杆的模型应用及受力情况分析
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杆的模型应用及受力情况分析
中学物理研究问题的思想方法，虽然在课本中没有明确指出，但它已经渗透到各部分内容的叙述中，只要留心就会发现这样的事实，物理学研究问题时，往往先从大量的事实中，抽象出它们的化身———理想化模型(如描述物体的有：质点、点电荷等；描述运动的有：匀变速直线运动、匀速圆周运动、简諧振动等；描述过程的有：弹性碰撞、等温变化、等幅振荡等；描述状态的有：热学中的平衡状态、电学中的静电平衡等；描述器件的有：如单摆、理想电表、理想变压器等……)，再对模型进行研究，得出有关的定义、概念、规律等知识，最后用这些规律性的知识去解决问题，这就是中学物理研究问题的基本方法。即从实际问题分析
总结得出 模型 研究得出 规律 运用解决 实际问题。因此，在解决实际问题时，能否全面的掌握已经学过的模型（条件、范围、意义等）,是否能从问题所设定的情境中恰当地确认模型、正确地建立模型、熟练地应用模型是解决问题的关键。
物理学中杆是很常见的。由于杆在实际中往往起到传递力和力矩的作用，它受到的可能是压力、拉力，有时可能是切力。其方向可能沿杆的方向，也可能和杆有一定的夹角。正是因为这样，实际中在没有明确给出杆的质量的情况下，我们通常将杆简化为：没有质量，不考虑粗细及形变的轻质细杆，即轻质细杆模型。但实际问题是复杂的，在有些情况下只能将杆简化为：没有质量、没有形变，但必须考虑粗细的轻质粗杆，即轻质粗杆模型。
对杆的这两种模型来说，无论杆受力怎样，运动状态如何，总有：其合力为零；力矩的代数和为零，这是分析轻质杆受力问题的依据。现举例分析两种模型的应用。
例1． 小车上有轻质杆支架，B端固定一质量为m的小球，ADC端为铰链，D为AB的中点，CB两点在同一水平线上，如图1所示，则1）当小车静止时，球和CD杆对AB杆的作用力各多大？2）当小车以加速度a向左运动时，球和CD杆对AB杆的作用力又怎样？
分析：1）当小车
静止时，系统平衡，要
分析小球和CD杆对AB
杆的作用力，必须先分析
小球和CD杆的受力情况。
以小球为研究对象：受力
如图1a，这时有 F1＝mg,
即小球给AB杆的作用力
大小为 mg,方向竖直向下。
以CD杆为研究对象：C端
和D端各受一个力作用
（CD为轻质细杆，不计杆
的重力）而平衡，这两个力
一定合力为零，合力矩为零。
受力如图1b，其方向一定沿
CD连线，大小相等，方向
相反，与CD的形状无关。
因此AB杆受力如图1c，
以A为轴，由ΣM＝0得：
F1‘ABsinα－N1’ADsin(180º－2α)=0
所以 N1‘＝mg/cosα
2）当小车以加速度a
向左运动时，以小球为
研究对象，这时杆给小
球的作用力既有竖直分
量和mg平衡；又有水 F1
mg
图1a
D
C
图1b
A N1‘
α D
C B
F1‘
图1c
A N2‘
α D
C B
F2‘
图1e 平分量产生加速度a,
如图1d，有 F2＝m22ag，
tgθ＝a/g CD杆的受力如前。
故对AB杆，受力如图1e 以A
为轴，由ΣM＝0得：
F2‘ABsin(α－θ)－N2‘ADsin（180º－2α）＝0
所以 N2’＝m(gtgα-a)/sinα
可见，当a
杆中有压力沿D指向C，AB杆的B端F2‘不沿杆。
当a＝gtgα时，θ＝α，CD杆中无力，AB杆B端F2‘
沿AB杆。
当a>gtgα时，θ>α,CD杆中有拉力，沿CD方向，AB杆B
端F2‘的反向延长线在∠ABC内。
例2．如图2所示，质量均为m的小球ABCD分别用轻质杆相连，AB＝CD＝2L，AC、BD、OE为细绳，且AC＝BD＝L，E为AB的中点，试求：BD剪断瞬时，OE绳内的张力？
分析：因为杆为轻质杆，
每个小球及杆的受力如图
2a,下杆不受力（否则不能
满足合力为零，
合力矩为零），
而a1a2a3一定
相等（因为AC
间绳不可伸长
AE＝BE）
由此可得方程：
mg＋T1—N1＝ma ①
N2－mg＝ma ②
Mg－T1＝ma ③
N1L＝N2L ④
解得：N1＝N2＝4mg/3
所以 T＝N1＋N2＝8mg/3
例3、质量为m＝6kg半径为R的球B，固定在与半径等长的轻杆AD的一端，另一端可绕A转动，球搁在放置于水平地面的物体C上，此杆水平，如图3，球与物体间的动摩擦因数μ＝0.4，将物体从球下匀速向右抽出，则杆的两端受到的力如何？
(g＝10m/s2)
分析：杆球受
力情况如图3a,杆
球受力可转化为
三个共点力,FA必
过A、E两点，杆球受
力情况如图3a，
以为A转动轴
ΣM＝0得方程：
mg2R＝N2R＋fR
f＝μN
解得：N＝50N
所以，f＝20N
F2
Θ
mg
图1d
O
A E B
C D
图2
N1 T N2
a1 T1 a2
T1 mgN1 N2 mg
a3 mg mg g
图2a
A D
B
C
图3 N
FA FD1，
FD2，
FD1 FD2 f
mg
图3c N
FA
E f
mg
图3a 故将FA分解为竖直分量FA y＝mg－N，水平分量FA x＝f,则：
FA＝22)(Nmgf＝105N
方向与水平成 tgα＝1/2
同理，球受到AD杆D端的力过D、E两点，受力如图3b。
FD方向与水平成45°角。
仔细分析球的受力情
况就会发现存在严重的
问体，球受力不满足平
衡条件。对球无论FD的
大小怎样，要竖直方向
平衡，则水平方向不平
衡；要水平方向平衡，则竖直方向不平衡。为什么会出现这样的结果呢？原因是这种情况下把杆看成理想的细杆，与球接触处为一个点，即把杆看成轻质细杆模型是错误的。假如杆与球接触处真为一个点，拉动C物体时杆受合力矩不为零，必然转动，D处必被折断。所以这种情况杆与球接触处应为一个面，当拉动C时，杆与球之间有两个力FD1、FD2，且这两个力要产生一个扭转力矩，即这种情况下杆的粗细不能忽略。杆球受力如图3c，建立正确的杆的模型以后，所存在的问体都迎刃而解了。
例4、一根长为2L，质量不计的硬杆，杆的中点和
右端各固定一个质量为m的小球a、b，杆可带着两
小球在竖直面内绕O点转动，若杆从水平位置静止
释放，当杆下落到竖直位置时，如图4所示，求
两小球之间的杆
AB对a、b小球
做的功？并分析
AB杆的受力情况？
分析：a、b两球在下摆的过程中系统机械能守恒。因为是轻质硬杆连接，所以任意时刻两球绕O转动的角速度相等，故a、b两球在竖直位置时速度关系为：
Vb＝ω•2L＝2ω•L＝2 Va ①
以过O点的水平面为零势面，由系统机械能守恒得：21 m2aV＋21m2bV－mgL－mg2L＝0
②
解①②得：Va＝56gL Vb＝524gL
杆对a球做的功等于a球的机械能增量，即Wa＝21m2aV－mgL＝－52mgL
即杆对a球做负功52mgL。
杆对b球做的功等于b 球的机械能增量，即Wb＝21m2bV－mg2L＝52mgL
即杆对b球做正功52mgL。可见杆对a、b两球做功的代数和为零。
既然杆AB对a、b球都做功，那么杆的受力情况怎样呢？这又牵涉到杆的模型问题，若取轻质细杆模型，则受力如图4a
这种情况对a、b N
FD
D
E f
mg
图3b
O a A B b
图4
O
Fa
F'a F'b
Fa1
Fa2’ Fb1’
Fa2
Fb2 Fb2’
Fa1’
图4b Fb1 两球受力看不出
问题，但对AB
杆受力则很容易
看出F'a和F'b的
合力矩不为零，
不满足力矩平衡条件。果真这样的话，OAB将被折弯，不在一直线上，这与题设硬杆不符。
问题出在哪里呢？问题还出在对AB杆的模型应用上。在这种情况下，杆的粗细不能被忽略，接触处不再是一个点，而是一个面。杆受力情况应为图4b所示。图中a球受到杆给的Fa1、Fa2的作用，其切向分量对a球来说与运动方向相反，故做负功；Fa1、Fa2径向分量和重力的径向分量、轴对杆拉力共同提供a球做圆周运动的向心力。对b球来说，杆给它的力Fb1、Fb2的切向分量与速度方向相同，故做正功；其径向分量和重力的径向分量共同提供b球做圆周运动的向心力。对杆AB来说，A端受到Fa1’、Fa2’作用，B端受到Fb1’、Fb2’作用，其中Fa1’ ＝ Fb1’ 、 Fa2’ ＝ Fb2’ ，而力偶Fa1’ 、 Fb1’ ， Fa2’ 、Fb2’ 的力矩大小相等，转动方向相反，这样对杆合力为零，合力矩也为零，满足平衡条件。
综上所述，在分析轻杆的受力时，要根据实际情况，正确应用杆的模型，才能得出正确的结论,才能解开有些问题的症结。
