求导公式知识点归纳总结

求导公式知识点归纳总结

一、基本导数公式

1. 基本导数：

函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)

函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)

函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)

函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)

函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)

2. 基本导数的性质：

（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0

（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)

（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)

（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

（6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：

（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0

（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)

（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x

（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x

（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx

（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为 f'(x) = 1 / √(1 - x^2)

二、常见函数的导数

1. 常见初等函数的导数：

（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1) （2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)

（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))

（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx

（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx

（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)

2. 常用初等函数的导数：

（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0

（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)

（3）指数函数 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)

（4）对数函数 f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))

（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx

（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx

（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为 f'(x) = 1 / √(1 - x^2)

3. 常见非初等函数的导数：

（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|

（2）分段函数 f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为 f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}

三、高阶导数

1. 高阶导数的定义：

高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。我们用f^(n)(x)来表示函数f(x)的n阶导数。

根据求导的定义，我们可以得到高阶导数的通项公式为：

f^(n)(x) = (f^(n-1))'(x)

2. 高阶导数的计算：

（1）计算高阶导数时，一般采用多次应用基本导数公式来进行计算。 （2）在计算高阶导数时，要注意对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等特殊函数，要尤其注意运用基本导数公式进行计算。

3. 高阶导数的应用：

高阶导数在实际问题中有着广泛的应用，比如用高阶导数可以判断函数的凹凸性、判断函数极值点的类型、计算泰勒展开式等等。

四、隐函数求导

1. 隐函数求导的基本思想：

隐函数求导是指当一个函数的自变量和因变量存在某种隐性关系时，我们要求出这个函数的导数。

以隐函数y = f(x)为例，如果y与x之间的关系不能用显式函数来表示，而要用x、y之间的方程来表示，则我们称之为隐函数。

2. 隐函数求导的方法：

（1）利用对x求导和对y求导公式，通过隐函数方程中的x、y两个变量，来求出函数的导数。

（2）利用对x求导和对y求导公式，通过隐函数方程中的x、y两个变量，构造导数的表达式，再求出函数的导数。

3. 隐函数求导的应用：

隐函数求导在物理、经济、生物、工程等领域中有广泛的应用，比如在物理学中的位置、速度、加速度的关系、在经济学中的需求量、价格的关系等等。

五、参数方程求导

1. 参数方程求导的基本思想：

参数方程是一种将函数y与x的关系用参数t表示出来的函数形式，即y = f(t)，x = g(t)，通过t表达出x与y之间的关系。

2. 参数方程求导的方法：

（1）利用链式法则，通过参数t将函数y与x的变化联系起来，从而求出函数的导数。

（2）将参数t带入函数y与x中，再通过基本导数公式来间接求出函数的导数。

3. 参数方程求导的应用： 参数方程求导在物理、天文学、动力学等领域中有着广泛的应用，比如在物理学中的位置、速度、加速度的关系、在天文学中的行星轨道的形状与速度变化等等。

六、复合函数求导

1. 复合函数求导的基本思想：

复合函数是指两个或多个函数相互作用而构成的一个新的函数，比如f(g(x))就是一个典型的复合函数。对于这种函数，我们需要求出其导数。

2. 复合函数求导的方法：

（1）利用链式法则，将复合函数分解为简单的函数并求出其导数。

（2）根据复合函数的定义，将复合函数中的外层函数和内层函数分别求导，并通过链式法则将它们联系起来，从而求出复合函数的导数。

3. 复合函数求导的应用：

复合函数求导在物理、工程、生物、经济等领域中有着广泛的应用，比如在物理学中的力、速度、加速度的关系、在工程学中的温度、压力、体积的关系等等。

综上所述，求导公式是微积分中非常重要的基础知识点，它在求取函数的导数时起到了非常重要的作用。在学习求导公式时，我们需要掌握各种函数的导数求法，并能够熟练地应用到实际问题中去。同时，我们还需要了解高阶导数、隐函数求导、参数方程求导、复合函数求导等相关知识，以便能够更深入地理解和应用求导公式。希望以上内容能够帮助您更好地掌握求导公式的知识点。