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基础达标检测一、选择题1．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )A ．3.84B ．4.84C ．8.16D ．9.16[答案] C[解析] 矩形的面积为12，设椭圆的面积为S ， 则S 12≈300－96300，解得S ≈8.16.2．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为( )A.14 B.13 C.427 D.415 [答案] A[解析] 面积为36cm 2时，边长AM ＝6cm ；面积为81cm 2时，边长AM ＝9cm. ∴P ＝9－612＝312＝14.3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23[答案] C[解析] 如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝34.4．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210[答案] B[解析] 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离 d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.5．手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指哪个数字的概率最大( )A ．12B ．6C ．1D ．12个数字概率相同[答案] D[解析] 分针每天转24圈，指向每个数字的可能性是相同的，故指向12个数字的概率相同．6．(文)有下列四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )[答案] A[解析] A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，所以A 游戏盘的中奖概率最大．(理)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35[答案] B[解析] 作等腰直角三角形AOC 和AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝12. 二、填空题7．(文)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．[答案] 13[解析] 本题考查了几何概型．由3a －1<0得a <13，则事件“3a －1<0”发生的概率为13.(理)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．[答案] 23[解析] ∵a ∈[0,1)，故a >13的概率P ＝1－131＝23.8．(文)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[答案] 16[解析] 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.(理)设函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率为________．[答案] 310[解析] 由f (x 0)≤0，得－1≤x 0≤2， 则f (x 0)≤0的概率为P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.9．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序数对(x ，y )记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )＝________.[答案] π4[解析]事件“从区间[－1,1]上任取两数，x，y组成有序数对(x，y)”的所有结果都落在－1≤x≤1，且－1≤y≤1为正方形区域中，而事件A的所有结果都落有以(0,0)为圆心的单位圆面上，故μA＝π，μΩ＝2×2＝4，∴P(A)＝π4.三、解答题10．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．[解析]弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，记事件C＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(C)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(C)＝1－32.即所求弦长不超过1的概率为1－32.能力强化训练一、选择题1．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )A.24B.14 C.18 D.116[答案] C[解析] 依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C.2．(文)已知＝{(x ，y)|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y)|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29[答案]D[解析]区域为△AOB，区域A为△OCD，∴所求概率P＝S△OCDS△AOB＝12×4×212×6×6＝29.(理)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A .1πB .2π C .3π D .4π[答案] A[解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin xdx ＝－cos x|π0＝－(cosπ－cos 0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是S S 矩形OABC＝22π＝1π.二、填空题3．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[分析] 本题考查了几何概型的应用，同时也考查了互斥、对立事件．[答案] 1316[解析] ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.4．(文)在区域M ＝{(x ，y)|⎩⎨⎧0<x<20<y<4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y<4y>xx>0}内的概率是________．[答案] 12[解析] 画出区域M ，N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4， 故所求概率P ＝44×2＝12.(理)已知m ∈[1,7]则函数f(x)＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数的概率为______．[答案] 13[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4.又m ∈[1,7]，所以所求的概率为4－27－1＝13. 三、解答题5．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．[解析] (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.6．(文)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23. (理) 已知函数f (x )＝ax 2－2bx ＋a (a ，b ∈R )．(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．[解析](1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2,3}中任一个元素∴a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．即基本事件总数为16.设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为事件A当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a不等于零当b>a且a≠0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)即A包含的基本事件数为3，∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝316.(2)由b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，这是一个矩形区域，其面积S a＝2×3＝6.设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a >b }．其面积S b ＝6－12×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得：方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S b S a＝46＝23.。
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表x123请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.【考点】离散型随机变量及其分布列.4.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的数学期望值为________．【答案】2.376【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为5.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得6.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，V(X)＝，则x1＋x2的值为________．【答案】3【解析】由题意知，X的所有可能取值为x1，x2，则有解得或 (舍去)，∴x1＋x2＝3.7.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为12A和B所获得的利润，求方差V(Y1)、V(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．【答案】(1)4 12 (2) x＝75时，f(x)＝3为最小值【解析】解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，V(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，V(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝V＋V＝2V(Y1)＋2V(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)，当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.8.已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的方差等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列可知【考点】分布列期望方差点评：分布列中各随机变量概率和为1，求期望方差只需将数据代入相应的公式即可，需要学生熟记公式9.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以表示取出次品的个数,则的期望值=．【答案】【解析】由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0、1、2．套公式即可． , ，则根据期望公式可知其值的期望值=，故答案为。
期望方差完美知识点试题教案一、教学目标1. 让学生理解期望和方差的定义及性质。
2. 培养学生运用期望和方差解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握期望和方差的计算方法。
二、教学内容1. 期望的定义及性质2. 方差的定义及性质3. 期望和方差的计算方法4. 期望和方差在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：期望和方差的定义、性质及计算方法。
2. 难点：期望和方差在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解期望和方差的定义、性质及计算方法。
2. 利用案例分析，引导学生运用期望和方差解决实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾离散型随机变量的期望和方差的概念。
2. 讲解期望的定义及性质：结合实例讲解期望的定义，阐述期望的性质。
3. 讲解方差的定义及性质：结合实例讲解方差的定义，阐述方差的性质。
4. 讲解期望和方差的计算方法：引导学生掌握期望和方差的计算方法。
5. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用期望和方差进行分析。
6. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的应用实例和心得。
8. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对期望和方差概念的理解程度。
2. 作业批改：检查学生对期望和方差的计算方法的掌握情况。
3. 案例分析报告：评估学生在实际问题中运用期望和方差的能力。
七、教学拓展1. 介绍期望和方差在其它领域的应用，如金融、统计等。
2. 引导学生探讨期望和方差在实际问题中的局限性。
八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略。
九、课后作业a. X = 1 + 2 + 3 + + 10b. X = 2 ×3 ×4 ××102. 习题二：某班级有50名学生，已知身高服从正态分布，平均身高为170cm，标准差为5cm。
求该班级身高的期望和方差。
1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14 答案 A解析 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4．(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( ) A.π180 B.π150 C.π120 D.π90 答案 C解析 屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310(2)(2017·太原调研)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)B (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3， P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n 答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB＝2－142＝78.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.925(2)(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12 答案 (1)D (2)B解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32，∴P ＝326＝14.题型三 与体积有关的几何概型例4 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.12．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°，∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.(2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.2．(2016·南平模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)， 故所求概率为P ＝5－25－0＝35，故选C.3．(2016·四川宜宾筠连中学第三次月考)如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.13 答案 B解析 正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形.又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83，故选B.4.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.1－2πB.12－1πC.2πD.1π 答案 A解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.5．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π.7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.10．(2016·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案 1－π24解析 由题意作图，如图，则点P 应落在深色阴影部分，S △＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个，故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部． 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
基础达标检测一、选择题1．已知随机变量X的分布列X －10 1P 0.50.30.2则DX＝()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0.2[答案] B[解析]EX＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为()A．100 B．200C．300 D．400[答案] B[解析]本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的均值等．记“不发芽的种子数为X”，则X～B(1 000,0.1)，所以EX＝1 000×0.1＝100，则E(2X)＝2EX＝200，故选B.3．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为( )则X 的数学期望A.32 B ．2 C.52 D ．3[答案] A[解析] EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后乘余子弹的数目X 的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 [答案] C[解析] X ＝0,1,2,3，此时P (X ＝0)＝0.43，P (X ＝1)＝0.6×0.42，P (X ＝2)＝0.6×0.4，P (X ＝3)＝0.6，EX ＝2.376.故选C.5．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定 [答案] C[解析] 因为方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4X <0，得X >4， 即P (X >4)＝12＝1－P (X ≤4)， 故P (X ≤4)＝12，∴μ＝4. 6．已知随机变量X 的分布列为若EX ＝158，则DX 等于( ) A.3364 B.5564 C.732 D.932[答案] B[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又EX ＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38，所以DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1582×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1582×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1582×38＝5564.二、填空题7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数X 的期望是________．[答案] 509[解析] 由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B (10，59)，所以EX ＝509.8．已知随机变量X 的分布列为则EX ＝[答案] 3 1.2[解析] EX ＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝0.1＋0.4＋1.2＋0.8＋0.5＝3.DX ＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2.9．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.[答案] 916[解析] ∵X ～B (3，14)， ∴DX ＝3×14×34＝916. 三、解答题10．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．[解析](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种．X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝2 7.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1， X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形； X ＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.能力强化训练一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为则下列式子中：①EX ＝－13；②DX ＝2327；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；DX ＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确，③显然正确，应选C.2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元．节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是()A.706元C．754元D．720元[答案] A[解析]节日期间预售的量：EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)．则期望的利润：η＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450.∴Eη＝3.4EX－450＝3.4×340－450＝706(元)．∴期望利润为706元．二、填空题3．若p为非负实数，随机变量X的概率分布如下表，则EX的最大值为________，DX的最大值为________.[答案]32 1[解析]∵⎩⎨⎧0≤12－p <10≤p <1∴p ∈[0，12]．∴EX ＝p ＋1≤32，DX ＝－p 2－p ＋1≤1.4．抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X 的均值EX ＝________.[答案] 6[解析] 抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正 ，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X 的取值为4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为P 1、P 2、P 3、P 4、P 5，则P 1＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·2＝4，P 3＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P 4＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14， P 5＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，EX ＝4×116＋5×14＋6×38＋7×14＋8×116＝6. 三、解答题5．(2013·陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[解析] (1)由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为C 11·C 12C 23＝23，观众乙未选中3号歌手的概率为C 34C 35＝25，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为23×25＝415.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知，观众甲选中3号歌手的概率为23观众乙选中3号歌手的概率为1－25＝35，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－25＝35，则P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×2×35×(1－35)＝2075＝415 P (X ＝2)＝23×2×35×(1－35)＋(1－23)×(35)2＝3375＝1125 P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875＝625则X 的分布列如下：EX ＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×625＝2815.6．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列及均值EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·23＝736； (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5 P (X ＝0)＝14·(13)2＝136， P (X ＝1)＝34·(13)2＝112， P (X ＝2)＝14C 1213·23＝19， P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝13， P (X ＝4)＝14·(23)2＝19， P (X ＝5)＝34·(23)2＝13.所以X 的分布列为：EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13 ＝4112＝3512.。
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（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望；(3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为，出现“×”的概率为.若第次出现“○”，则a=1；出现“×”，则a=.令S=a+a+…+a.(1)当时，求S2的概率；(2)当，时，求S=2且S≥0(i=1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为，求的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．§11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=.3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有261522B)P(A==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.互斥对立iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn kkn n P)(1P C (k)P --=.4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ξ1x2x…ix… P 1p 2p …i p …有性质① ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-.⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1==-k p qk 于是得到随机变量ξ的概率分布列. ξ 1 2 3… k…Pqqpp q 2…pq1k -…我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnN kn MN kM -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξn ba kn b ka =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有nb a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k kn ba C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)ba a (C b)(a ba C k)P(ηkn kkn nk n kkn =+-+=+==--，即η～)(ba a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ 1x 2x …i x … P 1p 2p … i p …则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当0=b时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：cc E =⨯=1ξ其分布列为：cP ==)1(ξ.⑶两点分布：pp q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p +q = 1） ⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-npqp k n k n k E kn k )!(!!ξ其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：npq D =ξ⑸几何分布：2pq D =ξ5. 期望与方差的关系. ⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)( ⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.ξ 0 1 Pqpξ 0 1 Pqp▲y xaby=f (x )①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称. ③当μ=x时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近. ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex xπϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.▲xy a标准正态分布曲线S 阴=0.5S a =0.5+S S。
期望方差完美知识点试题教案第一章：期望与方差的概念引入1.1 教学目标：了解期望与方差的定义及性质，掌握期望与方差的计算方法。
1.2 教学内容：1.2.1 期望的定义与性质期望是指随机变量在多次重复实验中平均可能出现的结果。
期望的性质有：线性性质、非负性、齐次性等。
1.2.2 方差的定义与性质方差是衡量随机变量取值分散程度的统计量。
方差的性质有：非负性、齐次性、非对称性等。
1.3 教学方法：采用讲授法，结合具体实例讲解期望与方差的定义及性质，并通过练习题帮助学生巩固知识。
1.4 教学练习题：1. 设随机变量X的取值为1，2，3，且概率分布为P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求随机变量X的期望。
2. 设随机变量Y服从参数为λ的泊松分布，求随机变量Y的期望与方差。
第二章：期望与方差的计算方法2.1 教学目标：掌握离散型随机变量的期望与方差的计算方法，了解连续型随机变量的期望与方差的计算方法。
2.2 教学内容：2.2.1 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差的计算公式分别为：E(X) = Σ[x_i P(X=x_i)]，Var(X) = Σ[(x_i E(X))^2 P(X=x_i)]2.2.2 连续型随机变量的期望与方差连续型随机变量的期望与方差的计算公式分别为：E(X) = ∫(x f(x))dx，Var(X) = E(X^2) (E(X))^2其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
2.3 教学方法：采用讲授法，结合具体实例讲解离散型随机变量和连续型随机变量的期望与方差的计算方法。
2.4 教学练习题：1. 设随机变量X的取值为1，2，3，且概率分布为P(X=1)=0.1，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.6，求随机变量X的期望与方差。
2. 设随机变量Y服从参数为λ的泊松分布，求随机变量Y的期望与方差。
第三章：期望与方差的应用3.1 教学目标：掌握期望与方差在实际问题中的应用，如最小二乘法、置信区间等。
第十一章《概率》小结与复习(第二课时)一 教学目标： 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能性事件的概率2．了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率3. 识别事件间的相互关系，把实际问题抽象成数学概率模型、判断出相互独立事件或独立重复试验，进而利用相应的概率公式解决问题二 教学重点：事件的概率的求解方法 三 教学难点：事件的概率的综合应用 四 教学方法：启发式 五 数学过程： I. 复习与引入1 甲乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1 ，乙解决这个问题的概率是p2 ，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？解法一：至少有1人解决问题这一事件可分为三类：第一类是甲解决问题乙没有解决问题，第二类是乙解决问题甲没有解决问题，第三类是甲乙都解决问题。
这三类事件彼此互斥，由加法公式得，至少有1人解决问题的概率是：1221121122(1)(1)P p p p p p p p p p p =-+-+=-+解法二：至少有1人解决问题的对立事件是甲乙两人都没有解决问题，有对立事件的概率公式得，至少有1人解决问题的概率是：1211221(1)(1)P p p p p p p =---=-+答：至少有1人解决这个问题的概率为1122p p p p -+ . 点评：通过上面的两种解法，求互斥事件的概率应注意怎么计算，它体现一种什么思想？ 2 某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，求：①奇次不击中，偶次击中的概率； ②恰有两次击中目标的概率.解：设击中目标为事件A ，则P(A)=0.9，①“奇次不击中，偶次击中”是指两次击中有序且顺序唯一，其概率为：22()0.10.90.0081P A A A A ⋅⋅⋅=⨯=②恰有两次击中目标的概率为：22260.90.10.0486P C =⋅⨯=答：①奇次不击中，偶次击中的概率为0.0081；②恰有两次击中目标的概率为0.0486 点评：在独立重复试验中，某事件恰有 k 次发生，应注意其有序或无序，解题不能照搬公式. 3、抛掷一均匀的正方体骰子（各面分别标有数1，2，3，4，5，6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上的一面的数不大于3”，求P(A+B)()()()1/61/62/62/3()1()12/62/3;()()()()3/63/62/6A B (()();A B ()()(()P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A P B P A B P A B P A P B P A B P A P P A B =∙+∙+∙=++=+=∙=-=+=+-∙=+-∴+≠+∴∙≠∙－ ，不互斥，）本题、法二：法三：注意(1)不相互独立：(2， ，)1/21/2142/6,)()( ) P B P A B ⨯=∙∙＝（）（）＝而/12121326A A B P()()()3/6, 2/3B 552P A A P A P A A 4()2/3()514()()()A B P A B P P B P B A P B P A B P A ∙∙∙⨯∙∙⨯∙∙算/A （）发生的条当、不相互独立时，可用公式： ， ＝＝（）＝其中＝是在发生的概率。
专题11.3 概率分布与数学期望、方差一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）= .【答案】3 2【解析】3313123510102 EX=⨯+⨯+⨯=．2. 设随机变量的分布列如表所示，且EX=1.6，则a×b= .X0 1 2 3P0.1 a b 0.1【答案】0.153. 随机变量X的分布列如下:X-1 0 1P a b c其中a，b，c成等差数列，若EX=，则DX的值是. 【答案】4.若随机变量X ～B (100，p )，X 的数学期望EX =24，则p 的值是 .【答案】【解析】∵X ～B (100，p )，∴EX =100p .又∵EX =24，∴24=100p ，p ==.5. 若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为 . 【答案】3·2－10【解析】E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210.6. 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为 . 【答案】1.2【解析】∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. 7. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .自然状况方案盈利 概率A 1 A 2 A 3 A 4S 1 0.25 50 70 -20 98 S 2 0.30 65 26 52 82 S 30.45261678-10【答案】A 3【解析】方案A 1，A 2，A 3，A 4盈利的期望分别是:A 1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7； A 2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5； A 3:-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7； A 4:98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.所以A 3盈利的期望值最大，所以应选择A 3. 8. 已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为 . 【答案】73【解析】E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.9. 随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值是________．【答案】5910. 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p = 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 .【答案】 25X －1 0 1 P121316ξ 1 2 3PAb c【解析】DX=100p(1-p)≤100·()2=25，当且仅当p=1-p，即p=时，DX最大，为25.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
专题十一 概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差答案部分1．B 【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以10(1) 2.4DX p p =-=，所以0.6p =或0.4p =．由(4)(6)P X P X =<=，得4466641010C (1)C (1)p p p p -<-，即22(1)p p -<，所以0.5p >，所以0.6p =．故选B ．2．D 【解析】由题可得1()2E p ξ=+，所以22111()()422D p p p ξ=-++=--+，所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ先增大后减小．故选D ．3．A 【解析】由题意可得由两点分布11()E p ξ=，22()E p ξ=；111()(1)D p p ξ=-，222()(1)D p p ξ=-，∵222122112121()()(1)(1)()()D D p p p p p p p p ξξ-=---=---2121()(1)p p p p =---∵12102p p <<<，∴210p p ->，2110p p --> ∴1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ，选A ．4．A 【解析】解法一（特值法）取m n ==3进行计算、比较即可．解法二 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，则1(0)(1)n P P m n ξξ====+，1(1)(2)mP P m nξξ====+， 所以111()1(1)2(2)1mE P P m n ξξξ=⋅=+==++，所以11()222()E m np m n ξ+==+；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则 η的所有可能的取值为0，1，2，则222C (0)(1)C n m n P P ηξ+====，1122C C (1)(2)C n mm nP P ηξ+====，222C (2)(3)C m m nP P ηξ+====∴22222()1(=1)2(=2)3(=3)1mE P P P m nξξξξ=⋅+⋅+⋅=++， ∴22()333()E m np m n ξ+==+，所以12p p >，()()12E E ξξ<，故选A ． 5．1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．6．32【解析】实验成功的概率34p =，故3(2,)4X B :，所以33()242E X =⨯=．7．25【解析】由题意设(1),P p ξξ==的分布列如下由()1E ξ=，可得35p =，所以()5D ξ=． 8．【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50． 故所求概率为500.0252000=． (2)设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为()()()P AB AB P AB P AB +=+ =()(1())(1())()P A P B P A P B -+-．由题意知：()P A 估计为0．25，()P B 估计为0．2． 故所求概率估计为0．25×0．8+0．75×0．2=0．35． (3)1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ．9．【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． (2)由(1)知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B :，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+． 所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验．10．【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．34337C C ()C k kP X k -⋅==(k =0，1，2，3)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A B C =U ，且B 与C 互斥， 由（i ）知，()(2)P B p X ==，()(1)P C P X ==， 故6()()(2)(1)7P A P B C P X P X ===+==U ． 所以，事件A 发生的概率为67． 11．【解析】（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===， ()25745000.490P X ++===．因此X 的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200， 因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25)，则63002(200)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-； 因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-． 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-； 因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+． 所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．12．【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2)随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的期望为：11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.13．【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=， 1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+==(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ===+== 1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 14．【解析】（Ⅰ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(Ⅱ)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4．则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==510510+1+2+3+421212142⨯⨯⨯⨯=2． 15．【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=． （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2．21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C6C 3C 6P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列为故ξ的期望1()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．16．【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n . 17．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431()=6542P A =⨯⨯ （Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(=1),(=2),(=3)1=6656653P X P X P X ==⨯==⨯⨯． 所以X 的分布列为所以1125()1236632E X =⨯+⨯+⨯=． 18．【解析】（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为8439=C ，随机变量X 是取值为：0，-1，1，因此32)0(3938===C C X P ，141)1(3924==-=C C X P ，4211321411)1(=--==X P ，所以X 的分布列为则 21421141)1(320=⨯+-+⨯=EX ． 19．【解析】（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =． 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=． （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3．1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===， 所以X 的分布列为：因此，X 的期望为()()()1(1)2233E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=，131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【解析】（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯=2002222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯22200.33100.24200.08300.02150.+⨯+⨯+⨯+⨯=（II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X-B(100，0.682 6)，所以1000.682668.26.EX =⨯=21．【解析】（Ⅰ）记i A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”（0,1,3i =）．则31()2P A =，11()3P A =，0111()1236P A =--=； 记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”（0,1,3i =）。
2021华师大版七数下第十一章体验不确定现象 同步测试及答案一、选择题（每题2分，共24分） 1，下列事件中是必然事件的是( )A.广州市发生地震B.任意买一张彩票中奖C.掷一枚硬币国徽朝上D.在标准状态下,温度达到100℃时水会沸腾 2，下列事件中是不可能事件的是( )A.彩票中头等奖B.气温低于0℃,水会结冰C.掷骰子掷得的点数是6D.明天太阳从西方升起3，在一个袋子里,装有6个红球，3个白球和3个黑球，每个球除颜色外都相同,•任意摸出一个球，哪种颜色的球被摸到的可能性最大( )A.红球B.白球C.黑球D.无法确定5，下列各事件中，不可能事件是( ) A.掷一枚骰子,出现6点朝上 B.太阳从东方升起C.若干年后,地球会发生大爆炸D.全学校共有1500人，从中任意抽出两人，他们的生日完全不同6，一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80 张, 三等奖200张，那么第一位抽奖者(仅买一张奖券)中奖的可能性为( )A.150 B.225 C.15 D.3107，如图1所示的甲、乙两个转盘,在转运过程中指针停在红色上的可能性( )A.甲转盘机会大B.乙转盘机会大C.两个转盘机会一样大D.无法确定哪个机会大8，若“抢30”游戏，规划是：第一个人先说“1”或“1、2”,第二个人要接着往下说一个或两个数,然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流,每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就得胜，若改成“抢32”,那么采取适当策略，其结果是( )A.先报数者胜B.后报数者胜C.两者都可能胜D.很难预料9，抛掷一枚质量分布均匀的骰子后，出现点数是4的可能性是( )A.12 B.14 C.16 D.1810，抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，出现两个反面的成功率值大约稳定在( )A.25%B.50%C.75%D.100%11，在不透明的袋子中装有3个红球和7个白球，摸出一个是白球的可能性是( ) A.710 B.310C.25D.3512，有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9,从中任取三条, 一定能构成三角性的可能性白色红色乙甲白色白色红色红色图1是( )A.20%B.30%C.40%D.50%二、填空题（每题2分，共24分）13，生活中，许多事情我们无法事先肯定它是否会发生，这些事件称为＿＿＿事件.14，从一副扑克牌中任意抽出一张牌是15,这一事件是__________.15，一个家庭若有两个小孩,则这两个小孩的性别方式是_______种.16，下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是可能事件?(1)掷骰子掷得2点是＿＿＿；(2)中国足球队获取世界杯冠军是＿＿＿；(3)十五的月亮就像一个弯弯的细钩是＿＿＿.17，用100万元资金投资一项技术改造项目，如果成功，则可盈利400万元；如果失败,将亏损全部投资.已知成功率是35, 这次投资项目期望大致可盈利＿＿＿万元.18，从甲、乙、丙、丁四人中用抽签的办法，任选1人去参加数学竞赛, 选中乙的可能性是＿＿＿.19，明明和芳芳做抛掷两枚硬币的游戏, 确定“发现两个正面”为成功, 各抛10次,实验记录如下：20，抛掷两个正方体骰子,请写出一个确定事件＿＿＿.21，现有一个口袋,在口袋里装有三个球，其中两球是白球，另外一个是黑球，若从口袋中随机地摸出两个球，假如两个是同一颜色的，则规定甲赢, 假如两个不是同一颜色的，则规定乙赢，这是一个偏向＿＿＿的游戏.22，抛掷一枚硬币，反面向上的机会是＿＿＿.23，小明拿出一副扑克牌(除去大小王)，让小华抽红桃，那么小华抽到红桃的可能性是＿＿＿.24，100个大小相等的小球，其中红色小球95个，白色小球5个，从这100个小球中任取1个,取到红球的可能性是＿＿＿.三、解答题（共52分）25，在一个口袋里,装有10个大小和外形完全相同的小球，其中有4个红球、5个蓝球和1个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请问下列哪些事件是必然发生的，哪些事件是不可能发生的，哪些事件是可能发生的?并说明理由.(1)从口袋中任意拿出一个球,是红球；(2)从口袋中任意拿出两个球,都是白球;(3)从口袋中任意拿出6个球,其中至少有一个是蓝球.26，请判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)小明认为花2元钱买一张彩票中500万元大奖是不可能的；(2)如果一事件发生的机会点99.99%,那么它就必然发生；(3)如果一事件不是必然发生的，那么它就不可能发生.27，请将下列事件发生的可能性标在如图2中的大致位置上.(1)掷两枚骰子，点数之和不超过12. (2)哈尔滨寒冬气温超过38℃. (3)5个人分成三组，一定有一个人单独是一组. (4)掷一枚均匀的硬币，正面朝上.(5)你买了一张体育彩票,恰巧中了特等奖.(6)从一副扑克牌中,抽出一张牌，比“J ”小.28，两袋分别盛着写有0，1，2，3，4，5六个数字的六张卡片，从每袋中各取一张，求所得两数之和等于6的机会,现在小华和小晶给出下述两种不同解答：小华的解法:两数之和共有0，1，2，…，10十一种不同的结果，因此所求的机会为111.小晶的解法：从每袋中各任取一张卡片，共有 种取法，其中和数为62的情形共有5种：(1，5)、 (2，4) 、(3，3)、 (4，2) 、(5，1)，因此所求的机会为536.试问哪一种解法正确，为什么?29，有两个人在赌博,下了赌金之后约定谁先赢满5局，谁将获得全部赌金.赌了半天，A 赢4局，B 赢3局，B 提议不再进行下去，而是将赌金分成7份，A 拿4份，B 拿3份，你认为这是否公平?为什么?30，某位同学抛掷两个筹码，这两个筹码一面都画上×，另一面都画上Ф, 分10组实验，每组20次，下面是共计200次实验中记录下的结果.10.50图2(1)(2)在他的10组实验中，掷出“两个×”成功次数最多的是第几组实验？掷出“两个×”失败次数最多的是第几组实验？(3)在他的第一组实验中，掷出“两个×”的成功率是多少？在他的前两组实验中,掷出“两个×”的成功率是多少？在他的前八组实验中，掷出“两个×”的成功率是多少？(4)在他的10组实验中，掷出“两个×”的成功率是多少？掷出“一个×”的成功率是多少？掷出“没有×”的成功率是多少？这三个成功率的和是多少？31，一枚硬币掷于地上,出现正面或反面的机会各为12;这枚硬币掷于地上两次,都是正面的机会为14，可以理解为1122⨯；同理，一枚硬币掷于地上三次, 三次都是正面的机会为18，也可以理解为111222⨯⨯，……将两枚硬币同时掷于地上,同时出现正面的机会也是14,也可以表示为1122⨯, 那么它和一枚硬币掷两次的事件有什么联系?利用上面的联系,让我们看下面一个故事：公元1053元，北宋的大将狄青奉命征讨南方侬智高叛乱，他在誓师时，当着全体将士的面拿出100枚铜钱说：“如果这次能够得到胜利，则我把这100枚铜钱抛向空中,钱落地后100枚钱都会正会朝上.”问这100枚钱抛向空中后正面全部朝上的机会为多少?事实上,狄青打赢了这场战争，当然，他所掷100枚铜钱也都正面朝上,你知道狄青是怎样操作的吗?32，不透明的袋中有3个大小相同的小球,其中2个为白色,1个为红色, 每次从袋中摸1个球,然后放回搅匀再摸,在摸球实验中得到下列表中部分数据.(2)画出折线图；(3)观察上面的图表可以发现：随着实验次数的增大，出现红色小球的机会是多少？ 33，如图3是一个可以自由转动的转盘,转盘指针, 你认为指针停在哪种颜色上的可能性最大?停在哪种颜色上的可能性最小?说明理由.如果不做实验,你能预测图中转盘指针停在紫色上的机会是多少吗?参考答案：一、1，D ；2，D ；3，A ；4，B ；5，C ；6，D ；7，C ；8，A ；9，C ；10，A ；11，A ；12，B .二、13，随机；14，不可能事件；15，3；16，(1)可能事件，(2)可能事件，(3)不可能事黄色緑色紫色黄色緑色黄色红色红色图3件；17，200；18，14；19，30％、20％；20，略；21，乙；22，12；23，14；24，95%. 三、25，(1)可能发生，(2)不可能发生(袋中只有1个白球)，(3)必然发生(因为除蓝球外，只有5个球)；26， (1)“花2元钱买一张彩票中万元大奖”这是一可能事件.小明认为这是不可能的,因此这种说法不正确. (2)这种说法不正确,因为一事件发生的机会占99.99%,•只能说是极有可能发生的,但并不是必然发生.(3)这种说法不正确,因为“不是必然发生”和“不可能发生”不是一回事；27，从左到右分别是：（2）、（5）、（4）、（6）、（1）、（3）；28，小晶的解法正确，小华列出的十一种不同结果可能性不同； 29，不公平.应当分成4份，A 拿3份，B 拿1份； 30，（1）略；（2）7、9；（3）30％，20％，30％，（4）26.5％，52％，21.5％，1；31，10032，(1)29%，34%，,出现33，占整个转盘的148418.因此停在黄色上的可能性最大，停在紫色上的可能性最小.不做实验，能预测指针停在紫色上的机会是18.次数37%22%360320240。
第十一章 单元测试卷1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30 2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( )A ．1B ．(C 110)2 C ．C 120D ．C 10203.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同位或同列的概率是( )a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33A.37B.47C.1314D.114 4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53 C ．5 D ．3 5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.236．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122 B.111 C.322 D.2117．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.1188．2011年陕西园艺世博会期间，某国旅游团计划从8个他们最喜爱的中国城市里选择6个进行游览．如果M ，N ，P 为必选城市，并且在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，则他们可选择的不同游览线路有( )A ．240种B ．480种C ．600种D ．1200种9．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712) B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1) 10．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( )A ．12种B ．48种C ．90种D ．96种11．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625 B.96625 C.624625 D.462512．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)若在△ABC 中，A B →与a 同向，C B →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是( )A.512 B.712 C.39 D.4913．在神舟八号飞船飞行的过程中，地面上有A 、B 、C 、D 四个科研机构在接收其发回的重要信息．这四个科研机构两两之间可以互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息．某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有________．14．2012年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为________．17．为备战2012年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率．18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．19．某农学院毕业生为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系，对一亩700棵高粱进行抽样调查，高度频数分布表如下：表1：红粒高粱频数分布表(2)估计这块地中高粱高(单位：cm)在[165,180)的概率；(3)在红粒高粱中，从高度(单位：cm)在[180,190)中任选3棵，设ξ表示所选3棵中高(单位：cm)在[180,185)的棵数，求ξ的分布列和数学期望．20.李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．21．某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到车站．求：(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)该旅客候车时间的分布列； (3)该旅客候车时间的数学期望．22． 2011年12月25日某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品：点数之和小于8点的不得奖．求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)若该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a 的值．1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30答案 B 解析 从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C 35＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．选择B.2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．(C 110)2 C ．C 120 D ．C 1020 答案 D 解析 因为(1＋x )10(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x )10＝(x ＋1x)20(x >0)，所以T r ＋1＝C r20(x )20－r (1x)r ＝C r 20x 10－r，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 1020，选D. 3.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同位或同列的概率是( )a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33A.37B.47C.1314D.114 答案 C 解析 所取三数既不同行也不同列的概率为6C 39＝114，所求概率为1－114＝1314. 4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53C ．5D ．3 答案 A 解析 由已知2a －3，与a ＋2关于3对称，故(2a －3)＋(a ＋2)＝6，解得a ＝73.5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 C 解析 由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A 表示取出的x 满足sin x ＋3cos x ≤1这样的事件，对条件变形为sin(x ＋π3)≤12，即事件A 包含的区域长度为π2.∴P (A )＝π2π＝12.6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122 B.111 C.322 D.211答案 D 解析 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C 23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有C 13C 13种取法 因此所求的概率为C 23＋C 13C 13C 212＝2117．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.118答案 B 解析 将一个骰子连抛三次，共有n ＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的有6种，共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝112.8．2011年陕西园艺世博会期间，某国旅游团计划从8个他们最喜爱的中国城市里选择6个进行游览．如果M ，N ，P 为必选城市，并且在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，则他们可选择的不同游览线路有( )A ．240种B ．480种C ．600种D ．1200种答案 D 解析 此题分三步完成：先从除M ，N ，P 之外的5个城市中选3个，有C 35＝10种选法；将选中的6个城市全排列A 66＝720种排法；由于在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，∴需要消序，故共有C 35A 66A 33＝1200种的旅游线路．9．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712) B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1) 答案 C 解析 发球次数X 的分布列如下表，所以期望EX ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75，解得p >52(舍去)或p <12，又p >0，故选C.10．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( )A ．12种 B ．48种 C ．90种 D ．96种答案 B 解析 可按照场地号安排，一号场地安排方法是C 23C 12C 12＝12；二号场地只能从剩余的一个国家的2人中任选一人，有2种选法，另一人从一号场地剩余的两个国家的另两人中任选一人，有2种选法；第三场地由剩余两人当裁判，因此总的选法有12×2×2＝48.11．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625 B.96625 C.624625 D.4625答案 B 解析 从6个球中摸出两球有C 26＝15种方法，两球号码之积是4的倍数有6种方法，则获奖概率为P ＝25，4人摸奖恰有3人获奖的概率是C 34·35·(25)3＝96625. 12．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)若在△ABC 中，A B →与a 同向，C B →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是( ) A.512 B.712 C.39 D.49答案 A 解析 要使∠ABC 是钝角，必须满足A B →·C B →＜0，即a ·b ＝n －m ＞0，连掷两次骰子所得点数m 、n 共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是512.13．在神舟八号飞船飞行的过程中，地面上有A 、B 、C 、D 四个科研机构在接收其发回的重要信息．这四个科研机构两两之间可以互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息．某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有________．答案 16种 解析 第一类：A 直接发送给B ，C ，D 三处，有C 33＝1种．第二类：A 直接发送给B ，C ，D 中的两处，再由其中一处通知第四处，有C 23·C 12＝6种．第三类：A 直接发送给B ，C ，D 中的一处，再由该处通知另两处，有C 13·(C 12＋1)＝9种．所以由A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有1＋6＋9＝16种． 14．2012年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．答案14解析 P ＝C 17×C 36·C 33A 22C 39·C 36·C 33A 33＝21C 39＝14.15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案 1解析 由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 24＝12，故Eξ＝0×12＋2×12＝1.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为________．答案 54000解析 用直接法：k ＝C 13C 15＋C 13C 25＋C 23C 15＝15＋30＋15＝60，x 4的系数为C 26k 2＝15×3600＝54000.17．为备战2012年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率． 解析 以该选手射击的频率近似估算概率．(1)射击一次击中8环以上的概率约为P ＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件P 1，则P 1＝0.2，一次射击命中9环为事件P 2，则P 2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(P 1)2＝0.04，两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为 P (B )＝C 12P 1P 2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18. 18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)；(2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．解析 (1)P (ξ＝0)＝C 03(12)3＝18；P (ξ＝1)＝C 13(12)3＝38；P (ξ＝2)＝C 23(12)3＝38；P (ξ＝3)＝C 33(12)3＝18. ξ的概率分布如下表：E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927.(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A ，“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B 1，“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.19．某农学院毕业生为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系，对一亩700棵高粱进行抽样调查，高度频数分布表如下：表1：红粒高粱频数分布表(2)估计这块地中高粱高(单位：cm)在[165,180)的概率；(3)在红粒高粱中，从高度(单位：cm)在[180,190)中任选3棵，设ξ表示所选3棵中高(单位：cm)在[180,185)的棵数，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)样本中红粒高粱为40棵，白粒高粱30棵，由抽样比例可得这亩地中红粒高粱棵数为400. 频率分布直方图如图所示：(2)由表1、表2可知，样本中高在[165,180)的棵数为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，样本容量为70，∴样本中高在[165,180)的频率f ＝4270＝35.(3)依题意知ξ的可能值为：1,2,3.∵P (ξ＝1)＝C 14C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.20．.李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解析 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×(12)3＋C 13×12×(12)2＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110，P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B (3，12)，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )<E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．21．某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到车站． 求：(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)该旅客候车时间的分布列； (3)该旅客候车时间的数学期望．解析 (1)第一班客车若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到第一班客车，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)该旅客候车时间的分布列为：(3)该旅客候车时间的数学期望为10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30. ∴该旅客候车时间的数学期望是30 min.22． 2011年12月25日某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品：点数之和小于8点的不得奖．求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)若该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a 的值．解析 (1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x ，y )，其中1≤x ，y ≤6，则获一等奖只有(6,6)一种可能，其概率为136；获二等奖有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)，共5种可能，其概率为536. 设事件A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则由(1)知P (A )＝C 13×136×(536)2＝2515552. (2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30－a ，－70,0,30，其分布列为：则Eξ＝(30－a )×136＋(－70)×536＋0×14＋30×712＝310－a36，由Eξ＝0，得a ＝310.1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________. 2． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.343．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( )A ．9局B ．11局C ．13局D ．18局4．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ＝( )A.827 B.1681 C.113 D.65815.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种6．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)＝x2－ηx－1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.7．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．(1)求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；(2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．8．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并n、a、p的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为邻队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.9．四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1).(1)求ξ的分布列与数学期望；(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3,4)中，若P(ξ＝2)的值最大，求a的取值范围．10．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ＝x＋y. (1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f(x)＝x2－ξx－1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________.答案 4 解析 令x ＝0，则有a 0＝n ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2n ＋1－2.又∵C n n ·10·x n ＝a n x n ，∴a n ＝1.∴29－n ＝2n ＋1－2－1－n ，则n ＝4.2． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 C 解析 从4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为4C 24＝23. 3．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( ) A ．9局 B ．11局 C ．13局 D ．18局答案 A 解析 由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为5＋6－2＝9. 4．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ＝( )A.827 B.1681 C.113 D.6581答案 C 解析 ξ＝1时，P 1＝C 04(13)4(23)0＝134，ξ＝2时，P 2＝C 14(13)3·23＝834， ξ＝3时，P 3＝C 24·(13)2·(23)2＝2434，ξ＝4时，P 4＝C 34(13)·(23)3＝3234， ξ＝5时，P 5＝C 44(23)4＝1634，Eξ＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113.5.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种答C 解抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处是指三次投掷骰子之和为12，第一颗骰子点数为1时，有2种方法；第一颗骰子点数为2时，有3种方法；第一颗骰子点数为3时，有4种方法；第一颗骰子点数为4时，有5种方法；第一颗骰子点数5时，有6种方法；第一颗骰子点数为6时，有5种方法，共有2＋3＋4＋5＋6＋5＝25(种)方法． 6．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f (x )＝x 2－ηx －1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ. 解析 (1)函数f (x )＝x 2－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有⎩⎨⎧f (4)<4f (6)>0即：⎩⎨⎧16－4η－1<036－6η－1>0，解得154<η<356，所以，η＝4或η＝5， 当η＝4时，P 1＝C 220＋C 110C 115C 250＝68245， 当η＝5时，P 2＝C 120C 115C 250＝1249， η＝4与η＝5为互斥事件，所以有一个发生的概率公式P ＝P 1＋P 2＝68245＋1249＝128245. (2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3.于是P (ξ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝27，P (ξ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 115C 120C 250＝2249， P (ξ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝1049，P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝349. 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：Eξ＝0×27＋1×2249＋2×1049＋3×349＝5149.7．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换． (1)求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；(2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．解析 (1)记A ＝{互换后中国馆恰有2个广东旅游团}，①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团为事件A 1的概率为P (A 1)＝C 12C 12C 14C 15＝15.②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件A 2的概率为P (A 2)＝C 12C 13C 14C 15＝310.又A ＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝15＋310＝12.∴互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为12.(2)设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 12C 13C 14C 15＝310，P (ξ＝2)＝12，P (ξ＝3)＝C 12C 12C 14C 15＝15，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝310×1＋12×2＋15×3＝1910.∴互换后中国馆内广东旅游团的期望为1910.8．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并n 、a 、p 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为邻队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .解析 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，∴高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，∴n ＝2000.2＝1000.由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1000×0.3＝300，∴p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为1000×0.15＝150，∴a ＝150×0.4＝60.(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，∴采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．∵随机变量X 服从超几何分布，∴P (X ＝0)＝C 012C 36C 318＝5204，P (X ＝1)＝C 112C 26C 318＝1568，P (X ＝2)＝C 212C 16C 318＝3368，P (X ＝3)＝C 312C 06C 318＝55204.∴随机变量X 的分布列为∴EX ＝0×5204＋1×1568＋2×3368＋3×55204＝2.9．四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a <1).(1)求ξ的分布列与数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3,4)中，若P (ξ＝2)的值最大，求a 的取值范围． 解 (1)P (ξ)是ξ个正面向上，4－ξ个背面向上的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 02(1－12)2C 02(1－a )2＝14(1－a )2，P (ξ＝1)＝C 12·12(1－12)C 02(1－a )2＋C 02(1－12)2C 12a (1－a )＝12(1－a )，P (ξ＝2)＝C 22·(12)2C 02(1－a )2＋C 12·12(1－12)C 12a (1－a )＋C 02(1－12)2C 22a 2＝14(1＋2a －2a 2)， P (ξ＝3)＝C 22(12)2C 12a (1－a )＋C 12·12(1－12)C 22a 2＝a 2，P (ξ＝4)＝C 22(12)2C 22a 2＝14a 2.∴ξ的分布列为 ξ的数学期望为Eξ＝0×14(1－a )2＋1×12(1－a )＋2×14×(1＋2a －2a 2)＋3×a 2＋4×14a 2＝2a ＋1.(2)∵0<a <1，∴P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)．则P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝14(1＋2a －2a 2)－1－a 2＝－14(2a 2－4a ＋1)≥0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝14(1＋2a －2a 2)－a 2＝－14(2a 2－1)≥0，由⎩⎨⎧2a 2－4a ＋1≤0，2a 2－1≤0，得222≤a ≤22，即a 的取值范围是[2－22，22]． 10．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记ξ＝x ＋y . (1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率． 解析 (1)由题知随机变量ξ的可能取值为2,3,4.从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C 24＝6. 当ξ＝2时，摸出的小球所标的数字为1、1，∴P (ξ＝2)＝16.当ξ＝4时，摸出的小球所标的数字为2、2，∴P (ξ＝4)＝16.∴可知当ξ＝3时，P (ξ＝3)＝1－16－16＝23，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝2×16＋3×23＋4×16＝3.(2)∵函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点，∴f (2)f (3)＜0，即(3－2ξ)(8－3ξ)＜0， ∴32＜ξ＜83，且ξ的所有可能取值为2、3、4， ∴ξ＝2，∴P (A )＝P (ξ＝2)＝16，∴事件A 发生的概率为16.。
