青岛科技大学高数C2试题

青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、(30分)1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。

1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。

（这里表示子空间的维数）0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)1 设，求。

001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。

1(())f B -三、(30分)试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =五、(20分)设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。

n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。

六、(10分)给定方程组(1)与向量， 123412342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-青 岛 科 技 大 学二OO 九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。

高等数学c2期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 2答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解？A. \( y = A\sin(x) + B\cos(x) \)B. \( y = Ax^2 + Bx \)C. \( y = Ae^x + Be^{-x} \)D. \( y = A\log(x) + Bx \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的极值点个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是？A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A6. 积分 \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) 的结果是？A. \( \arctan(x) + C \)B. \( \ln(1+x^2) + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin(x) + C \)答案：A7. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( \ln(e^x) + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \ln(x^2) \)答案：A9. 以下哪个选项是函数 \( y = x^2 \) 的二阶导数？A. \( 2x \)B. \( 2 \)C. \( 4x \)D. \( 4 \)答案：B10. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分值是？A. \( 2 \)B. \( 0 \)C. \( \frac{2}{\pi} \)D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。

2013-2014二 高等数学C2（下） B 卷数理系 王军东高密校区（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题（每空3分，共30分）1.方程20y y xy '''-'+=是 阶微分方程。

2.已知(1,2,1)A 和(2,3,1)B ,则向量AB 的||AB 模=_________________.3. 设3z x y =，则2z x y∂∂∂=_________________.4. 将xOz 面上的抛物线23z x =绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 . 5. 交换二次积分的积分次序1(,)xdx f x y dy =⎰⎰______________.6. 二重积分Dxydxdy =⎰⎰____,其中区域D 是由1,y y x ==及2x =所围成的三角形区域。

7. 幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛域为_________ 8.函数(,,)f x y z xyz =在点(1,1,1)的方向导数____ _,其中方向角分别60度，45度,60度. 9.微分方程21dy ydx x =+满足初始条件(0)1y =的特解是y =_____ __. 10．函数xyz e =的全微分dz =______ _二、选择题：（每小题3分，共15分）1．函数24(,)x y f x y -=的定义域是（ ） 课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:)A 2221,4x y y x +≤≤)B 22201,4x y y x <+<≤)C 2221,4x y y x +<< )D 2221,4x y y x +≠≤2．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）)A 22z x = )B 23z y =+ )C 222z x y =+)D 231x y z ++=3．过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（ ）A.211123x y z ++-==-- B. 112103x y z -+-==- C.211123x y z --+==- D.112103x y z +-+==- 4. 设函数(,)f x y xy =，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）)A 取得极大值为0 )B 取得极小值为0 )C 连续)D 间断5. 设积分区域D: 223x y +≤,则二重积分(3)Ddxdy -=⎰⎰（ ）)A 9π-. )B 3π- )C 3π )D .9π三． 计算题（共55分）1 （8分）求微分方程xy y e-'+=的通解。

绍兴文理学院2010学年02学期经管类 专业10级《高等数学C2》期末试卷(答题卷)(试卷A)一、单选题（共15分，每小题3分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x yx xyy x f 在点)0,0(处 （ ）A.连续；B.可微；C.偏导存在；D.偏导连续． 2. 交换积分次序=⎰⎰dx y x f dy yy),(1（ ）A.dy y x f dx xx ),(10⎰⎰； B.dy y x f dx xx),(1⎰⎰ ；C.dy y x f dx x x),(12⎰⎰ ； D.dy y x f dx xx),(12⎰⎰．3．幂级数nn nx n ∑∞=-1)2(的收敛半径为 （ ） A.2； B.21 ； C.21- ； D.2-． 4．下列级数中，发散的是 （ ）A.∑∞=131n n ； B.∑∞=--113)1(n nn ； C.∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ； D.∑∞=-113n n n ． 5． 微分方程"7'64y y y -+=的通解为 （ ）A. 612xx c ec e +； B. 61223x x c ec e ++； C. 61213x x c e c e ++； D. 61232x xc e c e ++．二、填空题（共12分，每小题3分）1．函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是（ ）；2．函数)sin(2x z y x u -+=的全微分是（ ）；3．设,arctan x y z =则=∂∂∂yx z2 （ ）； 4．设{}222(,)D x y x y a=+≤，18Dπ=，则=a （ ）． 三、计算题（共57分，其中5、7、8小题分别为10分、8分、9分，其余每小题6分）1. 计算dxdy x y D||⎰⎰-,其中{}11,11|),(≤≤-≤≤-=y x y x D2．求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.3．将函数x x f 2cos )(=展开成x 的幂级数，并写出收敛域.4．设cos sin(23),z x e x y z =+-求xz ∂∂.5．判断下列级数的敛散性（1）∑∞=13sin2n nnπ；（2）∑∞=--131)1(n n n.6．计算，dxdy y x D⎰⎰+22其中{}y y x x y y x D 2,0),(22≤+≥≥=.7．求微分方程12+=-'x xyy 的通解.8．求幂级数1115)1(1+∞=+∑+n n n x n 的收敛域与和函数．四、综合题（共16分，每小题8分）1．设),(v u F 可微，),(y x z z =由方程0),(=++xzy y z x F 所确定，求证xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂．2．设销售收入R(单位：万元)与花费在两种广告宣传上的费用y x 、 (单位：万元)之间的关系为yyx x R +++=101005200，利润为y x R L --=51，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？(必须用拉格朗日乘数法)。

（1）青岛科技⼤学⾼数试卷10-11⾼数A2A卷2010/20112 ⾼等数学A2（ A 卷）数理学院机电，信息，应物等专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上⽆效）⼀、填空题（每⼩题3分，共15分）1．设arctany z x =，则zx= 。

2．⼀阶线性微分⽅程23x dyy e dx+=的通解为。

3．设L 是椭圆周221x y +=，则曲线积分2(21) Lx x ds ++? 。

4．函数()sin f x x x =展开为x 的幂级数是。

5．已知向量(2,1,1),(1,1,3)a b ==-，则a b ?= 。

⼆、选择题（每⼩题3分，共15分）1．函数(,)f x y =0，0）处（）。

()A 偏导数存在 ()B 连续但偏导数不存在 ()C 可微 ()D 连续且偏导数存在2．⼆重积分31(,)xxdx f x y dy ?交换积分次序可化是（）。

()A 1(,)y dy f x y dx ? ()B 10(,)ydy f x y dx ?()C 10(,)ydy f x y dx ? ()D 1(,)ydy f x y dx ?3．曲⾯21z x y =+在点（1,1,2）处的切平⾯⽅程是（）。

()A 210x y z +--= ()B 210x y z +--= ()C 10x y z +--= ()D 10x y z ++-= 4．若级数1nn a∞=∑收敛，则级数20()nn n aa ∞+=+∑（）。

()A 绝对收敛 ()B 发散 ()C 收敛 ()D 敛散性不能确定5．以4为周期的函数在[2,2)-上的表达式为24,20()2,02x x f x x x +-≤的和函数为(),s x 则(2)s =（）。

课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适⽤专业:()A 1 ()B 2 ()C 0 ()D 3.三、（共21分）1、（7分）设(2,2)z f x y x y =-+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y。

《高等数学》试卷（C ）(2)参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）1、B2、C3、C4、D5、 B 二、填空题（每空3分，共15分）1、922、1-3、44200(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 4、12a a - 5、24cos xy x三、计算题（共63分） 1．解：21ln ex xdx ⎰311ln 3e xdx =⎰33111(ln )13e e x x x dx x =-⎰ （+4分） 32331111()((1))333e e x dx e e =-=--⎰32199e =+ (+3分)2．解：设2ln(1)z v u =+ ，,u xy v x y ==+，求2zx y∂∂∂z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222()ln(1)1xy x y x y x y =++++ (+4分) 2z x y ∂=∂∂222222(()ln(1))1xy x y x y y x y∂+++∂+ 222222222222224(1)222()1(1)1xy xy x y xy x y x y x y x y x y x y +-=++++++ 22222(3)2()(1)x y xy x y x y +=++ （+3分）3．解：因 112()dxdx xx y ex e dx c ---⎰⎰=+⎰ ln 2ln ()x x e x e dx c -=+⎰21()2x x c =+ (+4分)11|1,2x y C ===由得 ， 故方程的特解为21(1)2y x x =+ （+3分）4. 解：21122221x Dx y dxdy x dx y dy -=⎰⎰⎰⎰12811()3x x dx -=-⎰ （+4分）39111114()33927x x -=-=(+3分)5. 解：方程的特征方程为：2420r r -+=，其特征根为1,22r = （+4分）故方程的通解为：(2(212xxy c e c e =+ (+3分)6．解：曲线()x f y =绕y 轴旋转所得体积为 2dcV x dy π=⎰，且曲线214x y y =-与y 轴上的交点为120,4y y == （+4分） 所以44222345400111132()()43816515V x dy y y dy y y y ππππ==-=-+=⨯⎰⎰ (+3分) 7．解：20x x →=34241sin 2limx x x x x +→ （+3分） 242021sin lim xx x x +=→21121sin lim 4220=+=→x x x x (+4分) 8．解：设长方体的长、宽、高分别为,x y ,z ，则长方体的体积为 V xyz =，而有条件 2()4xy yz zx ++=，即设(,,,)(2()4)F x y z xyz xy yz zx λλ=-++-， (+3分)则2()02()02()02()40x y z F yz y z F yz x z F xy x y F xy yz zx λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=++-=⎩，求解以上方程组得x y z ===V = (+4分)9、设 =)(x s 21121n n x n -∞=-∑，则 ∑∑∞=∞=-=='02122)()(n nn n x x x s 2211lim x x n n --=∞→ (+3分)当1x <时级数 ++++753753x x x x 收敛， 故=')(x s 211x- 所以两边积分得 ()s x =xx-+11ln 21 (+4分) 四、证明题（共7分） 证明：21()nn n ab ∞=+∑221112n n n n n n n a b a b ∞∞∞====++∑∑∑2222111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===≤+++∑∑∑22112()n n n n a b ∞∞===+∑∑， .(+3分)因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故存在N ，当n N >时有1,1n n a b <<，即当n N>时有22,n n n n a a b b <<，21()nn n ab ∞=+∑22221111112()2()2()NNn n n n n nn n n n n N n N a b a b a b ∞∞∞∞=====+=+≤+≤+++∑∑∑∑∑∑112()n n n n M a b ∞∞==≤++∑∑，其中112()NNn n n n M a b ===+∑∑可得级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛 .(+4分)证法2：因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故有lim 0,lim 0n n n n a b →∞→∞==，且1()nn n ab ∞=+∑也收敛。

2011-2012二 高等数学C2（下） A 卷数理系 李夕广高密校区（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题（每空3分，共30分）1.方程02)(/2/=+-x yy y x 是 阶微分方程。

2.已知1(2,2,2)M 和2(1,3,0)M ,则向量12M M u u u u u u r的模=_________________.3. 设22z x y yx =+，则2zx y∂∂∂=_________________.4. u xyz =在点（5，1，2）处的梯度为__ ___.5. 交换二次积分的次序1(,)xdx f x y dy =⎰⎰______________.6. 二重积分Dxydxdy =⎰⎰____,其中区域D 是由0,y y x ==及1x =所围成的三角形区域。

7. 级数11(1)n n n n x∞-=+∑的收敛半径R=_________.8.函数(,,)f x y z x y z =++在点(1,1,1)的方向导数____ _,其中方向角分别60度，45度,60度.9. 二阶微分方程20y y y '''+-=的通解y =_____ __. 10．函数z xxy y=+的全微分dz =______ _ 二、选择题：（每小题3分，共15分）1．对于函数),(y x f z =，下列命题正确的是：（ ）)A y z x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 连续； )B yzx z ∂∂∂∂,都连续，则),(y x f 必可微； 课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:)C y z x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 的极限存在；)D yz x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 可微。

2．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）)A 2z x =)B 2z y = )C 22z x y =+)D 1x y z ++=3．下列级数中属于条件收敛的是：（ ）)A ∑∞=+-1)1()1(n n n n ； )B ∑∞=--113)1(n n n ； )C ∑∞=-12)1(n nn ； )D ∑∞=-121sin)1(n n n . 4. 设函数(,)f x y x y =+，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）)A 取得极大值为0 )B 取得极小值为0 )C 连续)D 间断5. 若级数nn a∞=∑收敛且(1,2,)n n a b n ≥=L ，则级数nn b∞=∑（ ）)A 发散； )B 绝对收敛； )C 条件收敛； )D 敛散性不定三． 计算题（共55分）1 （8分）求微分方程xy y e-'+=的通解。