3.4 向量组的秩

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向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。

定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。

2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。

3、等价的向量组具备成正比的秩。

4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。

6、任意n+1个n维向量线性相关。

矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。

一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。

行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。

矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

a2 , a3 ; a1, a3 也是 A 的最大无关组。
课件 4
二、矩阵与向量组秩的关系
阵 的 秩 等 于 它 的 列 向 量 组 的 秩 ， 也 等 于 定理4 矩
它 的 行 向 量 组 的 秩 . 证 设 A ( a , a , , a ) ， R ( A ) r , 并 设 r 阶 子 式 D 0 . 1 2 m r
解

求最大无关组，即求出矩阵的最高阶非零 子式。将A变为最简形矩阵，可求出最高 阶非零子式。同时可求出A的最大线性无 关组与表示。
课件 8
1 1 1 2 2 1 1 2 1 4 例 2 设 矩 阵 A 4 6 2 2 4 9 7 9 3 6 求 矩 阵 A 的 列 向 量 组 的 一 个 最 大 无 关 组 ， 并 把 不 属 最 大 无 关 组 的 列 向 量 用 最 大 无 关 组 线 性 表 示 .
课件 2
向量组的秩
最 大 无 关 组 所 含 向 量 个 数 r 称 为 向 量 组 的 秩 .
只 含 零 向 量 的 向 量 组 没 有 最 大 无 关 组 ， 规 定 它 的 秩 为 0 .
课件
3
例如：对于向量组 A ：
a1 = ( 1, 2, －1), a2 = (2, －3, 1) , a3 = (4, 1, －1) 1 2 1 A 2 3 1 0 所以a1, a2 , a3线性相关。 4 1 1 a1, a2 为 A 的一个最大无关组; a ,a 线 性 无 关 ， 1 2
0 0 0 0 1 103 0 0
2
1 1 1 2 1 4 1 0 104 (r2 r3 ) ( ) r1 r2 r3 3 0 1 1 0 3 0 1 1 0 3

向量组的秩反映了向量组的线性相关性和向量的独立性，它对于解决线性方程组和矩阵相关 问题非常重要。
在数学、物理中的应用
向量组的秩在数学和物理领域有着广泛的应用，例如解决线性方程组、矩阵分析、以及空间 几何等问题。
向量组的秩的发展趋势
随着数学和科学的不断发展，向量组的秩的研究也在不断深化，新的应用和问题不断产生。
向量组的秩
向量组的秩是线性代数中一个重要的概念，它涉及了向量组的定义、线性相 关和线性无关、以及秩的计算方法。本课件将带你领略向量组的奥秘和应用。
向量组的定义和基本性质
向量组的概念
向量组是由一组向量构成的集合，它可以用于描 述多个有关联的量。
向量组的线性相关和线性无关
向量组中的向量可能具有相关性，也可能是线性 无关的，这取决于线性方程组的解的个数。
2
等价向量组的秩相等
对于等价向量组，它们的秩是相等的。而等价向量组是通过初等行变换相互转化而得到的。
3
初等行变换与秩的关系
通过初等行变换可以改变矩阵的行，而秩受到这些变换的影响。
4
矩阵的秩和向量组的秩
矩阵的秩和矩阵所表示的向量组的秩是相等的，它们之间有着密切的联系。

线性方程组和矩阵的应用
齐次线性方程组的解 的性质
向量组的线性表示
向量组可以通过线性组合表示其他向量，例如向 量a和向量b的线性组合为ka+lb。
向量组的极大线性无关组和秩的定义
一个向量组的极大线性无关组是该向量组的最大 线性无关集合。向量组的秩是极大线性无关组的 向量个数。
秩的性质和计算方法
1
秩的基本性质
秩满足一系列性质，例如当线性方程组有唯一解时，其秩等于方程组中的未知数个数。