圆周角中考题集锦(含答案)

圆周角的练习题初三圆周角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。

在初三的几何学中，圆周角是一个重要的概念，掌握圆周角的计算方法对于解决几何题目至关重要。

本文将为大家提供一些圆周角的练习题，帮助初三学生巩固和掌握这一知识点。

练习题一：已知直径AB的圆上一点C，连结AC和BC两条弦。

求∠ACB的度数。

解析：根据圆的性质可知，在圆上以弦为底的两个圆周角是等角，所以∠ACB = ∠AEB。

而直径AB是圆上的一条直径，它对应的圆周角为180度。

因此，∠ACB = ∠AEB = 180度。

练习题二：已知弧AC与弧BC分别是圆上的两个等分弧，且∠ACB = 20度。

求弧AC的度数。

解析：根据题目可知，∠ACB为圆周角，而弧AC和弧BC是等分弧，所以它们所对应的圆周角也相等，即∠ACB = ∠AEB。

而∠ACB 已知为20度，所以∠AEB = 20度。

而直径AB上的圆周角为180度，所以弧AC的度数为180度减去∠AEB的度数，即弧AC = 180度 - 20度 = 160度。

练习题三：已知直径AB的圆上一点C与D，连结AC和BD两条弦，交于点E。

若∠AEB = 70度，求证：∠ACD = 35度。

解析：要证明∠ACD = 35度，可以利用等角的性质。

根据题目已知，∠AEB = ∠AED = 70度。

而由圆周角的性质可知，∠ACD =∠AEB = 70度。

又∠ACD和∠ACB是同弦内角和对应的圆周角，所以有∠ACD = 180度 - ∠ACB。

将已知条件带入，∠ACD = 180度 - 70度= 110度。

由此可知，∠ACD的度数为35度。

练习题四：已知弦AB的长为8cm，圆心角∠AOB的度数为60度，求弦AB所对应的弧长。

解析：弦AB所对应的弧可以通过圆心角的度数与圆周长的比例来求解。

已知圆心角∠AOB的度数为60度，而整个圆的圆心角为360度，所以∠AOB所对应的弧所占圆周长的比例为60度/360度= 1/6。

0° 0 中考数学专项练习圆周角定理（含解析）是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，∠ CAB=40 D+ ∠ABD 的度数为〔 〕A. 100°B. 110°C. 120°D. 1502.A 、C 、B 是⊙O 上三点，假设∠ AOC=40°，那么∠ ABC 的度数是 ()A. 1 0°B.C.80°C 的外接圆，∠ OCB=40 °，那么∠ A 的度数等于A. 6B. 5C. 4，连接 BD ， O D. 3.如图，⊙ O 是△ A一】单项选择题 图，那么DD. 304.如图，EF是⊙ O的直径，把∠ A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙ O交于点P，点B与点O 重合．将三角板ABC 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠ POF＝x°，那么x 的取值范围是( )A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C.30≤x≤120D.60≤x≤1205.如图，圆心角∠ BOC=100°，那么圆周角∠ BAC 的大小是A. 50°B.100°C.130°D.200°6.以下各命题正确的选项是:〔〕A. 假设两弧相等，那么两弧所对圆周角相等B. 有一组对边平行的四边形是梯形.C. 垂直于弦的直线必过圆心 D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 10的圆，把刻度尺 CA 的 0刻度固定在 刻度尺可以绕点 O 旋转．从图中所示的图尺可读出 sin 〕B.C.D. 【二】填空题 8.如图， P 是⊙ 0 直径那么∠ A 的度数为10.如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CF ，那么以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 ___ ．.如图， AB 是⊙的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作DE ⊥AB ，交 O 于点 D ，E 两点，过点 D 作直径 DF ，连结 AF ，那么∠ DEA= AB 延长线上的点， PC 切⊙0于 C 、假设∠ P=40是半圆 的直径， ，那么 的大小是假设∠ BO ∠BCD ，那么弧 BD 的长为11 A. 半圆的圆 AOB 的o12. 如图，⊙ O的半径为6，四边形ABCD 内接于⊙ O，连接OB，OD，13. __________________________ 如图，AB 是⊙O的直径，C、D、E都是⊙ O上的点，∠ A=55°，∠B=70°，那么∠ E的度数是．14. _____________________________________ 如图，AD 和AC 分别是⊙ O的直径和弦，且∠ CAD=30°，OB⊥A D交AC于点B，假设OB=5，那么BC等于__________________________ ．O 的内接四边形ABCD 中，∠ A=105°，那么∠ BOD 等于【三】解答题16. 如图，在⊙ O 中，AC 与BD 是圆的直径，BE⊥ AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F形ABCD 是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；2〕求证：BE=CF．17. 如图，AB 是? O的直径，点C在? O上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠ COB=2∠PCB.〔1〕求证：PC是? O 的切线；〔2〕求证：BC= AB ；〔3〕点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，假设AB=4 ，求MN ·M C 的值.【四】综合题18. 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，P是⊙O 上一点．〔1〕操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠ P 的平分线；2〕说理：结合图②，说明你这样画的理由．〔1〕⊙D 的半径；〔2〕CE 的长． 【一】单项选择题【考点】垂径定理，圆周角定理 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由〝一条弧所 对的圆周角等于它所对的圆心角的一半〞解答 . 【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系 .【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在△ OCB 中， OB=OC 〔⊙ O 的半径〕，∴∠O BC=∠0CB 〔等边对等角〕；∵∠ OCB=40°，∠ C0B=180°﹣∠ OBC ﹣∠ 0CB ， ∴∠COB=100°； 又∵∠ A= ∠C0B 〔同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半〕 ， ∴∠ A=50 °， 应选 B 、【分析】在等腰三角形 OCB 中，求得两个底角∠ OBC 、∠0CB 的度数，然 后根据三角形的内角和求得∠ COB=100°；最后由圆周角定理求得∠ A 的 度数并作出选择．【考点】圆周角定理【考点】圆周角定理【解析】【分析】∠ BOC ，∠ BAC 是同弧所对的圆周角和圆心角，∠ B OC=2∠ BAC ，因为圆心角∠ BOC=100°，所以圆周角∠ BAC=50°.【点评】此题考查圆周角和圆心角，解此题的关键是掌握同弧所对的圆周 角和圆心角关系，然后根据题意来解答。

初三圆周角练习题圆周角在初三数学中是一个重要的概念，理解和掌握圆周角的性质及计算方法对解题非常关键。

下面给出一系列的圆周角练习题，帮助初三学生加深对这一概念的理解和应用。

题目一：已知半径为5cm的圆上的一条弧所对圆心角的度数是120°，求此弧的长度。

解析：根据圆周角的性质，圆周角的度数等于所对弧的度数，因此所求弧的度数也是120°。

由于圆周角的度数等于所对弧的弧长与半径的比值，设所求弧的弧长为L，则有120/360 = L/(2π×5)。

解方程可得L ≈ 10π/3 cm。

题目二：在半径为8cm的圆中，两条弦长分别为12cm和16cm，求这两条弦所对的圆周角的度数。

解析：根据圆周角的性质，圆周角的度数等于所对弦所对应的弧的度数，而弧长等于弦的长度。

设所求圆周角的度数为x°，根据等式关系12/8 = x/360 和16/8 = x/360，解这两个方程可得x ≈ 180° 和x ≈ 240°。

因此，一条弦所对圆周角的度数为180°，另一条弦所对圆周角的度数为240°。

题目三：一个扇形的圆心角是64°，对应的弧长为10π cm，求此扇形的面积。

解析：根据扇形面积公式，扇形的面积等于扇形所在圆的面积乘以圆心角的度数与360°的比值。

设扇形的面积为S，圆的面积为A，则有S/A = 64°/360° = 64/360。

解方程可得S = (64/360) × π × r^2，代入已知条件，可得S ≈ (64/360) × π × (10/2)^2 = 16π/9 cm^2。

题目四：在半径为3cm的圆中，一条弦的弦长为4cm，这条弦与半径所夹的圆周角的弧度数为1/6π rad，求该弦所对的弧长。

解析：根据圆周角的性质，弧度数等于所对弧的弧长与半径的比值。

圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。

圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 / 31。

圆周角定理中考题（含解析）一．解答题（共4小题）1．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．2．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．3．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．圆周角定理中考题（含解析）参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．2．（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．3．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．4．（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．。

垂径定理圆心角圆周角定理一选择题：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）A．100° B．110° C．120°D．130°4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（）A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜55、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )A．15°B．28° C.29°D．34°7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( )8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（）A. B. C． D.9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15º与30º B．20º与35º C．20º与40º D．30º与35º10.图中∠BOD的度数是（）A．55° B．110° C．125° D．150°11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12.如图,弦AB∥CD，E为上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A. B. C.或 D.或或16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（）A. B. C. D.17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．718.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。

提技能·题组训练圆周角定理及其推论1.( 滨州中考 ) 如图 , 在☉ O中, 圆心角∠ BOC=78°, 则圆周角∠ BAC的大小为 ()A.156°B.78 °C.39°【解析】选C.∠BOC是所对的圆心角D.12°, ∠ BAC是所对的圆周角,∴∠ BAC=∠ BOC=39°.2.( 海南中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 弦 BC=1,点 A 是圆上一点 , 且∠ BAC=30°, 则☉ O的半径是 ()A.1B.2C.D.【解析】选A. 方法一 : 连接OB,OC.∵∠ BAC=30°, ∴∠ BOC=2∠ BAC=60° ,∵OB=OC,∴△ OBC是等边三角形 ,∴OB=OC=BC =1.方法二 : 作直径 CD,连接 BD.则∠ CBD=90°, ∵∠ BDC=∠ BAC=30°, ∴CD=2BC=2,∴OC=CD=1.3.( 长春中考 ) 如图 , △ABC内接于☉ O,∠ABC=71° , ∠ CAB=53° , 点 D 在上,则∠ ADB的大小为()A.45°B.53 °C.56 °D.71 °【解析】选 C.在△ ABC中, ∵∠ ABC=71° , ∠ CAB=53°,∴∠ C=180°-71 °-53 °=56° , ∴∠ ADB=∠C=56°.D,则∠ BOD=. 4.( 佛山中考 ) 图中圆心角∠ AOB=30° , 弦 CA∥ OB,延长CO与圆交于点【解析】因为圆心角∠ AOB=30°, 弦 CA∥OB,所以∠ AOB=∠CAO=30°,又 OA=OC,所以∠ CAO=∠ ACO=30° , 所以∠ AOD=∠ CAO+∠ ACO=60° =∠ AOB+∠ BOD,所以∠BOD=30°.答案 : 30°5.( 贵阳中考 ) 如图 ,AD,AC 分别为☉ O的直径和弦 , ∠CAD=30°,B 是 AC上一点 ,BO⊥AD,垂足为【解析】在Rt△AOB中 , ∠A=30° ,BO=5cm,∴AO=5cm,∵AD是直径 ,∴AD=10cm,∠C=90°, 在 Rt△ ADC中,∠A=30°,AD=10cm,∴CD=5cm.答案: 56. 如图 , 正方形ABCD的顶点都在☉O上 ,P是弧DC上的一点 , 则∠ BPC=.【解析】连接 BD,则 BD是直径 ,∴△ BCD是等腰直角三角形 ,∴∠ BDC=45°, ∴∠ BPC=∠ BDC=45°.答案 : 45°【知识归纳】圆周角与直径1.当题目中出现了直径时 , 常作辅助线 , 利用直径所对的圆周角是直角解决问题 .2.当出现 90°的圆周角时 , 常连接该圆周角所对的弦 , 则该弦为直径 .7. 如图 , 在☉ O中, 直径 AB与弦 CD相交于点 P, ∠CAB=40°, ∠APD=65° .(1)求∠B 的大小 .(2)已知 AD=6,求圆心 O到 BD的距离 .【解析】 (1) ∵∠ APD=∠C+∠CAB,∴∠ C=65°-40 °=25° .∴∠ B=∠C=25° .(2) 过点 O作 OE⊥ BD于 E, 则 DE=BE.又∵ AO=BO,∴OE= AD= ×6=3.∴圆心 O到 BD的距离为 3.圆内接四边形1. 如图 , 四边形 ABCD内接于☉ O,如果∠ BOD=130°, 则∠ BCD的度数是 ()A.115°B.130°C.65°D.50°【解析】选 A. ∵∠ BOD=130°, ∴∠ A= ∠BOD=65°, ∵∠2.( 莱芜中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 已知∠ OAB=22.5°, 则∠C 的度数为 ()A. 135 °B.122.5 °C.115.5°D.112.5 °【解析】选 D.如图, 作所对的圆周角 .∵OA=OB,∴∠ OBA=∠ OAB=22.5° . ∴∠ AOB=180 ° - ∠ OAB-∠ OBA =180° -22.5 ° -22.5 °=135° .∴∠ D= ∠ AOB=×135°=67.5 °.∵四边形 ACBD是圆内接四边形 ,∴∠ C+∠D=180° .∴∠ C=112.5 °.【方法技巧】1. 在圆中 , 求角的度数时 , 常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成.2.有时需要自己作出与已知角互补的圆周角 , 才能运用圆内接四边形的性质 .3. 四边形 ABCD内接于☉ O,AD∥BC,∠ B=75° , 则∠ C=.【解析】∵AD∥ BC,∴∠ A+∠B=180° ,∴∠ A=180°-75 °=105°,答案 : 75°【变式训练】已知 , 四边形 ABCD内接于☉ O, 且∠ A∶∠ C=1∶2, 则∠ BOD= ° .【解析】∵四边形 ABCD内接于☉ O,∴∠ A+∠C=180°.又∠ A∶∠ C=1∶ 2, 得∠ A=60° .∴∠ BOD=2∠A=120°.答案 : 1204.如图 , △ ABC内接于☉ O,AD为△ ABC的外角平分线 , 交☉ O 于点 D, 连接 BD,CD,判断△DBC的形状 , 并说明理由 .【解析】△DBC为等腰三角形 . 理由如下 :∵四边形 ABCD为☉ O的内接四边形 ,∴∠ DCB+∠DAB=180°,又∠ EAD+∠DAB=180°,∴∠ EAD=∠DCB.又∠ DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,∴∠ DBC=∠DCB,∴DB=DC,即△ DBC为等腰三角形 .【错在哪？】作业错例课堂实拍A,B 为☉ O上的两点 , ∠ AOB=100° , 若点 C 也在☉ O上, 且点 C不与 A,B 重合 , 求∠ACB的度数 .(1)错因 :____________________________________.(2)纠错 :____________________________________________________________ _________________________________.答案： (1) 点 C也可能在劣弧AB上，需要分情况讨论(2)当 C在优弧AB上时，∠ ACB=1∠AOB=50°，当 C 在劣弧AB上时，∠ ACB=2 180°-50 °=130°。

5.如图，已知AB 为O O 的直径，点 C 在O O 上,圆周角中考题集锦/ C=15°,则/ BOC 的度数为（、选择题)B 30C (B)CB P 40O (D) 50 AD )AA CD 45o Ao)oBooAACEDOB填空题CCoO DOBBA6. 上 15o 20o 30o B C D30° A . 上一点，则• D(A) 20 (B ) 25 (D ) 45ACB = 50°，点 D 是 BAC若/ PBO=15),C. 45 ° D . 60 °A 、B 则/ 乙APD =70，则乙B 等于 8.如图，△ ABC 内接于 O O ,AC 是O O 的直径，50°~^CP 为O O 上的点 AOB=( )若若 )1101.如图，O O 中，弦AB 、CD 相交于点P 的内接三角形ABC 是 O O ，则.AOC 的度数等于( B . 130 C . 120 DOA . 15° B. 30Z A =30B C 2.已知：点 且 PA// OB 7.如图，已知BD 是O O 的直径，O O 的弦4.如图，A 、B 、C 是O O 上的三点，已知.O =60则.C =( )3.如图，△ /ABC =70 A . 140 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板 使点C 在半圆上.点A 、B 的读数分别为86 '，则/ ACB 的大小为 15° 28° 29° 34°AC_ BD 于点 E,若 AOD=60°,则.DBC 的度数为A.30 B. 40° C. 50 D. 60-谅1 q9.如图，AB 是。

0的直径，C 、D 为。

0上的两 点，若.CDB =35° ,则.ABC 的度数为14•如图，在 △ ABC 中，AB 是LI 0的直径，.B =60；, . C = 70 ,则.B O D 的度数是10.如图，点 A B C 在O O 上，.A =45°,则ZBOC= _________15.如图，/ A 是O O 的圆周角，/ A=40 °,则/OBC 的度数为 ___________ .11.如图，AB 是O 0的直径，弦DC 与AB 相交 于点 E ，若 N ACD=60°, N ADCtO ，则ZABD= _______ 0，Z CEB= ________ °.16.如图，AB 、AC 为O O 的弦，连接CO 、BO 并 延长分别交弦AB 、AC 于点E 、F 求证：CE = BF .13.如图，在等边△ ABC 中，以AB 为直径的O O 与BC 相交于点D ，连结AD ，则• DAC 的度数 为._____________ 度.三、证明题A,■ B " C .一、选择题I. C 2. C 3. A 4. C 5. B6. B7. A二、填空题8. 40°9. 55°10. 90°II. 60°,100°13. 30°14. 100 15. 50 °三、证明题16. 证明：'；O B O是O O的半径.OB =OC又；B . BOE "COF .△EOB FOC.OE =OF.CE =BF。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（ ）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°， 故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ， 由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π． 故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°． 故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4， 故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。