毕业（设计）论文题目几种特殊类型方程的解法的研究学院专业班级学生姓名指导教师成绩2014年05 月31 日摘要从中世纪到19世纪初, 数学家门一直把代数学看成是解代数方程的学问.在生活和学习知识的过程中，方程更是非常重要的一个内容，在初等数学中，以初等函数的概念和解析式的运算为基础研究某些特殊形式的方程.综上鉴于特殊方程的多种解法的重要性, 本文主要研究了一元代数方程的解法, 其中包括一元三次方程、倒数方程、指数方程、对数方程等等.本文主要做了几个工作.以特殊方程的多种简便解法为线索, 介绍了几种特殊类型的方程, 以及在数学生活中的重要性, 并把几种特殊方程分类, 分块讨论.分别对几种方程举例, 力求最简便.关键词特殊方程;初等数学;多种解法;分类AbstractFrom the Middle Ages to the early nineteenth Century, mathematicians have the algebra as the solution of algebraic equations in learning, living and learning in the process of knowledge. The equation is a very important content, in elementary mathematics, the concept and formula of elementary function. Calculation based on the equation, some special form.So in view of the importance of special equation solution, this paper focuses on the element equation including: a three order equation、the equation、exponential、logarithmic equation etc···This paper mainly do the following several aspects of work:The first: a simple solution to a variety of special equation as a clue , introduces several special types of equations, as well as the importance in mathematics, in life;Second: put some special classification of equation, block discussion;Third: for some special equation for example, to the most convenient.Key word Special equation; Elementary mathematics; A variety of solution; Classification目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 ........................................................... - 1 - 第1章方程的基本概念及同解性 .................................. - 2 - 第2章一元代数方程的解法 ...................................... - 9 -2.1倍根法 .................................................. - 9 -2.2 倒根法................................................. - 11 -2.3一元三次方程与倒数方程的解法 ........................... - 12 -2.3.1一元三次方程的解法................................ - 12 -2.3.2倒数方程的解法.................................... - 15 -2.4二项方程的解法 ......................................... - 18 -2.5解含有参数的方程 ....................................... - 19 - 第三章初等超越方程解法举例 ................................... - 21 -3.1指数的方程解法 ......................................... - 21 -3.2 对数方程的解法......................................... - 22 -3.3 三角方程的解法......................................... - 24 - 总结 .......................................................... - 27 - 参考文献 ...................................................... - 28 - 致谢 ........................................................ - 30 -绪论在生活中, 数学与我们密不可分, 而防方程更是数学中非常重要的内容, 我们从小学开始就接触学习方程, 并一直学习到大学, 对于普通方程的解法大学都是熟知的但对于类型较特殊的方程, 如一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程, 超越方程都没有较简单的解法, 这就需要我们的研究使特殊类型的方程得到更简便的多种解法, 并且在中学数学的研究中, 有更广泛的应用价值, 并对以后的中学数学教学工作有着重要的意义.本次论文主要研究的是特殊方程的解法, 而特殊方程的解法有很多种, 其中一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等更是重点中的重点, 在《高等函数学报（自然科学版）》2010年05其中付跟春教授就发表了一篇关于一元三次方程的另一种解法《考试周刊》2012年第20其中, 权小刚写了到了利用分解因式法解一元四次方程《数学通报》1980年第十二其中张君达教授对倒数方程及其应用有非常详细的研究, 且在国外, 当代数学家eibitzE对特殊L和uler类型的方程的解法详细研究.在对本文课题内容研究的过程中, 主要分为三个方面, 首先需了解方程的基本概念, 及同解性通过对定义、定理推论及其典型例题的研究, 加深方程的基本概念、及同解性. 其次, 在对多种类型特殊方程的多种解法中, 主要针对一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等内容进行详细计算, 最后, 讨论超越方程的解法并进行举例, 基本分为指数函数. 对数方程, 和三角方程的特殊解法.采取的方法有文献资料法、举例法、探究法.在对特殊方程解法的研究中, 国内外关于特殊类型的方程应用比较多, 对于求解方面难以把握, 特别在竞赛数学中, 一般大的解法比较简单, 但应用比较少, 难点是去寻找解题的简单方法, 并且对于不同类型的特殊方程有特殊的解法研究, 在老师的指导下, 通过校图书馆查阅的书籍以及期刊并与同学不断的沟通使特殊方程的解法不只是降次一种方法而已, 能够更加简便的解特殊类型的方程.第1章 方程的基本概念及同解性定义1.1 等式f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为方程.其中，f()z y x ,,,g ()z y x ,,都是定义在数组集M 上的函数M 是这两个函数的定义域的交集, 并且把M 称为这个方程的定义域.定义2.1 如果数组集M 是方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的定义域, M内的一组数,,,c b a 满足这个方程, 即有f()z y x ,,=g ()z y x ,,. 那么称这一组数位这个方程的解.作为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的解的数组的集合S 称为这个方程的解集. 当MS =时，方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,又称为恒等方程.可表示成:f()z y x ,,=g ()z y x ,,.当S 时空集时方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为矛盾方程.定义3.1 函数f()z y x ,,与g ()z y x ,,的变数z y x ,,, 称为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的未知元, 有几个变数的方程称为n 元方程.特别地, 把一元方程)()(x g x f =的解称为一元方程的根.关于方程的概念.为了叙述简便起见, 通常就一元方程进行讨论. 如果需要推向一般情形, 只需在叙述上做一些补充就可以了.同解性定义4.1 如果方程)1(1f 1)(g x =)(x 的任何一个解都是方程)2(2f 2)(g x =)(x 的解, 并且方程)2(的任何一个解也都是方程)1(的解. 那么方程)1(与)2(称为同解方程.两个同解方程显然是有相同的数集, 但对于解集相同的方程约定仅当每一个重根具有相同的重复次数时, 才认为它们是同解方程. 因此01=-x 与方程2)1(-x=不能认为是同解方程. 因此方程01=-x 与方程2)1(-x 0=不能认定是同解方程.两个无解方程认为是同解方程.因为方程的解集包含于方程的定义域内, 所以两个方程可能在某一个数域上同解, 而在另一个数域上是不同解的, 例如2x 01=+、014=+x、12=+nx在实数域上彼此同解, 因为它们的解集是空解.在复数域上, 它们的解集是各不相同的, 第一个方程有两个解, 第二个方程有四个解, 第三个方程有n 2个解. 它们显然不是同解方程.同解性定义5.1，如果方程)1(的每一个解都是方程)2(的解, 那么方程)2(称为方程)1(的结果（或称为推演式）.显然, 如果两个方程互为结果, 那么这两个方程便是同解方程. 定理1.1, 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f +=+同解.证：设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 从而有)()()()(1111x A x g x A x f +=+，这表明方程)2(是方程）（1的结果. 如果)()()()(1111x A x g x A x f +=+, 由))()()()()(111111x A x A x g x A x A x f （-+=-+,可得)()(11x g x f =，这表明方程)1(是方程）（2的结果. 方程）（1与方程)2(互为结果, 这两个方程式同解方程. 推论 任何方程)()(x g x f =均可表示成0)(=x F 的形式, 其中))()(x g x f x F （-=.定理2.1 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义,并且不等于零, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f =同解. 证 设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 因为0)(1≠x A , 于是有)()()()(1111x A x g x A x f =, 这表明方程)2(是方程)1(的结果.如果)()()()(1111x A x g x A x f =将等式两端同除以)(1x A 即得:)()(11x g x f =.这表明方程)1(是方程)2(的结果.方程)1(与方程)2(互为结果这两个方程便是同解方程. 定理3.1 如果)()()()(21x f x f x f x F k =,那么方程0)(=x F 的解集等于下列各个方程:)(1=x f ,，0)(2=x f ,)(k =x f .的解集的并集, 并且其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集. 证：设)(x F 的定义域为M ,)(x f i 的定义域为),,2,1(k i Mi=, 因为)()()()(21x f x f x f x F k =, 所以KMMMM21=.又设()0=x F 的解集为A , Ax ∈1;()01=x f 的解集为()k iB ，，211=.因为MA x ⊆∈1, 所以KMMMx ⋂⋂∈21因为()01=x F ，于是有()()()011211=x f x f x f k .这个等式的左端至少有一个因式等于零，这表明KB B B x ⋃⋃⋃∈ 211.反之易证BB B B K ⊆⋃⋃⋃ 21定理1.4 如果()()()()x g x g x f x f 2121==，, 方程（1）()()x g x f 11=与方程（2）()()x g x f 22=的定义域都是数集M, 那么方程（1）方程（2）同解.证：设()()a g a f 11=，因此，Ma ∈.因为对于M 中任何数x ,()()x f x f 21=, ()()x g x g 21=, 所以()()a g a f 11=，()()a g a f 22=.因为()()a g a f 11=）, 所以()()a g a f 22=，这表明方程（2）是方程（1）的结果.同理可证, 方程（1）是方程（2）的结果.于是, 方程（1）与方程（2）同解.解方程时, 根据上述定理将原方程变形.或将原方程的任何一端在不改变方程定义域的前提下作恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的, 这样的变形称为解方程的同解变形.在解方程时.除了利用同解变形外有时还要作以下几种变形.1. 方程()()x gx fnn=, 是方程()()x g x f =的结果；正整数n 是对函数()x f ，()x g 施行乘方运算的指数.2. 方程()()aa x g x f =是方程()()x g x f =的结果，不小于2的整数n 是对函数()x f ，()x g 施行开方运算的根指数（n 为偶数时，()0≥x f ，且()0≥x g ）.3. 如果()x g 1与()x g 2不等于零，那么方程()()()()x g x f x g x f 2211=是()()()()x f x g x f x g 2211=的结果4. 如果对于定义域中的数()()x g x f 11≠，且()()x g x f 22≠，那么方程()()()()()()()()x g x g x g x f x g x f x g x f 22221111-+=-+是方程()()()()x g x f x g x f 2211=的结果.5. 方程()()x g x f =是方程()()x g x f lg lg =的结果.6. 方程()()x g x f sin sin=是方程()()x g x f =的结果.经过上述变形, 作为原方程是的结果往往是与原方程不同解的.一般来说, 当在方程两端施行某一运算.而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候, 便将得到与原方程不同解的方程.由于方程变形后, 改变了（扩大或缩小）原方程的定义域, 定形厚的方程与原方程往往是不同解的.在不是同解变形的情况下解方程, 可能产生增解, 既不满足原方程但是满足原方程的结果的那些解;也可能失去原方程的部分解.在解一元方程时, 产生的增解又称为增根, 失去的解称为遗根.为了在解方程时剔除增解, 避免失去解, 可采取下列步骤.（1） 在方程变形过程中, 把由原方程的结果得到的解代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解.（2） 在方程变形过程中, 把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解. 例如, 由得：512+=-x x .2-=x 是后者的根. 而不是前者的根⑶在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解例如，由()()()()1312222++=+++-x x x xx x经合分比变形得()()()()x x x x 2242422-+=-+-. 因而失去原方程的解0=x.⑷在方程变形中，根据变形结果与原方程不同解的原因判断是否有增解和是否有可能失去解 例如方程 ()()x x x -=-+1arcsin1arccos arcsin ，变形为：()01arccosarcsin2=-+x x ， ⑴()x x --=1arccos arcsin 2 ⑵这两个方程与原方程都是同解的. 由()()[]x x --=1arccos cos arcsin2cos ⑶得：()xx -=1arcsin 2cos , 022=-x x从而得0=x，21=x.由方程⑵变形为方程⑶时，不是同解变形，因为满足方程⑵的未知数取值必然满足方程⑶，但满足方程⑶的未知数取值不一定满足方程⑵这是因为方程⑶还可以作为方程()x x -=1arccos arcsin 2的结果.经检验，21=x不满足原方程，但满足方程()x x -=1arccos arcsin 2.例1.1 解方程()()()()11429121-++=-+x x x x .解：方程两端同乘以最简公分母()()412+-x x，得：()()()()41941++-=++x x x x即0562=+-x x由此解得 51=x , 12=x .因为1=x , 使()()0412=+-x x ,所以1=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解分式方程时，为了将原方程的求解转化为整式方程的求解而在方程两端乘以原方程的最简公分母，由此所求得的解. 如果使公分母为零，那么这样的解便是原方程的增根.例1.2 解方程5462=++-x x解：方程两端平方后，再一次平方，以消去根号，得：08251702=+-x x解得51=x ， 1652=x .经检验165=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解无理方程时，除了前述在将方程两端边形时因扩大了原方程的定义域而引起增根外，由于方程两端引入了共轭因式也往往会因此而产生增根 例1.3 解方程()()443log 2log 22=-++x x . 解：将方程变形为()()4432log 2=-+x x ,从而得：()()16432=-+x x由此解得：()37311+-=x , ()37312--=x.这里只有1x 是原方程定义域内的数，因此2x 是增根. 于是原方程的解是()3731+-=x .例1.4． 解方程42log=xxx解：因为 2)2(loglog2log 2logx xx x xxx x==所以有42)2(log=x xx即4)2(2=x 由此解得11=x ， 12-=x1x 与2x 都使原方程失去意义，因此，原方程没有解. 例1.5 解方程2cos 2sin =-x x .解：设t x tg =⎪⎭⎫⎝⎛2，于是原方程变形为()()()211212222=---+t tt t.由此解得2=t ，即22=⎪⎭⎫⎝⎛x tg从而解得()z k k arctg x ∈+=,222π.第2章 一元代数方程的解法2.1倍根法使变形后的方程的各个根是原方程的各个根的k 倍. 方程0=⎪⎭⎫⎝⎛k y f 的各个根分别等于方程()0=x f 的各个根的k 倍.证：设()n ia i ,,3,2,1 =是n 次方程f （x ）=0的根.因为0)(f 1=a ,所以)()(i i a f kka f =0=.因此i Ka 是n 次方程0)(=ky f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根， 所以)(=k y f 的各个根分别是)(=x f 的各个根的k 倍.推论1：n 次方程0222110=++++--nn n n nka xk a kxa x a 的各个根分别是方程22110=++++--n n n na xa xa xa 的各个根的k 倍.例如:把1632166)(3561=-++-=x xx xx f ,表示成 0)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x ,那么)(1=x f 的各个根分别是:4123356=-++-x xx x的各个根的2倍.反过来说，把方程的04123356=-++-x x x x 各个根乘以2，对应的方程)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x即1632166)(3561=-++-=x xxxx f .因此，推论1也可以说成是把n 次方程22110=++++--n n n na xa xa xa的各个根乘以k ，对应的方程是:222110=++++--nn n n nka xk a kxa xa .由推论1可直接推出下一个推论： 推论2:把n 次方程022110=++++--n n n na xa xa x a 的各个根变号对应的方程为:1--22110=++--n n n na xa xa xa ）（ .例1.2 已知方程0204234=--++x x x x 的四个根中, 有两个根的绝对值相等，符号相反, 解这个方程 解：解:设=)(x f 0204234=--++x xxx有四个根γβαα---,,,.将0)(=x f 的各个根变号后对应的方程是:=-)(x f 0204234=-++-x xxx.这个方程的根是γβαα---,,,，0)(=x f 与0)(=-x f 有公共根α±. 用辗转相除法求得)(x f 和)(=-x f 的最高公因式是42-x .因为54)(22++=-x xx x f ，所以原方程为0)5)(4(22=++-x x x .它的根是2,2-,2191,2191i i --+-.定理1.2:方程)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k.证：设),,2,1(n ia i =是n 次方程)(=x f 的根, 因为)(=i a f , 所以])[(=+-k k a f i 的根,因此，ka i-是n 次方程)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n 个根，所有)(=+k y f 的各个根分别等于)(=x f 的各个根减去k . 例如68364)]1([3=++=-+y yy f 的各个根分别等于68)1(36)1(4)(3=++++=x x x f 的各个根减去1-.这里的10848124)(23+++=x x x x f , 反过来说，要做一个三次方程使它的各个根分别等于三次方程10848124)(23+++=x x x x f 0=的各个根减去1-，只要将)(x f 表示为)1(--x , 即1+x 的幂构成的三次多项式.如果要将多项式n n n na xa xa xx f ++++=-- 2211)(化为不含有1-n 次项的多项式, 那么只要将)(x f 表示为)(1na x--的幂构成的多项式，即作一个n 次多项式，使它的各个根分别等于)(x f 的各个根减去na 1-. 由此可见, 经过这样的根的变换, 可使方程变形为简单的形式.2.2 倒根法定理2.2：如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程)1(=yf 的各个根分别等于方程)(x f 的各个根的倒数. 证 设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根, 并且0≠ia . 因为)(=i a f ,所以)()11(==i ia f a f .因此，ia 1是)1(=y f 的根, 因为n 次方程只有n 个根,所以)1(=yf 的各个根分别是0)(f =x 的各个根的倒数.推论3 如果n 次方程0)(=x g 的各个根分别是n 次方程0)(1110=++++=--n n n na x a xa x a x f 的各个根的倒数, 那么)(0111=++++=--a x a xa xa x g n n nn .例2.2 已知方程0918131423=+--x xx 的三个根的倒数成等差数列, 解这个方程.解：根据上述推论可知方程01413189)(23=+--=x x xx f 的三个根成等差数列,设这三个根是,,,b a a b a+-于是23=a, 32=a.因此, 0)(=x f 的一个根是32.因为)73)(1(74323)(2-+=--=-x x x xx x f , 所以0)(=x f 的另外两个根是1-, 与37, 由此可知，原方程的根是1,23-与73.2.3一元三次方程与倒数方程的解法2.3.1一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是23=+++d cx bxax)0(≠a把它的各个根减去ab 3-, 并且设32322272792,33ada abc bq ab ac p +-=-=.就可以变成一个不含有二次项的方程的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x )1(所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程. 设v u x +=于是uvx u v v u uv v u x 3)(333333++=+++=.即 0)(3333=+--v u uvx x )2( 从而有)(,333v u q uv p +-=-=.根据一元多项式根与系数的关系，可知3u ，3v 是二次方程02732=-+pqy y的两个根.解这个二次方程，得：2742u323pqq ++-=, 2742323pqq v---=. )3(并且满足3p uv -= )4(设1u 是)3(的任意一个解, 则u 的另外两个解分别为:21312,wu u w u u ==.这里w 是1的三次单位根.由)4(得与321,,u u u 相对应的v 的三个解是:wv v w v v u p v 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 的三个解的公式是33233211127422742pqq pqq v u x +--+++-=+=,332233222227422742pqq wpqq wv u x +--+++-=+=,332332233327422742pqq w pqq wv u x +--+++-=+=.根据)3(式中27432pq+的符号可以看出三次方程03=++q px x 的根的性质. （1）如果27432pq+, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu ≠,方程)1(有一个实数根和两个共轭虚根：111v u x +=, ,iv u v u v w wux 322-11111212-++=+=, iv u v u wvu w x 322-11111123--+=+=.(2)如果27432pq+=, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu =, 方程(1)有三个实数根, 并且其中有两个根相等: 111v u x +=1u 2=,11212u u w wux -=+=,11123u wuu w x -=+=.(3)如果27432pq+, 那么3u 和3v 是共轭虚数.设 )sin (cos 3θθi r u +=, )sin (cos 3θθi r v -=,于是)3sin3(cos31θθi r u +=,)3sin3(cos31θθi r v -=.方程)1(有互相等的三个实数根: 3cos23111θr v u x =+=,=+=112wvwux -)3sin33(cos 3θθ+r )323cos(23πθ+=r , =+=1123wvu w x -)3sin33(cos3θθ-r )343cos(23πθ+=r .在这种情况下，方程)1(的三个实数根不能利用在根号下仅出现实数的根式由方程的系数来表示.而这一结论的证明已经完全超出课本的范围. 例3.2 解方程 011126223=-+-x xx .解 利用将n 次多项式简化为不含有1-n次项的方法可将方程化为：23)1(3)1(3--+-x x 0=.设1-=x y 原方程变换成方程2333=-+y y.因为3=p, 23=q, 所以162527432〉=+pq.设 1v u y+= 根据卡当公式得24,23131-==v u .于是 331114212-=+=v u y ,32312124212wwv w wuy -=+=, 33211234212wwwv u w y -=+=.因为1+=y x , 所以33142121-+=x ,iw w x )4324110821(44122114212166332332+++-=-+=, iw wx )4324110821(44122114212166333233+-+-=-+=.2.3.2倒数方程的解法在一元整式方程0)(=x f 中, 如果在多项式)(x f 中, 与首末两端等离的项的系数是相等的, 那么这种形式的方程称为倒数方程. 倒数方程有四种类型：)1(形如)0(0 (0012)2111122212120≠=++++++++++--+---a a x a xa xa xa xa xa xa x a m m mm m m m m m)1( 的方程称为第一种倒数方程.在方程)1(中, s x 项的系数等于s m x -2项的系数，这里ms2,,2,1,0 =. 显然0不是方程)1(的根.根据定理3的推论, 可知以方程)1(的各个根的倒数为根的m 2次方程仍是方程)1(, 因此, 方程)1(的根是m 对互为倒数的数.定理3.2 第一种偶次倒数方程=)(x f 0 (011)11112120=++++++++--+--a x a xa xa xa xa xa m m mm m m m m可以化为一个m 次方程. 证0)(...)()1()f(11112120=+++++++=-+--mm m m m m mxa xxa x xa xa x .因为0≠x，所以可以用mx 1乘)(x f , 得:)1(...)1()1()(.111110=+++++++=---m m m m mmma xx a xxa xxa x f x设yx x =+1, 于是有:22)1)(1(1222-=-++=+y xx x x xx ,y y xx x x xx xx 3)1()1)(1(132233-=+-++=+,24)1()1)(1(124223344+-=+-++=+y y xx xx xx xx ,······yxxxx xxxxm m m m mm=+-++=+----)1()1)(1(12211代入)(.1=x f xm, 得到的方程是y 的m 次方程.在证明这个定理的同时, 也给出了第一种偶次倒数方程的解法. 例2.4.解方程01256895612234=+-+-x x x x .解：将方程表示为089)(56)1(12234=++-+xx x x .因为0≠x, 将方程两端乘以21x, 得:89)1(56)1(1222=++-+xx xx ,设yxx =+1, 则21222-=+y xx ,从而有08956)2(122=+--y y ,由此得25=y 或613=y ,由251=+xx 或6131=+x x解得：32,23,21,2=x.因为1和1-的倒数是它的本身，还是1和1-, 所以如果方程0)(=x f 是第一种偶次倒数方程, 那么方程0)()1(=+x f x 和0)()1(=-x f x 除了两个根)11-或（的倒数就是本身之外, 其余的根是m 对互为倒数的数.方程0)f 1(2=-x x （）除了两个根)1(±的倒数就是本身以外.其余的根是m 对互为倒数的数.0)()1(=+x f x 称为第一种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=+++++++++b x b xb xb xb xb mm m m mm 0≠b (2))()1-(=x f x 称为第二种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=----++++c x c xc xc xc xc mm m m mm 0≠c (3))()1-(2=x f x称为第三种奇数倒数方程, 一般形式是： (012)121220=----++++++d x d xd xd xd xd mm m m m m 0≠d (4)这种形式的倒数方程没有中间项, 即没有1+m 次项.例5.2 解方程065444456)(2456=--+-+=x x x x x x f .解)(x f 是第二种偶次倒数方程, 必定有根1±.设)1()()(2-÷=x x f x g653856234++-+=x x x x38)(5)1(6234=-+++=xx x x .设yxx =+1, 因为0≠x , 将方程除以2x 得:38)1(5)1(622=-+++xx xx21222-=+y xx , 于是得:50562=-+y y由此得 25=y 或310-=y.由251=+x x 解得2=x或21=x .由3101-=+xx 解得3-=x 或31-=x . 所以0)(=x f 的根是31,3,21,2,1--±.某些特殊形式的方程, 有时也可以变换成倒数方程. 例6.2. 解方程062512256234=+++-x x x x解:将原方程变形为12)1(25)1622=+--+xx xx（.从而有024)1(25)1(62=+---xx xx .设yxx=-1. 于是得：242562=+-y y.由此解得 23=y 或38=y.由231=-x x , 解得21,2-=x . 由381=-xx, 解得31,3-=x.所以原方程的根是31,3,21,2--.2.4二项方程的解法形如0=-c x n的方程称为二项方程.解二项方程0=-c x n 只要将c 开n 次方, 在复数域上求一个数的n 次方根可采用复数的三角形式来计算.定理4.2如果)sin (cos θθi r c+=, 那么二项方程0=-c x n的根是)2sin2(cosn k i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.证. 因为n n nk i nk r )]2sin2(cos[πθπθ+++ci r =+=)sin (cos θθ.并且)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.表明共有n 个互不相等的值, 它们都是n 次方程0=-c x n的根, 而n 次方程有n 个根, 所以方程0=-c x n的根是:)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.因为1sin cos =+θθi 由定理4.2可知在复数域上的几个n 次方根是:1, ni nππ2sin2cos +，ni nππ22sin22cos⋅+⋅，···，nn i nn ππ2)1(sin2)1(cos -+-.根据实系数多项式的性质可知, 二项方程的虚数根都是成对出现的.例如方程083=+x 在复数域上的三根是:2)sin (cos 21-=+=ππi x ,ii x 31)3sin3(cos22+=+=ππ, ii x 31)32sin32(cos 23-=+=ππ . 例7.2 解方程016842234=++++x x xx .由此可得到一个二项方程 0255=-x . 解这个二项方程, 并排除方程02=-x 的根2=x 以后, 即得原方程的四个根)52sin52(cos21ππi x +=, )54sin 54(cos22ππi x +=,)54sin 54(cos 2)56sin 56(cos23ππππi i x -=+=, )52sin 52(cos 2)58sin 58(cos24ππππi i x -=+=.2.5解含有参数的方程在解含有参数的方程时, 必须对参数的每个容许值确定方程的解的集合. 例8.2 解关于未知数x 的方程21xa x-=-.解 这个方程的右端是非负数的, 因此左端也必须是非负数的, 应在02≥-x a 和1≥x 的条件下求解. 将方程两端平方得:1222=-+-a x x.这个方程必须在0)1(24)2(2≥-⋅--a 时，即21≥a时有实数解, 因此, 原方程的求解又增加了一个必要条件. 由这个一元二次方程解得: 21211-+=a x , 21212--=a x .2x 显然不满足条件11≥x , 因此, 它不是原方程的解.如果1x 是原方程的解，那么 12121≥-+a ,即 112≥-a .当1≥a时,112≥-a 是成立的, 但还要考虑, 021≥-xa 是否成立.经过计算, a 取任何值时, 021≥-xa 总能成立.综上所述，当1 a 时，原方程没有解.当1≥a原方程的解为2121-+=a x .在解含有参数的方程时, 不仅要考虑对于参数的某些取值, 原方程没有解, 而且考虑, 在参数取某个值的情况下，原方程可能成为恒等式.这时, 原方程在定义域内便有无限多个解.第三章 初等超越方程解法举例含有一个未知数的初等超越函数方程（简称超越方程）是指形如0)=x F （的方程，其中，)(x f 是初等超越函数.初等超越函数方程的求解最终都归结为最简超越方程的求解 最简超越方程是指形如cx f =)(的方程，其中，)(x F 是基本初等超越函数, c 是常数.3.1指数的方程解法)1()()(x g x f aa=, )1,0(≠a a类型例1.3解方程312)10(10001505---=x xx .解:原方程可变形为 661010-=x x, 66-=x x, 56=x.解这一类的指数方程是以对数的存在性和唯一性为根据的由于)()(x g x f a a =与)()(x g x f =是同解的，所以这一变形不会产生增根，也不会发生遗根.)2( )()(x g x f aa=（a 与b 都是不等于1的正实数，并且ba≠）类型.例2.3 解方程. 解：将方程两端取常用对数得:3lg )1(5lg )1(2-=+xx .这是一个一元二次方程，由此可解得:1-=x 或3lg 5lg 3lg +=x .这也就是原方程的根.解这类指数方程，因为0)( x f a , 0)( x g b ，方程两端取对数后得到的方程与原方程是同解，所以，这一边形不会产生增根和遗根.)3(0)(=xa F , )1,0(≠a a类型.例3.3 解方程xxx946=+.解：将方程两端分别除以x 9得:19432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx.设yx=⎪⎭⎫ ⎝⎛32，则有012=-+y y ，由此解得:251+-=y, 或251--=y.后者因032 x⎪⎭⎫⎝⎛而舍去，再由21532-=⎪⎭⎫⎝⎛x可解得:3lg 2lg 2lg )15lg(---=x即为原方程.这种类型的指数方程通常采用换元法求解未知数. 为了将问题归结为最简指数方程的求解，往往需要将各个指数函数式化为相同的底数，由于底数都大于零，所以，在方程变形时不能破坏同解性.)4()()()(x F x f x g =类型.这种类型的方程成为幂指方程，如果是在底数大于零的条件下求解，那么可以通过两端取对数使方程变形.例4.3解方程 1lg 47lg 10++=x x x)0( x .解：因为方程两端都大于零，所以可在两端分别取对数，经过运算，化简可得：4lg 3)(lg 2=-+x x .有此可解得1lg =x 或4lg =x ，从而有10=x或410-=x，这就是原方程的解.3.2 对数方程的解法)1(cx g x f =)(log)(（c 为常数）类型.解这一种类型的方程通常是将对数形式化为指数形式.但解得的数值必须满足0)( x f ，与1)(≠x f 和0)( x g 的条件，否则便是增根. 例5.3 解方程22log)2(log8316=--x x.解 因为218log22log2188==，所以有2)316(21==-x x , 从而有 0122=--x x .由此解得4=x或3-=x, 后者使02 -x 于是方程的解只有4.)2()(log)(logx g x f aa= ()1,0≠a a .类型解这类方程时，根据对数的性质，可使得)()(x g x f =, 但由此解得的数值必须满足0)( x f 与0)( x g 否则便是增根.()3 0)(log=x F a)1,0(≠a a类型.解这类方程时，长采用换元法，将问题归结为解最简对数方程.)4( cx bx a=+log)1,0(≠a a类型.这类方程是在0x 的条件下求解的，当0≤c时，方程无解;当0c时，则有cx b x aaaloglog)(log=+. 即log log)x (log2=-+c x b aaa.这样变化为上一种类型，可用换元法求解 例6.3．已知1x 是方程42=+xx 的根，2x 是方程4log2=+x x的根.求21x x +. 因为1x 是方程42=+xx的根， 所以1x 是直线 x y +-=4与指数函数xy 2=图象交点P 的横坐标.因为2x 是方程4log2=+x x 的根，所以2x 是直线x y +-=4与对数函数xy2log=图象交点Q 的纵坐标.因为xy2=与xy2log=互为反函数，所以点P 与Q 关于其线对称， 且点P 与点Q 均在直线4+-=x y上，因为点P 与交点Q 的中点为)2,2(R . 所以421=+x x .3.3 三角方程的解法对于一般地三角方程来说，没有一般的简便的求解方法，对于其中某些类型的三角方程可用一定的解法求解，但对于同一个三角方程而言，解法往往不是唯一固定不变的的.凡是可以求解的三角方程，一般地说总是通过恒等变形将原方程的求解归为最简三角方程的求解. ）（1)]([)]([X F XF ϕϕ=类型（F表示某三角函数的符号）例如三角方程 x x 5sin 3sin =, )62()3(ππ-=+x tg x tg 都属于这一类型这类三角方程的基本解法是使方程一端为零，另一端化为积的形式，但也可利用下列具有相同的已知三角函数值的两弧之间的关系求解 )(sin )(sin 10x x ψϕ= 的交分必要条件是 πϕϕk x x k+-=)()1()( , )(z k ∈.︒2)(cos )(cos x x φϕ=的充分必要条件是:φ(x)=Ф(x)+2k π )(z k∈ .︒3 如果)()(x tg x tg φϕ=，那么πφϕk x x +=)()( )(z k∈ .例7.3 解方程 x x 3sin 5sin=.解：(1)将方程变形为:03sin 5sin =-x x .利用和差化积得:4cos sin 2=x x .从而得到最简三角方程:sin =x 或04cos =x .解：(2)由原方程可得:πk x x k+-=3)1(5 )(z k∈.等nk2=时，可解得:84ππ+=n x )(z n ∈.解）3(如果将a3sin与a5sin都用asin 表示，那么原方程便化成)1sin8sin 8(sin 224=+-x x a .由此可得最简正弦方程类型F 与G 表示不同的两个三角函数符号 例8.3 解方程yy 2cos 3sin =解)1(将原方程的两端化为相同名称的三角函数，可得：)22sin(3siny y -=π或yy 2cos )32(cos =-π.于是原方程的求解转化为前一种类型.解)2(使原方程的等式的一段化为零, 将另一端化为积. 解)3(利用倍角公式将方程两端都用ysin 表示.可得1sin 3sin2sin423=+--y y y左端分解因式后便可得最简正弦方程 (3) cy b y a =+cos sin , (c b a ,,都是常数，并且a 与b 都不等于零)类型如果 0≠c 并且222cb a =+，以a 除原方程的两端.得 ac y a b y =+cos sin因为+∞<<∞-ab ，于是可设ab arctg=ϕ，从而有 ac y y =+cos cos sin sinϕϕ又可化为ϕϕϕcos cos sin cos sin ac y y =+，即 ϕϕcos )sin(ac x =+因为222cba ≥+所以11cos 222222≤+=+=+=bac bac tg a c ac ϕϕ从而有πϕϕn ac y n+-=+)cos arcsin()1(， ϕϕπ--+=)cos arcsin()1(ac n yn)(z n ∈)4(关于ysin与ycos的齐次式的三角方程coscossincos sin sin 222110=++++--y a y a y y a y a nn n n n1如果0≠a ，则以ycos （ycos不等于零，若0cos=y ，则导致)0cos sin ==y y除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程sin110=+++-n n na y a y tga这是关于tgy 的代数方程，由此可得tgy 的值，便得到以正切函数表示的最简三角方程2如果,0110====-k a a a 但0≠ka ，则方程可化为)coscos sinsin(cos11=+++---+-y a y y a y a y kn n k n k kn k k由此可得0cos =y 或coscos sin sin11=+++---+-y a y y a y a kn n k n k kn k这后一个方程可按01的方法求解.)5(方程中含有未知数的各项可化为同一未知数的同一个三角函数的三角方程例9.3 解xx x x 5sin 3sin 7sin sin=将原方程的两端化为三角数式的差 ， 得28cos 2cos 2cos8xcos6x xx -=-从而有 xx 2cos 6cos=这个方程可按)]([)]([x F x F ψϕ=类型的解法求解.。
