高三一轮复习总结走向高考4-30

4-4氮及其化合物一、选择题1．氮元素在地球上含量丰富，氮及其化合物在工农业生产、生活中有着重要作用。

下列叙述与氮元素的循环无关的是( )A．工业合成氨的过程是固氮的过程B．自然界中，氨是动物体特别是蛋白质腐败后的产物C．为防止粮食、罐头、水果等食品腐烂，常用氮气作保护气D．电闪雷鸣的雨天，N2与O2会发生反应并最终转化为硝酸盐被植物吸收解析：C项，由于N2很不活泼，故而作为保护气，N2不参与化学反应，也即无循环可言。

答案：C2．下列有关氨的性质的叙述中正确的是( )①氨不能在空气中燃烧②氨水呈碱性③氨气和酸相遇都能产生白色烟④在反应：NH3＋H＋===NH＋4中氨失去电子被氧化⑤氨水中含氮微粒中最多的是NH＋4⑥常温下把NH3通入稀HNO3中，当溶液的pH等于7时，NH3和HNO3物质的量相等A．①②B．③⑤⑥C．①⑤⑥ D．②⑤⑥解析：氨在空气中氧化需高温和催化剂；由于氨水中存在平衡：NH3＋H2O NH3·H2O NH＋4＋OH－，故氨水呈弱碱性；氨气只有与挥发性酸相遇才能产生白色烟，与不挥发性酸如H2SO4、H3PO4相遇，不产生白色烟；NH3和H＋的反应为非氧化还原反应。

故①、②正确，③、④不正确。

在氨水中，NH3·H2O是一元弱碱，电离很微弱，含氮微粒最多的是NH3·H2O，⑤错。

当NH3和HNO3等物质的量反应时生成NH4NO3，因NH＋4水解而使溶液呈酸性，⑥错。

答案：A3．(2012·云南省重点高中高三联考)亚硝酸钠是一种工业用盐，广泛用于物质合成、金属表面处理等，它的一些性质或用途如图，下列说法不正确的是( )A ．NaNO 2的稳定性大于NH 4NO 2B ．NaNO 2与N 2H 4反应，NaNO 2是氧化剂C ．可用淀粉－碘化钾试纸和食醋鉴别NaCl 与NaNO 2D ．NaN 3分解，每产生1 mol N 2转移6 mol e －解析：本题考查NaNO 2的性质以及氧化还原反应知识。

2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )A．(0，13) B．(13，12)C．(12，1) D．(1,2)[答案] B[解析] f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13－(13)13>0，f(12)＝(12)12－(12)13<0，∵f(13)·f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象，∵ln e＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．(理)(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点[答案] B[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(文)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．(理)(2011·深圳一检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2012·河南六市模拟)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －1 x >12xx ≤1，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，又x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，∴f (x )的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g (x )的图象，可见y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝2x (x ≤1)有5个交点，y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝log 3(x －1)(x >1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f (x )＝x 3－4x 2－x ＋4不存在零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4][答案] C[解析] ∵f (0)＝4，f (1)＝0，f (3)＝－8<0，f (4)＝0，f (2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f (2)＝－6<0，f (3)＝－8<0，做出判断f (x )在区间[2,3]内无零点．6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km ；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km ；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t3(t ≥0且t ∈N )， 200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N )， 即37.5t ≤P ≤40t .又140t3>40t ，即W >P ， 所以使用液化气比使用汽油省钱． (2)①设37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5， 又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546. ②设40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750. 所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f (x )＝2x＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． [点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数． (理)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1 x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x－1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x 不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x－1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400kg ，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400kg 不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400kg 原材料不需要保管，第二天用掉的400kg 原材料需保管1天，第三天用掉的400kg 原材料需保管2天，第四天用掉的400kg 原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400kg 原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594≥2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)． w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s)2＋10002s，当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)．(2)设农场净收入为v 元， 则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式， 得v ＝10002s－2×10003s 4.又v ′＝－10002s 2＋8×10003s5＝100028000－s 3s 5，令v ′＝0，得s ＝20. 当0<s <20时，v ′>0； 当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入． *16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，证明方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)；(3)是否存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足以下条件：①当x ＝－1时，函数f (x )有最小值0；②对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为f (－1)＝0， 所以a －b ＋c ＝0，故b ＝a ＋c .因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2. 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1－f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2－f x 12，因为g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0(f (x 1)≠f (x 2))，所以g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．(3)假设a 、b 、c 存在，由①得－b 2a ＝－1，4ac －b 24a＝0，即b ＝2a ，b 2＝4ac ，所以4a 2＝4ac ，故a ＝c .由②知对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.令x ＝1，得0≤f (1)－1≤0，所以f (1)－1＝0，即a ＋b ＋c ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，b ＝2a ，a ＝c ，解得a ＝c ＝14b ＝12.当a ＝c ＝14，b ＝12时，f (x )＝14x 2＋12x ＋14＝14(x ＋1)2，其顶点为(－1,0)满足条件①，又f (x )－x ＝14(x －1)2，所以对任意x ∈R ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2，满足条件②.所以存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足条件①②.1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2a －1b －1＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b 1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2．(2011·温州十校模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)[答案] B[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m2m ≥0即0<m ≤4，结论显然成立；②若对称轴4－m2m <0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8.综上0<m <8，选B.3．(2011·江南十校联考)定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．4．(2012·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，103时有3个根．[点评] 要注意在x ∈(3，103]时方程无解． 5．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．6．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116 D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0，f 2＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为11167．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ，x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1，x ∈0，＋∞，若方程f (x )－m ＝0有且仅有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m ≤1B ．－1<m <0或m ＝1C ．－1<m ≤0或m ＝1D ．－1<m ≤1[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－xx ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1 x ∈0，＋∞，∴当x ≤0时，f (x )＝11－x单调递增，且0<f (x )≤1，又x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ≥1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－1，∴当m ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有两个交点，当－1<m ≤0时，直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有两个交点，故选C.8．(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a ≤12)、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )[答案] C[解析] 设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，16－x ≥4，得a ≤x ≤12，矩形面积S ＝x (16－x ) (a ≤x ≤12)，显然当a ≤8时，矩形面积最大值u ＝64，为常数，当a >8时，在x ＝a 时，矩形面积取最大值u ＝a (16－a )，在[a,12]上为减函数，故选C.9．(2012·湖南文)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8 [答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等． 由x ∈(0，π)，x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0知， 当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(π2，π)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：而y＝f(x)－sin x的零点个数，即f(x)＝sin x的根，即y＝sin x与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.①有三个实根②当x<－1时，恰有一实根③当－1<x<0时，恰有一实根④当0<x<1时，恰有一实根⑤当x>1时，恰有一实根正确的有________．[答案] ①②[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x )＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．11．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P (x )＝1007x制作200把椅子所需时间为Q (x )＝2001030－x ＝2030－x， 完成全部任务所需的时间为P (x )与Q (x )的最大值F (x )．为求得F (x )的最小值，需满足P (x )＝Q (x )，即1007x ＝2030－x，解得x ＝12.5， 考虑到x 表示人数，所以x ∈N *.∵P (12)>P (13)，Q (12)<Q (13)，故考查P (12)与Q (13)．P (12)＝10084Q (13)＝2017≈1.18. 即F (12)>F (13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．。

高三辅导心得_心得体会
高三是人生中重要的一年，是冲刺高考的关键时期。

在这一年里，我经历了很多挑战和困难，也收获了许多成长和进步。

在辅导
学习的过程中，我有了一些心得体会。

首先，高三辅导需要有明确的目标和计划。

在备考高考的过程中，我意识到制定一个合理的学习计划是非常重要的。

我需要根据
自己的实际情况，合理安排每天的学习时间，制定科学的学习计划，有针对性地进行复习和提高，才能更好地备战高考。

其次，高三辅导需要有坚定的决心和毅力。

在备考的过程中，
我遇到了各种各样的困难和挫折，但是我始终坚信只要自己努力，
就一定能取得好成绩。

我不断鼓励自己，保持积极的心态，坚持不
懈地努力学习，最终取得了理想的成绩。

最后，高三辅导需要有良好的学习方法和技巧。

在备考高考的
过程中，我逐渐摸索出了适合自己的学习方法和技巧，比如做题的
技巧、记忆的方法等。

这些都帮助我更加高效地学习和复习，提高
了学习效率。

总的来说，高三辅导是一个全面提升自己的过程，需要有明确
的目标和计划，坚定的决心和毅力，以及良好的学习方法和技巧。

只有不断地努力和坚持，才能在高考中取得优异的成绩。

希望未来
的学弟学妹们都能够在高三辅导中有所收获，取得令人满意的成绩。

6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32， 故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ， 得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a －2b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1， 令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)， 且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列． 综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋a c－1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22， 所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。

8-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012²乌鲁木齐地区质检)在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4[答案] B[解析] 圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是π4.(理)(2012²内蒙包头模拟)曲线y ＝x 2＋bx ＋c 在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0，12]C ．[0，|b |2]D ．[0，|b －1|2][答案] B[解析] y ′|x ＝x 0＝2x 0＋b ，设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1，即0≤2x 0＋b ≤1，∴点P (x 0，f (x 0))到对称轴x ＝－b 2的距离d ＝|x 0＋b 2|＝12|2x 0＋b |∈[0，12]，故选B.2．(文)(2011²辽宁沈阳二中检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．(理)(2011²东营模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] l 1∥l 2时，an －bm ＝0；an －bm ＝0时⇒/ l 1∥l 2. 故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．3．(2011²烟台模拟)点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)[答案] B[解析] x ＝2－4＝－2，y ＝2－(－3)＝5，故选B.4．(文)(2011²梅州模拟)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．(理)已知a 、b 为正数，且直线(a ＋1)x ＋2y －1＝0与直线3x ＋(b －2)y ＋2＝0互相垂直，则3a ＋2b的最小值为( )A ．12 B.136C ．1D ．25[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴3(a ＋1)＋2(b －2)＝0， ∴3a ＋2b ＝1， ∵a 、b >0，∴3a ＋2b ＝(3a ＋2b )(3a ＋2b )＝13＋6b a＋6ab≥13＋26b a ²6a b＝25.等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧6b a ＝6a b3a ＋2b ＝1，∴a ＝b ＝15，故3a ＋2b的最小值为25.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )[答案] A[解析] 直线l 1在x 轴上的截距与直线l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 1在y 轴上的截距与l 2在x 轴上的截距互为相反数，故选A.[点评] 可用斜率关系判断，也可取特值检验．6．(文)(2011²安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P (2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 设过点P (2,1)的直线方程为x a ＋y b＝1， 则2a ＋1b＝1，即2b ＋a ＝ab ，又S ＝12|a ||b |＝4，即|ab |＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋a ＝ab ，|ab |＝8，解得a 、b 有三组解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，⎩⎨⎧a ＝－4－42，b ＝－2＋22，或⎩⎨⎧a ＝42－4，b ＝－2－2 2.所以所求直线共有3条，故选C.(理)(2012²山东模拟)若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.12<m <1 B ．－1<m ≤12C ．－12≤m <1D.12≤m ≤1 [答案] D[解析] 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于0.直线变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，⇒12≤m ≤1，故选D.[点评] (1)令x ＝0得y ＝－2m ＋1，令y ＝0得，x ＝2m －1m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1<0，2m －1m 2－1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＝0，m 2－1≤0，也可获解．(2)取特值m ＝0,1，检验亦可获解．7．(2011²宁夏银川一中月考)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．[答案] －2或1[解析] 令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得x ＝a ＋2a， 由条件知2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1. 8．(文)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.(理)(2012²佛山市高三检测)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，由ab＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2(b －12)2＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.9．(2011²大连模拟)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．[答案] 3[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.[点评] 还可利用AB ⊥l 求解，或AB →为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)，或先求AB 中点纵坐标y 0，利用AB 的中点在直线上求出其横坐标x 0再求m .10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，m ＝1，∴当m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (1，－1)．(2)l 1∥l 2⇔m 2＝8m ≠n－1，得：m ＝4，n ≠－2，或m ＝－4，n ≠2. (3)l 1⊥l 2⇔m ³2＋8³m ＝0， ∴m ＝0，则l 1：8y ＋n ＝0.又l 1在y 轴上的截距为－1，则n ＝8. 综上知m ＝0，n ＝8.[点评] 讨论l 1∥l 2时要排除两直线重合的情况．处理l 1⊥l 2时，利用l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.能力拓展提升11.(文)(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0[答案] C[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0化为标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝4， ∵直线平分圆，∴直线过圆心． 因此，可代入验证． 经验证得C 正确．[点评] 关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心．(理)(2011²西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[答案] B[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2b，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.12．(文)若三直线l ：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)，若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12.此时三条直线交于一点；k ＝32时，直线l 1与l 3平行． k ＝－1时，直线l 2与l 3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k ≠－12，32和－1.(理)(2011²北京文，8)已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] A[解析] 因为|AB |＝22，要使三角形面积是2，则C 点到直线AB 的距离为 2.直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，设C 点所在的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，所以d ＝|m ＋2|2＝2，解得m ＝0或m ＝－4，所以C 点的轨迹为x ＋y ＝0，或x ＋y －4＝0.又因为点C 在函数y ＝x 2的图象上，x ＋y ＝0，和x ＋y －4＝0与y ＝x 2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．13．已知指数函数y ＝2x的图象与y 轴交于点A ，对数函数y ＝lg x 的图象与x 轴交于点B ，点P 在直线AB 上移动，点M (0，－2)，则|MP |的最小值为________．[答案]322[解析] A (0,1)，B (1,0)，∴直线AB ：x ＋y －1＝0，又M (0，－2)，当|MP |取最小值时，MP ⊥AB ，∴|MP |的最小值为M 到直线AB 的距离d ＝|0－2－1|2＝322.14．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2的距离为________．[答案] 3或5[解析] 由(k －3)³(－2)－2(k －3)³(4－k )＝0，且－2³1－(4－k )³3≠0，∴k ＝3或5.当k ＝3时，l 1：y ＋1＝0，l 2：－2y ＋3＝0，此时l 1与l 2距离为：52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2的距离为|3－2|42＋－22＝510. 15．(文)已知两条直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？[解析] (1)当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m ，即m ≠－7，且m ≠－1.∴当m ≠－7，且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4²(－25＋m)＝－1，m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．(理)(2011²青岛模拟)已知三点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，分别求满足下列条件的m 值．(1)三点构成直角三角形ABC ； (2)A 、B 、C 三点共线．[解析] (1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ， ∴k AC ²k AB ＝－1， 即m ＋12－5²1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ²k BC ＝－1，即－12²m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ²k BC ＝－1， 即m ＋1－3²m －12－1＝－1，得m ＝±2， 综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2. (2)方法一：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3， 由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12.∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λm ＋1，得λ＝43，m ＝12，∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法三：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴|AB |＝25，|BC |＝m 2－2m ＋2， |AC |＝m 2＋2m ＋10.由三点横坐标可知，|BC |＋|AC |＝|AB |， 即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5²m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法四：点A (5，－1)与B (1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C (2，m )的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．16．(文)(2011²西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程． (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1)． 由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．(理)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解析] 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)． 此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k (x －3)， 令y ＝0得B (3＋1k，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3得C 点横坐标x c ＝1＋3kk －2.若|BC |＝2|AB |则|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |，∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.1．函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a 、b 的关系式，进而可求得直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ，再由k ＝tan α可求倾斜角α.[解析] 令f (x )＝a sin x －b cos x ， ∵f (x )的一条对称轴为x ＝π4， ∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴a b ＝－1. ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)，P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12.3．(2011²江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33] D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) [答案] B [解析]曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C 2：y ＝0或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1,0)，即曲线C 2图象为x 轴与恒过定点(－1,0)的两条直线．作图分析：k 1＝tan30°＝33，k 2＝－tan30°＝－33， 又直线l 1(或直线l 2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k ∈(－33，0)∪(0，33)． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[解析] 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，由正弦定理得：k 1²k 2＝－sin A a ²bsin B＝－1，所以两条直线垂直，故选C.5．(2011²安徽省高三联考)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵点P 到点A 和定直线x ＝－1距离相等，易知P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|2t －t 2|2，解之得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，∴P 点有三个，故选C.6．(2011²深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．[答案] 2x －y ＋8＝0[解析] 由条件知l 1⊥l 3，∴k l 1＝2，∴tan α＝2，又l 2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，∴l 2：y ＝－43x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，得P (－3,2)，又P 在l 1上，∴l 1：2x －y ＋8＝0. 7．曲线y ＝xx ＋2在(－1，－1)处的切线为l ，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0与x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则外接圆的圆心到l 的距离为________．[答案]19530[解析] 由y ＝xx ＋2得，y ′|x ＝－1＝2x ＋22|x ＝－1＝2，∴切线l ：y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0，又由条件知，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0垂直，∴2k －6＝0，∴k ＝3. 在3x ＋2y ＋10＝0中含y ＝0得x ＝－103，∴A (－103，0)，在2x －3y ＋5＝0中令x ＝0得y ＝53，∴B (0，53)，AB 的中点C (－53，56)为圆心，故所求距离为19530. 8．(2011²苏北四市二调)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝____________.[答案] 13[解析] 两条直线垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，对于本题而言就是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.。

7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x>1，则不等式f (1－1x)>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a)C ．(－∞，11－a) D ．(1，11－a)[答案] D[解析] 依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x<a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.(理)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案] D[解析] ⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2， ∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18， ∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 3．(2012·河南六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4[答案] C[解析] y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b 2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋41－x x ＋9x1－x≥13＋241－x x·9x 1－x＝25，当且仅当41－x x＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x＋3y的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 7．已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b的取值范围是________．[答案] [22，1) [解析] 由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b<1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(ca ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab ≥c 22a 2＋b 2＝12，∴ca ＋b≥22，22≤c a ＋b<1. 8．(文)(2011·温州一检)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P (1，12)时，ab 取得最大值12. (理)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． [答案] 4[解析] 由题意，P ，Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k，－2k )．则PQ ＝8k2＋8k 2≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4.[点评] (1)用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．(3)注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 0≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1 ＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案] 4和12[解析] 设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9xy，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y ＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b的最小值．[解析] 由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得 (x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab，由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20，∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30x ＋20x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15x ＋202x＝15(x ＋400x＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0，∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升11.(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·济南一模)若实数x 、y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 设a ＝2x，b ＝2y，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥a ＋b 22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4， 又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2， ∴2<a ＋b ≤4.12．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0， ∴2y x ＋8x y≥22y x ·8x y＝8，由条件知m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析] 连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．15．(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析] (1)设DQ ＝y ， 则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x.S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x2(0<x <102)． (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时， S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则 W ＝－t －12＋98t －1＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 16．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5，ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.1．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab，∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤a ＋b 24＝14.当a ＝b ＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.2．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 22R 1＋R 2 ＝R 1－R 222R 1＋R 2>0，所以R A >R B . 3．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.5．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤m ＋n 24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.6．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．[答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。

1-2命题、量词、逻辑联结词基础巩固强化1.(2013·江西吉安一中上学期期中考试)下列命题中，不是真命题的为( )A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题[答案] D[解析] A中原命题为真命题，故逆否命题为真；B中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C中否命题为“若x2≠9，则x≠3”显然为真命题；D中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.2．(文)(2011·聊城模拟)下列命题中为假命题的是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2[答案] B[解析] 由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lg x＝0<1；∵直线y＝2与y＝tan x的图象有交点，∴方程tan x＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．(理)(2011·山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为( )A．∀x∈R，x2<x＋1B．∀x∈R，x2≥x＋1C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2D．∀x∈R，∃y∈R，x>y2[答案] C[解析] 令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x<y2，故D假．当x＝1时，∀y∈R，xy2＝y2，故C真．3．(2011·西安二检)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0[答案] C[解析] 依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x 2＋1>0”，选C.4．(2011·辽宁铁岭六校联合考试)与命题“若p ，则q ”的否命题真假相同的命题是( )A ．若q ，则pB ．若綈p ，则qC ．若綈q ，则pD ．若綈p ，则綈q[答案] A[解析] 原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A. 5．(文)(2012·安阳模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2[答案] A[解析] 由p ∨q 为假命题可知p 和q 都是假命题，即非p 是真命题，所以m >－1；再由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为假命题知m ≥2或m ≤－2，∴m ≥2，故选A.(理)(2011·广东省东莞市一模)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x<3x；命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x <1，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q )[答案] C[解析] 在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x的图象恒在y ＝3x的上方，所以不存在这样的x 使得2x<3x成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C.6．(文)(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( ) A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a <b ，则1a >1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立[答案] D[解析] 对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0； 对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．(理)(2012·合肥第一次质检)下列命题： ①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] A[解析] 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要log 2x >0，∴x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >cb，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④错误．所以选A.7．(文)(2011·济南模拟)命题p ：∃x ∈R ，lg x ＝0，q ：∀x ∈R,2x>0，命题(綈p )∧q 的真假为________(填“真”或“假”)．[答案] 假[解析] ∵x ＝1时，lg x ＝0，∴p 真； 由指数函数值域知2x>0恒成立，∴q 真； ∴(綈p )∧q 为假．(理)(2011·南京一调)设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“非p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (4，＋∞)[解析] ∵“非p ”为真命题，∴p 为假命题，又p 或q 为真命题，∴q 为真命题． 若a >1，由log a 2<1知a >2，又f (x )＝2|x －a |在(a ，＋∞)上单调递增，且p 为假命题，∴a >4，因此得，a >4；若0<a <1，则p 、q 都是真命题，不合题意． 综上，a 的取值范围是(4，＋∞)．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是____________． [答案] 对∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0.9．(2012·洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题： ①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x－log 2x 的零点有1个；③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)； ④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件； ⑤函数y ＝x 3是在O (0,0)处的切线是x 轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ④⑤[解析] y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x与y ＝log 2x 的图象，由两图象没有交点知函数f (x )＝2x－log 2x 没有零点，②错误；x ＝1是不等式x －1(x －2)≥0的解，③错误；x <1⇒x <2，而x <2⇒/ x <1，④正确；y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴切线的斜率k ＝0，过原点的切线方程为y ＝0，⑤正确．10．给出下列三个结论：①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆命题为假命题；②已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋by ＋2＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－2； ③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)． [答案] ①③[解析] ①显然正确．②中l 1⊥l 2⇔a ＋2b ＝0，但a ＋2b ＝0与a b＝－2不等价，∵当a ＝b ＝0时，a b＝－2不成立，故②错；③由条件知，f (x )为奇函数，在x >0时单调增，故x <0时单调增，从而x <0时，f ′(x )>0；g (x )为偶函数，x >0时单调增，从而x <0时单调减，∴x <0时，g ′(x )<0，∴x <0时，f ′(x )>g ′(x )，故③正确.能力拓展提升11.(2011·北京模拟)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>1＋x [答案] D[解析] ∵对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，∴A 假；当x ＝π4时，sin x ＝cos x ，∴B 假；对于函数y ＝x 2＋x ＋1，∵Δ＝－3<0，∴y >0恒成立，∴C 假；对于函数y ＝e x－x －1，∵y ′＝e x－1，当x >0时，y ′>0，∴y ＝e x－x －1在(0，＋∞)上为增函数，∴y >e 0－0－1＝0，即e x >1＋x 恒成立，∴D 真．12．(文)(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是( ) ①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 当x ＝0时，x 4>x 2不成立，∴①假；p ∧q 是假命题，则p 、q 至少有一个为假，∴②假；③显然为真，故选B.(理)(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”为假命题，∵m ＝0时，命题不成立；p ∨q 为真命题时，p 、q 至少一真，故C 假；x >1⇒/ x >2，但x >2⇒x >1，∴x >1是x >2的必要不充分条件，故D 假，B 显然为真．13．(2011·宿州模拟)已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[－98，－1]B ．[－98，2]C ．[－1,2]D ．[－98，＋∞)[答案] C[解析] 依题意：cos2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上有解，即cos2x ＋cos x ＝m 在x∈[0，π2]上有解．令f (x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．14．(文)(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案] ①③[解析] ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③.(理)(2011·常德模拟)已知命题“如果|a |≤1，那么关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．[答案] 2[解析] 由|a |≤1，得－1≤a ≤1， 且Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4) ＝5(a ＋25)2－45－12≤5(1＋25)2－645<0，∴原命题为真，逆否命题亦为真．反之，如a ＝－2时，所给不等式的解集即为空集， 但a ∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k x －3，得，ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6.又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝3，那么直线过点T (3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．16．(文)已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立， ∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立，令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1， 即若命题q 真，则－1<a ≤1. 若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.(理)探求关于x 的方程x 2＋2mx ＋12－m ＝0两根都大于2的充要条件．[解析] 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1>2，x 2>2，而⎩⎪⎨⎪⎧x 1>2，x 2>2，⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1－2x 2－2>0，x 1－2＋x 2－2>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－412－m ≥0，12－m －2×－2m ＋4>0，－2m －4>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－4，m >－163，m <－2，⇔－163<m ≤－4.∴方程两根都大于2的充要条件为－163<m ≤－4.1．(2011·福州月考)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题 [答案] D[解析] A 中，否命题应为若x 2≠1，则x ≠1；B 中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，反之则不成立，应为充分不必要条件；C 中，命题的否定应为∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.2．(2011·浙江省台州市调研)给出下列命题，其中错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x 2－3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件 C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 [答案] C[解析] 选项A 根据逆否命题的写法，是正确的；选项B“x 2－3x －4＝0”不能推出“x ＝4”，但是“x ＝4”能推出“x 2－3x －4＝0”所以B 正确；选项C 中若p ∧q 是假命题，只需要其中一个是假命题即可，故选项C 错误．根据特称命题与全称命题的否定，选项D 正确．3．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x>2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数 D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵x ＋1x≥2等号在x ＝1时成立，∴A 真；将x ＝1，y ＝0代入直线方程ax ＋y＝a 中成立，∴B 真；令m －1＝1得m ＝2，此时f (x )＝x －1是幂函数，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 为偶函数，故D 假．4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0.”若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}C ．{a |a ≥1}D ．{a |－2≤a ≤1}[答案] A[解析] “p ∧q ”为真，即p 、q 同为真．对于命题p ，∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0恒成立，只需12－a ≥0成立，即a ≤1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2或a ≥1，∴选A.5．(2011·南昌模拟)给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③ [答案] B[解析] 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．6．已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切． (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线x 24－y 212＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF →＋BE →＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．[解析] (1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，圆心为C (x ，y )，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ， 即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A 、M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12. ∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 212＝1，消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y212＝1，消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0.设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km 3－k 2，Δ2＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0②∵DF →＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，BE →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)， 且DF →＋BE →＝0，∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0，即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km3－k 2，∴km ＝0或－43＋4k 2＝13－k 2.解得k ＝0或m ＝0.当k ＝0时，由①、②得－23<m <23， ∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1,0,1,2,3； 当m ＝0时，由①、②得－3<k <3，∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．。

4-5 简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010[答案] C[解析] 设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，0<α2<π2， ∵2cos2α2－1＝cos α，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2＝cos α＋12＝31010，故选C. (理)(2011·天津蓟县模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3]上的最大值为( )A.12 B.1＋32C ．1 D.32[答案] D[解析] f (x )＝1＋cos2x 2＋32sin2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12∵－π4≤x ≤π3，∴－π3≤2x ＋π6≤5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为32.2．(文)已知tan α＝－2，则14sin 2α＋25cos 2α的值是( )A.257 B.725 C.1625D.925[答案] B[解析] 14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. (理)(2012·东北三省四市联考)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝( )A ．－145B ．－75C ．－2 D.45[答案] C[解析] ∵点P 在直线y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.3．(2012·大纲全国文)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3[答案] C[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y ＝sinx ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，即φ＝3π2＋3k π， 又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2适合．本题也可用偶函数定义求解．4．(2012·北京海淀期中练习)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C 2⇒ cos A ·co s B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B )⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.5．(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33[答案] C[解析] 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1，故选C.(理)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365D ．－6365[答案] A[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.6．(文)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105B ．－105C ．－155D.155[答案] C[解析] ∵5π2<θ<3π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15.∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0， 又cos θ＝1－2sin2θ2，∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.(理)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.7．(文)在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列 [答案] A[解析] ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，∴(a ＋c )＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ， ∵a cos C ＋c cos A ＝b ，∴a ＋c ＝2b ，∴a 、b 、c 依次成等差数列．(理)(2012·河南六市联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin(12x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(12x ＋π4)C ．f (x )＝2sin(x ＋π4)D ．f (x )＝4sin(12x ＋3π4)[答案] A[解析] f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，由图象知，2πω＝2×(3π2－(－π2))，∴ω＝12，又A ω＝2，∴A ＝4，∴f ′(x )＝2cos(12x ＋φ)，由f ′(x )的图象过点(π2，0)得，cos(π4＋φ)＝0，∵0<φ<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝4sin(12x ＋π4)，故选A.8．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案]π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.9．已知：sin α＋cos α＝15，π<α<2π，则cos α2＝________.[答案] －31010[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<2π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－31010. 10．在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A2·tan C2的值是________．[答案]3[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3.能力拓展提升11.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 原式＝sin 30°－20°＋sin 30°＋20°sin 45°－10°·sin 45°＋10°＝2sin30°cos20°12cos 210°－12sin 210°＝cos20°12cos20°＝2.12．(文)(2011·天津蓟县模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3]上的最大值为( )A.12B.1＋32C ．1 D.32[答案] D[解析] f (x )＝1＋cos2x 2＋32sin2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∵－π4≤x ≤π3，∴－π3≤2x ＋π6≤5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为32.(理)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴△ABC 为等腰三角形．13．已知sin θ＋cos θ＝713，且π2<θ<π，则cos2θ的值是________．[答案] －119169[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1消去cos θ得，sin 2θ－713sin θ－60169＝0，∵π2<θ<π，∴sin θ>0， ∴sin θ＝1213，∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝－119169.14．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为________．[答案] －2425[解析] ∵tan α＝－34，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan αtan 2α＋1＝2×－34－342＋1＝－2425. 15．(文)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．[解析] (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.(理)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3cos x 4，cos x 4，n ＝sin x 4，cos x4.(1)若m ·n ＝3＋12，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；(2)记f (x )＝m ·n －12，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a－c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝3＋12＝3cos x 4sin x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝32， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝－12.(2)f (x )＝m ·n －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，则f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6，因为(2a －c )cos B ＝b cos C ， 则(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B ＝sin A ，则B ＝π4，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34π，A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π24，则f (A )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 16．(文)(2012·湖南文，18)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．[解析] (1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2(12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .[点评] 本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12；x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2.1．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)· sin(α－β)等于( ) A ．－a 2 B.a2 C ．－a D ．a[答案] C[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)·cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .故选C.2．若0<α<β<π2，则下列不等式中不正确的是( )A ．sin α＋sin β<α＋βB ．α＋sin β<sin α＋βC ．α·sin α<β·sin β D. β·sin α<α·sin β[答案] D[解析] 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项A 正确．α·sin α<β·sin β，即选项C 正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项B 正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项D 不正确．[点评] 作为选择题可用特殊值找出错误选项D 即可． 3．若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4[答案] D[解析] ∵5π4<4<3π2，∴sin4<cos4<0.∴2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4| ＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.故选D.5．已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z )，则cos2α－β2＝( ) A.c 2a 2＋b 2B.a 2c 2＋b 2C.b 2a 2＋c2D.ac 2＋b 2[答案] A [解析]在平面直角坐标系中，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，点A (cos α，sin α)与点B (cos β，sin β)是直线l ：ax ＋by ＝c 与单位圆x 2＋y 2＝1的两个交点，如图，从而|AB |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|c |a 2＋b 2，由平面几何知识知|OA |2－(12|AB |)2＝d 2，即1－2－2cos α－β4＝c 2a 2＋b 2，∴cos2α－β2＝c2a 2＋b 2.。

4-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(2011²银川三模)已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－ 2425B ．－1225C ．－45D.2425[答案] A[解析] 由题意可知cos θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，故选择A.2．(文)(2011²北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B的值为( )A.14B.13C.12D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.(理)已知sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )A ．－7B ．7C ．－34D.34 [答案] B[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－45，则tan α＝－34.∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.3．(文)已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为( )A ．－1B ．－1或－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45²35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35²45＝－2425，故选C. (理)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 4．已知实数a ，b 均不为零，a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝tan β，且β－2＝π6，则ba＝( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－33[答案] B[解析] tan β＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝a tan2＋b a －b tan2，所以a ＝1，b ＝33，故b a ＝33. 5．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )²cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2011²合肥质检)将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π8B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] y ＝sin(2x ＋π3) y ＝sin2xy ＝sin4x ，其对称轴方程为4x ＝k π＋π2，k∈Z ，∴x ＝k π4＋π8，令k ＝0得x ＝π8. (理)(2013²陕西师大附中上学期一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个长度单位B ．向右平移π12个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向左平移π12个长度单位[答案] A[解析] 由图可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(7π12，－1)代入得sin(7π6＋φ)＝－1，∴7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，将f (x )的图象向右平移π6个单位可得，sin[2(x －π6)＋π3]＝sin2x ，故选A.7．函数f (x )＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴是直线x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角的大小为________．[答案]3π4(或135°) [解析] f (x )的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f (π4)＝±a 2＋b 2，∴a －b 2＝±a 2＋b 2，解得a ＋b ＝0.∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab＝－1， ∴直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．下列命题：①存在α、β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β；②存在φ∈R ，使f (x )＝cos(3x ＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，π2)，若tan α²tan β<1，则α＋β<π2；④△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件是A >B .其中真命题的序号是________．[答案] ①②③④[解析] ①α＝0，β＝π3时，原式成立；②φ＝π2时，f (x )为奇函数；③∵tan α²tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α²sin βcos α²cos β<1，∴sin α²sin β<cos α²cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2；④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 9．(文)函数y ＝cos(π3－2x )＋sin(π2－2x )的最小正周期为________．[答案] π[解析] y ＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＋cos2x＝32cos2x ＋32sin2x ＝3(32cos2x ＋12sin2x ) ＝3sin(2x ＋π3)，∴T ＝π.(理)函数y ＝cos(x ＋20°)＋sin(x －10°)的最大值为________． [答案] 1[解析] y ＝cos x cos20°－sin x sin20°＋sin x cos10°－cos x sin10° ＝(cos10°－sin20°)²sin x ＋(cos20°－sin10°)cos x＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．这里a ＝cos10°－sin20°，b ＝cos20°－sin10°， tan φ＝co s20°－sin10°cos10°－sin20°∵a 2＋b 2＝(cos10°－sin20°)2＋(cos20°－sin10°)2＝2－2sin20°cos10°－2cos20°sin10°＝2－2sin30°＝1. ∴最大值为a 2＋b 2＝1.10．(文)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的最小正周期是2π.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为3，求a 的值．[解析] (1)f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ， 依题意得2π2ω＝2π⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＋a .又当x ∈[－π3，5π6]时，x ＋π3∈[0，7π6]，故－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，从而f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为－12＋32＋a ＝3，故a ＝3＋12.(理)(2011²日照模拟)设函数f (x )＝cos(πx 4－π3)－cos πx 4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)设g (x )＝f (－2－x )；当x ∈[0,2]时，求函数y ＝g (x )的最大值． [解析] (1)f (x )＝cos π4x cos π3＋sin π4x sin π3－cos πx 4＝32sin π4x －12cos π4x ＝sin(π4x －π6)．故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)由题设条件得g (x )＝f (－2－x )＝sin[π4(－2－x )－π6]＝sin[－π2－π4x －π6]＝－cos(π4x ＋π6)．当0≤x ≤2时，π6≤π4x ＋π6≤2π3，设t ＝π4x ＋π6，则y ＝－cos t ，在[π6，2π3]上是增函数，因此y ＝g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (x )max ＝－cos 2π3＝12.能力拓展提升11.(文)(2012²河南六市联考)已知函数y ＝f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )，则函数f (x )应满足( )A ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递增，且有一个对称中心(π6，0)B ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递增，且有一个对称中心(－π3，0)C ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递减，且有一个对称中心(－π3，0)D ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递减，且有一个对称中心(π6，0)[答案] B[解析] f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )＝2sin(π6＋x ＋π6)＝2sin(x ＋π3)，故选B.(理)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－27 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.12．(文)设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] 易知|MN |＝|f (a )－g (a )|＝|2sin 2(π4＋a )－3cos2a |＝|1－cos(π2＋2a )－3cos2a |＝|1＋2sin(2a －π3)|≤3，即最大值是3.(理)(2012²东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )A.2525B.255 C.2525或255D.55或525[答案] A[解析] 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)²sin α＝－45³55＋35³255＝2525，选A.13．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案]3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45³513－35³(－1213)＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.14．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析] 原式＝2cos 30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.15．(文)(2011²珠海模拟)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．[解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255³(－31010)－55³1010＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(2011²成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x 2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m .∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3，∴－1≤sin(2x －π6)≤32，∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3.∴m ＝－32.16．(文)(2011²晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255³(－2425)－55³725＝－11525. (理)已知0<α<π2，π2<β<π，且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)求cos α和cos β的值； (2)求tan α－β2的值．[解析] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝43，∴sin α＝43cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中消去sin α得，cos 2α＝925，∵0<α<π2，∴cos α＝35，∴sin α＝45，∵π2<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513>0，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1213，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213³35＋513³45＝－1665.∴cos α和cos β的值依次为35和－1665.(2)由(1)知cos β＝－1665，又已知π2<β<π，∴sin β＝6365，∴tan β＝－6316.∴2tanβ21－tan2β2＝－6316，∵π2<β<π，∴tan β2>0，∴tan β2＝97， ∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2²tan β2＝12－971＋12³97＝－1123.1．方程x 2cos2012°－y 2sin2012°＝1所表示的曲线为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D[解析] cos2012°＝cos(5³360°＋212°)＝cos212°＝－cos32°＝－sin58°<0，而sin2012°＝sin(5³360°＋212°)＝sin212°＝－sin32°<0，所以该曲线为焦点在y 轴上的双曲线．2．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．不存在 [答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝31010， ∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.4．(2012²重庆文)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f x ＋π6的值域．[分析] (1)由周期为π求出ω，代入点(π6，2)，由φ范围求出φ，A .(2)分子化同名，即sin 2x 用1－cos 2x 代换，分母用诱导公式和二倍角公式． [解析] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即2πω＝π，解得ω＝2， 因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2，从而sin(2³π6＋φ)＝1，所以2³π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又由－π<φ≤π，得φ＝π6， 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin 2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2≠12.故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．[点评] 本题考查了三角函数的周期、最值、同角基本关系式、二倍角公式等．在解三角恒等变换(化简)题时的方法有：异名化同名，异角化同角，降幂化同次等．。

2-4指数与指数函数基础巩固强化1.函数f (x )＝(a 2－1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |< 2 D ．1<|a |< 2[答案] D[解析] 由题意知，0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，∴1<|a |< 2.2．(文)若指数函数y ＝a x的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．10 [答案] A[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝a x过点(－1,2)，故选A.(理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9， 即a ＝2，所以tana π6＝tan π3＝ 3. 3．(2012·北京文，5)函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] 函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点个数即为方程x 12 ＝(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12 和y ＝(12)x的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象． 4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C [解析] y ＝2x ＋1的图象关于y 轴对称的曲线对应函数为y ＝21－x，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤1[答案] A[解析] ∵|1－x |∈[0，＋∞)，∴2|1－x |∈[1，＋∞)，欲使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，应有m ≤－1.5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x <1，x －1， x ≥1，且f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a>1，得0<a <1，由⎩⎨⎧a ≥1，a －1>1，得a >2，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1)D ．(0,2)[答案] C[解析] 由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.6．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f x ＋1 x <4.则f (2＋log 23)的值为( )A.13 B.16 C.112D.124[答案] D[解析] ∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．[答案] (0,1][解析] 由a *b 的定义知，f (x )取y ＝3x 与y ＝3－x的值中的较小的，∴0<f (x )≤1. (理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于________．[答案] 9[解析] 由程序框图可知，h (x )的值取f (x )与g (x )的值中较大的，∵f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9,9>8，∴h (3)＝9.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0.则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图．|f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13或1x≤－13∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．9．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x1＋4x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1x ∈0，1，－2x 4x＋1 x ∈－1，0，0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．(理)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))； (2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性；(3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1].能力拓展提升11.(文)(2012·四川文)函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 根据函数y ＝a x－a 过定点(1,0)，排除A 、B 、D 选项，得C 项正确． (理)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系内的图象大致是( )[分析] 函数f (x )＝1＋log 2x 的图象可由函数y ＝log 2x 的图象变换得到；函数y ＝2－x＋1可由函数y ＝(12)x的图象变换得到．[答案] C[解析] f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位长度得到的；g (x )＝2－x ＋1＝(12)x －1的图象可由y ＝(12)x 的图象向右平移一个单位长度得到．[点评] 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f (x )＝e x＋e －x(e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] C[解析] 设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ex 2＋1ex 2－ex 1－1ex 1＝(ex 2－ex 1)－ex 2－ex 1ex 2ex 1＝(ex 2－ex 1)(1－1ex 2ex 1)>0，所以函数f (x )＝e x ＋e －x(e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵{a n }是递增数列， ∴f (n )为单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a >0，a 8－6>3－a ×7－3，∴2<a <3.13．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.[答案] 10[解析] ∵2a＝5b＝m ， ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.14．(文)(2011·南通六校联考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．[答案] m <n [解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)，∴y ＝a x是减函数， 故a m>a n⇒m <n .(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________． [答案] －13[解析] T 7＝C 69(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数． ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )为R 上增函数．(3)令y ＝2x－12x ＋1，则2x＝－1－y y －1，∵2x>0，∴－1－y y －1>0，∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(理)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立．∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，∴－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1， 设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝t 2－t 14t 1t 2－1t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝t 1－t 22t 1t 2＋1t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5,1]．1．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，12)[答案] D[解析] 若a >1，如图(1)为y ＝|a x－1|的图象，与y ＝2a 显然没有两个交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x－1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.2．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A[解析] 因为f (x )＝|2x－1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧|2a－1|＝a ，|2b－1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b >a ≥0，从而避免了对a 、b 的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a 、b 的方程组求解．3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D ．x 2[答案] B[解析] 函数y ＝a x的反函数是f (x )＝log a x ， ∵其图象经过点(a ，a )，∴a ＝log a a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .4．已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．(2011·山东济南一模)若实数x ，y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 由4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，得(2x＋2y )2－2×2x×2y ＝2(2x＋2y)． 即t 2－2·2x ＋y＝2t ，t 2－2t ＝2·2x ＋y.又由2x＋2y≥22x ＋y，得2x ＋y≤14(2x ＋2y )2， 即2x ＋y≤14t 2. 所以0<t 2－2t ≤12t 2.解得2<t ≤4.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≤1，log 2x －1 x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1≤12，x >1，∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．7．(2011·潍坊模拟)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．[答案] f (23)<f (32)<f (13)[解析] 由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )为单调增函数，则x ≤1时，f (x )为单调减函数．又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23，∴f (23)<f (32)<f (13)．8．已知函数f (x )＝a x＋a －x(a >0，a ≠1)，若f (－1)＝3，则f (0)＋f (2)的值为________． [答案] 9[解析] 由f (－1)＝3得a ＋1a＝3，于是f (2)＝a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝32－2＝7.又∵f (0)＝1＋1＝2，∴f (0)＋f (2)＝9.。

4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固强化1.已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32 [答案] A[解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，故选A.2．(文)(2012·大纲全国文)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225D.2425 [答案] A[解析] 此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．∵sin α＝35，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－352＝－45，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.[点评] 使用同角基本关系式求值时要注意角的范围．(理)(2011·河北石家庄一模)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝22，则sin α－cos α的值为( )A ．－ 2B ．－62C. 2D.62 [答案] D[解析] ∵sin α＋cos α＝22，0<22<1,0<α<π， ∴π2<α<π，∴sin α－cos α>0.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12，∴2sin αcos α＝－12；∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝32，∴sin α－cos α＝62. 3．(文)已知角α的终边经过点P (sin2θ，sin4θ)，且cos θ＝12，则α的正切值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．1[答案] B[解析] tan α＝sin4θsin2θ＝2sin2θ·cos2θsin2θ＝2cos2θ＝2(2cos 2θ－1)＝2(2×14－1)＝－1，故选B.(理)已知向量a ＝(tan α，1)，b ＝(3，－1)，α∈(π，2π)且a ∥b ，则点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，sin π－α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴tan α＝－3， ∵α∈(π，2π)，∴α＝5π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 13π6＝cos π6>0， sin(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－sin 2π3<0，∴点P 在第四象限．4．(2011·绵阳二诊、长春模拟)已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( )A ．(－22，0) B ．(－1，－22)C ．(0，22) D ．(22，1) [答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.5．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A.k1＋k2B.11＋k2C ．－k1＋k2D ．－11＋k2[答案] C[解析] k ＝tan140°＝ta n(180°－40°)＝－tan40°， ∴tan40°＝－k ，∴k <0，sin40°＝－k cos40°， sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，∵sin 240°＋cos 240°＝1，∴k 2cos 240°＋cos 240°＝1， ∴cos40°＝1k 2＋1，∴sin40°＝－kk 2＋1. 6．(文)(2011·重庆诊断)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1 D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即21－cos 2αcos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.(理)(2012·广东六校联考)sin －250°cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] C[解析] 原式＝－sin 270°－20°cos 90°－20°cos 225°－sin 225° ＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C.7．(文)(2011·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案] －33[解析] 由已知得sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，所以cos α＝1－sin 2α＝32，因此tan α＝sin αcos α＝－33.(理)(2011·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π12－α)＝________.[答案] －223[解析] ∵－π<α<－π2，∴－7π12<5π12＋α<－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]＝sin(5π12＋α)＝－223.8．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan(α－π4)＝________.[答案] －3[解析] ∵a ∥b ，∴cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－12，∴tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝－12－11－12＝－3.9．设a ＝2tan70°1＋tan 270°，b ＝1＋cos109°2，c ＝32cos81°＋12sin99°，将a 、b 、c 用“<”号连接起来________．[答案] b <c <a[解析] a ＝2tan70°1＋tan 270°＝2sin70°cos70°cos 270°＋sin 270°＝sin140°， b ＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝si n142°， c ＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°，∵y ＝sin x 在(90°，180°)内单调递减，∴a >c >b .10．(文)已知三点：A (4,0)，B (0,4)，C (3cos α，3sin α)． (1)若α∈(－π，0)，且|AC →|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝0，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．[解析] (1)由题得AC →＝(3cos α－4,3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4)，由|AC →|＝|BC →|得，(3cos α－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sin α－4)2⇒sin α＝cos α， ∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. (2)由AC →·BC →＝0得，3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0， 解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716，∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.(理)已知tan(α＋π4)＝2，α∈(0，π2)．(1)求tan α的值； (2)求sin(2α＋4π3)的值．[解析] (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α，tan(α＋π4)＝2，∴tan α＋11－tan α＝2.解得tan α＝13. (2)由tan α＝13，α∈(0，π2)，可得sin α＝1010，cos α＝31010.因此sin2α＝2sin αcos α＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝45，sin(2α＋4π3)＝sin2αcos 4π3＋cos2αsin4π3＝－35×12－45×32＝－3－4310.[点评] 求第(2)问时，可由tan α＝13得，sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝45，再求sin(2α＋4π3). 能力拓展提升11.(2013·浙江金华一中12月月考)△ABC 的内角A 满足tan A －sin A <0，sin A ＋cos A >0，则角A 的取值范围是( )A ．(0，π4)B ．(π4，π2)C ．(π2，34π)D ．(34π，π)[答案] C[解析] 由tan A －sin A <0及A 为△ABC 的内角知，A 为钝角，排除A 、B ；再由sin A ＋cos A >0知，A <3π4，排除D ，选C.[点评] ①可取特值检验，取A ＝π3，2π3，排除A 、B 、D ；②可利用单位圆中的三角函数线求解．12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且a ＋c ＝3，tan B ＝73，则△ABC 的面积为( ) A.74 B.54 C.72D.52[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∵tan B ＝73，∴sin B ＝74，cos B ＝34， ∵a ＋c ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝74.13．(文)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( )A.15 B ．－15C ．－75D.75[答案] A[解析] 由于cos α＝45，α∈(－π4，0)，所以sin α＝－35，所以sin α＋cos α＝15，故选A.(理)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( ) A ．－195B.195C.113D ．－113[答案] A[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ， x ≤2000x －102， x >2000，则f [f (2014)]＝________.[答案] －1[解析] 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ， x ≤2000x －102， x >2000得，f (2014)＝2014－102＝1912，f (1912)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3×1912＝2cos(637π＋π3)＝－2cos π3＝－1，故f [f (2014)]＝－1. 15．已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)，求cos A .[解析] 解法一：∵π4<A <π2，∴π2<A ＋π4<3π4，∵sin(A ＋π4)＝7210，∴cos(A ＋π4)＝－1－sin 2A ＋π4＝－210. ∴cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210×22＋7210×22＝35.解法二：∵sin(A ＋π4)＝7210，∴sin A ＋cos A ＝75，∴sin A ＝75－cos A ，代入sin 2A ＋cos 2A ＝1中得2cos 2A －145cos A ＋4925＝1，∵π4<A <π2，∴0<cos A <22，∴cos A ＝35. 16．(2011·潍坊质检)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．[解析] (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45·45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·35＝725.1．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋α)，其中a ，b ，α∈R ，且ab ≠0，α≠k π (k ∈Z )．若f (2011)＝5，则f (2014)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5[答案] C[解析] ∵f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋α)＝－a sin α－b cos α＝5， ∴a sin α＋b cos α＝－5.∴f (2014)＝a sin α＋b cos α＝－5. 2．设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B[解析] sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2－80°＝1－k 2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k .3．已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1[答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A. 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11° [答案] C[解析] ∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°， 又∵y ＝cos x 在[0°，90°]上单调递减， 90°>79°>78°>10°， ∴cos79°<cos78°<cos10°，11 ∴sin11°<sin168°<cos10°，选C.5．(2012·银川第一次质检)已知α∈(0，π2)，sin α＝35，则1cos2α＋tan2α的值为________．[答案] 7[解析] 由题意知，cos α＝1－sin 2α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝725，tan α＝sin αcos α＝34，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝247，因此1cos2α＋tan2α＝257＋247＝7. 6．化简sin k π－α·cos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]·cos k π＋α＝______(k ∈Z )． [答案] －1[解析] 对参数k 分奇数、偶数讨论．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin 2n π＋π－α·cos 2n π－αsin 2n π＋2π＋α·cos 2n π＋π＋α ＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1. 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－α·cos 2n π－π－αsin 2n π＋π＋α·cos 2n π＋α ＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1. 所以sin k π－α·cos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]·cos k π＋α＝－1.。

第一部分 第四章 第一节一、选择题1．(2022届河北省故城县高级中学高三9月月考)科学家提出硅是“21世纪的能源”，这主要是由于作为半导体材料的硅在太阳能发电过程中具有重要的作用。

下列关于硅的说法中错误的是导学号 65300453( )A ．自然界中硅元素的储量丰富B ．自然界中存在大量的单质硅C ．高纯度的硅被用作计算机芯片D ．可用H 2在高温下还原SiCl 4的方法得到高纯硅解析：硅的存在和性质。

A.自然界中有大量含有硅元素的物质，正确，不选A ；B.硅是亲氧元素，在自然界中没有单质硅，错误，选B ；C.硅是半导体，能做计算机芯片，正确，不选C ；D.氢气还原四氯化硅生成硅和氯化氢，能制取高纯度的硅，正确，不选D 。

答案：B2．(2022届宁夏回族自治区银川一中高三月考)下列说法中正确的是导学号 65300454( ) A ．由Na 2CO 3＋SiO 2=====高温Na 2SiO 3＋CO 2↑可知，酸性H 2SiO 3>H 2CO 3 B ．氢氟酸需要密封存放在橡胶塞的玻璃试剂瓶中C ．向硅酸钠溶液中加入盐酸产生白色沉淀，过量时沉淀溶解D ．瓷坩埚、氧化铝坩埚均不行作为溶化NaOH 固体的装置解析：考查强酸制弱酸的原理，氢氟酸的性质与保存，硅及其化合物的性质。

A.强酸制弱酸都是在溶液中进行的反应，而SiO 2与Na 2CO 3是高温下的反应，生成CO 2气体逸出，有利于反应的进行，与最高价含氧酸的酸性无关，A 项错误；B.氢氟酸与玻璃中的成分反应，氢氟酸需要密封存放在橡胶塞的塑料试剂瓶中，B 项错误；C.向硅酸钠溶液中加入盐酸产生白色沉淀硅酸，硅酸与盐酸不反应，过量时沉淀不溶解，C 项错误；D.瓷坩埚、氧化铝坩埚都和NaOH 反应，故均不行作为溶化NaOH 固体的装置，D 项正确；答案选D 。

答案：D3．(2022届福建省八县一中高三上学期期中测试)下列说法正确的数目是导学号 65300455( ) ①二氧化硅具有良好的半导体特性，故而可用作光导纤维②硅酸钠为盐，非碱类物质，故可用玻璃瓶盛装 ③高温下SiO 2能与Na 2CO 3固体反应生成Na 2SiO 3和CO 2，说明硅酸酸性强于碳酸 ④硅溶于氢氧化钠溶液，只有水作氧化剂，NaOH 既非氧化剂也非还原剂A ．1B ．2C ．3D ．4解析：二氧化硅不导电，①错误；硅酸钠为盐，非碱类物质，但Na 2SiO 3为粘合剂，故不行用带玻璃塞得玻璃瓶盛装，②错误；碳酸酸性强于硅酸，③错误；硅与氢氧化钠溶液反应的实质是：Si ＋4H 2O===H 4SiO 4＋2H 2↑，H 4SiO 4＋NaOH===Na 2SiO 3＋3H 2O ，氢氧化钠既不做还原剂也不做氧化剂，④正确。

4-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A [解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( ) A ．(π6，2π3) B ．(－π3，π6) C ．(－π2，π2) D ．(π2，3π2)[答案] A [解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23 B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. (理)函数y ＝xsin xx ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C.6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 [答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝⎛⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立； ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1， 所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心． 综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案]2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3.(理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．[答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)， ∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________. [答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0， ∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1＝4cos x(32sin x＋12cos x)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6 )．所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.(理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋3 2＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)(k∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]. 能力拓展提升11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin xx <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A．2＋ 3 B. 3C.33D．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A·tan(2×38π＋φ)＝A·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4＝A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4 )，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝ 3.12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972C ．99πD ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称； ③在[0，π6上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2， ∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， ∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β， ∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝233. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]， sin(2x ＋π6∈[－12，1]． 因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32. 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2k ∈Z ) 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)， 又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0] D ．[－π6，0] [答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.112D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )，又∵ω>0，∴ωmin ＝233.3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8 C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)． 由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8令k ＝1得x ＝7π8 B.5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。