最短路径问题(珍藏版)_201710261614551 (1)

13.4课题学习最短路径问题1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

BA②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

DCA B2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

李庄张村②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

BAL③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。

5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。

6．正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。

7．在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

张村李庄ABCDABAB图(2)8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。

最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。

在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。

通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。

最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。

图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。

在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。

最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。

在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。

最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。

该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。

除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。

例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。

Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。

一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。

在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。

利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。

最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】。

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

最短路径算法例题最短路径算法是图论中非常重要的算法之一，用于找到两个顶点之间的最短路径。

最短路径问题在实际生活中有很多应用，例如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。

下面我们给出一个例题来说明最短路径算法的应用。

假设我们有一个城市的地图，其中包含了多个交叉路口和道路，每个道路都有一个权值表示该道路的长度。

我们需要找到从起点到终点的最短路径。

给定以下城市地图示例：```A/2 5/B---3---C| |4 6| |D---1---E```其中，A、B、C、D、E代表交叉路口，数字代表道路的长度。

现在我们要找到从起点A到终点E的最短路径。

我们可以使用Dijkstra算法来解决这个问题。

Dijkstra算法的基本思想是通过不断扩展路径，更新起点到每个顶点的最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化距离数组dist，起点到每个顶点的距离初始设为无穷大，起点到自身的距离为0。

2. 选择起点A作为当前顶点，更新起点到A相邻顶点的距离。

对于起点A的相邻顶点B和C，更新dist[B] = 2和dist[C] = 5。

同时将A标记为已访问。

3. 在未访问的顶点中选择距离起点最近的顶点作为当前顶点，这里选择B作为当前顶点。

更新起点到B的相邻顶点D的距离，即更新dist[D] = 6。

同时将B标记为已访问。

4. 重复步骤3，选择距离起点最近的未访问顶点作为当前顶点，直到终点E被标记为已访问。

5. 最终得到起点到终点的最短路径长度为dist[E] = 7。

在本例中，起点到终点的最短路径是A->B->D->E，总长度为7。

最短路径算法是图论中的经典算法之一，有多种实现方式，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。

不同的算法适用于不同的问题场景，选择合适的算法可以提高计算效率。

总结起来，最短路径算法可以帮助我们在图中找到起点到终点的最短路径，解决实际生活中的路径规划问题。

最短路径问题分两种情况，分别为阶段k=3和k=4:一、阶段:k=3显然，从始点A 到终点E 只有两条路径：A →1B →1D →E,路径距离是10；A →3B →3D →E,路径距离是9.二、阶段：k=4决策：逆序递推k d 1(,)k k x x +表示第k 阶段由初始状态k x 到下一阶段初始状态1k x +的距离。

()k k f x 表示从第k 阶段的k x 到终点E 的最短距离。

（1）阶段k=4有三个初始状态1D 、2D 、3D若最短路径经过1D ，41()f D =3若最短路径经过2D ，42()f D =1若最短路径经过3D ，43()f D =5（2）阶段k=3有两个初始状态1C 、2C若最短距离经过1C ，31()f C =min ｛311(,)d C D +41()f D ，312(,)d C D +42()f D ,313(,)d C D +43()f D ｝=min ｛5，6，8｝=5若最短距离经过2C ，同理，32()f C =min ｛4，5，7｝=4（3）阶段k=2有三个初始状态123B B B 、、若最短距离经过1B ，21()f B =min ｛211(,)d B C +31()f C ，212(,)d B C +32()f C ｝=min{9，7}=7 若最短距离经过2B ，22()f B =min ｛221(,)d B C +31()f C ，222(,)d B C +32()f C ｝=min ｛6，7｝=6若最短距离经过3B ，23()f B = min ｛231(,)d B C +31()f C ，232(,)d B C +32()f C ｝=min{8，9}=8（4）阶段k=11()f A =min ｛11(,)d A B +21()f B ，12(,)d A B +22()f B ，13(,)d A B +23()f B ｝=min ｛10，8，9｝=8故当经过四个阶段时，最短路径距离为8.综合一、二两种情况，可以明显得出最短路径距离是8，其相对应的最佳路径为A →2B →1C →1D →E。

最短路径问题【基础知识】最短路径问题是一个经典问题，旨在寻找图中两点之间的最短路径，具体有以下几种：1. 确定起点的最短路径问题——即已知起始点，求最短路径；2. 确定终点的最短路径问题；3. 确定起点终点的最短路径问题；4. 全局最短路径问题。

这些问题涉及知识有“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边之和大于第三边”、“轴对称”、“平移旋转”等。

问题图形在直线l上求一点P，使得PA+PB值最小在直线l上求一点P，使得PA+PB值最小（将军饮马问题）在直线l1、l2上分别求点M、N，使得∆PMN的周长最小直线m//n，在m、n上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并且AM+MN+BN的值最小在直线l1、l2上分别求点M、N，使得四边形PQMN的周长最小在直线l1上求点A，在l2上求点B，使PA+PB最小点A、B分别为直线l1、l2上定点，在l1、l2上分别求点N、M，使AM+MN+NB在直线l上求一点P，使|PA−PB|的值最小在直线l上求一点P，使|PA−PB|的值最大在直线l上求一点P，使|PA−PB|的值最大若∆ABC中每一个内角都小于120°，在∆ABC内求一点P，使得PA+PB+PC的值最小）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD 的最小值是 .如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB 上一动点，求的最小值.。

第11讲：轴对称【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．一．【十二个基本问题】在直线l上求一点+PB 值最小。

【问题2】作图在直线l上求一点A+PB 值最小．【问题3】“将军饮马”作图在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使△PMN周长最小．【问题 4】作图在直线l1、l2上分别求M 、N ，使四PQMN的周长最小。

直线m∥ n，在m、上分别求点M、N，使m，且AM+MN+BN值最小。

【问题 6】作图在直线l上求两点M、在左），使MN a，并使+MN+NB 的值最小作图l1上求点A，在l2B，使P A+AB值最小．【问题 8】作图A 为l1上一定点，B上；A 为l1上一定点，B 为l2上一定点，在上求点M在l1上求点N作图在直线l上求一点PA－的值最小PB二．“一次对称”常见模型:在直线 l 上求一点 PB PA －的值最大作图在直线 l 上求一点 PB －的值最大 .【问题 12】“费马点”作图ABC 中每一内角都小120°，在△ABC 内求一点P ，使 P A +PB +PC 最小．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.23B. 26C.3D.62．如图，在边长为2 的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A.2B.23C.2＋3D. 43．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。

最短路径法计算步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠这个最短路径法计算步骤。

你说这最短路径法啊，就像是在一个迷宫里找最快捷的出路。

想象一下，你站在迷宫的入口，面前有好多条路，你得找到那条能最快带你走到终点的道儿。

第一步呢，就是先把那些节点和边都给整明白咯。

就好比你得清楚迷宫里有哪些岔路口和通道一样。

然后给每个边都标上一个数字，这数字就代表着通过这条边的代价或者距离啥的。

接着呢，咱就从起始点开始，就像你在迷宫里迈出第一步。

然后一点点往外扩散，计算到其他节点的最短距离。

这过程就好像你在探索迷宫，每走一步都要想想是不是离终点更近了。

第三步，不断更新那些距离。

要是发现有更短的路径出现了，那就赶紧把之前的给替换掉。

这就好比你在迷宫里突然发现了一条更近的路，那肯定得赶紧换道儿呀！第四步，一直重复这个过程，直到所有节点都被处理过。

这就像是你把整个迷宫都走遍了，确定了最短的那条路线。

说起来简单，做起来可得仔细咯！就跟你在迷宫里不能瞎走一样，得动脑子，算仔细。

这最短路径法在好多地方都用得着呢！比如你要规划送货路线，那肯定得找最短的路呀，不然多浪费时间和成本呀！你想想看，要是没有这个方法，那不是得瞎碰运气，说不定绕了一大圈才到目的地。

但有了它，咱就能快速准确地找到那条最佳路径。

咱生活中不也经常要找最短路径嘛！比如你每天上班，怎么走路或者坐车最快，这不就是个现实版的最短路径问题嘛！所以说呀，学会这个最短路径法计算步骤，用处可大着呢！总之啊，这最短路径法计算步骤就像是一把钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

大家可得好好掌握，让它为我们的生活和工作带来便利呀！怎么样，是不是觉得挺有意思的？赶紧去试试吧！。

数学最短路径问题讲解数学中的最短路径问题是一个经典的优化问题，主要涉及在图或网络中找到两个节点之间的最短路径。

这类问题在日常生活和工程中有着广泛的应用，如交通路线规划、网络路由、电路设计等。

最短路径问题的常用算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

Dijkstra算法适用于没有负权重的图，它从源节点开始，逐步找到离源节点最近的节点，直到找到目标节点。

Bellman-Ford算法则可以处理包含负权重的图，它通过不断地松弛边的权重来找到最短路径。

下面以一个简单的例子来解释最短路径问题：假设我们有一个有向图，其中节点表示城市，边表示道路，边的权重表示两城市之间的距离。

我们要找出从城市A到城市B的最短路径。

首先，我们需要理解最短路径的含义。

最短路径是指从一个节点到另一个节点经过的边的权重之和最小的路径。

如果存在负权重的边，我们需要找到一个路径，使得经过的边的权重之和加上起点的权重（如果起点有权重）最小。

在解决最短路径问题时，我们可以使用图论中的一些基本概念，如路径、权重、源节点、目标节点等。

路径是指从一个节点到另一个节点经过的一系列边，权重是指路径上边的权重之和。

源节点是指我们开始寻找最短路径的节点，目标节点是指我们要找到最短路径的终点。

最短路径问题的求解方法通常包括贪心算法和动态规划。

贪心算法是指每一步都选择当前看起来最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。

动态规划则是将问题分解为若干个子问题，并从子问题的最优解逐步推导出原问题的最优解。

在实际应用中，我们还需要考虑一些特殊情况，如图中存在负权重的环、图中存在负权重的边等。

对于这些情况，我们需要使用特定的算法来处理，如Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法等。

总之，最短路径问题是一个经典的的问题，它的求解方法有很多种。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法来处理最短路径问题。