下载文档原格式
十二个不可积分函数1. Dirichlet函数：定义在实数集上的函数，对于有理数为1，对于无理数为0。
2. Thomae函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为0。
3. Riemann函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为14. Thomae反例函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b；对于无理数，f(x)=0。
5.欧拉函数：定义在正整数集上的函数，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
6.莫比乌斯函数：定义在正整数集上的函数，根据n的素因子分解形式确定。
如果n有平方因子，则f(n)=0；如果n是不同素数的乘积且素数个数为奇数，则f(n)=-1；如果n是不同素数的乘积且素数个数为偶数，则f(n)=17. Sierpinski函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b^2；对于无理数，f(x)=0。
8. Weierstrass函数：定义在实数集上的函数，为以2^(-n)cos(3^n x)的无穷和。
9. Cantor函数：定义在实数集上的函数，是一个实数x在Cantor集合中的特征函数。
10.不连续开关函数：定义在实数集上的函数，当x为有理数时为1，当x为无理数时为0。
11.阶梯函数：定义在实数集上的函数，在n为整数的区间[n,n+1)上取常数值n。
12. Riemann定积分不可积函数：定义在实数集上的函数，只在一列分割区间中有限个点的函数。
Abel Dirichlet准则是分析数论中的一个重要定理，其内容主要包括Abel Dirichlet变换的性质、定理的证明以及定理的应用等。
本文将从这几个方面对Abel Dirichlet准则进行深入的剖析和讨论。
一、Abel Dirichlet变换的性质Abel Dirichlet变换是分析数论中的重要概念，其性质主要包括两个方面：线性性和累次性。
1. 线性性Abel Dirichlet变换具有显著的线性性质，即对于任意的实数a和b 以及两个函数f(x)和g(x)，都有以下等式成立：A(a*f(x) + b*g(x)) = a*A(f(x)) + b*A(g(x))其中A(f(x))表示函数f(x)的Abel Dirichlet变换。
这一性质使得Abel Dirichlet变换在实际计算和分析中具有很强的灵活性和实用性，为数论问题的研究提供了重要的工具和方法。
2. 累次性Abel Dirichlet变换还具有很强的累次性质，即对于任意的两个函数f(x)和g(x)，都有以下等式成立：A(f(x)*g(x)) = A(f(x))*g(x) + A(g(x))*f(x) - f(x)*g(x)这一性质为Abel Dirichlet定理的证明和相关推论提供了重要的依据和基础，也为数论问题的研究提供了重要的线索和思路。
二、定理的证明Abel Dirichlet定理是分析数论领域的重要定理之一，其证明较为复杂，涉及了很多高等数学的知识和技巧。
其主要思路是通过构造适当的函数序列，利用Abel Dirichlet变换的性质和相关的数学方法，最终得到定理的结论。
由于篇幅所限，本文无法对定理的具体证明过程进行详细的叙述，有关证明的详细内容可参考相关数学专业的教材和论文。
三、定理的应用Abel Dirichlet定理在实际的数论问题中具有很广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 累次性的应用通过利用Abel Dirichlet变换的累次性质，可以将原来复杂的数论问题转化成相对简单的函数变换和积分运算问题，从而使得原问题的求解得以简化和优化。
Dirichlet边值问题是数学领域中的一个重要问题，它也在物理学中有着重要的应用。
在物理学中，Dirichlet边值问题通常用来描述一些真实世界中的物理现象，比如热传导、电势分布等。
本文将以Dirichlet边值问题的物理背景为主题，深入探讨其在物理学中的应用和意义。
1. 热传导问题Dirichlet边值问题在热传导问题中有着重要的应用。
在热传导过程中，温度分布可以用偏微分方程来描述，而Dirichlet边值问题则可以用来确定边界处的温度分布。
通过求解Dirichlet边值问题，可以得到热传导系统中的温度分布情况，从而帮助工程师设计和优化热传导装置，提高能源利用效率。
2. 电势分布问题在电学中，Dirichlet边值问题也有着广泛的应用。
在电路系统中，通过求解Dirichlet边值问题，可以得到电势分布的具体情况。
这对于电路系统的设计和优化至关重要，可以帮助电气工程师避免电磁干扰、提高电路系统的稳定性和可靠性。
3. 物理背景解释Dirichlet边值问题的物理背景可以用来深入理解物理现象背后的数学原理。
通过对温度分布和电势分布的求解，我们可以更好地理解热传导和电学现象是如何发生的，从而为我们解决实际问题提供更多的思路和方法。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们不仅对Dirichlet边值问题有了更深入的理解，也对热传导和电路系统中的物理现象有了更加全面和深刻的认识。
Dirichlet边值问题在物理学中的应用将为我们的工程设计和实际问题解决提供更多的有效手段。
个人观点和理解作为一名物理学研究者，我对Dirichlet边值问题的物理背景有着浓厚的兴趣。
在我的研究中，Dirichlet边值问题的应用不仅为我提供了更多的数学工具，也为我的实验设计和数据分析提供了更多的启发和支持。
我相信，在未来的研究中，Dirichlet边值问题在物理学中的应用将会有更多的发展和深入探讨，为我们的科学研究和工程实践带来更多的创新和突破。
dirichlet积分计算
Dirichlet积分是一类常见的积分形式，在计算中常常会遇到。
具体来说，Dirichlet积分可能包含一个分子函数和一个分母函数，分母函数中可能含有一个反常积分。
为了计算这类积分，我们需要借助
一些特定的方法和技巧。
首先，对于一般的Dirichlet积分，我们可以通过对分母函数进
行变换，化为标准形式来计算。
这里的标准形式通常是指，分母函数
变换后能够简化为一个以$x$为变量的无穷级数，而分子函数则是一个
幂级数或三角级数。
其次，还可以通过进行换元来计算Dirichlet积分。
具体来说，
我们可以通过将分母函数中的参数$t$替换为另一个参数$s$，以使得
积分变为一个常规的积分形式。
最后，我们还可以通过利用特定的公式和性质来计算Dirichlet
积分。
例如，我们可以通过熟悉的Gamma函数公式、Beta函数公式和Fresnel积分的表达式来计算Dirichlet积分。
此外，对于一些特殊的Dirichlet积分形式，我们还可以利用对称性和变量代换等方法来求解。
总之，Dirichlet积分是一类非常重要的积分形式，对于它的求解，我们需要掌握一些特定的方法和技巧。
dirichlet 函数的单侧极限【最新版】目录1.引言2.Dirichlet 函数的定义和性质3.Dirichlet 函数的单侧极限概念4.Dirichlet 函数在 x 趋于正无穷时的单侧极限5.Dirichlet 函数在 x 趋于负无穷时的单侧极限6.总结正文1.引言Dirichlet 函数是复分析中的一个重要函数，它在复平面上的性质和应用非常广泛。
在研究 Dirichlet 函数时，我们会涉及到它的极限问题，包括单侧极限和双侧极限。
本文将主要讨论 Dirichlet 函数的单侧极限。
2.Dirichlet 函数的定义和性质Dirichlet 函数是一个复数函数，其定义如下：f(s) = 1/((s - 1)^2 + 1)其中，s 是复数，且 s ≠ 1。
显然，Dirichlet 函数在除 s = 1 外的整个复平面上都有定义。
Dirichlet 函数具有以下性质：- 在 s = 1 处，函数无定义；- 在除 s = 1 外的其它点，函数有定义且连续；- 函数在实轴上取到最大值 1，最小值 -1；- 函数的图像关于原点对称。
3.Dirichlet 函数的单侧极限概念Dirichlet 函数的单侧极限指的是函数在自变量趋于正无穷或负无穷时的极限。
具体地，我们可以分别研究 f(s) 在 s → +∞和 s → -∞时的极限。
4.Dirichlet 函数在 x 趋于正无穷时的单侧极限当 s → +∞时，我们可以将 s 表示为实部为正的复数形式，即 s = a + ib，其中 a > 0，b ∈ R。
将 s 代入 Dirichlet 函数，得到：f(s) = 1/((a + ib - 1)^2 + 1)= 1/((a - 1)^2 + b^2)由于 a → +∞，所以 (a - 1)^2 + b^2 → +∞，那么函数值趋近于 0。
因此，当 s → +∞时，Dirichlet 函数的单侧极限为 0。
重极限和累次极限都不存在的例子重极限和累次极限是数学中的两个重要概念。
在一些特殊情况下，重极限和累次极限可能不存在，这种情况被称为无重极限现象和无累次极限现象。
下面我将介绍一些具体的例子来说明这两种现象。
无重极限现象是指在某个数列或函数中，无论我们如何选择贴近某一点的方式，都无法找到一个确切的极限值。
一个著名的例子是Dirichlet函数。
Dirichlet函数是由德国数学家Gustav Dirichlet在19世纪提出的一个例子，用来展示一类特殊函数的性质。
这个函数的定义如下：f(x) = { 1, x为有理数0, x为无理数这个函数在有理数和无理数之间的取值方式不同，无理数处的取值总是为0，而有理数处的取值总是为1。
由于有理数和无理数在实数集上均是稠密的，也就是说在任何一个区间内都可以找到一个有理数和一个无理数，所以当我们考虑点x的邻域时，无论我们如何选择贴近点x的方式，总是会包含有理数和无理数。
因此，无论我们如何选择点x的邻域，其函数值总会有1和0这两个值，无法找到一个唯一的极限值。
这就是Dirichlet函数的无重极限现象。
无累次极限现象是指在某个多元函数或多元数列中，无论我们如何按照不同的路径贴近某一点，都无法找到一个相同的极限值。
一个著名的例子是函数f(x, y) = x^y，其中x和y都是实数。
考虑函数f(x, y) = x^y，在取极限时，我们可以按照不同的路径贴近点(0, 0)。
比如我们可以按照y = kx的直线路径来贴近点(0, 0)，其中k为任意实数。
当x趋近于0时，根据指数函数的性质，x^y也趋近于0。
因此，沿着直线y = kx的路径，极限为0。
而当y = x^2时，沿着曲线y = x^2的路径贴近点(0, 0)时，当x趋近于0时，x^y趋近于1。
因此，在曲线y = x^2上，极限为1。
这样，无论我们按照哪条路径贴近点(0, 0)，都无法找到一个相同的极限值，因此f(x, y) =x^y在点(0, 0)处没有累次极限。
狄利克雷函数是一个特殊的数学函数，它是一个周期函数，但无最小正周期。
它在整个实数域上都是连续的，但在任何区间内都不连续。
因此，狄利克雷函数在微积分中可以作为反例来证明一些定理的例外情况。
例如，狄利克雷函数可以用来反例证明一些连续函数的性质。
由于狄利克雷函数在整个实数域上都是连续的，但又在任何区间内都不连续，因此它不满足“在闭区间上连续的函数必定在区间端点取到最大值和最小值”的性质。
此外，狄利克雷函数还可以用来反例证明一些可积函数的性质，例如“在闭区间上可积的函数必定在区间内取到最大值和最小值”。
浅谈dirichlet函数在微积分中的作用
Dirichlet函数是一种广泛应用于数学中的函数，广泛分布在微积分中并发挥
关键作用，被称为极值函数。
Dirichlet函数的定义是通过积分来确定的，包含正
负数的正面多项式的函数，首先介绍一下他的积分函数的定义形式化原理。
Dirichlet函数积分的定义式记作：M(x)=F (y) ∫*D(t)dt=F(x)，其中F(y)
表示曲线的积分函数。
这里的D（t）代表Dirichlet函数，它是正面多项式的正
负系数之和；∫*D(t)dt是推导出来的非常重要的关系，它表示有限可积分。
Dirichlet函数能够将曲线围成一个四边形，相当于增加了一个限制条件。
Dirichlet 函数在微积分中起着极其重要的作用，它可以将函数曲线按照两个
未知变量的总和覆盖，从而帮助用户理解变量的极值、极小值以及极大值的变化趋势，以及提高计算精度。
这种函数通常应用于计算最小值和最大值的函数，从而帮助用户更好地控制变量。
此外，Dirichlet函数还可以在积分计算中发挥重要作用，并被数学家们认为是更好地应用于计算机科学的一种应用函数。
综上所述，Dirichlet函数起着非常重要的作用，它可以将曲线连成一个正方形，还可以帮助更好地控制变量，应用于计算机科学，最终提高计算的精度。
因此，Dirichlet函数在微积分中起到了非常重要作用，有助于精确计算变量的最大/最
小值，是一种极其有用的函数。
０引言
本文讨论如下定义的函数
D (x )=c,x ∈Q ,d,x ∈R-Q .
{
在构造微积分反例中的应用.该函数称为Dirichlet 函数,其中R 和Q 分别表示实数集和有理数集,c 和d 是两个不相等的实数[1].这样的函数无论在函数概念的形成还是在微积分的发展过程中都具有极其重要的意义(详细讨论可以参见文献[1]).另外,Dirichlet 函数还是一个著名的病态函数(指具有一些奇特性质的函数,其中比较著名的如Weierstrass 构造出的病态函数,即处处连续但处处不可微的函数[1,2]).病态函数也经常用于构造反例,在微积分的发展过程中具有重要的意义[1].由于Dirichlet 函数以及反例在微积分中的重要性,本文把两者结合在一起,用Dirichlet 函数构造一些反例.这些反例具有双重作用:一方面可以加深对微积分一些重要概念和性质的理解,另一方面也使人们认识到需要对微积分的一些理论进行推广的必要性.１一些反例
本小节用Dirichlet 函数构造一些反例,这些例子同时也刻画了该函数的一些常见的重要性质.在以下讨论中,所涉及的一些概念及必要的理论知识可以参见文献[3].另外,为了讨论简便,在反例5中,取c =1,d =-1,在其余的例子中均取c =1,d =0(显然这时它即有理数集Q 的指示函数[4]).反例1:存在无法画出其图像的函数.
我们知道,一个定义在数集A 上的函数y=f (x ),其图像定义为一个平面点集G f ={(x,y )|x ∈A,y=f (x )}因此Dirichlet 函数的图像作为一个二维点集自然是存在的,但却不能在坐标平面上画出来.这是*收稿日期：2014-07-25
基金项目:河南省教育厅2013年教师教育课程研究课题,课题编号:2013-jsjyyb-111。
**作者简介：周高军(1968—),男,河南郑州市人,河南教育学院数学与统计学院讲师。
郑宝杰(1980—),男,河南新郑县人,河南教育学院数学与统计学院讲师。
Dirichlet 函数在构造微积分反例中的应用*
周高军郑宝杰**
（河南教育学院数学与统计学院，郑州450046）
摘要：Dirichlet 函数具有一些奇特的性质，
用该函数构造微积分中的一些反例，这些反例一方面可以使我们更好地理解相关的概念与性质,另一方面也说明了对微积分的一些理论进行推广的必要性.
关键词：Dirichlet 函数;微积分;反例
中图分类号：O172文献标识码：A 文章编号：1673-6923(2014)03-0006-03
北京教育学院学报(自然科学版)JOURNAL OF BEIJING INST I TUTE OF EDUCATION (NATURAL SCIENCE EDITION )第9卷第3期2014年9月Vol.9No.3Sep.2014
6
由于有理数以及无理数均在实数中稠密,因而对一个长度为任意小的区间,其中均无穷次取到有理数,也无穷次取到无理数;另外,因为无理数和有理数完全掺杂在一起,即任意两个有理数之间必有无理数,反之亦然.因而D (x )在此区间内无穷次地取到0和1.这样剧烈的振荡显然无法用几何图形表示.
该例子同时也说明,对一个函数,有必要区分其图像以及图形表示(这正是人们通常所说的函数的图像),前者是一个抽象的集合,而后者是一条几何曲线,它是前者的可视化.
反例2:周期函数不一定存在最小正周期.
首先,Dirichlet 函数D (x )是一个周期函数,这可简单证明如下:对任意的正有理数α考虑函数值D (x+α),根据D (x )的定义,如果x 是有理数(从而x+α也是有理数),则上述函数值为1;如果x 是无理数(从而x+α也是无理数),则上述函数值为0.所以有D (x+α)=D (x )对任意的正有理数α成立,亦即任意的正有理数都是它的周期.其次,因为正有理数没有最小元,所以D (x )也就没有最小正周期.
反例3:存在在整个实数集R 上处处有定义,但处处不连续的函数.
一个函数f (x )在点x 0处不连续,直观上理解就是该函数的图像在x 0处断开.可以想像存在无穷多个间断点的函数,但在任意一实数上有定义却间断的函数从直观上难以想象.然而这样的函数的确存在,Dirichlet 函数就是其中最著名的一个例子.下面证明该函数的这一奇特性质.
对任意的x 0∈R ,只需证明D (x )在x 0不连续.因为有理数集和无理数集均在R 中稠密,所以同时存在收敛到x 0的有理数数列{p n ,n ≥0}以及收敛到x 0的无理数数列{q n ,n ≥0}.现在,因为
lim n →∞D (p n )=lim n →∞
1=1,lim n →∞D (q n )=lim n →∞0=0,得证.
因为Dirichlet 函数具有如此奇特的性质,因而它也被称为病态函数.病态函数在微积分的发展过程中起着重要的作用(详细的介绍以及一些著名的例子可以参见文献[1-2]).当然,称其为病态也是相对的,在微积分里因其性质奇特而难以驾驭,但在其它数学分支,比如实变函数中,它的病态就消失了,成为性质良好的一类函数了[4].反例4:函数f (x )在x 0附近满足
f (x )=p n (x )+o((x-x 0)n )其中p n (x )为n 次多项式,但p n (x )不一定是f (x )的Taylor 多项式,考虑函数
f (x )=x n +1D (x ),n ≥1
容易证明[3],该函数在x 0=0点只存在一阶导数f ′(0),因此无法构造出高于一次的Taylor 多项式.但是因为显然有
lim x →0f (x )x n =lim x →0
xD (x )=0所以若取p n (x )≡0,则f (x )=p n (x )+o (x n )对任意n ≥1成立.当然,如果在本例中要求f (x )在x 0点n 次可导,则由Taylor 多项式的唯一性,此时p n (x )一定是f (x )的Taylor 多项式.
反例5:在某一闭区间上函数的绝对值Reimann 可积,而该函数本身却不一定可积.
考虑在闭区间[a,b ]有定义的函数,如果f (x )Reimann 可积,则可以证明|f (x )|也可积.但是反过来却不一定成立了.为此考虑Dirichlet 函数在[0,1]上的限制,即考虑以下函数
f (x )=1,x ∈Q ∩[0,1],-1,x ∈(R-Q )∩[0,1].{
因为该函数在[0,1]的任一子区间上的振幅都为2,不能任意小,所以不可积(详细证明参见文献[3]).然而显然|f (x )|≡1在[0,1]上可积.值得注意的是,由Reimann 积分的几何解释,函数f (x )在某闭区间上可积,表明相应的区域的面积
周高军郑宝杰:D irichlet 函数在构造微积分反例中的应用
7
北京教育学院学报(自然科学版)
存在.然而由对称性可知,f (x )所对应的区域与|f (x )|所对应的区域如果一个面积存在,另一个面积也应该存在.这样Reimann 积分的上述特性就显得不合理了,即该理论在刻画面积这一方面有一定缺陷.正因为如此,Lebesgue 推广了定义面积的方法,提出了Lebesgue 积分.在这样的理论下,不但Dirichlet 函数可积,而且任一个函数f (x )的可积性与其绝对值的可积性是等价的[4].当然,从积分刻画面积的角度来说,这是必须的.
反例6:可积函数序列的极限函数不一定可积.
考虑以f (x )为极限函数的函数序列{f n (x ),n ≥0},假设该序列中的每一个函数均Reimann 可积,但其极限函数f (x )却不一定可积.例如,定义函数序列如下(其中设{r k ,k ≥0}为[0,1]中的所有有理数,由有理数的可列性,这是可能的[4]):f (x )=
1x=r 1,r 2,…,r n ,0对[0,1]中的其它x .{因为如上定义的函数f n (x )在[0,1]上有界且只有有限个不连续点,所以Reimann 可积(显然其积分值为0).现在因为有lim n →∞f n (x )=D (x )
而极限函数不可积.这说明序列中每一项的可积性不能被极限函数继承,因而有些不合理.反例7:在可积函数序列中,极限与积分号不能任意交换位置.
考虑前例中定义的函数序列{f n (x ),n ≥0},其每一项可积,极限存在却不可积,自然有lim n →∞
10∫f n (x )dx ≠10∫lim n →∞f n
(x )[]dx 因而积分与极限不能交换.
在这个例子中,极限函数不可积,自然不能交换次序.但即使极限函数可积,仍然可能不能交换次序,这样的例子可以参见文献[1,3].
为了消除前两例中的不合理现象,有两种方法.其一是把前例和本例中的收敛(即点态收敛)加强为一致收敛,则这时极限函数一定可积且可交换次序,但一致收敛这一要求过于苛刻;另一方法是改进积分的定义,使得序列中每一函数的可积性被点态极限函数所继承(因而像Dirichlet 函数这样的病态函数也可积),且相应的运算次序可以随意交换.满足要求的积分就是Lebesgue 积分[4].２小结
本文用Dirichlet 函数构造了几个反例,这些反例具有重要的意义.另外,利用该函数还可以构造具有其它性质的例子,例如只在一点连续的函数,在两个集合上都连续,但在它们的并集上却不连续的函数等,具体细节可以参见相关的文献.
参考文献：
[1]William D.,The Calculus Gallery:Masterpieces from Newton to Lebesgue[M].New Jersey:Princeton University Press,
2005.[2]F.Klein.高观点下的初等数学(第三卷)[M].吴大任,等.译.上海:复旦大学出版社,2003.[3]华东师范大学数学系.数学分析(上,下)[M].北京:高等教育出版社,2012.[4]周民强.实变函数[M].北京:北京大学出版社,2008.（责任编辑何艳）8。
