最新浙教版九年级数学下册1.1锐角三角函数公开课优质PPT课件(7)

浙教版九年级(下)
第一章 解直角三角形
1.1 锐角三角函数
登高望远
My problem
第一章 解直角三角形 问题 甲队分在和别两乙在个队倾倾斜斜角角为不3同0的°和斜4坡0°上的都斜步坡行上了
步1行50了米1，50请米问,则哪乙个队队比登甲得队高高? 多少米? B
如图,已知在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,
BC
比值 AB是一个确定的值.
与点B在角的边上的位置无关.
Do you know
三角函数的由来
“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成 的，原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围 逐渐扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支．
三角测量在我国出现的很早．据记载，早在公元前 两千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川 地势的测量．
Let’s
１、如try图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠,若AB=5，
B
BC=3.
５ 3
(1)求∠A的正弦、余弦和正切的值； A (2)请求出∠B的正弦、余弦和正切的值.
C
(3)观察(1)(2)中的计算结果,你发现了什么?
sinA = BC = 3 , sinB = AC = 4 ,
AB 5
AB 5
cosA = AC = 4 , AB 5
cosB = BC = 3 , AB 5
tanA = BC = 3 . AC 4
tanB = AC = 4 . BC 3
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1
２、如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论
ＢＢＢＢＢＢＢＢ M Ａ 30° C N

w2 一辆汽车沿着一山坡行驶了100m,
34
2
5
其铅直高度上升了50m.求山坡与水平
6
面所成的锐角的大小.
7
w3. 图中的螺旋形由一系列直角三角形组
成.每个三角形都不得是以点O为一顶点.
w(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小. w(2)已知∠An-1OAn,是一个小于200的角,求 n的值.tanA7O8A 180.353, 6∴∠A7OA8=19.470.∴n=8.
sinABC101. AC 40 4
w那么A是多少 度呢? w要解决这问题,我们可以借助科学计算器.
w请与同伴交流你是怎么做的?
做一做 3
知识在于积累
w已知三角函数值求角度,要用到三个键, sin cos tan 和第二功能键Sin-1 cos-1 tan-1 和2ndf .
w例如,
SinA=0.9816 CosA=0.8607 tanA=0.1890
∴V型角的大小约550.
学化
呀!
随堂练习 7
真知在00m,其铅直高度 上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.
咋办
?
w老师期望: w你具有成功的把握.
例题欣赏 5
行家看“门道”
w例2 如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.
在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且
tanA=56.78
按键的顺序 2ndf Sin-1 0 . 9 8 1 6 = 2ndf cos-1 0 . 8 6 0 7 = 2ndf tan-1 0 . 1 8 9 0 = 2ndf tan-1 5 6 . 7 8 =
显示结果
Sin-1=0.9816 =78.99184039 coS-1=0.8607 =30.60473007 tan-1=0.1890 =10.70265749

AC 5 5
sin B AC 5 ，cosB BC 2，tan B AC 5 .
AB 3
AB 3
BC 2
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗？
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦.
请同学们拿出
自己的学习工具— 1
2
—一副三角尺，思
AB 5
BC 3
2、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：在RtABC中，
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
AB 3
AB 3
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠A＝30°时，我们有
sin A sin 30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sin A sin 45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
▪ sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦， 记号里习惯省去角的符号“∠”；
▪ sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比；
，
则sin∠A=___.
b3
5、如图，在△ABC中， AB=CB=5， sinA= ，求△ABC 的面积.
4 5
B
5
5
A
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即

？ 求BE的长．
B(山顶）
H
当锐角为30°时，
30°
西坡
其所对的直角边与
斜边之比始终
30°
A
D
B(山顶）
为 1．
C
2
E
东坡
当锐角为45°时，
其所对的直角边
30°
CF
D
B(山顶）
与 斜边之比始 终为 2 ．
2
当锐角为50°时，
G 南坡
这个比值是一个确 定的值．
C
HD
任意作一个锐角∠A，在角的边上任意取两点B
与B1分别作BC⊥AC于点C ，B1C1⊥A1C1于点C1.
判断 BC 与 B1C1 是否相等，并说明理由. B１
AB
AB1
B
A
C C１
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取
一点B作BC⊥AC于点C，比值 BC 是一个确
定的值．
AB
B
A
C
直角三角形中锐角ɑ与其对边与斜边比值关系
ɑ
BC （对边与斜边比值）
1.1锐角三角函数（1）
我关心的是本质 其它都是细节（爱因斯坦）
一 情境创小设红、小强、小颖约好去爬山，他们沿不同倾 斜度的三条道路上山，若山顶与山下的铅垂距离为100 米，你能分别求出他们到达山顶要走的路程吗？
南坡
50°
小颖出发地
西坡
东坡
30°
小红出发地
45°
小强出发地
转化成的数学问题 B(山顶）
2.sinα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
练一练
1. 如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12B.
5
计算：（1）sinA= 13.

3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。

14
回归情景，解决问题
15
归纳小结，反思提高
数
锐角三角函数
16
A
归纳小结，反思提高
bc
Ca B
英文 名字 中文名字
三角形中的比 例
取值 范围
sinA ∠A的正弦
a c
0<sinA<1
cosA ∠A的余弦
b c
0<cosA<1
tanA ∠A的正切
a b
tanA>0
17
归纳小结，反思提高
我来说
18
B
锐角α的正弦、余弦、正切 统称为∠α的三角函数
α
AC
8
新知探究，明确定义
• 如图，在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠
sinA= BC AB
cosA= AC AB
tanA=BABCC
sinA=
∠A的对边 斜边
边
斜边
∠AB 的
对邻
边
∠AB的邻对边
11
变变
•
在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，sinA=
3 5
B 求锐角∠A的余弦
C
A
12
变变变
•
在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，sinA=
3 5
B CD⊥AB，求锐角∠DCB的余弦
D
C
A
13
• 已知一辆汽车从高架桥引桥的入口到高架
桥路从面数总共学行到驶实了大际约，30回m的归距情离，景若已
知该段引桥的坡角约为15°，请问高架桥 的路面离地大约多少米？
数学九年级下第一章第一 节《锐角三角函数》优秀
教学课件
§1.1.1 锐角三角函数 §1.1 锐角三角函数

观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C

1．1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数的概念
B 1．(4分)下列说法正确的是 ( )
(1)cosα表示角α与符号cos的乘积； (2)在△ABC中，若∠C＝90°，则c＝b•sinB； (3)在直角三角形中，不论三角形的边长大小如何，如果其中一个锐角为20°不 变，那么20°角的正弦值的大小也不变； (4)在直角三角形中，锐角A的正弦值在0和1之间． A．(1)(2) B．(3)(4) C．(2)(3) D．(1)(4)
111
2
A.2 B.3 C.4 D. 4
,第13题图)
14．(4分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝ 35 ，则
斜边上的高等于 (B )
64 48 16 12 A.25 B.25 C. 5 D. 5
15．(4分)如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点， 其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是
5 12 5 12 A.12 B. 5 C.13 D.13
7．(4分)如图所示，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自 动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ， 则tanθ的值等于 ( A)
343 4 A.4 B.3 C.5 D.5
,第7题图)
8．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝
11．(10分)分别求出图(1)、(2)的直角三角形中两个锐角的 正弦值、余弦值、正切值．
解：(1)sinA＝153，cosA＝1123，tanA＝152；sinB＝1123， cosB＝153，tanB＝152
(2)sinA＝3 1313，cosA＝2 1313，tanA＝32；sinB＝2 1313， cosB＝3 1313，tanB＝23

数，我就能求出塔高PC，你能说出其中的道理吗？
P
C
600米
甲队
A
30°
路桥·人峰塔 D
？
乙队
40°
B
Let’s say together
在本节课中,我们……
∠α的正弦 学习了一个重要概念：锐角三角函数 ∠α的余弦
∠α的正切 经历了一个探究过程：特殊到一般
体现了一种数学思想：数形结合
体验到一种学习方法：猜想 证明 归纳 应用
问题：甲、乙两队分别在倾斜角为30°和40°的斜坡上
都步行了150米，那么乙队比甲队高多少米？
B
150
米
40°
C乙队
A
甲队
150米 30°
75米 路桥·人峰塔
150米
40°
拓展问题1：如图，已知甲队步行了600米到达山顶C处，
请问乙队要步行多少米才能到达山顶？
拓展问题2：利用图中的数据，若测得∠PAD的度
２、如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论
正确的是（ D）
B
4 A．sinA= 5
C．sinA= 3 4
B．sinA=
3 5
５
D.以上结论都不正确 A
3 C
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于D，
若BD=2，BC=3．则sinA= 2 .
C
3
3
A
D2 B
Oh, I see
Today’s homework
书面作业： 教科书P6中的作业题。(必做题)
探究作业： 1.对锐角α，请思考tanα的取值范围是多少？
2.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,当∠A=α时, 比值 A C ,A B也,A是B锐角α的函数吗？(选做题)

AC
练习拓展，层层递进
• 例1.在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3， 求锐角∠A的各三角函数值（书P5）
A
正弦 余弦 正切
∠A
sinA= 3 5
c
o
sA=
4 5
tanA= 3 4
C
B
∠B
sinB= 4 5
cosB= 3 tanB= 4
5
3
变
• 在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，AC=8，BC=6，求 锐角∠A的各三角函数值（书P6作业题2）
列出方程后，还必须找出符合方程的未知数的值．
能使方程左右两边的值相等 的未知数的值叫方程的解.
例１: 判断下列t的值是不是
方程2t+1=7-t的解： （1） t=-2 （2） t＝1 (3) t=2
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投20次.小强投进10个
球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和
运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列
出方程：
1、一件衣服按 8 折销售的售价为72元,这件衣服的原价是多
少元? 设这件衣服的原价为x元,可列出方程
_0__.8_x____7_2_;
2、物体在水下，水深每增加米承受的压力就会增加1个大气
压.当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力约为340个
2x 12 14
设第一次射击的成绩为x个， 可列方程为____3_______
0.8x72
观察你所列的方程，这些方
340 1 x500 10.33
程之间有什么共同的特点？
★方程两边都是整式；
2x 12 14 3
★方程中只含有一个未知数； ★未知数的指数是一次。

在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这五个
元素之间有如下等量关系：
(1)三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90°
(3)边角之间关系：
B
正 弦 函 数 ： sin A

A的 对 斜边
边

a c
余 弦 函 数 ： cos
A

A的 邻 斜边
450 ┌ 600 ┌
老师期望: 你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个 重新认识和评价. 根据上面的计算,完成<特殊角的三角函数值表>
做一做
B
2 1
45°
A
C
1
sin45 ° = 2
2
cos45°= 2
2
tan45°= 1
做一做
B
2
3
60°
A
C
1
sin60°= 3
2
cos60°= 1
练习
1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长
度是多少?
B
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
c
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1.
A
a
┌
b
C
老师期望:
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数的关系,且它更具 有灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益于智力开发.
B
sin A a , cos A b ,
c
c
c
sin B b , cosB a ,

cosA=
=

∠的邻边
温馨提醒：以正弦为例
sinA（省去角的符号），
30°的正弦表示为sin30°，比值 叫做∠A的正切值，记做tanA，即
斜边

∠BAC的正弦表示为sin∠BAC

，∠1的正弦表示为:sin∠1.
tanA=
∠的对边
∠的邻边
=

概念运用
①BC=8，AC=6
概念



cosA=

= ，

tanA=

4
3
sinA=
4
5
3
= ，
5
= .
解后反思：在直角三角
形中，已知什么条件可
以求三角函数值?
课堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于
点D，若BC=5，BD=4，求sin∠A.
C
A
B
思路1：求AB的长
思路2：等角转化
△BCD∽△BAC
B"
P
C" Q
图（1）
图（2）
角为30°
’’ 1
""
=
= =
’’ 2
"
’’
3 "
=
=
=
’’
2
"
’’
3 ""
=
=
=
’’
3
"
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
边的比值为定值
探索规律
当∠PAQ发生改变时，刚才所获得的发现是否还成立呢？
解:设AB=5k，AC=3k，

特殊角的三角函数值表
锐角α 三角函数
30◦
45◦
60◦
正弦sinα
1
2
2 2
3 2
余弦cosα
3
2
2 2
1 2
正切tanα
3
Байду номын сангаас
1
3
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系
三角函数的单调性(增减性） :
视察特殊角的三角函数表，发现规律：
(1)当 0 90 时,α的正弦值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小;
看图说话: 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数
值.
互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系
B
c
a
┌
A
b
C
300 450
450 ┌ 600 ┌
脑中有“图”，心中有 “式”
锐角三角函数的定义:
在 RtABC 中，C 90
∠A的正弦： sinA A的对边 BC a
B
斜边 AB c
c
a
∠A的余弦 :
cosA
A 的邻边 斜边
AC AB
b c
A
b
C
∠A的正切： tanA A的对边 BC a
A的邻边 AC b
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数。
如图,视察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少?
300 450
450 ┌ 600 ┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?

2.在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=4, BC=3,
求sinA和sinB的值.
B
c
a
A
b
C
新知探索:
B
1
C
2
30.0 A
3
Sin30°=
A
的
对
边1
斜边 2
Cos30°= A的邻边 3
斜边 2
tan30°=
A
的对边
3A 的邻边3Fra bibliotek245.0
A
1
B
Sin45°=
A
的对边
2
斜边 2
小
C
试 200
┌
A
B
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
A
求: sinB,cosB,tanB.
5
5
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
sin
B
A
4.
┌ 6D
C
5
求:△ABC的周长.
B
┐
C
A
小结
通过我们这一节课的探 索与学习，你一定有好多的 收获，你能把这些知识点加 以收集与总结吗？
c o1s0
sin82
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这 几类特殊角的三角函数值．
作业:
1.书 2.同步 3化简 1 ： 3 2sin45
2
4 计2 s 算 4 i n 5 1 ： c6 o （ 0 s 1 ） 20 （ 0 1 52 ） 0 2
5.求适合下列条件的锐角α
（ 1） 2sin10
跟踪练习

什(和2B么)1BACCB1关,系和BA1BC?11
AC AB
,AC1 AB1来自BC AC和AC1 有什么关系?
(3)如果改变B在梯子
上的位置呢?
C1
想一 想
B1
(1)直角三角形AB1C1和 直角三角 形ABC有
什么关系?
BC B1C1 AC AC1 BC
B
(2)AB 和AB1 AB , AB1 AC
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
5.如图, ∠C=90°(CD⊥) A(B.) sin B ( ) .
()() ()
A
C
┌ DB
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA 的值.
7.如图,分别根据 图(1)和图(2)求 ∠A的三个三角函
B
B
3 43
4┌
┌
A
CA
C
(
(
数8.值在.Rt△ABC中,∠C=90°,1)
想一 想
B1
(1)直角三角形AB1C1和 直角三角 形ABC有
B 什么关系?
BC B1C1 AC AC1 BC
(2)AB 和AB1 AB , AB1 AC 和B1C1 ,
和AC1 有什么关系?
(3)如果改变B在梯子
上的位置呢?
A
C C1
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中
定 义
B
sin
∠A的对边
虹桥镇二中数学组
10 m
（1） 1m
10 m
（2）
梯子在上升变陡的过
程中，倾斜角，铅直
高度与梯子的比,水平
宽度与梯子的比,铅直
高度与水平宽度的比,
都发生了什么变化？ 铅