交集、并集知识点总结及练习

3．1交集与并集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、V enn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．知识点一并集思考某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？答案19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．梳理(1)定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A 与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．梳理(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A．{1,3,4,5,6} B．{3}C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}答案 A解析A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B ＝{1,3,4,5,6}，故选A.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.解B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.解如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}答案 A解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}答案 D解析M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．解A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．反思与感悟两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．跟踪训练3(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∩B；(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}． (3)A ∩B ＝∅.类型三 并集、交集性质的应用例4 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． 解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B . 当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5，解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}．反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A ，∴2×(12)2＋3p ×12＋2＝0，∴p ＝－53，∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B ，∴2×(12)2＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}答案 B2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}答案 C3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>0} B．{x|x>1}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<2}答案 A4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()A．∅B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案 A5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案 B1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．课时作业一、选择题1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}答案 D解析∵－2∈N，但－2∉M，∴A，B，C三个选项均不对．2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}答案 D解析A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()A．{y|0<y<1}B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0}D．{(0,1)，(1,0)}答案 B解析∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．4．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．5．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B 等于( ) A ．{x |1≤x <3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |0≤x <1或x >3} D ．{x |0≤x ≤1或x ≥3} 答案 C解析 由题意知，A ∪B ＝{x |x ≥0}， A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}， 则A *B ＝{x |0≤x <1或x >3}．6．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1} D ．R答案 A解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， 四个选项中，符合B ⊆A 的只有选项A.二、填空题7．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有________个． 答案 2解析 ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ， 解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．8．已知集合P ＝{x ||x |>x }，Q ＝{x |y ＝1－x }，则P ∩Q ＝________. 答案 {x |x <0} 解析 |x |>x ⇒x <0，∴P ＝{x |x <0},1－x ≥0⇒x ≤1， ∴Q ＝{x |x ≤1}，故P ∩Q ＝{x |x <0}．9．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≤1}解析 A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图．10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 三、解答题11．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}， 解不等式3>2m －1得m <2， 则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，解得m ＝3.(2)A ∩B ＝∅，A ⊆{x |x <m －2或x ＞m ＋2}． ∴m －2＞3或m ＋2<－1.∴实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．13．已知集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}． (1)若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，求a ，b 的值； (2)若∅B A ，求实数a ，b 的值．解 (1)因为A ＝{3,5}，A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，所以3∈B,2∈B ，故2,3是一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根， 所以a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6，b ＝－6.(2)由∅B A ，且A ＝{3,5}，得B ＝{3}或B ＝{5}． 当B ＝{3}时，解得a ＝6，b ＝－9； 当B ＝{5}时，解得a ＝10，b ＝－25.综上，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－25.四、探究与拓展14．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R }，则A ∩B 中的元素个数为________． 答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.15．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A 、B 、C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。

集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。

一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。

通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。

二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。

记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。

并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。

2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。

记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。

交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。

3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。

记作A-B，其中A和B是待操作的集合。

差集包含了属于A但不属于B的元素。

4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。

一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。

记作A的补集为A'或A^c。

补集包含了全集中属于但不属于A的元素。

三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。

记作A⊇B。

如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。

2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。

3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。

记作A⊆B。

空集∅是任何集合的子集。

4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。

假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。

四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。

即N={1, 2, 3, …}。

2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。

1.1.3 集合的基本运算第一课时自主学习1. 并集：（1）概念：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作A 并B.（2）符号：A ∪B={}B x A x x ∈∈，或.（3）Veen 图表示（右图）（4）性质：A ∪B 包括三个条件：B x A x B A ∉∈⊇但，；A x B x B A ∉∈⊆但，；A=B ，B x A x ∈∈且；A ∪A=A, A ∪∅ = A, A ∪B=B ∪A ；A ∪B=B ，A ∈B;A ∪B=A ，B ∈A.x ∈（A ∪B ），x ∈A ，或x ∈B.2. 交集：（1）概念：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∩B ，读作A 交B.（2）符号：A ∩B={}B x A x x ∈∈，且.（3）Veen 图表示（右图）（4）性质：A ∩B=A ，A ∈B;A ∩B=B ，B ∈A ；A ∩A=A ，A ∩B=B ∩Ax ∈（A ∩B ），x ∈A 且x ∈B.注意：（1）并集不同于交集，并集和交集上具有“属于集合A 或属于集合B ”和“属于集合A 且属于集合B ”的概念差异；（2）并集和交集的取值范围是不同的，在计算时也不能省略空集的情况；（3）对于A ∪B ，不能简单地认为是集合A 和集合B 中的所有元素，两个集合中有相同的元素需要看成是一个元素；（4）对于A ∪B 或A ∩B ，其计算必须是集合运算，结果应是集合，计算时还应满足集合元素的互异性；（5）注意AB ，A ∩B=A ，A ∪B=B 这些关系的等价性.例题分析1. 设集合A=｛1,3,5,6｝，集合B=｛2,3,4,5｝，求A ∪B 和A ∩B.分析：并集指一般情况下由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，所以得出A ∪B=｛1,2,3,4,5,6｝.交集指一般情况下由所有属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，所以得出A ∩B=｛3,5｝.解：A ∪B=｛1,3,5,6｝∪｛2,3,4,5｝=｛1,2,3,4,5,6｝A ∩B=｛1,3,5,6｝∪｛2,3,4,5｝=｛3,5｝.2. 设集合A={}11＜＜x x -，集合B={}11≤-x x ＜，求A ∪B 和A ∩B.分析：同样道理，A ∪B={}11≤-x x ＜，A ∩B={}11＜＜x x -. 或者用数轴法表示，得到的结果如图所示.解：A ∪B={}11＜＜x x -∪{}11≤-x x ＜={}11≤-x x ＜ A ∩B={}11＜＜x x -∩{}11≤-x x ＜={}11＜＜x x -.基础练习 1. 若{}x B A x B x A ，｝，，｛｝，，，｛2,11212=⋃==满足条件的x 的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 若集合{}12＜x x A ≤-=，集合{}12≤-=x x B ＜，A ∩B=（ ） A.{}12＜x x ≤- B. {}12≤-x x ＜ C. {}12≤≤-x x D. {}12＜＜x x - 3. 已知集合{}111＜-≤-=x x A ，集合{}+∈-==N k k x x B ，23的关系如右图Veen 图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）个.A. 1B. 2C. 3D. 无数4. 设集合A={}11＜＜x x -，集合B={}a x x ≤，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是（ ）A. 2＜aB. 2≤aC. 11＜＜x -D. 11-≤≤x 5. 若将有理数集Q 分成两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N=Q ，M ∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为有理数集的一个分割，也称（M,N ）为戴德金分割．试判断，对于有理数集的任一戴德金分割（M ，N ） ，下列选项中，不可能成立的是A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素6. 设{}{}133404222=-+-+==-+=q x p x x B q px x x A ）（，，若A ∩B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧41，则A ∪B= .7. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)•(x －a)≥0}，B ＝{x|x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为 ．8. 已知集合A={x|1≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a},R 为实数集.（1）求A ∪B.（2）如果A ∩C ≠∅,求a 的取值范围.9. 已知集合A=()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤-3211341|x x x ，B={}12＜a x x -，且A ∩B={}57＜x x ≤-，，求实数a 的取值范围.。

1.3 交集并集学习目标：1．理解交集、并集的含义．2．能进行交集并集的运算．重点难点：交集、并集的运算．授课内容：一、知识要点1．集合的并、交运算并集：A ∪B ＝{x | x ∈A 或x ∈B}．交集：A ∩B ＝ ．2．交并集的性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．二、典型例题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = ． 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B = ．3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 ．(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=．4．知集合A ={x |-5<x <5}，B ={x |-7<x <a }，C ={x |b <x <2}，且A ∩B =C ，则 a ，b 的值分别为 ．5．设全集U ={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A ,B )为一个“理想配集”．（若A ＝B ，规定(A ,B )＝(B , A )；若A ≠B ，规定(A ,B )与(B , A )是两个不同的“理想配集”）．那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

==P 则T P 的元素有 个．7．若(){}(){}2,|,,,|,,A A x y y x x R B x y y x x R B ==∈==∈则= ．8．已知集合{}{},11|,52|+≤≤-=≤≤-=k x k x Q x x P 求使∅=Q P 的实数k 的取值范围．9．已知集合{},413,12,4,1,3,222⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=+=a a a B a A 且{}2=B A ，求实数a 的值．10．设U ={小于10的正整数}，已知A ∩B ={2}，()()U U C A C B ={1，9}，(){4,6,8}U C A B =，求A ，B ．11．设全集22{},{|560},{|120},U A x x x B x x px ==-+==++=不超过5的正整数 {1,3,4,5}U C A B =,求p 及A B ．12．已知集合A ={x |x <3}，B ={x |x <a }，①若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．②若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．③若R C A 是R C B 的真子集，求实数a 的取值范围．三、课堂练习1．设集合{}{},9,8,6,3,1,7,5,4,2,1,0==B A {},8,7,3=C 则集合()=C B A ． 2．设全集{},,8|+∈≤=N x x x U 若(){}(){}1,8,2,6,U U A C B C A B ==()(){}4,7,U U C A C B =则=A ，=B ．3．已知P ={y |y=x 2+1，x ∈N }，Q ={y |y=－x 2+1，x ∈N }则P ∩Q = ．4．设集合{}{}{},20|,31|,24|≥≤=<≤-=<≤-=x x x C x x B x x A 或则_______)(=B C A ．5．设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差为{}|,,M P x x M x P -=∈∉且则()M M P --= ．6．已知全集{},4,3,2,1,0,1,2,3,4----=U 集合A ={-3，a 2，a + 1}，B ={a – 3，2a – 1，a 2 +1}，其中R a ∈，若{}3-=B A ，求)(B A C U ．7．A = {x ∣x 2 – 3x +2 = 0，x ∈R }，B = {x ∣x 2 – ax + a – 1 = 0，x ∈R }，C = {x ∣x 2 – mx + 2= 0，x ∈R }，且,AB A AC C ==，求m a ,的值．8．已知集合},1{},21{<=<<=x x B ax x A 且满足B B A = ，求实数a 的取值范围．【拓展提高】10．已知φ==++=+R A m x x x A 且}02{2，求实数m 的取值范围．四、巩固练习1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则集合∁U (A ∪B)＝________．2．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是________．3．已知全集U＝{x|0≤x<10，x∈N}，A∪B＝U，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，则集合B＝________．4．集合M＝{x|－2≤x<1}，N＝{x|x≤a}，若∅(M∩N)，则实数a的取值范围为________．5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是________．6．对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)．设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中元素的个数为________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围________．8．已知非空集合A＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，B＝{(x，y)|y＝(5－3a)x－2a}．若A∩B＝∅，则a＝________．9．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝________．10．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∩B)等于________．11．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，而A∩(∁U B)等于________．12．设集合A＝{x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z且－5≤x≤5}，则A∪B的元素个数是________．13．已知集合M是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≠0)的解集，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，若M∩A＝∅，且M∪B＝B，试求p、q的值．14．已知全集U＝{不大于5的自然数}，A＝{0,1}，B＝{x|x∈A，且x<1}，C＝{x|x－1 A，且x∈U},求∁U B，∁U C.15．设集合A＝{a2,2a－1,－4}，B＝{a－5,1－a,9}．(1)若{9}＝A∩B，求实数a的值；(2)若9∈(A∩B)，求实数a的值．。

高一数学复习知识点专题讲解与训练并集与交集知识点一并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称自然语言为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}(读作“A并B”)图形语言知识点二交集一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称自然语言为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．4.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C. 答案：C类型一并集概念及简单应用例1(1)设集合A＝{1,2,3}, B＝{2,3,4}, 则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}(3)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)由题意A∪B＝{1,2,3,4}．(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．(3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．【答案】(1)A(2)A(3)A(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B.(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.(3)先明确集合A，B都是点集，再判断A∪B中的元素的特征．方法归纳此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．,跟踪训练1(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}解析：(1)先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示．则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．答案：(1)D (2)A ,先解方程，求出集合M ，N .求M ∪N 时要注意两点：(1)把集合M ，N 的元素放在一起；(2)使M ，N 的公共元素在并集中只出现一次．类型二 交集概念及简单应用例2 (1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 D ．A ∪B ＝R(2)已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x <2}和N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个(3)已知集合M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2<x <0}，若M ∩N ＝∅，则a 的取值范围为( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <－2 D ．a ≤－2,【解析】 (1)由3－2x >0，得x <32，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，又因为A ＝{x |x <2}，所以A ∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}． (2)由题意得，阴影部分所示的集合为M ∩N ，由N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }知N 表示奇数集合，又由M ＝{x |－2≤x <2}得，在－2≤x <2内的奇数为－1,1.所以M ∩N ＝{－1,1}，共有2个元素． (3)画数轴可知，当M ∩N ＝∅时，a 的取值范围是{a |a ≤－2}． 【答案】 (1)A (2)B (3)D(1)先解不等式确定集合B ，再根据交集、并集的定义分别确定A ∩B 和A ∪B.(2)先判断集合N 中元素的特征，再判断Venn 图中阴影部分表示的集合M ∩N ，最后求元素个数．(3)画数轴，根据M ∩N ＝∅，求a 的取值范围．方法归纳(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．,跟踪训练2(1)若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________，P∪M＝________；(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<－2或x>5}，则M∪N＝________，M∩N ＝________；(3)已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈Z}，集合N＝{y|y＝－x2－2x，x∈Z}，求M∩N.解析：(1)P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}，P∪M＝{－1,1,3}．(2)借助数轴可知：M∪N＝{x|x>－5}，M∩N＝{x|－3<x<－2}．(3)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈Z，∴M＝{－1,0,3,8,15，…}．又∵y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，x∈Z，∴N＝{1,0，－3，－8，－15，…}，∴M∩N＝{0}．答案：(1){－1}{－1,1,3}(2){x|x>－5}{x|－3<x<－2}(3){0}先求出集合P、M，再求P∩M , P∪M.集合M ，N是函数的值域．类型三交集、并集性质的运用例3已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.综上知，a＝－2.审结论(明解题方向)审条件(挖解题信息)(1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C.(2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．∅(A∩B)，A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}．,由A ∩B ＝B 得B ⊆A ，B 分2类，B ＝∅，B ≠∅，再利用数轴求.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－5} B ．{x |x ≤2} C ．{x |－3<x ≤2} D ．{x |－5≤x ≤2} 解析：结合数轴(图略)得A ∪B ＝{x |x ≥－5}． 答案A2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a －1，a ∈N *}，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{1,2} C ．{1} D ．{2}解析：因为N ＝{1,3,5，…}，M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1}． 答案：C3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝－4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x ＝－1，y ＝2} B ．(－1,2)C ．{－1,2}D ．{(－1,2)}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，2x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以A ∩B ＝{(－1,2)}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2解析：在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设集合A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}7．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±2，或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±2，0，共3个．答案：38．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：{a|a≤1}三、解答题(每小题10分，共20分)9．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}，∵B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝1 3；(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－1 2；(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.∴m＝13或m＝－12或m＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是() A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A12．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．答案：{6}13.设A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－a ＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．解析：由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.所以A ＝{0,2}．(1)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}．当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，所以a <0.当B ＝{0}或{2}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，a 2－a ＝0⇒a ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，4－4a ＋a 2－a ＝0无解， 所以a ＝0，B ＝{0,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝04－4a ＋a 2－a ＝0⇒a ＝1， 综上，a 的取值范围为{a |a ≤0或a ＝1}．(2)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以B ＝{0,2}，所以a ＝1.。

集合及其性质知识点及题型归纳总结
集合的基本概念
- 集合是由一些确定的对象（元素）构成的整体。

- 集合中的元素是无序的，每个元素在集合中只能出现一次。

- 集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法
- 列举法：将集合中的元素一一列举出来并用大括号括起来。

- 描述法：用条件描述集合中的元素的特点。

常见的集合性质
- 交集：两个集合中共有的元素构成的新的集合。

- 并集：将两个集合中的所有元素合并到一起构成的新的集合。

- 差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素得到的新
的集合。

- 互斥：两个集合没有共同的元素。

集合的题型归纳总结
1. 求交集、并集、差集：
- 根据集合的定义和性质，确定要求的操作。

- 对给定的集合进行相应的运算，得到结果。

2. 判断集合关系：
- 比较两个集合的大小关系，如是否相等、是否包含等。

- 根据集合的定义和性质进行判断。

以上是关于集合及其性质的知识点及题型归纳总结，希望对你的学习有所帮助。

如有疑问，请随时向我提问。

复习引导：（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A ；空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则ΦA ；任何一个集合是它本身的子集A A ⊆（6）易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}例题巩固：1.满足{}a M ⊆{},,,a b c d 的集合Ｍ共有( )Ａ６个 Ｂ７个 Ｃ８个 Ｄ９个2.已知集合{}{}2|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若B A,则实数a 的值为＿＿. 3.已知集合{}{}|40,|12A x R x p B x x x A B=∈+≤=≤≥⊆或且,则实数p 的取值集合为＿＿＿＿＿＿.4.集合{}|21,A x x k k Z ==-∈,集合{}|21,B x x k k Z ==+∈,则Ａ与Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.已知Ａ＝{},a b ,{}|B x x A =∈,集合Ａ与集合Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 6.已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-,B A ⊆,求实数a 的取值范围.第四课时1.3集合的基本运算集合的并集、交集知识点一、并集[提出问题]已知下列集合：A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．问题1：集合A与集合B各有几个元素？提示：A＝{－1,1}，B＝{1,2,3,4}，即集合A有2个元素，集合B有4个元素．问题2：若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？提示：{－1,1,2,3,4}．问题3：集合C中的元素与集合A、B有什么关系？提示：C中元素属于A或属于B.(1)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律．(2)A∪A＝A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．理解并集应关注三点(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.[例1](1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}[解析](1)由并集的定义知，M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．[答案](1)A(2)A[类题通法]并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．[活学活用]若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个知识点二、交集[提出问题]已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{3,4}．问题1：集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？提示：有．{3,4}问题2：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？提示：C中的元素既属于A又属于B.2．交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.解析：选C从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A、B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x ＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此，x＝±2或0.[例2](1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1}C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，∴B＝{0,3,6,9}，∴A∩B＝{0,3}．(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)C(2)A[类题通法]求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．[活学活用]已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M ∩N ＝{3}，求实数a 的值．题型一、交集、并集的性质及应用[例3] 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[解] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.(1)当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2.(2)当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52. 综合(1)(2)可得{k |k ≤52}． 并集、交集的性质应用技巧对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，反之也成立；若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．[活学活用]把本例中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围．解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠∅.由数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k∈∅，即当A∩B＝A时，k的取值范围为∅.题型二、含字母的集合运算忽视空集或检验[典例](1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是()A．1或2B．2或4C．2 D．1(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．[解析](1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．(2)由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a≥2.[答案](1)C(2)a≥2[易错防范]1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N 只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．2．在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．[成功破障]设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．答案：{t|t≤2}[随堂即时演练]1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析：选B由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}解析：选D集合S表示直线y＝1上的点，集合T表示直线x＝1上的点，S∩T表示直线y＝1与直线x＝1的交点，故选D.3．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.答案：R{x|4≤x<5}4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案：a≤15．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.故A∪B＝{－4，－1,2,7}．[课时达标检测]一、选择题1.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．2个B．3个C．1个D．无穷多个2．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于()A．S∩T B．SC．∅D．T5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a<2B．a>－2C．a>－1D．－1<a≤2解析：选C∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.二、填空题6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.答案：27．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案：128．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是________．答案：4三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝{12}，求S ∪T .解：∵S ∩T ＝{12}，∴12∈S ，且12∈T . 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q －1＝0p ＋2q ＋15＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4. 从而S ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝{12，－4}． T ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝{12，13}． ∴S ∪T ＝{12，－4}∪{12，13}＝{12，13，－4}． 10．已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围． 解：在数轴上标出集合A 、B ，如图．要使A ∪B ＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a <－1， 解得－3≤a ＜－1.综上可知：a 的取值范围为－3≤a ＜－1.。

交集和并集练习题交集和并集是集合论中非常重要的概念。

在解决各种问题时，我们常常需要用到这两个概念来分析和推导。

掌握交集和并集的概念以及运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的新集合。

简单来说，就是两个集合中都包含的元素。

比如集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，它们的交集就是{2,3}，因为2和3同时出现在了A和B中。

在求交集时，我们可以通过列举集合中的元素来找到共有的元素。

如果集合中的元素过多，或者集合无法直接列举出来，我们可以通过使用集合的性质或其他运算方法来求解。

并集是指两个或多个集合中所有的元素所组成的新集合。

简单来说，就是把两个集合中的元素合并在一起。

比如集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}，它们的并集就是{1,2,3,4}，包含了A和B中的所有元素。

在求并集时，我们可以直接把两个集合中的元素放在一起，去除重复的元素，就得到了并集。

如果集合中的元素过多，或者集合无法直接列举出来，我们可以通过使用集合的性质或其他运算方法来求解。

对于交集和并集的练习题，我们可以通过以下几个方面进行分析和解答。

首先，可以通过画集合的图示来帮助理解和解答问题。

将集合的元素用圆圈表示，共有的元素可以用重叠的圆圈来表示交集，将所有的元素放在一起来表示并集。

通过观察图示，可以直观地得到交集和并集的结果。

其次，可以通过列举集合的元素来求解问题。

将集合中的元素写在一张纸上，然后找到共有的元素来求交集，将所有的元素放在一起来求并集。

这种方法适用于集合中的元素较少，或者集合中的元素可以直接列举出来的情况。

还可以通过使用集合的性质或其他运算方法来求解。

比如利用集合的包含关系、相等关系、互斥关系等性质来求解交集和并集。

利用交集和并集的运算律、推导公式来求解复杂的问题。

这种方法适用于集合中的元素较多，或者集合无法直接列举出来的情况。

在解答练习题时，我们应该注意分析问题的要求，确定问题的关键点，运用正确的方法和步骤来求解。

高一交集并集与补集知识点高一交集、并集与补集知识点在高中数学中，集合是一个重要的概念，有许多重要的运算与性质需要我们了解。

其中，交集、并集和补集是我们经常遇到的几个基本运算，它们在解决问题时具有重要的作用。

下面将介绍高一阶段学习的交集、并集与补集的基本概念、性质及应用。

1. 交集的概念与性质交集指的是两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。

在表示上，我们通常使用符号“∩”来表示交集。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A与B的交集为A∩B={2,3}。

在研究交集时，我们需要注意以下几个性质：1.1 交换律：对于任意两个集合A、B，有A∩B=B∩A。

1.2 结合律：对于任意三个集合A、B、C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

1.3 存在性：对于任意集合A，有A∩A=A。

1.4 全集关系：对于任意集合A，有A∩U=A，其中U表示全集。

2. 并集的概念与性质并集指的是两个或多个集合中所有元素构成的新集合。

在表示上，我们通常使用符号“∪”来表示并集。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A与B的并集为A∪B={1,2,3,4}。

在研究并集时，我们需要注意以下几个性质：2.1 交换律：对于任意两个集合A、B，有A∪B=B∪A。

2.2 结合律：对于任意三个集合A、B、C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

2.3 存在性：对于任意集合A，有A∪A=A。

2.4 全集关系：对于任意集合A，有A∪U=U。

3. 补集的概念与性质补集指的是集合中不属于另一个集合的元素所构成的新集合。

在表示上，我们通常使用符号“-”来表示补集。

例如，如果集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3}，则B关于A的补集为A-B={1,4}。

在研究补集时，我们需要注意以下几个性质：3.1 补集的存在唯一性：对于任意集合A，存在一个唯一的补集A'。

3.2 补集的补集：对于任意集合A，有(A')'=A。

辅导讲义――交集、并集教学目的1交集和并集的定义 2集合间的关系和运算 重点难点1交集和补集的定义 2集合的关系和运算教学内容1、交集的定义定义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集；记作A ∩B ，(读作“A 交B ”) 符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }图示语言例：1、{1，2，3，6}∩{1，2，5，10}＝{1，2}. 2、{1，2，3，6}∩{5，10}＝∅3、设A ＝{x |x ＞－2}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}2、集合的常用性质（1）A ∩A ＝A （2）A ∩∅＝∅ （3）A ∩B ＝B ∩A （4）A ∩∁U A ＝∅ （5）(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B[例1]（1）设集合A ＝｛-1，0，1｝，B ＝｛0，1，2，3｝，求A ∩B ；（2）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ≤1}，求A ∩B.[巩固]（1）已知集合A ＝｛-1，1，3，5｝，B ＝｛x |-4<x -3≤0｝，求A ∩B ；（2）设A ＝{x |x =2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x =2k+1，k ∈Z }，求A ∩B.[例2]若集合A =｛1，m -2｝，B =｛-1，2，4｝，且A ∩B =｛2｝，则实数m =______.[巩固] 已知集合A =｛1，3，m ｝，B =｛1，m ｝，若A ∩B = B ，则m =_________. 知识模块1交集精典例题透析[例3]已知集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B=A ，则实数a 的取值范围为_______________.[巩固]已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |x <a }，全集为实数集R ，且A ∩B=∅，则实数a 的取值范围为_______________.[例4]已知集合A =｛-1，1｝，B =｛x |x 2-2ax+b =0｝，若A ∩B = B=∅，则实数a ，b 的关系是______________.[巩固]已知集合A =｛-1，21｝，B =｛x |mx -1=0｝，若A ∩B = B ，则所有实数m 组成的集合是________________.1、并集的定义定义 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合，叫做A ，B 的并集；记作A ∪B (读作“A 并B ”) 符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }图示语言2、并集的常用性质（1）A ∪A ＝A （2）A ∪∅＝A （3）A ∪B ＝B ∪A （4）A ∪∁U A ＝U （5）A ⊆ (A ∪B ) ，B ⊆ (A ∪B ）[例1]根据下面给出的集合A ，B ，求A ∪B . （1）A ＝｛-1，0，1｝，B ＝｛0，1，2，3｝； （2）A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ≥-2}.[巩固] （1）已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ≤1}，求A ∪B ；（2）已知集合A ＝｛-1，1，3，5｝，B ＝｛x |-4<x -3≤2｝，求A ∪B .[例2]已知集合A ＝｛2，m ｝，B ＝｛1，m 2｝，若A ∪B=｛1，2，3，9｝，则m=________. 知识模块2并集精典例题透析[巩固]设集合A ＝｛a+5，3，5｝，B ＝｛2a+1，a 2+2a ，a 2+2a -1｝，若A ∩B=｛2，3｝，则A ∪B =______________.[例3] 已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x >a }，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为____________.[巩固]已知集合S ＝{x |x ≤-1或x ≥2}，P ＝{x | a ≤x ≤a+3}，若S ∪P=R ，则实数a 的取值集合为[例4] 已知集合A ＝{x |ax -1=0}，B ＝{x |x 2-3x+2=0}，若A ∪B= B ，则a =____________.[巩固] 已知集合A ＝{x |x -a =0}，B ＝{x | ax -1=0}，若A ∪B=A ，则a =_____________.设a ，b 是两个实数，且a<b ，我们规定如下表：定义 名称 符号 数轴表示｛x|a ≤x ≤b ｝ 闭区间 [a ，b ] ｛x|a<x<b ｝ 开区间 （a ，b ） ｛x|a ≤x<b ｝ 左闭右开区间 [a ，b ） ｛x|a<x ≤b ｝ 左开右闭区间（a ，b ] ｛x|x ≥a ｝ [a ，+∞） ｛x|x>a ｝ （a ，+∞） ｛x| x ≤b ｝ （-∞，b ] ｛x| x<b ｝（-∞，b ）R（-∞，+∞）数轴上的所有点[例]将下列集合用区间表示出来.（1）｛x |2x -1≥0｝； （2）｛x | x<-4，或-1<x ≤2｝[巩固1]已知全集U=R ，A=｛x |-4≤x <2｝，B =(-1，3]，P=｛x |x ≤0，或x ≥25｝，求下列各集合，将结果用区间表示. （1）（A ∪B ）∩P ； （2）（∁U B ）∪P （3）（A ∩B ）∪（∁U P ） 知识模块3区间的概念精典例题透析2、集合A={-1,2,3,6}，B={x|x=-2<x<3}，则A⋂B=__________.3、已知全集U=｛x|0≤ x <10，x∈N｝，A∪B=U，A∩(∁U B)=｛1，3，5，7，9｝，则集合B=_______________.4、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x-2)=0,x∈Z}，则A B=_________.5、设集合M=｛-1，0，1｝，N=｛a，a2｝，若M∪N=M，则a=________.4、满足条件｛1，2｝∪B=｛1，2，3，4，5｝的所以集合B的个数为__________.5、用集合表示下列的阴影部分.（1）____________ （2）______________ （3）___________ （4）____________6、已知方程x2+px+q=0的两个不相等实数根分别为α，β，集合A=｛α，β｝，B=｛2，4，5，6｝，C=｛1，2，3，4｝，A∩C=A，A∩B=∅，求p，q的值.7、已知集合P=(){}(){}bxyyxQxy+===,,yx，，若P∩Q≠Φ，则求出实数b的最大值。

交集、并集知识点总结及练习【拓展提高】10．已知，求实数m的取值范围．四、巩固练习1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)＝________．2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是________．3．已知全集U＝{x|0≤x<10，x∈N}，A∪B＝U，A∩(∁UB)＝{1,3,5,7,9}，则集合B＝________．4．集合M＝{x|－2≤x<1}，N＝{x|x≤a}，若∅M∩N)，则实数a的取值范围为________．5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N ＝M成立的a的值是________．6．对于集合A，B，定义A－B ＝{x|x∈A，且xB}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)．设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中元素的个数为________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围________．8．已知非空集合A＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，B＝{(x，y)|y ＝(5－3a)x－2a}．若A∩B＝∅，则a＝________．9．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝________．10．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∩B)等于________．11．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，而A∩(∁UB)等于________．12．设集合A＝{x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z且－5≤x≤5}，则A∪B的元素个数是________．13．已知集合M是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≠0)的解集，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，若M∩A＝∅，且M∪B ＝B，试求p、q的值．14．已知全集U＝{不大于5的自然数}，A＝{0,1}，B＝{x|x∈A，且x<1}，C＝{x|x－1A，且x∈U},求∁UB，∁UC.15．设集合A＝{a2,2a－1,－4}，B＝{a－5,1－a,9}．(1)若{9}＝A∩B，求实数a的值；(2)若9∈(A∩B)，求实数a的值．6。

§3集合的基本运算3．1交集与并集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．知识点一并集(1)定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆(A∪B)．知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．梳理(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.(√)2．A∩B是一个集合．(√)3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．(×) 4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．(×)类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A．{1,3,4,5,6} B．{3}C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}考点并集的概念及运算题点有限集合的并集运算答案 A解析A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.考点并集的概念及运算题点无限集合的并集运算解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.考点并集的概念及运算题点有限集合的并集运算解B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.考点并集的概念及运算题点无限集合的并集运算解如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．考点并集的概念及运算题点无限集合的并集运算解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴，y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．考点并集的概念及运算题点无限集合的并集运算解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}考点交集的概念及运算题点无限集合的交集运算答案 A解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.(2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}考点交集的概念及运算题点有限集合与无限集合的交集运算答案 D解析M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M ∩N ＝{0,1}，故选D.(3)集合A ＝{(x ，y )|x >0}，B ＝{(x ，y )|y >0}，求A ∩B 并说明其几何意义．考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算解 A ∩B ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．反思与感悟 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．跟踪训练3 (1)集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∩B ；(2)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ；(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B .考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}．(2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．(3)A ∩B ＝∅.类型三 并集、交集性质的应用例4 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围． 考点 集合的交集、并集性质及应用题点 利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B .当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B .当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5，解得a <－4或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a <－4或52<a <3 ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－4或a >52. 反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p ，q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12时，求p ，q 的值和A ∪B . 考点 集合的交集、并集性质及应用题点 求集合的并集解 ∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A ， ∴2×⎝⎛⎭⎫122＋3p ×12＋2＝0， ∴p ＝－53，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2. 又∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈B ， ∴2×⎝⎛⎭⎫122＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－1. ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( )A ．{－1,0,1}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2}D ．{0,1}考点 并集的概念及运算题点 有限集合的并集运算答案 B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( )A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}考点交集的概念及运算题点有限集合的交集运算答案 C3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>0} B．{x|x>1}C．{x|1<x<2} D．{x|0<x<2}考点并集的概念及运算题点无限集合的并集运算答案 A4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()A．∅B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}考点交集的概念及运算题点无限集合的交集运算答案 A5．已知集合A＝{1,3,m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3考点集合的交集、并集性质及应用题点利用集合的交集、并集性质求参数的值答案 B1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.一、选择题1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}考点集合的交集、并集性质及应用题点交集、并集的性质答案 D解析∵－2∈N，但－2∉M，∴A，B，C三个选项均不对．2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}考点并集、交集的综合运算题点并集、交集的综合运算答案 D解析A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()A．{y|0<y<1} B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0} D．{(0,1)，(1,0)}考点交集的概念及运算题点无限集合的交集运算答案 B解析∵B＝{y|y＝x2}，∴B ＝{y |y ≥0}，A ∩B ＝{y |0≤y ≤1}．4．已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么M ∩N 为( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 D 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．5．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B 等于( )A ．{x |1≤x <3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |0≤x <1或x >3}D ．{x |0≤x ≤1或x ≥3}考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算答案 C解析 由题意知，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，则A *B ＝{x |0≤x <1或x >3}．6．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( )A ．{1,2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1,0,1}D ．R 考点 交集的概念及运算题点 有限集合与无限集合的交集运算答案 A解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，四个选项中，符合B ⊆A 的只有选项A.7．已知集合A ＝{}1，2，A ∪B ＝{}1，2，3，4，则满足条件的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 集合的交集、并集性质及应用题点 利用交集、并集性质求集合的个数答案 D解析 因为集合A ＝{}1，2，A ∪B ＝{}1，2，3，4，所以B 中至少含有3,4两个元素，所以满足条件的集合B 为{}3，4，{}3，4，1，{}3，4，2，{}3，4，1，2，共4个．二、填空题8．已知集合P ＝{x ||x |>x }，Q ＝{x |y ＝1－x }，则P ∩Q ＝________.考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 {x |x <0}解析 |x |>x ⇒x <0，∴P ＝{x |x <0},1－x ≥0⇒x ≤1，∴Q ＝{x |x ≤1}，故P ∩Q ＝{x |x <0}．9．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 考点 并集的概念及运算题点 由并集运算结果求参数问题答案 {a |a ≤1}解析 A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图．10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 考点 交集的概念及运算题点 有限集合的交集运算答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．三、解答题11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3， 则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2，则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)若A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，求实数m 的值；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．考点 交集的概念及运算题点 由交集运算结果求参数的值解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，解得m ＝3. (2)A ∩B ＝∅，A ⊆{x |x <m －2或x ＞m ＋2}．∴m －2＞3或m ＋2<－1.∴实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．13．已知集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}．(1)若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，求a ，b 的值；(2)若∅B A ，求实数a ，b 的值．考点题点解 (1)因为A ＝{3,5}，A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，所以3∈B,2∈B ，故2,3是一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6，b ＝－6.(2)由∅B A ，且A ＝{3,5}，得B ＝{3}或B ＝{5}．当B ＝{3}时，解得a ＝6，b ＝－9；当B ＝{5}时，解得a ＝10，b ＝－25.综上，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－25.四、探究与拓展14．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为______．考点题点答案 8解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴4是方程x 2－2x －m ＝0的根，即42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.15．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？考点 Venn 图表达的集合关系及运用题点 Venn 图的应用解 由题意可画Venn 图如下：由图可以看出，参加三个小组的学生共有1＋2＋2＋3＋4＋5＋10＝27(人)，所以需要购买27张车票．。

已知集合的交集、并集求参数
已知 A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1 或 x ＞5}，若 A∩B＝∅，求 a 的取值范围．
由题目可获取以下主要信息：
①集合B非空； ②集合A不确定，且A∩B＝∅. 解答本题可分A＝∅和A≠∅两种情况，结合数轴求解．
[解题过程] 由 A∩B＝∅， (1)若 A＝∅， 有 2a＞a＋3，∴a＞3. (2)若 A≠∅， 如下图
解析： 画出数轴，如下图所示，则A∪B如阴影部分所示，故选A. 答案： A
2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝( )
A．{2,4}
B．{1,2,4}
C．{2,4,8}
D．{1,2,4,8}
3．已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝________. 解析： A＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}， ∴A∩B＝{0，－1}∩{x|x≥0}＝{0}． 答案： {0}
C．{x|－3<x<5}
D．{x|x<－3 或 x>5}
[解题过程] (1)∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}， ∴A∩B＝{x|2＜x≤3}，故选 A.
(2)由题意画出图形．可知 M∪N＝{x|x<－5 或 x> －3}．故选 A.
答案： (1)A (2)A
[题后感悟] 此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可 以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集， 可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示．
“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”． Venn图如图．另外，在求两个集合的并集时，它们的公共元素只出现一次．

§1.3交集、并集学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一交集1．交集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作(读作“A交B”)．符号语言A∩B＝图形语言2.交集的性质性质说明A∩B＝满足交换律A∩A＝任何集合与其本身的交集等于这个集合本身A∩∅＝任何集合与空集的交集等于空集(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集知识点二并集1．并集的概念自然语言一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作A B(读作“A并B”)符号语言A∪B＝图形语言2.并集的性质性质说明A∪B＝B∪A满足交换律A∪A＝任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A∪∅＝任何集合与空集的并集等于这个集合本身A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集知识点三集合的区间表示为叙述方便，在今后的学习中，常常会用到区间的概念，用区间表示集合如下表(其中a，b∈R，且a<b)：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}左闭右开区间{x|a<x≤b}左开右闭区间{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}R取遍数轴上所有的值1．A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少．()2．A∩B＝A∩C，则B＝C.()3．两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝∅.()4．在区间[a，b)中，则b>a.()一、交集的运算例1(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于()A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}反思感悟交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为定义法，数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．跟踪训练1若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为() A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}二、并集的运算例2(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于()A．{－2} B．{－2,3} C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}反思感悟并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．三、并集、交集性质的应用例3已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．解：延伸探究把本例中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．解：反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的技巧(1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况．(2)集合运算常用的性质：①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B . 跟踪训练3 A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．3≤a <4B ．－1<a <4C ．a ≤－1D ．a <－1交集、并集与补集的运算典例 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，试写出∁U A ，∁U B ，A ∩B ，A ∪B ， ∁U (A ∩B )，∁U (A ∪B )，(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )． 解 ：(2)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，求(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )． 解：1．将集合A ＝{x |1<x ≤3}用区间表示正确的是( ) A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,3)D ．[1,3]2．(多选)满足{1}∪B ＝{1,2}的集合B 可能等于( ) A ．{2}B ．{1}C ．{1,2}D ．{1,2,3}3．已知集合M ＝{a,0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z ⎪⎪0<x <52，如果M ∩N ≠∅，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D.524．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝________.5．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.1.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B等于()A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}C．{2,3,4} D．{x∈R|1<x≤5}3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩∁U B等于() A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}4．(多选)A∩B＝A，B∪C＝C，则A，B，C之间的关系必有()A．A⊆C B．A⊆BC．A＝C D．以上都不对5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．46．若集合A＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，则A∩B＝________.7．设全集U＝R，A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，则A∩(∁U B)＝________.8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)9．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{x |2x －1<3}，求A ∩B ，A ∪B . 解 ：10．设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}． (1)求a ，b 的值及A ，B ； (2)求(A ∪B )∩C . 解 ：11．设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a <－3或a >－112．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B 等于( ) A ．{x |1≤x <3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |0≤x <1或x >3} D ．{x |0≤x ≤1或x ≥3}13．已知集合A ＝{x |x <1或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝________.14．已知集合A ＝{－2,3,4,6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3,4}，则实数a =15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．。

第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.典型例题例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ；⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国A 。

交集、并集、补集、全集一、学习内容：1.理解交集、并集、全集与补集的概念。

2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算二、例题第一阶梯例1、什么叫集合A、B的交集？并集？答案：交集：A∩B={x | x∈A , 且x∈B}并集：A∪B={x | x∈A , 或x∈B}说明：上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论：例2、什么叫全集？补集？答案：在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。

补集：。

说明：全集和补集都是相对的概念。

全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于全集而言。

如果全集改设了，那么补集也随之而改变。

为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选取全集"成为解题的巧妙方法。

补运算有下列推论：①；②；③。

例3、(1)求证：，。

(2)画出下列集合图（用阴影表示）：①；②；③；④。

提示：(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明"由x∈M T x ∈P"；第二步证明"由x∈PTx∈M "。

(2)利用（1）的结果画③、④。

答案：说明：(1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以应用它。

这个证明较难，通常不作要求。

但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。

(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。

图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。

画图3、图4时要利用集合的两个运算律来画。

第二阶梯例1、已知A={x | 2x4＋5x3－3x2=0}，B={x | x2＋2|x|－15=0}，求A∩B，A∪B。

03
资源分配与优化
在资源有限的情况下，需要合理分配资源以满足不同需求。通过并集运
算，可以将不同需求的资源需求合并，以便进行统一规划和优化分配。
拓展到其他领域如逻辑电路等
逻辑电路设计与分析
在数字电子中，逻辑电路是实现各种逻辑功能的基础。交集和并集运算在逻辑电路中有广 泛应用，如逻辑与（AND）和逻辑或（OR）操作就分别对应着交集和并集运算。通过分 析和设计逻辑电路，可以实现复杂的数字系统。
05
练习题精选与答案解析
针对不同难度层次练习题设计
基础练习题
针对交集、并集的基本概念进行 练习，如求两个简单集合的交集
、并集等。
中档练习题
增加集合的复杂度，如涉及多个集 合的运算、含参数的集合运算等。
高档练习题
结合其他数学知识，如函数、方程 等，进行综合性练习，考察学生的 综合应用能力。
答案详细解析及思路点拨
感谢您的观看
THANKS
针对每一道练习题，推荐一些类似的 问题供学生练习，以达到举一反三、 触类旁通的效果。
方法总结
对解题方法进行归纳总结，提炼出一 般性的解题规律和方法，提高学生的 解题能力。
06
总结回顾与展望未来学习内容
交集的定义与性质
回顾了交集的概念，即两个或多个集合中共有的元素组成的 集合，以及交集的基本性质，如交换律、结合律等。
02
集合运算规律探究
交换律和结合律在集合运算中应用
交换律
对于任意两个集合A和B，有$A cup B = B cup A$，$A cap B = B cap A$。即并集和交集运算满足交换律， 集合的并集和交集结果与运算顺序无关。
结合律
对于任意三个集合A、B和C，有$(A cup B) cup C = A cup (B cup C)$，$(A cap B) cap C = A cap (B cap C)$。即并集和交集运算满足结合律，多个集合进行并集或交集运算时，可以任意改变运算的括号位置，结果不 变。