【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练28含答案

题组层级快练 (三十 )1．对于非零向量a，b，“a＋b＝ 0”是“a∥b”的 ()A ．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件答案A剖析若 a＋b＝0，则 a＝－ b，因此 a∥b；若 a∥b，则 a＝λb，a＋b＝0不用然成立，故前者是后者的充分不用要条件．2．设a是任向来量，e是单位向量，且a∥e，则以下表示形式中正确的选项是 () aA ．e＝|a|B．a＝ |a|eC．a＝－ |a|e D．a＝±|a|e答案D剖析对于 A ，当a＝ 0 时，a没有意义，错误；|a|对于 B， C， D 当a＝0 时，选项 B， C，D 都对；当 a≠0时，由 a∥e 可知， a 与 e 同向或反向，选 D.→→→3．(2015 北·京东城期中 )已知 ABCD 为平行四边形，若向量AB＝a， AC＝b，则向量 BD 为()A ．a－b B．a＋bC．b－ 2a D．－a－b答案C→ →→4.以下列图，在正六边形ABCDEF 中， BA＋ CD ＋ EF＝ ()→A ． 0 B.BE→→C.ADD.CF答案D→→→→→→→→→剖析由于 BA＝DE ，故 BA＋ CD＋ EF＝ CD ＋ DE＋EF ＝CF .5．(2015 广·东惠州二中模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，→→→3OA－OB且 OP＝，则()2A．点 P 在线段 AB 上B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点D．点答案剖析P 在线段 AB 的延长线上P 不在直线 AB 上B→→ →3→1→ →1→→→1→ →→→3OA－ OB1 OP2＝2OA－2OB ＝ OA＋2(OA－ OB)＝ OA＋2BA，即 OP－ OA ＝ AP＝2＝→BA，因此点P 在线段 AB 的反向延长线上，应选 B.→→6．在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 均分∠ ACB.若CB＝a，CA ＝b， |a|＝ 1， |b|＝ 2，则→CD＝ ()1221A. 3a＋3bB.3a＋3b3443C.5a＋5bD.5a＋5b答案B剖析由内角均分线定理，得|CA| |AD |→→→→2→→2→→|CB|＝|DB |＝2.∴CD ＝ CA＋ AD＝CA＋3AB＝CA＋3(CB－ CA)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.故B正确．→→7．已知向量i与j不共线，且 AB＝i＋ m j，AD ＝n i＋j，若 A， B，D 三点共线，则实数m，n 应该满足的条件是 ()A ． m＋ n＝ 1B． m＋n＝－ 1C． mn＝ 1D． mn＝－ 1答案 C→→剖析由 A， B， D 共线可设 AB＝λAD ，于是有i＋ m j＝λ(n i＋j)＝λn i＋λj.又i，j不共线，λn＝ 1，因此即有 mn＝1.λ＝ m，→ →8．O 是平面上必然点， A，B，C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足： OP＝OA ＋→→λ(AB＋ AC)，λ∈ (0，＋∞ )，则直线 AP 必然经过△ ABC 的 ()A ．外心B．内心C．重心D．垂心答案C剖析取BC中点M.→→→ →OP＝ OA＋λ(AB ＋AC)，→→→→OP－ OA＝λ(AB ＋AC)，→→AP＝ 2λAD.∴A， P，D 三点共线，∴ AP 必然经过△ ABC 的重心， C 正确．→→→9．在四边形ABCD 中， AB＝a＋ 2b，BC＝－ 4a－b，CD ＝－ 5a－3b，则四边形ABCD 的形状是 ()A ．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案C→→→→→剖析由已知 AD＝ AB＋ BC＋ CD＝－ 8a－ 2b＝ 2(－4a－b)＝ 2BC.→ →→→∴AD ∥BC.又 AB与 CD 不平行，∴四边形 ABCD 是梯形．→10．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)的充要条件是 AP＝→ →λ(AB＋ AD )，则λ的取值范围是 ()A ．λ∈ (0,1)B．λ∈ (－ 1,0)C．λ∈ (0，2D．λ∈ (－2， 0) 2)2答案A剖析以下列图，∵点 P 在对角线 AC 上 (不包括端点 A， C)，→→→→→→→ →∴AP＝λAC＝λ(AB ＋AD)．由 AP 与 AC同向知，λ>0. 又 |AP|<|AC|，→|AP|＝λ<1，∴λ∈(0,1) ．反之亦然．∴→|AC|→→→11．设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同样的四点，若A1 A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4→1＋1＝ 2，则称 A3，A4调停切割 A1， A2.已知平面上的点＝μA1 A2(μ∈R )，且C， D 调停切割点λ μA， B，则以下说法正确的选项是()A ． C 可能是线段AB 的中点B． D可能是线段AB 的中点C． C，D可能同时在线段AB 上D．C，D不可以能同时在线段AB的延长线上答案D剖析若 A 成立，则λ＝ 1，而 1＝ 0，不可以能；同理 2 μB 也不可以能；若C 成立，则0<λ<1，且 0<μ<1，1＋ 1>2，与已知矛盾；若λ μC，D同时在线段AB 的延长线上时，λ>1，且μ>1，1＋1λ μ<2，与已知矛盾，故C，D 不可以能同时在线段AB 的延长线上，故 D 正确．12.以下列图，以下结论不正确的选项是________．→33①PQ ＝2a＋2b；→3 3②P T ＝－2a－2b；→31③PS＝2a－2b；→3④PR＝a＋b.2答案②④2→→33剖析由 a＋b＝3PQ，知PQ＝2a＋2b，①正确；由→33→ →PT＝2a－2b，从而②错误；PS＝PT＋→ 3 1→ → 3 1b，故PS＝2a－2b，③正确；PR＝PT＋2b＝2a＋2b，④错误．故正确的为①③.→ →13.以下列图，已知∠B＝ 30°，∠ AOB＝ 90°，点 C 在 AB 上， OC⊥AB，用 OA和 OB来表示→→向量 OC，则 OC等于 ________．答案剖析3→1→4OA＋ OB4→→→→1→→1→→ 3→1→OC＝ OA＋ AC＝ OA＋4AB＝ OA＋4(OB－ OA)＝4OA＋4OB.→→→14．设a和b是两个不共线的向量，若AB＝ 2a＋k b， CB＝a＋b， CD＝ 2a－b，且 A， B，D 三点共线，则实数 k 的值等于 ________．答案－ 4→ →→→ → →剖析∵A， B，D 三点共线，∴ AB∥BD .∵AB＝ 2a＋ k b， BD＝ BC＋ CD ＝a－ 2b，∴k＝－ 4.故填－ 4.→→→15．已知 O 为△ ABC 内一点，且 OA＋ OC＋ 2OB＝ 0，则△ AOC 与△ ABC 的面积之比是________．答案1∶ 2剖析以下列图，取 AC 中点 D.→→→∴OA＋OC＝ 2OD.→→∴OD＝ BO.∴O 为 BD 中点，∴面积比为高之比．16．已知向量a＝ 2e1－ 3e2，b＝ 2e1＋ 3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－ 9e2.问可否存在这样的实数λ，μ，使向量 d＝λa＋μb 与 c 共线？答案当λ＝－ 2μ时共线剖析∵d＝λ(2 e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2.要使 d 与 c 共线，则应有实数k，使d＝ k c.即(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2＝ 2k e1－ 9k e2.2λ＋ 2μ＝2k，即得λ＝－ 2μ.－ 3λ＋ 3μ＝－ 9k，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－ 2μ，就能使 d 与 c 共线．17．以下列图，已知点G 是△ ABO 的重心．→→→(1)求 GA＋ GB＋GO；→→→→(2)若 PQ 过△ ABO 的重心 G，且 OA＝a，OB＝b， OP＝m a， OQ＝ n b，求证：m 1＋1n＝ 3.→→→答案(1)GA＋ GB＋ GO＝ 0 (2)略剖析(1) 以下列图，延长OG 交 AB 于 M 点，则M 是AB的中点．→→→∴GA＋GB＝ 2GM.∵G 是△ABO 的重心，→→∴GO＝－ 2GM .→→→∴GA＋GB＋ GO＝ 0. (2)∵M 是 AB 边的中点，→ 1 →→1∴OM ＝2(OA ＋ OB)＝2(a＋b)．→ 2→1又∵G 是△ABO 的重心，∴ OG＝3OM＝3(a＋b)．→→→111∴PG＝OG－ OP＝3(a＋b) －m a＝(3－ m)a＋3b.→→→而PQ ＝OQ － OP＝ n b－ m a，∵P， G， Q 三点共线，→→∴有且只有一个实数λ，使得PG＝λPQ.∴(1－m)a＋1 ＝λn－λm 33bba.∴(1－m＋λm)a＋ (1－λn)b＝0.3313－ m＋λm＝ 0，1 ＋1＝ 3.∵a 与 b 不共线，∴消去λ，得1m n3－λn＝ 0.。

题组层级快练(二十七)1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]． 2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D 解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( ) A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin(x －π6)，∴f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 B解析 当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0时，y ＝0.6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( ) A ．6＋532B ．17C ．13D ．12答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )] ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6) ＝13sin(2x ＋π6＋φ)，故选C. 7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是( ) A.14B.12 C ．2D ．4 答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x ＝1－(tan x －12)2＋14， 当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D. 8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B. 9．若函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________． 答案 (－2π3，2π3] 解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－2π3，2π3]． 10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.11．若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解． 2sin(2x －π4)＝m 有解． ∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，3π4]． ∴2sin(2x －π4)∈[－1，2]． 12．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x的最小值是________． 答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x cos 2x≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.13．(2015·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则： (1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6. 所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0. (2)由(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π， 在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.14．已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )， g (x )＝12sin2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．答案 (1)π (2)22 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z }解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22. h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }． 15．(2015·江西百强中学月考)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值． 答案 (1)T ＝π，[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ) (2)a ＝0解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6. 当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ； 当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32. ∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0. 16．(2014·江西理)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．答案 (1)最大值为22，最小值为－1 (2)a ＝－1，θ＝－π6解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，θ＝－π6.。

题组层级快练 (十二 )1．函数 y＝ log 2|x|的图像大体是()答案C剖析函数 y＝ log2 |x|为偶函数，作出x>0 时 y＝ log 2x 的图像，图像关于y 轴对称，应选C.2．(2015·京海淀一模北)以下函数f( x)图像中，满足1f(4)>f(3)> f(2)的只可能是()答案D剖析11)<f(0) ＝ 1，f(3)> f(0) ，由于 f( )>f(3)> f(2)，因此函数 f(x)有增有减，不选 A ，B.又 C 中，f(441即 f(4)< f(3)，因此不选 C，选 D.3．(2015 ·东师大附中月考山 )函数 y＝ 2x－ x2的图像大体是()答案A剖析易研究知x＝2和 4 是函数的两个零点，故消除 B ，C；再结合y＝ 2x与y＝x2的变化趋势，可知当x→ －∞时， 0<2 x<1，而 x2→＋∞ ，因此 2x－ x2→ －∞，故消除D，选 A.4．函数 y＝ ln(1 － x)的大体图像为()答案C剖析将函数 y＝ lnx 的图像关于y 轴对称，获取y＝ln( － x)的图像，再向右平移 1 个单位即得 y＝ln(1 － x)的图像．1的图像是 ()5．函数 f(x)＝1＋|x|答案C1x≥ 0 ，剖析本题经过函数图像观察了函数的性质．f(x)＝11＋ x当 x≥ 0 时，＝1＋ |x|1x<0 .1－ xx 增大，1减小，因此 f(x)在当 x≥ 0时为减函数；当x<0 时， x 增大，1增大，因此 f(x) 1＋ x1－ x在当 x<0 时为增函数．本题也可以依照f(－ x)＝1＝1＝ f(x)，得 f(x)为偶函数，图像1＋ |－x|1＋|x|关于 y 轴对称，选 C.6．已知 lga＋ lgb＝ 0，函数 f(x) ＝a x与函数 g(x)＝－ log b x 的图像可能是 ()答案B1剖析∵lga＋ lgb＝ 0，∴lgab＝ 0，ab＝ 1，∴b＝a.∴g( x)＝－ log b x＝ log a x，∴函数 f( x)与 g(x)互为反函数，图像关于直线y＝ x 对称，应选 B.7．(2013 ·建文福 )函数 f(x)＝ ln(x2＋ 1)的图像大体是 ()答案A剖析依题意，得f(－ x)＝ ln(x2＋ 1)＝ f( x)，因此函数f( x)为偶函数，即函数f(x)的图像关于 y 轴对称，故消除 C.由于函数f(x)过定点 (0,0)，消除 B， D ，应选 A.8．为了获取函数1 x1x的图像 () y＝ 3×()的图像，可以把函数 y＝( )33A ．向左平移 3 个单位长度B．向右平移 3 个单位长度C．向左平移 1 个单位长度D．向右平移 1 个单位长度答案D1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 x剖析y＝ 3×(3)＝ (3)－·(3)＝( 3) －，故它的图像是把函数y＝ (3)的图像向右平移 1 个单位长度获取的．4x－ 19．函数 f(x)＝2x的图像关于 ()A ．原点对称B．直线 y＝ x 对称C．直线 y＝－ x 对称D． y 轴对称答案A4x－ 1剖析由题意可知，函数f( x)的定义域为R，且 f( x)＝x＝ 2x－ 2－x， f(－ x)＝ 2－x－ 2x＝2－ f( x)，因此函数f(x)为奇函数，应选 A.10．(2014 ·建福 )若函数 y＝ log a x(a＞ 0，且 a≠1) 的图像以下列图，则以下函数图像正确的是 ()答案B剖析由于函数 y＝log a x 过点 (3,1)，因此 1＝log a3，解得 a＝ 3，因此 y＝ 3－x不可以能过点(1,3)，消除 A ；y＝ (－ x)3＝－ x3不可以能过点 (1,1)，消除 C；y＝ log3，(－ x)不可以能过点 (－ 3，－1)消除 D.应选 B.11．已知以下列图①的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②的图像对应的函数在以下给出的四式中，只可能是()A ． y＝ f(|x|) C． y＝ f(－ |x|)答案C B． y＝ |f(x)| D． y＝－ f(|x|)12．若函数1|1－x|＋ m 的图像与 x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是 ________．y＝ (2)答案－ 1≤m<0剖析1 |1 x| 1 |1x|第一作出y＝ (2) －的图像 (如右图所示 )，欲使 y＝ (2) －＋ m 的图像与 x 轴有交点，则－1≤ m<0.113．已知 x2>x3，则实数x 的取值范围是________．答案{ x|x<0 或 x>1}1剖析分别画出函数y＝ x2与 y＝ x3的图像，以下列图，由于两函数的图像都过点(1,1) ，1由图像可知不等式x2>x3的解集为 { x|x<0 或 x>1} ．14．设函数 f(x) ，g(x)的定义域分别为F，G，且 F G.若对任意的 x∈F，都有 g(x)＝ f(x)，则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”．已知函数1 x，若 g(x)为 f(x)在R上f(x)＝ ( ) (x≤0)2的一个延拓函数，且 g(x)是偶函数，则函数g(x) 的剖析式为 ________．答案 g(x)＝ 2|x|剖析1 x (x ≤ 0)的图像关于 y 轴对称的这部分图像，即可获取偶函数g(x)画出函数 f(x)＝ ( )2的图像，由图可知：函数g(x) 的剖析式为 |x|g( x)＝ 2 .15．若是关于 x 的方程1 有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为ax ＋ 2 ＝ 3x________．答案{ a|a ≤ 0 或 a ＝ 2}11剖析令 f( x)＝ ax － 3， g(x)＝－ x 2，在同一坐标系中分别作出 f(x)＝ ax － 3 与 g(x)＝－ x 2的图像，显然 a ≤ 0.又当 a ＝2 时， f(x)＝ g(x)有且只有一个正的实数解．16．关于 x 的方程 e x lnx ＝1 的实根个数是 ________． 答案1剖析题中问题可转变成求函数y ＝ lnx 与 y ＝ ( 1 x(图略 )可知交点e )的交点个数，作出图像个数是 1.17．已知 a>0，且 a ≠1， f(x)＝ x 2－ a x，当 x ∈ (－ 1,1)时，均有 f( x)<12，求实数a 的取值范围．答案[ 1， 1)∪ (1,2]2剖析由题知，当 x ∈(－ 1,1)时， f(x)＝ x2 x1 21 x－ a < 2，即 x － 2<a .在同一坐标系中分别作出二次函数 y ＝ x 2－12，指数函数y ＝a x 的图像，如图，当 x ∈(－ 1,1)时，要使指数函数的图像均在二次函数图像的上方，需1≤a ≤ 2 且 2a ≠ 1.故实数a 的取值范围是1≤ a<12或 1<a ≤ 2.x ay ＝g( x)的图像．18．已知函数 f(x)＝ 2 － x .将 y ＝ f(x)的图像向右平移两个单位，获取2(1)求函数 y ＝ g(x)的剖析式；(2)若函数 y ＝ h(x)与函数 y ＝g(x)的图像关于直线y ＝ 1 对称，求函数 y ＝ h(x)的剖析式．x －2a答案 (1) g(x)＝ 2－ x －22(2)h(x)＝ 2－ 2x －2a＋x－ 22剖析(1) 由题设， g(x)＝ f(x－ 2)＝ 2x－2－xa2.2 －(2)设 (x， y)在 y＝ h( x)的图像上， (x1， y1)在 y＝ g(x)的图像上，x1＝x，则y1＝ 2－ y，∴2－ y＝ g(x)， y＝ 2－g(x)．即 h(x)＝ 2－ 2x－2＋a .2x－21．(2014 ·课标全国Ⅰ理新)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线的距离表示成OA，终边为射线x 的函数 f(x)，则OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为y＝ f(x) 在[0 ，π]的图像大体为()M.将点M 到直线OP答案B剖析1由题意 |OM |＝ |cosx|， f(x) ＝|OM ||sinx|＝ |sinxcosx|＝ |sin2x|，由此可知 B 正确．22．设函数 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ a|的图像关于直线x＝ 1 对称，则实数 a 的值为 ()A ． 3B． 2C． 1D．－ 1答案A剖析∵函数 f(x)图像关于直线x＝1 对称，∴f(1＋ x)＝ f(1 －x) ，∴f(2)＝ f(0)．即 3＋ |2－a|＝1＋ |a|，用代入法知选 A.3．函数 y＝ 1－1的图像是() x－ 1答案B剖析方法一： y＝ 1－1的图像可以看作由11 个单位，再向上x－ 1y＝－x的图像向右平移平移 1 个单位而获取的．方法二：由于x≠ 1，故消除C， D.又函数在(－∞，1)及 (1，＋∞ )上均为增函数，消除 A ，因此选 B.4．已知函数f(x)的定义域为[a，b] ，函数y＝ f(x)的图像以以下列图所示，则函数f(|x|)的图像大致是 ()答案B5．(2015 ·州质检荆 )若函数 y＝ f(x) 的曲线以下列图，则方程y＝ f(2－ x)的曲线是 ()答案C剖析先关于 y 轴对称，获取(x－ 2)) ＝f(2－ x)的图像．因此答案为y＝f(－ x)的图像，再向右平移两个单位，即可获取y＝ f(－C.注意，左右平移是针对字母x 变化，上下平移是针对整个式子变化．6．(2014 山·东理 )已知函数 y＝ f(x)( x∈R )．对函数 y＝ g(x)(x∈I )，定义 g(x) 关于 f(x) 的“对称函数”为函数 y＝ h(x)( x∈I)， y＝h(x)满足：对任意 x∈ I ，两个点 (x， h(x))， ( x， g( x))关于点(x， f(x)) 对称．若 h(x)是 g(x) ＝4－ x2关于 f(x)＝ 3x＋ b 的“对称函数”，且h(x)＞ g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是 ________．答案(2 10，＋∞ )h x ＋ g x剖析函数 g(x)的定义域是 [－ 2,2]，依照已知得＝ f(x)，2因此 h(x)＝ 2f(x)－ g(x)＝ 6x＋ 2b－4－x2.h( x)＞ g(x)恒成立，即 6x＋ 2b－4－ x2＞ 4－ x2恒成立，即3x＋ b＞ 4－ x2恒成立，令y＝3x＋ b， y＝4－ x2，则只要直线y＝ 3x＋ b 在半圆22|b|＞ 2，解得 b＞ 2 10(舍去负值 ) ，故实数 b 的取值范围是 (2 10，x＋ y ＝ 4(y≥ 0)上方即可，由10＋∞)．。

题组层级快练(二十九)1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 千米 B ．2sin10° 千米 C ．2cos10° 千米 D ．cos20° 千米 答案 C解析 由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°， ∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC ·CB ·cos160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos 210°. ∴BD ＝2cos10°.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )A ．5 海里/时B ．5 3 海里/时C ．10 海里/时D ．10 3 海里/时 答案 C解析 如图，A ，B 为灯塔，船从O 航行到O ′，OO ′BO ＝tan30°，OO ′AO＝tan15°，∴BO ＝3OO ′，AO ＝(2＋3)OO ′.∵AO －BO ＝AB ＝10，∴OO ′·[(2＋3)－3]＝10. ∴OO ′＝5.∴船的速度为512＝10海里/时．4．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B ，C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.5．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米答案 C解析如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×x cos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍去)．∴N与D之间的距离为16米．6.如图所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10米B．10 2 米C．10 3 米D．10 6 米答案 D解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，∵BCsin45°＝CDsin30°，∴BC＝CD sin45°sin30°＝10 2.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，∴AB＝BC tan60°＝10 6 米．7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.8．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析 如图所示，依题意有：AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理，得60sin45°＝BM sin30°.解得BM ＝302(km)．9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案 0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°， CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案 缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船思路 本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .解析 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．11.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)答案 (1)7米 (2)小李的设计建造费用低，86 600元 解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中，由余弦定理，得 cos D ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D . ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下： S △ABD ＝12AB ·BD ·sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C .∵AD ·BD >AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．12．(2015·盐城一模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案 当设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小 解析 设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．1.为了测量两山顶M ，N 之间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．解析 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1，B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝d sinα2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理，得AN＝d sinβ2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝AM2＋AN2－2AM×AN cos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM＝d sinα1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN＝d sinβ1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝BM2＋BN2＋2BM×BN cos(β2＋α2).2．要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．答案40米解析如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．。

高考调研数学答案2016【篇一：【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练82】>(第二次作业)3273a．0 c．2 答案 c111263111111532333692．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数x的均值是( )55a. 650 3答案 c114555解析至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－)(1－)＝1.∴x～b(30)，∴e(x)＝30339999＝5033．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )1a.481 12答案d解析设投篮得分为随机变量x，则x的分布列为6当且仅当3a＝2b时，等号成立．4．设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________.12416403d．10 b．1 d．31答案 2解析 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的均值为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7a4，则7?a1－a4?2＋?a2－a4?2＋?＋?a7－a4?2711＝4d2＝1，d＝225．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．1答案 252p＋1－p22126．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶211段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，334(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；答案 (1) (2)99解析(1)记“该选手通过初赛”为事件a，“该选手通过复赛”为事件b，“该选手通过决赛”为事211件c，则p(a)p(b)＝，p(c)＝.33421433214339212399953111211212.1515515338．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm)对工期的影响如下表：求： (1)工期延误天数y的均值与方差；(2)在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 6答案 (1)均值为3，方差为9.8 7解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：p(x300)＝0.3，p(300≤x700)＝p(x700)－p(x300)＝0.7－0.3＝0.4，p(700≤x900)＝p(x900)－p(x700)＝0.9－0.7＝0.2，p(x≥900)＝1－p(x900)＝1－0.9＝0.1. 所以y的分布列为(2)由概率的加法公式，得p(x≥300)＝1－p(x300)＝0.7. 又p(300≤x900)＝p(x900)－p(x300)＝0.9－0.3＝0.6，由条件概率，得p(y≤6|x≥300)＝p(x900|x≥300)＝p?300≤x900?0.66＝. 0.77p?x≥300?6故在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 79．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为a，b，c，d，e五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：(1)1人，其成绩等级为“a或b”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记x表示抽到成绩等级为“a或b”的学生人数，求x的分布列及数学期望e(x)．1答案 (1) (2)1346解析 (1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“a或b”的频率为＝3030101. 3031故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“a或b”的概率约为3(2)由已知得，随机变量x的可能取值为0,1,2,3， 10238故随机变量x的分布列为279927讲评新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化，其侧重点由以往的概率及概率分布列的问题，变为统计与概率及分布列知识的综合，包括统计案例分析．书．现某人参加这个选修课的考试，他a级考试成绩合格的概率为，b级考试合格的概率为.假设各级考32试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；答案 (1)33解析设“a级第一次考试合格”为事件a1，“a级补考合格”为事件a2；“b级第一次考试合格”为事件b1，“b级补考合格”为事件b2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为a1b1，注意到a1与b1相互独立， 2113231故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为3即该考生参加考试的次数的期望为3【篇二：2016届浙江省高三调研考试数学(理)试题】>数学(理科)姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。

【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练18A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12答案 B 4．(2015·云南昆明一模)已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)上是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)上是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)上是增函数答案 D解析 由已知f ′(x )＝1x －1x ln 2x ＝ln 2x －1x ln 2x(x >0，且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得x ＝e 或x ＝1e .当x ∈(0，1e)时，f ′(x )>0；当x ∈(1e，1)∪(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，故函数f (x )在(1e，1)和(1，e)上单调递减，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，f (x )<0，故C 错；若x 0≥e ，f (x )在(x 0，＋∞)上是增函数，D 正确．5．(2015·四川内江一模)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则实数c 的取值范围为( )A ．c <14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c >14答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c >0⇒c <14. 6．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1答案 D 解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1)．故选D.7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.8．(2015·黑龙江哈尔滨一模)函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是________． 答案 π6＋ 3 解析 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈[0，π2]，得x ＝π6.则x ∈[0，π6)时，y ′>0；x ∈(π6，π2]时，y ′<0，故函数在[0，π6)上单调递增，在(π6，π2]上单调递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋ 3. 9．(2015·昌平一模)已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则实数a 的值为________．答案 1解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a＝1.10．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的是________．①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)既没有最小值，也没有最大值．答案①②③解析若f(x)＝(2x－x2)e x>0，则0<x<2，①正确；∵f′(x)＝－e x(x＋2)(x－2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确．11．(2015·启东中学调研)已知函数f(x)＝e x＋a ln x 的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)答案②④解析由f(x)＝e x＋a ln x，可得f′(x)＝e x＋ax，若a>0，则f′(x)>0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f(x)<0即得命题①③不正确；若a<0，设e x＋ax＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)<0，在(m，＋∞)上f′(x)>0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)<0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.12．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－ln x.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案 (1)a ≤3 (2)a >2 2解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数， ∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x ≤0恒成立，即a ≤2x ＋1x 恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2. ∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3. (2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0，a >0⇒a >2 2. ∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根． 不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．13．(2015·衡水调研卷)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3的图像的下方．答案 (1)极小值为12(2)f (x )min ＝12，f (x )max ＝12e 2＋1 (3)略 解析 (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)．当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12. (2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1. (3)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方．14．(2014·江西文)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0.(1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值．答案 (1)单调递增区间为(0，25)，(2，＋∞) (2)a ＝－10解析 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x＝0，得x ＝25或x ＝2.由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x，a <0， 由f ′(x )＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 10，－a 2时，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝0. ①当－a 2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝0，不符合题意． ③当－a 2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有a ＝－10.15．(2014·重庆理)已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R)的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求实数c 的取值范围．答案 (1)a ＝1，b ＝1 (2)f (x )在R 上为增函数(3)(4，＋∞)思路对于(1)，先根据相关的求导法则，正确求得相应函数的导数；再结合偶函数的定义及导数的几何意义确定相关的待定系数，对于(2)，结合函数的导函数与基本不等式，由此判定相应函数的导数的符号，进而确定其单调性；对于(3)，结合函数的导数与极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系数的取值范围．解析(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x －e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1＞0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4， 当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c ＜4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ＞0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4＞0，此时f (x )无极值；当c ＞4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164＞0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，或x 2＝12ln t 2. 当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；又当x ＞x 2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．。

题组层级快练(二十六)1．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案 A解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.3．函数y ＝sin(π4－x )的一个单调递增区间为( )A ．(3π4，7π4)B ．(－π4，3π4)C ．(－π2，π2)D ．(－3π4，π4)答案 A解析 y ＝sin(π4－x )＝－sin(x －π4)，故由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，解得2k π＋34π≤x ≤2k π＋74π(k ∈Z )．因此，函数y ＝sin(π4－x )的单调增区间为[2k π＋34π，2k π＋74π](k ∈Z )．4．(2015·湖南洛阳模拟)若函数y ＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.23π C.32π D.53π 答案 C解析 sin(－x 3＋φ3)＝sin(x 3＋φ3)观察选项．当φ＝32π时，等式恒成立．5．函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x 是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．6．函数g (x )＝sin 22x 的单调递增区间是( ) A ．[k π2，k π2＋π4](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π4](k ∈Z )C ．[k π2＋π4，k π2＋π2](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋π2](k ∈Z )答案 A7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.8．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0)B ．[－3,0)C ．(0，32]D ．(0,3] 答案 C解析 由于y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.9．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝sin x cos x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cos 2x －sin 2x 答案 D解析 因为对任意x ∈R 有f (x )＝f (－x )且f (x －π)＝f (x )，所以f (x )为偶函数且f (x )的最小正周期为π.故A ，C 错．B 项中，f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x 为奇函数，故B 错，D 项中，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ，满足条件，故选D.10．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 答案 B解析 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π. 令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z .则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z . 令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎡⎦⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．11．(2015·南昌大学附中)设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是( ) A ．f (0)＝1 B ．f (0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )＝±cos ωx .而f ′(x )＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.12．(2015·北京顺义一模)已知函数f (x )＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数； ②函数f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f (x )的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由已知得，f (x )＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f (2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f (5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.13．(2013·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.14．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.15．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 答案2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin(3x ＋φ＋π3)是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.16．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π3为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋32cos x ) ＝233sin(x ＋2π3)． 17．(2013·安徽理)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．18．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．答案 (1){x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } T ＝π (2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )解析 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )． 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．1．(2013·浙江理)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 f (x )是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时，f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin ωx 为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 由题意知，f (x )在π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f (x )的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f (π2)>f (π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f (x )＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．3．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g (x )＝M cos(w x ＋φ)＝M sin(w x ＋φ＋π2)＝M sin[w (x ＋π2w )＋φ]，∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b －a 2得到的．∴得到g (x )图像如图所示．选C.4．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )(2)[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．5．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 答案 (1)12 (2)T ＝π，⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z 思路 (1)由sin α＝22与α的取值范围，求出cos α或α的值；再代入函数f (x )，即可求出f (α)的值．(2)利用二倍角公式与辅助角公式，化简函数f (x )，再利用周期公式，即可求出函数f (x )的最小正周期；利用正弦函数的单调性，即可求出函数f (x )的单调递增区间．解析 方法一：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，∴cos α＝22.∴f (α)＝22⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。

题组层级快练(八十一)(第一次作业)1．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案 A解析 ∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.2．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B.73 C ．3 D.113 答案 C解析 由已知得⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52 B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.5 D ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3516答案 B4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E (X )，D (Y )分别为( )A ．0.6,60B ．3,12C ．3,120D ．3,1.2答案 C解析 X ～B (5,0.6)，Y ＝10X ，∴E (X )＝5×0.6＝3，D (X )＝5×0.6×0.4＝1.2.D (Y )＝100D (X )＝120. 5．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8答案 C解析 ∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10. 7．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6答案 B解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25.8．有一批产品，其中有12件正品和4个次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________.答案 34解析 次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.ξ的分布列为E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝66＋36＋3140＝34.9．(2014·浙江理)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解． 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15.所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.10．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的期望为________元．答案 500解析 ∵a 1＋2a 1＋4a 1＝1，∴a 1＝17，E (ξ)＝17×700＋27×560＋47×420＝500元．11．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围．答案 (0，12)解析 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12.又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)．12．(2014·重庆理)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．) 答案 (1)584 (2)4728解析 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.13．(2015·山东潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 答案 (1)136 (2)1153解析 (1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝(12)2×(13)2＝136.(2)该考生所得分数X ＝30,35,40,45,50， P (X ＝30)＝(12)2×(1－13)2＝19，P (X ＝35)＝C 12(12)2·(23)2＋(12)2·C 12·13×23＝13， P (X ＝40)＝(12)2×(23)2＋C 12·(12)2·C 12·13×23＋(12)2×(13)2＝1336，P (X ＝45)＝C 12(12)2·(13)2＋(12)2·C 12·13×23＝16，该考生所得分数X 的分布列为所以E (X )＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153.14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23.(1)分别求出小球落入A 袋或B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球；记ξ为落入B 袋中的小球个数．求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)13，23 (2)E (ξ)＝83解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件M ，“小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件为事件N ，而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P (M )＝(13)3＋(23)3＝127＋827＝13.从而P (N )＝1－P (M )＝1－13＝23.(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 且ξ～B (4，23)，故P (ξ＝0)＝C 04(23)0×(13)4＝181， P (ξ＝1)＝C 14(23)1×(13)3＝881， P (ξ＝2)＝C 24(23)2×(13)2＝827， P (ξ＝3)＝C 34(23)3×(13)1＝3281，则ξ的分布列为故ξ的数学期望为E(ξ)＝4×23＝83.。

题组层级快练 (十 )11．(2015 四·川泸州一诊 )2lg2 － lg25的值为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 4答案B剖析2lg2 － lg 1＝ lg(2 2÷1)＝ lg100 ＝2，应选 B.25252．(log 29) ·(log 34)＝ ()11 A. 4 B.2 C． 2D． 4答案D剖析22lg3 lg2原式＝ (log 23 ) ·(log 32)＝ 4(log 23) ·(log 32)＝4· ·＝4.lg2 lg31 3．(2015 石·家庄一模 )已知 a＝32， b＝ log 11， c＝ log 21，则 ()233A ． a>b>c B． b>c>a C． c>b>a D． b>a>c答案A1111剖析因为 32>1,0<log<1， c＝ log2 <0，所以 a>b>c，应选 A.3234．已知函数 f(x)＝ 2＋ log 2x， x∈ [1,2] ，则函数 y＝f(x)＋ f(x2)的值域为 ()11A ． [4,5]B．[4，2 ]13C．[4，2 ]D． [4,7]答案B剖析y＝ f(x) ＋ f(x2 )＝ 2＋ log2x＋ 2＋ log 2x2＝ 4＋ 3log 2x，注意到为使得y＝ f(x)＋ f( x2)有意211义，必有1≤ x ≤ 2，得 1≤ x≤2，从而 4≤ y≤2 .5．(2014 四·川文 )已知 b>0， log 5b＝ a，lg b＝ c,5d＝ 10，则以低等式必然成立的是 ()A ． d＝ ac B． a＝ cdC． c＝ ad D． d＝ a＋ c答案B剖析由已知得 5a＝ b,10c＝ b，∴5a＝ 10c,5d＝ 10，∴5dc＝ 10c，则 5dc＝ 5a，∴dc＝a，应选 B.－1,3 x ，则 ( )6．若 x ∈ (e 1)， a ＝ lnx ， b ＝2ln x ， c ＝ ln A ． a<b<c B ． c<a<b C ． b<a<c D ． b<c<a答案 C剖析1,2，a<c ，因由 x ∈(e －1)，得－ 1<ln x<0 ，a －b ＝－ lnx>0，a>b ，a － c ＝ lnx(1－ ln x)<0 此有 b<a<c ，选 C.7．若点 (a ， b)在 y ＝ lg x 图像上， a ≠1，则以下点也在此图像上的是 () A ． (1， b)B ． (10a,1－ b)aC ． (10， b ＋ 1)D ． (a 2,2b)a答案 D剖析当 x ＝ a 2 时， y ＝ lga 2＝ 2lga ＝2b ，所以点 (a 2,2b)在函数 y ＝ lgx 图像上．8．设 log b N ＜ log a N ＜0， N ＞ 1，且 a ＋ b ＝ 1，则必有 ( )A ． 1＜ a ＜ bB ． a ＜ b ＜1C ． 1＜ b ＜ aD ． b ＜ a ＜ 1答案 B剖析∵0＞ log a N ＞ log b N? log N b ＞ log N a ，∴a ＜ b ＜1.9．若 0<a<1，则在区间 (0,1)上函数 f(x)＝ log a (x ＋ 1)是 ()A ．增函数且 f( x)>0B ．增函数且 f( x)<0C ．减函数且 f( x)>0D ．减函数且 f( x)<0答案D剖析∵0<a<1 时， y ＝ log a u 为减函数，又 u ＝ x ＋ 1 增函数，∴ f(x)为减函数；又 0<x<1 时，x ＋ 1>1 ，又 0<a<1，∴f(x)<0. 选 D.|log2 x|10．函数 f(x) ＝2 的图像大体是 ( )答案Cx ， x ≥ 1，剖析∵f( x)＝2|log2 x|＝ 1∴选C.x ， 0<x<1 ，11．设 a ＝ log 3π， b ＝ log 23， c ＝ log 3 2，则 ()A ． a ＞ b ＞ cB ． a ＞ c ＞bC ． b ＞ a ＞ cD ． b ＞ c ＞a答案A13＜log 22＝ 1，∴a ＞ b.又 b＝2log 2 3剖析∵a ＝ log 3π＞ log 33＝ 1， b ＝ log 2 ＝(log 23)2＞ 1，∴bc12log 32＞ c.故 a ＞b ＞ c.选 A.1＞1的解是()12．若 0＜ a ＜ 1，则不等式 log a xA ． x ＞ aB ． a ＜ x ＜1C ． x ＞ 1D ． 0＜ x ＜a答案 B剖析易得 0＜ log a x ＜ 1，∴a ＜ x ＜ 1.13．若 log a (x ＋1)>log a (x － 1)，则 x ∈ ________， a ∈ ________.答案(1，＋∞ ) (1，＋∞ )14．若 log a (a 2＋ 1)＜ log a 2a ＜ 0，则实数 a 的取值范围是 __________．答案(1， 1)2剖析∵a 2＋ 1＞1， log a (a 2＋ 1)＜ 0，∴0＜ a ＜ 1.1又 log a 2a ＜ 0，∴2a ＞1，∴a ＞2.∴实数 a 的取值范围是1(2， 1)．15．若函数f(x)＝ log a (x ＋ 1)(a>0，且a ≠ 1)的定义域和值域都是[0,1] ，则 a ＝ ________.答案2剖析f(x)＝ log a (x ＋ 1)的定义域是 [0,1] ，∴0≤x ≤ 1，则1≤ x ＋ 1≤ 2.当 a>1 时， 0＝ log a 1≤ log a (x ＋ 1)≤ log a 2＝ 1，∴a ＝ 2；当 0< a<1 时， log a 2≤ log a (x ＋ 1)≤ log a 1＝ 0，与值域是 [0,1] 矛盾．综上， a ＝ 2.log 2x ， x>0， 且关于 x 的方程 f(x)＋ x － a ＝0 有16．(2015 广·东韶关调研 )已知函数 f(x)＝3x ， x ≤ 0，且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 ________．答案 a>1剖析如图，在同一坐标系中分别作出y＝ f(x)与 y＝－ x＋ a 的图像，其中 a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a>1 时，直线y＝－ x＋ a 与 y＝ log 2x 只有一个交点．17．设函数f(x)＝ |lgx|，(1)若 0<a<b 且 f(a)＝f(b)．证明： a·b＝ 1；(2)若 0＜ a＜ b 且 f(a)＞ f(b)．证明： ab＜1.答案略剖析(1) 由 |lga|＝ |lgb|，得－ lga＝ lgb.∴ab＝1.(2)由题设 f(a)＞ f(b) ，即 |lga|＞ |lgb|.上式等价于 (lga)2＞ (lg b)2，即 (lg a＋ lgb)(lg a－ lgb)＞0， lg(ab)lg ab＞ 0，由已知b＞a＞ 0，得a0＜b＜1.a∴lg ＜0，故 lg( ab)＜ 0.∴ab＜ 1.18．已知函数f(x)＝ log a(x＋ 1)－ log a (1－x) ，a>0 且 a≠ 1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a>1 时，求使f(x)>0 的 x 的取值范围．答案(1){ x|－ 1< x<1} (2)奇函数(3){ x|0<x<1}剖析(1) f(x)＝ log a( x＋1)－ log a(1－ x)，x＋ 1>0 ，则解得－ 1<x<1.1－ x>0，故所求定义域为{ x|－ 1< x<1} ．(2)f(x)为奇函数．证明以下：由(1) 知 f(x)的定义域为 { x|－ 1<x<1} ，且 f(－ x)＝ log a(－ x＋ 1)－ log a(1＋ x)＝－ [log a(x＋ 1)－ log a (1－ x)]＝－ f(x)．故 f(x)为奇函数．(3)由 f(x)>0 ，得 log a(x＋ 1)－ log a(1 －x)>0.∴log a(x＋ 1)>log a(1－ x)．又 a>1，x＋ 1>0，∴ 1－ x>0，解得0<x<1.x＋ 1>1－ x，所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{ x|0<x<1} ．若 a>0 且 a≠1， x>y>0，n∈N*，则以下各式：n n n1① (log a x)＝ nlog a x；② (log a x)＝ log a x；③ log a x＝－ log a；④xlog a nx；x－ y x＋ y.⑥log a＝－ log ax＋y x－ yn1log a xlog a x＝n log a x；⑤n＝其中正确的有 ________．答案③⑤⑥。