人教版编号49122组合三
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组合数课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
如:已知4个元素a、b、c、d ,写出每次取出两个元素
的所有组合个数是： C42 6
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Amm ．
根据分步计数原理，得到： Anm Cnm Amm
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C26C24C 22种方法，但是 这里出现了三个位置上的重复，故共有C26CA2433C22＝15 种分配方法.
典例分析：
不平均分组：
(3）6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本， 一份三本，有多少种方法？
(4)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合个数是: C32 3
请看课本P22：练习
1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
人教版高中数学选修三6.2.4 组合数 课件
6.2.4 组合数
课标要求
素养要求
通过研究组合数公式及解决有限制条件 1.能利用计数原理推导组合数公式.
的组合问题，提升逻辑推理及数学运算 2.能解决有限制条件的组合问题.
素养.
新知探究
某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2 号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组 去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较 大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方 法有多少种？
一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养． 2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的
点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将 几何问题抽象成组合问题来解决． 3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素 个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍 然是可区分的．
题型一 组合数公式的应用 【例 1】 求值：(1)3C38－2C25；
(2)C338n－n＋C32n1＋n. 解 (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
(2)∵00≤ ＜33n8－ ≤n2≤ 1＋3nn， ，∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝302× ×219＋31＝466.
①Cnm＝Cnn－m；②Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1(其中 n，m∈N*，m≤n)．
提示 成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．
2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？ 提示 在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式 Cnm＝AAmnmm常用于 n 为具体正 整数的题目，一般偏向于组合数的计算．公式 Cnm＝（n－mn）！！·m！常用于 n 为字母的 题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.
课标要求
素养要求
通过研究组合数公式及解决有限制条件 1.能利用计数原理推导组合数公式.
的组合问题，提升逻辑推理及数学运算 2.能解决有限制条件的组合问题.
素养.
新知探究
某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2 号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组 去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较 大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方 法有多少种？
一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养． 2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的
点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将 几何问题抽象成组合问题来解决． 3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素 个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍 然是可区分的．
题型一 组合数公式的应用 【例 1】 求值：(1)3C38－2C25；
(2)C338n－n＋C32n1＋n. 解 (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
(2)∵00≤ ＜33n8－ ≤n2≤ 1＋3nn， ，∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝302× ×219＋31＝466.
①Cnm＝Cnn－m；②Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1(其中 n，m∈N*，m≤n)．
提示 成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．
2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？ 提示 在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式 Cnm＝AAmnmm常用于 n 为具体正 整数的题目，一般偏向于组合数的计算．公式 Cnm＝（n－mn）！！·m！常用于 n 为字母的 题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.
新教材 人教B版高中数学选择性必修第二册 3.1.3 组合与组合数 精品教学课件
(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26×C24＝ 15×6＝90(种)．
(变结论)本例其他条件不变，问题变为从中选 2 名教师参加会议， 至少有 1 名男教师的选法是多少？最多有 1 名男教师的选法又是多 少？
[解] (1)原式＝C38＋C2100×1＝83××72××61＋1020××199＝56＋4 950＝ 5 006.
(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋52××41＝32. (3)原式＝C1n＋1·C1n＝(n＋1)n＝n2＋n.
性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
5．已知 C5n－C4n＝C6n－C5n，求 C1n2的值．
[解] 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！－6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 C1n2的值，故 n≥12， 所以 n＝14， 于是 C1124＝91.
有限制条件的组合问题 【例 2】 高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中选出 3 名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？
[思路点拨] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰 有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．
[解] (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名， 有 C234＝561(种)． ∴不同的选法有 561 种． (2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C334种． 或者 C335－C234＝C334＝5 984 种． ∴不同的选法有 5 984 种．
人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册 《单元教学--组合数》一等奖创新教学设计
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《单元教学--组合数》一等奖创新教学设计《组合数》教学设计一、单元内容及其解析1.内容本单元包括排列与组合，其中排列和排列数公式、组合和组合数公式是本单元的核心内容.本单元的知识结构如下：本单元教学约需4课时，第1课时的主要内容是排列的概念，第2课时的主要内容是排列数和排列数公式，第3课时的主要内容是组合的概念，第4课时的主要内容是组合数和组合数公式，其中第1课时和第3课时属于概念课，第2课时和第4课时则是原理与规则课.2.内容解析排列与组合是组合学最基本的概念，其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列，需要将它们排序；组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组，而不考虑将它们排序.本单元是在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求出计数结果的数学运算.排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题；在下一节中，二项式系数就是组合数；在后续学习中还可看到它们与概率论密不可分.根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.二、单元目标及其解析1.目标（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题，发展数学抽象的素养.（2）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.（3）通过解决实际的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养.（4）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养.三、单元教学问题诊断分析本单元教学中，与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难.教学中应该紧扣实例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组中元素作全排列”两个步骤，从而得到“从个元素中取出个元素的排列数”等于“从个元素中取出个元素的取法数”与“将取出的个元素作全排列的排法数”的乘积，并认识到所得等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释.在本单元，排列与组合的应用主要是综合运用计数原理、排列与组合的有关概念、公式解决问题.在解决问题中需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式或组合数公式，这些对学生来说具有一定的困难.教学中要结合具体实例，强调围绕“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题.另外，还要引导学生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问题，并正确运用排列数或组合数公式求出结果的过程，获得一些解题经验，学会分析排列问题和组合问题的不同方法，并提高解决应用题的能力.本单元的教学难点是推导组合数公式，以及排列与组合的应用.四、课时教学设计第4课时（6.2.4组合数）（一）教学内容组合数的定义和表示，组合数公式.（二）教学目标1.能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数.2.通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，利用组合数与排列数的关系，得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数.（三）教学重点与难点重点：组合数公式.难点：推导和应用组合数公式.（四）教学过程设计1.公式的引入问题1：在6.2.3节中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了，是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？师生活动：（1）为了便于表达和计算组合个数，类比排列数，教师同样可以先引入组合数的定义和表示：把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，并用符号表示.（2）用组合数符号表示6.2.3节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别.设计意图：结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念作对比，引入组合数公式.2.公式的推导问题2：前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？追问（1）：（1）我们知道，可以利用排列数公式求出6.2.1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢？（2）能否用与（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数？师生活动：我们已经知道，6.2.1节问题1中相同元素的排列有3组，每组的排列数是2，即排列数；而6.2.3节问题1中的每一组都对应着6.2.1节问题1中相同元素的一组排列，且组合数.这样，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数，并且.追问（2）：依据求组合数和的方法，如何求组合数？师生活动：求“从个不同元素中取出个元素的排列数，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从个不同元素中取出个元素，共有种不同的取法.第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，有.因此，.这里，并且.这个公式叫做组合数公式.追问（3）：由还可以得到组合数公式的什么形式？师生活动：因为排列数公式有两种形式，由可以得到组合数公式的另一种形式.设计意图：通过利用排列数求出具体问题的组合数，由具体到一般，用同样的方法得组合数公式.3.公式的辨析问题3：上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？师生活动：在解决问题3的过程中，教师可向学生提出以下问题：（1）与排列数公式比较，二者有什么相似和不同？（2）在求组合数时，应该如何选择两个公式？设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并规定.4.公式的应用例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）.师生活动：在完成例1的过程中，可以向学生提出下列问题：（1）比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？（2）分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？设计意图：通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.课堂练习1 先计算，然后用计算工具检验：（1）；（2）；（3）；（4）.课堂练习2 求证：.设计意图：选择合适的组合数公式进行运算和证明，促进学生记住公式，并掌握公式的使用条件.例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？师生活动：在完成例2的过程中，可以向学生提出下列问题：（1）这是一个排列问题还是组合问题？（2）应该根据什么计数原理解决问题？（3）能否对同一问题给出不同的方法？（4）能否归纳求组合问题的一般方法？设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法.课堂练习3 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.（1）共有多少种不同的选法？（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？设计意图：通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决组合问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.5.课堂小结教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：（1）提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.（2）组合数公式是如何推导的？（3）如何解决组合问题？应用组合数公式时需要注意什么？设计意图：通过问题形式，明确组合数的概念，回顾组合数公式的推导，总结解决组合问题的一般方法.6.布置作业根据课堂教学情况，从教科书习题6.2的第2，6，10，12，13，15，16题中选择合适的题目.（五）目标检测设计填空：现要将10名队员分为甲、乙两支各5名的队伍，然后安排去参加3场比赛.如果每场比赛只需安排一支队伍参加，那么所有可能参赛的情况种数为 .设计意图：考查学生对组合数概念的了解和组合数公式的应用.1 / 6。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《1.2.2 组合》
人教B版选修2-3 组合〔第二课时〕一、【教学目标】1、知识与技能目标：〔1〕正确运用两个原来分析、解决一些简单组合问题。
〔2〕使学生理解组合的概念及组合数公式，了解排列与组合的区别，并能利用公式解决一些简单组合与排列的实际问题。
2、过程与方法目标：从实际生活出发，引导学生自主理解组合的概念、排列与组合的区别，提高学生的建模意识。
培养学生分析问题、解决问题的能力，特殊到一般的思维方法，渗透分类讨论思想，优化思维品质．3、情感与态度目标：通过经历生活中的实际激发学生的求知欲，鼓励学生积极参与、勇于探索，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
引导学生养成自主学习的学习习惯。
二、【学情分析】1、学生具备了两个根本原理、排列的概念及解题方法方面的知识，组合有关概念、公式。
2、这个班级是营口市第二高级中学的理科普通班，学生根底知识掌握一般。
有学习积极性。
有参与意识。
三、【教学重点、难点】〔一〕教学重点1、利用组合知识解决应用问题。
2、区分“类〞与“步〞，判断排列与组合。
〔二〕教学难点1、本节的第一个教学难点为组合的应用题。
2、本节的第二个教学难点为排列与组合的区别，由于在解题过程中常常要用分类讨论思想，提高学生从特殊到一般的概括能力。
四、【教学方法】讲练结合【教学过程】组合〔第二课时〕教学活动一、引人新课【活动1】【导入】复习提问，引人新课教师提问学生答复1组合的概念、2组合数公式、3．组合数的性质、4排列与组合的区别、组合知识再现1组合的概念：一般地，从n个不同元素中，任意取出mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．2组合数公式：C错误!＝错误!＝错误!＝__错误!_____________．3．组合数的性质：1C错误!＝___C错误!_________；2C错误!＋C错误!＝___C错误!_________．4排列与组合的区别：排列有顺序，组合没有顺序教师指出:我们这一节课继续研究组合。
组合数(教学课件)(人教A版2019选择性必修第三册)
10
10
(3) C10 10
1;
A10 10!
0
(4) C10
1.
思考：观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现?
（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?
C C
m
n
n m
n
n!
证明：C
,
m !( n m )!
n!
n!
n m
;
7
(2) C10
;
10
(3) C10
;
0
(4) C10
.
解：根据组合数公式, 可得
A
10 9 8
(1) C
120;
A
3!
3
10
3
10
3
3
10!
10 9 8 7! 10 9 8
(2) C
120;
7!(10 7)!
7! 3!
3!
7
10
10
A
10!
方法2抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减
去3件都是合格品的抽法种数，即
3
100
C
98 97 96
C 161700
9604.
3!
3
98
当n和m 取较小数值时 ,
可以通过手算得出A mn 和Cnm .
当n和m 取较大数值时 ,
可以使用信息技术工具 ,
1
2
2
4
(3) 如果物理和化学至少有1门被选, 则共有C12C42 C22C14 12 4 16
10
(3) C10 10
1;
A10 10!
0
(4) C10
1.
思考：观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现?
（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?
C C
m
n
n m
n
n!
证明：C
,
m !( n m )!
n!
n!
n m
;
7
(2) C10
;
10
(3) C10
;
0
(4) C10
.
解：根据组合数公式, 可得
A
10 9 8
(1) C
120;
A
3!
3
10
3
10
3
3
10!
10 9 8 7! 10 9 8
(2) C
120;
7!(10 7)!
7! 3!
3!
7
10
10
A
10!
方法2抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减
去3件都是合格品的抽法种数，即
3
100
C
98 97 96
C 161700
9604.
3!
3
98
当n和m 取较小数值时 ,
可以通过手算得出A mn 和Cnm .
当n和m 取较大数值时 ,
可以使用信息技术工具 ,
1
2
2
4
(3) 如果物理和化学至少有1门被选, 则共有C12C42 C22C14 12 4 16
数学人教A版选择性必修第三册6.2.1排列课件
学习目标
新课讲授
课堂总结
概念生成
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成 一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
注意： 两个排列相同的充要条件： ① 两个排列的元素完全相同； ② 元素的排列顺序也相同.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他 各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
1 23
24 1412 23 1312 这些三位数有什么不同？
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考2：如果将问题2的背景去掉，把被取出的数字叫做元素，那么还 可以怎样叙述问题2?
从4个不同的元素a，b，c，d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一 列共有多少种不同的排列方法?
abc，abd，acb，acd，adb，adc; bac，bad，bca，bcd，bda，bdc; cab，cad，cba，cbd，cda，cdb; dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 不同的排列方法种数: 4×3×2=24.
？
乙
丙乙
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考1：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，还可以怎 样叙述问题1?
从3个不同的元素a，b，c中任取2个，按照一定的顺序排成一列，共有 多少种不同的排列方法.
不同的排列：ab，ac，ba，bc，ca，cb.
不同的排列方法种数： 3×2=6.
学习目标
新课讲授
分析：(1)要完成的“一件事”是什么？ (2)完成的“一件事”是否与“顺序”有关？ (3)如何利用计数原理求出比赛的场次？ 解：先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队， 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:
6.2.4组合数教学设计2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
6.2.4组合数教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册一、课程基本信息1.课程名称：组合数教学设计2.教学年级和班级：2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册3.授课时间：第12周周二下午第3节4.教学时数：1课时（45分钟）二、教学目标1. 理解组合数的定义：通过具体的例子，让学生理解组合数的含义，如从5个不同的物品中选取3个，不考虑顺序，有多少种不同的选取方法。
2. 掌握组合数的计算公式：通过例题，让学生掌握组合数的计算公式，如C(n, k) = n! / [k! * (n-k)!]，并能够运用该公式进行计算。
3. 能够解决实际问题：通过实际问题，让学生运用组合数的知识进行求解，如在体育比赛中，如何安排比赛场次，使得每个参赛队都有相同的比赛次数。
4. 培养学生的逻辑思维能力：通过组合数的计算和应用，培养学生分析问题和解决问题的逻辑思维能力，如通过组合数的计算，分析不同选取方法的可能性。
5. 提高学生的数学素养：通过组合数的学习，提高学生的数学素养，使学生能够更好地理解和运用数学知识，为后续的数学学习打下坚实的基础。
三、教学难点与重点1. 教学重点本节课的核心内容是组合数的计算和应用。
通过学习组合数的定义、计算公式和实际应用，使学生能够理解和运用组合数解决实际问题。
具体包括以下几个方面：（1）组合数的定义：通过具体的例子，让学生理解组合数的含义，如从5个不同的物品中选取3个，不考虑顺序，有多少种不同的选取方法。
（2）组合数的计算公式：通过例题，让学生掌握组合数的计算公式，如C(n, k) = n! / [k! * (n-k)!]，并能够运用该公式进行计算。
（3）组合数的应用：通过实际问题，让学生运用组合数的知识进行求解，如在体育比赛中，如何安排比赛场次，使得每个参赛队都有相同的比赛次数。
2. 教学难点本节课的难点是理解和运用组合数的计算公式。
人教A版高中数学选择性必修第三册 组合 组合数
2
没有顺序区别,组合数为C10
=45.
(3)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合数为
3
C10
=120.
(4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数
为A310 =720.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素
m!(n-m)!
激趣诱思
知识点拨
名师点析公式C
A
= A 常用于 n 为具体数的题目,多用于组 !(-)!常用于 n 为字母的题目,多用于解不等式或证
明恒等式.
激趣诱思
知识点拨
微思考
“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的
答案:B
D.6
激趣诱思
知识点拨
三、组合数的性质
性质 1:C = C- .
性质 2:C+1
= C + C -1 .
微练习
18
计算:C20
=
3
2
,C99
+ C99
=
18
2
解析:C20
= C20
=
20×19
3
3
2
C99
+ C99
= C100
=
答案:190 161 700
.
=190,
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列问题是组合的是
.
①在天津、济南、西安三个民航站之间的直达航线上,有多少种不
同的飞机票?
没有顺序区别,组合数为C10
=45.
(3)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合数为
3
C10
=120.
(4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数
为A310 =720.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素
m!(n-m)!
激趣诱思
知识点拨
名师点析公式C
A
= A 常用于 n 为具体数的题目,多用于组 !(-)!常用于 n 为字母的题目,多用于解不等式或证
明恒等式.
激趣诱思
知识点拨
微思考
“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的
答案:B
D.6
激趣诱思
知识点拨
三、组合数的性质
性质 1:C = C- .
性质 2:C+1
= C + C -1 .
微练习
18
计算:C20
=
3
2
,C99
+ C99
=
18
2
解析:C20
= C20
=
20×19
3
3
2
C99
+ C99
= C100
=
答案:190 161 700
.
=190,
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列问题是组合的是
.
①在天津、济南、西安三个民航站之间的直达航线上,有多少种不
同的飞机票?
人教B数学选修2 3课件1222 组合数的两个性质
错因分析 致错原因是没有仔细审读题意 ,误以为 “奇数位置上必
是奇数 ”.而题设 “奇数数字必在奇数位置 ”是指 :①如果有奇数数字 ,
则它们必须在奇数位置上 ;②如果奇数数字不是 3个,甚至没有时 ,则
奇数位置上也可以不是奇数 ;③偶数位置上一定是偶数 .
第十四页，共23页。
题型一
题型二
题型三
题型四
第十六页，共23页。
1234 5
2.
C
2
2
+
C32
+
C42
+
…+C
2
10
的值为
(
)
A.990
B.165
C.120
D.55
解析(:jCi22ě+xīC)32 +…+C120
=
C33
+
C
2 3
+
…
+
C120
=
C43
+
C
2 4
+…
+C120
=
C131 = 113××120××19=165.
答案(:dBá àn)
第十一页，共23页。
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三 排列组合综合(zōnghé)应用题
【例 3】 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字(.shùzì)
(1)可以(kěyǐ)组成多少个无重复数字的五位数?
(2) 可以组成多少个无重复数字的五位奇数
?
分析解答排列组合应用题应遵循先选后排的原则
类讨论 .
·C
4
8
+
C85 = 966(
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练习1
按下列条件，从 12人中选出 5人，有多少种不同选法？
（（（（（12345） ） ） ） ）甲甲甲甲甲、、必、、乙 乙 须 乙 乙、 、 当 、 、丙 丙 选 丙 丙三 三 ， 三 三人 人 乙 人 人必 不 、 只 至须 能 丙 有 多当当不一2人选选能人当；；当当选选选C；C；；3330CCCC92915131CC??949431??261362768
盏灯，可以熄灭的方法共有（ A ） （A）C83 种（B）A83 种 （C）C93 种 （D）C131 种
4、混合问题，先“组”后“排”
例4、 对某种产品的 6件不同的正品和 4件不同的次 品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所 有次品恰好在第 5次测试时全部发现 ,则这样的测试 方法有种可能？
一级，也可以一步走两级，若要求 11步走完，则有
多少种不同的走法？
C151
课堂练习：
1.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数 是；
（6）甲、乙、丙三人至少 1人当选；
(5)方法一：C32C93 ? C31C94 ? C30C95 ? 756
方法二：C152 ? C33C92 ? 756
(6)方法一：C33C92 ? C32C93 ? C31C94 ? 666
方法二：C152 ? C30C95 ? 666
2、均匀分组与不均匀分组问题
3、今有10件不同奖品 ,从中选6件分给甲乙丙三人 ,每 人二件有多少种分法 ?
解: 1、 C160 ?12 C64 ?C21 ?C11 ? 3150 2、 C160 ?C62 ?C42 ?C22 ? 18900
3、不相邻问题插空法
例3、某城新建的一条道路上有 12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两
①“2、2、2型” 的分配情况，有C62C42C22 ? 90
种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有 C61C52C33 A33 ? 360 种方法；
③“1、1、4型”，有C64 A33 ? 90种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
练习： 2、今有10件不同奖品 ,从中选6件分成三份 , 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法 ?
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元
素）,共有
C
m mn
?C
m mn
?
m
????
C
m m
Ann
种方法
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本；
解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
解答：（1）C1500 （2）C957 （3）C927 ?C33
（4）C947
?C31
?
C937
?C32
?
C927?C33，或C5 100?
C957
（5）C957 ?C30 ? C947 ?C31 ? C937 ?C32 （6）C927 ?C33
反思：“至少”“至多”的问题， 通常用分类法 或间接法求解。
C
61C
2 5
C
3 3
?
60种方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
C
61C
2 5
C
3 3
A种33 方? 法36．0
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
（6）分给5个人，每人至少一本； C62 A55
解：（5）可以分为三类情况：
份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素
C 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 m?1 n?1
班一 班二 班三 班四 班五 班六 班七
练习：
5、将8个学生干部的培训指标分配给 5个不同的班级， 每班至少分到 1个名额，共有多少种不同的分配方法？
C74
6、从一楼到二楼的楼梯有 17级，上楼时可以一步走
解：由题意知前 5次测试恰有 4次测到次品，且第 5
次测试是次品。故有：C43C61 A44 ? 576 种可能。
练习：4、某学习小组有 5个男生3个女生，从中选 3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有 1 人参加，则有不同参赛方法 ______种.
解：采用先组后排方法: C53 ?C31 ?C42 ?A33 ? 1080
例2．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
解：（1）根据分步计数原理得到：
种
C62C42C22 ? 90
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：
(2)分为三份，每份2本；
解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C62C42C22 种
探究问题
1.“至少”“至多”问题
例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分
进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件
正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，
各有多少种不同的抽法？
(1)无任何限制条件； (2)全是正品；
(3)只有2件正品；
(4)至少有1件次品；
(5)至多有2件次品； (6)次品最多.
例5.有10个运动员名额，分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相同共的有元__素__分_C_成_96_m__份_种（分n，法m。为正整数）,每
方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每
份两本，设有 x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、
A 丙三名同学有 3 种方法．根据分步计数原理 所以．
3
可得：C62C42C22 ? xA33
所以．x ?
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A33
? 15
因此，分为三份，每份两本一共有 15种方法
点评： 本题是分组中的 “平均分组”问题．
5.名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体
检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法
共有多少种 ?
C C A 解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
2 6
2?
4
3 3
?
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医
生和护士.
(C13
C
)2
6
?(C12
C24)
?1
?
540
5、元素相同问题,隔板处理