§3.3 导数与函数的极值、最值 学习目标
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )
(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )
教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
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个性化辅导讲义
学校： 年 级： 课时数：2
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课课题 函数的极值与导数
授课时间及时段 2019年 月 日 星期六 时段： 16:00 — 18：00
教学目标 1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系.(难点)
2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值.(重点)
3.会根据函数的极值求参数的值.(难点)
教学内容与过程
函数的极值与导数
1.极值点与极值
(1)极大值点与极大值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.
(2)极小值点与极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值.称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.
(3)极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值.
2.求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
[基础·初探]
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函数的极值
问题：求出函数32267yxx的单调区间，并根据单调区间画出函数的草图
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念
（ⅱ）函数的极值不是唯一的
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)
(2)
(3)
例题：
例1求y=31x3－4x+31的极值
例2求y=(x2－1)3+1的极值
课堂练习：
求下列函数的极值.
1)y=x2－7x+6；(2)y=x3－27x；（3）4334yxx；4+2sin,0,2yxxx 2.设332fxaxx有极值，求a的取值范围，并求出极大值与极小值点
变式：332fxaxx在1x处取得极小值，求fx的极大值
3.已知函数53fxaxbxc在1x处的极大值为4，极小值为0，试确定,,abc的值
4. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.
例1变式：求y=31x3－4x+31在区间3,4的最大值和最小值
