九年级上册数学竞赛试题及答案
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者相中学2016年秋季九年级（上）数学竞赛试卷
（考试时间：120分钟 满分120分）
姓名 班级 得分
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
3．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了64元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x）2=64 B．64（1+x）2=100
C．64（1﹣x）2=100 D．100（1﹣x）2=64
4．将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣1）2 C．y=x2+1 D．y=x2﹣1
5．已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（ ）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
6．半径为R的圆内接正六边形的面积是（ ）
A．R2 B． R2 C． R2 D． R2
7．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点与x轴的交点所围成图形的的面积是______．
10．如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且CM=2，则AB的长为______．
11．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1=______，x2= .
12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．
三、解答题 （共6小题，共68分）
14．（10分）如图，将四边形ABCD绕原点O旋转180°得四边形A′B′C′D′．
（1）画出旋转后的四边形A′B′C′D′；
（2）写出A′、B′、C′、D′的坐标；
（3）若每个小正方形的边长是1，请直接写出四边形ABCD的面积．
15．(10分)如图是二次函数y=a（x+1）2+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题．
（1）抛物线与x轴的一个交点的坐标是______，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是______；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
16．（10分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E、F为切点．
（1）试猜DO与AO的位置关系，并说明理由．
（2）若AO=4cm，DO=3cm，求⊙O的面积．
17．（12分）兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？
18．（12分）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
19．（14分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，B（3，5），抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点C，D两点，且经过点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点F，使得△ACF的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M（4，k）在抛物线上，连接CM，求出在坐标轴的点P，使得△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
者相中学九年级（上）数学竞赛试题试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、是中心对称图形，本选项正确；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选C．
2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
3．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了64元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x）2=64 B．64（1+x）2=100 C．64（1﹣x）2=100 D．100（1﹣x）2=64
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则等量关系为：原价×（1﹣x）2=现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，100×（1﹣x）2=64
故选D．
4．将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣1）2 C．y=x2+1 D．y=x2﹣1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据平移规律作答即可． 【解答】解：将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为y=x2+1，
故选C．
5．已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（ ）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用抛物线上点的坐标性质进而得出m2﹣m=2，即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣2=0，
∴m2﹣m=2，
∴m2﹣m+2016=2+2016=2018．
故选：D．
6．半径为R的圆内接正六边形的面积是（ ）
A．R2 B． R2 C． R2 D． R2
【考点】正多边形和圆．
【分析】利用正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是R，
因而面积是=，
因而正六边形的面积是6×=R2．
故选：C．
7．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长公式L=，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．
【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由L=，
∴2.5π=，
解得：r=6，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】旋转的性质．
【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B===55°，
在直角△BB'C中，∠BB'C=90°﹣55°=35°．
故选A．
二、填空题
9．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点与x轴的交点所围成图形的面积是坐 4 ．
10．如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且CM=2，则AB的长为 8 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，求得OA和OM的长，在直角△OAM中利用勾股定理求得AM的长，然后根据AB=2AM即可求解．
【解答】解：连接OA．则OA=OC=CD=5．
则OM=OC﹣CM=5﹣3=3．
在直角△OAM中，AM===4．
∵AB⊥CD于M，
∴AB=2AM=8．
故答案是：8．
11．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1= ﹣1 ，x2= 3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】抛物线与x轴的交点的横坐标就是x的值．
【解答】解：关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1=﹣1，x2=3．
故答案是：﹣1．
12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 16π ．（结果保留π）
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．
【分析】设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
【解答】解：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB．
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=AB=×8=4．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16π．
故答案为：16π．
