第八讲 幂函数与函数的零点

幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。

在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。

系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。

指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。

当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。

当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。

2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。

3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。

4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。

5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。

6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。

以上是幂函数的定义及性质的介绍。

幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。

通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。

(一)知识内容1、幂的有关概念正整数指数幂：...()n na a a a n N =∈零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：1(0,)p pa a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：0,,,1)m na a m n N n =>∈>且例题精讲高考要求幂函数和零点及 函数的应用板块一：幂函数的概念负分数指数幂的意义是：10,,,1)m nm naa m n N n a-==>∈>且(1)幂函数的定义一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数(我们只讨论a 是有理数的情况).(2)幂函数的图象幂函数a y x =当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当12,1,2a =---时的图象见右图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：(3)幂函数的性质a y x =有下列性质：(1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x ≥0或者x ＞0的时候.(4)幂函数的奇偶性函数*()n y x n =∈N 的定义域为R ,定义域关于原点对称,且()()()()()()()n nxn f x n f x xn f x n ⎧⎧--⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数所以当n 为奇数时函数是奇函数,n 为偶数时函数是偶函数.【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性.(二)典例分析【例1】 函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数.【例2】 求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【例3】 已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小．【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a y b b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <.由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >.综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决.【例4】 已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值， 且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<； 当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解 当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <- 综上可知a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-⋃.(一) 主要知识：函数的应用是学习函数的主要目的之一.本讲内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给我们呈现了研究一个问题完整的思路和方法.本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系.在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用.函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用.一、零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点.二、函数零点的意义：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0实数根，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.即方程f (x )=0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.三、零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )＜0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 就是板块二：函数的零点方程f(x)=0的根.【说明】这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值.四、二次函数零点的判定1.二次函数零点的判定二次函数2=++的零点个数，方程20y ax bx c++=的实根个数见下表.ax bx c2.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.3.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.(二)典例分析：1.函数的零点的概念【例5】画出函数3=-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，f x x x()231(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这1.5101.50f-<，()10f->，即()()个函数在区间()--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，1.5,1()10, 1.5-∞-和(1，+∞)f x在定义域()f=，所以1也是它的零点.由于函数()内是增函数，所以它共有3个零点.．【例6】 求函数3222y x x x =--+的零点，并画出它的图象. 【解析】 因为32222(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x =--+=---=--+所以函数的零点为-1，1，2⑵ ∵定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称． 3个零点把x 轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞). 在这四个区间内，取x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【例7】 已知m ∈R ，函数f (x )=m (x 2-1)+x -a 恒有零点，求实数a 的取值范围，()f x 是奇函数？【解析】 (1)当m =0时，f (x )=x -a =0解得x =a 恒有解，此时a ∈R ；．(2)当m ≠0时，∵ f (x )=0，即mx 2+x -m -a =0恒有解，∴ △1=1+4m 2+4am ≥0恒成立，令g (m )=4m 2+4am +1， ∵g (m )≥0恒成立，∴Δ2=16a 2-16≤0，解得-1≤a ≤1, 综上所述知，当m =0时，a ∈R ；当m ≠0时，-1≤a ≤1.2.二次方程根的分布【例8】 方程x 2+(m -2)x +5-m =0的两根都大于2，求实数a 的取值范围 【解析】 令f (x )= x 2+(m -2)x +5-m ，要使f (x )=0的两根都大于2，则应满足2(2)4(5)0(2)0222m m f m ⎧⎪=---⎪>⎨⎪-⎪>⎩Δ≥解得216042(2)502m m m m ⎧-⎪+-+->⎨⎪<-⎩≥ ∴4452m m m m -⎧⎪>-⎨⎪<-⎩≥或≤即-5＜m ≤-4. 3. 一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 【例9】 若方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 的根都为正数，求m 的取值范围.【解析】 (1)当此方程为一次方程时，即m =1时，方程的根为104x =>，满足题意 (2)当m ≠1时，依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，解得0＜m ＜1综上，m 的取值范围是(0,1].【变式】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围.【解析】 由题意，k ≠0，∴2(3)4(3)03030k k k k k k k⎧⎪∆=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩解得512-≤k 或k ＞3.4. 一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布(即1x ，2x 相对于k 的位置)有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042如图所示：【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042. 如图所示：【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af .如图所示：推论1 210x x <<⇔0<ac .推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f如图所示：【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b如图所示：【例10】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.【解析】 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0＜－m ＜1是因为对称轴x =-m 应在区间(0，1)内通过)【变式】 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围.【解析】 法一原方程等价于2220020863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩…………令()f x =2x +12x +6a +3(1)若抛物线y =()f x 与x 轴相切， 有Δ=144－4(6a +3)=0即a =112. 将a =112代入式②有x =－6不满足式①，∴a ≠112. (2)若抛物线y =()f x 与x 轴相交， 注意到其对称轴为x =－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是：(20)0(0)0f f -≥⎧⎨<⎩解得163162a -<-≤. ∴当163162a -<-≤时原方程有唯一解.法二原方程等价于2x +20x =8x －6a －3(x ＜－20或x >0)③ 问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x －6a －3与抛物线y =2x +20x (x ＜－20或x >0)有且只有一个公共点.虽然两个函数图象都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2x +12x +3=－6a (x ＜－20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y =2x +12x +3和直线y =－6a ， 如图，显然当3＜－6a ≤163，163162a -≤<-时， 直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点.【例11】 若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求区间[a ，b ].【解析】 f (x)的最大值只能是13(0)2f =，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令min 2y a =，且max 2y b =，即可得关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值.当a 值由负值增大到正值时，区间[a ，b]在x 轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间[a ，b]的位置分类求解. f(x)图象顶点坐标为13(0,)2，2113()22f a a =-+，2113()22f b b =-+. （1）当a<b<0时，由f(x)在[a ，b]上单调递增得，f(a)=2a ，且f(b)=2b ，即221132,221132.22a ab b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩于是a 、b 是二次方程21132022x x +-=的两个负根，但此方程两根异号，故区间[a ，b]不存在 （2）当a<0<b 时，f(x)在[a ，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，因而f(x)在x=0处取得最大值，在区间端点x=a 或x=b 处取得最小值，即1313(0)224()()20.f b b f a f b a ⎧===⎪⎨⎪=<⎩即或则2131131339()()()24214232f b f a ==-+=≠，∴2113()222f a a a =-+=，解得2a =-13[2]4-.（3）当b>a ≥0时由f(x)在[a ，b]上单调递减得，f(a)=2b ，且f(b)=2a ，即221132,221132.22a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得13a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩（舍去），即得区间[1，3].综上所述，所求区间为[1，3]或13[2]4-1．复合函数的奇偶性、单调性和周期性注：⑴“周期性”中的“周期”在本表中不一定是最小正周期；⑵可以用“内偶则偶，内奇则外”和“相同则增，不同则减”记忆奇偶性和单调性．2．函数的四则运算结果的周期性一般来说，设函数()f x 和函数()g x 的周期分别是1T 和2T ，如果存在T ，使得12T mT nT ==(m 、n 为非零整数)，则T 是函数()f x 和函数()g x 的和、差、积以及商的周期．<教师备案>已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论？分析 结合偶函数的图象特征可得：偶函数函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 在(,0)-∞上是增函数．对奇函数有，在对应的区间上的单调性相同．证明 设120x x <<，则120x x ->->，由()f x 在(0,)+∞上是减函数得：12()()f x f x -<-， 又()f x 是偶函数，故12()()f x f x <， 所以，()f x 在(,0)-∞上是增函数．【例12】 讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性． 【解析】 设1211x x -<<<，则22121221211212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-==------， ∵1211x x -<<<，∴210x x ->，且22121210,10,10x x x x -<-<+>∴12()()f x f x > 函数2()1xf x x =-在(1,1)-上单调递减．【例13】 设21()(,,Z)ax f x a b c bx c+=∈+是奇函数，且有(1)2f =，2(2)3f <<成立．⑴ 求,,a b c 的值；板块三：函数性质应用⑵ 用定义证明()f x 在(1,0)-上是减函数．【解析】 ⑴ ∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，即2211ax ax bx c bx c++=--++∴0c = 又由(1)2f =得21a b =-；由2(2)3f <<得41232a b+<< 将21a b =-代入上面的不等式得：83232b b-<<， 化简得：302304b b b b ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩3342b ⇒<<， ∴1,1b a ==． 故21()x f x x+=；⑵ 设1210x x -<<<，则2212121212121211()(1)()()0x x x x x x f x f x x x x x ++---=-=>，∴12()()f x f x >，()f x 在(1,0)-上是减函数． <教师备案>此函数即“对勾函数”——1()f x x x=+，因为其图象的形状，又常称为或“Nike函数”，它的一般形式为：(0)ky x k x=+>是高中阶段很常见，应用非常广泛的一类函数，这是一个奇函数，其单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(0)和(0,，(注意不能写成并集)可以通过单调函数的定义在定义域内任取两点，通过比较它们的函数值的大小进行证明．【例14】 已知x ，y 为实数，且满足33(1)2007(1)1(1)2007(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，求x y +的值． 【解析】 初中解法：令1a x =-，1b y =-，则原方程组为332007120071a a b b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②①+②得：332007()0a b a b +++=化简得：22()()2007()0a b a ab b a b +-+++= 即22()(2007)0a b a ab b +-++=由22221320072007024a ab b a b b ⎛⎫-++=-++> ⎪⎝⎭因此有0a b +=，即110x y -+-=， ∴2x y +=高中解法：由已知条件，可得3(1)2007(1)1x x -+-=- 3(1)2007(1)1y y -+-=-若设3()2007f t t t =+则上述条件即为(1)(1)1f x f y -=-=-又易知函数3()2007f t t t =+在R 上是增函数， ∴由上式11x y -=-，解得：2x y +=【例15】 判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．【解析】 ⑴奇函数； ⑵偶函数； ⑶奇函数； ⑷非奇非偶函数．【例16】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．【解析】 ⑴ 函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞∵222222221(1)1()()1(1)1x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ++⋅+-====---⋅- ∴函数221()1xxa f x a +=-为奇函数；⑵ 由1010x x -⎧⎨-⎩≥≥，得1x =，∴函数的定义域为{1}．由于函数的定义域不关于原点对称，∴()f x =为非奇非偶的函数．⑶ 函数的定义域为R ，且22()()5||5||()f x x x x x f x -=-+-=+= ∴函数2()5||f x x x =+为偶函数．【例17】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【解析】 设0x <，则0x ->∵()(1)f x x x -=-+及()()f x f x -=-∴()(1)f x x x =+ 当0x =时，(0)0f =．∴函数的解析式为(1)()0(1)x x f x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩(0)(0)(0)x x x <=>【例18】 已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有()()()f x y f x f y +=+．⑴求证：函数()f x 是奇函数； ⑵ 若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ．【解析】 ⑴ 令0x y ==得(0)0f =．再令y x =-得()()f x f x -=-∴函数()f x 是奇函数；⑵ ∵(3)f a -=，∴(3)(3)f f a =--=-，∴(24)(333)8(3)8f f f a =+++==-．<教师备案>若本题两问学生轻松做出可适当加大难度，题干不变，可增加一问⑶ 如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．解：设21x x >，则210x x ->，且21()0f x x -< 21211211()()()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-<∴函数()f x 为减函数．∴max (2)(2)2(1)1y f f f =-=-=-=，min (6)3(2)3y f f ===-．【例19】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间． 【解析】 将此函数写成分段函数的形式得：22(,0](1,)(0,1]x x x y x xx ⎧-∈-∞+∞⎪=⎨-∈⎪⎩，如图的实线部分是此函数的图象．由图象可知，此函数的递增区间为1(0,]2及(1,)+∞，递减区间为(,0]-∞及]1(,12．<教师备案>一般地，当函数()y f x =恒满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)时，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．【例20】 定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，如果这个函数在[1,2]上是增函数，则在[1,0]-上函数()f x 是( )A ．增函数B ．在1[1,]2--是减函数，在1[,0]2-上是增函数C ．减函数D ．在1[1,]2--是增函数，在1[,0]2-上是减函数【解析】 ∵()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．又()f x 在[1,2]上是增函数∴()y f x =在[0,1]是减函数 又()f x 是偶函数∴()y f x =在[1,0]-是增函数．故选A ．【例21】 已知函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____【解析】 因为此函数的图象关于2x =对称，所以它与x 轴的交点也关于直线2x =对称，交点的横坐标对应方程的根，从而两根之和为4．本讲涉及函数在数学内部的应用.大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用.课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处.函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质和相关知识，为函数的应用提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新.(一) 主要知识：1.函数定义域、图象、单调性质等知识；2.函数的值域、最值等知识.3.具体函数模型的性质和图象知识.(二)主要方法：一. 解答应用问题时，首先应进行严密地思考和深刻的分析综合，再将问题中的数量关系找出来，并联系实际问题建立相应的数学模型，转化为数学问题来 解决，注意实际问题中对自变量取值范围的限制.二. 解决应用性问题的一般步骤为：()1审题；()2建模；()3求解；()4作答． 我们可以用示意图表示为：(三)典例分析：1．函数在方程中的运用板块四：函数实际应用函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.【例22】 试判断方程22xx -+=【解析】 本题是一个超越方程，对这类方程用解方程的办法无法求出方程的解.可以构造函数，直接用数形结合看图象来得出结论令2x y -=，2y x =-+ 可以很明显的看到图象有两个交点.所以原方程的实数解的个数为2个.【变式】 试判断方程2|9|2x a -=+实根的个数.【解析】 本题利用先去根号，在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做，但步骤较繁复，而且容易出错，不如利用函数的图象简单明了.令2|9|y x =-，2y a =+，如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象：由图可知：当29a +>，即7a >时，函数有两个交点，即方程有2个实根； 当29a +=，即7a =时，函数有3个交点，即方程有3个实根； 当029a <+<，即27a -<<时，函数有4个交点，即方程有4个实根； 当20a +=，即2a =-时，函数有2个交点，即方程有2个实根； 当20a +<，即2a <-时，函数没有交点，即方程没有实数根；综上所述：当27a -<<时，方程有4个实根；当7a =时，方程有3个实根；当7a >或2a =-时，方程有2个实根；当2a <-时，方程没有实根.【例23】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++的值是( )A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】 B ．由函数()f x 的像关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，中心对称可知，3()2f x fx ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭． 又3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则3322f x f x ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()3333()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以，()f x 是以3为周期的偶函数． 从而，(1)(1)1f f =-=， (2)(13)(1)1f f f =-+=-=， (3)(0)2f f ==-．故(1)(2)(2006)f f f +++668((1)(2)(3))(2005)(2006)f f f f f =++++ (2005)(2006)(1)(2)2f f f f =+=+=．*2．函数在不等式中的运用(本部分内容对于新生可能较难，可以视情况而定)函数在不等式中的应用主要是：构造函数，利用函数的单调性证明不等式；构造函数，根据函数图象在另一函数图象的上方来解不等式；构造函数，讨论不等式的解的存在性.. 【例24】 设12,,a a …，n a 都是正数，证明对任意的正整数n ，下面的不等式成立：22221212()()n n a a a n a a a +++≤+++【解析】 将题目所给的数构造成函数的系数，我们发现212()n a a a +++和22212()n n a a a +++有2b 和ac 的样子，那么就将22212n a a a +++令为二次项的系数，2122()n a a a +++令为一次项系数，我们发现恰好能够配方成一个完全平方和的式子，那么显然其判别式小于等于0，问题得证.令22221212()2()n n y a a a x a a a x n =++++++++，则22222211212()2()(1)(1)(1)0n n n y a a x a a a x n a x a x a x =+++++++=++++++≥即函数()y f x =的函数图象开口向上且与x 轴相切或不相交. ∴222212124()4()0n n a a a n a a a ∆=+++-+++≤即22221212()()n n a a a n a a a +++≤+++【点评】这是一个基本的不等式，如果利用数学归纳法和不等式定理当然可以证明，但是这里我们借助函数的判别式，采取了另一种非常巧妙的方法来处理，避免了很多无谓的计算过程，本题构造的函数，利用根的判别式构造的十分巧妙，不太容易想出来.由此可见，利用函数解题最重要的是构造合适函数，函数构造的越好，解题就越容易.【例25】 解不等式|21|x -≤【解析】 此不等式当然两边平方可用，但是利用图象来处理也是非常简便的，令|21|y x =-，y =.令|21|y x =-，y =函数|21|y x =-的图象比较容易画出，而y =12y x =平移缩放等等变化得来的，可以不同考虑怎样平移缩放，因为函数y =12y x =的图象相似，只要找函数y =就可以准确无误的画出来.如下图：由上图可以看出，原不等式的解集为3{0}2x ≤≤.3．基本函数模型问题【例26】 一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以每秒3cm V 的速度向容器内注入一种溶液，求出容器内溶液高度y 与注入时间x (s )的函数关系及其定义域【例27】 某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电荷量为a kW ·h ，本年度计划将电价降到0.55元/ kW ·h 至0.75元/ kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/ kW ·h .经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/ kW ·h .(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k =0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20% (注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？【解析】 (1)∵0.55≤x ≤0.75，∴下调电价后新增的用电荷量为0.4kx -∴本年度用电荷量为0.4ka x +-∵受益＝实际用电量×(实际电价－成本价)，∴()(0.3)0.4ky a x x =+--(2)0.2k a =，∴0.2()(0.3)()(0.3)0.40.4k ay a x a x x x =+-=+---上年受益＝(0.80.3)a -，∴0.2()(0.3)(0.80.3)(120%)0.4ay a x a x =+-≥-+- 解得0.6x ≥ [0.55,0.75]∈ 即最低电价应定为0.6元/ kW h . 答：关系式为()(0.3)0.4ky a x x =+--，最低电价为0.6元/ kW h . 【例28】 某农场新开垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产值如下表：问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？50111202341100750600x y z x y z W x y z ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪=++⎩①②③由①和②可得,y z 用x 表示的形式，903240y x z x =-⎧⎨=-⎩代入③，可得：W=50x+43500 ④∵0,0y z ≥≥，∴2030x ≤≤，即当30x =时，max 45000W =. 9030y x =-=；24020z x =-=答：种植蔬菜30亩、水稻20亩，总产值最高，且可达到45000元.【例29】 某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？【解析】 设此商品每个售价为x 元，日利润为y 元，则：当x ≥18时：[605(18)](10)y x x =---25(20)500x =--+ 即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；当0＜x ≤18时：[6010(18)](10)y x x =+--210(17)490x =--+ 此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元. 答：定价为20元可获日最大利润.【例30】 某镇自来水厂，蓄水池原有水650t ，一天中在向水池中注水的同时蓄水池又向居民供水，(024)xh x ≤≤内向居民总供水.(1)当每小时向水池注水120t 时，一天中合适蓄水池中水量最少.(2)若蓄水池中水量少于170t ，就会出现供水紧张现象，问每小时向水池中注水多少吨，一天中才不会出现供水紧张现象？【解析】 由题意可得水量：650120y x =+-650120x =+-，配方后求得当5u =u =)，即256x =时，水量最少，为150t ；设每小时向水池中注水bt ，则由题意可得：650170bx +-，求解该不等式即可. (1)由题意可得水量：650120y x =+-650120x =+-u ，则原式等于2226502020020(10)65020(5)150y u u u u u =+-=-+=-+024x ≤≤，∴012u =≤∴当5u =，即256x =时，水量最少，为150t . (2)设每小时向水池中注水bt ，则由题意可得：650170bx +-，即650170bx +-，u ，则原式可化为：22006501706bu u -+≥即220048006bu u -+≥对一切[0,12]u ∈都成立. 即2600012(200)448006b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪∆=-≤⎪⎩或60012(12)0b f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩综合上不等式组可解得125b ≥答：在每天4时10分水量最少，每小时向水池中注水125吨可保证一天中不会出现供水紧张.【例31】 一批发兼零售的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，而少于51支则按零售价计算，批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔，若给全班每人买一支，则必须按零售价结算，需支付m 元(m 为整数)，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是支付m 元，问该班有多少学生？【解析】 设出班级人数为x ，那么第一种购买方式可得出零售价为mx，而第二种购买方式可知批发价为10mx +，通过批发价每购60支比零售价60支少付1元可得到二者的差价等式11060m m x x -=+，从而可解出单价x. 设全班有学生x 人，由题意可得40＜x ≤50.则铅笔的零售价为mx元，批发价为10mx +，则11060m mx x-=+，整理可得2106000x x m+-=解得：5x=-40550<-+又∵25+600m为完全平方数.综合可解得m=5，∴x=50.经检验，m=5，x=50是方程的解.答：该班共有学生50人.【例32】（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.【解析】(1)268 06002680.45(600) 600tyt t≤≤⎧=⎨+⨯->⎩（2）当0≤t≤600时，解不等式50+0.4t≥268，得545≤t≤600（t∈N），当t>600时，解不等式50+0.4t≥268+0.45(t-600)，得600<t≤1040(t∈N)，综上，545≤t≤1040时（t∈N），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱. （3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4×320），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.第一种方式的话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；第二种方式的话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）；第三种方式的话费为：168元. 故选择第三种方式.事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.【例33】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a 海里时，每小时所耗燃料费为b 元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c 元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d 海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k ，则：2b ka =，2bk a = 设航速为每小时x 海里使最省，则：航行的总费用为22b d dS x ca x x=+当2bd cd x a x =，即x =时取最小值.习题1. 函数()f x =a 的取值范围是( )．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【解析】 D ．充分性．若0a >，则()f x 的定义域为[0)(0]a a -，，．这时()fx =，显然为奇函数．必要性，若()f x =是奇函数，则0a ≠(否则，()f x 的定义域为空集)．由()()f x f x -=-，得 =．课后作业。

幂函数知识点总结一、幂函数的基本概念1.1 定义幂函数是指以自变量 x 为底数的常数次幂，形式为 y = ax^n，其中 a 为非零实数，n 为实数。

其中，底数 a 称为幂函数的底数，指数 n 称为幂函数的指数。

1.2 定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集 R，即 x 可以取任意实数值；而值域则受底数 a 和指数 n 的影响而不同。

当 n 为正数时，值域为全体正实数集 R^+；当 n 为负数时，值域为正实数集R^+，并且x ≠ 0；当 n 为零时，值域为全体实数集 R。

1.3 奇偶性当指数 n 为偶数时，幂函数关于 y 轴对称；当指数 n 为奇数时，幂函数关于原点对称。

1.4 增减性当指数 n 大于 1 时，幂函数在定义域上是增函数；当指数 n 大于 0 且小于 1 时，幂函数在定义域上是减函数。

二、幂函数图像的特点2.1 当底数 a 大于 1 时当底数 a 大于 1 时，幂函数的值域为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势。

2.2 当底数 0 < a < 1 时当底数 0 < a < 1 时，幂函数的值域同样为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于 0 的趋势。

2.3 当底数 a 小于 0 时当底数 a 小于 0 时，则根据指数 n 的奇偶性和正负性来确定图像的性质。

当指数 n 为正偶数时，图像同样呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势；当指数 n 为正奇数时，图像同样呈现从左上方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于负无穷的趋势。

2.4 特殊情况当底数 a 等于 1 时，幂函数的图像表现为一条平行于 x 轴的直线 y = 1；当底数 a 等于 -1 时，根据指数 n 的奇偶性不同，图像分别为一条平行于 x 轴的直线 y = -1 和关于 y 轴对称的抛物线。

幂函数函数知识点归纳总结《幂函数函数知识点归纳总结：嘿，这可真有趣！》嘿，各位小伙伴们！今天咱来唠唠幂函数这个神奇的玩意儿，那可是高中数学里特别重要的一部分啊！咱先说说啥是幂函数。

简单说呢，就是那种形式像是y = x^a 的家伙，这里的a 可是个关键角色。

就好比是给x 披上不同的“外衣”，让它变得有了各种不同的性格。

这幂函数啊，有那么几个关键点得记牢。

首先就是幂指数a，它要是正数呢，那图像就雄赳赳气昂昂地往上走，越来越高。

要是负数呢，图像就垂头丧气地往下走，还会和坐标轴玩“暧昧”，怎么都不肯远离。

然后呢，当a 是奇数时，图像就是个对称美，左边右边都长得一样。

就像照镜子，这对称得让人看着就舒服。

嘿，你别说，学幂函数的时候还有些好玩的事儿。

有一次，我在做题，看到一个幂函数图像，怎么看都觉得它像个调皮的小鬼在那扭来扭去，还冲我做鬼脸呢！不过，咱可不能被它吓住，得找到它的规律，把它给收服喽。

还有啊，幂函数的性质也很有意思。

比如它的定义域，有时候是全体实数，有时候又得避开一些数，就像走在路上得避开那些坑坑洼洼的地方一样。

值域呢，也会跟着幂指数变来变去，一会儿大，一会儿小。

学习幂函数的时候，我还经常和同学们一起讨论，你一言我一语的，就像在开一场热闹的派对。

有时候会为了一个小问题争得面红耳赤，但最后搞清楚了，那感觉真是爽歪歪！就好像解开了一个大大的谜团，心里特别有成就感。

总之呢，幂函数知识点虽然有些让人头疼，但也有很多有趣的地方。

只要咱认真学，多做题，多和它“打交道”，就一定能把它拿下！把幂函数这个家伙彻底收服，让它为我们的数学之路增添一份乐趣和挑战。

小伙伴们，加油吧！让我们在幂函数的世界里尽情遨游，探索更多的奥秘！。

第08讲：幂函数期末高频考点突破高频考点梳理考点一：.幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较考点二：五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．高频题型归纳题型一：幂函数的定义1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（ ）A ．2B ．16C ．12D ．1162．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数()122()44a f x a a x -=--在(0,)+∞上单调递增，则=a （ ）A ．1B ．6C ．2D ．1-3．（2022·江苏淮安·高一期末）已知函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，则函数g （x ）=log a （x -m ）+1（a >0，且a ≠1）的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（0，2） C ．（1，2）D ．（-1，2）题型二：幂函数的定点和图像问题4．（2021·山东滨州·高一期末）已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则（ ）A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．d b c a >>>D ．>>>c b d a5．（2020·浙江杭州·高一期末）给出幂函数：∈ ()f x x =；∈2()f x x =；∈3()f x x =；∈ ()f x =∈1()f x x=.其中满足条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±题型三：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）7．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--8．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，， D ．(14)-，9．（2022·四川凉山·高一期末）设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c <<D ．b a c <<题型四：幂函数的奇偶性问题10．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数()1()31xmf x m R =+∈+为奇函数，则下列叙述错误的是（ ） A ．2m =- B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数 C ．()(1,1)f x ∈-D ．函数13()()F x f x x =-所有零点之和大于零11．（2020·四川凉山·高一期末）下列函数中在区间()0,∞+上是减函数，并且在定义域上为偶函数的是（ ）A ．25y x -=B ．52y x -=C ．52y x =D ．25y x =12．（2019·陕西渭南·高一期末）已知幂函数()f x x α=的图像过点，则下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 B ．()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减题型五：幂函数的综合问题13．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.14．（2021·上海中学高一期末）已知幂函数()()232Z m m f x x m +-=∈的图像关于y 轴对称，且(2)(3)f f <．(1)求m 的值；(2)已知()log (()3)a g x af x x =-（0a >且1a ≠）在区间[2,3]上是严格增函数，求实数a 的取值范围．15．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =+yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.16．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知幂函数()()22421mm g x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，设函数()()()10g x f x x x-=≠. (1)求m 的值； (2)若函数()()lg 21y g x ax =-+的值域为R ，求a 的取值范围；(3)方程()2213021xxf k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.17．（2022·四川巴中·高一期末）已知()()21af x a a x =--（a 是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．(1)讨论()()22f x xg x x++=在区间()0,∞+的单调性，并证之；(2)求不等式()()22mf x m x >+-的解集．参考答案：1．D【分析】根据题意列出方程组，求得m 的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.【详解】由题意得23111m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()2f x x -=，故()1416f =, 故选：D 2．D【分析】根据幂函数的系数等于1，以及x 的指数位置大于0即可求解. 【详解】∈幂函数()122()44a f x a a x-=--在(0,)+∞上单调递增，∈2441102⎧--=⎪⎨->⎪⎩a a a ，解得1a =-， 故选：D ． 3．A【分析】根据幂函数的定义，结合对数函数的性质进行求解即可. 【详解】解：∈函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数， ∈3m -2=1，∈m =1， ∈g （x ）=log a （x -1）+1，令x -1=1得x =2，此时g （2）=log a 1+1=1， ∈函数g （x ）的图象所过定点P 的坐标是（2，1）， 故选：A ． 4．B【解析】取2x =，结合图象得出2222d a c b <<<，最后由指数函数的性质得出大小关系. 【详解】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<< 故选：B 5．A【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答． 【详解】如图，只有上凸函数才满足题中条件，在第一象限内，函数 ()f x x =是一条直线，函数2()f x x =，3()f x x =和1()f x x=的图像是凹形曲线，而函数 ()f x =∈满足，其他4个都不满足.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示的是上凸函数，所以准确理解121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示的几何意义是解答本题的关键. 6．B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b bf b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()2g b =，即212b =，解得：b = 故选：B. 7．A【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A. 8．B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增， 由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∈2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B 9．B【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c<a<b .故选：B 10．D【分析】根据()f x 是奇函数，求得参数m 的值，再求该函数的单调性、值域、以及零点，即可求得判断和选择.【详解】因为()1()31x mf x m R =+∈+为奇函数，且其定义域为R ，故()00=f ， 即102m+=，解得2m =-，又当2m =-时，()2131x f x =-+，因为()()22131122031313131x x x x x f x f x -⎛⎫+-=-+-=-+= ⎪++++⎝⎭， 又()f x 定义域为R ，故()f x 为R 上的奇函数，故A 正确；因为3x y =是单调增函数，231xy =+为单调减函数，故()f x 为单调增函数，故B 正确； 又()2131x f x =-+，30x >，则()()()2311,0,2,1,131xxf x +>∈∈-+，故C 正确； 又13y x =的定义域为R ，且为奇函数，()f x 也为奇函数，故()F x 的零点之和为零，故D 错误； 综上所述，正确的是ABC . 故选：D . 11．A【解析】将各选项中的幂函数的解析式化为根式，进而判断各幂函数的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，幂函数25y x -==在区间()0,∞+上是减函数，在定义域上为偶函数；对于B 选项，幂函数52y x-==()0,∞+上是减函数，在定义域上为非奇非偶函数；对于C 选项，幂函数52y x ==()0,∞+上是增函数，在定义域上是非奇非偶函数；对于D 选项，幂函数25y x ==()0,∞+上是增函数，在定义域上是偶函数. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数单调性与奇偶性的判断，解题时要将分数指数幂化为根式，考查推理能力，属于基础题. 12．C【分析】求出幂函数的解析式，从而判断函数的奇偶性和单调性，得出正确选项．【详解】∈幂函数y ＝x α的图象过点（2，=2α，解得α12=，故f （x ）=故f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数， 故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式，求解析式常用待定系数法，考查函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．13．(1)()2f x x =(2)(,1)-∞-【分析】（1）根据幂函数的定义可得22531m m -+=，结合幂函数的定义域可确定m 的值，即得函数解析式;（2）将()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立转化为函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．【详解】（1）∈()f x 是幂函数，∈22531m m -+=，∈12m =或2. 当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ，∈m ＝2,∈()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0. ∈()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∈()()min 11g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-，∈实数k 的取值范围是(,1)-∞-. 14．(1)1(2)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据(2)(3)f f <得到2320m m +->，再结合m ∈Z 得到0m =或1m =，最后利用对称性得到1m =；（2）根据复合函数的单调性分1a >和01a <<两种情况讨论求a 的范围即可.【详解】（1）由(2)(3)f f <，知2320m m +->，得312m -<<，又m ∈Z ， 所以0m =或1m =，当0m =时，3()f x x =，图像不关于y 轴对称，舍； 当1m =时，2()f x x =，图像关于y 轴对称， 所以m 的值为1，2()f x x =；（2）2()log (3)a g x ax x =-，由复合函数的单调性，知∈1a >时，23ax x -严格增，且2min (3)0ax x ->，所以322a≤且460a ->， 解得32a >， ∈01a <<时，23ax x -严格减，且2min (3)0ax x ->， 所以332a≥且990a ->，无解， 综上，实数a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．15．(1)0,()f x x =；(2)112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解； （2）由（1），得()g x x =，利用换元法得到21()2t g t t -=+，t ⎡∈⎣，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. （2）由（1）知，()f x x =，所以()()g x f x x ==+令t =212t x -=，11,0123,02x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，2max 1()122g t g ===所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解得15t -≤≤． 41．(1)0(2){1a a ≥或}1a ≤- (3)()0,∞+【分析】（1）根据幂函数的定义可得答案； （2）根据对数复合函数的值域可得答案； （3）原方程化为()()2213221210x x k k --+-++=，令21x t =-，可得()232210t k t k -+++=有两个实数解1t ，2t ，原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记()()23221h x t k t k =-+++，结合二次函数根的分布可得答案. (1)因为幂函数()()22421mm g x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m =. (2)由（1）()2g x x =，()2lg 21y x ax =-+的值域R ，Δ0≥即2440a -≥， 得1a ≥或1a ≤-，所以{1a a ≥或}1a ≤-； (3)原方程化为()()2213221210x x k k --+-++=，令21x t =-，则()0,t ∈+∞，()232210t k t k -+++=有两个实数解1t ，2t ，原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记()()23221h x t k t k =-+++，则()()0210 10⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩h k h k ，解得0k >， 或()()0210 1032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解. 综上k 的取值范围是()0,+∞.43．(1)()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增；证明见解析.(2)答案见解析.【分析】(1)由()f x 为幂函数，求出其解析式，得到()g x 的解析式，再由定义法得到其单调性.(2)由题意即求解不等式()2220mx m x -++>，分0,0,0m m m >=<三种情况进行分类讨论求解即可.(1)由()()21af x a a x =--（a 是常数）为幂函数，则211a a --=，解得2a =或1a =-当1a =-时，()11x xf x -==在第一象限单调递减，不满足条件.11 当2a =时，()2f x x =，满足在第一象限单调递增 所以()2f x x =，则()()2222222f x x x x g x x x x x ++++===++()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增. 证明：任取()12,0,x x ∈+∞，且设12x x <则()()2121212222g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+⎪⎝⎭()()1221211212221x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-⋅⎪⎝⎭由()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则120x x >，210x x ->当(12,x x ∈时，122x x <，则1220x x -<，则()()210g x g x -<即(12,x x ∈时，()()21g x g x <，所以()g x 单调递减.当)12,x x ∈+∞时，122x x >，则1220x x ->，则()()210g x g x ->即)12,x x ∈+∞时，()()21g x g x >，所以()g x 单调递增. 所以()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增.(2)不等式()()22mf x m x >+-，即()2220mx m x -++> （1）当0m =时，即220x -<，则1x <.当0m ≠时，不等式()2220mx m x -++>可化为：()()210mx x --> （2）当0m <，由不等式()()210mx x -->可得21x m <<（3）当0m >时，若m>2，则21m <，由()()210mx x -->可得1x >或2x m< 若2m =，则不等式()()210mx x -->化为()210x ->，则1x ≠ 若02m <<，则21m >，由()()210mx x -->可得1x <或2x m >综上所述：当m>2时，不等式的解集为1x x ⎧⎨⎩或2x m ⎫<⎬⎭当2m =时，不等式的解集为{}|1x x ≠当02m <<时，不等式的解集为|1x x ⎧<⎨⎩或2x m ⎫>⎬⎭当0m =时，不等式的解集为{}|1x x <当0m <时，不等式的解集为2|1x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。

根据幂函数知识点总结归纳
幂函数是数学中的一种特殊函数形式，定义为 f(x) = x^a，其中a 可以是实数。

以下是幂函数的基本特点和性质的总结：
1. 幂函数的定义域是所有实数集，即幂函数可以在整个实数轴上取值。

2. 幂函数的导数可以通过幂函数的定义和导数的基本性质计算得出。

对于 f(x) = x^a，在定义域内对 x 求导，得到导数 f'(x) =
a*x^(a-1)。

3. 幂函数的图像特点与指数 a 的正负相关。

当 a > 0 时，幂函数的图像是递增的，趋近于正无穷；当 a < 0 时，幂函数的图像是递减的，趋近于零。

4. 幂函数在 x = 0 处的取值与指数 a 的奇偶性相关。

当 a 是奇数时，幂函数在 x = 0 处取值为 0；当 a 是偶数且 a > 0 时，幂函数在 x = 0 处取值为正。

5. 当 a = 1 时，幂函数成为恒等函数，即 f(x) = x。

此时幂函数的图像为一条直线，斜率为 1。

6. 幂函数之间可以进行基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。

幂函数的加法运算为 f(x) + g(x) = x^a + x^b；减法运算为 f(x) - g(x) = x^a - x^b；乘法运算为 f(x) * g(x) = (x^a) * (x^b) = x^(a+b)；除法运算为 f(x) / g(x) = (x^a) / (x^b) = x^(a-b)。

以上是对幂函数知识点的简单总结归纳。

幂函数在数学中具有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

幂函数的定义与性质幂函数是一类基本的数学函数，它的定义形式是f(x) = ax^k，其中a和k是常数，且a不等于零。

幂函数在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是在物理等领域，都有重要的作用。

本文将重点介绍幂函数的定义与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一种基本的数学函数，它的定义形式如下：f(x) = ax^k其中，a是一个不等于零的常数，k是一个实数。

a被称为幂函数的系数，k被称为幂指数。

幂指数k可以是正数、负数、零或分数。

具体的取值范围决定了幂函数的性质。

二、幂函数的性质1. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域是实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。

根据幂函数定义，当幂指数k是正数或分数时，幂函数的值域是正实数集(0,+∞)；当幂指数k是负数时，幂函数的值域是(0,+∞)的倒数集(0,1)；当幂指数k是零时，幂函数的值域是{a}，即幂指数为零时函数的值固定为系数a。

2. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与幂指数k的正负有关。

当幂指数k大于1时，幂函数呈现出单调递增的特性，图像在原点右侧上升；当幂指数k介于0和1之间时，幂函数呈现出单调递减的特性，图像在原点右侧下降；当幂指数k小于0时，幂函数图像会关于x轴对称，且在增大的过程中逐渐趋近于0。

3. 幂函数的性质与幂指数k的关系幂函数的性质与幂指数k的取值有关。

当幂指数k大于1时，幂函数是增长的加速函数；当幂指数k小于1但不等于零时，幂函数是增长的减速函数；当幂指数k小于0时，幂函数是单调递减函数；当幂指数k等于0时，幂函数是常数函数。

4. 幂函数与其他函数的关系幂函数是一类重要的基本函数，它与指数函数、对数函数和三角函数等有着紧密的关系。

通过对幂函数和其他函数的组合运算，可以得到更为复杂的函数表达式。

这种关系在数学建模、物理学和工程学等领域的问题求解中得到广泛应用。

结语：幂函数作为一类基本的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。

它的定义形式简明扼要，通过对幂指数k的取值范围进行分析，我们可以得到不同性质的幂函数。

幂函数知识点一、定义与性质幂函数是指函数表达式为y = ax^n的一类函数，其中a和n为常数，且a ≠ 0。

1. 幂函数的定义域与值域- 当n为正整数时，幂函数的定义域为全体实数集R，值域为R+（正实数集）。

- 当n为负整数时，幂函数的定义域为x ≠ 0的实数集R，值域为R+。

- 当n为0时，幂函数的定义域为x ≠ 0的实数集R，值域为{1}（常数函数）。

2. 幂函数的奇偶性- 当n为奇数时，幂函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

- 当n为偶数时，幂函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。

3. 幂函数的单调性与极值点- 当n为正整数且n > 1时，若a > 0，则幂函数是递增函数；若a< 0，则幂函数是递减函数。

幂函数没有极值点。

- 当n为正整数且n = 1时，幂函数是严格单调递增函数，没有极值点。

- 当n为负整数时，幂函数是递减函数，在定义域内有极小值点。

- 当n为0时，幂函数为常数函数，没有单调性和极值点。

4. 幂函数的图像特点- 当n为正整数且n > 1时，幂函数的图像是一条通过原点的增长趋近于正半轴的曲线。

- 当n为正整数且n = 1时，幂函数的图像是一条通过原点且与直线y = a平行的直线。

- 当n为负整数时，幂函数的图像是一条与x轴正向趋近于0的曲线。

- 当n为0时，幂函数的图像是一条水平直线。

二、幂函数的运算1. 幂函数的加减运算- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^n（a ≠ b），它们的和函数为y = (a + b)x^n。

两个幂函数之和仍为幂函数，且幂指数不变。

- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^n（a ≠ b），它们的差函数为y = (a - b)x^n。

两个幂函数之差仍为幂函数，且幂指数不变。

2. 幂函数的乘除运算- 对于两个幂函数y = ax^n和y = bx^m，它们的乘积函数为y = (ab)x^(n+m)。