江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(附解析)

苏州市 2018 届高三调研测试（三）数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】5【解析】分析：利用集合的包含关系，推出m是A的元素，求解即可.解析：集合，，若，可得，.故答案为：5点睛：对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．2. 已知是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数则实数的值为__________.【答案】-3【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解.解析：的实部与虚部互为相反数，，即.故答案为：-3.点睛：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．3. 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 度到 350 度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间内的户数为__________.【答案】22【解析】分析：由频率分布直方图先求出用电量落在区间内的频率，由此能求出用电量落在区间内的户数.解析：由频率分布直方图得：用电量落在区间内的频率为：1-（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）50=0.22，用电量落在区间内的户数为：1000.22=22.故答案为：22.点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.4. 从 1，2，3，4 这四个数中随机地选取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为__________.【答案】【解析】试题分析：从四个数中任取两个数共有六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有一种,所以其概率为,即概率是.考点：列举法、古典型概率公式及运用.视频5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________.【答案】7【解析】分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果.解析：在执行循环前：k=1，S=1.执行第一次循环时： S=1，k=3.执行第二次循环时： S=3，k=5.执行第三次循环时： S=15，k=7.由于S>10，输出k=7.故答案为：7.点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．6. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________.【答案】【解析】分析：离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程.解析：双曲线的离心率为，可得，由题意可得，解得.双曲线方程为.渐近线方程为.故答案为：.点睛：区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中，而在双曲线中.7. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则实数的值为__________.【答案】【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可.解析：画出可行域，如图所示：由图可知，直线恒经过点，当直线再经过BC的中点时，平面区域被直线分为面积相等的两部分.当时，代入直线的方程得：.故答案为：.点睛：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．8. 若数列的前项和满足，则的值为__________.【答案】-81【解析】分析：利用与的关系式求出的通项公式即可得到答案.解析：，当时，，当时，，即，是以首项为-3，公比为3的等比数列...故答案为：-81.点睛：强调与的关系.9. 现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.【答案】【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=10，由，得，由得.由可得.该容器的容积为.故答案为：.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．10. 已知向量，，，若，则的夹角大小为__________. 【答案】120°【解析】分析：先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，从而可得答案.解析：设与的夹角为，，则，，.，。

苏州市2018届高三调研测试 数学Ⅰ试题 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1． 已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ▲ ． 2． 已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ． 3． 若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．4． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ▲ ．5． 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．6． 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．7． 已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ．8． 函数e ln y x x =-的值域为 ▲ ．9． 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．10． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．11． 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．12． 在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P的个数为 ▲ ．13． 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ▲ ． 14． 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（第6题）（2）若a=4b=，求边c的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）P A∥平面MDB；（2）PD⊥BC．（第16题）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18． （本小题满分16分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．（第18题）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．20． （本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2018届高三调研测试答案数学Ⅰ试题 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B ={}0,1-． 2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-=i 24-． 3．若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ =3π．4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = 14．5． 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为π5． 6． 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是[]4,1-． 7． 已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x =7-． 8． 函数e ln y x x =-的值域为[)+∞,2．9． 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为2．10． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是31． 11． 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是()2,1-．12． 在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P的个数为2．13． 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为362-．14． 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）（第6题）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =4b =，求边c 的大小．解：(1)因为1cos 2a C cb +=，所以B C C A sin sin 21cos sin =+()C A +=sin C A C A sin cos cos sin += 即C A C sin cos sin 21=，又因为π<<C 0 所以0sin ≠C ，所以21cos =A ，又因为π<<A 0所以3π=A ．(2) 因为A bc c b a cos 2222-+=，即c c 416152-+=所以0142=+-c c ，解得32±=c ．16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证： （1）P A ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．证明：(1)连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，则 因为四边形ABCD 是矩形所以O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点．所以PA OM //．又因为⊄PA 平面MDB ，而⊂OM 平面MDB 所以P A ∥平面MDB ．(2)因为平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ⋂平面ABCD CD =，CD BC ⊥所以⊥BC 平面PCD ． 又⊂PD 平面PCD ， 所以PD ⊥BC ． 17． （本小题满分14分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 解：(1)由题意⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v v a v a v v y 425010002504110002()800≤<v ． (2)当16000≤<a 时，a a v a v y 1000422504250=⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=当且仅当vav 4=，即a v 2=时，取最小值．（第16题）当1600>a 时，()222425041250v a v v a y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 因为800≤<v ，所以0<'y ，所以y 在(]80,0上递减，所以当80=v 时，y 取最小值22520000a+．18． （本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．解：(1)由题意知2=a ，且1414222=+ba e ． 又224cb -=，2<c ． 解得3=c ，所以12=b ．所以椭圆的方程为1422=+y x ． (2)设()()2211,,,y x C y x B ()10,2022<<<<y x ，又()0,2A ，则：()22,y x =，()11,2y x --=，()11,y x =． 所以()()2211,,2y x y x =--=λλλλ，有⎩⎨⎧-=-=12122y y x x λλλ．又0OC OB ⋅=，所以02121=+y y x x ．所以()()021*******=-+-=+y y x x y y x x λλλ．即121212x y x =+，又442121=+y x ，解得21=x 或321=x ． 又()0212>-=x x λ，所以21≠x ． 又442222=+y x ．所以()44221221=+-y x λλλ，即()[]44221212=+-y x λ．所以()112121221484424x x y x -=-=+-=λ43=． （第18题）又由题意OC BA λ=知0>λ，所以23=λ． 19． （本小题满分16分） 设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：设数列{ a n + f (n ) }的公比为q ，则：()()()n f a q n f a n n +=+++11． 而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221c b bn a na an n n a n +++++++-+=214222 ()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==cb a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0212c b a q ．故存在()n n n f 22-=，使数列{ a n + f (n ) }成公比为2的等比数列． 又()221311=-+=+f a ，所以()n n n n f a 2221=⋅=+-． 所以()n n n f a n n n 2222+-=-=．(2) 因为a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，可设Bn An a n +=2，则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221．又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1142222+-++=n n Bn An ()()142122+-++=n B n A ．由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=142212B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=，所以11=a ．所以当2≥n 时，()()[]1212221-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．20． （本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．解：(1)由a = 2，b = 1知()xe x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12，()+∞∈,0x 所以()()()22121121x e x x e x e x x f xx x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='． 令()0='x f 得11-=x （舍），或21=x ． 当21>x 时，()0>'x f ；当210<<x 时，()0<'x f ．所以当21=x 时，()x f 取极大值e 4，无极小值．(2) ①因为()()e x bf x a x=+．所以()x x e x b a e x b x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='2()22x e b bx ax x -+=． 令()b bx ax x g -+=2，[]2,1∈x ． 因为a > 0，b > 0，所以其对称轴02<-=abx ，所以()x g 在[]2,1上递增． 所以()()01min >=-+==a b b a g x g ，故()0>x g 在[]2,1上恒成立． 所以()0>'x f ，即()f x 在区间[1，2]上是增函数． ②由题意知()f x 在区间[1，2]上是增函数，且(2)0f <．所以()()021<<f f ，2(2)e f --<，且，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．。

苏州市2018届高三教学调研测试数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟.2.请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上,第Ⅱ卷的解答写在答题卷上.在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={a,b,c,d}，集合A={a,c,d}，B={b,d}，则集合（C U A）∩B等于A．{b} B.{d} C.{a,c} D.{b,d}2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=18-a4,则S8等于A．144 B.72 C.54 D.363.不等式（x-1）·|x|≥0的解集为A．{x|x＞1} B.{x|x≥1} C.{x|x＞1或x=0} D.{x|x≥1或x=0} 4．若函数f(x)=x2lga-2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是A．0＜a＜10 B.1＜a＜10 C.0＜a＜1 D.0＜a＜1或1＜a＜105.抛物线y=14x2的焦点坐标是A．（0，116） B.(116,0) C.(1,0) D.(0,1)6.设双曲线C:2214xy-=的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l的斜率的取值范围是A．k≤-12或k≥12B.k＜-12或k＞12C.- 12＜k＜12D.-12≤k≤127.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2,x∈[1，2]与函数y=x2，x∈[-2，-1]即为“同族函数”.下面4个函数中能够被用来构造“同族函数”的是A.y=sinxB.y=xC.y=2xD.y=log2x8.已知函数y=f(2x+1)是偶函数，则一定是函数y=f(2x)图象的对称轴的直线是A．x=-12B.x=0C.x=12D.x=19.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①////;//αββγαγ⎫⇒⎬⎭②;//mmαββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭③;//mmααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭④////.m nmnαα⎫⇒⎬⊂⎭A.①②B.②③C.①③D.②④10.如图，正方形ABCD 的顶点A （02）,B(2,0),顶点C ，D 位于第一象限，直线l:x=t(0≤t ≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S=f(t)的图象大致是11．已知直线x=6π是函数y=asinx-bcosx 图象的一条对称轴，则函数y=bsinx-acosx 图象的一条对称轴方程是 A ．x=6π B.x=3π C.x=2πD.x=π 12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P （n,a n ）和Q （n+2,a n+2）（n ∈N *）的直线的一个方向向量的坐标是A ．（2，1)2B.(-1,2)2-C.(-1,1)2- D.(-1,-1)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卷相应的位置上.13.直角坐标系xOy 中，若定点A （1，2）与动点P(x,y)满足4,OP OA P =则点的轨迹方程是__________.14．记地球赤道的周长为C km ，则地球北纬60°的纬线圈的周长用C 表示等于______km.15.在右侧棋子堆放的示意图中，最上层（记为第一层）有1颗棋子，第二层有3颗，第三层有6颗，…，如果按图示的方式摆放，那么堆放满5层需要的棋子总数是______颗.16．已知椭圆221259x y +=与双曲线22197x y -=在第一象限内的交点为P ，则点P 到椭圆右焦点的距离等于__________.17．设a,b 是两个不共线的向量，若2,3,2,AB a kb CB a b CD a b =+=+=-且A,B,D 三点共线，则k=________.18．若函数f(x)=cosx+|sinx|(x ∈[0,2π])的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是___________.三、解答题：本大题共5小题，共66分.请把答案写在答题卷规定的答题框内.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题共12分） 已知函数2cos 2x x x +(1) 求函数y=f(x)的单调增区间；(2) 在右边的直角坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.20．（本小题共12分）已知函数f(x)=x+1，设g 1(x)=f(x),g n (x)=f(g n-1(x)),(n ＞1,n ∈N *).(1) 求g 2(x)，g 3(x)的表达式，并猜想g n (x)（n ∈N *)的表达式（直接写出猜想结果） (2)若关于x 的函数y=x 2+1ni =∑g i (x)（n ∈N *)在区间（-∞,-1]上的最小值为6，求n的值.（符号“1ni =∑”表示求和，例如：1ni =∑i=1+2+3+…+n.）21．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=DC=CB=12AB ，E 是AB 中点，将△ADE 沿DE 折起使点A 折到点P 的位置，且二面角P-DE-C 的大小为120°. （1） 求证：DE ⊥PC ；（2） 求直线PD 与平面BCDE 所成角的大小； （3） 求点D 到平面PBC 的距离.22．（本小题共14分）已知点P 是圆x 2+y 2=1上的一个动点，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，设.OM OP OQ =+ （1） 求点M 的轨迹方程；（2） 求向量OP OM 与夹角的最大值，并求此时P 点的坐标.23．（本小题满分14分）已知曲线C:y=x 2(x ＞0),过C 上的点A 1（1，1）作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y 轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于交A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：a n S n ≤1;(3) 求证：1ni =∑1i ia S ≤41.3n -苏州市2018届高三教学调研测试1.A2.B3.D4.D5.D6.C7.A8.C9.D 10.C 11.B 12.B 13.x+2y-4=0 14.2C15.35 16.2 17.-8 18.1≤k19.（1）∵21cos 22x +=-2sin2x-2cos2x=sin(2x-3).4π 由题意，得2k π-2π≤2x-34π≤2k π+2π,k ∈Z . ∴函数y=f(x)的单调增区间为[k π+8π,k π+58π],∈Z .(2)由y=sin(2x-3π)知 函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象见右.注：列出表格给3分，正确画出图象给2分.如果不列表，但图象正确，给5分. 20．（1）∵g 1(x)=f(x)=x+1,∴g 2(x)=f(g 1(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2. g 3(x)=f(g 2(x))=f(x+2)=(x+2)+1=x+3. (2)∵g n (x)=x+n, ∴猜想g n (x)∴1ni=∑g i (x)=g 1(x)+g 2(x)+…+g n (x)=n x +(1).2n n + ∴y=x 2+1ni =∑gi(x)=x 2+nx+(1)2n n +=(x+222).24n n n++①当-2n ≥-1,即n ≤2时，函数y=(x+222)24n n n++在区间（-∞,-1]上是减函数.∴当x ＝—1时，y min =222n n -+=6,即210n n -－＝0，该方程无整数解②当-2n ＜-1,即n ＞2时， y min =224n n +=6，解得n=4.21．（1）连结AC 交DE 于F ，连结PF.∵CD ∥AB,∴∠BAC=∠ACD. 又∵AD=CD ， ∴∠DAC=∠ACD. ∴∠BAC=∠DAC. 即CA 平分∠BAD.∵△ADE 是正三角形， ∴AC ⊥DE.即PF ⊥DE ，CF ⊥DE. ∴DE ⊥平面PCF. ∴DE ⊥PC.（2）过P 作PO ⊥AC 于O ，连结OD. 设AD=DC=CB=a,则AB=2a. ∵DE ⊥平面PCF ，∴DE ⊥PO. ∴PO ⊥平面BCDE.∴∠PDO 即为直线PD 与平面BCDE 所成的角.∵∠PFC 是二面角P-DE-C 的平面角，∴∠PFO=60°在Rt △POF 中，∵∠PFO=60°， ∴PO=34a. 在Rt △POD 中，sin ∠PDO=3,4PO PD = ∴直线PD 与平面BCDE 所成角是arcsin34. (3) ∵DE ∥BC ，DE 在平面PBC 外， ∴DE ∥平面PBC.∴点D 到平面PBC 的距离即为点F 到平面PBC 的距离. 过点F 作FG ⊥PC ，垂足为G.∵DE ⊥平面PCF ，∴BC ⊥平面PCF. ∴平面PBC ⊥平面PCF. ∴FG ⊥平面PBC.∴FG 的长即为点F 到平面PBC 的距离.在菱形ADCE 中，AF=FC, ∴ ∵∠PFC=120°, ∴∠FPC=∠FCP=30°.∴FG=12PF=.4a22.(1)设P （x 0,y 0）,M(x,y),则00(,),OP x y =0(,0),OQ x OM OP OQ =+=（2x 0,y 0）∴002,.x x y y =⎧⎨=⎩化为001,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∵x 22001,y +=∴22 1.4x y +=(2)设向量.OP OM α和的夹角为则cos α=||||OP OMOPOM22=令t=3x 21,cos α+==则3 当且仅当t=2时，即P 点坐标为(,.时等号成立 ∴OP OM 与夹角的最大值是23.(1)∵曲线C 在点A n (a n ,a 2)n n n 处的切线l 的斜率是2a ,∴切线l n 的方程是y-a 22().n n n a x a =-由于点B n 的横坐标等于点A n+1的横坐标a n+1，所以，令y=0，得a n+1＝12a n 。

江苏省苏州市2018届高三六校联考数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据11,,,n x x x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，标准差s =11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则)(B A C U ⋃= ▲ ．2．设i 是虚数单位，复数12a ii-+为纯虚数，则实数a = ▲ .3、从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲ ．4．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．5．个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间n ＝(1＋x )n.所以p (－1)＝0.…………………………………………3分 (2) 若数列{a n }是公差为2的等差数列，则a n ＝2n －1，a n ＋1＝1＋2n .…………………………4分 则p (x )＝a 1C 0n (1－x )n ＋a 2C 1n x (1－x )n －1＋…＋a n C n －1n xn －1(1－x )＋a n ＋1C n nx n（第4题图）＝C 0n (1－x )n ＋(1＋2)C 1n x (1－x )n －1＋(1＋4)C 2n x 2(1－x )n －2＋…＋(1＋2n )·C n n x n＝＋2．………………………………6分 由二项式定理知， C 0n (1－x )n ＋C 1n x (1－x )n －1＋C 2n x 2(1－x )n －2＋…＋C n n x n ＝n＝1.因为k C kn ＝k ·n ！k ！ n －k ！＝n · n －1 ！ k －1 ！ n －k ！＝n C k －1n －1，…………………………8分所以C 1n x (1－x )n －1＋2C 2n x 2(1－x )n －2＋…＋n C n n x n ＝n C 0n －1x (1－x )n －1＋n C 1n －1x 2(1－x )n －2＋…＋n C n －1n －1x n ＝nx ＝nxn －1＝nx ， 所以p (x )＝1＋2nx .即p (x )是关于x 的一次多项式．…………………………10分。

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2018届苏州市高三教学调研测试（数学）2018．9一、选择题1、设全集{01234}U =，，，，，集合{1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则U AB =ðA 、{1}B 、{01}，C 、{0123}，，，D 、{01234}，，，， 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-，则1a 等于A 、12-B 、12C 、32-D 、323、,a b R ∈，a b >，0ab >是11a b<成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为A 、平均数和方差都不变B 、平均数不变，方差改变C 、平均数改变，方差不变D 、平均数和方差都改变 5、函数21()cos (0)3f x x ωω=->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则ω等于 A 、2 B 、1 C 、12 D 、146、已知l m n 、、是直线，αβγ、、是平面，给出下列命题：（1）若//m l ，且m α⊥，则l α⊥； （2）若//m l ，且//m α，则//l α （3）若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n （4）若m αβ=，l βγ=，且//αβ，则//m l其中两个真命题的是A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（4）D 、（2）（4） 7、直线y kx =与圆22(4)4x y -+=相切，则直线的倾斜角为A 、6π，6π- B 、6π，56π C 、3π，3π- D 、3π，23π-8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为三内角,,A B C 所对的边，若2B A =，则:2b a 的取值范围是A 、(2,2)-B 、(0,2)C 、(1,1)-D 、(0,1) 9、已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为A 、(,2)-∞B 、(1,2)C 、(2,)+∞D 、(,1)-∞10、若动点P 的横坐标为x 、纵坐标为y 使lg lg ||lgy xy x -、、成等差数列，则点P 的轨A 、B 、C 、D 、11、若点O 为ABC ∆的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角C 等于A 、45B 、60C 、90D 、12012、某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单。

2018届江苏省苏州市高三上学期期末调研测试数学（文）试题一、填空题1．已知集合A={x|x<2}，B={-1，0，2，3}，则A∩B= ． 【答案】{}1,0-【解析】试题分析：求A B ⋂就是求集合A 与集合B 中相同的元素的集合，集合B 是有限集，集合A 是无限集，因此用代入验证集合B 中元素是否符合集合A 中限制条件，即可得出{}1,0.A B ⋂=- 【考点】集合的运算.2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ． 【答案】42i -【解析】试题分析：由2(12i)(1i)(12i)(2)4 2.i i +-=+-=-复数的运算主要考查知识点21,i =-但要是掌握一些结论，如21(1)2,1ii i i i+±=±=-就可以提高解题的速度. 【考点】复数的运算.3．若函数()()sin f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ= ． 【答案】3π【解析】试题分析：研究三角函数的对称性，可从图像理解.因为三角函数的对称轴经过最值点，所以当π6x =时，()()sin f x x θ=+取最值，即()sin 1,662k k z πππθθπ⎛⎫+=±⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，又π02θ<<所以.3πθ=【考点】三角函数性质：对称轴.4．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ． 【答案】【解析】试题分析：研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n 项和.5．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．【解析】试题分析：根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l 为再根据圆锥的侧面积公式.S rl π==圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆. 【考点】圆锥的侧面积.6．运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ．【答案】[1,4]-【解析】试题分析：由程序框图可得到一个分段函数2,0()(2),0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，因此本题实质为根据定义域x ∈[-2，2]，求值域.当[2,0)x ∈-时，()(0,4];f x ∈当[0,2]x ∈时，()[1,0];f x ∈-所以()f x 值域为(0,4][1,0][1,4].-=-【考点】流程图，函数值域. 7．已知π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π4sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan x = ． 【答案】7-【解析】试题分析：由π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π4sin 45x ⎛⎫-=⎪⎝⎭得sin cos ,sin cos 55x x x x +=-=从而2s i n ,c o s .1010x x ==-所以sin tan 7.cos xx x==-解决三角函数给值求值问题，关键从角的关系上进行分析. 【考点】三角函数给值求值. 8．函数的值域为____________________．【答案】[2,+∞）【解析】试题分析：,因为令得,令得.所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以时函数的最小值, 即.所以此函数值域为.【考点】1函数的值域;2用导数求最值. 9．已知两个单位向量，的夹角为60°，，若，则实数的值为______．【答案】2 【解析】由题意得10．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ． 【答案】13【解析】试题分析：因为随机选取m 有3种不同方法，随机选取n 有2种不同方法，所以随机选取m ，n 共有326⨯=种不同方法；当1,1;0,1m n m n =-===直线10mx ny ++=不经过第二象限，所以概率是21.63= 【考点】古典概型概率，直线方程中斜率与系数关系.11．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ．来【答案】(1,2)-【解析】试题分析：因为当0x ≥时，()0f x ≥单调增；当0x <时，()0f x <单调增，所以()f x 在R上单调增.又(3)12f =，所以222(1)12(1)(3)1312f xx fx x fx x x -+<⇒-+<⇒-+<⇒-<<本题若用分类讨论解题则会出现计算繁难.【考点】利用函数性质解不等式.12．在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为 ．【答案】2 【解析】试题分析：设(,)P x y 则由222224(1)(1)42PAP B xy x y x y -=⇒++---=⇒+=.本题实质就是研究直线与圆交点个数.2,r =所以直线与圆相交，交点个数为两个.【考点】直线与圆位置关系，点到直线距离.13．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为【答案】3【解析】试题分析：因为,x y 为正实数,且24xy x y ++=，设0x y k +=>，则y k x =-代入已知式得()240x k x x k x -++--=，整理得()2140x k x k -+-+=，关于x 的方程有解，所以()()21440k k ⎡⎤∆=-+-⨯-≥⎣⎦，解之得： 3k ≤--或3k ≥，又因为0k >，所以3k ≥，即x y +的最小值为3．【考点】方程与不等式．14．若 对一切x≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】【解析】若 ,则当时 ,所以 ,从而 或所以或点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题15．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，，求边c的大小．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边角关系统一为角的关系，再根据三角形内角和关系以及两角和正弦公式可得，即得角A的大小（2）由余弦定理得c的一元二次方程，解得边c试题解析：(1)因为，所以即，又因为所以，所以，又因为，所以．(2) 因为，即所以，解得．16．如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：PMD CBA（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直. 如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC⊥平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直.试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM. 2分因为M为PC中点,O为AC中点，所以MO//PA. 4分因为MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB,所以PA//平面MDB. 7分（2）因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,BC⊥CD,所以BC⊥平面PCD. 12分因为PD⊂平面PCD,所以BC⊥PD 14分【考点】直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.17．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元． （Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 【答案】（Ⅰ）(]11000,0,804a y v x v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（Ⅱ）当16000<<a （元）时，火车以h km a /2的速度行驶，全程运输成本最小：当1600≥a （元）时，火车以h km /80的速度行驶，全程运输成本最小【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，全程运输成本y 等于总的时间与总的成本的乘积，可得(]11000,0,804a y v x v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（Ⅱ）对（Ⅰ）式求导，注意分类讨论，可得当16000<<a （元）时，火车以h km a /2的速度行驶，全程运输成本最小：当1600≥a （元）时，火车以h km /80的速度行驶，全程运输成本最小试题解析： （Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。

2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5分）函数f（x）=的定义域为．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则成立的n的最小值为．使得S n＞12a n+1二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x ﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x ∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则成立的n的最小值为27．使得S n＞12a n+1【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41；2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前27项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…41，43；2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得t an2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．【解答】解：（1）S=（40sinθ+10）•80cosθ矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时s inθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t（t＞0），乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈（，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；答：θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上不间断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n ∈N *，对1，2，……，n 的一个排列i 1i 2……i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称（i s ，i t ）是排列i 1i 2……i n 的一个逆序，排列i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n （k ）为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求f 3（2），f 4（2）的值；（2）求f n （2）（n ≥5）的表达式（用n 表示）．【分析】（1）由题意直接求得f 3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f 4（2）的值；（2）对一般的n （n ≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n （1）=n ﹣1．为计算f n +1（2），当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n +1（2）=f n （2）+f n （1）+f n （0）=f n （2）+n ，则当n ≥5时，f n （2）=[f n （2）﹣f n ﹣1（2）]+[f n ﹣1（2）﹣f n ﹣2（2）]+…+[f 5（2）﹣f 4（2）]+f 4（2），则f n （2）（n ≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc ）为排列abc 得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题1. 若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．2. 设集合，其中，若，则实数____．3. 在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．4. 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为____．5. 下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．7. 已知函数在时取得最大值，则____．8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．9. 在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．10. 设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．12. 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．13. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．14. 已知为正实数，且，则的最小值为____．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．16. 在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．17. 下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．（I）（II）18. 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．19. 已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．20. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求的值；（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. 【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为3，求．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．D．选修4—5：不等式选讲已知实数满足，，求证：．【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．23. 已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．【参考答案】一、填空题1.【答案】.【解析】先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-12.【答案】【解析】：根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.详解：因为A=B,所以故答案为：3.【答案】4【解析】先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.详解：由题得抛物线的准线方程为x=2,所以点P(-2，4)到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:44. 【答案】【解析】先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.85. 【答案】.【解析】先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.详解：由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：6. 【答案】.【解析】根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.7.【答案】.【解析】解方程即得解.详解：由题得故答案为：8.【答案】2【解析】先化简已知,得到再代入化简即得.详解：由题得，故答案为：29.【答案】.【解析】先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.详解：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC的高为.因为所以故答案为：10.【答案】4【解析】利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cos A cos B可得解.详解：a cos B﹣b cos A=c，由正弦定理得sin A cos B﹣sin B cos A=sinC=sin（A+B）=（sin A cos B+cos A sin B），整理得sin A cos B=4cos A sin B，两边同除以cos A cos B，得tan A=4tan B，故.故答案为：411.【答案】【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.详解：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：12. 【答案】【解析】先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：13.【答案】.【解析】根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）ln c，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）ln c，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣1214.【答案】.【解析】先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值. 详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 证明：（1）取的中点，连结，因为，所以△为等腰三角形，所以．因为，所以△为等腰三角形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．16. 解：（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17. 解：（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.18. 解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得解得所以，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设，因为，得，所以，代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.由，得直线BD的方程：，因为点在直线BD上，所以，①直线AC方程为，因为点在直线AC上，所以，②联立①②得，从而=2为定值.19. 解：（1）①由及，得，令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为. 要使有三个不同零点，则必须有，即.不妨设的三个零点为，且，则，，①，②，③②-①得，因为，所以，④同理，⑤⑤-④得，因为，所以，又，所以.所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.20. 解：（1）设数列的公差为，由，①，②①-②得，③即，所以为常数，所以为等差数列．（2）由③得，即，所以是与n无关的常数，所以或为常数．①当时，，符合题意；②当为常数时，在中令，则，又，解得，所以，此时，解得．综上，或．（3）当时，，由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．当时，，当时，也满足上式，所以．设，则，即，如果，因为为3的倍数，为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以，则，即．所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. A．解：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，所以OE∥AC，∴AC⊥DE．B.解：由，得的一个解为3，代入得，因为，所以.C.解：消去参数t，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线的直角坐标方程为.依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.D.证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得，3c2－c－2≤0，解得：≤c≤1.所以：≤c≤1.【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以23. 解：（1）当时，，所以，所以.（2）因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.假设，则，而，，矛盾.所以满足条件的是唯一的.下面我们求及的值：因为，显然.又因为，故，即.所以令，，则，又，所以.。

2018年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+
=x y 的最小正周期为 ．
【答案】π
【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．
2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．
【答案】5
【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5． 3．双曲线19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 4
3±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 4
31692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．
【答案】3
【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4．
6
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=
x ． 方差为：25
)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．
【答案】63
20 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯．。

苏州五中2017-2018学年第一学期期初调研测试高三数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 命题:“”的否定是___________．【答案】【解析】【分析】根据“”的否定是“”得结果.【详解】命题:“”的否定是.【点睛】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.2. 已知，为虚数单位，，则___________．【答案】2【解析】由复数的运算法则：，结合复数相等的充要条件有：，即，则 2.3. 已知向量，则“”是“m=1”的_________条件．【答案】必要非充分【解析】【分析】先根据向量平行坐标表示得m取值范围，再根据包含关系判定充要关系.【详解】因为，所以或，因此是“m=1”的必要非充分条件．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4. 已知平行直线，则与之间的距离为_______．【答案】【解析】【分析】根据两平行直线之间距离公式求结果.【详解】即所以与之间的距离为【点睛】两平行直线之间距离等于，注意运用此公式需将两直线的系数化为一样.5. 已知向量，若，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据求最小值.【详解】因为，所以，即的最小值为.【点睛】利用向量不等式求最值，运用的条件一般已知两向量的模.6. 若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为________．【答案】160【解析】先根据赋值法求n，再根据二项展开式通项公式求常数项.【详解】令x=1，则所以因此常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.7. 从集合中随机选取一个数，从集合中随机选取一个数，则的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求结果.【详解】从集合中随机选取一个数，有5种方法；从集合中随机选取一个数，有3种方法，共有5×3=15种方法，其中有1+2+3=6种方法，因此的概率是【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8. 设正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4，点分别为棱,,,的中点，则三棱锥的体积为___________．【答案】【解析】先求正三棱锥体积，再比较三棱锥与正三棱锥高与底面积的关系得结果.【详解】因为正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4，所以正三棱锥体积为又三棱锥的底面积为正三棱锥底面积四分之一，三棱锥的高为正三棱锥的高二分之一，因此三棱锥的体积为【点睛】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到.9. 用数学归纳法证明“”从到左端需增乘的代数式为____________．【答案】【解析】【分析】比较与左端项的关系，确定增乘的代数式.【详解】左端等于;左端等于;所以需增乘的代数式为【点睛】本题考查数学归纳法，着重考查观察比较能力.10. 集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；；则=__________．（写出计算结果）【答案】546【解析】试题分析：由归纳得出，则，又，．考点：归纳与推理．【知识点睛】根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．11. 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是____________．【答案】6【解析】【分析】根据顶点分类讨论等腰三角形，结合椭圆对称性确定等腰三角形个数.【详解】若P为顶点，则P为短轴端点时满足条件，有两个，（不是等边三角形）若F1为顶点，则满足条件的也有两个，若F2为顶点，则满足条件的也有两个，因此满足条件的点P的个数是6.【点睛】本题考查椭圆几何性质，考查分类讨论思想方法.12. 在平面直角坐标xOy中，已知A(1，0)，B(4，0)，直线x-y+m=0上存在唯一的点P满足，则实数m的取值集合是_____________．【答案】【解析】【分析】先根据得P的轨迹为一个圆，再根据题意得此圆与直线x-y+m=0相切得结果.【详解】设P(x,y),则由得，根据题意得此圆与直线x-y+m=0相切，即即实数m的取值集合是【点睛】本题考查圆的第二定义，考查直线与圆相切位置关系.13. 已知圆与圆相交于两点，且满足，则_________．【答案】【解析】试题分析：两圆公共弦所在直线方程为，设其中一圆的圆心为．∵，∴，∴，得．考点：圆与圆的位置关系.方法点睛：本题形式上考查了圆圆的位置关系，但本质上还要转化为直线与圆的位置关系问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题.本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了.14. 已知函数在(0,e)上是增函数，函数=||+在[0,ln3]上的最大值M与最小值m的差为，则a=_____________．【答案】【解析】【分析】先根据单调性确定a取值范围，再根据a大小讨论最值取法，最后根据条件解出a的值.【详解】因为函数在(0,e)上是增函数，因为，所以；所以当时=||+=+，即++,不合题意，舍去；因此；由.【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在斜三棱柱中，，平面底面，点、D分别是线段、BC的中点．（1）求证：；（2）求证：AD//平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意证得AD⊥平面，结合线面垂直的定义可得AD⊥CC1．(2)利用题意可得EM // AD，结合题意和线面平行的判断法则即可证得结论.试题解析：证明：（1）∵AB AC，点D是线段BC的中点，∴AD⊥BC．又∵平面底面，AD平面ABC，平面底面，∴AD⊥平面．又CC1平面，∴AD⊥CC1．（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，DE．在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边∴点E为B1C的中点．∵点D是BC的中点，∴DE//B1B，DE B1B．……10分又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，∴AM//B1B，AM B1B．∴AM// DE，AM DE．∴四边形ADEM是平行四边形．∴EM // AD．又EM平面MBC1，AD平面MBC1，∴AD //平面MBC1．点睛：用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．16. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上.(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：本题考查用空间向量法解决立体几何问题，最简单的方法是建立空间直角坐标系，如以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，（1）求得相应向量，异面直线AM和A1C所成角的余弦值就是cos〈，〉的绝对值；（2）先求得平面ABC1的法向量为n，因为点M在线段A1B1上，可设M(x,4－x,2)，利用法向量n与向量的夹角（锐角）与直线和平面所成的角互余可得，即由|cos〈n，〉|＝可求得，从而确定的位置．试题解析:方法一(坐标法)以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4，2).(1)因为A1M＝3MB1，所以M(1,3,2).所以＝(4,0,2),＝(－3,3,2).所以cos〈，〉＝＝－.所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为.(2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,2)，知＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2).设平面ABC1的法向量为n＝(a，b，c)，由得令a＝1，则b＝1，c＝，所以平面ABC1的一个法向量为n＝(1,1，).因为点M在线段A1B1上，所以可设M(x,4－x,2)，所以＝(x －4,4－x,2).因为直线AM 与平面ABC 1所成角为30°， 所以|cos 〈n ，〉|＝sin 30°＝.由|n|＝|n||||cos 〈n ，〉|，得|1(x －4)＋1(4－x)＋2|＝2，解得x ＝2或x ＝6.因为点M 在线段A 1B 1上，所以x ＝2， 即点M(2,2,2)是线段A 1B 1的中点. 方法二 (选基底法)由题意得CC 1⊥CA ，CA ⊥CB ，CC 1⊥CB ，取，，作为一组基底，则有||＝||＝4，||＝2，且＝ ＝＝0.(1)由＝3，则＝ ＝ ＝－，∴＝＋＝＋－，且||＝＝－－，且||＝2，∴＝4 ∴cos 〈，〉＝＝.即异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值为. (2)设A 1M ＝λA 1B 1，则＝＋λ－λ.又＝－，＝－，设面ABC 1的法向量为n ＝x ＋y ＋z ，则＝8z －16x ＝0，＝16y －16x ＝0，不妨取x＝y＝1，z＝2，则n＝＋＋2且|n|＝8，||＝，＝16，又AM与面ABC1所成的角为30°，则应有＝＝，得λ＝，即M为A1B1的中点.考点：用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角．【名师点睛】1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos<m1,m2>|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ=|cos<m,n>|.(3)求二面角的大小如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<>如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos<n1,n2>或-cos<n1,n2>.17. 已知圆O：与轴负半轴的交点为A，点P在直线l：上，过点P作圆O的切线，切点为T．（1）若a＝8，切点,求直线AP的方程；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于,因此关键求点P坐标，这可利用方程组求解，一是由OT⊥PT得，二是根据点P在直线上，即，解得最后根据两点式求直线AP的方程；（2）由PA＝2PT，可得点P的轨迹是一个圆，因此由直线与圆有交点得，解得（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点T的坐标为，所以，，试题解析：故直线PT的方程为，即.联立直线l和PT，解得即，所以直线AP的斜率为，故直线AP的方程为，即，即.（2）设，由PA＝2PT，可得，即，即满足PA＝2PT的点P的轨迹是一个圆，所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，即，解得.考点：直线方程，直线与圆位置关系18. 某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响．（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率（结果用分数表示）；（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求的分布列及数学期望（结果用分数表示）．【答案】（1）0.384；（2）见解析【解析】【分析】(1)先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）设为该运动员在3次投篮中投进的次数，则. 在3次投篮中，恰有2次投进的概率;（2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.,;;;.所以的分布列是.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 已知函数．（1）若函数的图象在处的切线经过点，求的值；（2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点，求的值；（2）先根据导函数确定极值点范围，再根据极大值条件以及极大值为正数条件列不等式组，得，最后根据导数求最小值，得到a的取值范围，但无整数解，所以不存在负整数满足条件．【详解】（1）∵∴,∴函数在处的切线方程为：，又直线过点∴，解得：（2）若，，当时，恒成立，函数在上无极值；当时，恒成立，函数在上无极值；在上，若在处取得符合条件的极大值，则，则，由（3）得：，代入（2）得：，结合（1）可解得：，再由得：，设，则，当时，，即是增函数，所以，又，故当极大值为正数时，，从而不存在负整数满足条件．【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20. 已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．【答案】3和1【分析】先根据求a，再根据特征多项式求A的特征值．【详解】则解之得的特征多项式令，解之得的特征值为3和1【点睛】本题考查逆矩阵定义以及特征值，考查基本求解能力.21. 已知，点在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点．若点的坐标为，求点的坐标．【答案】【解析】【分析】先根据伸缩变换以及旋转变换得，再根据对应点关系求结果.【详解】．设，则由，得．所以，即．【点睛】本题考查伸缩变换以及旋转变换，考查基本求解能力.22. 已知点P在曲线C：（ 为参数）上，直线l：（t为参数），求P到直线l距离的最小值．【答案】【解析】先根据加减消元法消参数得直线l化为普通方程，再根据点到直线距离公式得P到直线l距离，最后根据三角函数有界性求最小值.【详解】将直线l化为普通方程为：x－y－6＝0．则P(4cosθ，3sinθ) 到直线l的距离d＝＝，其中tanφ＝．所以当cos(θ＋φ)＝1时，d min＝，即点P到直线l的距离的最小值为．【点睛】利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：，圆参数方程：，直线参数方程：.23. 若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线的参数方程为（为参数），当直线与曲线相交于两点，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】试题分析：(1)将极坐标方程化简为直角坐标方程可得曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线；(2)利用弦长公式可得线段的长为8.试题解析：（1）曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.（2），化简得，则所以。

苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷数学I (试题）注意事项：1.本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效。

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 A= {xl-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B= 。

2.已知),,(32为虚数单位i R b a i ibi a ∈+=-+，则a + b 的值是 . 3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 .4.有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7，现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据 整理后，画出了频率分布直方图（如图），巳知图中从左到右的前3个 小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数 . 6.若双曲线122=-y mx ( m > 0)的右焦点与抛物线y= 8x 的焦点重合，则m 的值是 .7. 将函数)<<0)(2sin(πϕϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则ϕ的值是 .8.已知平面向量a=(2,1), a•b=10,若|a +b|=25,则|b|的值是 .9.如图，正四棱锥P -ABCD 的底面一边AB 的长为32cm ，侧面积为38cm 2 ,则它的体积为 cm 3.10.已知函数b a abx x x f 2)(2+++=。

若4)0(=f ,则)1(f 的最大值是 .11.等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，且 a n -S n = n 2-16n+15(n≥2,n∈N * )，若对任意n∈N *，总有S n ≤S k ,则k 的值是. 12.已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x 2 + y 2 - 4x - 2y + t = 0上恰有两个不同的点P ，使得△PA B的面积为21，则实数t 的取值范围是 . 13.已知函数x a x x f +=)( (a > 0)，当x∈ [1,3]时，函数)(x f 的值域为A ，若A ∈[8,16]，则a 的值是 .14.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，xx f 2)(=，若对任意的x∈ [a,a + 2]，不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2018年苏州市高三教学调研测试数学一、选择题：1、集合{|2},{|1}A x x B x x =>=<，则A B =A 、AB 、BC 、{|12}x x <<D 、Φ 2、在ABC ∆中，若cos cos sin sin 0A B A B ->，则这个三角形一定是A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、以上都有可能3、在等比数列{}n a 中，已知32a =，5a m =，，则m =A 、4±B 、5C 、4-D 、4 4、由函数2log y x =的图象经过下列哪种平移可以得到函数2log (1)3y x =--的图象 A 、向左平移1个单位，向下平移3个单位 B 、向左平移1个单位，向上平移3个单位C 、向右平移1个单位，向下平移3个单位D 、向右平移1个单位，向上平移3个单位5、某学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰好有1次获得通过的概率是 A 、12 B 、13 C 、14 D 、346、给出以下三个命题：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行（2）与有个平面等距离的两点的连线一定平行于这个平面 （3）“一个平面内有无数条直线与另一个平面平行”是“两个平面平行”的充分不必要条件 其中正确的命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个7、当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的 A 、最小值是14 B 、最大值是14C 、最小值是4D 、最大值是48、已知点I 为ABC ∆内任意一点，若(2)()0IA IB IC IA IB +--=，则下列结论一定成立的是A 、AB BC CA == B 、AB BC = C 、AB CA =D 、BC CA =9、以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是A、1(0,)2 B、1(,1)2 C、1(,1)2 D、1(0,)210、已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是 A 、1(,10)10B 、(0,10)C 、(10,)+∞D 、1(0,)(10,)10+∞ 二、填空题：11、30(1)x +的展开式中，系数最大的项是第______项 12、曲线3123y x =-+在1x =-处的切线的倾斜角是_______ 13、5个人分4张足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法共有____种 14、已知空间三个平面,,αβγ两两垂直，直线l 与平面,αβ所成的角都是30，则直线l 与平面γ 所成角的余弦值是_________15、若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为_____16、已知向量(,sin )a cosx x = ，(cos ,sin )b y y = ，若76y x π=+，则向量a 与()a b + 的夹角等于__________ 三、解答题：17、已知点(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C x x ，x R ∈（1）若||||AC BC =，且[0,2)x π∈，求x 的值（2）设函数()f x AC BC =⋅，求()f x 的最大值，并求使()f x 取得最大值时x 的值18、如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD，PD =，设点E 是棱PB 上的动点（不含端点），过点,,A D E 的平面交棱PC 于点F（1）求证：//BC EF（2）求二面角A PB D --的大小（结果用反三角函数值表示）（3）试确定点E 的位置，使PC ⊥平面ADFE ，试说明理由BCDEFP19、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点(0,1)B ，且点(,0)A a (0)a ≠是x 轴上动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使AP DA = （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）点Q 是直线1y =-上的一个动点，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ， 求证：QM QN ⊥20、某企业投入81万元经销某产品，经销时间共6个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润1, 120,()1, 2160,10x x N f x x x x N ≤≤∈⎧⎪=⎨≤≤∈⎪⎩（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率()x g x x =第个月的利润第个月前的资金总和，例如：(3)(3)81(1)(2)f g f f =++（1）求(10)g（2）求第x 个月的当月利润率()g x（3）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率21、已知函数2()log ((0,3))3xf x x x x=+∈- （1）求证：()(3)f x f x +-为定值（2）记21*11()(1)()22n nn i iS n f n N -==+∈∑，求()S n （3）若函数()f x 的图象与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ，试探究()S n 与S 的大小关系参考答案1、D2、B3、D4、C5、A6、B7、C8、D9、C 10、A11、16； 12、34π； 13、120； 14、2； 15、0或4； 16、512π 17、(cos 3,sin )AC x x =- ，(cos ,sin 3)BC x x =-，||AC ==，||BC ==||||AC BC = ，得cos sin x x =，又[0,2)x π∈，4x π∴=或54x π=()(cos 3)cos sin (sin 3)13(cos sin )1)4f x AC BC x x x x x x x π=⋅=-+-=-+=-+当3242x k πππ+=+，即524x k ππ=+()k Z ∈时，max ()1f x =+18、（1）//,//BC AD BC ADFE BC ADFE ⊄∴ 面，面，又A D F E P B C E F= 面面，//BC EF ∴（2）连结AC ，交BD 于点O ，AC BD ⊥ ，又PD A B C D ⊥面，面PBD ⊥面ABCDAC PBD ⊥ 面，AH PB ∴⊥，AHO ∴∠是二面角A PB D --的平面角，不妨设1AD =则PD ，2PA =，AO =，AH =，Rt AHO ∆中，sin AO AHO AH ∠==∴ 二面角A PB D --的大小为 （3）假设棱PB 上存在点E ，由题意得PC AD ⊥，要使PC ADFE ⊥面，只要PC DF ⊥即可当PC DF⊥时，R t∆中，2CD C F P C=⋅，111,2,,23CF CD PC CF FP ==∴==//BC EF ，13BE EP ∴=时，PC ADFE ⊥面19、（1）设动点(,)P x y ，1AB k a=-，AP AB ⊥ ，AP k a ∴=，∴直线AP 的方程为()y a x a =-AP DA =，2x a ∴=，∴点P 的轨迹C 的方程是24(0)x y y =≠（2）设221212(,1),(,),(,)44x x Q t M x N x -，24x y = ，1'2y x ∴=。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =，4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ． 14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值. C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1) 二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=35+=（2）因为//a b ，sin()14a πα+=，i n α(s i n c o sc o s s i n )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA ，2AC =，1AN =，CD =1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±18.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=+cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=，(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263jkiλμ+=⋅⋅， 所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换 解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)nλλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =.23. 解：（1）10D =，21D =，32D =， 49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+； （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。