同底数幂的除法(1)

1 第一章 整式的乘除

３同底数幂的除法（第1课时）

一、 学生起点分析

学生的知识技能基础：小学学生就学习过数的除法，了解除数不能为0；七年级又学习了有理数运算和整式的加减，理解了正整数指数幂的意义；在这一章前面几节课中还学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三种幂的运算，会用法则进行计算并解决一些实际问题，具备了类比有理数的运算进行整式的运算的知识基础.理解和运用法则不是学生学习的难点，需要注意的是在计算时学生是否会混淆这四种幂的运算，可以通过分析算理和练习对比，帮助学生提高认识.

学生活动经验基础：在探索前面三种幂的运算法则的过程中，学生已经历了由特殊到一般的归纳过程，并能用幂的意义加以说明，具备了一定的推理能力和表达能力，为本节探索同底数幂的除法法则积累了充足的活动经验.因此本节法则的探索对学生而言并不困难，教学时可以放手让学生自主进行；此前学生只接触过正整数指数幂，因此对零指数幂和负整数指数幂意义的理解是本课的难点，教学时可以通过设计问题串，让学生经历观察、归纳、猜想、解释的过程来加深理解.

二、 教学目标：

1．知识与技能：会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，了解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算.

2．过程与方法：经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，经历观察、归纳、猜想、解释等数学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推理和演绎推理能力以及有条理的表达能力.

3．情感与态度：在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和广泛性.

三、教学重点：同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的意义，将运算法则拓广到整数指数幂的范围

四、 教学难点：理解零指数幂和负整数指数幂的意义 2 五、教学过程设计

第一环节 复习回顾

活动内容：前面我们学习了哪些幂的运算? 在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.nmnmaaa （m,n是正整数）

（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnnmaa)(（m,n是正整数）

（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.nnnbaab)( (n是正整数)

活动目的：学习同底数幂的除法要借助前面三种幂的运算的活动经验和知识基础，因此这个环节的目的是回顾前面的知识和方法，为下面自主探索、归纳法则做好铺垫.

第二环节 情境引入

活动内容：一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死 109 个此种细菌，

（1） 要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

（2） 你是怎样计算的？

（3） 你能再举几个类似的算式吗？

活动的注意事项：解决问题（1）学生可能根据题意列出算式9121010，也有可能列出9121010，应让学生认识到两种形式的实质是一样的.

问题（2）用到的是有理数的运算，教学时应鼓励学生独立思考，在黑板上呈现不同的计算过程，并说明每一步的算理，学生可能出现不同的解决方法：

可能先将幂还原成大数再用分数的约分来计算：

100010101010.........101010........101010101010912912（滴）； 3 也可能先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算：

10001010101010)1010(10103939939912（滴）

问题（3）应尽可能多的在黑板上呈现学生举的算式，在教学时可以通过追问“这些算式举的对不对？”帮助学生抓住特征：同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做什么运算呢？”引入这节课的研究对象：同底数幂的除法运算.

第三环节 归纳法则

活动内容：1.计算你列出的算式

（选作）2.计算下列各式，并说明理由（m>n）

;1010)1(nm ;)3()3)(2(nm ;)21()21)(3(nm

3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗？

活动的注意事项：这里的教学方式可以根据上一环节学生的举例情况灵活处理：

方式一，如果学生列出的算式比较全面：既有只含有理数的算式，又有既含字母又含数的算式（如类似于活动2的指数为字母或是底数为字母的），还有只含字母的算式（类似于法则的），那么教学时可以先引导学生将所列举的算式进行分类，再按照由“数”到“混合”再到“字母”的顺序分三个层次进行探索，让学生自己完成由特殊过渡到一般的过程，这样就不用再进行活动2和3.

方式二：如果学生列出的算式不够全面，就可以先将活动2的内容补充进来，再让学生观察运算前后指数和底数发生了怎样的变化，从特例中归纳出同底数幂除法的运算性质：nmnmaaa，培养学生的合情推理能力.最后进行活动3，在运用符号运算的过程中培养学生的演绎推理能力.

有了前面探索法则的经验基础，类比有理数的计算过程学生不难得出nmaanmanmanamaaaaaaaaaa-个个个，但学生可能会忽视“a≠0，m,n是正整数，且m>n”的要求，教学时可以追问“a都可以取哪些值呢？”来引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a≠0，再借助上面的计算约分 4 时出现m-n个a的过程得到m>n.而当m=n和m

活动内容：例1 计算：

;)1(47aa ;)())(2(36xx ;)3(28mm

);())(4(4xyxy ;)5(222bbm ;)())(6(38nmnm

活动的注意事项：在教学时应重视对算理的理解，每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂的除法运算，再说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.学生可能在计算第（3）（4）小题时出现问题，第（3）题的“－”号，学生在前几节课中解决过类似问题，教学时可以引导他们与第（2）题对比，加深理解；第（4）题在同底数幂除法计算后增加了积的乘方的运算，应关注学生对学过的几种幂的运算是否能理解和区别，如果学生出现漏算或混淆的情况，可以让先他们判断运算，再说明算理，还可以根据实际教学情况补充几道对比练习，帮助学生提高认识.

第四环节 探索拓广

（一）探索

活动内容：1. 做一做：

104 =10000， 24 =16

10（）=1000， 2（）=8

10（）=100， 2（）=4

10（）=10， 2（）=2

2. 猜一猜：

下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：

10（）=1 2（）=1

10（）=0.1 2（）=21

10（）=0.01 2（）=41

10（）=0.001 2（）=81 5 3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？

4.你认为这个规定合理吗？为什么？

活动注意事项：活动1对学生而言并不困难，教学时学生可能会找到规律：底数为10时，指数每减小1，幂的值就会缩小101；底数为2时，指数每减小1，幂的值就会缩小21.学生也可能进而归纳“底数为a时，指数每减小1，幂的值就会缩小a1”可以追问“这里的a能取哪些值？”从而让学生体会0a.

活动2对学生来说是有些难度的，可以引导学生保持上面的规律进行猜想，教学时应给学生充分的独立思考和小组交流的时间.

活动3从数的变化规律中进行分析、归纳与概括，再将猜想用符号一般性的表示出来得到：10a、ppaa1，这养的过程可以发展学生的合情推理能力.

活动4通过解释结论的合理性来发展学生演绎推理能力，教学时应鼓励学生从不同的角度进行思考和解释，帮助他们更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.学生可能出现的解释方法有：

方法一，从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明：

我们前面这样推导了同底数幂的除法法则

nmaanmanmanamaaaaaaaaaa-个个个，（a≠0，m,n是正整数，且m>n）

当m=n时，我们可以类似的得到

mmaaa0amamaaaaaa个个1，（0a，m,n为正整数）；

当m

nmpaaaanamaaaaaa个个pmnamnaaaaa111个，（0a，p为正整数）.

方法二，从乘除法的逆运算关系来说明：

因为,00mmmaaaa所以),0(10为正整数maaaamm

在这一结论的基础上再进一步得到 6 因为,10)(aaaapppp所以pppaaa11（0a，p为正整数）

（二）拓广

活动内容：1. 例2 计算：用小数或分数分别表示下列各数：

4203106.1)3(;87)2(10)1(

2. 议一议：计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流

20256153)8()8)(4(;)21()21)(3(;33)2(;77)1(

3. 当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是否也成立呢？

第五环节 反馈延伸

活动内容：反馈练习：

1.下面的计算是否正确？如有错误请改正：

;)1(326bbb ;)2(9110aaa

;)())(3(2224cbbcbc .)4(121nnnxxx

2.计算

;)())(1(23yy ;)2(412xx ;)3(0mm

;))(4(45rr ;)5(2nnkk )())(6(5mnmn

拓展延伸：（1）38)()(abba

活动的注意事项：反馈练习中学生可能在2计算第（4）小题中出现问题，这里应先转化为同底数幂，再相除，这道题也为拓展延伸做了铺垫.

拓展延伸应注意（1）中8)(ba与3)(ab不是同底数幂，计算时应先化成同底，学生既可以把8)(ba化成8)(ab；也可以把3)(ab化成3)(ba，教学时应让学生充分交流、展示各自的作法，从而对于算理有更为清楚的认识.

第六环节 课堂小结

活动内容：

1. 这节课你学到了哪些知识？

2. 现在你一共学习了哪几种幂的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的理解