组合和组合数公式解析

组合数的计算方法在数学中，组合数是一个非常重要的概念，用于计算从一组对象中选择出若干个对象的方式数量。

组合数的计算方法有多种，其中最经典且普遍适用的方法是利用组合公式或者递推公式进行计算。

本文将介绍这两种计算组合数的方法，并且针对具体问题给出应用示例。

一、组合公式的计算方法组合公式是计算组合数的一种基本方法，它适用于从n个不同的对象中选取r个对象的组合数计算。

组合公式的表达式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，C(n, r)表示从n个不同的对象中选取r个对象的组合数，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。

这个公式的推导来源于组合数的基本原理，即从n个不同的对象中选取r个对象的组合数等于从n个不同的对象中选取1个对象，再从剩下的n-1个对象中选取r-1个对象的组合数。

通过这种递归的方式，最终可以得到组合公式。

通过组合公式，我们可以很方便地计算组合数。

下面通过一个具体的例子来展示：例：从5个不同的球中选择3个球的组合数是多少？根据组合公式，我们可以计算出：= 5! / (3! * 2!)= (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1))= 10因此，从5个不同的球中选择3个球的组合数是10。

二、递推公式的计算方法除了组合公式，另一种常用的计算组合数的方法是递推公式。

递推公式是通过前一项组合数与当前项组合数之间的关系，逐步计算得到的。

递推公式的表达式如下：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)其中，C(n, r)表示从n个不同的对象中选取r个对象的组合数。

通过递推公式，我们可以从已知的初始条件推导出任意给定的组合数。

下面通过一个具体的例子来展示：例：计算C(5, 3)的值。

根据递推公式，我们可以得到：C(5, 3) = C(4, 2) + C(4, 3)然后再继续展开：C(4, 2) = C(3, 1) + C(3, 2)继续展开：C(3, 1) = C(2, 0) + C(2, 1) = 1 + 2 = 3C(3, 2) = C(2, 1) + C(2, 2) = 2 + 1 = 3C(3, 3) = 1继续展开：C(4, 2) = 3 + 3 = 6C(4, 3) = 3 + 1 = 4最终得到：C(5, 3) = 6 + 4 = 10通过递推公式的计算，我们同样得到了从5个不同的球中选择3个球的组合数是10。

排列组合中a和c的计算方法排列组合是数学中重要的概念，广泛应用于各种领域。

其中，排列数公式和组合数公式是计算排列和组合的基本方法。

本文将介绍排列数公式、组合数公式、递归计算、近似计算和查表法等方面的内容。

一、排列数公式排列数公式是指计算从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数。

排列数的数学表示为P(n,m)，其计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×3×2×1。

二、组合数公式组合数公式是指计算从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数。

组合数的数学表示为C(n,m)，其计算公式为：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]三、递归计算递归计算是指通过递归的方式进行排列或组合的计算。

在计算排列数或组合数时，可以通过递归方式不断缩小选择范围，直到计算出最终结果。

虽然这种方法需要更多的时间来计算，但是在一些特殊情况下可能会很有用。

四、近似计算在一些情况下，我们可能无法精确地计算排列数或组合数，这时可以使用近似计算的方法。

近似计算是指通过数学方法或计算机模拟来估算排列数或组合数的值。

虽然这种方法得到的结果可能不够精确，但是可以为我们提供大致的数值范围。

五、查表法查表法是指通过查阅预先计算好的表格来获取排列数或组合数的值。

这种方法需要预先计算出所有可能的排列数或组合数，并将其存储在表格中。

在需要计算某个具体的排列数或组合数时，只需要查找对应的表格即可。

虽然查表法需要预先花费大量的时间和资源来建立表格，但是在计算速度上要比其他方法快很多。

特别是在计算大型的排列数或组合数时，查表法的优势更加明显。

以上就是排列组合中a和c的计算方法的简介。

通过熟练掌握这些方法，我们可以更好地处理和解决与排列和组合相关的各种问题。

组合数常用公式
在组合数理论中，有几个常用的公式：
1. 组合数的定义公式：
组合数（Combination）表示从n个不同元素中选择r个元素，记作C(n,r)，计算公式为：
C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)
2. 二项式定理：
二项式定理表达了两个数的和的幂展开的公式，即：
(a + b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n
3. 杨辉三角形：
杨辉三角形是由组合数构成的一个数表，它具有以下特点：
- 每一行的两端元素都是1。

- 从第三行开始，每个元素的值等于它上方两个元素的和。

- 杨辉三角形可用于计算组合数。

这些是组合数理论中常用的公式，可用于计算组合数和展开二项式等问题。

组合数常用公式
【原创版】
目录
一、组合数概念介绍
二、组合数公式推导
三、组合数公式应用举例
四、组合数在实际问题中的应用
正文
一、组合数概念介绍
组合数是离散数学中的一个重要概念，用于表示从 n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式的数量。

组合数用符号 C(n,m) 表示，其中 n 表示元素总数，m 表示选取元素的个数。

例如，从 5 个数中选取 3 个
数的组合数为 C(5,3)=10，表示从 5 个数中选取 3 个数的不同组合方
式有 10 种。

二、组合数公式推导
组合数的计算公式为：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 1*2*3*...*n。

推导过程如下：
假设有 n 个元素，我们要从中选取 m 个元素，我们可以先选择第 1 个元素，有 n 种选择方法；然后选择第 2 个元素，由于已经选择了一个，所以还剩下 n-1 种选择方法；以此类推，直到选择第 m 个元素，还剩下n-m+1 种选择方法。

因此，总共有 n*(n-1)*...*(n-m+1) 种选择方法。

而 n! 表示 n 的阶乘，即 1*2*3*...*n，因此，n!/(m!(n-m)!) 即为从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合方式的数量。

三、组合数公式应用举例
例如，有 5 个数，要求从这 5 个数中选取 2 个数，根据组合数公式，C(5,2)=5!/[2!(5-2)!]=10，表示从 5 个数中选取 2 个数的不同组合方式有 10 种。

组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。

组合数公式是用来计算组合数的公式。

本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。

1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。

组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。

2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。

例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。

组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。

常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。

这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。

递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。

组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。

这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。

4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。

这使得计算大规模组合数变得更加高效。

4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。

例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。

5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。

排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。

数字的排列组合数字的排列组合是数学中非常重要的一个概念。

在许多领域中，排列组合都扮演着重要的角色，例如概率论、统计学、密码学等。

通过对数字的排列和组合，我们可以得到更多的可能性和变化。

一、排列排列是指对给定的元素按照一定的顺序进行组合。

在排列中，元素之间的顺序是重要的。

对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行排列的方式有P(n, k)种，其中P表示排列数。

排列数的计算公式如下：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

而k!表示k的阶乘。

二、组合组合是指对给定的元素进行选择但无需考虑元素之间的顺序。

在组合中，元素之间的顺序是无关紧要的。

对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行组合的方式有C(n, k)种，其中C表示组合数。

组合数的计算公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)三、应用案例1. 抽奖活动假设有10个人参加抽奖活动，其中只有3个奖品可供选择。

那么计算中奖的可能性就是一个排列问题。

根据排列数的计算公式，可以得知这个活动中中奖的可能性为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720种。

2. 密码破解在密码学中，如果一个密码由n个字符组成，每个字符有k种选择，则密码的可能性为k的n次方。

例如，一个有6位数字组成的密码，而每一位数字有10种选择（0-9），那么密码的可能性就是10的6次方，即1000000种。

这个例子中，我们考虑的是排列问题。

3. 组合投资假设你有1000元的资金可以用于投资，那么你可以选择将资金分配到不同的投资项目上。

假设有5个投资项目可供选择，而你最多只能选择3个项目进行投资。

这个例子中，我们考虑的是组合问题。

根据组合数的计算公式，可以得知你有C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的组合方式。

总结：数字的排列组合在数学中具有重要的意义，它们在实际生活中有着广泛的应用。

组合数公式大全组合数是数学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中选取r个元素的组合的数量。

在组合数的计算中，有多种公式和方法可供选择。

本文将介绍一些常用的组合数公式，帮助读者理解和计算组合数。

1. 乘法公式：组合数的一个基本性质是乘法公式。

当n和r为非负整数时，组合数C(n, r)可以通过以下公式计算：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘。

2. 递推公式：递推公式是一种常见的计算组合数的方法，通过逐步递推得到结果。

C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)如果r为0或r等于n，则C(n, r)为1。

3. Pascal三角形：Pascal三角形是一种展示组合数的图形表示方法，利用递推公式来计算组合数。

Pascal三角形的第n行第r个数表示C(n, r)。

例如，Pascal三角形的第4行为：1 3 3 1，表示C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1。

4. 二项式定理：二项式定理是组合数的一个重要公式，将一个二项式展开为一系列项的和。

(x + y)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * y + ... + C(n, n-1) * x * y^(n-1) + C(n, n) * y^n5. 组合数的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从n个元素中选择r个等于从n个元素中选择n-r个。

- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，符合递推公式的性质。

- 对于任意正整数n，有C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n，表示从n个元素中选择0个到n个元素的所有组合数之和等于2的n次方。

6. Lucas定理：Lucas定理是组合数的一个重要定理，用于计算模p的组合数。

对于非负整数n和p，设n = nk * pk + ... + n1 * p + n0，其中0 <= ni < p，0 <= i <= k。

组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn，C mn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．( )(3)C35＝5×4×3＝60.( )(4)C2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√若A3n＝8C2n，则n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －mC mn －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150. (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，C mn C m ＋1n ＝45， 由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x .解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， 所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。

组合数常用公式
（最新版）
目录
一、组合数概念介绍
二、组合数公式推导
三、组合数公式应用实例
四、总结
正文
一、组合数概念介绍
组合数是组合数学中的一个基本概念，表示从 n 个元素中取出 m 个元素的不同组合数量。

组合数的计算公式可以反映其数学规律，对于解决实际问题具有重要意义。

二、组合数公式推导
组合数的公式为：C(n,m) = n! / [(n-m)! * m!]。

其中，n! 表示 n 的阶乘，即 1*2*3*...*n。

推导过程如下：
假设有 n 个元素，我们可以从中选择 m 个元素，首先选择第一个元素，有 n 种选择方法；然后选择第二个元素，由于已经选择过一个，所以还剩下 n-1 种选择方法；以此类推，直到选择第 m 个元素，还剩下
n-m+1 种选择方法。

因此，总共有 n*(n-1)*...*(n-m+1) 种选择方法。

但是，上述计算方法中，每种组合的选择顺序不同，但实际上是同一种组合。

所以，需要将所有组合的选择方法除以 m!，得到最终的组合数公式。

三、组合数公式应用实例
例如，从 5 个元素中选取 3 个元素，可以使用组合数公式计算：C(5,3) = 5! / [(5-3)! * 3!] = 10。

即从 5 个元素中选取 3 个元素共有 10 种组合。

四、总结
组合数是组合数学中的一个基本概念，其公式为 C(n,m) = n! / [(n-m)! * m!]。