%BC%9A2.1花边有多宽(共2课时)教案(北师...

程设计
教学过
（不用求解）。

注：4人一组，合作交流，派代表回答。

并思考，你刚才所列的方程（组）有你不认识的吗？请把它找出来。

（课堂探究活动材料
2、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
四、小结归纳
讨论，解决个别学生的疑惑
成后，小组内交流学题点。

分小组派代表展示。

其他小
组纠正或补充
板书设计
2。

教学中可以备用的一些素材或者背景本节课的内容是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的第一节《花边有多宽》的第二课时。

对于本节课我刚开始感觉有点无从下手，“夹逼”的思想由何而来？在本节课中有着怎样的应用？我感觉学生不知从何学起，并且抓不到具体的知识点，在认真研读教材查阅资料的基础上，我把本节课的实际教学过程中的几个点写出来，以供老师们参考。

这节课开始我设置了一个问题情境如下：“有一根带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速找到这一处断裂处？先让学生进行讨论，然后让各小组代表提出该组讨论出的方法进行比较，后来我总结出方法。

用万用表先量出1～50m是否通，这样就能排除50m没有问题的电线，其次再用同样的方法测量1～25m的电线是否有问题，然后又可以排除25m，如此下去，就能很快找到断裂处的范围。

我感觉这种设置既贴近学生生活实际，又关注了数学本身的要求。

这个实例不但激发了学生的学习兴趣，还能很好地让学生体会和理解“夹逼”的思想。

并且我在学生探索的过程中采用鼓励和引导的方法。

通过对上述问题提出的方法进行讨论，培养学生自主探索合作交流等良好的学习习惯。

在自主探索合作交流中学生的自豪感和成功感得到升华。

通过对上述方法的讨论和对比，自然得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：（1）在未知数x的取值范围内排除一部分取值。

（2）根据题意所列的具体情况再次进行排除。

（3）列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选。

（4）最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。

在此基础上，再利用接下来的题目让学生体会“夹逼”思想在具体问题情境中的应用。

“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。

因初中学生所学知识面所限，在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。

其具体的指导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x1,x2代入等式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x0，而且x1＜x0 ＜x2。

课题 2.1花边有多宽课型新授课课时教师
教学目标1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念；2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型
重点一元二次方程的概念及它的一般形式
难点一元二次方程的概念
教法合作探究
学法合作交流时间一、
创设情景引入新课经济时代的今天，你能根据商品的销售利润做出一定的决策吗？你
能为一个矩形花园提供多种设计方案吗？下面我们来学习第二章
第一节：花边有多宽（板书）
学习困惑记
录
二、讲授新课
1、提出问题例1、我们来看一个实际问题(小黑板)
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方
形图案的面积为18m2，那么
花边有多宽?
分析：
已知量：
未知量：
等量关系：
设：
可列方程为：
例2．下面我们来看一个数学问题（小黑板）
102＋112＋122＝132＋142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
分析：如果设第五个联系整数中的第一个数为x，那么后面四个数可以表示为：。

根据题意可的方程。

例3 下面我们来看一个实际问题(小黑板)：
如图，一个长为10m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直
距离为8m，如果梯子的顶端下滑
1m，那么梯子的底端滑动多少米?
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子。

2019-2020学年九年级数学上册《2.1 花边有多宽》教案北师大版姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1．能根据具体问题列出一元二次方程，并能理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，体会方程的模型思想，培养学生的归纳、分析能力3．会用直接开平方法解一元二次方程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程知识点1、给出一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0。

（2）几种不同的表示形式：①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)②ax2+bx=0 (a≠0,b≠0,c=0)③ax2+c=0 (a≠0,b=0,c≠0)④ax2=0 (a≠0,b=0,c=0)(3)相关概念：一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c教学过程（一）创设情境，发现新知[出示问题]：1：已知两个连续整数的积为132，求这两个数若设较小的一个数为x，则另一个数为.根据题意，可得方程2：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯（如图），它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么（1）猜一猜：梯子的底端也滑动1m吗？（2）列出梯子的底端滑动的距离所满足的方程（二）启发诱导，探索新知1．板书上述问题得到的三个方程：① x（x+1）=132②（8-2x）（5-2x）=18③ (x+6)2+72＝102（三）反馈练习，应用新知1．基础训练（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？并说明理由.（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项① 9x2-6x=2x+1② 3x(x-1)＝2(x+2)③ 5x2-4=(x+1)22．拓展训练（1）请写出一个一元二次方程：使它满足一元二次方程的一般形式且二次项系数为5、常数项为二次项系数的相反数.（2）关于x的方程（a-2）x2 +bx+1=0,在什么条件下，此方程为一元二次方程？在什么条件下，此方程为一元一次方程？（3）做一做用一块长25cm，宽20cm的硬纸片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为50cm2的没有盖的粉笔盒，问截去的小正方形边长是多少？一：课前目标自学1.利用平方根的意义求x的解①x2=25 x= ②3x2=18 x= ③(x+1)2-12=0 x=2上述3个方程的解是利用的方法求出来的，能利用此方法的方程的特点是：左边是一个式，右边是一个非负数，即x2=p(p≥0)，解得x= ，分别记做x1= ,x2= ；或（mx+n）2=p(p≥0), 解得x= ，分别记做x1= ,x2= .3.利用直接开平方法解一元二次方程（x--1）2=64,开平方后可得两个一元一次方程：即①x-1= ②x-1= ,分别解得x1= ,x2= .总结：解一元二次方程的基本思想是:把一个一元二次方程通过转化成两个方程来解。

教学过程设计
（不用求解）。

注：4人一组，合作交流，派代表回答。

并思考，你刚才所列的方程（组）有你不认识的吗？请把它找出来。

堂探究活动材料1）
完成后，请举手示意
由例题1可得(8 －2x) (5 －2x) = 18.化简得到2x
13x+11=0
由例题2可得(x＋6)２＋7２=10２化简得到x2 ＋12x
2、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．学生思考解决，并阐述判断依据和理由
顾
这节课的知识，
充，
的知识脉络
板书设计。

2.1 花边有多宽（二）教学目标：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。

2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促动学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和水平。

3、进一步提升学生分析问题的水平，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识. 教学重点：估算一元二次方程的解和近似解。

教学难点：估算一元二次方程的解和近似解。

一、课前导读1、方程-2x 2-3x+5=0的二次项是________，一次项是________，常数项是______，二次项系数是______，一次项系数是________。

2、小明在写作业时，一不小心，方程的一次项系数被墨水盖住了，但从题中的条件，他知道方程的解为x=5，方程为3x 2- □x - 5=0。

请你协助小明求出被墨水盖住的数是多少。

3、为估算方程x 2-2x-8=0的解，填写下表：所以可判断方程x 2-2x-8=0的解为______________________。

二、情境引入在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程： （8－2x ）(5－2x)=18，即：0111322=+-x x ；(x ＋6) 2＋72=10 2 ，即：01512x x 2=-+。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。

上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？1、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程： （8－2x ）(5－2x)=18，即：0111322=+-x x ； （1）x 可能小于0吗?说说你的理由．（2）x 可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴实行交流．（3）完成下表：（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴实行交流。

三、做一做上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法准确吗?为什么? （2）底端滑动的距离可能是2 m 吗? 可能是3 m 吗?为什么? （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （4）x 的整数部分是几? 十分位是几? 四、练习与提升1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。

2.1花边有多宽方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．2.1花边有多宽(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．(二)能力训练要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念(三)情感与价值观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．教学重点一元二次方程的概念a≠0教学难点一元二次方程的概念:a≠0教学方法启发诱导式教具准备投影片四张第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)教学过程Ⅰ．创设现实情景、引入新课[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618．[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?……[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．下面我们来学习第一节：花边有多宽．Ⅱ．讲授新课[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解．[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)＝18注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽．2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：观察下面等式102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢?[生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．[生乙]根据题意，则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2＝(x+1)2+(x+2)2．这样行吗?[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论，列出方程．[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程． (x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝102．[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)＝18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72＝102．这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．[生乙]我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)＝18，40-26x+4x2＝18，4x2-26x+22＝0．(2)x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-20＝0．(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0．由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：1．一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程．(2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c ＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．Ⅲ．应用、深化课本P43随堂练习1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．Ⅴ.课后作业(一)课本P44习题2．1 1、2(二)1．预习内容：P44-P462．预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，Ⅵ．活动与探究1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．[结果]当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．板书设计2.1花边有多宽(一)一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．根据题意，可得(x+6)2+72＝102．二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数．(2)整式方程．(3)可化为ax2+bx+c＝0．三、1．一元二次方程的定义．2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业。

2019-2020学年九年级数学上册 2.1 花边有多宽导学案（2）北师大版一、学习目标：1．探索一元二次方程的解或近似解．2．培养估算意识和能力．3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力二、学习重难点难点：培养估算意识和能力．重点：探索一元二次方程的解或近似解．三、预习交流回顾思考1.什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：3.P46花边有多宽问题中方程的一般形式：________________________你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表x 0 0.5 1 1.5 2 2.52x2-13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流.四、展示提升知识梳理通过估算求近似解的方法：先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解.例题1：P47梯子问题梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x＋6)2＋72＝102一般形式：______________________（1）你认为底端也滑动了1吗m？为什么？（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？五、达标测评五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。

您能求出这五个整数分别是多少吗？A同学的做法：设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2即：x2-8x-20=0X -3 -2 …9 10x2-8x-20 13 0 …-11 0所以，x=-2或x=10B同学的做法：设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2即：x2-12x=0X -3 -2 …9 10x2-12x 13 0 …-11 0所以，x=-2或x=10六、课后反思：本节课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，对于具体问题情境的选择，要力求贴近学生的生活实际，让学生体会到一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果。