1962年全国高考数学试题及其解析

1962年全国统一高考数学试卷一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）2．（10分）求（1﹣2i）5的实部．3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）．4．（10分）求的值．5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=_________度．6．（10分）解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解．7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC （精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA 分为m：n，设AB=1．（1）求A'B'C'D'的面积；（2）求证A'B'C'D'的面积不小于．9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．1962年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：先设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，求得x的值，再计算第一年的产量是第三年的产量的百分之几即得结果．解答：解：设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，x=10．又，故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．2．（10分）求（1﹣2i）5的实部．考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．分析：因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有i的特点知它的偶次方为实数，得到结果．解答：解：∵（1﹣2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成，由二项式定理知所求之实部为C50+C52（﹣2i）2+C54（﹣2i）4=41．点评：复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）．考点：对数的运算性质．分析：先根据对数运算性质求出x，再根据对数的真数一定大于0检验即可．解答：解：，，x2﹣10x+21=0，x=3，x=7．当x=3时，使x﹣5＜0，2x﹣9＜0无意义，故不是原方程的解，原方程的解为x=7．点评：本题主要考查对数的运算性质和对数函数的定义域问题．属基础题．4．（10分）求的值．考点：反三角函数的运用；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：根据题意，设arcsin=α，可得α的范围，由反三角函数的定义，可得sinα=，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=；而sin（2arcsin）=sin2α，由二倍角公式，计算可得答案．解答：解：设arcsin=α，（0°＜α＜90°），则sinα=，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=；则sin（2arcsin）=sin2α=2sinαcosα=．点评：本题考查反三角函数的运用，这类题目的易错点是反三角函数的范围，应特别注意．5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=20度．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=80°，所以可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠BAC的值．解答：解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣100°=80°，而∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=80°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∴∠BAC=180°﹣160°=20°．故答案为20．点评：本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．属于基础题．6．（10分）解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：综合题．分析：（1）将第二个方程代入第一个方程得到关于y的二次方程，利用二次方程的求根公式求出两个根，将求出的根代入第二个方程求出方程组的解．（2）由（1）当通过代入消元得到的二次方程有两个不等实根即判别式大于0时，方程组有两个实数解；当判别式等于0时，方程组有相等的两实数解；（3）当判别式小于0时，方程组无解．解答：解：由②得x=y﹣a③将③代入①得y2﹣4（（y﹣a）﹣2y+1=0，y2﹣6y（4a+1）=0，，．即方程组的解为即：（1）当2﹣a＞0，即a＜2时，方程组有不同的两实数解；（2）当2﹣a=0，即a=2时，方程组有相同的两实数解；（3）当2﹣a＜0，即a＞2时，方程组没有实数解．点评：本题考查代入消元求方程组组的解的方法、考查将方程组的解的问题转化为二次方程解的问题．7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC（精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：结合题意，在△ADC中，若AD可求，则DC可求，而AD可在△ABD中利用正弦定理求得．解答：解：∠ADB=180°﹣（33°+27°）=120°，根据正弦定理，得，又∠CAD=63°﹣33°=30°，由余弦定理可得DC2=AD2+AC2﹣AD•AC•cos30°==．∴．点评：此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求边，体现了正、余弦定理的综合运用．8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1．（1）求A'B'C'D'的面积；（2）求证A'B'C'D'的面积不小于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意设AA'=mt，A'B=nt，通过．推出A'B'C'D'的面积的表达式；（2）利用配方把（1）的面积转化为，从而证明A'B'C'D'的面积不小于．解答：解（1）：设AA'=mt，A'B=nt又．在直角△D'AA'中，D'A'2=D'A2+AA'2=m2t2+n2t2=（m2+n2）t2而正方形A'B'C'D'的面积=．（2）证明：∵∴．点评：本题是基础题，考查平面几何的知识点，正方形的面积的求法，作差法证明A'B'C'D'的面积不小于．是本题的难点，注意把握．9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．考点：棱柱的结构特征．专题：证明题．分析：设正方体的棱长为1，连接AC，求出AC，利用A1E•A1C=AA12，EC•A1C=AC2，可求A1E：EC，进而可证命题．解答：证明：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=，∵为直角△A1AC的斜边A1C上的高，∴A1E•A1C=AA12，EC•A1C=AC2，两式相除，得，∴A1E：EC=1：2．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题；分类讨论．分析：解决此题，先要画出图形，前三条线只能画成“两两相交，且不交于同一点”，这样才能保证第四条线与前三条全相交，这样的话图形一共可以分为两类．然后，我们可以根据推论1或者推论2，先把平面确定好，然后再根据公理1，进一步证明其余的直线也在这个平面里．解答：证明：第一种情形（如图1）：四条直线l1，l2，l3，l4没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它们各不相同，因直线l1，l2相交于点A，可决定一平面α；因点B、C、D、E均在平面α内，所以直线l3，l4也在平面α内，故直线l1，l2，l3，l4同在平面α内．第二种情形（如图2）：四条直线l1，l2，l3，l4中有三条，例如l1，l2，l3，过同一点A，因直线l4不过点A，故由点A及直线l4可决定一平面α，因直线l4与直线l1，l2，l3，相交，设交点为B、C、D，则点B、C、D在直线l4上，从而在平面α内，因此，直线l1，l2，l3，各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线l1，l2，l3，l4在同一平内．点评：此题难度系数不大，关键在于画对图形．重点考查了推论1、2与公理1，这些都是很简单的道理，但是能够运用起来，却不是那么容易，做题时不要烦躁，理清线条，定理运用其实很简单!。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

第一辑（1951~1965）1951年..............................3 1959年 (29)1952年..............................7 1960年 (32)1953年...........................11 1961年 (36)1954年...........................13 1962年 (39)1955年...........................16 1963年 (43)1956年...........................18 1964年 (47)1957年...........................21 1965年 (52)1958年 (25)第二辑（1977年）北京市（理科）..................60 河北省 (74)北京市（文科）..................63 福建省（理科） (78)上海市（理科）..................64 福建省（文科） (84)上海市（文科）..................68 黑龙江省 (88)天津市..............................71 江苏省 (91)第三辑（1978~1982）1978年...........................97 1980年（文科） (118)1978年（副题）...............101 1981年（理科） (121)1979年（理科）...............105 1981年（文科） (126)1979年（文科）...............110 1982年（理科） (130)1980年（理科）...............113 1982年（文科） (135)第四辑（1983~1994）1983年（理科）..................140 1987年（理科） (186)1983年（文科）..................147 1987年（文科） (192)1984年（理科）..................151 1988年（理科） (198)1984年（文科）..................160 1988年（文科） (204)1985年（理科）..................165 1989年（理科） (208)1985年（文科）..................171 1989年（文科） (214)1986年（理科）..................176 1990年（理科） (219)1986年（文科）..................182 1990年（文科） (227)1991年（理科）..................234 1993年（新考理） (272)1991年（文科）..................241 1993年（新考文） (279)1992年（理科）..................246 1994年（理科） (286)1992年（文科）..................253 1994年（文科） (293)1993年（理科）..................259 1994年（新考理） (299)1993年（文科）..................266 1994年（新考文） (307)第五辑（1995~1999）1995年（理科）..................314 1997年（文科） (356)1995年（文科）..................324 1998年（理科） (363)1996年（理科）..................332 1998年（文科） (372)1996年（文科）..................341 1999年（理科） (382)1997年（理科）..................348 1999年（文科） (391)制作人：过士功第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y 。

1966年全国高考数学试题及其解析1.有红灯泡7只,绿灯泡5只.从这12只灯泡中,要选出5只.如果这5只中,至少有1只、至多有2只是绿灯泡,一共有多少种选法?2.一个正四棱台的上底面每边长8尺,下底面每边长10尺,侧棱长6尺.分别表示棱台的高和上、下底面的面积.）3.如图,AC是一个山坡,它的倾斜角为θ.B是山坡AC上的一点,它和A点的距离是a米.从A和B测得山下平地上D点的俯角分别是α和β.求C、D两点间的距离.4.已知双曲线的方程为16x2-9y2+64x+18y-89=0.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.5.解方程组:6.在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.(3)如果△ABC不是等边三角形,求证:△ABC与△ABC这两个三角形不论它们的边怎样对应都不相似.1966年试题答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为所以一共有175+350=525种选法.2.解法一:如图,已知AD=8,BC=10,CD=6.用O、O1表示上、下底面的中心,E、F表示AD、BC的中点.连结OO1、EF、OE 和O1F,则OO1FE为直角梯形.从E点作O1F的垂线,垂足为G,EG就是正四棱台的高.解法二:如图，已知AD=8,BC=10,AB=6.用O、O1表示上、下底面的中心.连结OO1、OA和O1B，则OO1BA为直角梯形.从A点作O1B的垂线，垂足为H,AH就是正四棱台的高.3.解法一:如图,在△ABD中,AB=a,∠BAD=θ-α,∠BDA=α-β,由正弦定理,得解法二:如图,从D点作AC的垂线与AC的延长线交于E点.设DE=h.在直角三角形AED中,在直角三角形BED中,由(1)、(2)可得在直角三角形CED中,由(3)、(4)可得4.解法一:(1)把所给方程按x、y配方,得16(x+2)2-9(y-1)2=144.令x+2=x＇,y-1=y＇,(1)得16x＇2-9y＇2=144,所以这个双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标,分别为由(1)可以求出这个双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标,分别为(2)设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2因为F1(-7,1)、F2(3,1)在圆上,所以(7+a)2+(1-b)2=r2,(1)(3-a)2+(1-b)2=r2.(2)又由图不难看出b2+│AM│2=r2,就是b2+16=r2.(3)由(1)式减去(2)式,得(7+a)2-(3-a)2=0,就是10(2a+4)=0∴a=-2.代入(2)式,得(1-b)2+25=r2.(4)由(4)式减去(3)式,得(1-b)2-b2+9=0,就是10-2b=0.∴b=5.代入(4)式,得r2=41.因此,所求的圆的方程是(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.解法二:(1)同解法一.(2)如图,F1、F2为双曲线的两个焦点,A、B为圆与x轴的两个交点,C为圆心.因为过C点与x轴垂直的直线必平分线段F1F2,且平分线段AB,所以常数.利用商高定理,由直角三角形ACM得到又由以上二式,得b=5,│AC│2=41.所以圆心C的坐标为(-2,5),圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.(1)同解法一.(2)由解法二的分析,可知M=(-2,0).又因│AM│=│MB│=4,所以A=(-6,0),B=(2,0).设所求的圆的方程为x2y2+Dx+Ey+F=0.因为(-6,0),(2,0),(3,1)在圆上,所以得到由(1),(2)消去F得到D=4.由此得F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0.解法四:(1)同解法一.(2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)因为(-7,1),(3,1)两点都在圆上,所以把它们的坐标代入(1)得-7D+E+F+50=0,(2)3D+E+F+10=0.(3)在(1)内令y=0得x2+Dx+F=0.(4)设所求圆与x轴的交点为(α,0),(β,0),则α与β是(4)的两个根.因为两个点的距离是8,所以(α-β)2=64.又(α-β)2=(α+β)2-4αβ,所以(α+β)2-4αβ=64利用根与系数的关系,可以知道α+β=-D,αβ=F.代入上式得D2-4F=64.(5)解方程组(2)、(3)、(5)得D=4,F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0.5.解法一:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0.(3)把(2)和(3)组成方程组,并设u=x+y,v=xy,得从(5)式得v=u-15.代入(4)式并化简,得u2-22u+105=0.所以u=7,u=15.代入(5)式,得v=-8,v=0.所以就是解这两个方程组,得检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法二:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).整理后得x2+y2-2xy-18x-18y+45=0.(3)由(2)式得代入(3)式并化简,得x4-22x3+97x2+120x=0.利用综合除法分解因式,得x(x+1)(x-15)(x-8)=0.因此x=0,-1,15,8.代入(4)式,得就是检验后可以知道,原方程组的解是解法三:就是把(1)代入(2)并化简,得u2v2+4uv=0.所以uv=0,uv=-4.把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:解这两个方程组,得就是所以检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法四:(1)式两边平方并化简,得由(2)式得2(x+y)=xy+x+y+15.(4)比较(3)与(4)得,上面第二个式子不可能成立.因此,由此得解之,得经检验,这都是原方程组的解.6.解:因为a、b、c 是△ABC的三边,所以b+c>a,而两边开方,得以作成一个三角形.(3)不失一般性可以认为a≥b≥c,并且至少有一个不等号成立.由于。

历年高考数学试题及答案word 以下是历年高考数学试题及答案的格式示例：
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值为（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案：A
二、填空题（每题4分，共20分）
3. 函数y=x^3-3x在区间（-1，1）上的单调性为（）。

答案：单调递减
4. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则|a+b|的值为（）。

答案：√5
三、解答题（共40分）
5. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的零点。

答案：函数的零点为x=1和x=3。

6. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l与x轴的交点坐标。

答案：直线l与x轴的交点坐标为(-1/2, 0)。

结束语：以上为历年高考数学试题及答案的示例，希望对同学们的复
习有所帮助。

在实际考试中，题目的难度和类型可能会有所不同，但
解题的基本方法和思路是相通的。

建议同学们在复习过程中多做练习，掌握各种题型的解题技巧，提高解题速度和准确率。

同时，也要注意
培养良好的考试心态，保持冷静和自信，相信自己能够取得理想的成绩。

历年高考数学试题解析高考数学试题一直以来都是考生比较关注的重点，因为高考数学占比比较大，而且对于理科或工科上大学来说，数学更是一个非常重要的基础课程。

本文将结合历年高考数学试题，对一些重点和难点进行解析，帮助考生更好的备考。

一、数列与数列极限高考数学中的数列、数列极限是考试中的重点，也是难点，通过历年高考试题可以看出其在高考数学中所占内容比例较高，同时考察频率很高，因此在考前的复习备考中，这部分的知识点一定要重点复习。

以下是历年高考数学试题中的数列、数列极限题型：1. 2004年高考真题（安徽卷）已知 $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n^2}$（$n∈N^*$）, 求$\lim\limits_{n→+∞} a_n$.解析：对这道题，我们发现一个比较显著的特点是数列递推公式比较特殊，没有固定的形式。

对于考生们来说，一定要避免死记硬背数列递推公式，要理解公式背后的本质含义。

对于这道题来说，首先不难发现，随着 $n$ 的增大， $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 之差逐渐趋近于 $0$ ，因此假设数列的极限为 $L$ 。

由数列极限的定义可得到：$$\lim\limits_{n→+∞} (a_{n+1}-a_n)=\lim\limits_{n→+∞}\frac{1}{n^2}=0$$因此有：$$L=\lim\limits_{n→+∞} a_n=\lim\limits_{n→+∞} (a_n-a_{n-1}+a_{n-1}·····+a_2-a_1+a_1)= \lim\limits_{n→+∞} (a_n-a_{n-1}) + a_{n-1}·····+1=\lim\limits_{n→+∞} \frac{1}{n^2} +\lim\limits_{n→+∞} \frac{1}{(n-1)^2}·····+ \lim\limits_{n→+∞}\frac{1}{2^2}+1=a$$2.2017年高考真题（福建卷）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1=2$，$a_{n+1}=3a^2_n-2$（$n∈N^*$）.（1）求 $S_n$；（2）试求 $\lim\limits_{n→+∞} \frac{S_n}{a_n}$.解析：这道题是康拓奇异形式题，考察点主要在于数列的和，和数列的递推公式之间的关系，以及对数列递推公式的转化。

AD=BC,AB=CD D CBA D /C /B /A /A B D =半圆周 2（A B +A D ）=圆周27°1962年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：设平均每年增长%x ，则有2(1%)121%x +=+， 解得10x =.又第一年产量/第三年产量 =110083%121%121=≈+∴该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%. 2．解：5)21(i -的实部是由包含i 的偶次方的各项所组成， ∴所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解：由已知方程得),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x 即(5)(3)294x x x -+=-，∴210210x x -+=， ∴3,7x x ==，当3x =时，方程无意义， ∴原方程的解为7x =．4．解：4sin(2arcsin )5442sin arcsin cos arcsin 55⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525=⨯⨯=．5．证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四边形（如图），由于两平行 弦所夹的弧相等，∴又∵ ∴∴∠C=900，∴ABCD 为矩形. （2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图）． ∵圆的外切四边形的每 组对边的和相等，∴AD BC AB +=+ 但,AD BC AB CD ==，∴22,AD AB AB AD ==∴ABCD 为菱形.6．解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得24(()210y y a y ---+=，即26(41)0y y a -++=，……………④ 2(6)4(41)16(2)a a ∆=--+=--.（1）当0∆>，即2a <时，方程组有不同的两实数解，且3y ==±，3xa =±，即 113,3x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或 223,3x a y ⎧=-⎪⎨=+-⎪⎩ （2）当0∆=，即2a =时，方程组有相同的两实数解1,3.x y =⎧⎨=⎩（3）当0∆<，即2a >时，方程组没有实数解.7．解：∠ADB =1800-（330+270）=1200根据正弦定理，得sin 27sin120AB AD ⋅︒==︒第7题图 第8题图D1C1B1A1ED CBADCBA又∠CAD=630-330=300，由余弦定理可得222cos30 CD AD AC AD AC=+-⋅⋅︒，24sin271232︒=+-24(0.4540)120.45400.3668.3=+-⨯=∴0.61.CD≈8．解（1）：设AA'mt=，A B'nt=.又1mt nt+=，∴1tm n=+.在直角△D AA''中，222D A D A AA''''=+2222222()m t n t m n t=+=+，而正方形A B C D''''的面积=2222222()()m nD A m n tm n+''=+=+.证（2）：∵2221()2m nm n+-+22222()()2()m n m nm n+-+=+22()2()m nm n-=≥+，∴2221()2m nm n+≥+.9．证：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=2.∵AE为直角△1A AC的斜边1AC上的高，∴1A E·1AC=21AA，CE·1AC=AC2.两式相除，得,21)2(122211===ACAAECEA∴1A E:CE=1:2.10．证：第一种情形：四条直线4321,,,llll没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点,,,,,A B C D E F，它们各不相同.令直线21,ll相交于点A，可决定一平面α.∵点,,B C D均在平面α内，∴直线43,ll也在平面α内，∴直线4321,,,llll同在平面α内.第二种情形：四条直线4321,,,llll中有三条，例如,,,321lll过同一点A.∵直线4l不过点A，∴由点A及直线4l可决定一平面α.∵直线4l与直线,,,321lll相交，设交点为,,B C D，则点,,B C D在直线4l上，从而在平面α内，因此，直线,,,321lll各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,llll在同一平内.βP E D C B A D C BA1963年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案 1．解：tan cos 0θθ=∴≠ ， ∴cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--=++3==-+. 2．解：（1）2)3(1|31|22=+=+i ，tan θ=3πθ=.（2）由图可知，复数i 31+沿反时针方向转1500后，得到的复数为2(cos210sin 210)i i ︒+︒=.3．解：∵AD :BD =4:1， ∴AD =54AB ，BD =51AB ， 又∵AB =1，∴AD =54，BD =51.在直角△ACD 中， ∵CD ⊥AB ，∴CD 2=AD ·BD =,254 ∴CD =52.4．证：如图，点P 是二面角CD αβ--内一点，PA ⊥平面α于点A ，PB ⊥平面β于点B ，∴PA ⊥CD ，PB ⊥CD .∴CD 垂直于由PA ， PB 所决定的平面． 5．解：101lg23.28101lg23.28-=-101 1.3670=-⨯____138.067013910.0670=-=+-____139.9330=，lg 0.9330,8.570x x ==，∴10113923.28108.570--=⨯1398.57010-=⨯.6．解：由sin 3sin cos 20x x x -+=得， 2cos 2sin cos 20x x x ⋅+=，即 cos 2(2sin 1)0x x +=．由cos 20x =得，222x k ππ=±，即4x k ππ=±（k Z ∈）；由2sin 10x +=，得1sin 2x =-，即 1(1)()(1)66k k x k k ππππ+=+--=+-（k Z ∈）．7．解：由2(1)3(2)⨯+得222530x xy y --=，即 (3)(2)0x y x y -+=，∴3x y =，或2yx =-．将3x y =代入（1）得2y x =±= 将2yx =-代入（1）得2,1y x =±= ，经检验得原方程组的解为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或221,2.x y =⎧⎨=-⎩ 8．解：（1）没有重复数字的五位数共有72056=P （个）． （2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是2和4，故末位数的取法有12C 种，当末位数字取定后，其余四位数字的取法只有4445P C ⋅种偶数的个数为240444512=⋅⋅P C C （个）． （3）五位数要为3的倍数，必须组成它的数字的和是3的倍数，这里只有1，3，4，7，9五个数字的和是3的倍数，故共有 120!555==P （个）． 9．证：由图可知AE 2=AC ·AD ，BF 2=BD ·BC ，∵AC =BD ，AD =BC ，∴AE 2=BF 2，AE =BF又OE OF =，90AEO BFO ∠=∠=︒， ∴△AOE ≌△BOF . 10． 证：（1）如图，过球心O 与直圆锥底面的中心1O 作一平面与圆锥和球的截面，则△SAB 为等腰三角形． 联OB ，则1OBO θ∠=． 设圆锥母线长为l ， 底面半径为R ，则 cos 2l R θ⋅=，即θ=2cos Rl ．又11tan OBO R ∠=，即1tan R θ=， ∴1tan cos 2l θθ=⋅，∴11tan cos 2tan l R θθθ+=+⋅11(1)tan cos 2θθ=+ 11cos 2tan cos 2θθθ+=⋅22212cos tan cos sin θθθθ=⋅- 22122tan 1tan tan (1tan )g θθθθ=⋅=--． （2）由条件及（1）得圆锥的全面积()S R l R π=+212tan tan (1tan )πθθθ=⋅⋅- 222tan (1tan )πθθ=-． （3）由（2）得222tan (1tan )S πθθ=-22228tan (1tan )2ππθθ≥=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当arctan 2θ=，即tan 2θ=（舍去负值），∴arctan2θ= ∴当θ取值22arctg=θ时，圆锥的全面积最小.注：本题可用配方法等方法求解.βPDBA1964年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：原式=32==．2．解：设乙的速度为v ，则甲的速度为v a +．在直角PBD ∆中，10cot PD v β=⋅； 在直角PAD ∆中，10()cot PD v a α=+， ∴10cot 10()cot v v a βα⋅=+，∴cot cot cot a v αβα=-∴cot cot 10cot cot cot a PD v αβββα==-10cos cos .sin()αβαβ=-3．解方程,014=+x 并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点解：,sin cos 14ππi x +=-= ∴22cossin44k k x i ππππ++=+，0,1,2,3.k=1cossin44x i ππ=+=233cos sin44x i ππ=+=，355cos sin44x i ππ=+=，477cossin 4422x i iππ=+=-． 在复平面内（x 为实轴，y 为虚轴）分别用,,,A B C D 四点来表示四个根1234,,,x x x x （如图）即22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，22B ⎛- ⎝⎭，22C ⎛-- ⎝⎭，22D ⎛- ⎝⎭. ∵,A B 关于y 轴对称，,A D 关于x 轴对称，∴∠A =900，同理，90B C D ∠=∠=∠=︒，且|AB |=|BC |=|CD |=|DA |=.2 ∴ABCD 是正方形，而,,,A B C D 是顶点． 4．证：设R 为△ABC 的外接圆的半径，则由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin a R b R c R αβγ===，∴由余弦定理得222cos 2b c a bcα+-=222224(sin sin sin )42sin sin R R βγαβγ+-=⋅⋅ 222sin sin sin 2sin sin βγαβγ+-=⋅. 5．解：设方程的三根为,,αββ，且0β>，则由根与系数的关系及题设有22222, (1)23,(2), (3)2 6. (4)m n αβαββαβαβ+=-⎧⎪+=-⎪⎨=-⎪⎪+=⎩ 由（4）-2·（2）得2412,(5)ααβ-=（1）式平方得22244,(6)m ααββ++=（5）+（6）得2222(2)12m αβ+=+,即22612m ⋅=+， ∴0m =.由（1）得02=+βα，即2αβ=-，代入（4）得266β=，1β=，或1β≠-（舍去），2α=-. 由（3）得2(2)12n αβ=-=--⋅=，∴0,2m n ==.6．解：将圆台补成圆锥体（如图）.设其顶点为S ，SD x =，则103015x r x R ==+，即)(60cm x =. 又因AB 弧的长为 230()l R cm ππ==， 而90()l SA cm θθ=⋅=，∴,3090πθ=3πθ=，∴△SAB 为等边三角形，AB =90（cm ），即AB 间的距离为90cm.7．证：1）先证,,,A B C D 四点共面.设通过直线1111A B C D 而垂直于平面M 的平面为P .则因1AA ⊥平面M ，而1A 又在直线1111A B C D上，所以点A 在平面 P 内，同理点,,B C D 均在平面P 内，即 ,,,A B C D 四点共面.2）证ABCD 是一个平行四边形.若AB 与CD 相交于E ，则其在平面N 内的射影22A B 与22C D 也相交于2E ，此与22A B ∥22C D 的假设相违，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC . ∴ABCD 是一个平行四边形. 8．解：（1）设圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R ，则由图知 190CEO ∠=︒， 22CE O E R ==∴.211R CO =同理.222R AO =∴2211AC AO O O CO =++1212)()R R R R =+++121)()R R =+.又∵AB =1，∴AC =2.∴121)()R R +=∴122R R +== （2）两圆面积之和22221212()S R R R R πππ=+=+2211[(2)]R R π=+2211[22(2(2]R R π=-+2132(2R π⎛=-+ ⎝，∴当122R -=，即12R R =时S 取小. ∵1R 的最大值为1R =21，这时2R 为最小值，其值为2R=13(222-= 又当2R =21时，1R 有最小值1R =223-， ∴当1R =21（此时2R =223-）或1R =223-（此时2R =21）时，S 有最大值. 机动题 解：（1）如图，ABCD 为矩形.设AB =a ，AD b =. 作直角△12O O G ，则有()212R R +[][]221212()()b R R a R R =-++-+，解得12R R +=（a +b ）.2ab ± ∵12R R a b +<+ ,∴12R R +=（a +b ）.2ab - ∴两圆面积之和2212S R R ππ=+212(R π⎡=⎢⎣⎦∴当1R =，即12R R =时，S有最小值；当1R 或212R =min(b a ,)时,S 有最大值. (2)如图，球1O 和球2O 外切，球1O 和以1C 为顶点的三面角的三个面相切，球2O 和以A 为顶点的三面角的三个面相切（设棱长为1）.同前类似可计算出：22AO =111C O =，1232R R +=. 两球的体积和33331212444()333V R R R R πππ=+=+22213)R ⎫⎡⎤⎪--⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭2213R ⎤⎛⎥=+ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当1R =，即12R R =时V 有最小值；当2111,22R R ===，或121,2R R ==V 有最大值.注：在（1）中的b a ,必须限制为,2b a b ≤<否则在矩形内之二圆无法相切.C B AAB 1965年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解：二视图表示的是一 个正六棱锥，其棱长为a 2， 底面边长为a ，∴底面积2323a S = 棱锥的高,3a h =∴正六棱锥的体积23113332V Sh a ===.2.解：设经过x 小时后， 甲船在C 处追上以船， 则22BC x =（里） 26AC x =（里）由正弦定理得sin sin BC ACCAB ABC=∠∠，即2226sin(4948)sin(1804948)x xα=''︒-︒-︒，∴22sin 4948sin(4948)26α'⋅︒'︒-=，两边取对数得lgsin(4948)α'︒-lg22lgsin 4948lg26 1.8104'=+︒-=，9484015α''︒-=︒，∴49484015933α'''=︒-︒=︒. 3. 解：A ，B 两地之间的球面距离为过A ，B 所作的大圆的圆弧的长，设其长为l ，且设θ=∠AOB ， 过A ，B 作平面1O AB NS ⊥（极轴）， 此平面与球面交成圆1O . 设其半径为r ，由已知， 1AO B β∠=.设C ，D 分别为赤道平面上与点A ，B 同经度之两点，则由已知得， AOC BOD α∠=∠=. 在过A ，B 的大圆上有180R l πθ=.由此可知，只需求出θ即可.在圆1O 中，线段AB=2sin 2AB r β=.又在过A ，C 的大圆中，1190,OO A OAO α∠=︒∠=， ∴αcos R r =，代入上式，可得线段2cos sin2AB R βα=.在AOB ∆中，线段2sin ,2AB R θ=∴2sin2θR =,2sincos 2βαR∴2arcsin(cos sin)2βθα=.由此可得A ，B 两地之间的球面距离为2arcsin(cos sin ).1802R l πβα=此处之角度以度为单位. 4.证：（1）|sin 2||2sin cos |x x x =⋅2|sin ||cos |x x =⋅．∵|cos |1x ≤，∴|sin 2|2|sin |x x ≤． （2）当n =1时，结论显然成立. 假设当(1)n k k =>时结论成立，即 .|sin ||sin |x k kx ≤ 当1n k =+时，|sin(1)||sin cos cos sin |k x kx x kx x +=⋅+⋅ |sin cos ||cos sin |kx x kx x ≤⋅+⋅ |sin ||cos ||cos ||sin |kx x kx x =⋅+⋅ |sin ||sin |(1)|sin |k x x k x ≤+=+， 这就是说当1n k =+时，结论成立， ∴当n 为任意正整数时，结论均成立. 5.解：曲线C 是椭圆，中心在(1,1)-，其长轴平行于y 轴，短轴平行于x 轴（如图）．设直线1l 过点P (4,2)-且垂直于直线l ，与曲线C 相交于点A ，B ，1l 的方程为2(4)y x +=--，即2y x =-+.解方程组22(1)(1)1,242,x y y x ⎧+-+=⎪⎨⎪=-+⎩得 12211,1,3 3.5;3x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∴直线1l 与曲线C 的交点为 15(,),(1,3)33A B -. 6.解：设α是它们的公共根，则2230, (1)4(1)0.(2)a p a p αα⎧+-=⎨---=⎩由（1）+3⨯（2）得241230p p ααα+--=，即 (4)(3)0p αα+-=，解得3α=或4pα=-.当3α=时，将3α=代入（1）得2p =-；当4p α=-时，将4pα=-代入（1）得210p +=，p 不存在.∴当p =-2时，方程032=-+px x 与方程x x 42-0)1(=--p 有一公共根3.7.解：（1） ∵111222(,),(,)P x y P x y ， ∴12PP 的中点为)2,2(21211y y x x M ++， ∴点3P 的横坐标,8)(22212y y y x +== 纵坐标221y y y +=.123PP P S ∆=1122212121112()182x y x y y y y y ++211221121|()22x x x y x y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++2222121221121|()2222y y y y y y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++22121212121|||42()()|16y y y y y y y y =-⋅-+++ |)(|||16122121y y y y --⋅-=3121||16y y =-. （2）∵1P 的坐标为11(,)x y ， 3P 的坐标为)2,8)((21221y y y y ++， ∴13PP 的中点为)43,1625(212221212y y y y y y M +++，点1Q 的横坐标,32)3(22212y y y x +== 纵坐标.4321y y y +=同理，点2Q 的横坐标212(3)32y y x +=，纵坐标.4321y y y += ∴131PPQ ∆的面积+232P PQ ∆的面积=128)(14332)3(121212212122111y y y y y y y y y x ++++的绝对值+114332)3(128)(21222122121221y x y y y y y y y y ++++的绝对值2212121|[2()(3)]16y y y y y =+-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 2212121|[2()(3)]16y y y y y ++-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 222112122111|||()||||()|128128y y y y y y y y =-⋅-+-⋅- 3121||64y y =-. （3）线段12PP 与抛物线所围成的图形的面积123131232()PP P PP Q P P Q S S S S ∆∆∆=+++ 333121212111||||||1664256y y y y y y =-+-+-+ 3123121||116||11214y y y y -==--.8.附加题（1）已知c b a ,,为实数，证明c b a ,,均为正整数的充要条件是0,0,0.a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,都是实数，证明γβα,,是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的. ∵,0,0,0>>>c b a∴0>++c b a ，0>++ca bc ab ， .0>abc .下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程320x px qx r +++=的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有0,0,0,p a b c q ab bc ca r abc -=++>⎧⎪=++>⎨⎪-=>⎩即 .0,0,0<><r q p∴三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，∴方程无负根，即方程的根均非负; 又由0>abc 可知，方程无零根， ∴0,0,0a b c >>>.（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是0,0,0p q r <><， ∴问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843->. 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有,,αβγβγαγαβ+>+>+>， ∴0,0αβγβγα+->+->，0γαβ+->，∴))()((βαγαγβγβα-+-+-+ (2)(2)(2)p p p αβγ=------ (2)(2)(2)p p p αβγ=-+++a 32[2()p p αβγ=-+++ 4()8]p βγγααβαβγ++++33(248)p p pq r =--+- 3480p pq r =-+>， 即r pq p 843->.条件的充分性：若r pq p 843->，则 ,0843>+-r pq p 3()αβγ-+++4()()80αβγαββγγααβγ++++->， ()(222αβγαββγγα++++222)80αβγαβγ---->， 2[()][()αβγβγ++--22()]80αβγααβγ++-->， 322()()ααβγαβγ-+++- 2()()0βγβγ-+->，22()()()0ααβγβγαβγ-+++--->， 22()[()]0αβγαβγ-++-->，()()()0αβγαβγαβγ-+++--+>．此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有()()0αβγαβγ+--+>．如果,0,0<+-<-+γβαγβα 两式相加得02<a ，即0<α， 此与0>α相矛盾． ∴,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα 即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ 即γβα,,可作为一个三角形的三条边．综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p1966年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为1457175C C =.如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为2357350C C =.∴一共有175+350=525种选法. 2.解:如图,已知8AD =， 10,6BC CD ==. 用1,O O 表示上、下 底面的中心,,E F 表 示,AD BC 的中点.连接11,,,OO EF OE O F ,则1OO FE 为直角梯形.从E 点作1O F 的垂线,垂足为G ，EG 就是正四棱台的高.EF ==EG ==，∴110080)3V =++=. 3.解法一:如图,在ABD ∆中，,,AB a BAD BDA θααβ=∠=-∠=-，由正弦定理得sin()sin()BD aθααβ=--，即asin()sin()a BD θααβ-=-.在BCD ∆中，,CBD BCD θβπθ∠=-∠=-， 由正弦定理,得sin()sin()CD BDθβπθ=--，即 sin()sin BD CD θβθ-=，∴sin()sin()sin sin()a CD θαθβθαβ--=-..解法二:如图, 从D 点作AC 的垂线与AC 的延长线交于点E ，设DE h =.在直角三角形ADE 中，tan()ha BEθα=-+，即tan()hBE a θα=--.在直角三角形BDE 中, tan()h BE θβ=- ，即tan()tan()hh a θβθα⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴tan()tan()tan()tan()a h θβθαθβθα--=---.在直角三角形CDE 中,[]tan()tan()sin sin tan()tan()h a CD θβθαθθθβθα--==--- ．4.已知双曲线的方程为221696418890x y x y -++-=.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x 轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.解:(1)已知方程变形得2216(2)9(1)144x y +--=，即22(2)(1)1916x y +--=．令2,1x x y y ''+=-=,得221916x y ''-=， ∴这条双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标分别为(5,0),(5,0)-，且双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标分别为 12(7,1),(3,1)F F -.(2)如图, 12,F F 为双曲线的两个焦点,为圆与x 轴的两个交点, C 为圆心.因为过C 点与x 轴垂直的直线必平分线段12F F ,且平分线段AB ,所以C 点的横坐标为7322-+=-，且4AM BM ==. 设圆心坐标为(2,)C t -，半径为r ，则在AMC Rt ∆中，2216r t =+. 由圆C 经过焦点12,F F 得()2222(7)(1)r t =---+-，即22226r t t =-+，∴2216226t t t +=-+， ∴5t =，∴r =∴圆的方程为22(2)(5)41x y ++-=.5. 解:设0,0u v ，则221,1x u y v =-=-， ∴原方程组可转化为22223, (1)2()180.(2)u v u v u v +=⎧⎨-++=⎩ 由（2）得2222()4180u v u v u v -+++=，即2240u v uv +=，0uv =，或40uv =-<（舍去）.解方程组3,0u v uv +=⎧⎨=⎩得0,3u v ==，或3,0u v ==，即1,8,x y =-⎧⎨=⎩或9,1.x y =⎧⎨=-⎩检验知原方程组的解是1,8,x y =-⎧⎨=⎩9,1.x y =⎧⎨=-⎩ 注：本题的解法较多，在此不一一列举. 6.解: （1）为边长可这三个数中，任意两个数的和大于第三个数即可.∵,,a b c 是三角形是△ABC 的三边， ∴b c a +>，∴2b c b c a =++>+>，>同理可证>>∴以为边长可以作一个三角形.（2）∵是三角形A B C '''∆的三边长，∴cos A '=.(3)不失一般性可以认为a b c ≥≥,并且至少有一个不等号成立.由于较大的数的算术≥ 如果△ABC 与A B C '∆相似，那么△ABC 中的大边与A B C '''∆中的大边必为对应边，由相似三角形对应边成比例得==a b c ==. 这与△ABC 不是正三角形相矛盾.。

1952年试题数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x4-y4= .2.若log102x=2log10x,问x= .5.6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.8.正十边形的一内角是度.9.祖冲之的圆周率π= .10.球的面积等于大圆面积的倍.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.12.正多面体有种,其名称为 .14.方程式tan2x=1的通解为x= .15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .19.原点至3x+4y+1=0之距离= .20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.1952年试题答案第一部分1. (x-y)(x+y)(x2+y2).2. 2.3. -1.4. ±3.5. -247. 15.8. 144°10. 4.11. 12π.12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.16. 3.17. x+y+1=0.18. x2+y2-6x-8y=020. (1,-3)第二部分1. 2,-6,ω,ω2.A,B,C皆为锐角。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数． 【热点题型】题型一 利用定义求函数的导数例1、用定义法求函数f(x)＝x2－2x －1在x ＝1处的导数． 【提分秘籍】(1)求函数f(x)的导数步骤：①求函数值的增量Δy ＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率Δy Δx ＝fx2－f x1x2－x1；③计算导数f′(x)＝lim Δx→0ΔyΔx .(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x ＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．【举一反三】(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是____________________________________．(2)已知f(x)＝1x，则f′(1)＝________. 题型二导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·lnx ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x2＋1x ＋1x3.【提分秘籍】有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错．【举一反三】(1)f(x)＝x(＋lnx)，若f ′(x0)＝，则x0等于( ) A ．e2B ．1 C ．ln2D ．e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A ．－1B ．－2 C ．2D ．0题型三 导数的几何意义例3 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 【提分秘籍】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点． 【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．(2)已知函数f(x)＝x3－3x ，若过点A(0,16)且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．【高考风向标】【高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． （·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论)（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. （·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【高考押题】1．设f(x)＝xlnx ，若f′(x0)＝2，则x0的值为( ) A ．e2B ．eC.ln22D ．ln22．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx ，则f′(1)等于( ) A ．－eB ．－1 C ．1D ．e3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝05．曲线y ＝x3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.126．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x )＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________.7.已知函数y ＝f(x)及其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y ＝f(x)在点P 处的切线方程是__________．8．已知曲线y ＝x3＋x －2在点P0处的切线l1平行于直线4x －y －1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标；(2)若直线l ⊥l1，且l 也过切点P0，求直线l 的方程． 9．已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系． 【热点题型】题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 【提分秘籍】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【举一反三】(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312B ．31C.314D ．以上都不正确(2)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．题型二 等比数列的性质及应用例2、(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.(2)等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n 项和为Sn ，若S10S5＝3132，则公比q ＝________. 【提分秘籍】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则am·an ＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【举一反三】(1)设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn 、Tn 分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n 项和，且Sn Tn ＝n2n ＋1，则logb5a5＝________.题型三等比数列的判定与证明例3、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且an ＋Sn ＝n. (1)设cn ＝an －1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【提分秘籍】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证． 【举一反三】设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a 1＝1，Sn ＋1＝4an ＋2. (1)设bn ＝an ＋1－2an ，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【高考风向标】【高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+526c =-，则b =． 【高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =. 1．（·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A ．a1，a3，a9成等比数列B ．a2，a3，a6成等比数列C ．a2，a4，a8成等比数列D ．a3，a6，a9，成等比数列2．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.3．（·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．4．（·全国卷） 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．（·湖北卷） 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．6．（·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.7．（·山东卷） 已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.8.（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．9．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．10．（·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}， 集合A ＝{x|x ＝x1＋x2q ＋…＋xnqn －1，xi ∈M ，i ＝1，2，…，n}． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s ，t ∈A ，s ＝a1＋a2q ＋…＋anqn －1，t ＝b1＋b2q ＋…＋bnqn －1，其中ai ，bi ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若an<bn ，则s<t.【高考押题】1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A ．a1，a3，a9成等比数列 B ．a2，a3，a6成等比数列 C ．a2，a4，a8成等比数列 D ．a3，a6，a9成等比数列2．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( ) A ．6B ．5C ．4D ．33．等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( ) A.13B ．－13C.19D ．－194．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．105．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn 为前n 项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－506．等比数列{an}中，Sn 表示前n 项和，a 3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q 为________．7．等比数列{an}的前n 项和为Sn ，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n ∈N*，都有an ＋2＋an ＋1－2an ＝0，则S5＝________.8．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n 项和为Sn ，若a1＝1，a3＝4，Sk ＝63，则k ＝________. 9．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8. (1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n 项和Tn. 10．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝4an －3(n ∈N*)． (1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn ＋1＝an ＋bn(n ∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数． 【热点题型】题型一 利用定义求函数的导数例1、用定义法求函数f(x)＝x2－2x －1在x ＝1处的导数． 【提分秘籍】(1)求函数f(x)的导数步骤：①求函数值的增量Δy ＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率Δy Δx ＝fx2－f x1x2－x1；③计算导数f′(x)＝lim Δx→0ΔyΔx .(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x ＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．【举一反三】(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是____________________________________．(2)已知f(x)＝1x，则f′(1)＝________. 题型二导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·lnx ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x2＋1x ＋1x3.【提分秘籍】有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错．【举一反三】(1)f(x)＝x(＋lnx)，若f ′(x0)＝，则x0等于( ) A ．e2B ．1 C ．ln2D ．e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A ．－1B ．－2 C ．2D ．0题型三 导数的几何意义例3 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 【提分秘籍】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点． 【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．(2)已知函数f(x)＝x3－3x ，若过点A(0,16)且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．【高考风向标】【高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． （·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论)（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. （·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【高考押题】1．设f(x)＝xlnx ，若f′(x0)＝2，则x0的值为( ) A ．e2B ．eC.ln22D ．ln22．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx ，则f′(1)等于( ) A ．－eB ．－1 C ．1D ．e3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝05．曲线y ＝x3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.126．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x )＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________.7.已知函数y ＝f(x)及其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y ＝f(x)在点P 处的切线方程是__________．8．已知曲线y ＝x3＋x －2在点P0处的切线l1平行于直线4x －y －1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标；(2)若直线l ⊥l1，且l 也过切点P0，求直线l 的方程． 9．已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【热点题型】题型一 平面向量数量积的运算例1、(1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C.－322D ．－3152(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．【提分秘籍】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．【举一反三】(1)已知平面向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b ＝－6.则x1＋y1x2＋y2的值为( )A.23B ．－23C.56D ．－56(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A.2B ．2C.6D ．6 题型二 求向量的模与夹角例2、(1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B ．－126 C.112D ．－112(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________.(3)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【提分秘籍】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．【举一反三】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a ＝3e1－2e2与b ＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.题型三 数量积的综合应用例3、已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△AB C 的面积．【提分秘籍】解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法．【举一反三】已知向量m ＝(2sin(ωx ＋π3)，1)，n ＝(2cosωx ，－3)(ω>0)，函数f(x)＝m·n 的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x ∈[－5π6，π12]时，求f(x)的值域． 题型四向量在平面几何中的应用例4、如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：PA ＝EF.【提分秘籍】用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 【举一反三】(1)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( ) A.3＋33 B.92 C.3D.94(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积的比值是( ) A.13B.12C.23D.34题型五向量在三角函数中的应用例5、已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)，q ＝(sinA －cosA,1＋sinA)，且p 与q 是共线向量．(1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小． 【提分秘籍】解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．【举一反三】(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m ⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3(2)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sinC)，n ＝(3a ＋c ，sinB －sinA)，若m ∥n ，则角B 的大小为________．题型六平面向量在解析几何中的应用例6、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，且A 、B 、C 三点共线，当k<0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x ，y)满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【提分秘籍】向量的共线和数量积在解析几何中可以解决一些平行、共线、垂直、夹角及最值问题，在解题中要充分重视数量积及其几何意义的作用．【举一反三】已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的最大值为________． 【高考风向标】1.【高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.【高考重庆，文7】已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（） (A)3π (B) 2π (C) 32π (D) 65π3.【高考福建，文7】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．324.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为． 5.【高考浙江，文13】已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =．1．（·北京卷）已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________． 2．（·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb)⊥(a －λb)，则实数λ＝________．3．（·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e1－2e2与b ＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．.4．（·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b)⊥a ，(＋b)⊥b ，则|＝() A ．2 B.2 C ．1 D.225．（·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则＝() A ．1 B ．2 C ．3 D ．56．（·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．7．（·天津卷）已知菱形AB CD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.7128．(高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为() A.322B.3152C ．－322D ．－31529．(高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是() A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]10．(高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．11．(高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．【高考押题】1．若向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，则a·b 的值为( ) A ．－12B.12C ．－1D ．12．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b|等于( ) A ．1B.2C ．2D ．43．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－7,8) B ．(9，－4) C ．(－5,10) D ．(7，－6)5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5B ．25C ．5D ．106．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →7．平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形B ．梯形 C ．正方形D ．菱形8．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x ，y)满足PA →·PB →＝x2－6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10.若函数y ＝Asi n(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π11．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b<0，S △ABC ＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BA C ＝________.12．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x 的方程x2＋|a|x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．13．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x ，y)满足不等式0≤OP →·OM→≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．14．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE.15．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，其中α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值．16．已知向量p ＝(2sinx ，3cosx)，q ＝(－sinx,2sinx)，函数f(x)＝p·q.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(C)＝1，c ＝1，ab ＝23，且a>b ，求a ，b 的值． 高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数． 【热点题型】题型一 利用定义求函数的导数例1、用定义法求函数f(x)＝x2－2x －1在x ＝1处的导数． 【提分秘籍】(1)求函数f(x)的导数步骤：①求函数值的增量Δy ＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率Δy Δx ＝fx2－f x1x2－x1；③计算导数f′(x)＝lim Δx→0ΔyΔx .(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x ＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．【举一反三】(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是____________________________________．(2)已知f(x)＝1x，则f′(1)＝________. 题型二导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·lnx ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x2＋1x ＋1x3.【提分秘籍】有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错．【举一反三】(1)f(x)＝x(＋lnx)，若f ′(x0)＝，则x0等于( ) A ．e2B ．1 C ．ln2D ．e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A ．－1B ．－2 C ．2D ．0题型三 导数的几何意义例3 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 【提分秘籍】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点． 【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．(2)已知函数f(x)＝x3－3x ，若过点A(0,16)且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．【高考风向标】【高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． （·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论)（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. （·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【高考押题】1．设f(x)＝xlnx ，若f′(x0)＝2，则x0的值为( ) A ．e2B ．eC.ln22D ．ln22．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx ，则f′(1)等于( ) A ．－eB ．－1 C ．1D ．e3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝05．曲线y ＝x3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.126．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x )＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________.7.已知函数y ＝f(x)及其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y ＝f(x)在点P 处的切线方程是__________．8．已知曲线y ＝x3＋x －2在点P0处的切线l1平行于直线4x －y －1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标；(2)若直线l ⊥l1，且l 也过切点P0，求直线l 的方程． 9．已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用． 【热点题型】题型一 用不等式(组)表示不等关系例1、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？【提分秘籍】对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．【举一反三】已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表：甲 乙 维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/k g)800400设用甲、乙两种食物各xkg ，ykg 配成至多100kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和62000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．题型二比较大小例2、(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M ＝a1a2，N ＝a1＋a2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M<NB ．M>N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( ) A ．a<b<cB ．c<b<a C ．c<a<bD ．b<a<c 【提分秘籍】 比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系． 【举一反三】(1)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab<b2C ．－ab<－a2D ．－1a <－1b(2)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>bB ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b 题型三 不等式性质的应用例3、已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b －1；③a －b>a －b ；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③B ．①②④ C ．①③④D ．②③④ 【提分秘籍】(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．【举一反三】(1)设a ，b 是非零实数，若a<b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a2<b2B ．ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.b a <a b(2)已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a>b ，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b ；③若a>b ，则a·2c>b·2c. 其中正确的是________．(填上所有正确命题的序号) 【高考风向标】1.【高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++ 2．（·山东卷）已知实数x ，y 满足ax ＜ay(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1x2＋1＞1y2＋1 B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C. sin x ＞sin y D. x3＞y33．（·四川卷）若a>b>0，c<d<0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．（·安徽卷）若函数f(x)＝|x ＋1|＋|2x ＋a|的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或85．（·新课标全国卷Ⅱ）已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，126．（·新课标全国卷Ⅱ）设a ＝log 36，b ＝log510，c ＝log714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【高考押题】1．“a ＋c>b ＋d”是“a>b 且c>d”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a2<b2B ．ab<b2C ．a ＋b<0D ．|a|＋|b|>|a ＋b|3．已知x>y>z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy>yzB ．xz>yz C ．xy>xzD ．x|y|>z|y|4．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π)5．设a>1，且m ＝loga(a2＋1)，n ＝loga(a －1)，p ＝loga(2a)，则m ，n ，p 的大小关系为( ) A ．n>m>pB ．m>p>n C ．m>n>pD ．p>m>n6．已知a<0，－1<b<0，那么a ，ab ，ab2的大小关系是__________．(用“>”连接)7．设a>b>c>0，x ＝a2＋b ＋c 2，y ＝b2＋c ＋a 2，z ＝c2＋a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题 ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0； ②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0； ③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0. 其中正确的命题是________．9．若实数a≠1，比较a ＋2与31－a的大小．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数． 【热点题型】题型一 利用定义求函数的导数例1、用定义法求函数f(x)＝x2－2x －1在x ＝1处的导数． 【提分秘籍】(1)求函数f(x)的导数步骤：①求函数值的增量Δy ＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率Δy Δx ＝fx2－f x1x2－x1；③计算导数f′(x)＝lim Δx→0ΔyΔx .(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x ＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．【举一反三】(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是____________________________________．(2)已知f(x)＝1x，则f′(1)＝________. 题型二导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·lnx ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x2＋1x ＋1x3.【提分秘籍】有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错．【举一反三】(1)f(x)＝x(＋lnx)，若f ′(x0)＝，则x0等于( ) A ．e2B ．1 C ．ln2D ．e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A ．－1B ．－2 C ．2D ．0题型三 导数的几何意义例3 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 【提分秘籍】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点． 【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．(2)已知函数f(x)＝x3－3x ，若过点A(0,16)且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．【高考风向标】【高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． （·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论)（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. （·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【高考押题】1．设f(x)＝xlnx ，若f′(x0)＝2，则x0的值为( ) A ．e2B ．eC.ln22D ．ln22．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx ，则f′(1)等于( ) A ．－eB ．－1 C ．1D ．e3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝05．曲线y ＝x3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.126．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x )＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________.7.已知函数y ＝f(x)及其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y ＝f(x)在点P 处的切线方程是__________．8．已知曲线y ＝x3＋x －2在点P0处的切线l1平行于直线4x －y －1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标；(2)若直线l ⊥l1，且l 也过切点P0，求直线l 的方程． 9．已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.考查对数函数的图象、性质；2.考查对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数问题． 【重点知识梳理】 1．对数的概念一般地，对于指数式ab ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作logaN ，即b ＝logaN(a>0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM ＋logaN ；②loga MN ＝logaM －logaN ； ③logaMn ＝nlogaM (n ∈R)；④logamMn ＝nm logaM. (2)对数的性质①alogaN ＝__N__；②logaaN ＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：logbN ＝logaNlogab (a ，b 均大于零且不等于1)； ②logab ＝1logba ，推广logab·logbc·logcd ＝logad. 3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图 象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x__对称． 【高频考点突破】 考点一 对数式的运算 例1、计算下列各式： (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)． 【探究提高】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧． 【变式探究】求值：(1)log89log23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； (3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. 考点二 对数函数的图象与性质例2、已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c<a<bB ．c<b<aC ．b<c<aD ．a <b<c【探究提高】(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．【变式探究】 (1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log52，则a ，b ，c 的大小关系为 () A ．c<b<aB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a(2)已知函数f(x)＝loga(x ＋b) (a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 考点三 对数函数的综合应用 例3、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【探究提高】解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 【变式探究】已知函数f(x)＝loga(8－2x) (a>0且a≠1)． (1)若f(2)＝2，求a 的值；(2)当a>1时，求函数y ＝f(x)＋f(－x)的最大值． 【真题感悟】1.【高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ）1-（B ）1（C ）2（D ）4 2.【高考浙江，文9】计算：22log 2=，24log 3log 32+=． 3.【高考四川，文12】lg0.01＋log216＝_____________.4.【高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.【高考上海，文8】方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为.1．（·天津卷） 函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________． 2．（·安徽卷） ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log354＋log345＝________.3．（·浙江卷） 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x ＞0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )4．（·福建卷） 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )5．（·广东卷） 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．6．（·辽宁卷） 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b7．（·山东卷） 已知函数y ＝loga(x ＋c)(a ，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )A ．a>1，x>1B ．a>1，0<c<1C ．0<a<1，c>1D ．0<a<1，0<c<18．（·四川卷） 已知b ＞0，log5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝acB ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c9．（·重庆卷） 若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3 C ．6＋43 D ．7＋43【押题专练】1．已知函数f(x)＝ax ＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2D ．42．已知x ＝lnπ，y ＝log52，z ＝e －12，则( ) A ．x ＜y ＜z B ．z ＜x ＜y C ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x3．若f(x)＝logax 在[2，＋∞)上恒有f(x)>1，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(1,2) C ．(1,2)D.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)4．已知函数f (x)满足：当x≥4时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x ；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log23)＝( )A.124B.112C.18 D.385．设函数f(x)＝若f(m) <f(－m)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 6．|1＋lg 0.001|＋lg213－4lg 3＋4＋lg 6－lg 0.02的值为________．7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x≤0log2x ，x>0，则使函数f(x)的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是______________．8．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f(2)的大小关系为________．(用“<”表示)9．若f(x)＝x2－x ＋b ，且f(log2a)＝b ，log2f(a)＝2(a≠1)． (1)求f(log2x)的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)． 10．已知函数f(x)＝loga(x ＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明． 11．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x ＋3)． (1)若f(x)定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。