ⊥平面DEF ？如果存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1+=x y E ab(0)a b >>经过点(2,0)A和点(B ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）试问：在x 轴上是否存在定点S ，使得过点S 的任意一条直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且0AP AQ -→-→⋅=？若存在，求出点S 的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．FE DP CBOA参考答案一、选择题：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题4分，共20分．1112．22(1)4x y ++= 13．65 14．3/32 15．1[(1)(2)(3)]4n n n n +++三、解答题：本大题共6小题，共80分． 16．（Ⅰ）由5cos 13A =-，得A 为钝角，且12sin 13A =； ……2分由4sin 5B =及B 为锐角，得3cos 5B =． ……4分又A B C π++=，所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ……7分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A⨯⨯===，……10分所以A B C ∆的面积1113168sin 5223653S BC AC C =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. ……13分17．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则2132a a q =⋅=，78112a a q =⋅=，∴6821123264a q a ===，∵1n n a a +<，∴12q =． ……3分∴21326412a a q===． ……5分所以通项公式为17164()22n n n a --=⋅=． ……7分（Ⅱ）设2log n n b a =，则72log 27n n b n -==- ……8分 所以{}n b 是首项为6，公差为-1的等差数列……9分(1)6(1)2n n n T n -=+-=22113113169()22228n n n -+=--+……11分因为 n 是自然数，所以，6n =或7n =时，n T 最大， 其最大值是67T T ==21．……13分18．设广告的高为x cm ，宽为y cm ，则每栏的高和宽分别为)20(-x cm ，225-y cm ，其中20>x ，25>y ．两栏面积之和为18000225)20(2=-⋅-y x ，由此得到252018000+-=x y ． ……4分广告的面积x x x x x xy S 252018000)252018000(+-=+-==．……8分整理得18500)20(2520360000+-+-=x x S ．因为020>-x ， 所以2450018500)20(25203600002=+-⨯-≥x x S ．……11分当且仅当)20(2520360000-=-x x ，即140=x 时，等号成立，此时175=y ．故广告高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告面积最小． ……13分19．如图，以O 为原点，OB ，OC ，Oz 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，)0,3,0(C ，)1,0,1(D ，)3,3,0(E ，)2,0,1(-F ． ……2分（Ⅰ）），，（030=OC ，)1,0,2(-=DF ，所以0=⋅OC DF ，即DF OC ⊥． ……4分（Ⅱ）平面ABC 的法向量为)1,0,0(=1n ．设平面DEF 的法向量为),,(z y x =2n ，)2,3,1(-=DE ．y由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF DE 22n n 得⎩⎨⎧=+-=++-,02,023z x z y x 所以⎩⎨⎧-==.3,2x y x z 取1=x ，得)2,3,1(-=2n ． 所以222212,cos =⨯=⋅>=<212121n n n n n n ，所以平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为22． ……9分（Ⅲ）假设在DE 存在一点P ， 设),,(z y x P ， 因为DE DP λ=，故)2,3,1()1,,1(-=--λz y x ， 所以)12,3,1(++-λλλP ，所以)12,33,1(+-+-=λλλCP ．因为CP ⊥平面DEF ，所以CP 与平面DEF 的法向量2n 共线， 所以21233311+=--=+-λλλ ，解得41=λ， ……12分所以DE DP 41==，所以22=DP ． ……13分20．当斜率不存在时，上述已证；当斜率存在时，设过点S 的直线l ：)32(-=x k y ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,124),32(22y x x k y 得049838)21(2222=-+-+k x k x k ． ……10分∴)21(382221k kx x +=+，222121498k kx x +-=．),2(11y x AP -=，),2(22y x AQ -=，∴A P A Q -→-→⋅=)32)(32()2)(2()2)(2(212212121--+--=+--x x k x x y y x x494))(232()1(2212212++++-+=k x x k x x k0494)21(38)232(21498)1(2222222=++++-+-+=k k k k k k k ． 这说明，存在定点S )0,32(，使得过点S 的任意一条直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且0AP AQ -→-→⋅=． ……14分。

福建省第三中学2012届高三校模拟考试数学（理)试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答,答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1、已知复数i i a +在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则，,(n x x ++-为样本平均数实数=a ( ）A 、-1B 、0C 、1D 、22、如果()k a ,1=，()4,k b =，那么“b a //”是“2-=k ”的( ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、已知),0(~2a N ξ，且)02(≤≤-ξP =0。

4，则=>)2(ξP （ ）A 、0。

1B 、0。

2C 、0。

3D 、0.44、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( ) A 、若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B 、若m αα∥,n ∥,则m ∥nC 、若,m n αα⊂∥,则m ∥nD 、若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 5、从5名男生和5名女生中任选3人参加某集体项目的比赛，其中至少有一名男生入选的组队方案数为（ )A 、90B 、100C 、110D 、1206、由曲线23x y -=和x y 2=围成的图形的面积为（ ）A 、322B 、332C 、316D 、3287、若1()nxx展开式中第四项与第六项的系数相等,则展开式中常数项的值等于( )A 、8B 、16C 、80D 、708、已知y x ,满足条件5003x y x y x -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则y x z 42+=的最小值为()A 、6B 、—6C 、5D 、—59、设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）A 、2B 、41- C 、4 D 、21-10、已知集合{}332210333⨯+⨯+⨯+==a a a ax x A ，其中{}2,1,0∈ia()3,2,1,0=i 且03≠a ，则A 中所有元素之和等于（ ）A 、3240B 、3120C 、2997D 、2889二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11、已知函数⎩⎨⎧<-≥=,1,,1,2)(x x x x f x 若4)(=x f ，则=x12、阅读如图所示程序框图,为使输出的数据为31，则判断框中应填的是13、以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形有一个内角为︒60，则双曲线C 的离心率为______ 14、已知i 、j、k为两两垂直的单位向量，非零向量)R ,,(321321∈++=a a a k a j a i a a ，若向量a 与向量i 、j 、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos15、已知函数()⎩⎨⎧∈∈=QC x Qx x f R ,0,1,给出下列结论： （1）()()03=f f ；(2)函数fx是偶函数； （3）函数fx是周期函数;(4）存在()3,2,1=∈i R xi，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i为顶点的三角形是等腰直角三角形；其中，所有正确的结论是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b，求ABC ∆的面积.17．（本小题满分13分）某汽车驾驶学校在学员结业前，要对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。

福州第三中学2012届高三校模拟考理科综合参考答案1.B2.B3.D4.C5.C6.C7. A8. B9. D 10. B 11.D 12 B13.D 14.A 15.C 16.A 17.B 18.D19.（1）①D ； ②减小M 的质量，减小OA 与竖直线之间的夹角；（其他合理答案均可）（2）①H ，S ，0.679～0.681mm ；②220Ω；③A ，R 2，2211I U I U -20.（15分）解：（1）当金属杆a =0时速度最大，设为v m ①（1分）对ab 杆有：F －BIL =0 ② （1分） 根据闭合电路欧姆定律有：rR E I += ③（2分） 金属杆切割磁场产生感应电动势：E=B lv ④（2分）对物体P 有 a P =a =0,即：F =m 2g ⑤（1分） 由①②③④⑤解得：s m B r R g /)(822=+=Lm v 2m ⑥（2分） （2）根据牛顿第二定律：对金属杆， F －BIL =m 1a ⑦（2分）对物体P ， m 2g － F = m 2a ⑧（2分） 由③④⑦⑧解得：222221s m m R L B g m a /=++-=1m r)v （ ⑨（2分） 21.（19分）解（1）设：带电微粒经加速电场加速后速度为v 0， 根据动能定理：20v m qU 211=① （2分） ∴s m m qU /.41010012⨯==v ②（1分）带电微粒进入偏转电场做类平抛运动，设：偏转电压为U 2时，偏转角为θ=30º， 水平方向：0v L t = ③（1分）竖直方向，设：加速度为a ，出电场时竖直方向速度为v y 根据牛顿第二定律：m qE a = ④（1分）而dU E 2= ⑤（1分） v y =at ⑥（1分） 依题意得：2020v v v ydm L qU ==θtan ⑦（1分） 由①③④⑤⑥⑦得：V V L dU U 686350212.tan ≈==θ ⑧（1分） （2）设：带电微粒进入磁场速度大小为v ，方向与水平方向夹角为α，运动轨道半径为R ，根据牛顿运动定律： R B q 2v m v = ⑨（1分） αcos v v 0= ⑩（1分） 带电微粒离磁场左边最远的距离x=R+Rsinα ⑪（2分）由⑨⑩⑪得：)cos sin (αα+=10qB m x v ⑫（1分） 说明α角越大，带电微粒越离磁场左边界越远，带电微粒从下极板边界射出时最容易从右边界射出磁场⑬（1分）∴ x=D=0.2m ⑭（1分） 由平抛运动得：4322====L d Ld 0yv v max tan α ∴ αmax =37°⑮（2分） ∴由B min =0.2T ⑯（1分）22．(20分)解：(1)根据平抛运动的公式x ＝vt ①（1分） H ＝12gt 2 ②（1分） 解得v ＝2 m/s ③（1分）依题意得：煤块到达轮的最高点时对传送带的压力为零，④（1分）根据牛顿第二定律， mg ＝m v 2R⑤（2分） 解得R ＝0.4 m. ⑥（1分） (2) 设：动力轮对传送带的功率为P ，在t 时间内有质量为m 的煤块到达最高点，动力轮做功为W ，系统机械能增量为△E ，摩擦产生热为Q则有 W =Pt ⑦（1分） m =λt ⑧（1分）221v m θmgL ΔE +=sin ⑨（1分）电解Q =μmgcosθ·△s ⑩（1分）煤块相对传送带运动的距离 △s=s 传-s 煤 ⑪（1分）设：煤块经过t 0时间，速度达到传送带速度v 根据运动学公式at 00-=v ⑫（1分） a v 202-=煤s ⑬（1分） av vt 02==传s ⑭（1分） 根据牛顿第二定律：μmg cosθ-mg si nθ=ma ⑮（1分）根据功能原理：对系统 W=Q+△E ⑯（2分）由上述式子可得：P =7×103W ⑰ （2分）23.（15分）（1）第三周期ⅢA 族 (1分)（2）2C 2H 2(g) + 3O 2(g) = 4CO(g) + 2H 2O(l) ΔH ＝―1468 kJ/mol （3分）（3）B (2分) （4）NaAlO 2 (2分) （5）O 2+4e －+4H + = 2H 2O (2分) （6）2NH 4ClO 4=====△N 2↑＋4H 2O↑＋Cl 2↑＋2O 2↑ (3分)； 4.214×1024 (或7N A ) (2分)24.（15分）（1）2Cl —+2H 2O Cl 2↑ + H 2↑+2OH — （2分） （2）c(OH —)=1.41×10－5mol/L （提示：c(Mg 2+)=0.0550mol/L ）（3分） （3）i. 防止MgCl 2·6H 2O 在加热过程中水解产生Mg(OH)2或MgO ；HCl 气体带走结晶水。

福建省福州三中2011—2012学年第二学期高三第五次月考数学（理）试题第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数i z +=1，则21z z =-（ ） A ．2- B ．2 C ．i 2 D ． i 2-2．已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为（ ）A ．3-B ．3±C ．-D ．±3．由曲线12-=x y ，直线0=x ，2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（ ）A ．⎰-22)1(dx xB ．⎰-202|1|dx xC ．|)1(|22⎰-dx xD ．⎰⎰-+-21222)1()1(dx x dx x4．将函数2sin()36x y π=+的图象按向量a =(4π-，2)平移后所得图象 的函数为（ ）A ．2sin()234x y π=+- B ．2sin()234x y π=++ C ．2sin()2312x y π=-- D ．2sin()2312x y π=++5．若正四棱锥的正视图如右图所示. 则该正四梭锥体积是（ ）A ．324 B ．334 C ．322 D ．332 6．已知直线l ⊥平面α，直线m β平面⊂，给出下列命题：①α∥.m l ⊥⇒β ②l ⇒⊥βα∥m. ③l ∥m βα⊥⇒ ④α⇒⊥m l ∥β 其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③7．已知命题p ：“已知x >0，则a ＝1是x ＋ax≥2的充分必要条件”，命题q ：“∃x 0∈R ，02020>-+x x ”，则下列命题正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧(⌝q )”是真命题C ．命题“(⌝p )∧q ”是真命题D ．命题“(⌝p )∧(⌝q )”是真命题8．已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上的一动点，且点P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ． 39．已知集合A ={0,1,2}，B ＝{5,6,7,8}，映射f :A →B 满足)2(1()0(f f f ≤≤），则这样的映射f 共有( )个?A ．12B ．20C ．24D ．4010.若直角坐标平面内A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在f(x)的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则对称点对(A ，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A ，B)与（B ，A ）可看作同一个“姊妹点对”). 已知函数 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<+02022x e x xx x，则f(x)的“姊妹点对”有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 11．nx x )2(2+展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 . 12．阅读右侧程序框图，输出的结果S 的值为________. 13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列，则{}n a 的通项公式n a =_____．14．若变量x 、y 满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若2x y -的最大值为1-，则a =.15．对于平面内的命题：“ABC ∆内接于圆O ，圆O 的半径为R ，且O 点在ABC ∆内，连结,,AO BO CO 并延长分别交对边于111,,A B C ，则11192R AA BB CC ++≥”. 证明如下：1111111OBC OAC OABABC ABC ABCS S S OA OB OC AA BB CC S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=， 即：1111111AA R BB R CC R AA BB CC ---++=，即1111112AA BB CC R++=， 由柯西不等式，得111111111()()9A AB BC C A AB BCC++++≥.∴11192R AA BB CC ++≥. 将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD 内接于半径为R 的球O 内，球心O 在该四面体内，连结,,,AO BO CO DO 并延长分别与对面交于1111,,,A B C D ，则___________”.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知向量)1,cos sin 3(x x m -=，)21,(cos x n =，若n m x f⋅=)(． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3=a ，23)122(=+πA f （A 为锐角），2sin sin C B =，求A 、c b 、的值．17．（本小题满分13分）如图，在多面体111C B A ABC -中，四边形11A B B A 是正方形，AC AB =,(Ⅰ)求证：AB1//平面A1C1C；(Ⅱ)求BC与平面A1C1C所成角的正弦值.18．（本小题满分13分）某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图），已知第一小组为[5，6)，从左到右前5个小组的频率分别为0.06，0.10，0.14，0.28，0.30. 第6 小组的频数是 6.（Ⅰ）求这次实心球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9. 5〜10. 5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率.19．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，1+的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上滑动，2CP PD =．记点P 的轨迹为曲线E ．（I ）求曲线E 的方程；（II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，OM +=，当点M 在曲线E 上时，求⋅的值．20．（本题满分14分）设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(Ⅰ) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(Ⅱ) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （Ⅰ）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换直线4:1-=x l 先经过矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=44n m A 作用，再经过矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011B 作用， 变为直线42:2=-y x l ，求矩阵A.（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．判断直线l 和圆C 的位置关系． （Ⅲ）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 解不等式：4|1|2||≤-+x x ．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.B2.C3.B4.B5.D6.D7.C8.B9.B 10.B 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.180 12.3 13.13,(1)23.(2)n n n -=⎧⎨∙≥⎩14.-1 15.3161111R DD CC BB AA ≥+++ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）解 ：(Ⅰ)21()cos cos 2f x m n x x x =⋅=-+r r1cos 21222x x +=-+12cos 22x x =-sin(2)6x π=- ∴ ()f x 的最小正周期为π. ………………6分（Ⅱ）∵ ()s i n ,0,21223A f A A A πππ+=<<∴=.∵ 2sin sin C B =．由正弦定理得2,b c =① ∵ 3a =，由余弦定理，得2292cos3b c bc π=+-， ②解①②组成的方程组，得c b ⎧=⎨=⎩………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取BC 中点D ，连结AD ，B 1D ， C 1D. 因为，11B C 12BC ，所以，DB C B 11是平行四边形， 1C D1B B.又1A A 1B B ，1A A∴1C D ，所以，11A ADC 是平行四边形， 所以，11A C //AD ，所以AD //平面A 1C 1C ； 同理，1B D //平面A 1C 1C ；又因为，1B DAD D =，所以，平面ADB 1//平面A 1C 1C ；所以，AB 1//平面A 1C 1C ； …………………6分（Ⅱ）解：因为，,AB AC =BC =，所以，222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥，又因为，二面角C AB A --1是直二面角，且11AA B B 四边形是正方形， 所以，ABC A A 平面⊥1，1,,AA AC AB 两两互相垂直，建立如图所示坐标系，设=2AB ，则A （0,0,0），B （0,2,0），1A （0,0,2），C （2,0,0），1C （1,1,2），所以，11(1,1,0)A C =，1(2,0,2)A C =-. 设平面A 1C 1C 的一个法向量为=(,,1)m x y ，由1110,0.A C m A C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得：=(1,-1,1)m ， 又(2,2,0)CB =-，所以，6cos ,=-m CB 〈〉 故11BC A CC 与平面所成角的正弦值为63分 18. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)第六小组的频率为12.0)30.028.014.010.006.0(1=++++-， ∴第4,5,6组成绩均合格，人数为（人）3550)12.030.028.0(=⨯++. …………3分⎩⎨⎧≤≤≤≤5.105.9108y x ，事件“甲投得比乙远的概率”满足的区域为y x >，如图所示，∴由几何概19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，∴(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1．…………6分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2． y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2， 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2．这时x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 2＋x 2)＋1＝－ 3 4， ∴OB OA ⋅＝－ 34．…………………13分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）22()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞. …………2分（Ⅱ）解法一:不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[3,2)--，故(2)0,(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<．………8分解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+.又因为1011a <<+，所以1321a -≤<--，解之得4332a ≤<． ……8分（Ⅲ）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'()e x e F x x x x -=-==所以当0x <<时，'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =点)2e ．设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2e y k x -=，即2ey k x k =+-由()2ef x kx ≥+-x ∈R恒成立，则2220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=-≤成立，因此k =下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2eG x e x =-，则()e G x x '==所以当0x <<时，'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2ef x x ≤->成立．故所求“分界线”方程为：2ey =-． …………14分21.解：(Ⅰ) （本小题满分7分）解法1：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+==444nm n BA C ，则直线1l 上的点),(y x 经矩阵C 变换为直线2l 上的点),(''y x ，则y nx y y m x n x 4,)4()4(''+-=-++=，.…………3分代入42''=-y x ，得4)122()83(=-++y m x n 与4:1-=x l 比较系数得，3,6-==n m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴4364A . …………7分 解法2：设1l 经矩阵作用变成直线l ，直线l 上的点),(y x 经矩阵C 变换为直线2l 上的点),(''y x ，则有y y y x x -=+='',，代入42''=-y x 得0432,4)(2=-+=++y x y y x 即.再设直线1l 上的点),(y x 经矩阵A 变换为直线l 上的点),(''y x ，则有y nx y my x x 4,4''-=+=，代入0432''=-+y x 得04)122()83(=--++y m x n 与4:1-=x l 比较系数得，3,6-==n m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴4364A . …………7分 （II ）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程解：消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；)4(sin 22πθρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：2)1()1(22=-+-x x圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，所以直线l 和⊙C 相交．…… 7分 （Ⅲ）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲解：|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ＜0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x ＞1．当x ＜0时，由2－3x ≤4，得－ 2 3≤x ＜0；当0≤x ≤1时，1≤2－x ≤2；当x ＞1时，由3x －2≤4，得1＜x ≤2． 综上，不等式f (x )≤4的解集为【－ 2 3，2】．………7分高≒考?试-题じ库。

福州三中2011年高三年级五月月考数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再洗涂其他答案，不能答在试卷上。

3．考试结束，监考人将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知i 是虚数单位，实数x ，y 满足()1x i i y i ++=+，则x-y 的值为 （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．22．函数32()ln 2x f x x=-的零点一定位于下列哪个区间 （ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．{4，5}3．在如图所示的算法流程图中，若2()2,(),(3)xf xg x xh ==则 的值为（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．44．设随机变量ξ服从正态分布(0,1),N ξ若P(>1.3)=p,则( 1.30)P ξ-<<=（ ）A ．12p + B ．1p -C ．12p -D ．12p - 5．已知命题p ：抛物线22y x =的准线方程为12y =-；命题q ：若函数()f x 为偶函数，则(1)f x - 关于x=1对称，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，a b ==4B π=，则C=（ ）A ．12π B ．3π C ．51212ππ或D ．233ππ或7．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则213b a +的最小值为（ ）A．3B．3C ．2D ．18．设函数()2cos()23f x x ππ=-，若对于任意的x R ∈，都有12()()(),f x f x f x ≤≤则12||x x -的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．129．在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每年医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为 （ ） A ．78 B ．114 C ．108 D ．12010．已知函数1||,0()0,0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同实数解的充要条件是（ ）A ．20b c <->且B ．20b c >-<且C ．20b c <-=且D ．2b ≥-且c=0第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。

福州三中2011-2012学年高三上学期半期考数学理科答案第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合},sin 2|{},,2|{R x x y y N R x y y M x ∈==∈==，则=N M I （ D ） A ．}0|{>y y B ．}22|{≤≤-y y C ．}20|{≤≤y y D ．}20|{≤<y y2. 已知复数iiz --=12，z 是z 的共轭复数，则z =（ A ） A ．i 2123- B ．i 2123+ C ．i 2121- D ．i 2121+3. 条件m “q p ∧为假，q p ∨为真”是条件n “q p ,中有且仅有一个是真命题”的（ C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 在四边形ABCD 中，=,=，那么四边形ABCD 为（ B ） A . 平行四边形 B . 菱形 C . 长方形 D . 正方形5. 对于10<<a ，给出下列四个不等式： ①()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+a a a a 11log 1log ②()⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+a a a a 11log 1log ③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是（ D ） A ．①与③ B ．①与④C ．②与③D ．②与④6. 把函数5sin(2)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移3π个单位，得到图象的解析式为（ B ） A ．5cos y x = B ．5cos y x =- C ．5cos 4y x =D ．5cos 4y x =-7. 已知各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≤q ，且564,,a a a -成等差数列，则=++5364a a a a （ C ）A ．1B ．1-C ．21 D ．21-8. 不等边ABC ∆的三个内角所对边分别是c b a ,,，且A sin lg ，B sin lg ，C sin lg 成等差数列，则直线a A y A x =+sin sin 2与直线c C y B x =+sin sin 2的位置关系是（ C ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直9. 若函数)0(1)6sin()(>-+=ωπωx x f 的导数)(x f '的最大值为3，则)(x f 的图像的一条对称轴的方程是（ A ）A ．9x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=10. 如图正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP AB AF αβ=+u u u r u u u r u u u r（α、β∈R ），则α+β的取值范围是（ A ） A ．[]4,3 B ．[]5,3 C ．[]4,2 D ．[]5,4BA（第10题）第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.11. 若等差数列{}n a 的首项为7，公差为2-，其前n 项和n S 的最大值为N S ，则=N 4 .12. 如图，直线y 1=与曲线2y x 2=-+所围图形的面积是34. 13. 若()+⊥=，则与夹角大小为32π（或者︒120）. 14. 函数()201132+-+=x x e x f x的最小值为2012.15. 已知函数()())0,0(sin >>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线()A b b y <<=0的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()x f 的单调递增区间是()()Z k k k ∈+36,6.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，三内角C B A ,,大小为等差数列，求C A sin sin +的取值范围. 解：3232,,πππ=+∴=∴-=+=∴C A B BC A B C B A 大小为等差数列三内角Θ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+∴6sin 3cos 23sin 2332sin sin sin sin ππA A A A A C A⎥⎦⎤ ⎝⎛+∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴<+<∴<<3,23sin sin 14sin 216566320的取值范围是C A A A A πππππΘ17. （本小题满分12分）y在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c b a ,,成等比数列，B b A cC a sin 774cos cos =+，6=⋅，求B sin 及ABC ∆的面积. 解：()43cos 47sin 0sin sin 774sin sin 774sin sin 774cos sin cos sin sin 774cos cos 222=∴∴=∴≠==+=+∴=+B B b B B BB BC A BA C C AB b A cC a 是锐角不是最大边即即ΘΘΘ 747821sin 2186cos =⨯⨯==∴=∴==⋅∆B ca S ca B ca ABC 由18. （本小题满分14分）已知数列{}n a 满足)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a nn n ，且814=a .（1）求数列的前三项321,,a a a ； （2）是否存在一个实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列？若存在，求出λ的值，并求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由. 解：（1）由()21221≥-+=-n a a nn n ，令4=n 得122434-+=a a333=∴a ，同理132=a ，51=a .（2）假设存在一个实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列， 则nn n n n n n n n n a a a a 2112122222111λλλλλ+-=--=--=+-+---为一个实数 1-=∴λ时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ为等差数列.此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ是首项为2211=-a ，公差为1214112=---a a 的等差数列()111221+=⋅-+=-n n a nn 即()121+⋅+=nn n a19. （本小题满分14分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为),(x C 当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）；当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）．通过市场分析，计划每件．．售价为500元，且该厂当年生产该产品能全部销售完． （1）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 解：（1）()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈<<-+-=**2,80100001200,8002504031N x x x x N x x x x x L（2）当*,800N x x ∈<<时()()95060312+--=x x L ∴当60=x 时，()x L 取得最大值()95060=L当*,80N x x ∈≥时()10001000021200100001200=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x L ∴当且仅当xx 10000=即100=x 时，()x L 取得最大值()9501000100>=L综上所述，当100=x 时，()x L 取得最大值1000答：年产量为100千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1000万元.20. （本小题满分14分）设函数()()x a x x f ++=1ln 2有两个极值点t s ,，且t s <.（1）求a 的取值范围，并讨论()x f 的单调性；（2）证明：()42ln 21->t f . 解：（1）()()1122122->+++=++='x xax x x a x x f令()a x x x g ++=222，其对称轴为21-=x ， 由题意知t s ,是方程()0=x g 的两个均大于1-的不相等实根， ()⎩⎨⎧>->-=∆∴01084g a ，得210<<a 当()s x ,1-∈时，()0>'x f ，此时()x f 在()s x ,1-∈上为增函数， 当()t s x ,∈时，()0<'x f ，此时()x f 在()t s x ,∈上为减函数， 当()+∞∈,t x 时，()0>'x f ，此时()x f 在()+∞∈,t x 上为增函数.（2）证明：由题设和（1）知()00>=a g021<<-∴t ， ()0=t g Θ()t t t t a +-=--=∴12222 ()()()()t t t t t a t t f ++-=++=∴1ln 121ln 22设()()()x x x x x h ++-=1ln 122⎪⎭⎫ ⎝⎛->21x ，则()()()x x x h ++-='1ln 122当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,21x 时，()0>'x h ，()x h ∴在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,21x 上单调递增()42ln 2121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛->∴h x h()()42ln 21->=∴t h t f .21. （任选2题作答，先在括号内填写选考的考题号）Ⅰ．（本小题满分7分）选修4－2 矩阵与变换 若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦， 所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 另解：01=M 10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ． 另解：01cos90sin 9010sin 90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ，看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．Ⅱ．（本小题满分7分）选修4－4 坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ． 解：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ， 得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴OB OA ⊥．Ⅲ．（本小题满分7分）选修4－5 不等式选讲 解不等式2412>--+x x ． 解：令412--+=x x y ，则当21-≤x 时，有2412>-+--x x 即25>--x ，得7-<x ， 当421<<-x 时，有2412>-++x x 即233>-x ，得435<<x ， 当4≥x 时，有2412>+-+x x 即25>+x ，得4≥x ，()⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃-∞-∴>-<∴,357,357不等式的解集为或x x .。