高一下学期数学第一次在线月考试卷第1套真题

高一数学试题说明：1．本试卷共4页，考试时间100分钟，满分100分. 2．请将所有答案都涂写在答题卡上，答在试卷上无效.第I 卷（选择题）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在平行四边形中，为上任一点，则等于（） ABCD M ABAM DM DB -+ A.B.C.D.BC AB AC AD【答案】B 【解析】【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简可得答案． AM DM DB -+【详解】 AM DM DB -+ AM MD DB =++ AD DB AB =+=故选：．B 2. 对于任意的平面向量，下列说法正确的是（ ） ,,a b cA. 若且，则B. 若，且，则//a b //b c //a c a b a c ⋅=⋅0a ≠b c =C. 若且，则D.a b = b c = a c = ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】C 【解析】【分析】平面向量共线的传递性可得A 错误，由向量数量积的定义可判断B ，根据向量相等的概念可判断C ，根据数量积及共线向量的概念可判断D.【详解】对A ，若且，则当为零向量时，与不一定共线，即A 错误；//a b //b c b a c 对B ，若，则，a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c ⋅=⋅ 又，所以，0a ≠ cos ,cos ,b a b c a c = 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B 错误；,b c a b c =对C ，若且，则，即C 正确；a b =b c =a c =对D ，因为与共线，与共线，()c a b ⋅ c ()a b c ⋅a 所以不一定成立，即D 错误.()()a b c a b c ⋅=⋅故选：C ．3. 内角的对边分别为，已知，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 222b c a bc +-=A =A.B.C.D.6π56π3π23π【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出，再求出即可.cos A A 【详解】,，，.222b c a bc +-= 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===0A π<< 3A π∴=故选：C4. 已知边长为3的正，则（ ） 2ABC BD DC= A ，AB AD ⋅=A. 3B. 9C.D. 6152【答案】D 【解析】【分析】由数量积的运算律化简后求解【详解】由题意得，2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+故，AB AD ⋅= 1233AB AB AB AC ⋅+⋅221233cos60633=⨯+⨯⨯︒=故选：D5. 在中，已知，且，则是（ ）ABC A ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC A 【详解】由得，所以，所以||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC⊥，所以为直角三角形；ABC A 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC A 综上，为等腰直角三角形. ABC A 故选：C6. 在中，已知，D 为BC 中点，则（ ） ABC A π2,3,3AB AC A ==∠=AD =A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据边长和角先求出，根据D 为BC 中点，可知，两边同时平方，将AB AC ⋅u u u r u u u r()12AD AB AC =+ 数带入计算结果即可.【详解】解：因为，所以， π2,3,3AB AC A ==∠=1cos 2332AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⋅⋅= 因为D 为BC 中点，所以,两边同时平方可得：()12AD AB AC =+，(()2211192469444AD AB AB =+⋅⋅=++=所以AD = 故选:D7. 己知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为,a b12a b ⋅= - a c b c - π6a c - （ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，.从而得到等边三角形,进一步可得的轨迹是两段圆弧,画出OA a = OB b =OC c = OAB A C 示意图可知当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，从而可解.A AB ||a c -【详解】向量,向量均为单位向量， 12a b⋅=,a b,.111cos ,2a b ∴⨯⨯<>= π,3a b ∴<>=如图，设.则是等边三角形. ,,OA a OB b OC c ===OAB A 向量满足与的夹角为, .c -a cbc -π6π6ACB ∠=∴因为点在外且为定值,C AB ACB ∠所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB 所对的圆周角.C ACB ∠因此：当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|, A AB ||a c -在中,由正弦定理可得:ABC A . 2sin 30ABAC ︒==取得最大值2.|a c ∴- ∣故选：D【点睛】关键点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦AB 所对的两段圆弧,从而确定当AC ,,OA a OB b OC c ===C 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，即可求解.A AB ||a c -8. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若且，则ABC A (cos )a C C b c =+5a =的周长的最大值为（ ）ABC A A. 15 B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理，两角和公式及辅助角公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式可得60A =︒，即得.10b c +≤【详解】由已知及正弦定理得，sin cos sin sin sin A C A C B C +=+∴， ()sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，因为， sin cos sin sin A C A C C =+sin 0C ≠，即，因为， cos 1A A -=()1sin 302A -︒=3030150A -︒<-︒<︒所以，从而，3030A -︒=︒60A =︒由余弦定理得，即，2222cos a b c bc A =+-()222253b c bc b c bc =+-=+-又，2332b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，即， ()()22134b c bc b c +-≥+()21254b c ≥+∴，当且仅当时等号成立，从而， 10b c +≤5b c ==15a b c ++≤∴的周长的最大值为15. ABC A 故选：A.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的符0分.）9. 在中，，则角B 的值可以是（ ） ABC A π10,6a c A ===A.B.C.D.π12π47π123π4【答案】AC 【解析】【分析】由已知结合正弦定理可求C ，然后结合三角形的内角和定理可求.【详解】∵， π10,6a c A ===由正弦定理可得 ，得 ， sin sin a c A C =10sin C =sin C =∵，∴， a c <A C <则或，由，则角或． π4C =3π4C =πB A C =--7π12=B π12B =故选：AC.10. 若向量满足，则（ ）,a b||||2,||a b a b ==+=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=- a bπ3C. D. 在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求2a b ×=a b 解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3确；又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故a b - b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b ba b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅D 不正确. 故选：BC.11. 中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（ABC A D AB 3AD DB =P CD AP AB AC λμ=+λ，为正实数），则下列结论正确的是（ ）μA.B.1344CD CA CB =+432λμ+=C. 的最大值为 D.的最小值为3 λμ112113λμ+【答案】AD 【解析】【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式求、43AP AD AC λμ=+433λμ+=λμ的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系. 113λμ+,,CD CA CB【详解】由题设，可得，又三点共线， 43AP AD AC λμ=+,,D P C ∴，即，B 错误； 413λμ+=433λμ+=由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C 错λμ433λμ+=≥316λμ≤31,82λμ==误；，当且仅当时等号成1111111(3)(5)(5333333343λμλμλμλμμλ+=++=++≥+=32μλ=立，故D 正确；，又，14CD CB BD CB BA =+=+ BA BC CA =+ ∴，故A 正确.131()444CD CB BC CA CB CA =++=+故选：AD.12. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） ABC A ::4:5:6a b c =A. B. 是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6A B C =ABC AC. 的最大内角是最小内角的2倍D. 若，则 ABC A 6c =ABC A 【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.【详解】根据正弦定理由，因此选项A 正确； ::4:5:6sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C =⇒=设，所以为最大角，4,5,6a k b k c k ===C ，所以为锐角，因此是锐角三角形，2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⋅⋅C ABC A 因此选项B 不正确；，显然为锐角，2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅A，23cos 2cos 1cos cos 224C C C A =-⇒====因此有，因此选项C 正确； 22CA C A =⇒=由1cos sin 8C C =⇒===外接圆的半径为：D 正确，ABC A 112sin 2c C ⋅==故选：ACD【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.第II 卷（非选择题）三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）13. 已知向量，，当时，__________.(1,2)a =- (sin ,cos )b αα= a bA tan α=【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】由向量平行可得，进而可求出结果.2sin cos -=αα【详解】由可得，，得，//a b 2sin cos -=αα1tan 2α=-故答案为：. 12-14. 向量的夹角为，且，则等于__________．a b ，π3||1,||2a b == ||a b - 【解析】【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求·1a b =值．【详解】向量，的夹角是，，，a bπ3||1a = ||2b = 则， π1||||cos 12132a b a b ==⨯⨯=AA 则22||()a b a b -=-，22212143a a b b =-+=-⨯+= A即有||a b -=15. 已知中，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是__________． ABC A π,23A AB ==BC【答案】)2【解析】【分析】由已知可得,从而得解. sin A AB BC AB ⋅<<【详解】解：如图所示，作，交于点为，垂足为，若要满足题π3A ∠=,BC AB '=AD 'C BC AC '''⊥C ''意，则有， sin BC A AB BC AB BC '''=⋅<<=易知∴的范围是.2,BC BC '''==BC )2故答案为：)216. 在中，，，，则的面积为__________．ABC A 1AB =3BC =1AB BC ⋅=-ABC A【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式可求得，从而可得到，再根据三角形的面积公式即可求解．cos B sin B 【详解】依题意可得，解得，()()=cos π=13cos =1AB BC AB BC B B ⋅⋅⋅-⨯⨯-- 1cos =3B又，所以， ()0,πB ∈sin B所以的面积为 ABC A 11sin 1322ABC S AB BC B =⋅⋅⋅=⨯⨯=A．17. 如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B 和C ，在B 点处观测到C 的方位角为，B155︒点和C 点相距25千米．某日两个观测站都观测到了A 处出现火情，在B 点处观测到A 的方位角为125︒．在C 点处，观测到A 的方位角为，则观测站C 与火情A 之间的距离为________．80︒【解析】【分析】由正弦定理求解即可【详解】在中，，，ABC A 15512530ABC ∠=-=︒︒︒180********BCA ∠=︒-︒+︒=︒，，1803010545BAC ∠=︒-︒-︒=︒25BC =由正弦定理可得，即，sin sin AC BCABC BAC =∠∠25sin 30sin 45AC =︒︒所以， 25sin 30sin 45AC ⨯︒==︒所以观测站与火情之间的距离为千米 C A故答案为18. 如图，在平面四边形中，，，，若点ABCD AB BC ⊥AD CD ⊥60BCD ∠=︒CB CD ==为边上的动点，则的最小值为_______.M BC AM DM ⋅【答案】 214【解析】【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出， ，B BA x BC y A D C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，B BA x BC y 过点作轴，过点作轴，D DP x ⊥D DQ y ⊥∵，，，AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒CB CD ==∴，，，，()00B ，()20A ，(0,C (D 设，则，，()0,M a ()2,AM a =- (3,DM a =-故，故答案为． (22121644AM DM a a a ⎛⋅=+=+≥ ⎝ 214【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知(2,4),(3,1)a b ==- （1）设的夹角为，求的值；,a b θcos θ（2）若向量与互相垂直，求k 的值．k + a b - a kb 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据垂直的数量积表示及模长即可解出．【小问1详解】 ，()23412a b ⋅=⨯-+⨯=- ，a ==b ==因为，所以cos a b a b θ⋅=⋅⋅ cos a b a b θ⋅===⋅ 【小问2详解】因为向量与互相垂直，所以， a kb +r r a kb - ()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= 所以，即，解得：.222a k b= 22010k =k =20. 已知在△ABC 中，D 为边BC 上一点，，，． 3CD =23AC AD ==1cos 3CAD ∠=（1）求AD 的长；（2）求sinB ．【答案】（1）2；（2【解析】 【分析】(1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可；ACD A (2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算可求．cos C ABC A sin B 【小问1详解】依题意，在中，由余弦定理得，ACD A 2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得； 2223313()2223AD AD AD AD =+-⋅⋅⋅2AD =【小问2详解】在中，由(1)知，由余弦定理可得， ACD A 3AC =2222223327cos 22339AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯则有，sin C ==在中，由正弦定理得． ABC A sin sin AC B C AB ===． sin B ∴=21. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．在ABC A①；tan tan tan tan A C A C +=②； 2ABCS BC =⋅A③. πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．（1）求角B 的大小；（2）若角B 的内角平分线交AC 于D ，且，求的最小值．1BD =4a c +【答案】（1） 2π3B =（2）9【解析】【分析】（1）若选①：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由()tan A C +()tan tan B A C =-+可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得tan B B tan B ，进而得到；若选③：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；B tan B B （2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由ABC ABD BCD S S S =+△△△111a c+=，利用基本不等式可求得最小值. ()1144a c a c a c ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【小问1详解】若选条件①，由得：， tan tan tan A C A C +-=)tan tan 1tan tan A C A C +=-， tan tan 1tan tan A C A C+∴=-()tan A C +=则，. ()()tan tan πtan B A C A C ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件②，由得：，2ABC S BC =⋅△ sin cos ac B B =，则，. sin ∴=B B tan B =()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件③，，则， πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos b C B =由正弦定理得：，sin sin cos B C C B =，，，则，()0,πC ∈ sin 0C ∴≠sin ∴=B B tan B =又，. ()0,πB ∈2π3B ∴=【小问2详解】，， ABC ABD BCD S S S =+A A A 12π1π1πsinsin sin 232323ac c BD a BD ∴=⋅+⋅，，， =+a c ac ∴+=111a c ac a c +∴=+=（当且仅当，即时取等()11444559a c a c a c a c c a ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a c c a =23a c ==号），的最小值为.4a c ∴+922. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． ABC A 2cos (cos cos )A c B b C a +=（1）求A ；（2）若为锐角三角形，且的取值范围． ABC A a =223b c bc ++【答案】（1）π3（2）(]11,15【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； cos A A （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而2sin b B =2sin c C =223b c bc +=+可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范22π378sin 26b c bc B ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭B π26B -围，再结合正弦型函数的性质即可求解．【小问1详解】根据题意，由正弦定理得()2cos (sin cos sin cos )2cos sin 2cos sin sin A C B B C A B C A A A+=+==，又在中，有，所以，ABC A ()0,πA ∈sin 0A ≠所以，所以． 1cos 2A =π3A =【小问2详解】结合（1）可得，， sin A =2ππ3B C A +=-=由，得，， a =2sin sin sin a b c A B C ===2sin b B =2sin c C =根据余弦定理有，得，2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+所以 222π334316sin sin 316sin sin 3b c bc bc B C B B ⎛⎫++=+=+=+- ⎪⎝⎭， 2π3cos 8sin 724cos 278sin 26B B B B B B ⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭又为锐角三角形，则有，，得， ABC A π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2ππ0,32B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以， ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故． (]22π378sin 211,156b c bc B ⎛⎫++=+-∈ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数223b c bc ++的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问()π78sin 26f B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B （2）的关键．。

高一第二学期第一次月考数学试题(本卷总分值 150分，时间120分钟)一、选择题〔60分，每题5分〕1．〔5分〕下面有命题：y=|sinx﹣|的周期是π；y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]；③方程cosx=lgx有三解；④ω为正实数，y=2sinωx在上递增，那么ω的取值范围是；⑤在y=3sin 〔2x+〕中，假设f〔x1〕=f〔x2〕=0，那么x1﹣x2必为π的整数倍；⑥假设A、B是锐角△ABC的两个内角，那么点P〔cosB﹣sinA，sinB﹣cosA在第二象限；⑦在△ABC中，假设，那么△ABC钝角三角形．其中真命题个数为〔〕A．2B．3C．4D．52．〔5分〕函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f〔x〕=x|x﹣2|．假设关于x的方程f2〔x〕+af〔x〕+b=0〔a，b∈R〕恰有10个不同实数解，那么a的取值范围为〔〕A．〔0，2〕B．〔﹣2，0〕C．〔1，2〕D．〔﹣2，﹣1〕3．〔5分〕对于任意向量、、，以下命题中正确的有几个〔〕〔1〕|?|=||||〔2〕|+|=||+||〔〔3〕〔?〕=〔?〕〔4〕?=||2．A．1B．2C．3D．44．〔5分〕要得到函数的图象，只需要将函数y=sin3x的图象〔〕m．A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5〔．5分〕如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，假设点P为BC的中点，且，那么λ+μ=〔〕A．3B．2C．1D．6．〔5分〕=〔2，﹣1〕，=〔x，3〕，且∥，那么||=〔〕A．3B．5C．D．37．〔5分〕一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3〔单位：牛顿〕的作用而处于平衡状态．F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，那么F3的大小为〔〕A．6B．2C．2D．28．〔5分〕函数f〔x〕=3x+x，g〔x〕=x3+x，h〔x〕=log3x+x的零点依次为a，b，c，那么〔〕A．c＜b＜aB．a＜b＜c C．c＜a＜bD．b＜a＜c9．〔5分〕如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，?的值〔〕A．只与圆C的半径有关B．只与弦AB的长度有关C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值10．〔5分〕函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜〕的局部图象如下列图，那么f 〔x〕的解析式为〔〕A．f〔x〕=2sin〔x+〕B．f〔x〕=2sin〔2x+〕C．f〔x〕=2sin〔2x﹣〕D．f〔x〕=2sin〔4x﹣〕11．〔5分〕集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={0，1}，那么A∪B=〔〕A．{1}B．{0，1，2}C．〔1，2〕D．〔﹣1，2]12．〔5分〕的值为．〔〕A．B．C．D．二、填空题〔20分，每题5分〕13．函数f〔x〕=2x﹣2﹣x，假设对任意的x∈[1，3]，不等式f〔x2+tx〕+f〔4﹣x〕＞0恒成立，那么实数t 的取值范围是．14．给出以下五个命题：①函数的一条对称轴是x=；②函数y=tanx的图象关于点〔，0〕对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④假设，那么x1﹣x2=kπ，其中k∈Z；⑤函数f〔x〕=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，那么k的取值范围为〔1，3〕．以上五个命题中正确的有〔填写所有正确命题的序号〕三、解答题〔70分〕17．〔10分〕集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}1〕假设B=?，求m的取值范围；2〕假设B?A，求实数m的取值范围．18．〔12分〕如图，正四棱锥P﹣ABCD的底边长为6、侧棱长为5．求正四棱锥P﹣ABCD的体积和侧面积．（19．〔12分〕直线l经过直线2x+y+5=0与x﹣2y=0的交点，圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y﹣4=0与圆C2：x2+y2+6x+2y﹣6=0相较于A、B两点．1〕假设点P〔5，0〕到直线l的距离为4，求l的直线方程；2〕假设直线l与直线AB垂直，求直线l方程．20．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD 上一点，AM=2MD，N为PC的中点．1〕证明：MN∥平面PAB；2〕求点M到平面PBC的距离．21．〔12分〕圆C过两点M〔﹣3，3〕，N〔1，﹣5〕，且圆心在直线2x﹣y﹣2=0上1〕求圆的方程；2〕直线l过点〔﹣2，5〕且与圆C有两个不同的交点A、B，假设直线〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点方程；假设不存在，请说明理由．l的斜率k大于0，求k的取值范围；P〔3，﹣1〕，假设存在，求出直线l的22．〔12分〕定义域为R的函数f〔x〕=是奇函数，f〔1〕=﹣．1〕求a，b的值；（2〕判断函数f〔x〕的单调性，并用定义证明．数学答案一、CDABB DDBBB BD二、〔﹣3．+∞〕14、①②13、三、17、解：〔1〕当B=?时，由题意：m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，2〕〔i〕当B=?时，由题意：m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，此时B?A成立；ii〕当B≠?时，由题意：m+1≤2m﹣1，解得：m≥2，假设使B?A成立，应有：m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3，此时2≤m≤3，综上，实数m的范围为〔﹣∞，3]．18、解：设底面ABCD的中心为O，边BC中点为E，连接PO，PE，OE〔1分〕在Rt△PEB中，PB=5，BE=3，那么斜高PE=4〔2分〕在Rt△POE中，PE=4，OE=3，那么高PO=〔4分〕所以〔6分〕S侧面积== ×4×6×4=48〔8分〕19、解：〔1〕设直线l的方程为：2x+y﹣5+λ〔x﹣2y〕=0即：〔2+λ〕x+〔1﹣2λ〕y﹣5=0由题意：=32整理得：2λ﹣5λ+2=0〔2λ﹣1〕〔λ﹣2〕=0∴λ=或λ=2∴直线l的方程为：2x+y﹣5+〔x﹣2y〕=0或2x+y﹣5+2〔x﹣2y〕=0即：x=2或4x﹣3y﹣5=0〔6分〕〔2〕圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0，即〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=9，故圆心坐标为：C1〔1，2〕圆C2：x2+y2+6x+2y﹣6=0即〔x+3〕2+〔y+1〕2=16，故圆心坐标为：C2〔﹣3，﹣1〕直线C1C2与AB垂直，所以直线l与C1C2平行，可知：l的斜率为k==由题意：=解得：λ=∴直线l的方程为：2x+y﹣5+〔x﹣2y〕=0即：3x﹣4y﹣2=0．〔12分〕20、〔1〕证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ；N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN=BC=2，又∵AM=2MD，AD=3，∴AM= AD=2且AM∥BC，QN∥AM且QN=AM，∴四边形AMNQ为平行四边形，MN∥AQ．又∵AQ?平面PAB，MN?平面PAB，MN∥平面PAB；2〕解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3，∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中点E，连接PE，那么PE⊥BC，且PE==，∴S△PBC=×BC×PE=×4×=2．设点M到平面PBC的距离为h，那么V M﹣PBC=×S△PBC×h=h．﹣﹣﹣△××4××4=，又V M PBC=V P MBC=V PDBC×S ABC×PA=即h=，得h=．∴点M到平面PBC的距离为为．21、解：〔1〕MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C〔1，0〕R2=|CM|2=〔﹣3﹣1〕2+〔3﹣0〕2=25∴圆C的方程为：〔x﹣1〕2+y2=25〔4分〕2〕设直线l的方程为：y﹣5=k〔x+2〕即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，那么d=由题意：d＜5即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因为k＞0∴k的取值范围是〔，+∞〕〔8分〕y+1=﹣〔x﹣3〕即：x+ky+k﹣3=0〔3〕设符合条件的直线存在，那么AB的垂直平分线方程为：∵弦的垂直平分线过圆心〔1，0〕∴k﹣2=0即k=2∵k=2＞故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0〔12分〕22、解：〔1〕因为f〔x〕在定义域为R上是奇函数，所以f〔0〕=0，即=0，解得：b=1，又由f〔1〕=﹣，即=﹣，解得：a=1，经检验b=1，a=1满足题意；〔2〕证明：由〔1〕知f〔x〕=，任取x1，x2∈R，设x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣=，因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2，∴﹣＞0又〔+1〕〔+1〕＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕，f〔x〕在R上为减函数．。

月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，若函数有四个零点，则关于的方程的实数根的个数R a ∈()22f x x x a =--x 2210ax x ++=为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个D. 与的取值有关a 【答案】A 【解析】【分析】由函数有四个零点，求出a 的范围，再利用判别式求方程的()22f x x x a =--2210ax x ++=实数根的个数.【详解】∵，()22f x x x a =--①当，即时，，∴，解得：. 20x a -≥2a x ≥()220f x x x a =-+=440a ∆=->1a <②当，即时，，∴，解得：，2x 00-<2a x <()220f x x x a =+-=440a ∆=+>1a >-∴，11a -<<当时，，只有三个零点，不合题意，0a =()()()2222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩∴且，11a -<<0a ≠∴关于x 的方程中，2210ax x ++=由时，方程为一元二次方程，， 0a ≠440a ∆=->方程有两个不相等的实数根. 故选：A.2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）2i z =-iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的几何意义，求复数在复平面内对应的点所在象限 【详解】∵的实部是2，虚部是-1，2i z =-∴复数在复平面内对应的点为，在第四象限.2i z=-(2,1)-故选：D.3. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）M ABC A BC E AC 2EC AE =EM =A.B.1123AC AB +1162AC AB +C . D.1126AC AB + 1263AC AB + 【答案】B 【解析】和减法运算可得，结合条件,可得答EM EC CM =+ CB AB AC =-案.【详解】由，则2EC AE =23EC AC = 则 ()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B4. 已知单位向量，满足，且，则（ ）a b14a b ⋅= 2c a b =+ sin ,a c =A.B.C.D.38【答案】C【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求c a c ⋅夹角余弦值，再求解正弦值【详解】单位向量，满足，且，a b14a b ⋅= 2c a b =+ 所以c === ，()21922244a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=+=所以. cos ,a c a c a c ⋅===⋅所以sin ,a c ==故选:C.5. 已知，记函数，且的最小正)()cos cos cos (0)a x x b x x ωωωωω==>，，，()f x a b =⋅()f x 周期是，则（ ） πω=A.B.C.D.1ω=2ω=12ω=23ω=【答案】A 【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再由最小正周期为即可求出. ()f x πω【详解】因为 ,cos ),(cos ,cos )(0)a x x b x x ωωωωω==>所以， ()()21π1cos +cos +1cos 2=sin 2++262f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故， 0ω> 2ππ2T ω==.1ω∴=故选：A.6. 已知，，则（ ） ()1sin 3αβ+=()1sin 4αβ-=tan tan αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. 2 D.2-12-12【分析】先利用三角公式求出，即可求得. tan α7tan β=【详解】∵()()11sin αβsin αβ34+=-=，11sin αcos βcos αsin βsin αcos βcos αsin β34∴+=-=，∴， 71sin αcos βcos αsin β2424==，二者相除得：tan α7tan β=，则.tan α2tan β⎛⎫==⎪⎝⎭故选：C.7. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，ABC A A B C a b c ABC A S 2223163()c S b a =+-，则 tan B =A.B.C.D.23324334【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由， 2223163()c S b a =+-则， 22233316c a b S +-=即， 132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯所以，且， 3cos 4sin B B =cos 0B ≠所以. 3tan 4B =故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.8. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ） ABC A 578BC CA AB ===，，ABC A A.B.C.D.90︒120︒135︒150︒【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.180θ︒-【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是， 180θ︒-由余弦定理可得，，2564491cos 2582θ+-==⨯⨯由为三角形内角，∴，θ60θ=︒则最大角与最小角的和是. 180120θ︒-=︒故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知向量，满足，，且，则（ ）a b 1a b ⋅= 1= b a b += A.B.2=a ()a ab ⊥- C. 与的夹角为D. 与的夹角为a bπ3a bπ6【答案】AC 【解析】.【详解】因为，，a b += 1a b ⋅= 所以，即，解得，故A 正确；2227a a b b +⋅+=r rr r 22117a +⨯+=2=a 因为，，所以，故B 错误；1a b ⋅= 2= a ()2410a a b a a b ⋅-=-⋅=-≠ 因为，，，所以，又因为，所以与的夹角1a b ⋅= 2= a 1= b 1cos ,2a b a b a b ⋅==0,πa b ≤>≤ a b 为，故C 正确，D 错误． π3故选：AC.10. 关于复数（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ） 22cos sin 33z i ππ=+A. B. 在复平面上对应的点位于第二象限 1z =z C.D.31z =210z z ++=【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解【详解】 221cosisin 332z ππ=+=-+所以 1z ==故A 正确，则在复平面上对应的点为位于第三象限 12z =-z 1,2⎛- ⎝故B 错误12z =-⇒2222111122222z ⎛⎫⎫⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⨯-+=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎭222321111122222z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21313i 14444=-=+=故C 正确21111022z z ++=---++=故D 正确 故选：ACD11. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0ϕπ<<（ ）A. 把函数图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到该函数的图象22sin3y x =3πB. 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到该函数的2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32图象C. 当时，函数的图象与直线的所有交点的横坐标之和为 03x π<<()f x 1y =72πD. 该函数图象的对称中心为， ,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈【答案】BC 【解析】【分析】首先根据函数的图象求函数的解析式，再根据函数的图象变换以及函数性质判断选项. 【详解】由图象可知， ，得， 2A =244πππω⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭23ω=当时，，，解得， 4x π=22342k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，0ϕπ<<3πϕ=所以，()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A .函数图象上的所有点，向左平移个单位，得22sin3y x =3π，故A 不正确； ()2222sin 2sin 3339y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭32，故B 正确；()22sin 33y x f x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭C. ，得，得，或()22sin 133f x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭21sin 332x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭22336x k πππ+=+252336x k πππ+=+，，且， Z k ∈03x π<<解得：或，所以，故C 正确；1114x π=234x π=121137442x x πππ+=+=D.令，得， 233x k ππ+=322x k ππ=-+所以函数的对称中心是，，故D 不正确. ()f x 3,022k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈故选：BC12. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） (0,)+∞A. B. C.D.||e x y =tan y x =cos y x =222xy +=【答案】AD 【解析】【分析】利用奇偶性定义、三角函数的性质判断奇偶性，根据函数解析式及指数复合函数的单调性判断区间单调性.【详解】A ：且上单调递增，满足题设； ||||e e x x -=(0,)+∞B ：为奇函数，不满足题意．tan y x =C ：在上有增有减，不满足题意； cos y x =(0,)+∞D ：，又在上单调递增，单调递增，故在上单调22()2222x x-++=22t x =+(0,)+∞2t y =222xy +=(0,)+∞递增，满足题设. 故选：AD ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数（为虚数单位），则______. 32iz i+=i z =【解析】【分析】化简得到，得到模长. 12i z =-+【详解】，. 32212i iz i ii ++===-+-z =【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 14. 设函数（是常数，，）.若在区间上具有单调()()sin f x x ωϕ=+ωφ，0ω>π2ϕ<()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦性，且，则下列有关的命题正确的有___________.（把所有正确的命题序号()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()f x 都写上）①的最小正周期为2； ()f x ②在上具有单调性；()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，函数取得最值； 13x =()f x ④为奇函数； 56y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑤是的图象一个对称中心. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+【答案】①③④⑤ 【解析】【分析】由在区间上具有单调性确定最小正周期的范围，再由确定对()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭称中心与对称轴，进一步求出，对各命题依次辨析即可. ()f x 【详解】设的最小正周期为， ()f x T ∵在区间上具有单调性，∴，， ()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦121233T ≥-=43T ≥又∵， ()()2013f f f ⎛⎫==-⎪⎝⎭∴图象上的点和关于直线对称，()f x ()()0,0f 22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13x =点和关于点对称，22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1,1f 5,06⎛⎫⎪⎝⎭即图象一个周期内相邻的一条对称轴和一个对称中心分别为直线和点， ()f x 13x =5,06⎛⎫⎪⎝⎭∴，∴，∴，∴. 5114632T =-=2π2T ω==πω=()()sin πf x x ϕ=+又∵为图象的一条对称轴，13x =()()sin πf x x ϕ=+∴，，即，，∵，∴，1πππ32k ϕ⨯+=+Z k ∈ππ6k ϕ=+Z k ∈π2ϕ<π6ϕ=∴. ()πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于①，的最小正周期，故①正确；()f x 2T =对于②，由，，解得，， ππππ62x k +=+Z k ∈1+3x k =Z k ∈∴图象的对称轴为直线，，()f x 1+3x k =Z k ∈当时，为图象的一条对称轴，在区间上不单调，故②错误； 1k =43x =()f x ()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于③，为图象的一条对称轴，当时，函数取得最值，故③正确； 13x =()f x 13x =()f x 对于④，设，， ()()5πsin πsi 6n πs 5π6in π6x g f x x x x ⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎛⎫=+=+⎣⎦⎪⎭ ⎝⎝⎭R x ∈，，且，R x ∀∈R x -∈()()()sin πsin πx x g x g x -=-=--=∴为奇函数，故④正确；()56y g x f x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于⑤，∵，，∴点即， πω=π6ϕ=(,)ϕϕω--1π(,66--设 ()()π=sin ππ6h x f x x x x ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴，即关于点对称，11π6626h x h x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()h x 1π(,66--∴是的图象一个对称中心，故⑤正确. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+故答案为：①③④⑤.15. 已知向量，若，则___________.()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ m =【答案】3【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量，若，则，解得()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ 30m -=3m =故答案为：3.16. 已知向量，则函数的单调递增区间())sin2,2cos ,a x x b x ==()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦ 为__________.【答案】 ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间，结合求解即可 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，，故 的单()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 调递增区间：，即，故在()222262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 的单调递增区间为 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为： ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 复数，求实数m 的取值范围使得：2(1i)(8i)156i(R)z m m m =+-++-∈（1）z 为纯虚数；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限．【答案】（1）5m =（2）23m -<<【解析】【分析】（1）根据z 为纯虚数，列出方程，即可求解；（2）根据z 在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【小问1详解】，()()222(1i)(8i)156i=8156i z m m m m m m =+-++---++-若z 为纯虚数，则，解得：.22815=060m m m m ⎧-+⎨--≠⎩5m =【小问2详解】由题意知，，解得：. 22815>060m m m m ⎧-+⎨--<⎩23m -<<18. 已知P 为的边BC 上一点，，，若，用、表示.ABC A AB a = AC b = 2ABP ACP S S =△△a b AP 【答案】. 1233AP a b =+ 【解析】【分析】由题可得，然后根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 23BP BC = 【详解】因为，所以，即， 2ABP ACP S S =△△23ABP ABC S S =△△23BP BC = 所以， ()23AP AC AB AB -=- 所以. 12123333AP AB a AC b =++= 19. 已知函数的图象过点P （，0），且图象上与P 点最近的()πsin (0,0,2y A x A ωϕωϕ=+>><π12一个最高点坐标为（，5）. π3（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位长度得到图象正好关于轴(0)m m >()g x y 对称，求的最小正值.m 【答案】（1）； π5sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）； ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）. π12【解析】【分析】（1）由题可得，，进而可得，然后根据五点法结合条件可得，即得； 5A =πT =2ω=π6ϕ=-（2）利用正弦函数的性质即得；（3）由图象变换知，根据函数的对称性可得，进而即()π5sin 26(22)g x x m +--=π2π,Z 6m k k -=∈得． 【小问1详解】由已知可得，， 5A =πππ43124T =-=∴，即,2ππT ω==2ω=∴，()5sin 2ϕ=+y x 由得，， π5sin 2012ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭π2ϕ<所以，即， π06ϕ+=π6ϕ=-∴； π5sin(26y x =-【小问2详解】由，得， πππ2π22π(Z)262k x k k -≤-≤+∈ππππ(Z)63k x k k -≤≤+∈∴函数的增区间是； ,(Z)6πππk k k ⎡-∈⎢⎣【小问3详解】 由题可得，又图象正好关于轴对称， ()π5sin 26(22g x x m +--=()g x y 则， π2π,Z 6m k k -=∈解得， ππ,Z 212k m k =+∈当时，的最小正值为. 0k =m π1220. 在锐角中，角的对边分别是，且. ABC ∆A B C ，，a b c ，，sin cos sin cos 0a A C c A A +-=（1）求角的大小；A （2）若，求面积的最大值.4a =ABC ∆【答案】（1）；（2） 60A =︒【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-222b c bc +≥16bc ≤到本题答案.【详解】（1）因为， sin cos sin cos 0a A C c A A +-=所以， 2sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=即， ()sin sin cos cos sin 0A A C A C B +-=所以， sin sin 0A B B =又，所以，由为锐角三角形，则； sin 0B ≠sin A =ABC ∆60A =︒（2）因为，2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==所以， 222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-所以，即（当且仅当时取等号），162bc bc bc ≥-=16bc ≤4b c ==所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=≤⨯⨯︒=【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21. 在△ABC 中，已知，，. 45A =︒4cos 5B =10BC =（1）求的值；sin C （2）求的面积.ABC A【答案】（1 （2）42【解析】【分析】（1）由已知得 ，，由此能求出结果；3sin 5B ==()sin sin 135C B =- （2）由正弦定理得解得，利用三角形面积公式可求出三角形ABC 的面积。

高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每小题5分，共10个小题，满分50分）1. )12sin12(cosππ-)12sin12(cosππ+等于23.-A 21.-B 21.C 23.D2．已知a =(1,－2),b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于A ．21 B. 21-C. 2D. －2的值为，则，中，已知在A c C a ABC 3,606.3=︒==∆︒45.A ︒135.B ︒︒13545.或C ︒︒12060.或D 4.等差数列{}n a 中，若67824a a a ++=，则212a a += ( ) A.14 B. 15 C.16 D.175.已知βα,均为锐角，，，71cos 1411)cos(=-=+αβα则角β为3.πA 4.πB 6.πC 12.πD6.已知平面向量a =(1,2),b =(-2,m),且a ∥b ,则2a +3b 等于( ) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4)7．在ABC ∆中，不解三角形，下列判断正确的是A ．30,14,7===A b a 有两解 B.150,25,30===A b a 无解 C.45,9,6===A b a 有一解 D.60,10,9===B c b 有两解8.已知a,b 是不共线向量,若=OA a+2b ，=OB 2a+4b ，=OC 3a +6b ，则A.A 、B 、C 三点共线B.O 、B 、C 三点共线C. A 、B 、O 三点共线D.A 、O 、C 三点共线9.在数列{})(22,111*+∈+==N n a a a a a n n n n 中，,则5a 的值为A ．52 B.31C.32 D.2110.若三角形的三边长为等于那么内角它的面积为C cb ac b a ,34,,,222-+A.︒30B.45︒C.60︒D.90︒二．填空题（每小题5分，共5个小题，满分25分）11.{}式是那么这个数列的通项公中，数列,3,511+==+n n n a a a a12.设sin α－sin β=31，cos α+cos β=21,则cos(α+β)= . 13.在钝角ABC ∆中，的取值范围是则最大边c b a ,2,1== 14.已知()()=++=+βαπβαβαtan 1tan 14,，则为锐角，若15.{}等于，则，项和，若的前为等差数列设963243S S S n a S n n ==年级 姓名 得分选择题答题卡二．填空题：11． 12． 13． 14． 15．三．解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤）16. （本小题12分）求值：（1）︒7sin ︒︒︒+323sin 83sin 37cos （2）12sinπ12cosπ17. （本小题12分）{}求这个数列的通项公式项和为的前已知数列,32n n S n a n n +=并判定它是否为等差数列（需说明理由）18. （本小题12分）已知43,4,3π的夹角与b a b a ==→→，求：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→→b a b a 223 ;(2)→→+b a .19． (本题满分13分)已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知平面向量，，则向量（ ）()1,1a =()1,1b =- 1322a b -= A ． B ． ()2,1--()2,1-C ． D ．()1,0-()1,2-【答案】D【分析】利用平面向量坐标的线性运算法则可得出的坐标.1322a b -【详解】，，， ()1,1a =r Q ()1,1b =-r ()()()131311311,11,1,,1,222222222a b ⎛⎫⎛⎫∴-=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 故选D.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，解题的关键就是利用平面向量坐标的运算律，考查计算能力，属于基础题. 2．若，则（ ） i 2i z =+z =A ． B ．C ．D ．12i +12i -+12i -12i --【答案】A【分析】根据复数的运算规则以及共轭复数的定义即可. 【详解】， ； 2i12i iz +==-12i z =+故选：A.3．已知中，，则c =（ ）ABC A 3,,612a A B ππ===A ．1 BC ．D【答案】C【分析】根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求出. C c 【详解】因为，所以， 3,,612a A B ππ===36124Cππππ=--=由正弦定理可得，sin sin a Cc A===故选：C.4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是'''O A B ∆OAB ∆OAB ∆A ．6B ．C ．D ．12【答案】D【详解】由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，AOB ∆'6,2''4OA OA OB O B ====，故选D. 11641222AOB S OA OB ∆∴=⋅=⨯⨯=5．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么a b 6032a b +=A B ．1 C D ．4【答案】C【详解】由题意，，所1cos 602a b ⋅=︒=22232(32)9124a b a b a a b b +=+=+⋅+ 19124192=+⨯+=以C ．32a b+=点睛：向量的数量积的性质之一：，由此公式求向量模的运算常常转化为向量的平方（数22a a = 量积）计算．6．在中，分别是角的对边，若，则角等于（ ） ABC A ,,a b c ,,A B C 222a b c -=A A ． B ．或 135 60 120 C ． D ．或45 135 45 【答案】C【分析】由余弦定理化简后求解【详解】，又余弦定理得222a b c -=222cos 2b c a A bc +-==故 45A =︒故选：C7．若复数满足 (为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） z ()12i 13i z -+=+i z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求，再用复数的乘除运算法则进行计算，从而得到复数在复平面内对应的点所13i +z 在的象限.【详解】1+z ==复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. z ⎛⎝故选：C8．已知圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．30π18π24π27π【答案】C【分析】根据圆锥的母线长为5，高为4，求得圆锥的底面半径，然后由圆锥的表面积公式求解. 【详解】因为圆锥的母线长为5，高为4， 所以圆锥的底面半径为3，所以圆锥的表面积为． 235324πππ⨯⨯+⨯=故选：C9．如图，在平行四边形中，E 是的中点．若，，则（ ）ABCD DC AB a = AD b =BE =A ．B ．C ．D ．12a b -+ 12a b -- 12a b + 12a b - 【答案】A【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项. 【详解】12BE BC CE BC DC =+=- .1122AD AB b a =-=- 故选：A10．已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ） ()1,2a =- a a A ．（-4，-8） B ．（-4，8）C ．（4，-8）D ．（4，8）【答案】C【分析】用向量的坐标运算求解即可.【详解】设的起点坐标为，a(),x y 的终点坐标为（3，-6）， a rQ，(3,6)(,)(3,6)a x y x y ∴=-=---又， ()1,2a =- ，解得，3162x y -=-⎧∴⎨--=⎩48x y =⎧⎨=-⎩的起点坐标为， a()4,8-故选：C.11．在中，角所对的边分别为，向量，若ABC A ,,A B C ,,a b c (cos ,cos ),()m A B n a b ==- //m nu r r，则内角A 的大小为（ ） A ．B ．C ．D ．π36ππ2π4【答案】D【分析】利用向量平行列出方程，结合正弦定理求得的大小.A【详解】由于，所以，//m n u r r)cos cos A b a B ⋅-=由正弦定理得，)cos sin sin cos AC B A B -=，cos sin cos sin cos C A B A A B -=，()cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=由于， 0π,sin 0C C <<>， 1,cos 0A A ==>所以三角形的内角为锐角，所以. ABC A π4A =故选：D12．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（ ） （1）与平行 （2）与是异面直线 AF CN BM AN （3）与是异面直线 （4）与是异面直线AF BM BN DEA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判断（1）与（2）；由异面直线的定义判断（3）与（4）．【详解】解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故（1）错误；AF CN 与平行，故（2）错误；BM AN 平面，平面，平面，，BM ⊂BCMF F ∈BCMF A ∉BCMF F BM ∉由异面直线定义可得，与是异面直线，故（3）正确； AF BM 平面，平面，平面，，DE ⊂ADNE N ∈ADNE B ∉ADNE N DE ∉由异面直线定义可得，与是异面直线，故（4）正确． BN DE 所以正确的个数是2个. 故选：B ．二、填空题13．已知平面向量，，若，则___________. ()1,2a = ()3,b m =- a b ⊥ m =【答案】32##1.5【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】由，得，即，解得.a b ⊥ 0a b ⋅=320-+=m 32m =故答案为：3214．如图，是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为E 1111ABCD A B C D -11C D 1BD CE ___________.【分析】取的中点，连接，根据题意得出为异面直线与所成的11A B F 1,,BF EF D F 1FBD ∠1BD CE 角，利用余弦定理求值即可.【详解】取的中点，连接，11A B F 1,,BF EF D F 因为分别为的中点，所以, ,F E 1111,A B C D //,=EF BC EF BC 所以四边形为平行四边形，所以， BCEF //BF CE 所以为异面直线与所成的角.1FBD ∠1BD CE设正方体的棱长为2，则1111ABCD A B C D -1BD ==， 1D F BF ===所以根据余弦定理，得1cos FBD ∠===. 15．一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，15km A B 60︒4h 船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______. C 15︒km 【答案】.【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解. 【详解】解：由题意画出示意图，如图：可得，，， 30CAB ∠= 105BCA ∠= 60AC =则，1803010545B ∠=--= 在中，由正弦定理得，即，ABCA sin sin BC ACCAB B=∠12CB =解得. CB =故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．若，，△ABC 的面积为3A π=4c =，则△ABC 的外接圆的半径为________． 【答案】2【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径.2b =a =【详解】由．．解得．14sin 23b π⨯⋅=2b =22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=a =，解得．24R ∴==2R =故答案为:．2三、解答题17．当实数m 满足什么条件时，复数分别满足下列条件？()()22563i m m m m -++-(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数；【答案】(1)或 0m =3m =(2)且 0m ≠3m ≠(3) 2m =【分析】由复数的概念列出方程求出的值.m 【详解】（1）当，即或时，复数为实数； 230m m -=0m =3m =()()22563i m m m m -++-（2）当，即且时，复数为虚数；230m m -¹0m ≠3m ≠()()22563i m m m m -++-（3）当，解得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩2m =所以当时，复数为纯虚数.2m =()()22563i m m m m -++-18．已知，求分别在下列条件下的值.||4,||2a b ==a b ⋅ (1)；,120a b 〈〉=(2)； a b ⊥ (3).//a b 【答案】(1)； 4-(2)； 0(3). 8±【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）根据互相垂直的两个向量数量积的性质进行求解即可；（3）根据平面向量数量积的定义，结合共线向量的性质进行求解【详解】（1）1cos1204242a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）因为，所以.a b ⊥ 0a b ⋅=（3）因为，所以与的夹角为或，a bA a b 0 180 所以.()428a b a b ⋅=±=±⨯=±19．在中，角所对的边分别为.已知. ABC A ,,A B C ,,a b c 2,3,3===πa c B （1）求的值； b （2）求的面积. ABC A S 【答案】（12 【分析】（1）由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理即可求出b 的值； （2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【详解】（1） ，由余弦定理可得2,3,3a c B π=== ,2222cos 7b a c ac B =+-=,∴b =（2）1sin 2S ac B ==【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．如图，棱锥中，底面是平行四边形，为的中点.求证：面.S ABCD -E SD //SB AEC【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接,先证明，再证明面.BD AC O EO //OE SB //SB AEC【详解】 .连接交于，连接BD AC O EO 四边形为平行四边形，ABCD 为的中点.∴O AC 为中点,.E SD //OE SB ∴又面，面， OE ⊂AEC SB ⊄AEC 面.//SB ∴AEC 【点睛】本题主要考查空间直线平面平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．在中，角、、所对的边分别为、、． ABC A A B C a b c cos sin C c B =+(1)求角的值；B(2)若外接圆的半径面积的最大值． ABC A R =ABC A 【答案】(1)3B π=(2)【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得tan B B 角的值；B （2）求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可b ac 求得面积的最大值．ABC A【详解】（1， cos sin C c B =+cos sin sin B C C B A +=， ()cos sin sin cos sin B C C B B C B C B C +=+=因为，则，所以，，则， ()0,C π∈sin 0C >sin B B =tan B =，因此，.()0,B π∈ 3B π=（2）解：由正弦定理可得，2sin 6b R B ==由余弦定理可得，即， 22222262cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=36ac ≤当且仅当时，等号成立，6a c ==第 11 页 共 11 页故面积的最大值为ABC A 136sin 23π⨯⨯=22．已知向量，且，求： 33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）及；a b ⋅ ||a b + （2）若的最小值为，求实数的值． ()2||f x a b a b λ=⋅-+ 32-λ【答案】（1）， （2）. cos 2a b x ⋅= ||2cos a b x += 12λ=【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；（2）由（1）求得函数，令，得到2()2cos 4cos 1,[0,]2f x x x x πλ=--∈cos [0,1]t x =∈，结合二次函数的性质，即可求解. 2241,[0,1]y t t t λ=--∈【详解】（1）由题意，向量， 33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 可得， 33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos()cos 22222222222x x x x x x a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1=所以.||2cos a b x +==== （2）由（1）可得， ()2||cos 24cos ,[0,]2f x a b a b x x x πλλ=⋅-+=-∈ 即， 2()cos 24cos 2cos 4cos 1,[0,2f x x x x x x πλλ=-=--∈令，所以，cos [0,1]t x =∈2241,[0,1]y t t t λ=--∈对称轴为，t λ=若，则，不符合题意；0λ≤min 1y =-若，则，解得（舍去）； 1λ≥min 3142y λ=-=-58λ=若，则，解得， 01λ<<2min 3122y λ=--=-12λ=综上可得：. 12λ=。

高一数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知，则的虚部为（ ）()3i 2i z =⋅+z A. B.C.D.12-2i 2i -【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.()()32i 2i i 2i 2i i 12i z =⋅+=-⋅+=--=-2-故选：B2. 已知向量且，则(1,2),(,4),a b x =-= //,a ba b -=A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.b a b -详解：因为，所以，即；//,a b24x -=2x =-所以； ()36，-=-a b所以-=a b 点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力. 解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示； 熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.3. 在中，角的对边分别为，若，则一定是( ) ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos a b C =ABC A A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.【详解】因为，所以由正弦定理可得，2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin 0B C B C -=即，所以. ()sin 0B C -=B C =故选：D.4. 函数的图象为()sin cos 2f x x x =+A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为，根据奇函数和偶函数的定义可知，函数()sin cos 2f x x x -=-+是非奇非偶函数，排除选项A 和选项 D.当时，()sin cos 2f x x x =+x π=，所以选B.()sin cos 2010f πππ=+=+>考点：三角函数的图像与性质5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 m n αβA. 若，，，则 αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥B. 若，，，则 //αβm α⊂n β⊂//m n C. 若，，，则 m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥D. 若，，，则 m α⊥//m n //n βαβ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，,故选D.m α⊥ ,n βαβ∴⊥A 考点：点线面的位置关系.6. 如图，是用斜二测画法画出的直观图，则是（ ）A OB '''∠AOB ∠AOB ∠A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 无法判断【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为平面图即可判断.【详解】解：根据斜二测画法的规则，将直观图还原为平面图如图所示，A OB '''∠所以，是钝角. AOB ∠故选：C7. 已知为的外接圆圆心，若在方向上的投影O ABC A 2,CA OA AB AB =+= BABC 向量为（ ）A.B.C.D. 34BC u uu r BC34BC -【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件判断出三角形的形状，从而计算出在上的投影向量.ABC BA BC【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，，即， ABC A O 2CA OA AB =+ 2AO AB AC =+所以是的中点，即是圆的直径，且， O BC BC O π2BAC ∠=又AB = 所以， AC OA =所以， π6ABC ∠=∴，π3cos 6324BA BC OA ⋅== 所以在上的投影向量为.BA BC 34BC u uu r 故选：A.8. 已知，将的图象向右平移个单位，再向下平移1()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π6个单位，得到的图象．若对，都有成立，则()y g x =R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g a ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）．A.B. C.D. 1212-【答案】A 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简，再求出变换后的函数的解析式，根据条件结合正弦函数性()f x ()g x 质列方程求出，从而可计算出答案. a 【详解】 ()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22x x x x x ⎫+=++⎪⎪⎭()11112sin cos cos 2222x x x =+++ 11sin 2cos 2122x x =++， π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， ()y f x =π6， ()πππ21126412g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以对，都有成立， R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数关于点对称，()π212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，则， ππ,Z 12a k k -=∈ππ,Z 12a k k =+∈所以 πππ23312g a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππ2π1212k ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π2π4k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π4=. 12=故选：A.二、多选题（共20分）9. 已知复数满足，则（ ） z ()2i 13i z +=+A.B. 在复平面内对应的点位于第二象限 z =zC.D. 满足方程44z =z 2220z z -+=【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A ：，，故A 正确； 13i1i 2iz +==++z =对于B ：在复平面内对应的点位于第四象限，故B 错误；1i z =-对于C ：，故C 错误；24422(1i)(1i)(2i)4z =⎡⎤=++==-⎣⎦对于D ：，故D 正确；． 2222(1i)2(1i)22i 22i 20z z -+=+-++=-++=故选：AD ．10. 如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下列结1SO OC ==论正确的是（ ）A. 圆锥SOB. 三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C. ∠SAB 的取值范围是 ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D. 若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】ABD 【解析】【分析】A 求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B 棱锥体积最大只需到距离最B AC大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C 注意确定大小即可判断；D 将两个三AB BC =SAB ∠角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A ：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对； l =2π2πr =12π2⨯=B ：要使三棱锥S -ABC 体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为， ABC S A B AC 1r =所以体积的最大值为，对； 111112323⨯⨯⨯⨯=C ：当时，△为等腰直角三角形，此时，AB BC =ABC AB BC ==所以，即△为等边三角形，此时，错； SA SB AB ==SAB π3∠=SAB D ：由C 分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形， AB BC =ABC SAB 将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度， SF CF +,,S F C SC而，，对. 3π4SBC ∠=SB BC ==1SC ==故选：ABD11. 如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中ABCD BCD △AB BD ⊥2AB BD ==M AD 点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）BD BCD △C ABD -A. 存在某个位置，使得与所成角为锐角 CM BDB. 棱上总会有一点，使得平面 CD N //MN ABCC. 当三棱锥的体积最大时，C ABD -AB BC ⊥D. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是 ABD ⊥BDC C ABD -8π【答案】BC 【解析】【分析】取中点，连接，，可证明即可判断A ；取中点，连接，BD G CG MG BD MC ^CD H HM 可证明平面判断B ；三棱锥的体积最大， 的投影在棱上时，此时//HM ABC C ABD -C BD CG ⊥平面，进而可证明平面得判断C ；过作，过点作ABD AB ⊥BCD AB BC ⊥M MF ⊥ABD F 交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关//FE MG CG E F C ABD -R系求解得可判断D. 273R =【详解】解：对于A 选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以BD G CG MG BCD △，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为CG BD ⊥M AD //MG AB AB BD ⊥MG BD ⊥，平面，所以平面，因为平面，所以MG CG G ⋂=,MG CG ⊂MCG BD ⊥MCG MC ⊂MCG ，故错误；BD MC ^对于B 选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面CD H HM M AD //HM AC HM ⊄，平面，所以平面，故正确；ABC AC ⊂ABC //HM ABC对于C 选项，设到平面的距离为，因为且， C ABD h AB BD ⊥2AB BD ==所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则12222ABD S =⨯⨯=△1233C ABD ABD V S h h -=⋅=A C ABD -h 最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面C BD h max h CG =CG ⊥ABD AB ⊂ABD ，所以，因为，，平面，所以平面，CG AB ⊥AB BD ⊥CG BD G = ,CG BD ⊂BCD AB ⊥BCD 平面，所以，故正确；BC ⊂BCD AB BC ⊥对于D 选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球ABD △M MF ⊥ABD F C ABD -的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面R ABD ⊥BDC ABD ⋂BDC BD =CG ⊂，，所以平面，所以，过点作交于，如图所BDC CG ⊥BD CG ⊥ABD //CG MF F //FE MG CG E 示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，MFEG ,MF EG FD FC R ===Rt MFD A，即，222R MD MF =+222R MF =+在中，，即，进而解得，所以三棱锥Rt EFC △222R EF CE =+221)R EG =+273R =C ABD -的外接球的表面积为，故错误. 22843Rππ=故选：BC12. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为，P是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.2BG AH =B. 在向量上的投影向量为AD AB1AB ⎫+⎪⎪⎭C. 若，则为的中点(1OA FC PA ED ⋅=+⋅ P ED D. 若在线段上，且，则的取值范围为P BC AP x AB y AH =+x y+1,2⎡+⎣【答案】BD 【解析】【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A 错误，投影AE y GC x 2BG AH ≠向量为，B 正确，直线与正八边形有两个交点，C 错误，，D正确，得到1AB ⎫⎪⎪⎭x y +=答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，AE y GCx设， OA OB OC OD OE OF OG OH a ========则，整理得到222π22cos4a a a =+-⨯22a =+，()()()0,,,,,0,,0,,A a B C a D E a F ⎫⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭，，设，(),0G a -,H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()00,P x y 对选项A ：，，，错误；a B a G ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,a A H ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭ 2BG AH ≠ 对选项B ：，，AD D a⎫=+⎪⎪⎭ ,AB a ⎫=-⎪⎪⎭，即投影向量为，正确；21AD AB AB ⋅===+ 1AB⎫+⎪⎪⎭ 对选项C：， ()20,,OA FC a a ⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪⎪⎝⎭，()()0000,P x a A E a x D y a y a ⎫⎫=-=-⎪⋅+-⎪⎪⎪⎭---⋅⎭ ，整理得到，即，(1OA FC PA ED ⋅=+⋅()00ay a ⎫-+-=⎪⎪⎭)001y x =+与正八边形有两个交点，错误；对选项D ：，，， ()00,x y a AP =+,AB a ⎫=⎪⎪⎭,a A H ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，AP x AB y AH =+ ()00,,,x y a x a a y a ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭整理得到，，故，正确. x y +=0,0y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,2x y ⎡+∈+⎣故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.三、填空题（共20分）13. 已知复数满足，则的最小值是______． z 2z =34z i +-【答案】 3【解析】【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可． a b a b a b -≤+≤+34z i +-【详解】∵复数满足， z 2z =∴， 3434523z i i z +-≥--=-=∴的最小值是． 34z i +-3故答案为．3【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14. 设θ为第二象限角，若tan （θ+）=，则sinθ+cosθ=_________. 12【答案】 【解析】【详解】因为θ为第二象限角，若tan （θ+）=>0，所以角θ的终边落在直线的左侧,12y x =-sinθ+cosθ<0,由tan （θ+）=得=，即=，所以设sinθ+cosθ=x ，则12tan 11tan θθ+-12sin cos cos sin θθθθ+-12cosθ- sinθ=2x ，将这两个式子平方相加得：，即sinθ+cosθ=. 225x =【考点定位】本小题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数在各个象限的符号口诀等公式的灵活运用，属中档题.15. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （）个单位长()sin y A x ωϕ=+0t >度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t 的最小值为________．()y f x =()y f x =【答案】6π【解析】【分析】由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移π6x =sin()y A x ωϕ=+ϕ的知识可以得出的最小值． t 【详解】解：由图象可得时，函数的函数值为0，即， π6x =sin()y A x ωϕ=+ππ(Z)6k k ωϕ+=∈，ππ(Z)6k k ωϕ∴=-+∈，将此函数向左平移个单位得，，πsin(π)6y A x k ωω∴=-+t π()sin[()π]6f x A x t k ωω=+-+又为奇函数， ()f x ，11πππ(Z)6t k k k ωω∴-+=∈， 11ππ(Z,Z)6k kt k k ω-∴=+∈∈的最小值是．t ∴π6故答案为：.6π16. 已知A ，B ，C ，D 的球体表面上四点，若，，，且三4AB =2AC =BC =棱维的体积为长度的最大值为________． A BCD -CD【答案】【解析】【分析】计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值. D CD，故球的半径， R 343R π=故，R =而，，，故，故，4AB =2AC =BC =222AB AC BC =+2ACB π∠=故， 122ACB S =⨯=A设到平面的距离为，则，故， D ABC h 13h ⨯⨯=3h =故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为， D α当与平面在球心的异侧时，有最大值， αABC DC设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则， ABC d ACB △142AB =1d ==故球心到平面的距离为，α21=设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点， D ABC E E ABC A AB 当最长时最长，此时， CE CD 213=+=CE故长度的最大值为 CD故答案为：.【点睛】思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题.四、解答题（共70分17. 已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3（1）求；a b +（2）当为何值时，？k ()()2a b ka b +⊥-【答案】（1）（2） 7k =-【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.()()20a b ka b +⋅-=【小问1详解】，2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，.222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=a b ∴+= 【小问2详解】由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18. 已知向量.)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭（1）当时，求的值；//a b r rtan x （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x 的值.()()f x a b b =+⋅ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；1tan 3x =-（2）时，. 0x =()f x 4+【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程，结合同角关系可求；tan x （2）根据数量积的坐标表示和两角和余弦公式化简，再根据正弦函数性质求其最大值和对应的()f x x 值即可. 【小问1详解】因为，，)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭//ab r r所以，()1cos 102x x ⎫⎛⎫⨯--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以， 3sin cos 0x x +=所以； 1tan 3x =-【小问2详解】因为，)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭所以，())1cos 1cos sin 2a b x x x x ⎫⎛⎫⋅=+⨯-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，314b b ⋅=+=所以， ()())cos sin 4f x a b b a b b b x x =+⋅=⋅+⋅=-+所以，，()π44f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以， π02x ≤≤ππ3π444x ≤+≤所以πcos 4x ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭所以，π4444x ⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭当，即时，. ππ44x +=0x =()f x 419. 在中，角的对边分别为. ABC A ,,A B C ,,a b c ()sin b C C =（1）求角的大小； B （2）若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值. π3A =D ABC A 4DB=2CD =ABDC【答案】（1）π3（2） 8【解析】【分析】（1，即可得解；sin B B =（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形2B D C =-4sin BDC S D =A ，进而可得最值.ABCD S 【小问1详解】，()sin b C C =+()sin sin A B C C =+，()sin sin cos B C B C B C +=sin sin sin B C B C =因为，即，sin 0C≠sin B B =tan B =因为，所以. ()0,πB ∈π3B =【小问2详解】在中，，，BCD △4BD =2CD =所以， 22242242cos 2016cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-又，则为等边三角形，， π3A =ABC A 21πsin 23ABC S BC D =⨯=-A 又， 1sin 4sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯⨯=A所以， π4sin 8sin 3ABDC S D D D ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为. 5π6D =ABDC 8+20. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段P ABCD -ABCD PAD M 上一点，为的中点.PD N BC（1）当为的中点时，求证：平面. M PD //MN PAB （2）当平面，求出点的位置，说明理由. //PB AMN M 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M ，点M 为PD 上靠近P 点的三等分点，理由见解析. 【解析】【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有AP E ,EM EB ，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；//,BN ME BN ME =BNME //MN BE （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得,AN BD O OM //PB OM ，即可判断的位置. 12PM MD =M【小问1详解】取中点为，连接，AP E ,EM EB在中，为的中点，为中点，PAD A M PD E AP ， 1//,2EM AD EM AD ∴=在平行四边形中，为的中点，ABCD N BC ， 1//,2BN AD BN AD ∴=，//,BN ME BN ME ∴=四边形为平行四边形，∴BNME 面面，//,MN BE MN ∴⊄,PAB BE ⊂PAB 平面；//MN ∴PAB 【小问2详解】连接，相交于，连接，,AN BD O OM 面，面面面， //PB AMN PBD ,AMN OM PB =⊂PBD ，， //PB OM ∴12PM OB BN MD OD AD ===即存在点M ，M 为PD 上靠近P 点的三等分点.21. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为111ABC A B C -1A BC △（1）求到平面的距离；A 1A BC （2）设D 为的中点，，平面平面，求线段BC 的长度． 1AC 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A【答案】（1）到平面A 1A BC （2）线段BC 的长为2【解析】【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；A 1A BC（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC 的长． 1A BC △【小问1详解】解：由直三棱柱的体积为4，可得，111ABC A B C -11111433A ABC ABC ABC V V --==设到平面的距离为，由，A 1A BC d 11A ABC A A BC V V --=，，解得．∴11433A BC S d ⋅=A ∴1433d ⨯=即到平面； A 1A BC 【小问2详解】解：连接交于点1AB 1A B O由直三棱柱， 111ABC A B C -1AA AB =故四边形为正方形，，11AA B B 11AB A B ∴⊥又平面平面，平面平面，1A BC ⊥11ABB A 1A BC 111A B ABB A =平面，，1AB ∴⊥1A BC 1AB BC ∴⊥由直三棱柱知平面，111ABC A B C -1BB ⊥ABC ，又，1BB BC ∴⊥111AB BB B = 平面，，BC ∴⊥11ABB A BC AB ∴⊥，，又， 1AA AB = 12BC ∴⨯=1142AB BC AA ⨯⨯=解得， 12BC AB AA ===则线段BC 的长为2.22. 平行四边形ABCD 中，，，如图甲所示，作于点E ，将22AB AD ==DB =DE AB ⊥ADEV 沿着DE 翻折，使点A 与点P 重合，如图乙所示．（1）设平面PEB 与平面PDC 的交线为l ，判断l 与CD 的位置关系，并证明； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；-P BCDE P BC D --（3）在（2）的条件下，G 、H 分别为棱DE ，CD 上的点，求空间四边形PGHB 周长的最小值． 【答案】（1），证明见解析l CD ∥（2（3【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面PBE,然后利用线面平行的性质定理即可得到证//CD 明；（2）当平面BCDE 时体积最大，作交BC 于点O ，连接PO ，即为二面角PE ⊥EO BC ⊥POE ∠的平面角，在中，直接求解即可.P BC D --Rt POE A （3）由展开图可知，B 关于CD 的对称点为，当A 、G 、H 、共线时，周长最短，可得结果. B 'B '【小问1详解】因为，平面PBE ，平面PBE ，所以平面PBE EB CD ∥CD ⊂/EB ⊂//CD 因为平面PCD ，平面平面，所以．CD ⊂PBE ⋂PCD l =l CD ∥【小问2详解】当平面平面BCDE 时，四棱锥的体积最大． PDE ⊥-P BCDE 平面平面BCDE=DE ，平面PDE ，, PDE PE ⊂PE DE ⊥可得平面BCDE ，平面BCDE ，可得BC ， PE ⊥BC ⊂PE ⊥作交BC 于点O ，连接PO ，, EO BC ⊥EO PE E ⋂=可得平面POE ，而PO 在平面PEO 中，故PO ，BC⊥BC ⊥即为二面角的平面角，POE ∠P BC D --在中，，，，Rt POE A 12PE=3sin 602EO =⨯︒=tan POE ∠==所以二面角． P BC D --【小问3详解】由展开图可知，B 关于CD 的对称点为，，，由勾股定理可得B 'DE =BB '=AB '=A 、G、H 、共线时，周长最短，PB =B '此时 ()minPG GH HB PB AB PB '+++=+=+。

柘皋中学2021-2021第二学期高一数学第一次月考试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，那么5是这个数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第25项【答案】B【解析】【分析】根据的数列通项公式，列方程求出项数.【详解】数列的通项公式为，由，解得，应选B.【点睛】此题考察数列通项公式的应用，属于根底题.2.中，，那么B等于A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理计算，注意有两个解.【详解】由正弦定理得，故，所以，又，故或者.所以选D.【点睛】三角形中一共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕，一般地，知道其中的三个量〔除三个角外〕，可以求得其余的四个量.〔1〕假如知道三边或者两边及其夹角，用余弦定理；〔2〕假如知道两边即一边所对的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕；〔3〕假如知道两角及一边，用正弦定理.，假设，那么等于A. 13B. 15C. 17D. 48【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质，直接求解即可.【详解】等差数列，，所以应选D.【点睛】此题考察等差数列性质的应用，属于根底题.4.在中，假设，，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：在三角形中运用余弦定理建立关于的方程，然后解方程可得所求．详解：在中由余弦定理得，即，整理得，解得或者应选A．点睛：解答此题的关键是根据余弦定理建立起关于的方程，表达了灵敏应用定理解题，也表达了方程思想在解三角形中的应用．中，：：：7：8，那么的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，再利用余弦定理即可求解.【详解】在中，：：：7：8，由正弦定理，.设，由余弦定理得，.，.应选B.【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于三角形三边的关系求角的问题，比拟根底.满足：，那么等于A. 98B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由数列为首项为3、公差等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求出结果.【详解】数列的通项公式.应选B.【点睛】此题考察等差数列的判断和通项公式，根据条件判断数列为等差数列是解题关键，属于根底题.中，角所对应的边分别是，假设，那么三角形一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理边化角得，再由三角形内角和关系得，转化为；结合的范围，可得.【详解】，由正弦定理为的内角，，，，整理得，即.故一定是等腰三角形.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，考察正弦定理边化角及三角形内角和的应用，解题的关键是的正确解读.的前n项和为，那么A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】利用数列的前n项和的定义，得，求解即可.【详解】数列的前n项和为,.应选B.【点睛】此题考察数列前nn项和与通项公式之间关系的灵敏运用.中，三边长，那么等于A. 19B.C. 18D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求得，再利用数量积公式，即可求出结果.【详解】三边长，.【点睛】此题考察平面向量数量积的运算，考察余弦定理，解题关键是明确数量积中两个向量的夹角与三角形内角的关系.的前n项和为，那么A. 140B. 70C. 154D. 77【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】等差数列的前n项和为，.应选D.【点睛】此题考察等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于根底题.11.如下图，三点在地面的同一直线上，，从两点测得A的仰角分别是，那么点A离地面的高AB等于A. B.C. D.【答案】D【解析】先分别在直角三角形中表示出DB和CB，再根据列等式，求得AB.【详解】依题意可知，，.应选D.【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察转化思想和分析问题、解决问题的才能.中，，那么A. B. C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意可知为周期为2的数列，即，即可求出结果.【详解】，即，那么数列为周期为2的周期数列又，那么应选B.【点睛】此题考察根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考察转换思想和计算才能. 二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，那么角A的大小为______ ．【解析】【分析】根据条件和余弦定理，即可求出角A的大小.【详解】，由余弦定理得，A为的内角，.故答案为.【点睛】此题考察给出三角形的边角关系求角的问题，着重考察余弦定理，属于根底题.中，，面积，那么 ______ ．【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积计算公式，求出，再利用余弦定理即可得出结果.【详解】，面积，又有，解得；由余弦定理.故答案为.【点睛】此题考察三角形的面积计算公式和余弦定理，属于根底题.中，假设，那么 ______ ．【解析】【分析】根据条件，确定数列为常数数列，即可求出结果.【详解】，那么.故答案为.【点睛】此题考察根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考察转换思想和计算才能. 16.如图，一辆汽车在一条程度的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，那么此山的高度 ______【答案】【解析】【分析】先根据条件得，在中利用正弦定理计算，再由为等腰直角三角形，即可求出结果.【详解】由题意可知，，，为等腰直角三角形，在中，，由正弦定理.故答案为.【点睛】此题考察解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕ABC中，分别是角的对边，且．求的大小；假设，求三角形ABC的面积和b的值．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理边化角和角B的范围，即可求出角B的大小.〔2〕利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出结果.【详解】解：锐角中，，由正弦定理，，角A为的内角，；又B为锐角，；由，．，；【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于根底题.三角形中求值问题，需要结合条件选取正、余弦定理，灵敏转化边和角之间的关系，到达解决问题的目的．其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化；第三步：求结果，即根据条件计算并断定结果.的前n项和求数列的通项公式；求证：数列是等差数列．【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕当时，类比写出，两式相减整理得；当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式.〔2〕根据〔1〕求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可.【详解】解：当时，，当时，，满足，即数列的通项公式．证明：，当时，为常数，那么数列是等差数列．【点睛】此题主要考察数列的前项和求数列的通项公式的方法，考察等差数列的判断方法.数列的前项和求数列的通项公式，求解过程分为三步：〔1〕当时，用交换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；〔2〕当时，求出；〔3〕对时的结果进展检验，看是否符合时的表达式，假如符合，那么可以把数列的通项公式合写；假如不符合，那么应该分与两段来写．中，BC边上的中线AD长为3，且．求的值；求AC边的长．【答案】〔1〕；〔2〕4【解析】【分析】〔1〕由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.〔2〕在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出.【详解】解：因为，所以．又，所以，所以．在中，由得，解得．故，在中，由余弦定理得，得．【点睛】此题考察两角差的正弦公式，考察正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.〔2〕由〔1〕可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【点睛】此题考察数列递推关系、等差数列的判断方法，考察了运用取倒数法求数列的通项公式，考察了推理才能和计算才能，属于中档题.中，三个内角所对的边分别为，且满足．求角C的大小；假设的面积为，求边c的长．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理得和，代入条件，即可求出角C的大小；〔2〕利用三角形面积公式得，再利用余弦定理，即可求出边c的长．【详解】解：由余弦定理可得：，，又，又，，【点睛】此题考察了余弦定理，三角形面积公式，特殊角函数值的应用，属于根底知识考察. 解三角形问题，需要根据三角形边角关系和正、余弦定理，结合条件灵敏转化和化简条件，从而到达解决问题的目的．根本步骤是：〔1〕观察条件和所求问题，确定转化的方向；〔2〕根据条件与所求的关系选择适当的工具，转化问题；〔3〕求结果满足，且且求证：数列是等差数列；求数列的通项公式．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用，两边同除，结合等差数列的定义，即可证明数列是等差数列；〔2〕求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】〔1〕证明：，两边同时除以，可得，又数列是以为首项，以1为公差的等差数列；解：由可知.【点睛】此题考察数列递推关系、等差数列的判断方法，考察了运用构造法求数列的通项公式，考察了推理才能和计算才能，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

二中2021-2021学年度第二学期3月月考高一数学试题第一卷 (选择题一共60分)一.选择题〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一个是符合题目要求的.〕的前三项依次为,,，那么此数列的通项公式为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件确定出公差d,再由通项公式即可得到答案.【详解】等差数列中，，可得，由通项公式可得，应选：B.【点睛】此题考察等差数列通项公式的应用，属于简单题.为第一象限角，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同角三角函数的根本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：因为α为第二象限角，，所以．所以．应选：A．【点睛】此题考察二倍角的正弦，同角三角函数间的根本关系的应用，考察计算才能．3.?周碑算经?中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,那么小满日影长为( )【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，那么==，所以，由题知=，所以，所以公差=−1，所以=，应选B．中，假设，那么它的前7项和为〔〕A. 105B. 110C. 115D. 120【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前7项和公式和性质计算即可得到答案.【详解】等差数列中，，,应选：A【点睛】此题考察等差数列的性质和等差数列前n项和公式的应用，属于根底题.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由确定cosα和sinα异号，从而可判断出选项.【详解】由即可确定cosα和sinα异号，那么定有sin2α=2sinαcosα<0成立，应选：D.【点睛】此题考察三角函数值的符号，考察二倍角的正弦公式，是根底题．6.假如-1,a,b,c,-9依次成等比数列，那么 ( )A. b＝3， ac＝9B. b＝3， ac＝-9C. b＝-3， ac＝-9D. b＝-3， ac＝9【答案】B【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号. 详解：由题意，又，∴，∴，应选D.点睛：此题考察等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.的三个内角，向量，，假设，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为向量，，假设，解得为选C8.，那么等于〔〕A. 8B. -8C.D.【答案】A【解析】由，可得，∴，，∴，应选．的前n项和记为S n，假设，那么〔〕A. 3：4B. 2：3C. 1：2D. 1：3【答案】A【解析】【分析】由为等比数列，再根据比例关系，即可求得结果.【详解】设，那么，由为等比数列，那么，将、代入可得：，所以.应选A.【点睛】此题考察等比数列的常见结论，数列为等比数列，那么也为等比数列，假设数列为等差数列也为等差数列.10.为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为S n，那么点(n,S n)所在的抛物线可能为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】当n≥1时{a n}单调递增且各项之和大于零，当n＝0时S n等于零，结合选项只能是D.11.S n是等比数列的前n项和，假设存在，满足，，那么数列的公比为〔〕A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式及前n项和公式，把问题中的两个相等关系转化为关于公比q与m 的关系式，构成方程组求解即可。

卜人入州八九几市潮王学校甘谷一中二零二零—二零二壹高一第二学期第一次月考数学试题第I卷〔选择题〕一、单项选择题(每一小题5分，一共60分)1.一个算法的程序框图如下列图，假设输出的值是，那么输入的值是〔〕A.或者B.或者C.或者D.或者【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵输出的结果为1，当时，；当时，，应选B．【点睛】此题考察了选择构造的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．2.执行如下列图的程序框图，假设输入，那么输出的a的值是〔〕A.7B.9C.10D.13【答案】C【解析】试题分析：输入，不满足，那么执行；还不满足；再执行；仍不满足，再执行，满足条件，输出即可．考点：算法流程图．3.假设98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制数为，那么()A.53B.54C.58D.60【答案】C【解析】∵，，，，∴和的最大公约数是7，即．二进制数化为十进制数为，即，那么．应选C．4.要沉着量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，那么以下表达正确的选项是()A.将总体分11组，每组间隔为9B.将总体分9组，每组间隔为11C.从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9D.从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为11【答案】D【解析】由于102不能被9整除，所以应先从总体中剔除3个个体后再分9组，每组间隔为115.某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进展身体安康检查，假设采用分层抽样的方法，那么职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取〔〕人A.16，3，1B.16，2，2C.8，15，7D.12，3，5【答案】A【解析】职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取人，人，人.6.为理解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进展调查，结果显示这些学生的支出金额〔单位：元〕都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有134人，频率分布直方图如下列图，那么=〔〕A.150B.160C.180D.200【答案】D【解析】试题分析：由频率分布直方图知：，∴．考点：频率分布直方图．7.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据〔单位：℃〕制成如下列图的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的HY差小于乙地该月14时的气温的HY差；④甲地该月14时的平均气温的HY差大于乙地该月14时的气温的HY差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为〔〕A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B【解析】由题中茎叶图知，，.所以<，>．8.有两个质地均匀、大小一样的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．把两个玩具各抛掷一次，向下的面的数字之和能被5整除的概率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字有16种情况；分别为其中之和能被5整除的有一共4种；那么之和能被5整除的概率为.9.如下列图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,那么阴影区域的面积为()A. B. C. D.无法计算【答案】B【解析】利用几何概型的概率计算公式知,∴S阴=S正方形=.故答案为：B.10.一名生的年龄(单位：岁)和身高(单位：cm)的数据如下表．由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为＝x＋，预测该学生10岁时的身高约为()年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144A.154cmB.151cmC.152cmD.153cm【答案】D【解析】由题意得，，，代入线性回归方程，得，即∴当时，.应选D.11.口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，那么与事件“2张卡片都为红色〞互斥而非对立的事件是以下事件“①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有一张红色；③2张卡片至少有一张红色；④2张卡片恰有两张绿色〞中的哪几个？〔〕A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色〞，“2张都为绿色〞，“2张都为蓝色〞，“1张红色1张绿色〞，“1张红色1张蓝色〞，“1张绿色1张蓝色〞，再给出的四个事件中与“2张卡片都为红色〞互斥而非对立的事件为“2张卡片都不是红色〞，“2张卡片恰有一张红色〞，“2张卡片恰有两张绿色〞，即①②④满足条件。

高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。

（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（ ） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图） （第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（ ） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（ ）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。

高一下学期第一次月考数学试题(附答案)高一年级数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卷对应的位置上） 1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298=n a 时， n 等于 ▲2.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =，b =，o 120B =，则a = ▲ .3.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a，则ABC ∆的面积为 ▲4.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 ▲5.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos B =1a =，则b = ▲ .6.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么c cos 等于 ▲7.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为 ▲ .8.在ABC ∆中，045,B c b ===A ＝ ▲ ; 9．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k = ▲ 。

10．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222▲ _。

11．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于 ▲12．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为 ▲ 13．已知等差数列n a n 的前}{项和为,0,1,211=-+>+-m m m n a a a m s 且若m ,3812则=-m s 等于 ▲14.在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是 ▲ 。

二、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（本题满分14分）在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。

高一数学试题时长： 120 分钟，满分： 150 分． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号镇写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的．1. 已知集合，，则（ ）35A x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭{}21B x Z x =∈≤A B = A. B. C.D.{}1{}0,1{}1,0,1-3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】求出集合，然后进行交集的运算即可． B 【详解】，3{|},{|11}{1,0,1}5A x xB x Z x =-=∈-=-………，．{0A B ∴= 1}故选：．B 2. 已知，向量与的夹角为，则（ ）1a b ==r r a b60︒34a b -= A. 5B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由已知先求出，然后根据.a b ⋅ 34a b -=【详解】∵，向量与的夹角为1a b ==r r a b 60︒∴1cos 602a b a b ⋅=︒=∴34a b -=== 故选：D .3. 已知幂函数在上为单调减函数，则实数m 的值为（ ）．()()23mf x m x-=-()0,∞+A.B.C.D. 22±2-【答案】D 【解析】【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案. 【详解】是幂函数，所以， ()f x 231,2m m -==±当时，，在上递减，符合题意. 2m =()221f x xx-==()0,∞+当时，，在上递增，不符合题意.2m =-()2f x x =()0,∞+综上所述，的值为，D 选项正确. m 2故选：D4. 若关于x 的不等式成立的充分条件是，则实数a 的取值范围是（ ） 1x a -<04x <<A. (－∞，1] B. (－∞，1) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围. a 【详解】成立的充分条件是，则，1x a -<04x <<0a >，所以. 111x a a x a -<⇒-<<+10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩故选：D5. 在中，，，则的面积等于（ ）ABC A c =1b =30B ∠=︒ABC AA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先用余弦定理求出或2，进而利用三角形面积公式求出答案.1a =【详解】由余弦定理得：或2，经检验，均符合要222cos 2a c b B ac +-===1a =求.当时，； 1a =11sin 22ABC S ac B ===A当时，2a =11sin 22ABC S ac B ===A 故选：D6. 函数的最小值为（ ）()2g x x =A. B.C. D. 178-2-198-94-【答案】A 【解析】【分析】设，将原函数式转化为关于的二次函数的形式，再利用二次函数的值域求出原0)t t =≥t 函数的值域即可【详解】解：设，则则0)t t =≥22()()2(1)22,f x g t t t t t ==--=--函数在上单调递减，在上单调递增，2()22g t t t =--1(0,41(,)4+∞，故选A ．min 117()()48f xg ∴==-【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题7. 已知函数（，且）的图象过定点，为坐标原点，射线是角的终边，22x y a -=-0a >1a ≠P O OP θ则的值为（ ）sin 2cos 2sin cos θθθθ-+A. B.C. D. 54-3434-32-【答案】C 【解析】【分析】先由题意，确定点的坐标，再由三角函数的定义求出，利用同角三角函数基本关系进行P tan θ弦化切，即可求出结果.【详解】根据题意，定点的坐标为，结合三角函数的定义得到， P ()2,11tan 2θ=又.sin 2cos tan 232sin cos 2tan 14θθθθθθ--==-++故选：C.8. 如图，是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，，则AB 60,45CBA ABD CD xOA yBC ∠=︒∠=︒=+ ，的值为（ ）x y +A.B.C.D.13-23【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用题意写出相关点的坐标，利用向量相等得到关于、的方程组，进x y 而求出的值.x y +【详解】以为原点，轴，O OB x 过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，O AB y不妨设圆的半径为1，因为，， O 60CBA ∠=︒45ABD ∠=︒则，，，，(1,0)A -(1,0)B (0,1)D 1(,2C -所以，， 1,12CD ⎛=-+⎝ 1,2BC ⎛=- ⎝ 又因为，CD xOA yBC =+所以，11(,1(1,0)(,22x y -+=-+-即，11221x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以. x y +=故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A.B. C. D.y =2y x=3y x =1e e xxy =-【答案】CD 【解析】【分析】A 选项从定义域判断不是奇函数；B 选项根据反比例函数图象与性质知其在各自区间范围内为减函数；C 选项从幂函数图象可知满足题意；D 选项用定义可证为奇函数，又因为增函数减去减函数为增函数，故D正确. 【详解】对A ，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A 选项错误；y =[)0,∞+对B ，的定义域为，而此函数的在各自区间范围内为减函数，故B 选项错误； 2y x=()(),00,∞-+∞U 对C ，在定义域上既是奇函数又是增函数，C 选项正确. 3y x =对D ，设，其定义域为，， 1()e exx f x =-R 11()e e ()e e xx x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭故为奇函数，又为增函数，为减函数， 1()e e xx f x =-1=e xy 21e x y =故在定义域内为增函数，故D 选项正确. 1()e exx f x =-故选：CD.10. 关于函数，下列叙述正确的是（ ）π()2sin 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A. 其图像关于直线对称 π4x =B. 其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到 π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12C. 其图像关于点对称 3π,08⎛⎫⎪⎝⎭D. 其值域是 []1,3-【答案】BD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为， π3π2sin 1144f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以直线不是函数图象的对称轴，故A 错误； π4x =对于B ，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12可得，故B 正确； π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭对于C ，因为， 3π2sin π118f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭所以函数的图象关于点对称，故C 错误； ()f x 3π,18⎛⎫⎪⎝⎭对于D ，因为， []πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以，故D 正确. []π()2sin 211,34f x x ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭故选：BD.11. 在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 为外接圆的半径，的面积记为ABC A ABC A ABC A ABCS A，则下列命题正确的是（ ） A. 的充要条件是sin sin A B <A B <B. 若，则是直角三角形 cos cos a B b A c -=ABC A C. 若，，，则 3b =60A =︒ABC S =A R =D. 不存在，满足，，同时成立 ABC A 5a =10b =π4A =【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦定理边角互化即可判断A,B,根据三角形面积公式可求，进而由余弦定理可求，最4c =a 后由正弦定理可求外接圆半径，假设存在，根据正弦定理得到矛盾可求D.【详解】在中，由正弦定理可得：，故A 正确.ABC A sin sin A B a b A B <⇔<⇔<或者cos cos sin cos sin cos sin sin()sin a B b A c A B B A C A B C A B C -=⇒-=⇒-=⇒-=（不符合内角和，故舍去），因此,又 πA B C -+=A B C =+π,A B C ++=，故B 正确. π=2A ∴由，由余弦定理可得：11sin 3422ABC S bc A c ==⨯⇒=A, a ===因此故C 错误. 112sin 2a R A ===若存在，满足，，同时成立，则矛盾，故ABC A 5a =10b =π4A =sin sin 1b A B a ===>不存在，满足，，同时成立，故D 正确. ABC A 5a =10b =π4A =故选:ABD12. 已知函数，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩（ ）A. x 1＋x 2＝－1B. x 3x 4＝1C. 1<x 4<2D. 0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【解析】 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正122x x +=-341x x =341122x x <<<<确选项.【详解】由函数解析式可得图象如下：()f x∴由图知：，，而当时，有，即或2， 122x x +=-121x -<<-1y =2|log |1x =12x =∴，而知：， 341122x x <<<<34()()f x f x =2324|log ||log |x x =2324log log 0x x +=∴，.341x x =21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的1234,,,x x x x 范围及关系.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，，若，则_______.(2,3)a = (,4)b λ= //a bλ=【答案】## 83223【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可 【详解】由题意，，解得 2430λ⨯-=83λ=故答案为：8314. 函数的单调递减区间是____________.2log (1)(2)y x x =--【答案】 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据复合函数的单调性原则即可由的单调性进行求解. 2(1)(2),log u x x y u =--=【详解】令，解得，()()120x x -->12x <<则的定义域为， 2log (1)(2)y x x =--()12，记，由于的对称轴为， 2(1)(2),log u x x y u =--=(1)(2)u x x =--32x =故其在上单调递减，而在定义域内单调递增，3,22⎛⎫⎪⎝⎭2log y u =由复合函数单调性的原则可知：在单调递减， 2log (1)(2)y x x =--3,22⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭15. 若＝2，则tan ＝____________.21sin cos cos cos 2αααα+-π24α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】 717-【解析】【分析】根据弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，进而利用正切的和角公式2tan 3α=12tan 2=5α即可代入求值.【详解】，解得2222221sin cos cos sin cos sin tan tan tan ==2cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααααααα+-++==---2tan 3α=，所以，故 22tan 12tan 2=1tan 5ααα=-12π1tantan 2π754tan 2π124171tan tan 2145ααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅+故答案为： 717-16. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______ 【答案】20 【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解. 七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2. 所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2, 所以x min =20.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 设向量满足，分别求满足下列条件的的值.,a b()()1,3,2,a b x =-=- x （1）.()2a b a -⊥ （2）向量的夹角为；,a b 4π【答案】（1）1x =（2） 1x =【解析】【分析】（1）计算出的坐标，根据向量垂直即数量积为0求解未知数.2a b -r r （2）根据平面向量数量积的几何意义，列出向量夹角余弦值的表达式求解即可. 【小问1详解】，()()()21,322,3,32a b x x -=---=-因为，所以，()2a b a -⊥ ()133320x -⨯+-=解得. 1x =【小问2详解】因为，()()1,3,2,a b x =-=-所以cos 4a b a b π⋅===⋅则2230,1,2x +>⎧⎪⎨=⎪⎩解得.1x =18. 设全集为，集合或. U =R {}22150,{5A x x x B x x =--≤=≤-∣∣3}x≥（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）已知集合，若，求的取值范围. {1021}C x a x a =-<<+∣()U B C =∅ ða 【答案】（1）(){33}U A B xx ⋂=-≤<∣ð（2）(],7-∞【解析】 【分析】（1）图中阴影部分表示，根据交集、补集的定义计算可得；()U A B ∩ð（2）依题意分与两种情况讨论，列出不等式求解即可.C =∅C ≠∅【小问1详解】 因为， {}{}2215035A x x x x x =--≤=≤≤∣∣或，则， {5B x x =≤-∣3}x ≥{}53U B xx =-<<∣ð所以图中阴影部分表示. (){33}U A B xx ⋂=-≤<∣ð【小问2详解】 ，，且，{1021}C x a x a =-<<+∣{}53U B x x =-<<∣ð()U B C =∅ ð当时，则，解得，符合题意；C =∅1021a a -≥+3a ≤当时，则或解得. C ≠∅1021,215,a a a -<+⎧⎨+≤-⎩1021,103,a a a -<+⎧⎨-≥⎩37a <≤综上，的取值范围为.a (],7-∞19. （1）若正实数满足，求的最小值.,x y 26x y xy ++=xy （2）求函数的最小值. 2710(1)1x x y x x ++=>-+【答案】（1）18 （2）min 9y =【解析】【分析】（1）将看成整体，对直接利用基本不等式求得答案；xy 26x y xy ++=（2）设，将函数转化为，再利用基本不等式求得最小值. 1x t +=(0)t >45y t t=++【详解】（1），当且仅当等号成立266xy x y =+++…3,6x y ==令，可得.又，解得，故的最小值为18.2xy t =260t --…0t > t …xy （2）设，则，1x t +=1(0)x t t =-> 2(1)7(1)10t t y t-+-+∴=. 4559t t =++=…当且仅当，即，且此时时，取等号，. 4t t=2t =1x =min 9y ∴=【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.20. 在中，角所对的边分别为，向量，，且． ABC A ,,A B C ,,a b c ()2,2m c b a =+ ()cos ,1n B =r //m n （1）求角；A（2）若，的面积为为边的中点，求的长度．4c =ABC A D BC AD 【答案】（1） 23A π=（2）AD =【解析】【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，利用正弦定理边化角、两角和差正弦公式可化22cos c b a B +=简求得，由此可得；cos A A （2）由三角形面积公式可构造方程求得；利用余弦定理可求得，进而得到；在中，利b a cos B ABD △用余弦定理可求得.AD 【小问1详解】 ，，由正弦定理得：，//m n 22cos c b a B ∴+=2sin sin 2sin cos C B A B +=又，()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B B A B A B B A B ∴++=++=，sin 2cos sin B A B ∴=-，，，又，. ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=-()0,A π∈23A π∴=【小问2详解】，； 12sin 2sin 23ABC S bc A b π====A 2b ∴=由余弦定理得：，， 22222cos 2016cos 283a b c bc A π=+-=-=a ∴=； 222cos 2a c b B ac +-∴===在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos 23322a a AD c c B B ⎛⎫=+-⋅=-= ⎪⎝⎭解得：.AD =21. 设向量，，，函数，将函数()2sin a x x ωω= (cos ,1)b x ω= (0)>ω()f x a b =⋅ ()f x 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为.12π()g x ()g x π（1）求取得最大值时，的取值集合；()f x x （2）令函数，对任意实数，恒有，求实数的取()()2sin 3h x g x x m =++-2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0h x ≥m 值范围.【答案】（1）；（2）. ,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z [)4,+∞【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简，然后根据图象平移求解出的解析式，最后采()f x ()g x 用整体替换的方法求解出取最大值时的取值集合；()f x x（2）根据已知条件将问题转化为“对恒成立”，由此采用换元法求24sin sin 1m x x ≥-+2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解出，则结果可求.()2max 4sin sin 1x x -+【详解】解：（1）根据已知得到，21()sin cos sin 22cos 226f x a b x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅-=+=+=- ⎪⎝⎭ 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()f x 12π()g x 则， ()cos 2cos 212666g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由的最小正周期为，得，. ()g x π22ππω=1ω=由，得，.22()6x k k ππ-=∈Z 12x k ππ=+k ∈Z 故当取最大值时，的取值集合为. ()f x x ,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）由（1）得， ()cos 2g x x =所以. ()()()22sin 2cos 2sin 3212sin sin 3h x g x x m x x m x x m =++-=++-=-++-根据对任意恒成立，可得对任意恒成立. ()0h x ≥2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24sin sin 1m x x ≥-+2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令，， sin t x =()22115414816r t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以， 2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦易得当时，函数取得最大值，1t =()r t 4所以，故实数的取值范围为.4m ≥m [)4,+∞22. 已知是定义在上的奇函数，其中，且. ()24x a f x x b-=+R ,a b ∈R ()21f =（1）求的值；,a b（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞（3）设，若对任意的，总存在，使得成()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =立，求非负实数的取值范围.m 【答案】（1），0a =4b =（2）在上单调递减，证明见解析()f x [)2,+∞（3）[]0,1【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；(0)0f =()21f =,a b （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案．()g x 【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，()f x R ()00f a =-=0a =又因为，所以，解得， ()21f =()21f ==4b =所以，，则为奇函数， ()244x f x x =+()()244x f x f x x --==-+()f x 所以，.0a =4b =【小问2详解】在上单调递减.()f x [)2,+∞证明如下：设，则， 122x x ≤<()()()()()()1212121222221212164444444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为，则，所以，122x x ≤<12120,1604x x x x --<<()()12f x f x >所以在上单调递减.()f x [)2,+∞【小问3详解】由（2）可知在上单调递减，所以， ()f x []2,4()()max min 4()21,()45f x f f x f ====记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当时，在上单调递减， 0m =()22g x x =-+[]0,1则，得在区间内的值域为. ()()max min ()02,()10g x g g x g ====()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =当时，在上单调递减， 01m <≤()11,g x m≥[]0,1则，得在区间内的值域为， ()()max min ()02,()10g x g m g x g ==-==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =当时，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤()111,2g x m ≤<10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()max min 11()02,()2g x g m g x g m m m ⎛⎫==-==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以无解， 12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142,521,m m m ⎧-+-≤⎪-≥⎩当时，在上单调递减，在上单调递增， m>2()110,2g x m <<10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()max min 11()10,()2g x g g x g m m m ⎛⎫====-+-⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意. 12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，非负实数的取值范围为.m []0,1。

2019-2020学年高一数学下学期第一次在线月考试题（含解析）第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，注意认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.2.下列函数中，在区间上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、对勾函数，复合函数的单调性判断．【详解】在是递增，在上递减，是上的减函数，在上递减．故选：A.【点睛】本题考查函数的单调性，掌握基本初等函数的单调性是解题关键．3.已知函数f（x）=2sin（-3x）+1，则函数的最小正周期为（）A. 8B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用正弦函数的周期公式计算即可求出结果【详解】函数f（x）=2sin（-3x）+1=-2in（3x-）+1．函数的最小正周期T=．故选D．【点睛】本题考查正弦型函数的性质，周期公式的应用.4.已知，则的值等于（）A. B. 4 C. 2 D.【答案】B【解析】【详解】,，，，故选B.考点：分段函数.5.幂函数的图象经过点，则( )A. 是偶函数，且在上单调递增B. 是偶函数，且在上单调递减C. 是奇函数，且在上单调递减D. 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增【答案】D【解析】【分析】设，代入点的坐标求出幂函数解析式，再由幂函数性质判断．【详解】设，则，，即，定义域为，它既不是奇函数，也不是偶函数，在定义域内递增．故选：D.【点睛】本题考查求幂函数的解析式，考查幂函数的性质，属于基础题．6.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间数1、指数函数、对数函数的单调性可得的大小关系.【详解】因为为单调增函数且，所以，故，又为减函数且，所以即，故.故选：D.【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.7.函数是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】试题分析：，而为奇函数.考点：三角函数的性质.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P，则点P的坐标为A. ，B. ，C. ，D.【答案】D【解析】【分析】直接利用任意角三角函数的定义求得点P的坐标．【详解】设，由任意角的三角函数的定义得，，．点P的坐标为．故选D．【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，是基础题．9.已知函数，则下列判断正确的是（）A. 函数是奇函数，且在R上是增函数B. 函数是偶函数，且在R上是增函数C. 函数是奇函数，且在R上是减函数D. 函数是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】【分析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.【详解】的定义域为R，且；∴是奇函数；又和都是R上的增函数；是R上的增函数．故选A．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．10.己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.【详解】由图象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本题正确选项：【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.11.已知定义在R上的函数f（x）对于任意的实数x都满足f （x+3）=-f（x），且当x∈[0，3]时，f（x）=ex-1+3，则f （1228）=（）A. B. 4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由f（x+3）=-f（x）推导函数的周期，利用周期和[0，3]的解析式可求f（1228）的值．【详解】定义在R上的函数f（x）对于任意的实数x都满足f （x+3）=-f（x），∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即函数周期为6，当x∈[0，3]时，f（x）=ex-1+3，∴f（1228）=f（204×6+4）=f（4）=-f（1）=-（e1-1+3）=-4．故选A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数周期的应用，是基础题．12.用区间表示不超过的最大整数，如，设，若方程有且只有3个实数根，则正实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.【详解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点，当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推如上图所示，实数k的取值范围为：k，即实数k的取值范围为：（，]，故选A．【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设是第三象限角，，则______．【答案】【解析】【分析】由是第三象限的角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．【详解】解：，，，又为第三象限角，，，故答案为．【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.计算：______．【答案】5【解析】原式=,故填5.15.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．【答案】5【解析】【分析】通过秒时水量相等得到与之间的关系，再代入秒时的函数关系式中，求得，最终求得.【详解】秒后两桶水量相等若秒后水量为：，即本题正确结果：【点睛】本题考查函数的应用，关键是能够利用函数关系式建立起水量和时间之间的等量关系.16.定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f（x）≥0的解集是___．【答案】 [-4，0]∪[4，+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案.【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f （0）=0，又由f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-4，0）上，f（x）＞0，在（-∞，-4）上，f（x）＜0，若f（x）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4，则不等式f（x）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）；故答案为[-4，0]∪[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知sinα+2cosα=0．（1）求表达式的值；（2）求表达式cos2（-α）-sin（+α）cos（π+α）tan （2019π+α）的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得tanα，然后利用齐次式即可得到结果．（2）利用（1）的结论，进一步对函数的关系式进行恒等变换并化简，最后求出结果【详解】（1）已知：sinα+2cosα=0，所以：tanα=-2，所以：=．（2）cos2（-α）-sin（+α）cos（π+α）tan（2019π+α），=sin2α-cosα•（-cosα）tanα，=sin2α+sinαcosα，=，=，=．【点睛】本题考查同角三角函数关系式和诱导公式的应用，考查齐次式的应用,属于基础题型．18.已知函数为奇函数．求的值；若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】令，则，运用已知解析式，结合奇函数的定义，即可得到a，b的值，进而得到；求出的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．【详解】解：令，则，则．，，．，即有在上递增，由于函数在区间上单调递增，，，解得，．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求解析式和求参数范围，考查运算能力，属于中档题．19.将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位，横坐标缩小至原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．(1)求函数g（x）的解析式；(2)若关于x的方程2g（x）-m=0在x∈[0，]时有两个不同解，求m的取值范围．【答案】(1) g（x）=sin（2x-） (2)【解析】【分析】（1）直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求g（x）的函数关系式．（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，利用函数的单调性的应用求出参数m的取值范围．【详解】（1）函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位，横坐标缩小至原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-）的图象．所以g（x）=sin（2x-）．（2）关于x的方程2g（x）-m=0，所以：，由于：x∈[0，]时，2x-∈，所以：函数在上单调递增，在上单调递减．故：，则：m的取值范围为，所以方程2g（x）-m=0在x∈[0，]时有两个不同解，m的取值范围为．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.科学研究表明：人类对声音有不感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．已知生活中几种声音的强度如表：声音来源强度瓦平方米强弱等级10分贝求a和m的值为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．【答案】（1），；（2）瓦平方米【解析】【分析】（1）通过两个已知的分贝数，代入函数关系式求得和；（2）通过，解出的范围，得到最大值.【详解】（1）将瓦平方米，瓦平方米代入得：则：由题意得：，即：，得，即此时声音强度的最大值为瓦平方米【点睛】本题考查函数模型的应用，属于基础题.21.已知点，是函数（，）图象上任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）【解析】【详解】（1）角的终边经过点，，∵，∴.由时，的最小值为，得，即，∴，∴.（2）∵，∴，当时，，于是，等价于，由，得的最小值为，所以，实数m取值范围是.22.已知函数（1）求证：（2）若函数的图象与直线没有交点，求实数的取值范围；（3）若函数，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据，结合对数运算法则整理即可；（2）函数的图象与直线没有交点，可转化为方程无解，进而转为函数的图象与直线y=a无交点，即可求出结果；（3）先将化简整理，再由换元法处理即可.【详解】（1）证明：；（2）若函数的图象与直线没有交点，则方程无解，即方程无解．令，则在上是单调减函数，又，所以，因为函数的图象与直线y=a无交点；（3）由题意函数，令，则，，函数的图象开口向上，对称轴为直线，故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），综上所述，存在满足条件．【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数零点的应用，根据函数无交点，转化为方程无实根的问题来求解即可，属于常考题型.2019-2020学年高一数学下学期第一次在线月考试题（含解析）第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，注意认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.2.下列函数中，在区间上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、对勾函数，复合函数的单调性判断．【详解】在是递增，在上递减，是上的减函数，在上递减．故选：A.【点睛】本题考查函数的单调性，掌握基本初等函数的单调性是解题关键．3.已知函数f（x）=2sin（-3x）+1，则函数的最小正周期为（）A. 8B.C.D.【答案】D【分析】直接利用正弦函数的周期公式计算即可求出结果【详解】函数f（x）=2sin（-3x）+1=-2in（3x-）+1．函数的最小正周期T=．故选D．【点睛】本题考查正弦型函数的性质，周期公式的应用.4.已知，则的值等于（）A. B. 4 C. 2 D.【答案】B【解析】【详解】,，，，故选B.考点：分段函数.5.幂函数的图象经过点，则( )A. 是偶函数，且在上单调递增B. 是偶函数，且在上单调递减C. 是奇函数，且在上单调递减D. 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增【答案】D【解析】设，代入点的坐标求出幂函数解析式，再由幂函数性质判断．【详解】设，则，，即，定义域为，它既不是奇函数，也不是偶函数，在定义域内递增．故选：D.【点睛】本题考查求幂函数的解析式，考查幂函数的性质，属于基础题．6.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间数1、指数函数、对数函数的单调性可得的大小关系.【详解】因为为单调增函数且，所以，故，又为减函数且，所以即，故.故选：D.【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.7.函数是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】A试题分析：，而为奇函数.考点：三角函数的性质.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P，则点P的坐标为A. ，B. ，C. ，D.【答案】D【解析】【分析】直接利用任意角三角函数的定义求得点P的坐标．【详解】设，由任意角的三角函数的定义得，，．点P的坐标为．故选D．【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，是基础题．9.已知函数，则下列判断正确的是（）A. 函数是奇函数，且在R上是增函数B. 函数是偶函数，且在R上是增函数C. 函数是奇函数，且在R上是减函数D. 函数是偶函数，且在R上是减函数【解析】【分析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.【详解】的定义域为R，且；∴是奇函数；又和都是R上的增函数；是R上的增函数．故选A．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．10.己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.【详解】由图象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本题正确选项：【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.11.已知定义在R上的函数f（x）对于任意的实数x都满足f（x+3）=-f（x），且当x∈[0，3]时，f（x）=ex-1+3，则f（1228）=（）A. B. 4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由f（x+3）=-f（x）推导函数的周期，利用周期和[0，3]的解析式可求f（1228）的值．【详解】定义在R上的函数f（x）对于任意的实数x都满足f（x+3）=-f（x），∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即函数周期为6，当x∈[0，3]时，f（x）=ex-1+3，∴f（1228）=f（204×6+4）=f（4）=-f（1）=-（e1-1+3）=-4．故选A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数周期的应用，是基础题．12.用区间表示不超过的最大整数，如，设，若方程有且只有3个实数根，则正实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.【详解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点，当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推如上图所示，实数k的取值范围为：k，即实数k的取值范围为：（，]，故选A．【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设是第三象限角，，则______．【答案】【解析】【分析】由是第三象限的角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．【详解】解：，，，又为第三象限角，，，故答案为．【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.计算：______．【答案】5【解析】原式=,故填5.15.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．【答案】5【解析】【分析】通过秒时水量相等得到与之间的关系，再代入秒时的函数关系式中，求得，最终求得.【详解】秒后两桶水量相等若秒后水量为：，即本题正确结果：【点睛】本题考查函数的应用，关键是能够利用函数关系式建立起水量和时间之间的等量关系.16.定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（4）=0，则不等式f（x）≥0的解集是___．【答案】 [-4，0]∪[4，+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案.【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，又由f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-4，0）上，f（x）＞0，在（-∞，-4）上，f（x）＜0，若f （x）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4，则不等式f（x）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）；故答案为[-4，0]∪[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知sinα+2cosα=0．（1）求表达式的值；（2）求表达式cos2（-α）-sin（+α）cos（π+α）tan（2019π+α）的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得tanα，然后利用齐次式即可得到结果．（2）利用（1）的结论，进一步对函数的关系式进行恒等变换并化简，最后求出结果【详解】（1）已知：sinα+2cosα=0，所以：tanα=-2，所以：=．（2）cos2（-α）-sin（+α）cos（π+α）tan（2019π+α），=sin2α-cosα•（-cosα）tanα，=sin2α+sinαcosα，=，=，=．【点睛】本题考查同角三角函数关系式和诱导公式的应用，考查齐次式的应用,属于基础题型．18.已知函数为奇函数．求的值；若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】令，则，运用已知解析式，结合奇函数的定义，即可得到a，b的值，进而得到；求出的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．【详解】解：令，则，则．，，．，即有在上递增，由于函数在区间上单调递增，，，解得，．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求解析式和求参数范围，考查运算能力，属于中档题．19.将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位，横坐标缩小至原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．(1)求函数g（x）的解析式；(2)若关于x的方程2g（x）-m=0在x∈[0，]时有两个不同解，求m的取值范围．【答案】(1) g（x）=sin（2x-） (2)【解析】【分析】（1）直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求g（x）的函数关系式．（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，利用函数的单调性的应用求出参数m的取值范围．【详解】（1）函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位，横坐标缩小至原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-）的图象．所以g（x）=sin（2x-）．（2）关于x的方程2g（x）-m=0，所以：，由于：x∈[0，]时，2x-∈，所以：函数在上单调递增，在上单调递减．故：，则：m的取值范围为，所以方程2g（x）-m=0在x∈[0，]时有两个不同解，m的取值范围为．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.科学研究表明：人类对声音有不感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米，它的强弱等级分贝．已知生活中几种声音的强度如表：声音来源强度瓦平方米强弱等级分贝10求a和m的值为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值．【答案】（1），；（2）瓦平方米【解析】【分析】（1）通过两个已知的分贝数，代入函数关系式求得和；（2）通过，解出的范围，得到最大值.【详解】（1）将瓦平方米，瓦平方米代入得：则：由题意得：，即：，得，即此时声音强度的最大值为瓦平方米【点睛】本题考查函数模型的应用，属于基础题.21.已知点，是函数（，）图象上任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）【解析】【详解】（1）角的终边经过点，，∵，∴.由时，的最小值为，得，即，∴，∴.（2）∵，∴，当时，，于是，等价于，由，得的最小值为，所以，实数m取值范围是.22.已知函数（1）求证：（2）若函数的图象与直线没有交点，求实数的取值范围；（3）若函数，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据，结合对数运算法则整理即可；（2）函数的图象与直线没有交点，可转化为方程无解，进而转为函数的图象与直线y=a无交点，即可求出结果；（3）先将化简整理，再由换元法处理即可.【详解】（1）证明：；（2）若函数的图象与直线没有交点，则方程无解，即方程无解．令，则在上是单调减函数，又，所以，因为函数的图象与直线y=a无交点；（3）由题意函数，令，则，，函数的图象开口向上，对称轴为直线，故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），综上所述，存在满足条件．【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数零点的应用，根据函数无交点，转化为方程无实根的问题来求解即可，属于常考题型.。

2019-2020学年高一数学下学期第一次在线月考试题（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合中元素满足的性质，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论【详解】解：集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；故选．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键,属于基础题．2.下列函数中，既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，是奇函数，不符合题意；对于，，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于，，是偶函数，但在上是增函数，不符合题意；对于，，为开口向下的二次函数，既是偶函数，又是上的减函数，符合题意；故选．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合三角函数的性质和周期公式求解即可【详解】分析可知，选项A，C要排除，皆为偶函数，C中，对于D：，对于B：故选：B【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，复合型三角函数周期的求解，属于基础题5.要得到函数f（x）=cos（2x-）的图象，只需将函数g（x）=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律即可得解．【详解】解：，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可．故选．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．6.已知函数，则（）A. 4B. 1C. 0D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，从而.【详解】因为函数，所以，，故选B.【点睛】本题考查分段函数求值，通过计算判断位于哪个分段区间，从而选择应用对应区间的函数进行运算.7.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．【详解】因为单调递增，且是连续函数，故函数至多有一个零点，因为，，所以，所以函数的零点所在区间是,故选C．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8.已知幂函数的图象过点，若,则实数的值为（）A. 9B. 12C. 27D. 81【答案】D【解析】【分析】由幂函数的图象过点，求得函数解析式，由，利用解析式列方程求解即可.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，，因为,所以解得，∴实数的值为81,故选D．【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题．9.已知，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质，由三角函数的性质，所以，所以，故选B.10.已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．11.已知全集为，函数的定义域为集合，且，则的取值范围是（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由可得，，再通过A 为的子集可得结果.【详解】由可知，，所以，，因为，所以，即，故选C.【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.12.已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由是奇函数，可得的图像关于中心对称，再由已知可得函数的三个零点为-4，-2，0，画出的大致形状，数形结合得出答案.【详解】由是把函数向右平移2个单位得到的，且，，，画出的大致形状结合函数的图像可知，当或时，，故选C.【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数(且)图象恒过点，则点坐标为________.【答案】【解析】令，即，有.所以.故答案为.14.计算值为 .【答案】【解析】.故答案为.点睛：本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）15.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是．点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案．16.衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积随时间的变化规律是（为自然对数的底），其中为初始值.若，则的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：【答案】11【解析】由题意，设一个现樟脑变为时，需要经过的时间为，则，即，所以，所以.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上.(1)求的值；(2)求的值.【答案】（1）（2）3【解析】【详解】（1）由于角终边在射线上，可设终边上一点，则，，，，此时.(2)，∵，∴原式.18.已知函数.(1)判断在区间上的单调性并证明；(2)求的最大值和最小值.【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析；（2）的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义, 设，判断的正负，证明出函数在上的单调性为增函数;（2）由（1）得出的函数的单调性为单调递增,从而得出函数在区间上的最大值为与最小值为，求出其函数值得最值.【详解】（1）函数在上为增函数，证明如下：设是上的任意两个实数，且，则．∵，∴，∴，即，∴函数在上为增函数．(2)由（1）知函数在单调递增，所以函数的最小值为，函数的最大值为．故得解.【点睛】本题考查函数的单调性的定义,单调性的证明以及运用函数单调性求函数的最值，属于基础题..19.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，超过30度时，超过部分按每度0.5元.方案二：不收管理费，每度0.48元.（1）求方案一收费元与用电量（度）间的函数关系；（2）小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？（3）小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【答案】（1）（2）70度（3）见解析【解析】【分析】⑴分，两种情况讨论即可；⑵通过分别令当时，时，计算即可得到答案；⑶通过分别令当时，时，由，计算即可得到结论【详解】（1）当时，；当时，，∴（2）当时，由，解得，舍去；当时，由，解得，∴李刚家该月用电70度（3）设按第二方案收费为元，则，当时，由，解得：，解得：，∴；当时，由，得：，解得：，∴；综上，.故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好.【点睛】本题主要考查的是分段函数模型的应用，掌握分段函数的有关知识是解题的关键．20.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上取得最小值时对应的角度为，求半径为2，圆心角为的扇形的面积.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由图象观察，最值求出，周期求出，特殊点求出，所以；（2）由题意得，所以扇形面积．试题解析：(1)∵，∴根据函数图象，得.又周期满足，∴.解得.当时，. ∴.∴.故.(2)∵函数的周期为，∴在上的最小值为-2.由题意，角满足，即.解得.∴半径为2，圆心角为的扇形面积为.21.已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称.（1）求的解析式；（2）先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求的单调递增区间以及的取值范围.【答案】（1）；（2）单调区间为，不等式解集为.【解析】试题分析：（1）由已知可得，进而求解值，在根据的图象关于对称，求解的值，即可求得函数的解析式；（2）由（1）可得，利用三角函数的图象与性质，即可求解的取值范围.试题解析：（1）由已知可得，∴又的图象关于对称，∴，∴，∵，∴.所以，（2）由（1）可得，∴，由得，，的单调递增区间为，.∵，∴，∴，∴.点睛：本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及到正弦型函数的单调性，周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.22.已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性并证明；(2)若关于不等式在有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）由为奇函数可知，，即可得解；（2）由递增可知在上为减函数，对于任意实数，不妨设，化简判断正负即可证得；（3）不等式，等价于，即，原问题转化为在上有解，求解的最大值即可.试题解析解：(1)由为奇函数可知，，解得.(2)由递增可知在上减函数，证明：对于任意实数，不妨设，∵递增，且，∴，∴，∴，故在上为减函数.(3)关于的不等式，等价于，即，因为，所以，原问题转化为在上有解，∵在区间上为减函数，∴，的值域为，∴，解得，∴的取值范围是.点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.2019-2020学年高一数学下学期第一次在线月考试题（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合中元素满足的性质，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论【详解】解：集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；故选．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键,属于基础题．2.下列函数中，既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，是奇函数，不符合题意；对于，，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于，，是偶函数，但在上是增函数，不符合题意；对于，，为开口向下的二次函数，既是偶函数，又是上的减函数，符合题意；故选．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合三角函数的性质和周期公式求解即可【详解】分析可知，选项A，C要排除，皆为偶函数，C中，对于D：，对于B：故选：B【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，复合型三角函数周期的求解，属于基础题5.要得到函数f（x）=cos（2x-）的图象，只需将函数g（x）=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律即可得解．【详解】解：，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可．故选．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．6.已知函数，则（）A. 4B. 1C. 0D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，从而.【详解】因为函数，所以，，故选B.【点睛】本题考查分段函数求值，通过计算判断位于哪个分段区间，从而选择应用对应区间的函数进行运算.7.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．【详解】因为单调递增，且是连续函数，故函数至多有一个零点，因为，，所以，所以函数的零点所在区间是,故选C．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8.已知幂函数的图象过点，若,则实数的值为（）A. 9B. 12C. 27D. 81【答案】D【解析】【分析】由幂函数的图象过点，求得函数解析式，由，利用解析式列方程求解即可.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，，因为,所以解得，∴实数的值为81,故选D．【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题．9.已知，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质，由三角函数的性质，所以，所以，故选B.10.已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．11.已知全集为，函数的定义域为集合，且，则的取值范围是（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由可得，，再通过A为的子集可得结果.【详解】由可知，，所以，，因为，所以，即，故选C.【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解. 12.已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由是奇函数，可得的图像关于中心对称，再由已知可得函数的三个零点为-4，-2，0，画出的大致形状，数形结合得出答案.【详解】由是把函数向右平移2个单位得到的，且，，，画出的大致形状结合函数的图像可知，当或时，，故选C.【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数(且)图象恒过点，则点坐标为________.【答案】【解析】令，即，有.所以.故答案为.14.计算值为 .【答案】【解析】.故答案为.点睛：本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）15.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是．点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案．16.衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积随时间的变化规律是（为自然对数的底），其中为初始值.若，则的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：【答案】11【解析】由题意，设一个现樟脑变为时，需要经过的时间为，则，即，所以，所以.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上. (1)求的值；(2)求的值.【答案】（1）（2）3【解析】【详解】（1）由于角终边在射线上，可设终边上一点，则，，，，此时.(2)，∵，∴原式.18.已知函数.(1)判断在区间上的单调性并证明；(2)求的最大值和最小值.【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析；（2）的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义, 设，判断的正负，证明出函数在上的单调性为增函数;（2）由（1）得出的函数的单调性为单调递增,从而得出函数在区间上的最大值为与最小值为，求出其函数值得最值.【详解】（1）函数在上为增函数，证明如下：设是上的任意两个实数，且，则．∵，∴，∴，即，∴函数在上为增函数．(2)由（1）知函数在单调递增，所以函数的最小值为，函数的最大值为．故得解.【点睛】本题考查函数的单调性的定义,单调性的证明以及运用函数单调性求函数的最值，属于基础题..19.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，超过30度时，超过部分按每度0.5元.方案二：不收管理费，每度0.48元.（1）求方案一收费元与用电量（度）间的函数关系；（2）小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？（3）小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【答案】（1）（2）70度（3）见解析【解析】【分析】⑴分，两种情况讨论即可；⑵通过分别令当时，时，计算即可得到答案；⑶通过分别令当时，时，由，计算即可得到结论【详解】（1）当时，；当时，，∴（2）当时，由，解得，舍去；当时，由，解得，∴李刚家该月用电70度（3）设按第二方案收费为元，则，当时，由，解得：，解得：，∴；当时，由，得：，解得：，∴；综上，.故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好.【点睛】本题主要考查的是分段函数模型的应用，掌握分段函数的有关知识是解题的关键．20.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上取得最小值时对应的角度为，求半径为2，圆心角为的扇形的面积.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由图象观察，最值求出，周期求出，特殊点求出，所以；（2）由题意得，所以扇形面积．试题解析：(1)∵，∴根据函数图象，得.又周期满足，∴.解得.当时，. ∴.∴.故.(2)∵函数的周期为，∴在上的最小值为-2.由题意，角满足，即.解得.∴半径为2，圆心角为的扇形面积为.21.已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称.（1）求的解析式；（2）先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求的单调递增区间以及的取值范围.【答案】（1）；（2）单调区间为，不等式解集为.【解析】试题分析：（1）由已知可得，进而求解值，在根据的图象关于对称，求解的值，即可求得函数的解析式；（2）由（1）可得，利用三角函数的图象与性质，即可求解的取值范围.试题解析：（1）由已知可得，∴又的图象关于对称，∴，∴，∵，∴.所以，（2）由（1）可得，∴，由得，，的单调递增区间为，.∵，∴，∴，∴.点睛：本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及到正弦型函数的单调性，周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.22.已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性并证明；(2)若关于不等式在有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）由为奇函数可知，，即可得解；（2）由递增可知在上为减函数，对于任意实数，不妨设，化简判断正负即可证得；（3）不等式，等价于，即，原问题转化为在上有解，求解的最大值即可.试题解析解：(1)由为奇函数可知，，解得.(2)由递增可知在上减函数，证明：对于任意实数，不妨设，∵递增，且，∴，∴，∴，故在上为减函数.(3)关于的不等式，等价于，即，因为，所以，原问题转化为在上有解，∵在区间上为减函数，∴，的值域为，∴，解得，∴的取值范围是.点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.。

一中2021-2021学年度下学期第一次月考试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高一数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部， 满分是150分，考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择题 一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的，请将答案写在答题卷上。

〕 1、 以下说法正确的选项是〔 〕 A 单位向量都相等。

0,0a a ==B 若则。

C 大小不同的角，其弧度数一定不一样。

D 三角形内角为第一象限角或者第二象限角。

2sin 600tan 24011A BCD2222+-+、的值是（ ） -A y cos(2)22sin()Dy cos()22x B y x Cy x x πππππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+=+=+=+3、下列函数中，周期为，且在，上为减函数的是( )42=sin(2)4()61111ABCD6432y x y tan x ππωωπωω+>=+4、若函数=tan()(0)的图像向右平移个单位长度后，6与函数的图像重合，则的最小值为（ ）45cos 25A =4cos(4-)B4(4)55444cos(4)55y x y x y sin x Cy x D y =4sin(4x )ππππππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+=-+、将函数的图像上各点向右平移个单位长度，2再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到图像的函数解析式是（ ）2716sin()log ,2922A B C D 33πααππα-=∈±、若且（-,0），则cos(+)的值为（ ）2-以上都不对312127()2sin(),()()()35A6B3C1D3f x x x R f x f x f x x x ππππ=+∈≤≤-、函数对任意都有成立，则的最小值是（ ） {}{}220118A sin ,cot ,1,sin ,sin cos ,0,A B cos()A 0B1C3D1B ααααααα==++=-2011、已知若=，则sin 9cos1sin130A1B1C 1D 1222x y πππ+-=+--+、直线的倾斜角是（ ）10R ()3()(),(1)1,(0)2,(1)(2)(3)(2011)2A 1B 1C 0D 2f x x f x f x f f f f f f =-+-==-++++--3、定义在上的函数的图像关于点（-,0）成中心对称，对任意的实数都有4且则的值为（ ）第二卷 〔非选择题 一共100分〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。

数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，仅有一个是正确选项）1.在等差数列}{n a ，32=a ，95=a ,则=3a ( )A ．4B ．5C ．6D ．72.A ．090B ．0135C ．0120D ．01503.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,,若3,2,7π===A b a ,则=B sin ( ) A.721 B.22 C.77 D.721- 4．在数列}{n a 中，11=a ，111+=-n n a a ，则4a 等于( ) A.53 B.43 C ．1 D.23 5.设数列}{n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,,且满足cbA =cos ，则该三角形为（ ）A ． 等腰三角形B ． 等腰直角三角形C ． 等边三角形D ． 直角三角形7.在△ABC 中，c b a ,,成等比数列，且a c 2=，则B cos ＝( )A.41 B. 43 C. 42 D.32 8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()ABC 已知的三边长分别为则它的最大内角的度数是（ ）A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里A ．6B ．7C ．6或7D ．810.在△ABC 中，552cos=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB ( ) A.4 2 B.30 C.29 D.2 511.在等比数列}{n a 中，若84,a a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是( )A ．± 2B ．－ 2 C. 2 D ．±212.已知数列}{n a ：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若11+=n n n a a b ，那么数列}{n b 的前n 项和为( ) A.1+n n B.14+n n C.13+n n D.15+n n 第Ⅱ卷 （非选择题 90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列}1{22+n n ，则0.98是它的第________项.14.若数列}{n a 的通项公式是)23()1(--=n a n n ，则=++++2020321a a a a ____________.15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,,且满足8,5:4:3sin :sin :sin ==b C B A ,则△ 的外接圆的半径为 .{}35724630,45,n n n a ++=++=9.设等差数列的前n 项和为S ，且满足a a a a a a 则当S 取得最大值时，n 的值为（ ）ABC16.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,,41cos -=A ,87cos =B ，且2=b ，则△ABC 的面积为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. (10分）（1）在等比数列}{n a 中，公比为q ，前n 项和为n S .已知31=a ，,2=q求6a 与6S .（2）在等差数列}{n a 中，公差为d ，前n 项和为n S .已知,10,15,2-===n a n d求1a 与.n S8.(12分）设}{n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。