【配套K12】高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第8节函数与方程课时训练理

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程课后作业理05212147[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·临汾三模)已知函数f(x)、g(x)：则函数y＝f[g(x)]的零点是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析由题意，g(x)＝1，∴x＝1，故选B.2．(2017·衡水调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析∵a>0，∴a2＋1>1，而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．[1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意．当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1.若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x ＝－2，不合题意，故选C.4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.5．(2017·河南新乡三模)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( )A ．4或－52B ．4或－2C ．5或－2D ．6或－52答案 C解析 g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.故选C.6．(2017·河南十所名校联考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点，故选D.7．(2017·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.8．(2017·江西赣州一模)函数f (x )，g (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x 2－2x ＋3)＝g (x )，若关于x 的方程g (x )＋sinπ2x ＝0只有5个根，则这5个根之和为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 答案 A解析 由f (x 2－2x ＋3)＝g (x )及y ＝x 2－2x ＋3的图象关于直线x ＝1对称知g (x )的图象关于直线x ＝1对称，由g (x )＋sin π2x ＝0，知g (x )＝－sin π2x ，因为y ＝－sin π2x 的图象也关于直线x ＝1对称，g (x )＋sin π2x ＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A.9．(2017·山东济宁模拟)定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上的函数f (x )满足f (x )＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝ln x ，若函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ln ππ，0 B ．[－πln π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，ln ππD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e π，－1π答案 B解析 令x ∈[1，π]，则1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝lnx ，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，－ln x ，x ∈[1，π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图：因为函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，所以直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有交点．由图得，当a 取满足题意的最小值时，直线y ＝ax 与f (x )的图象相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，－ln π，此时－ln π＝a π⇒a ＝－πln π，由图可得，实数a 的取值范围是[－πlnπ，0]，故选B.10．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log a x ＋1＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析 要使函数f (x )在R 上单调递减， 只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点，如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a －1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋4a －3x 0＋3a ，－1＝2x 0＋4a －3，整理可得4a 2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.二、填空题11．(2017·河北模拟)若函数f (x )＝ln (x －1)－3x的零点在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 的值为________．答案 3解析 易知函数f (x )＝ln (x －1)－3x在其定义域上连续，f (3)＝ln 2－1<0，f (4)＝ln 3－34>0，故f (3)·f (4)<0，故函数的零点在区间(3,4)上，故k ＝3，故答案为3. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.13．已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意易知a ≠0，令f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝0，变形得|x |－12＝－1ax ，分别作出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1ax 的图象，如图所示．由图易知，当0<－1a <1或－1<－1a<0，即a <－1或a >1时，y 1和y 2的图象有两个不同的交点，所以当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．14．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析 函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得h x ＋g x2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆 x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．三、解答题15．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1>0，f 0<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.16．(2017·江西模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x >0时，g (x )＝x ＋e2x≥2x ·e2x＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2， ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

第8节函数与方程课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013惠阳一中实验学校模拟)函数f(x)=-log2x的零点所在的区间为( C )(A)(,) (B)(,1)(C)(1,2) (D)(2,3)解析:f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(1)=1>0,f(2)=-1=-<0,则f(x)的零点在区间(1,2)内.故选C.2.(2013山东莱州一中月考)函数f(x)=ln x+e x的零点所在的区间是( A )(A)(0,) (B)(,1) (C)(1,e) (D)(e,+∞)解析:函数f(x)=ln x+e x在(0,+∞)上单调递增,F()=ln +=-1+>0,结合选项知应选A.3.(2013山东临沂市模拟)函数f(x)=x-2-x的零点个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由f(x)=x-2-x=0得x=()x,在同一坐标系中作出函数y=x,y=()x 的图象,由图象可知两函数的交点有1个,即函数f(x)=x-2-x的零点个数为1.故选B.4.函数f(x)=的零点个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函数f(x)有2个零点,故选C.5.(2013年高考重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A )(A)(a,b)和(b,c)内(B)(-∞,a)和(a,b)内(C)(b,c)和(c,+∞)内(D)(-∞,a)和(c,+∞)内解析:∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选A.6.(2013年高考湖南卷)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=ln x与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.故选C.7.(2013湛江市高考测试)函数f(x)=(x-1)cos x2在区间[0,4]上的零点个数是( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由f(x)=0得x=1或cos x2=0,由cos x2=0,得x2=kπ+(k∈Z);又x∈[0,4],因此0≤x2=kπ+≤16,-≤k≤-,因此整数k可取0,1,2,3,4,因此f(x)在[0,4]上的零点个数是6,故选C.二、填空题8.(2013山东枣庄一模)函数f(x)=的零点的个数为.解析:当x≥0时,由f(x)=0得x+1=0,此时x=-1不成立.当x<0时,由f(x)=0得x2+x=0,此时x=-1或x=0(不成立舍去).所以函数的零点为x=-1.答案:19.(2013惠州市高三第一次模拟)已知函数f(x)=3x+x-9的零点为x0,则x0所在区间为.解析:f()=+-9<0,F()=+-9<0,f()=+-9>0.答案:[,]10.(2013惠州市二调)若函数f(x)=|4x-x2|-a有3个零点,则a= .解析:作出函数y=|4x-x2|的图象如图所示,若f(x)有3个零点,则函数y=|4x-x2|与函数y=a的图象有3个交点,由图知a=4.答案:411.(2013山东即墨市期末)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是.解析:f(x)的图象如图,要使方程f(x)-a=0有两个实根,即y=f(x)与y=a的图象有两个交点,0<a≤1.答案:(0,1]三、解答题12.判断函数f(x)=1+4x+x2-x3在区间(-1,1)内零点的个数,并说明理由.解:∵f(-1)=1-4+1+=-<0,f(1)=1+4+1-=>0,∴f(x)在区间(-1,1)内有零点.又f'(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2),当-1<x<1时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,1)内单调递增,因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点.13.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.解:f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0仅有一个正实根.当Δ=0时,m2-4=0,解得m=2或m=-2,而m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.∴这种情况不符合题意.综上可知,m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.B组14.(2013广东广州一模)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式成立的是( A )(A)f(a)<f(1)<f(b) (B)f(a)<f(b)<f(1)(C)f(1)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(1)<f(a)解析:函数f(x),g(x)均为定义域上的单调递增函数,且f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,g(1)=-1<0,g(e)=e-1>0,所以a∈(0,1),b∈(1,e),即a<1<b,所以f(a)<f(1)<f(b).故选A.15.(2013梅州市质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为( C )(A)(-∞,-2] (B)[-1,0](C)(-,-2] (D)(-,+∞)解析:由题意可得x2-3x+4=2x+m在x∈[0,3]上有两个不同的根,即函数y=m,y=x2-5x+4,x∈[0,3]的图象有两个不同的交点,作出函数图象如图,由图可知,当-<m≤-2时满足要求,故选C.16.(1)已知f(x)=x2+2mx+3m+4,m为何值时.①函数有且仅有一个零点;②函数有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1.②法一设f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由题意,知⇔⇔∴-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1). 法二由题意,知即∴-5<m<-1.∴m的取值范围为(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点, 即f(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).。

2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2) 答案 C解析 由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.2．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0<a <1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定 答案 C解析 令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数，即为函数y ＝log a (x ＋1)(0<a <1)与函数y ＝－x 2＋2(x >－1)的图象的交点个数，易知图象交点个数为2，故选C.3．[2017·湖南师大附中模拟]设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定答案 B解析 由f (1.25)<0，f (1.5)>0可得方程f (x )＝0的根落在(1.25,1.5)上，故选B.4．[2017·广东七校联考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零 答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0，故选A.5．[2017·黑龙江哈师大附中月考]关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－a －1＝0有解，则a 的取值范围是( )A ．0<a ≤1B ．－1<a ≤0C ．a ≥1D ．a >0答案 B解析 方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－a －1＝0有解等价于存在x ∈R 使得⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1＝a 成立，设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，易得函数f (x )的值域为(－1,0]，所以a 的取值范围为－1<a ≤0，故选B.6．函数f (x )＝e x＋12x －2的零点有________个．答案 1解析 ∵f ′(x )＝e x＋12>0，∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －32>0，∴函数在区间(0,1)上有零点且只有一个．7．[2015·安徽高考]在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12.8．[2017·嘉兴模拟]设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．答案 (1,2)解析 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示．因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1＜0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，所以f (1)f (2)＜0，所以x 0∈(1,2)． 9．[2017·唐山模拟]当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a >0)的图象有交点，求a 的取值范围________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a2，即1<a≤2；当0<a<1时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12≤a<1，综上可知，a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 10．[2017·江西模拟]已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)∵x>0时，g(x)＝x＋e2x≥2x·e2x＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．∴m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[B级知能提升](时间：20分钟) 11．设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( ) A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)答案 D解析 令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．12．[2017·大连模拟]函数f (x )＝(x ＋1)ln x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 由f (x )＝(x ＋1)ln x －1＝0，得ln x ＝1x ＋1，作出函数y ＝ln x ，y ＝1x ＋1的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1，选B.13．g (x )＝x ＋e2x－m (x >0，其中e 表示自然对数的底数)．若g (x )在(0，＋∞)上有零点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥2e解析 由g (x )＝0，得x 2－mx ＋e 2＝0，x >0.由此方程有大于零的根，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.14．已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.。

第八节 函数与方程
☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆
自|主|排|查
1．函数的零点 1函数零点的定义
对于函数＝f ∈D ，把使f ＝0的实数叫做函数＝
f ∈D 的零点。

2几个等价关系
方程f ＝0有实数根⇔函数＝f 的图象与轴有交点⇔函数＝f 有零点。

3函数零点的判定零点存在性定理
如果函数＝f 在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa ·fb 0的图象与零点的关系
0的图象
与轴的交点1,0，2,01,0无交点零点个数210
微点提醒
1．有关函数零点的结论
1若连续不断的函数f在定义域上是单调函数，则f至多有一个零点。

2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。

2．三个等价关系
方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与轴有交点⇔函数＝f有零点。

小|题|快|练
一、走进教材
1．必修192A
0f－
________。

解析设函数f＝2＋m－6，则根据条件有f22m
3m3m4m23m
错误!⇔错误!错误!即错误!
∴－5即错误!错误!2a错误!
将①代入上述不等式中，解得2021a>2或a1即可，解得2<a<错误!。

【答案】错误!。

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课时分层训练(十一）函数与方程A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．若函数f（x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（) 【导学号：31222061】A．0，2 B．0，错误!C．0,－错误!D．2,－错误!C ［由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g（x）＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝错误!＝－错误!。

]2．函数f（x)＝e x＋x－2的零点所在的区间为（）A．（－2,－1）B．（－1,0）C．(0，1) D．（1,2）C ［因为f(0）＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0,故f(0)·f（1）＜0，故选C.]3．函数f（x)＝2x＋x3－2在区间（0，2)内的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．3B ［由指数函数、幂函数的性质可知,f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,2）内单调递增,且f （0）＝－1＜0,f(2)＝10＞0，所以f(0）·f（2)＜0，即函数f（x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一一个零点，故选B。

]4．已知函数f(x)＝错误!则使函数g（x)＝f（x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是（) A．[0,1）B．（－∞，1）C．(－∞，1]∪(2,＋∞）D．(－∞，0]∪（1，＋∞)D [函数g（x)＝f(x）＋x－m的零点就是方程f（x)＋x＝m的根，画出h（x)＝f（x)＋x ＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x）＝f（x)＋x －m有零点．]5．（2016·湖北七校2月联考）已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y＝f(2x2＋1)＋f（λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A。

课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )【导学号：66482079】A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.] 3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x＋x ，x ＞0的大致图像(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．] 5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：66482080】A.14B ．18C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________． (－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.] 7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． (0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x . 2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 7分 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0. 12分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 【导学号：66482081】[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根. 3分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根. 5分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 10分故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________.【导学号：66482082】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.]3．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.【导学号：66482083】[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1. 3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－a ＋，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；6分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分 ③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]. 12分 法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，3分设t ＝2x(t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 12分。

课时提升作业十一函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )A.0,2B.0,C.0,-D.2,-【解析】选C.由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x==-.2.(2016·成都模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )A.f(x)=8x-2B.f(x)=(x+1)2C.f(x)=e x-1D.f(x)=ln【解析】选 A.因为g(0)=-1<0,g=1>0,所以g(0)·g<0,所以g(x)的零点在内,因为f(x)=8x-2的零点为,故选A.3.函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内( )A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点【解析】选B.令f(x)=0,得=cosx,在同一坐标系内画出两个函数y=与y=cosx的图象如图所示,由图象知,两个函数只有一个交点,从而方程=cosx只有一个解.所以函数f(x)只有一个零点.【加固训练】函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.由f(x)=xcosx2=0,得x=0或cosx2=0.又x∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于cos=0(k∈Z),而在+kπ(k∈Z)的所有取值中,只有,,,,满足在[0,16]内,故零点个数为1+5=6.4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【解析】选B.由于f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,且f(x)为R上的增函数.故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).因为g(2)=0,所以g(x)的零点b=2;因为h=-1+=-<0,h(1)=1>0,且h(x)为(0,+∞)上的增函数,所以h(x)的零点c∈,因此a<c<b.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选B.由f(x)=0得2x=-x;由h(x)=0得log2x=-x,作出函数y=2x,y=log2x和y=-x的图象(如图).由图象易知a<0,0<c<1,而b=2,故a<c<b.5.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-1]C.[-1,0)D.(0,1]【解题提示】由x>0时有一解,得出2x-a=0在(-∞,0]上有解,从而确定a的取值范围.【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=.所以要使f(x)在R上有两个零点,则必须2x-a=0在(-∞,0]上有解.又当x∈(-∞,0]时,2x∈(0,1].故所求a的取值范围是(0,1].二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·九江模拟)函数f(x)对一切x∈R都有f=f,并且方程f(x)=0有三个实根,则这三个实根的和为.【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以方程f(x)=0有三个实根时,一定有一个根是,另外两个根关于直线x=对称,且和为1,故方程f(x)=0的三个实根的和为.答案:7.(2016·临汾模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是.【解析】首先画出f(x)的图象如图,令y=k与y=f(x)有两个不同的交点,根据图象分析,如果有两个不同的交点,则<k<1.答案:【加固训练】(2016·漳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.【解析】画出f(x)=的图象,如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得:0<m<1,即m∈(0,1).答案:(0,1)8.已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n= .【解析】在平面直角坐标系中分别作出y=log2x,y=log3x及y=3-x,y=4-x的图象,如图所示,显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界),其中各点的横坐标均落于(2,3)之内,又因为x0∈(n,n+1),n∈N*,故n=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,(1)求m的取值范围.(2)求函数的零点.【解析】(1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为x=0.10.(2016·安庆模拟)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围.(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间[a,b]的长度为b-a).【解析】(1)因为函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,所以f(x)在区间[-1,1]上是减函数.因为函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有即所以-20≤q≤12.(2)因为0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是x=8.①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,所以f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,解得t=,所以t=;②当6<t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,所以f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;③当8<t<10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,所以f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,解得t=8,9,所以t=9.综上可知,存在常数t=,8,9满足条件.(20分钟40分)1.(5分)(2016·荆州模拟)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2016x,则函数f(x)的零点的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.结合函数的图象,可知函数y=2016x和函数y=-log2016x的图象在第一象限有一个交点,所以函数f(x)有一个正的零点,根据奇函数图象的对称性,有一个负的零点,所以函数有三个零点.2.(5分)(2016·宜昌模拟)若f(x)=且关于x的方程f(x)=a恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.f(x)=如图所示,当x>0时,f(x)=-x2+x=-+≤.当x≤0时,f(x)=-2x≥0,当直线y=a与曲线y=f(x)有三个公共点时,0<a<,设x1<x2<x3,则x2x3=a,且x1=-,所以x1x2x3=-∈.3.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.【解析】作出函数y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=,观察图象可得0<a<.答案:4.(12分)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=-4lnx的零点个数.【解析】(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4lnx=x--4lnx-2(x>0),所以g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.故g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.5.(13分)(2016·石家庄模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)因为g(x)=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.【一题多解】本题还可以采用以下方法:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图.可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).。