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充分条件与必要条件的解题技巧

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1 / 4 充分条件与必要条件

1. 定义：

对于“若p则q”形式的命题：

①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若且，则是成立的必要不充分条件；

④若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.

⑤若且，则是成立的既不充分也不必要条件．

从集合的观点上

关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系．

建立与、相应的集合，即成立，成立．

若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件；

若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；

若，则是成立的充要条件；

若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件．

例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的

[ ]

A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根∴x1，x2的值分别为1，－6，

∴x1＋x2＝1－6＝－5．

因此选A．

变式1设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的

[ ]

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

例2 p是q的充要条件的是

[ ]

A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5

B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 qppqpqpqqppqpqpq:pAxpx:qBxqxABpqABpqBApqBApqABpqpq………………………………………………最新资料推荐………………………………………

2 / 4 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解

解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；

对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；

对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；

说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解

例3（年北京）“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

分解：当时，，即．反之，当时，有，

或，即．

综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A．

变式3 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

[ ]

A．0＜a≤1B．a＜1

C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0

例4（2008福建)设集合,,那么“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．

解：∵，

∴.

故选A．

例5．已知p：40xm，q：220xx，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围

解：由p：40xm得4mx；由q：220xx得1x或2x

∵p是q的一个充分不必要条件，∴只有pq成立，∴14m，∴4m 对．且，即，是的充要条件．选．DpqqppqpqD20092()6kkZ1cos222()6kkZ1cos2cos4cos332kpq1cos222236kkkZ2236kkkZqp2()6kkZ1cos2201xAxx03BxxmAmB01AxxAB………………………………………………最新资料推荐………………………………………

3 / 4 变式5已知命题：，命题：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．

例6已知命题：有两个不等的负根，命题：10无实数根．若命题与命题有且只有一个为真，求实数的取值范围．

分析：对命题和命题的条件进行化简可得的范围，再对、的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出的取值范围．

解：∵方程有两个不等的负根，

∴，解得.

∵方程无实数根，

∴，解得.

若命题为真，命题为假，则，得.

若命题为假，命题为真，则，得.

综上所述，实数的取值范围为或．

变式6命题p：关于x的不等式2240xax对一切xR恒成立；

命题q：函数()afxlagx在(0,)上递增

若pq为真，而pq为假，求实数a的取值范围。

【解释】

变式1解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．

∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5

∴甲是乙的充分不必要条件，选A．

变式3解：用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝

当a≠0时

p1123xq222100xxmmpqmp210xmxq2442xmxpqmpqmpqm210xmx2400mm2m2442xmx102162160m13mpq213mmm或3mpq213mm12mm12m3m－．故排除、、选．12ABDC解常规方法：当＝时，＝－． a0x121a0ax2x10021a0a12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．24422aa………………………………………………最新资料推荐………………………………………

4 / 4

综上所述a≤1．

即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．

变式5解：记，

∵￢是￢的充分不必要条件，

∴是的充分不必要条件，即.

∴，解得.

所以实数的取值范围是

变式6．解：命题p：关于x的不等式2240xax对一切xR恒成立；

pT22240a，即22a

命题q：函数()afxlagx在(0,)上递增；qT1a

∵pq为真，而pq为假，∴pq一真一假

p真q假时，pT22a；qF1a;∴21a

p假q真时，pF22aa或；qF1a;∴2a 2a0ax2x100221a21a1a02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．2442aa1122103xAxxx222100110BxxxmmxmxmmpqqpBA012110mmm03mm03m

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充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

３４　中学数学　２００２年第８期　

充分条件与必要条件　

２１１７００　江苏省盱眙县中学　周以宏４３２７３１　湖北省广水市四中　黄立俊　

［复习说明］　

数学是逻辑性很强的学科，数学离不开　

各种等价转化与非等价转化，这些都以充分　

或必要条件及有关概念为基础．因此，掌握充　

分条件，必要条件，充要条件的本质含义，并　

灵活运用它们进行推理判断是至关重要的．　

充分条件与必要条件是对命题进行研究的重　

要途径，因而这部分知识是以往每年高考的　

必考内容，试题的取材可涉及中学数学内容　

的各个单元。着重考查逻辑推理能力．　

［内容提要］　

１．从逻辑关系上判断条件　

条件Ｐ与结论ｑ　结论　

的关系　

户是口成立的充分而　Ｐ　ｑ，但ｑ　Ｐ　不必要条件　

Ｐ是ｑ成立的必要而　ｑ　Ｐ，但Ｐ　ｑ　不充分条件　

Ｐ　ｑ且ｑ　Ｐ，　Ｐ是ｑ成立的充分必　

即Ｐ圆ｑ　要条件　

Ｐ是ｑ的既不充分也　Ｐ　ｑ，且ｑ　Ｐ　不必要条件　

，－ｙ｝．　２．从集合观点上理解条件　

记Ａ一｛　Ｉ户（　）成立｝，Ｂ一｛　Ｉｇ（ｚ）成　

若Ａ　Ｂ，则Ｐ是口的充分条件；若Ａ　Ｂ，　

则Ｐ是ｑ的充分而不必要条件．　

若Ｂ　Ａ，则Ｐ是ｑ的必要条件；若Ｂ　，　

则Ｐ是ｑ的必要而不充分条件．　

若Ａ＝Ｂ．则Ｐ、ｑ互为充要条件．　

若　Ｂ且Ｂ　，则Ｐ与ｑ互为既不充分也　

不必要条件．　

３．从文字表述上释译条件　

如对于充要条件，要熟悉它的同义词语　

为“当且仅当”，“必须且只须”，“等价于”，“…　

反过来也成立”，等等．　［范例精讲］　

类型Ｉ　四类条件的判断　

例１　设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是　

乙的必要条件，丙是乙的充分而不必要条件．　

那么（　）．　

（Ａ）丙是甲的充分而不必要条件　

（Ｂ）丙是甲的必要而不充分条件　

（Ｃ）丙是甲的充要条件　（Ｄ）丙既不是甲的充分条件，也不是甲的　

必要条件　

分析　由已知，甲ｅ乙，乙毒丙，故甲毒　

丙，所以丙是甲的充分而不必要条件，选（Ａ）．　

说明　在判断充分条件与必要条件时，　

充分条件与必要条件 2

充分条件与必要条件 2

充分条件与必要条件

“充分条件与必要条件”反思

 《充分条件与必要条件》是一节原理规则课，与一般的新知识教授课不同

之处在于，它不需要通过一系列的探究，得出相应的知识内容。所以在本堂

课的教学设计中，知识概念的得到是通过直接给出的方式。但看似简单的定

义，在学生理解上确是显得不那幺简单，几乎所有学生对这一概念表述的认

知存在漏洞。笔者在如何突破这一难点上作了较多精细的准备，在整堂课中

也呈现出几个成功之处，同时结合自身存在的一些问题得到了以下几点反

思： 1.巧用方法突破难点

 本堂课的难点所在是对“必要条件”的理解，而在突破这一难点的过程中，

笔者设计了如下几个环节，达到了较好的教学效果。 (1)发挥教材功能

 教材中的概念具有较强的抽象性、概括性的“学术形态”知识呈现出来，在

教学中教师须钻研透教材，吃透教材中的概念,并将其转化为易于学生理解“教育形态”知识，挖掘、开发出其潜在教学功能。在必要条件的教学过程

中，笔者观察到教材方框中关于是的必要条件的原因表述，并充分利用这一

内容通过要求学生结合其他例子类比表述，使学生对条件的“必要性”进行认

知。 (2)引导认知冲突

 在对“必要条件”有了一定理解后，笔者通过学生举例，并针对其中一个例

子：，进行分析，与学生对充分条件必要条件的认知发生冲突，引起学生的

思考。同时在教师的引导下，学生通过自主探究，对条件的必要性有了进一

数学高中充分条件与必要条件知识点总结

数学高中充分条件与必要条件知识点总结

数学高中充分条件与必要条件知识点总结

一、知识概述

《数学高中充分条件与必要条件知识点》

①基本定义：

- 充分条件：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，但未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。简单说，就是只要A成立，B就一定成立，那A就是B的充分条件。比如，天上下雨（A），地面湿（B），只要天上下雨，地面肯定湿，那“下雨”就是“地面湿”的充分条件。

- 必要条件：如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。也就是说，只有A成立了，B才有成立的可能，A不成立，B肯定不成立，那A就是B的必要条件。举个例子，我们想要考上大学（B），就必须好好学习（A），如果不好好学习就肯定考不上大学，那“好好学习”就是“考上大学”的必要条件。

②重要程度：

在高中数学中，充分条件与必要条件是逻辑推理的重要基础内容。它是我们理解数学命题之间关系的关键，在解决很多数学问题尤其是关于函数、不等式、几何证明等方面都有广泛应用。要是这个部分没学好，那后面很多涉及逻辑推导的知识学习就会有困难。 ③前置知识：

同学得先掌握基本的命题概念，以及对简单因果关系有一定理解，像如果这个事发生了，会导致另外一个什么事，这种最基本的逻辑关系要心中有数。另外，对集合知识有初步了解的话有助于理解充分条件和必要条件，因为从某种程度上来说，它们和集合之间有着紧密联系。

④应用价值：

在实际生活中，充分条件和必要条件的逻辑有助于我们进行各种决策判断。例如，一个公司要推出一款新产品（B），那首先要进行市场调研（A），如果没有市场调研，产品推出就很可能失败，所以“市场调研”就是“产品推出”的必要条件。从数学学习内部来讲，在解决函数定义域、值域等问题，以及通过条件推导出几何图形之间的关系都离不开这些知识。

二、知识体系

①知识图谱：

充分条件与必要条件的判断技巧

充分条件与必要条件的判断技巧

课程篇　

充分条件与必要条件的判断技巧　

孙大猛　

（安徽省寿县第二中学）　

摘要：充分条件与必要条件是高中数学的重要概念之一，在高中数学的各个部分都要用到，是高考考查的重点与热点，而且常　

以选择题或填空题的形式出现，学生要重视这一概念的理解与运用，并能熟练地判断充分条件与必要条件，结合几个例题说明充要条　

件判断的常用技巧。　

关键词：充分条件；必要条件；判断技巧　

技巧１．利用定义判断　

具体思路为：（１）首先分清条件是什么，结论是什么；（２）接着　

尝试用条件推结论（说明充分性），或用结论（作为条件）推条件　

（作为结论）（说明必要性）；（３）最后指出条件是结论的什么条件。　

例１．“ａ＞ｂ”是“ｌｏｇ２ａ＞ｌｏｇ２ｂ”的（　）　

Ａ．充分不必要条件　Ｂ．必要不充分条件　

ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件　

解：当ａ或ｂ取负数时，对数的真数小于零，此时对数无意　

义，反之，若“ｌｏｇ２ａ＞ｌｏｇ２ｂ”则ａ＞ｂ＞０，故选Ｂ．　

点评：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，首先要弄清　

哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，同样是Ａ　Ｂ若Ａ作为条件，　

Ｂ作为结论，则Ａ是Ｂ的充分条件，若把Ｂ作为条件，Ａ作为结　

论，则Ａ是Ｂ的必要条件，其次在判断是Ａ蕴含Ｂ，还是Ｂ蕴含　

Ａ，即到底向哪一边推才能得出正确结果，兼顾这两个方面就能　

做出正确的选择。　

技巧２．借助原命题与其逆否命题为等价命题理解充分条件　

与必要条件　根据充分条件和必要条件的定义，可知如果命题“若Ｐ，则ｑ”　

为真，则Ｐ是ｑ的充分条件，ｑ是Ｐ的必要条件，可见命题中蕴含　着逻辑条件，运用逻辑条件也可判断命题的真假，这就是命题与　

逻辑条件之间的关系：（１）用命题真假判断逻辑条件，（２）用逻辑　

条件判断命题的真假，（５）命题的真假与逻辑条件的循环转化。原　

命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，当我们直接判断原　

命题的真假有困难时，可以转化为判断与其等价的逆否命题的真　

假，从而联系到充分条件与必要条件的判断，这一点在充分、必要