2021年辽宁省丹东(新高考)高三数学模拟仿真试题(附答案)
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数学试题参考答案第1页（共8页）2021年丹东市高三总复习质量测试（一）
数学试题参考答案
一、选择题
1．B2．A3．B4．D
5．A6．C7．C8．A
二、选择题
9．ACD10．BC11．CD12．ABD
三、填空题
13．314．3π15．1416．90º，10或5
2
四、解答题
17．解：
方案一：选条件①．
设{a
n}的的公比为q，由题设可得1＋q＝－1，q＝－2．
因为(S
n－S
n
＋1)－(S
n
＋2－S
n)＝－2a
n
＋1－a
n
＋2＝0，所以S
n－S
n
＋1＝S
n
＋2－S
n．
于是S
n
＋1，S
n，S
n
＋2成等差数列．
…………（10分）
方案二：选条件②．
设{a
n}的的公比为q，由题设可得q
3＝－27，q＝－3．
因为(S
n－S
n
＋1)－(S
n
＋2－S
n)＝－2a
n
＋1－a
n
＋2＝a
n
＋1≠0，所以S
n－S
n
＋1≠S
n
＋2－S
n．
于是S
n
＋1，S
n，S
n
＋2不能成等差数列．
…………（10分）
方案二：选条件③．
由题设可得a
6＋a
7＝0，设{a
n}的的公比为q，则q＝－1．
因为(S
n－S
n
＋1)－(S
n
＋2－S
n)＝－2a
n
＋1－a
n
＋2＝－a
n
＋1≠0，
所以S
n－S
n
＋1≠S
n
＋2－S
n．
于是S
n
＋1，S
n，S
n
＋2不能成等差数列．
…………（10分）
18．解：
（1）由题设及正弦定理可得sinCcosA＋cosCsinA＋2sinBcosB＝0．
所以sin(A＋C)＋2sinBcosB＝0．
因为sin(A＋C)＝sinB≠0，所以cosB＝－1
2．
因为0＜B＜π，于是B＝2π
3．
…………（4分）
（2）因为5a＝3c，可设a＝3t，c＝5t．按秘密级事项管理数学试题参考答案第2页（共8页）因为△ABC的周长为15，所以b＝15－8t．
因为cosB＝－1
2，由余弦定理可得b2＝(a＋c)2－ac．
所以(15－8t)2＝(8t)2－15t2，解得t＝1，或t＝15．
舍去t＝15，取t＝1，得a＝3，c＝5．
因此△ABC的面积S＝1
2acsinB
＝153
4．
…………（12分）
19．解法1：
（1）因为AD∥平面A
1B
1C
1，平面ADC
1与平面A
1B
1C
1的交线为l，所以AD∥l．
因为l⊥平面BB
1C
1C，所以AD⊥平面BB
1C
1C．
…………（4分）
（2）可知AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D为BC的中点．
因为AD⊂平面ABC，由（1）可知平面ABC⊥平面BB
1C
1C．
…………（6分）
以→
DC，→
DA，→
DB
1为x，y，z轴正方向建立空间直
角坐标系D－xyz．
|→
DC|＝1，因为∠B
1BC＝60°，所以D(0，0，0)，
C(1，0，0)，A(0，3，0)，C
1(2，0，3)．
所以→
AC
1＝(2，－3，3)，→
DA＝(0，3，0)，→
AC
＝(1，－3，0)．
设平面DAC
1的法向量为n
1＝(x
1，y
1，z
1)．
则n
1·→
AC
1＝0，
n
1·→
DA＝0．
即2x
1－3y
1＋3z
1＝0，
3y
1＝0．取n
1＝(3，0，－2)．
设平面AC
1C的法向量为n
2＝(x
2，y
2，z
2)．
则n
2·→
AC
1＝0，
n
2·→
AC＝0．
即2x
2－3y
2＋3z
2＝0，x
2－3y
2＝0．取n
2＝(3，1，－1)．
因为|cos＜n
1，n
2＞|＝|n
1·n
2|
|n
1||n
2
|＝35
7．
因为二面角D－AC
1－C为锐角，所以二面角D－AC
1－
C的余弦值为35
7．
…………（12分）
解法2：
（1）同解法1．
（2）可知AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D为BC的中点．
…………（6分）
C
DA
BA
1C
1
B
1
yxz数学试题参考答案第3页（共8页）因为AD⊥平面BB
1C
1C，所以平面ADC
1平面BB
1C
1C，交线为DC
1．过C在平面BB
1C
1C
内作CE⊥DC
1，垂足为E，则CE⊥平面ADC
1．
过E在平面ADC
1内作EF⊥AC
1，垂足为F，连
结CF，则CF⊥AC
1，所以∠EFC是二面角D－AC
1
－C的平面角，F为AC
1的中点．
设BC＝2，因为∠B
1BC＝60°，在△DB
1C
1中，
DC
1＝7．在△DCC
1中，CE
＝21
7．
因为F为AC
1的中点，所以CF
＝6
2．
在直角三角形CEF中，cos∠EFC
＝35
7，即二面角D－AC
1－C
的余弦值为35
7．
…………（12分）
20．解：
（1）因为C
的离心率为5
2
，所以a2＋b2
a＝5
2，可得a＝2b．
A
2(a，0)，C的一条渐近线方程为x－2
y＝0，由25
5＝a
12＋(－2)2可得a＝2．
所以b＝1，于是C的方程为x2
4－y2＝1．
…………（6分）
（2）设P(x
0，y
0)，则x
02
4－y
02＝1．
设直线PA
1，PA
2斜率分别为k
1，k
2，因为A
1(－2，0)，A
2(2，0)，则
k
1k
2＝y
0
x
0＋
2·y
0
x
0－2＝y
02
x
02
－4＝y
02
4y
02＝1
4．
直线PA
1方程为y＝k
1(x＋2)，直线PA
2方程为y＝1
4k
1(x－2)，x＝1分别代入可得
M(1，3k
1)，N(1，－1
4k
1)．
设T(t，0)，则经过三点M，N，Q圆的圆心D(t＋3
2，3k
1
2－1
8k
1)．
由|DQ|2＝|DM|2可得(t－3
2)2＋(3k
1
2－1
8k
1)2＝(t＋12)2＋(－3k
12－1
8k
1)2，解得t＝5
8．
于是经过三点M，N，Q的圆经过x轴上的定点T(5
8，0)．
…………（12分）
21．解法1
（1）由题设P(2)表示3根光纤中至少2根能正常传输信号的概率，因此
P(2)＝C2
3p2(1－p)＋C3
3p3＝3p2－2p3．
…………（4分）
（2）当p＝1
2时，
C
DA
BA
1C
1
B
1
F
E数学试题参考答案第4页（共8页）P(k)＝错误!Ci
2k-1(1
2)i(1
2)2k-1-i＝(1
2)2k-1错误!Ci
2k-1．
因为
错误!Ci
2k-1＝1
2错误!Ci
2k-1＝1
2·22k-1＝22k-2．
所以
P(k)＝(1
2)2k-122k-2＝1
2．
…………（8分）
（3）2k－1根光纤中至少k根能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作，故
P(k)＝错误!Ci
2k-1pi(1－p)2k-1-i．
新增的两根光纤都能正常工作、仅有一个能正常工作、都不能正常工作时，2k＋1根光
纤组成的5G传输设备可以正常工作的概率分别设为P
1，P
2，P
3，则
P
1＝p2[Ck-1
2k-1pk-1(1－p)k＋P(k)]；
P
2＝2p(1－p)P(k)；
P
3＝(1－p)2[P(k)－Ck
2k-1p
k(1－p)k-1]．
所以新增两根光纤这个5G传输设备正常工作的概率
P(k＋1)＝P
1＋P
2＋P
3＝P(k)＋(2p－1)Ck
2k-1p
k(1－p)k．
因此
P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)Ck
2k-1p
k(1－p)k．
由0＜p＜1，(2p－1)Ck
2k-1p
k(1－p)k-1＞0，可得1
2＜p＜
1．
因此当p的取值范围为(1
2，1)时，新增两根光纤可以提高5G传输设备正常工作的概率．
…………（12分）
解法2
（1）（2）同解法1．
（3）2k－1根光纤中至少k根能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作，故
P(k)＝错误!Ci
2k-1pi(1－p)2k-1-i．
设2k－1根光纤中恰有k－1根能正常传输信号、恰有k根能正常传输信号、至少k＋1
根能正常传输信号的概率分别为P
1，P
2，P
3，则
P
1＝Ck-1
2k-1pk-1(1－p)k＝1－p
pCk
2k-1pk(1－p)k-1，
P
2＝Ck
2k-1p
k(1－p)k-1，
P
3＝P(k)－Ck
2k-1p
k(1－p)k-1．
所以新增两根光纤这个5G传输设备正常工作的概率
P(k＋1)＝p2P
1＋[1－(1－p)2]P
2＋P
3
＝(2p－1)Ck
2k-1p
k(1－p)k-1＋P(k)．
因此
P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)Ck
2k-1p
k(1－p)k．
由0＜p＜1，(2p－1)Ck
2k-1p
k(1－p)k-1＞0，可得1
2＜p＜1．