中考最难几何题

几何难题精选

解答题（共30小题）

1．（2015?河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时，=

；②当α=180°时，= ．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

2．（2015?济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．

（1）直接写出∠NDE的度数；

（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．

3．（2015?岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．

4．（2015?重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．

中考数学：高难度几何压轴题

原创 胡老师 中学解题思维

2018-03-29

今天这道题原本以为是以前遇到过的一道个人经历中最难的那道几何证明题，后来发现不是，不过难度系数也挺高了。

这道题对多数同学来说，中等难度起步，到第三问的时候就属于高难部分了。当大家审题后，不难发现，第一问还是很快就能解答出来的，

第二问的证明过程可能对于很多同学来说具有一定的复杂性；

第三问的话，如果思考过程中没有逻辑性，只要没写过这道题，恐怕就不会在一时半会将其解答出来。

（1）AC的长度有了，那么在Rt△ABC中，有60°角，那么就可以求出来AB了；H是AC中点，那么AH就可以已知了，在Rt△ADH中，∠DAH=90°-∠BAC=30°，所以可以求出AD的长度，在Rt△DAB中，根据勾股定理就可以求得BD了；

（2）根据图形可以很明显看出HF和EF分别在两个三角形中，那是不是只需要证明其全等即可？大家只需要去寻找条件，看是否成立。

点F是BD中点，所以AF=DF，一个条件了；

Rt△DAE和Rt△ADH，可以很轻松证全等吧，所以可得DH=AE，第二个条件了； 那么第三个条件肯定就需要角相等了，这个条件估计会有一些同学看不出来，其实还是要善于思考，根据刚才的两个小直角三角形全等，可以得到∠ADH和∠DAE是相等的，那么又有DF=AF，所以∠ADF=∠DAF，因此它俩减去一个相等的角，剩下∠FDH=∠FAE，第三个条件了；

那么接下来全等就行了；

（3）以下红色字体部分是为同学们提供的思维切入方法，对同学们可能会有所帮助。

这一问证明等边三角形，大家都知道，方法有两种，要么三边相等，要么两边相等且有60°角，那么这道题怎么解决呢？我们先来看△CEF，既然要证明是等边，那么我们就认为它是等边的，那么这个三角形的顶点C被吊起来，它是不是可以来回旋转呢？

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2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

一、解答题

1．如图，在ABC中，4AC，3BC，90ACB，D是边AC上一动点（不与点A、C重合），CEBD，垂足为E，交边AB于点F．

(1)当点D是边AC中点时，求DE，EC的值；

(2)设CDx，AFy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(3)当EFD△与EFB△相似时，求线段CD的长．

2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果BCACACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

(1)【问题发现】如图1，点C为线段AB的黄金分割点，且ACBC，若2AB，请直接写出CB的值是__________．

(2)【问题探究】如图2，在RtABC△中，90C，2AC，1BC，在BA上截取BDBC，再在AC上截取AEAD，则AEAC的值为__________．

(3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，将AE折叠到EN上，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点． 2

3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．

(1)如图1，在智慧三角形ABC中，ADBC，AD为该三角形的智慧线，1CD，则BD长为_____，B的度数为_____．

(2)如图2，ABC为等腰直角三角形，90BAC＝，2AB，F是斜边BC延长线上一点，连接AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），90EAF, 2CF，AE交BC于点D，连接EC，EB．当2BDEBCE时，求线段ED的长；

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中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题

1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：CF＝BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．

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2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△

，可推证△CEF是 三角形，从而求得∠DCE＝ ．

[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．

[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．

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3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，求证：AD＝2DC．

（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；

（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

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4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．