(全国通用)高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域

第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案：{x|x≥－1且x≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x5x ＋1的值域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠25，∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ；② f(x)＝x x，g(x)＝x ；③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]．1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x a的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b24a，＋∞)；当a<0时，值域为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a ． ③ y ＝kx(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记]题型1 求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)；(2) y ＝4－x2ln （x ＋1）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0 ⎩⎪⎨⎪⎧x≠－2且x≠2，x>－13，解得x>－13且x≠2，所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>－13且x≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x≠0，－2≤x≤2， 解得－1<x<0或0<x≤2，所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0， 所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．题型2 求函数的值域例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；(2) y ＝x 2－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－112，＋∞.(2) (配方法)配方，得y ＝(x －1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32.(解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y 2－y.因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域： (1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f ()x ＝1－x ＋x ＋3的定义域是[]－3，1. ∵ y ≥0，∴ y 2＝4＋2()1－x ()x ＋3，即y 2＝4＋2－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.令t ()x ＝－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.∵ x ∈[]－3，1，由t ()－3＝0，t ()－1＝4，t ()1＝0， ∴ 0≤t ≤4，从而y 2∈[]4，8，即y∈[]2，22，∴ 函数f ()x 的值域是[]2，22.(2) g ()x ＝x 2－9x 2－7x ＋12＝()x ＋3()x －3()x －3()x －4＝x ＋3x －4＝1＋7x －4()x≠3且x≠4. ∵ x ≠3且x≠4，∴ g ()x ≠1且g ()x ≠－6.∴ 函数g ()x 的值域是()－∞，－6∪()－6，1∪()1，＋∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]≤－2－1＝－3. 所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 题型3 函数值域和最值的应用例3 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)， 即f min (x)＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4； 当1<a≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2. ∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x(a>1)． (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若x∈[－2，1]时，函数f(x)的最小值是－7，求a 的值及函数f(x)的最大值．解：(1) 由题意，知f(x)＝2－(1＋a x )2，因为a x>0，所以f(x)<2－1＝1，所以函数f(x)的值域为(－∞，1)．(2) 因为a>1，所以当x∈[－2，1]时，a －2≤a x ≤a ，于是f min (x)＝2－(a ＋1)2＝－7，所以a ＝2，此时，函数f(x)的最大值为2－(2－2＋1)2＝716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.2. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．答案：(－3，0]解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x≤0，即定义域为(－3，0]．3. (2013·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．答案：(－∞，2)解析：当x≥1时，log 12x ≤log 121＝0，即f(x)≤0；当x<1时，0<2x <21，即0<f(x)<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1，若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3解析：画出分段函数的图象，从图象可知，12≤b<1，1≤a<log 252，f(a)＝f(b)，得bf(a)＝bf(b)＝b(b ＋2)＝(b ＋1)2－1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调增，故bf(a)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3.1. 设函数g(x)＝x 2－2(x∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ≥g （x ），x ∈（－1，2），下面分段求值域，再取并集． 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案：10解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.3. 已知函数f(x)＝log 13(－|x|＋3)的定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b)有________对．答案：5解析：由f(x)＝log 13(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵ 定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，∴ 符合条件的(a ，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．4. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a 、b 为常数，且a≠0)满足条件：f(x －1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m 、n(m ＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．解：(1) f(x)＝－x 2＋2x.(2) 由f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n ≤1，即n≤14＜1.故f(x)在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0， ∴ 存在m ＝－1，n ＝0，满足条件．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]。

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示第三章 (对应学生用书(文)、(理)7～8页)考情分析考点新知① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型．① 理解函数的概念，了解构成函数的要素. ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③ 了解简单的分段函数，并能简单应用1. (必修1P 24练习5改编)若f(x)＝x －x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，f(n ＋1)－f(n)＝________．答案：14－2n2. (必修1P 29习题8改编)若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f(x)2341g(x)2143则f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x 值是________． 答案：3 1解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x ＝1.3. (必修1P 31练习4)下列图象表示函数关系y ＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x 的值都有唯一一个y 与之对应．4. (必修1P 31练习3改编)用长为30cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S(cm 2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，则函数解析式为____________，其函数定义域为______________.答案：S ＝x(15－x) x∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x>0，15－x>0.5. (必修1P 32习题7改编)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12x ，x ≥0，1x，x<0，若f(a)＝a ，则实数a ＝________．答案：23或－1解析：若a≥0，则1－12a ＝a ，得a ＝23；若a<0，则1a＝a ，得a ＝－1.1. 函数的定义一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．2. 函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法． 4. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5. 映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[备课札记]题型1 函数的概念例1 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数．(1) A ＝B ＝N *，对应法则f ：x→y＝|x －3|，x ∈A ，y ∈B ；(2) A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：x→y，这里y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ；(3) A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x→y，这里y 3＝x ，x ∈A ，y ∈B ；(4) A ＝{(x ，y)|x 、y∈R }，B ＝R ，对应法则：对任意(x ，y )∈A，(x ，y )→z＝x ＋3y ，z ∈B.解：(1) 对于A 中的元素3，在f 的作用下得到0，但0不属于B ，即3在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．(2) 集合A 中的一个正数在集合B 中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3) 由y 3＝x ，即y ＝3x ，因为A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x→y，符合函数对应．(4) 由于集合A 不是数集，所以此对应法则不是函数． 备选变式（教师专享）下列说法正确的是______________．(填序号) ① 函数是其定义域到值域的映射；② 设A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝x －2＋1－x ，x ∈A ，y ∈B ，满足条件的对应法则f 构成从集合A 到集合B 的函数；③ 函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点有且只有1个；④ 映射f ：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x ，则这样的映射f 共有1个． 答案：①④ 解析：②中满足y ＝x －2＋1－x 的x 值不存在，故对应法则f 不能构成从集合A 到集合B 的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中若不含x ＝1的值，则其图象与直线x ＝1没有交点．题型2 函数的解析式例2 求下列各题中的函数f(x)的解析式．(1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lgx ，求f(x)； (3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)． 解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) 由2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f ()x ＝2x ，②①×2－②，得3f(x)＝4x －2x ，得f(x)＝43x －23x.(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f(x)＝x 2－x ＋1.变式训练求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x 2－x ＋1，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)． 解：(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ，∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t 2－3t ＋2，∴ f(x)＝2x 2－3x ＋2.(2) (配凑法)∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴ f(x)＝x 2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1， ∴ f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(4) (消去法)当x∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x)，x ∈(－1，1)．题型3 分段函数例3 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．解：(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x ≥1.所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－32，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－34，符合．综上可知，a ＝－34.备选变式（教师专享）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.(1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．解：(1)y ＝⎩⎨⎧2x ()0≤x≤4，8()4<x ≤8，－2x ＋24()8<x≤12.(2)y ＝f ()x 的图象如图．1. (2013·扬州期末)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x>0，则f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log 21＝0.2. (2013·南通一模)定义在R 上的函数f(x)，对任意x∈R 都有f(x ＋2)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝4x，则f(2 013)＝________．答案：14解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(－1)＝4－1＝14.3. (2013·连云港期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x [0，1]，则使f(f(x))＝2成立的实数x 的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或x ＝2}解析：当x∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x [0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x ，要使f(f(x))＝2成立，只需x ＝2.综上，实数x 的集合为{x|0≤x≤1或x ＝2}．4. (2013·苏南四市一模)已知函数f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2＝________．答案：8解析：因为f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4. 设g(x)＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4，则g(－5－x)＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4＋1x ＋3＋1x ＋2＋1x ＋1，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2＝8.1. 已知函数f(x)＝alog 2x －blog 3x ＋2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f(2014)的值为________． 答案：0 解析：∵ f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝alog 212 014－blog 312 014＋2＝－(alog 22 014－blog 32 014)＋2＝4，∴ f(2 014)＝alog 22 014－blog 32 014＋2＝(－2)＋2＝0.2. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，则满足不等式f(f(x))>1的x 的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x ∈(0，1]，f(f(x))＝log 22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log 2x ≤0，f(f(x))＝2log 2x ＝x>1，不符合；当x>1时，log 2x>0，f(f(x))＝log 2(log 2x)>1，解得x>4.3. 集合M ＝{f(x)|存在实数t 使得函数f(x)满足f(t ＋1)＝f(t)＋f(1)}，则下列函数(a 、b 、c 、k 都是常数)：① y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)；② y＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；③ y ＝a x(0<a<1)；④ y＝k x(k≠0)；⑤ y＝sinx.其中属于集合M 的函数是________．(填序号) 答案：②⑤解析：对于①，由k(t ＋1)＋b ＝kt ＋b ＋k ＋b ，得b ＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t ＋1)2＋b(t ＋1)＋c ＝at 2＋bt ＋c ＋a ＋b ＋c ，得t ＝c 2a，符合题意；对于③，由a t ＋1＝a t ＋a 1，所以a t＝a a －1，由于0<a<1，a t＝a a －1<0，无解；对于④，由k t ＋1＝k t＋k ，无解；对于⑤，由sin(t ＋1)＝sint ＋sin1，取t ＝2k π，k ∈Z ，符合题意．综上，属于集合M 的函数是②⑤.4. 已知f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，且对任意α、β∈R 恒有f (sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13－2(a ＞0)，∵ 函数f(x)对任意α、β∈R 恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cos β＝－1，则f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴ f(1)＝0，∴ a ＝32，∴ f(x)＝32x 2＋x －52.1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；② 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．请使用课时训练（B）第1课时（见活页）.[备课札记]。

第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页)考情分析考点新知函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型，要非常重视，复习时应在准确把握各种函数的特征基础上，根据具体实际问题的情境，建立相关函数模型，利用函数知识分析解决问题．① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.② 了解函数模型(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.,1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m.答案：1 900解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．答案：1 331解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________．答案：(5，10)4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6－1解析：由2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6－1.5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t<25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q 与时间t(天)的函数关系为Q ＝－t ＋40(0<t≤30，t ∈N )，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．答案：25解析：设日销量金额为W 元，则W ＝P·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧（t ＋20）（－t ＋40），0<t<25，t ∈N （－t ＋100）（－t ＋40），25≤t ≤30，t ∈N ， 当0<t<25，t ∈N 时，W(t)<W(25)；当25≤t≤30，t ∈N 时，W (t)≤W(25)．1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，y ＝a x(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y ＝x n(n>0)的增长速度；而y ＝log a x(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，有ax 0>x n 0>log a x 0(比较ax 0，x n0，log a x 0的大小)．3. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题． (2) 建立合适的函数模型解决问题． (3) 建立拟合函数模型解决实际问题．4. 函数建模的基本程序题型1 一次、二次函数模型例1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数)．目前该商品定价为每个a 元，统计其销售数量为b 个．(1) 当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围. 解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y ＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]．(1) 当k＝12时，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)＝ab 20 000[22 500－(x －50)2]，因此当x ＝50，即价格上涨50%时，y 取最大值98ab.(2) y ＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝50（1－k ）k.在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大，因此50（1－k ）k>0，解得0<k<1.备选变式（教师专享） 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1) 令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10.当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. (2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．题型2 指数、对数函数模型例2 设在海拔xm 处的大气压强是yPa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝ce kx，其中c 、k为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强．(保留3位有效数字)解：将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入函数式y ＝ce kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝ce 0，0.90×105＝ce 1 000k， ∴ c ＝1.01×105， ∴ e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01， ∴ k ＝11000×ln 0.901.01，用计算器算得k≈－1.154×10－4，∴ y ＝1.01×105×e －1.154×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y≈9.42×104Pa ，即在600m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.备选变式（教师专享）我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a′(与a 之间满足a′＝a·e －kt)．现测得出土的古莲子中14C 残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．解：因a′＝a·e－kt，即a′a＝e －kt.两边取对数，得lg a′a＝－ktlge.①又知14C 的半衰期是5570年，即t ＝5570时，a′a ＝12.故lg 12＝－5570klge ，即klge ＝lg25570.代入①式，并整理，得t ＝－5570lga′alg2.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a′a 是0.879，代入公式，得t ＝－5570lg0.879lg2≈1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物．题型3 分段函数模型例3 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x>40.(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当0<x≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x ＋16x≥240 000x×16x＝1 600， 当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104. 备选变式（教师专享）经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格为g(t)＝12t ＋30(1≤t≤30，t ∈N )，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t ∈N )．(1) 写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； (2) 求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6400， 当t ＝20时，S 的最大值为6400；②当31≤t≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9000为减函数， 当t ＝31时，S 的最大值是6210，∵ 6210<6400，∴ 当t ＝20时，日销售额S 有最大值6400. 题型4 分式函数模型例4 如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 距离分别为9m 、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M 、N 分别在边AD 、AB 上，设AN ＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S(m 2)．(1) 用x 的代数式表示AM ；(2) 求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？解：(1) AM ＝3xx －9(10≤x≤30)．(2) MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x2（x －9）2.∵ MN ∶NE ＝16∶9，∴ NE ＝916MN. ∴ S ＝MN·NE＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2（x －9）2，定义域为[10，30]．(3) S′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x （x －9）2－9x 2（2x －18）（x －9）4 ＝98×x[（x －9）3－81]（x －9）3， 令S′＝0，得x ＝0(舍)或9＋333.当10≤x<9＋333时，S ′<0，S 关于x 为减函数；当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 关于x 为增函数．∴ 当x ＝9＋333时，S 取得最小值．故当AN 长为9＋333 m 时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小． 备选变式（教师专享）如图，两个工厂A 、B 相距2km ，点O 为AB 的中点，要在以O 为圆心，2km 为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB ⊥AB.据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B 的“噪音影响度”与距离BP 的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A 、B 两厂的“总噪音影响度”y 是A 、B 两厂“噪音影响度”的和，设AP 为xkm.(1) 求“总噪音影响度”y 关于x 的函数关系式，并求出该函数的定义域； (2) 当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？解：(1) (解法1)如图，连结OP ， 设∠AOP＝α，则π3≤α≤2π3.在△AOP 中，由余弦定理得x 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α， 在△BOP 中，由余弦定理得 BP 2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cos α，∴ BP 2＝10－x 2， ∴ y ＝1AP 2＋4BP 2＝1x 2＋410－x2 . ∵ π3≤α≤2π3，∴ 3≤x ≤ 7，∴ y ＝1x 2＋410－x2(3≤x ≤7)．(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m ，n)，则PA 2＝(m ＋1)2＋n 2，PB 2＝(m －1)2＋n 2.∵ m 2＋n 2＝4，PA ＝x ，∴ PB 2＝10－x 2(后面解法过程同解法1)．(2) (解法1)y ＝1x 2＋410－x 2＝110(1x 2＋410－x 2)[x 2＋(10－x 2)]＝110(5＋10－x 2x 2＋4x 210－x 2)≥110(5＋210－x 2x 2·4x 210－x 2)＝910，当且仅当10－x2x2＝4x 210－x 2，即x ＝303∈[3，7]时取等号． 故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小． (解法2)由y ＝1x 2＋410－x 2，得y′＝－2x 3＋8x （10－x 2）2＝6x 4＋40x 2－200x 3（10－x 2）2＝2（x 2＋10）（3x 2－10）x 3（10－x 2）2. ∵ 3≤x ≤7 ，∴ 令y′＝0，得x ＝303，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，303时，y ′<0；当x∈(303，7]时，y ′>0.∴ x ＝303时，y ＝1x 2＋410－x 2取极小值，也即最小值．故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：① 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；② 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③ 报销的医疗费用不得超过8万元．(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型y ＝x －2lnx ＋a(a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)审题引导： 正确理解三个条件：① 要求模型函数在[2，10]上是增函数；② 要满足y≥x2恒成立；③ 要满足y 的最大值小于8.规范解答： 解：(1) 函数y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x ＝10时，y 有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2) 对于函数模型y ＝x －2lnx ＋a ，设f(x)＝x －2lnx ＋a ，则f′(x)＝1－2x ＝x －2x ≥0.∴ f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x －2lnx ＋a≥x2，即a≥2lnx－x 2在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx －x 2，则g′(x)＝2x －12＝4－x 2x ，由g′(x)>0得0＜x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数． ∴ a ≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x －2lnx ＋a≤x，得a≤2lnx 在x∈[2，10]上恒成立，∴ a ≤2ln2.(12分)综上所述，a 的取值范围为[4ln2－2，2ln2]， ∴ 满足条件的整数a 的值为1.(14分)1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．答案：20解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x ，所以矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．2. (2013·通州模拟)将一个边长分别为a 、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 解析：设减去的正方形边长为x ，其外接球直径的平方R 2＝(a －2x)2＋(b －2x)2＋x 2，由R′＝0，∴ x ＝29(a ＋b)．∵ a<b ，∴ x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，∴ 0<29(a ＋b)<a 2， ∴ 1<b a <54.3. (2013·无锡期末)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m 2)，其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x m ，BC ＝y m.(1) 求y 关于x 的表达式；(2) 如何设计x 、y 的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，∴ 392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.∵ x ＞0，y ＞0，∴ 392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜3655.∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655.(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ，∴ l ＝(2x ＋2y)＋2×56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ×133x ＝26， 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．4. (2013·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB ＞AD)为长方形薄板，沿AC 折叠后AB′交DC 于点P.当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1) 设AB ＝x m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x.因x ＞2－x ，故1＜x ＜2.设DP ＝y ，则PC ＝x －y. 因△ADP≌△CB′P，故PA ＝PC ＝x －y.由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y)2＝(2－x)2＋y2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，1＜x ＜2. (2) 记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (2－x)＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．故当薄板长为2m ，宽为(2－2)m 时，节能效果最好． (3) 记多边形ACB′PD 的面积为S 2，则S 2＝12x(2－x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (2－x) ＝3－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x ，1＜x ＜2.于是S 2′＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x2＝0x ＝32.关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(32，2)上递减．所以当x ＝32时，S 2取得最大值．故当薄板长为32 m ，宽为(2－32)m 时，制冷效果最好．1. 某驾驶员喝了mL 酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎨⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1h)答案：4解析：当0≤x≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，得x≥4.2. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s 内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2 m ，则列车刹车后________s 车停下来，期间列车前进了________m.答案：30 405解析：S′(t)＝27－0.9t ，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t ＝30(s)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km 时，车流速度为60km/h ，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出其最大值．(精确到1辆/小时)解：(1) 由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b.再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003. 故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200. (2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝100003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值100003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333， 即当车流密度为100辆/km 时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h.4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax 2(a ＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P(t ，f(t))．(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t)；(2) 若在t ＝12处，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．解：(1) y′＝－2ax ，∴ 切线斜率是－2at ，∴ 切线方程为y －(1－at 2)＝－2at(x －t)．令y ＝0，得x ＝1＋at 22at ，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋at 22at ，0， 令x ＝0，得y ＝1＋at 2，∴ N(0，1＋at 2)，∴ △OMN 的面积S(t)＝（1＋at 2）24at. (2) S′(t)＝3a 2t 4＋2at 2－14at 2＝（at 2＋1）（3at 2－1）4at2， 由a ＞0，t ＞0，S ′(t)＝0，得3at 2－1＝0，即t ＝13a . 当3at 2－1＞0，即t ＞13a 时，S ′(t)>0； 当3at 2－1<0，即0<t<13a 时，S ′(t)<0. ∴ 当t ＝13a时，S(t)有最小值． 已知在t ＝12处，S(t)取得最小值，故有13a ＝12， ∴ a ＝43. 故当a ＝43，t ＝12时，S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋43·1424·43·12＝23.1. 与函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，显然后者难度较大，在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，需要扎实的基础知识和较强的数理能力． 请使用课时训练(B)第13课时(见活页)．[备课札记]。

课时考点2 导数的概念及应用高考考纲透析：（理科）(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。

(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

（文科）(1)了解导数概念的某些实际背景。

(2)理解导数的几何意义。

(3)掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。

(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

高考风向标：导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：1.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）2. 设曲线x e y x (-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）.（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.3. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=，（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围.热点题型1: 函数的最值已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．变式新题型1：已知]2,1[,6)(3-∈+-=x b ax ax x f 的最大值为3，最小值为29-，求b a ,的值。

第二章函数与导数第14课时函数的综合应用第三章(对应学生用书(文)、(理)37～39页)考点分析考点新知函数是高考的热点内容，主要是以基本初等函数为载体，考查函数的性质及有关问题，如单调性、奇偶性、值域和最值问题，同时考查函数思想与其他数学知识的综合运用．① 能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力.②熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题，注意函数与其他知识的联系，灵活选择适当方法解决问题.1. (必修1P87习题13改编)已知集合A＝{x|33－x<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．答案：(2－log32，11)解析：由33－x<6，知3－x<log36，即x>3－log36，所以A＝(2－log32，＋∞)．由lg(x－1)<1，知0<x－1<10，即1<x<11，所以B＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log32，11)．2. 已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．答案：－32解析：因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a＋b)＋12＝－32.3. (原创)若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案：[5，7]解析：f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4. (原创)已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x1、x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>0，给出下列命题：① f(3)＝0；② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④ 函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①②④解析：令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5. (2013·宿迁一模)已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．答案：(－3，0)解析：f(x)＝||x －1|－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－1，x ≤0或x≥2，1－|x －1|，0<x<2，方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(x 21－2)2－4，则t ＝(x 21－2)2－4，易得－3<t<0.[备课札记]题型1 已知函数解析式研究函数的性质例1 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，t 21<t 22，所以lgt 1＋(t 21－1)<lgt 2＋(t 22－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． 备选变式（教师专享）关于函数f(x)＝lg x 2＋1|x|(x>0，x ∈R )，下列命题正确的是________．(填序号)① 函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；② 在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③ 函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④ 在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 答案：①③④解析：由f(－x)＝lg （－x ）2＋1|－x|＝lg x 2＋1|x|＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg 52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，知②错误；由x 2＋1|x|＝|x|＋1|x|≥2，知f(x)＝lg x 2＋1|x|≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．题型2 函数图象与函数性质的联系例2 已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1) 若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2) 设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3) 设h(x)＝f （x ）x ，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x<0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图如下．(2) 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝12a .当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.当0<12a <1，即a>12时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a<14时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 综上可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a<14，2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a>12.(3) 当x∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋2a －1x －1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋2a －1x 1－1 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－（2a －1）x 1x 2.因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0.因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.备选变式（教师专享）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，其中b>0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若方程f(x)＝x ＋a(a∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1) ∵ 当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴ 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b 2＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴ b ＝4，c ＝2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.(2) 记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a ≥2.(ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4（2－a ）>02－a≥0⎩⎪⎨⎪⎧a>－14a≤2－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根．∴ 2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－14.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴ 符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 题型3 函数的最值与不等式恒成立问题例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3.(1) 求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2) 对一切x∈(0，＋∞)，2f (x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．(1) 解：f′(x)＝lnx ＋1，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．① 当0<t<t ＋2<1e 时，t 无解；② 当0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③ 当1e ≤t<t ＋2，即t≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ，所以f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t<1e ，tlnt ，t ≥1e .(2) 解：由题意，要使2xlnx ≥－x 2＋ax －3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx ＋x ＋3x恒成立．设h(x)＝2lnx ＋x ＋3x (x>0)，则h′(x)＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2. 当x∈(0，1)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增． 所以x ＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值， 即[h(x)]min ＝h(1)＝4，所以a≤4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx>x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx 在(0，＋∞)上最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m(x)＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m′(x)＝1－xex ，易得[m(x)]max ＝m(1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．变式训练定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.(1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M 成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2) 由题意知，|f (x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，所以－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，设2x＝t ，h(t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1t ，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p(t 1)－p(t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a ≠1)．(1) 当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2) 若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3) 若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答： (1) 证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x－1)·lna.(2分)由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f ′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2) 解：当a>0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0) 0 (0，＋∞)f′(x) － 0 ＋ f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3) 解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋lna ＝a －1a －2lna ， 记g(t)＝t －1t －2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2lnt 在t∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ① 当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna ≥e －1a ≥e ， ② 当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －11a＋lna ≥e －10＜a≤1e，综上知，所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(16分)1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12－ln2 解析：由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －1x ，由h′(x)＝0，得x ＝12.易知当x ＝12时，h(x)有极小值为12＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即12＋ln2＋m<0，所以m<－12－ln2.2. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1x (x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．答案：－1，10解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2.由PA 取得最小值，得⎩⎨⎧a≤2，22－4a ＋2a 2－2＝（22）2， 或⎩⎨⎧a>2，a 2－2＝（22）2，解得a ＝－1或a ＝10. 3. (2013·四川)设函数f(x)＝e x＋x －a (a∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．答案：[1，e]解析：若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝e x＋x －a 在[0，1]上单调递增， 所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0， 所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即e x＋x －a ＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x－2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增． 又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a∈[1，e]．4. (2013·南京期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x ＜2，f （x －2），x ≥2.若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝2524t 2－6t ＋7的值域为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7225＝－4125，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.1. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x，则函数g(x)的最小值是________．答案：1解析：由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x， 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ －f(x)＋g(x)＝2－x，∴ g(x)＝12(2x ＋2－x)，∴ g (x)≥1.2. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为________．答案：－4解析：|x 1－x 2|＝f max (x)，b 2－4aca2＝4ac －b24a，|a|＝2－a ，∴ a ＝－4. 3. 对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1)(x－1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析：由新定义得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x>0.作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<14时，f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴ x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x<0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)， ∴ 1－34<x 1<0，∴ 1－316<x 1x 2x 3<0.4. 已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 设a>0，证明：当0<x<1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ； (3) 若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f′(x 0)＜0.(1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞),f ′(x)＝1x －2ax ＋(2－a)＝－（2x ＋1）（ax －1）x . ① 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．② 若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝1a ，且当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0，当x>1a 时，f ′(x)<0.所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数. (2) 解：设函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ， 则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ，g ′(x)＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x2. 当0<x<1a时，g ′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x . (3) 证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点， 故a>0，从而f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0. 不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2. 由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a －x 1>f(x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a. 由(1)知，f ′(x 0)<0.1. 恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．2. 有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．3. 证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．4. 方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．请使用课时训练(A)第14课时(见活页)．[备课札记]。

第二章函数与导数第6课时二次函数第三章(对应学生用书(文)、(理)18～19页)考情分析考点新知① 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题.②以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点．①掌握二次函数的概念、图象特征.②掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值.③掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.,1. (必修1P54测试7)函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．答案：[－3，5]解析：由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．2. 二次函数y＝－x2＋2mx－m2＋3的图象的对称轴为x＋2＝0，则m＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：－2 (－2，3) (－∞，－2] [－2，＋∞)3. (必修1P45习题8改编)函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．答案：3解析：由f(－x)＝f(x)，得a＝1，∴ f(2)＝3.4. (必修1P44习题3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x－1，x∈[0，＋∞），－x2＋2x－1，x∈（－∞，0）的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知．5. 设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：若a>0，则b 、c 同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－b2a >0，④正确；若a<0，则b 、c 异号，①中c<0，则b>0，－b 2a >0，不符合，②中c>0，则b<0，－b2a<0，不符合．1. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k)，则其解析式f(x)＝a(x －h)2＋k(a≠0)． (3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则其解析式f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)．2. 二次函数的图象及性质二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b 2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ． (1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是单调减函数，在[－b2a ，＋∞)上是单调增函数，当x ＝－b 2a 时，y 有最小值，y min ＝4ac －b24a．(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－b2a ，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－b 2a ]上是单调增函数，当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，y max ＝4ac －b 24a． 3. 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＝b 2－4ac>0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，0)，M 2(x 2，0)，则M 1M 2＝Δ|a|．题型1 求二次函数解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．解：(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵ f(2)＝f(－1)，∴ 抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，即m ＝12；又根据题意，函数最大值y max ＝8，∴ n ＝8，∴ f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵ f(2)＝－1，∴ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4.∴ f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即 4a （－2a －1）－a 24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋7.备选变式（教师专享）已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．解：由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴ b＝2a ，c ＝a ＋10，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则x 21 ＋x 22 ＝12，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2×c a ＝12. 又b ＝2a ，c ＝a ＋10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a a 2－2×a ＋10a ＝12，解得a ＝－2， ∴f(x)＝－2x 2－4x ＋8.题型2 含参变量二次函数的最值例2 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)． (1) 求g(a)的函数表达式； (2) 求g(a)的最大值．解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝3－a 22；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a<－2），3－a22（－2≤a≤2），5－2a （a>2）.(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1. 由①②③可得g(a)max ＝3. 备选变式（教师专享）求二次函数f(x) ＝ x 2－4x － 1在区间[t ，t ＋2]上的最小值g(t)，其中t∈R .解：函数f(x) ＝ (x －2)2－5的图象的对称轴方程为x ＝2，开口向上． 当2∈[t，t ＋2]，即t≤2≤t＋2，也就是0≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；当2[t ，t ＋2]时，①当t ＞2时，f(x)在[t ，t ＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t 2－4t －1.②当t ＋2＜2，即t ＜0时，f(x)在[t ，t ＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t ＋2)＝(t＋2)2－4(t ＋2)－1＝t 2－5.故g(t)的解析式为g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t －1，t ＞2，－5，0≤t ≤2，t 2－5，t ＜0.题型3 二次函数的综合应用 例3 已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝g （x ）x.(1) 求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；(2) 若不等式f(2x )－k·2x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k 的取值范围．解：(1) g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b ，由题意得 ① ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，g （2）＝1＋b ＝1，g （3）＝3a ＋b ＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，② ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，g （2）＝1＋b ＝4，g （3）＝3a ＋b ＋1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3>1(舍)．∴ a ＝1，b ＝0，g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝x ＋1x －2.(2) 不等式f(2x )－k·2x ≥0，即2x ＋12x －2≥k·2x，∴ k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1. 设t ＝12x ，则k≤t 2－2t ＋1，∵ x ∈[－1，1]，故t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 记h(t)＝t 2－2t ＋1，∵ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ h(t)max ＝1，故所求k 的取值范围是(－∞，1]． 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－m2＝－1，即m ＝2.又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x. 又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称，所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，所以g(x)＝－x 2＋2x.(2) 由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x. 当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝2－2λ2（λ＋1）＝1－λλ＋1，因为F(x)在(－1，1]上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<0，1－λλ＋1≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>0，1－λλ＋1≥1，所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立． 综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．1. 若函数f(x)＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：0≤a≤14解析：当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋4，符合；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，32a ≥6，解得0<a≤14.综上，实数a 的取值范围是0≤a ≤14.2. 已知函数f(x)＝x 2－3x ＋m ，g(x)＝2x 2－4x ，若f(x)≥g(x)恰在x∈[－1，2]上成立，则实数m 的值为________．答案：2解析：由题意，x 2－3x ＋m≥2x 2－4x ，即x 2－x －m≤0的解集是[－1，2]，所以m ＝2.3. (2013·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x －1，x ≥0，x 2＋bx ＋c ，x ＜0是偶函数，直线y ＝t 与函数y ＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D.若AB ＝BC ，则实数t 的值为________．答案：－74解析：根据偶函数的定义得a ＝1，b ＝2，c ＝－1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3x C ，x C ＋x D ＝2，所以x C ＝12，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12－1＝－74. 4. (2013·新课标)若函数f(x)＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b)的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为________．答案：16解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a ＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a ＋b)＝0，联立，解得a ＝8，b ＝15，所以f(x)＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)，即f(x)＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5)＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5)．令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t ＋3)(t －5)＝－(t －1)2＋16，当t ＝1时，f(x)max ＝16.1. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________．答案：(2－2，2＋2)解析：易知，f(a)＝e a －1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b<2＋ 2.2. 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a 、b∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案：9解析：根据函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，得到a 2－4b ＝0.又关于x 的不等式f(x)<c ，可化为x 2＋ax ＋b －c<0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数f(x)＝x 2＋ax ＋b －c的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1、x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.又x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，代入得到 c ＝9.3. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由题意知x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m≤－32或m≥32.4. 已知函数f(x)＝mx ＋3，g(x)＝x 2＋2x ＋m. (1) 求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围．(1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx ＋3)－(x 2＋2x ＋m)＝－x 2＋(m －2)x ＋(3－m)．由Δ1＝(m －2)2＋4(3－m)＝m 2－8m ＋16＝(m －4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．(2) 解：|G(x)|＝|－x 2＋(m －2)x ＋(2－m)|＝|x 2－(m －2)x ＋(m －2)|，Δ2＝(m －2)2－4(m －2)＝(m －2)(m －6)， ① 当Δ2≤0，即2≤m≤6时，|G(x)|＝x 2－(m －2)x ＋(m －2)，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．② 当Δ2＞0，即m ＜2或m ＞6时，若m ＜2，则m －22＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；若m ＞6，则m －22＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m ＞6.综上，m ≤0或m≥2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点．3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．请使用课时训练（A ）第6课时（见活页）.[备课札记]。