(中考复习)第13讲 反比例函数及其图象

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【中考数学复习】一次函数与反比例函数

知识提要

初中代数中涉及的函数有：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二

次函数.每种函数一般从下面四个方面研究：定义，图象，性质，求解析式.本讲

研究一次函数和反比例函数.

一、一次函数

1、定义：函数)0(kbkxy称为一次函数，若0b则称函数为正比例函数.

2、图象：一次函数是过点（0，b）和点（

kb

，0）的直线.当b=0时的正比例函

数)0(kkxy是过原点的一条直线，若k与b的符号不同，则直线经过的象限也不同，如图所示：

3、性质：当0k时，y随x的增大而增大；

当0k时，y随x的增大而减小.

（此性质为一次函数的单调性）

另外，正比例函数关于原点O中心对称文式思维教育，传播知识，分享快乐

4、求解析式：求一次函数的解析式，一般需要两个条件，求出表达式bkxy

中的k及b的值，常用待定系数法来求一次函数.

而正比例函数的解析式只需要一个条件.

二、反比例函数

1、定义：形如)0(k

xky形式称为反比例函数，定义域为0x的所有实数.

2、图象：反比例图象为双曲线，如图所示：

3、性质：反比例函数

xky在0k且0x时，函数值y随x的增大而减小；在

0k且0x时，函数值y随x的增大而减小.即：当0k时，反比例函数

xky

分布在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，如图（1）所示.当0k时，反比例函数xky分布在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，

如图（2）所示.反比例函数xky图象上的点关于原点O成中心对称的.当0k时，函数的

图象关于直线xy成轴对称；当0k时，函数的图象关于直线xy成轴对称.

4、求解析式：反比例函数的解析式，只需要一个条件，求出

xky)0(k中的k

即可.

在解决有关一次函数及反比例函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想

方法.待定系数法是研究函数表达式的基本方法，同时紧密结合图象寻求思路，

1

反比例函数

一、反比例函数的概念

1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xyk，或表示为kyx，其中k是不等于0的常数．

2、解析式形如kyx（k是常数，0k）的函数叫做反比例函数，其中k称也叫做比例系数．

3、反比例函数kyx的定义域是不等于零的一切实数．

例1、下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？

（1）被除数为100，变量分别是除数r和商q；

（2）三角形面积S一定时，三角形一边上的长a和这条边上的高h；

（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v（米/秒）和跑完 全程所用时间t（秒）；

（4）完成工作量Q一定时，完成工作量所需的时间t与工人人数n（假设每个工人的 工作效率相同）

例2、一个长方体的体积是20cm3，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm.写出长y与高x之间的函数关系式.

例3、下列函数（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？

（1）23yx (2) 1yx (3) 3xy

（4）3yx （5）27yx （6）y=8x+7

例4、已知y是x的反比例函数，且3x时，2y，那么y关于x的函数解析式是________．

2

例5、已知y与x成反比例，且当4x时，2y，求y与x的函数解析式．

例6、若函数231(2)mmymx是反比例函数，则m的值为________．

例7、如果2212nnnnyx是反比例函数，那么n的值是________．

例8、已知y是x的反比例函数，且当32x时，32y，那么当21y时，x的值是________．

例9、如果变量1x和变量y成正比例，变量1y和变量z成反比例，那么变量x和z成________比例关系．

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华师大 九年级 2011年第8期 函数专题复习

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1、一次函数

(1)、一次函数及其图象

如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。 一次函数的图象是直线。

(2)、一次函数的性质

当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x 的增大而减小。

1、反比例函数

(1) 反比例函数及其图象

)0,(kkxky是常数,那么，y是x的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线。

（2）反比例函数的性质

当K>0时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；

当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

（3）.会用待定系数法

二次函数

1、理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标)44,2(2abacab、对称轴abx2和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3、会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数

y＝a(x＋k)2＋h的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4、会用待定系数法求二次函数的解析式；

5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

一次函数典型例题

1.判断图象经过的象限

例1 已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式 ．

点拨：因为点（2，-5）在第四象限，而图象又不经过第二象限．设经过第一、二、四象限的直线解析式为y=kx+b（k≠O），另外的一点为（4，3），把这两个点代入解析式中即可求出k，b.

,25,43bkbk 则.13,4bk所以y=4x-13.

初中数学，反比例函数K的几何意义，是必须知道的重点！

反比例函数属于中考的必考内容！总体来看，关于反比例函数比例系数k值的几何意义类题目主要为:

一、求出反比例函数上相应的点坐标进而求出K值

二、通过面积求解K值。

三、利用K的几何意义，推断或求解相关结论。

一次函数是基础，而二次函数和反比例函数才是中考中的重难点！反比例函数有填空题，选择题，也有压轴题；在中考中如果反比例函数考到压轴题，必然会和一次函数，平行四边形或全等(相似）三角形的知识点相结合。要想学好反比例函数，首先要理解反比例函数的三种表达形式，虽然表达形式不一样，但是本质上都是反比例函数！

反比例函数概念和三种表达方式

在一次函数学习时，我们知道函数的表达有列表、图像和表达式三种形式；通过列表，描点，连线的方式能够画出一个函数的图像。

反函数图像画法

通过这种手段能发现反比例函数的图像是双曲线，它分为两支，根据K取值的大小分别在一、三象限或者二、四象限。

根据K的值，反比例函数图像分别再一三象限或二四象限

进一步研究反比例函数的图像，会发现很多有趣的图像性质，比如反比例函数关于原点对称，与x轴和y轴都没有交点，即x不等于0，y不等于0；比如反比例函数图像既是轴对称图形也是中心对称图形！这是一种数学美！

反比例函数的图像和性质

那么系数K的几何意义是什么呢？简单来讲，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。K的几何意义就是：它的绝对值就是所围成的矩形的面积；而且由反比例函数表达式可知，这个面积的值是不变的！不变的！与位置无关！非常重要！非常重要！

反比例函数K的几何意义，不同位置图示矩形面积相等 根据K的几何意义，我们还引申出很多有用的变式：

矩形面积的一半

矩形面积的2倍

理解了K的几何意义及其变式的意义，解答反比例函数的题目才能拓宽思路，高效准确！最简单的，理解了K的几何意义，我们一下就能判断出图中的面积关系：