高考数学二轮复习简易三级排查大提分专练 7-1概率、统计与统计案例 理 新人教A 版1．(仿2011·山东，7)假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的，若10个学生初一(x )和初二(y )数学分数如下：A.y ^＝1.218 2x －14.192B.y ^＝14.192x ＋1.218 2 C.y ^＝1.218 2x ＋14.192 D.y ^＝14.192x －1.218 2解析 因为x ＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，所以，b ^＝51 457－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2； a ^＝72.3－1.218 2×71＝－14.192. 回归直线方程是y ^＝1.218 2x －14.192. 答案 A2．(仿2013·湖南，2)某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为( )．A ．20B ．24C ．30D ．36解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.故选B.答案 B3．(仿2013·辽宁，5)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是( )．A ．500B ．300C ．600D ．900解析 由样本频率分布直方图知，数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，∴估计总体中成绩小于60分的概率约为0.2.故成绩小于60分的学生数约为3 000×0.2＝600(人)． 答案 C4．(仿2013·福建，11)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使得cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( )． A.13B.2π C.12D.23解析 在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cos πx 2的值位于[0,1]区间，若使cos πx2的值位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1内，根据几何概型的计算公式可知P ＝2×132＝13，故选A.答案 A5．(仿2013·新课标Ⅱ，14)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书却不相邻的概率是( )． A.15B.25 C.35D.45解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22·A 23＝48种摆放方法； 语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法． 又5本不同的书排成一排共有A 55＝120种摆法． ∴所求事件的概率为1－48＋24120＝25.答案 B6．(仿2012·陕西，6)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.解析 由茎叶图可知，甲图中共有9个数，分别为28,31,39,45,42,55,58,57,66，其中位数为45；乙图中共有9个数分别为29,34,35,48,42,46,53,55,67其中位数为46. 答案 45 467．(仿2013·四川，19)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为________． 解析 设A 表示事件“小波在家看书”，则“小波不在家看书”为事件A .由几何概型，P (A )＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－π·⎝ ⎛⎭⎪⎫142π＝316.∴P (A )＝1－316＝1316.答案13168．(仿2012·江苏，6)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析 相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类： 第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为A ，则P (A )＝A 44A 33A 66＝15.第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为B ，①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为2C 13A 33A 33， ②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为A 33A 23A 22， ∴P (B )＝2C 13A 33A 33＋A 33A 23A 22A 66＝25， ∴P ＝P (A )＋P (B )＝15＋25＝35.答案 359．(仿2013·全国Ⅱ，19)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知得，10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03. (2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个．所以所求概率为P(M)＝715.10．(仿2013·广东，17)某活动将在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180 cm 以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm 以上的概率．解 (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16， 所以抽取的5人中，“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．“高个子”用A ，B 表示，“非高个子”用a ，b ，c 表示，则从这5人中选2人的情况有：(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有：(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共7种．因此，至少有一人是“高个子”的概率是P ＝710.(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm ；有2名女志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有：(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况．身高相差5 cm以上的有：(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2个身高相差5 cm以上的概率为410＝25.。
