2018届山东省日照市高三12月校际联合检测理科数学试题

山东省日照市2018届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =（ ）A ．25B ．35CD 2．已知集合221,116943x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M N=（ ）A ．∅B ．()(){}4,0,3,0C ．[]3,3-D ．[]4,4- 3．函数πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数4．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin 2θ的值为（ ）A ．35B ．45C ．15D ．15-5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为（ ） A.25B.16C.13D.356．设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c7．“m ＜0”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16π3B ．11π2C ．17π3D ．35π69．已知A ，B 是圆224O x y +=：上的两个动点，522,33AB OC OA OB ==-，若M 是线段AB 的中点，则OC OM 的值为（ ）AB ．C ．2D ．310．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入6m =，则输出的S =（ ）A ．26B ．44C ．68D ．10011．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形，则BCD ∆面积的最大值为（ ）A．2+B．12C．22+ D112．已知函数()()()()22240,8f q f x ax a a x R p q f p =-->∈+=，若，则的取值范围是（ ）A. (,2-∞B．)2⎡+∞⎣C．(2-+D．2⎡+⎣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足10,240,20,x y x y z x y x -+≤⎧⎪+-≥=+⎨⎪≥⎩则的最小值为___________．14．若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则21d m x x =⎰___________． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B 两点，O为坐标原点，若AOB S ∆=e =__________． 16．若函数()y f x =满足：对于()y f x =图象上任意一点P ()()11,x f x ，总存在点()()22,P x f x '也在()y f x =图像上，使得()()12120x x f x f x +=成立，称函数()y f x =是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①1y x -=；②sin 1y x =+；②e 2xy =-；③ln y x =；⑤y =（其中e 为自然对数底数）其中是“特殊对点函数”的序号是__________．(写出所有正确的序号) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差d >0，其前n 项和为243588,,,n S a a a a a +=，且成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21211n n n b n a a -+=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．(本小题满分12分)如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ,CB //DA ,EA =DA =AB =2CB , EA AB ⊥,M 是线段EC 上的点（不与端点重合），F 为线段DA 上的点，N 为线段BE 的中点.（I ）若M 是线段EC 的中点，AF =3FD ，求证：FN //平面MBD ； （II ）若EM MC λ=，二面角M BD A --余弦值为13，求λ的值.19.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）的解决下列问题：a b x的值；（I）求出,,（II）若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，设所抽取的2人中来自第5组的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.20．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为C 与y 轴交于()()0,1,0,1A B - 两点．(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 点是椭圆C 上的一个动点且在y 轴的右侧，直线P A ，PB 与直线3x =交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于E ，F 两点，求P 点横坐标的取值范围及EF 的 最大值．21．(本小题满分12分) 已知函数()1ln xf x x+=． (I)若函数()()122F x p x xf x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在其定义域内为增函数，求实数p 的取值范围；(II)设函数()1ln x f x x +=的极大值点为a ，若关于x 的不等式ln 1mx m x x+≥+-在[),x a ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()π6R θρ=∈． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的值．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-+-．(1)当2a =时，求关于x 的不等式()5f x >的解集； (2)若关于x 的不等式()2f x a ≤-有解，求a 的取值范围．【参考答案】一、选择题 1-5：CDABD 6-10：DAADB11-12：DC二、填空题 13.5 14. 26315. 16. ②③⑤ 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为248a a +=，即158a a +=,34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，则2538a a a =即()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =② 联立①和②得：12a =，1d =.所以1n a n =+.（Ⅱ）因为()2-1211111=22241n n n b n n a a n n n n +=+=⋅++1（-）+.所以111111111123412423434n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦11141n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦L11111111141223341n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L ()11114112n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭ ()()1412n n nn +=++ . 18.（I ）证明：连接MN ,因,M N 分别是线段EC ，线段BE 的中点，//MN CB ∴且11==24MN CB DA ，又3AF FD =,1=4FD DA ∴,=MN FD ∴又//CB DA ，//MN DA ∴，//MN FD ∴. 所以四边形MNFD 为平行四边形，//FN MD ∴， 又FN ⊄平面MBD ，MD ⊂平面MBD ， 所以//FN 平面MBD .（II ）由已知，分别以直线AE ，AB ，AD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设1CB =,则000020021002200A（，，），B(，，),C(，，),D(，，)，E(，，) 平面ABD 的一个法向量为1(1,0,0)n =u r，平面MBD 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则有,n DB n DM ⊥⊥r uu u r r uuu u r ,(0,2,2)DB =-uu u r ，(0,2,1)DC =-uuu r ,(2,2,1)CE =--uurEM MC λ=uuu r uuu r Q ,所以11CM CE λ=+uuu r uurQ ， 12221(,,)(2,2,2)11111DM DC CM DC CE λλλλλλλλλ--=+=+==--+++++uuu u r uuu r uuu r uuu r uur0220022(2)0n DB y z y zn DM x y z λλ⎧=⇒-=⇒=⎪⎨=⇒+-+=⎪⎩r uu u r g r uuu ur g 令21,(,1,1)2z n λ-==r . 因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角的余弦值为13，所以111||11|cos ,|33|||||n n n n n n <>==⇒=r u rr u r g r ur ， 解之得，1λ=或3λ=.又因为平面ABD 与平面MBD 所成二面角为锐角，所以1λ=. 19.解：（Ⅰ）由题意可知，80.162b=，解得b =0.04；∴[80，90）内的频数为2×2=4，∴样本容量8500.16n ==，a =50﹣8﹣20﹣4﹣2=16； 又[60，70）内的频率为160.3250=，∴0.320.03210x ==； （Ⅱ）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人， ∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，2426C 2(0)C 5P ξ===，112426C C 8(1)C 15P ξ===，2226C 1(2)C 15P ξ===. ∴ξ的分布列为：∴()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯= 20．解：（Ⅰ）由题意可得，，3c =所以2a =,，椭圆的标准方程为. （Ⅱ）设，，，所以，直线的方程为，同理得直线的方程为，直线与直线3x =的交点为003(1)(3,1)y M x +-， 直线与直线3x =的交点为003(1)(3,1)y M x -+，线段的中点03(3,)y x ， 所以圆的方程为22200033(3)()(1)y x y x x -+-=-.令，则222020093(3)(1)y x x x -+=-， 因为，所以20136(3)4x x -=-， 因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解，则013604x ->，又002x <≤，解得024(,2]13x ∈．设交点坐标12(,0),(,0)E x F x ，则12024||||(2)13EF x x x =-=<≤，所以该圆被轴截得的弦长最大值为1．解法二:直线的方程为，与椭圆联立得：，，同理设直线的方程为可得，由，可得，所以1(3,31)M k -，2(3,31)N k +，的中点为123()(3,)2k k +，所以为直径的圆为22212123()3()2(3)()()22k k k k x y +---+-=.时，22212123()3()2(3)()()22k k k k x +---+=，所以212(62)(62)(3)4k k x ----=，因为为直径的圆与x 轴交于,E F 两点，所以12(62)(62)04k k --->，代入得：111(31)(43)04k k k --<，所以11334k <<，所以在11(,)32单增，在13(,)24单减，所以24(,2]13p x ∈.EF =1=≤=, 当且仅当11334k k =即取等号，所以的最大值为1.21．解：（Ⅰ）()2ln p F x px x x =--，22222()p px x pF x p x x x -+'=+-=由)(x F 定义域),0(+∞内为增函数，所以()0F x '≥在),0(+∞上恒成立，所以022≥+-p x px 即122+≥x xp ，对任意0>x 恒成立，设22222222222422()(0),()1(1)(1)x x x x h x x h x x x x +--'=>==+++易知，)(x h 在()1,0上单调递增，在()+∞,1上单调递减，则1)1()(max ==h x h ，所以1)1(=≥h p ，即),1[+∞∈p .（Ⅱ）函数1ln ()x f x x +=的定义域为),0(+∞，因为2ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，解得1x =，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以(1)1f =为()f x 的极大值，也是最大值，1a =，依题意， ln 1mx m x x +≥+-，即ln 10mx x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立，令()ln 1m g x x x m x =++--，则()22211m x x mg x x x x +-=-+='，令()()21x x x m x ϕ=+-≥，则()x ϕ是[)1,x ∈+∞上的增函数，即()2x m ϕ≥-， ①当2m ≤时， ()0x ϕ≥，所以()0x ϕ'≥，因此()x ϕ是[)1,x ∈+∞上的增函数，则()()10g x g ≥=，因此2m ≤时， ln 10mx x m x ++--≥成立，②当2m >时， ()220x x mg x x +'-==，得()20x x x m ϕ=+-=，求得112x -+=，（由于1x ≥，所以舍去212x -=）当11,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时， ()0g x '<，则()g x在11,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()0g x '>，则()g x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，所以当x ⎛∈ ⎝⎭时， ()()10g x g <=，因此2m >时， ln 10mx x m x ++--≥不可能恒成立，综合上述，实数m 的取值范围是(],2-∞．22．解：（Ⅰ）将方程424x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩消去参数α得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222cos x y x ρρθ+==，代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为： 24cos 12ρρθ-=．（Ⅱ）设,A B 两点的极坐标分别为12ππ,,,66ρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 12π6ρρθθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=，根据题意可得12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，∴121212ρρρρ+==-， ∴12AB ρρ=-=23.解：（Ⅰ）当2a =时，不等式为2215x x -+->，若1x ≤，则345x -+>，即13x <-，若12x <<，则5x >，舍去，若2x ≥，则345x ->，即3x >，综上，不等式的解集为()1,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）因为11x a x a -+-≥-，所以()211+11f x x a x a x a =-+-≥--≥-，得到()f x 的最小值为1a -，又12a a -≤-，所以32a ≤.。

日照市 2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.已知集合{}{1,0,1,2,3,A B x y =-==,则集合A∩B=A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}0,1,2,3D. {}1,2,32.已知复数543iz i=+ (i 是虚数单位),则z 的虚部为 A. 45i B. 45i - C. 45 D. 45-3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程y b x a ∧∧∧=+,其中2b ∧=,据此模型预测广告费用为9千元时,销售额为A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元 4已知等差数数列{}n a 的前项和为S n ,若a 3+a 7=6,则S 9等于 A.15 B.18 C.27 D.395.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),当(1,0)x ∈-时, ()xf x e -=,则9()2f =6.已知32()n x x+的展开式的各项系数和为243,则展开式中x 2的系数为 A. 5 B.40 C.20 D.107.设变量x 、y 满足约束条件200240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则12z x y =-的最最大值为A.-6B.32 C. 73D.3 8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物 一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时,均可采 用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入n=24,则输出 的结果为A.23B.47C.24D.48 9.若函数2()4sin sin ()cos 21(0)24x f x x x ωπωωω=⋅++->在2[,]33ππ-上是增函数,则ω的取值范围是A. [0,1)B. 3[,)4+∞ C. [1,)+∞ D. 3(0,]410.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为为F 1、F 2,过F 2作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A 、B,若21()2OA OB OF =+,则该双曲线的离心率为2+11.已知函数y =f(x )对任意的(0,)x π∈满足'()sin ()cos f x x f x x > (其中'()f x 为函 数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是A. ()()46f ππ<B. ()()46f ππ>C. ()()64f ππ>D. ()()64f ππ<12.已知函数322()()3f x ax bx cx d a b =+++<在R 上是单调递增函数,则23cb a-的最小值是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 13．设的值为 ．14．设随机变量ξ服从正态分布N （2，9），若P （ξ＞c +1）=P （ξ＜c ﹣1），则c= ．15．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 ． 16．有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．18．（12分）一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．（I）求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率；（II）设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．20．（13分）已知左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（I）求椭圆C的离心率和标准方程．（II）圆与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围．21．（14分）设f（x）=xe x（e为自然对数的底数），g（x）=（x+1）2．（I）记，讨论函F（x）单调性；（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函数G（x）有两个零点．（i）求参数a的取值范围；（ii）设x1，x2是G（x）的两个零点，证明x1+x2+2＜0．一、选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．一、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．2017年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题DCA CBBCBD C B A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．13．设的值为80．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得a3的值即为x6的系数，利用其通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得a3的值即为x6的系数，故在的通项公式中，令r=3，即可求得．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=2．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c=2，故答案为：2．【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．15．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：，∴，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：．故答案为：．【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：（n∈N*）．【考点】归纳推理．【分析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子．【解答】解：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：故答案为：【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f（x）最小值即可；（Ⅱ）由f（C）=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2，∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）的最小正周期T=π；最小值为﹣4；（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C﹣）﹣2=0，∴sin（2C﹣）=1，∵C∈（0，π），∴2C﹣∈（﹣，），∴2C﹣=，即C=，将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，把c=代入得：a=1，b=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分））一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．（I）求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率；（II）设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用P=即可得出．（II）X可能取0，1，2．P（X=k）=，即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）P==．（II）X可能取0，1，2．P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．X的分布列EX=0++2×=．【点评】本题考查了超几何分布列的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力了，属于中档题．19．（12分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（I）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD；（Ⅱ），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH=．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，FD=，∴FD∥EH．FD=EH∴四边形EHDF 为平行四边形．∴EF∥HD∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，∴AH⊥BC，分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．则B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）．由得令z=1，得=（，2，1）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z）．由得令y=1，得=（，1，2）cos＜，＞====，∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣．【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等．20．（12分））已知左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（I）求椭圆C的离心率和标准方程．（II）圆与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C过点，∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，推出a=2c，然后求解椭圆C的离心率，标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用中点坐标公式以及平方差法求出AB 的斜率，得到直线AB的方程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设F1R：y=k（x+1），联立，设P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韦达定理，结合，，化简|PF1||QF1|，通过，求解|PF1||QF1|的取值范围．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵椭圆C过点，∴，①∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，∵a2=b2+c2，∴，②由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，∴椭圆C的离心率，标准方程为．…（Ⅱ）因为AB为圆P1的直径，所以点P1为线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，所以，则（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故，则直线AB的方程为，即．…（8分）代入椭圆C的方程并整理得，则，故直线F1R的斜率．设F1R：y=k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），则有，．又，，所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|=，因为，所以，即|PF1||QF1|的取值范围是．…（13分）【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及平方差法的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）设f（x）=xe x（e为自然对数的底数），g（x）=（x+1）2．（I）记，讨论函F（x）单调性；（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函数G（x）有两个零点．（i）求参数a的取值范围；（ii）设x1，x2是G（x）的两个零点，证明x1+x2+2＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的零点的个数，求出a的范围即可；（ii）根据a的范围，得到==﹣，令m＞0，得到F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）==，（x≠﹣1），F′（x）==，∴x∈（﹣∞，﹣1）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增；（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axe x+（x+1）2，G′（x）=a（x+1）e x+2（x+1）=（x+1）（ae x+2），（i）①a=0时，G（x）=（x+1）2，有唯一零点﹣1，②a＞0时，ae x+2＞0，∴x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）递增，1）=﹣＜0，∴G（x）极小值=G（﹣∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）时，G（x）有唯一零点，x＜﹣1时，ax＜0，则e x＜，∴axe x＞，∴G（x）＞+（x+1）2=x2+（2+）x+1，∵△=﹣4×1×1=+＞0，∴∃t1，t2，且t1＜t2，当x∈（﹣∞，t1），（t2，+∞）时，使得x2+（2+）x+1＞0，取x0∈（﹣∞，﹣1），则G（x0）＞0，则x∈（﹣∞，﹣1）时，G（x）有唯一零点，即a＞0时，函数G（x）有2个零点；③a＜0时，G′（x）=a（x+1）（e x﹣（﹣）），由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣），若﹣1=ln（﹣），即a=﹣2e时，G′（x）≤0，G（x）递减，至多1个零点；若﹣1＞ln（﹣），即a＜﹣2e时，G′（x）=a（x+1）（e x﹣（﹣）），注意到y=x+1，y=e x+都是增函数，∴x∈（﹣∞，ln（﹣））时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，x∈（ln（﹣），﹣1）时，G′（x）＞0，G（x）递增，x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，∵G（x）极小值=G（ln（﹣））=ln2（﹣）+1＞0，∴G（x）至多1个零点；若﹣1＜ln（﹣），即a＞﹣2e时，x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，x∈（﹣1，ln（﹣））时，G′（x）＞0，G（x）递增，x∈（ln（﹣），+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，∵G（x）极小值=G（﹣1）=﹣＞0，∴G（x）至多1个零点；综上，若函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞）；（ii）由（i）得：函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞），x1，x2是G（x）的两个零点，则有：，即，即==﹣，∵F（x）=，则F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，x1≠x2，由（Ⅰ）知，当x∈（﹣∞，﹣1）时，F（x）是减函数，x∈（﹣1，+∞）时，F （x）是增函数，令m＞0，F （=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1=e2m﹣﹣1，则φ′（m）=＞0，∴φ（m）＞φ（0）=0，又＞0，m＞0时，F（﹣1+m）﹣F（﹣1﹣m）＞0恒成立，即F（﹣1+m）＞F（﹣1﹣m）恒成立，令m=﹣1﹣x1＞0，即x1＜﹣1，有F（﹣1+（﹣1﹣x1））＞F（﹣1﹣（﹣1﹣x1）），即F（﹣2﹣x1）＞F（x1）=F（x2），∵x1＜﹣1，∴﹣2﹣x1＞﹣1，又F（x1）=F（x2），必有x2＞﹣1一、选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。

2018届山东省日照市高三校际联考数学（理）试题一、单选题 1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：化简集合N ，然后求二者交集即可. 详解：∴点睛：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由z 1=2﹣i ，复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称，求出z 2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．详解：∵z 1=2﹣i ，复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于y 轴对称， ∴z 2=﹣2﹣i ．∴==，故选：C点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．已知直线1l ： sin 10x y α+-=，直线2l ： 3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则s i n2α=（ ） A.23 B. 35± C. 35- D. 35【答案】D【解析】因为12l l ⊥，所以s i n 3c o s αα-=，所以t a n 3α=，所以2222sin cos 2tan 3sin22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα====++. 故选D.4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】设圆的半径为r ，则圆的面积2=S r π圆，正六边形的面积22133=6sin6022S r r ⨯⨯⨯=正六边形，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率222==rS P S r π=正六边形圆A.5．若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】分析：由方程为双曲线确定m 的范围，再利用条件建立m 的方程解之即可.详解：双曲线的一条渐近线的方程为2x ﹣3y=0，可得（3﹣m ）（m +1）＞0，解得：m ∈（﹣1，3）， 所以：x ﹣y=0，是双曲线的渐近线方程，所以，解得：m=．故选：A ．点睛：本题考查了双曲线的简单几何性质，渐近线方程的求法，注意m 的取值范围是解题的关键，属于基础题.6．已知p ： x R ∀∈， 220x x a ++>； q ： 28a <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B. (),3-∞C. ()1,3D. ()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】C【解析】由“p ∧q”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题，若p 为真命题，则044a 0<-<，，∴a >1． 若q 为真命题，即x 2+2ax +2﹣a=0有实根，△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，解得a ≤﹣2或a ≥1．7．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如.若输入的值为，则输出的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得结果． 详解：:模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：，，，∴共要循环次，故．故选：B ．点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 8．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出A，C点的坐标，表示，利用二次函数的图象与性质求值域即可.详解：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则,，设,所以，故选：D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9．已知数列中，，且对任意的，，都有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：令m=1，可得a n+1﹣a n=n+1，再利用累加法可得的通项，再利用裂项法得到==2（﹣），从而可求得的值．详解：∵a1=1，且对任意的m，n∈N，都有a m+n=a m+a n+mn，∴令m=1，则a n+1=a1+a n+n=a n+n+1，即a n+1﹣a n=n+1，∴a n﹣a n﹣1=n（n≥2），…，a2﹣a1=2，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=，∴==2（﹣），∴=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）]=2（1﹣）=，故选：D．点睛：：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10．某单位实行职工值夜班制度，已知，，，，名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若昨天值夜班，从今天起，至少连续天不值夜班，星期四值夜班，则今天是星期几（）A. 二B. 三C. 四D. 五【答案】C【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．11．已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则四边形面积的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示四边形面积，借助导函数求最值即可. 详解：设且,易知，设直线由所以易知在上为减函数，所以当时，,故选：B点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．12．如图，虚线小方格是边长为的正方形，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥O ﹣ABC ，在三棱锥O﹣ABC 中，∠AOC=∠ABC=90°，由已知求出其外接球的直径为AC ，则半径R=，再由球的表面积公式求解．详解：由三视图还原原几何体的直观图如图， 该几何体为三棱锥O ﹣ABC ，在三棱锥O ﹣ABC 中，∠AOC=∠ABC=90°，∴其外接球的直径为AC ，则半径R==，∴外接球的表面积该几何体外接球的表面积为S=4πR 2=32π． 故选：B ．点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．二、填空题13．已知向量()1,0a =， (),2b λ=， 2a b a b -=+，则实数λ=__________． 【答案】12【解析】由()()1,0,2a b λ==，则()()()()22,0,22,2,1,2a b a b λλλ-=-=--+=+，所以()()22222222284,52a ba b λλλλλ-=-+-=-++=++，又由2a b a b -=+，所以228452λλλλ-+=++，解得12λ=． 14．若，满足条件，且，则的最大值为__________．【答案】7【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数的最大值．详解：由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，，故答案为：.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．已知()()100111x a a x +=+- ()()21021011a x a x +-+⋅⋅⋅+-，则8a =__________． 【答案】180 【解析】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦，()()100111x a a x +=+-()()2102101...1a x a x +-++-， ()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），有下列命题：①在内单调递增；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；④和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的序号为__________．（请填写正确命题的序号）【答案】①②④【解析】分析：①求出的导数，检验在x∈（﹣，0）内的导数符号，即可判断；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又≤kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．详解：①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立，即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正确，③错误；④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，若，则不恒成立.若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立.所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．点睛：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，考查了逻辑思维能力，考查了函数与方程思想，属于难题．三、解答题17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值.【答案】（1）;（2）．【解析】分析：（1）根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换求出A；（2）根据面积求出bc=4，利用余弦定理求出a．详解：（1）由正弦定理得，∵∴，即．∵，∴，∴∴．（2）由：可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18．已知三棱锥（如图）的平面展开图（如图）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析;（2）．【解析】分析：（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而 PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．详解：（1）证明：设的中点为，连接，．由题意得，，，，因为在中，，为的中点，所以，因为在中，，，，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.由平面，故平面的法向量为，由，，设平面的法向量为，则由得：令，得，，即，.由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）.通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分分）统计结果如下表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：.若，则，，.【答案】（1）（2）见解析．【解析】分析：（1）由题意求出Ez=65，从而μ=65，进而，．由此能求出．（2）由题意知P（z＜μ）=P（Z≥μ）=，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．详解：（1）,故，∴，．∴综上,．（2）易知获赠话费的可能取值为，，，．；；；．的分布列为：∴．点睛：求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20．已知椭圆：的焦距为，以椭圆的右顶点为圆心的圆与直线相交于，两点，且，.（1）求椭圆的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，已知直线，，的斜率，，成等比数列，记以线段，线段为直径的圆的面积分别为，，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）为定值，定值为.【解析】分析：（1）设为的中点，连接，则，所以，又，所以，从而易得关于a，b的方程组，即可得到所求椭圆方程和圆的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k，进而表示出，即可得出结论．详解：（1）如图，设为的中点，连接，则，因为，即，所以，又，所以，所以，所以．由已知得,所以椭圆的方程为，，所以，所以，所以，所以圆的方程为．（2）设直线的方程为，由，得，所以，由题设知，，则故为定值，该定值为．点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数（为自然对数的底数）.（1）若，，讨论的单调性；（2）若，函数在内存在零点，求实数的范围.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时,在上单调递减,在单调递增;（2）的取值范围是.【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，结合函数的零点，从而确定a的范围即可．详解：解：（I）定义域为故则(1)若，则在上单调递减；(2)若，令.①当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；②当时，，因而在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.综上， (1) 当时，在上单调递减；(2) 当时，在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设,，设，则．(1) 若 ,，在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)若 ,①当时，，由（1）知对任意恒成立，故，对任意恒成立，②当时,，因此当时必有零点，记第一个零点为， 当时，单调递增，.由①②可知，当时，必存在零点.(2)当，考察函数 ，由于在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在上为减函数，又 ，所以当时， ，从而 在上单调递减，故当时恒有 .即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.综上可知， 的取值范围是 .（Ⅱ）解法二：设,，(1) 若 ,，在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)若 ,当时, ，因此当时必有零点，记第一个零点为， 当时，单调递增，又所以，当时，在必存在零点.(3)当，由于 ，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上存在零点，符合题意.综上可知，的取值范围是 .点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，直线l 过点(0,P 且倾斜角为3π.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求PA PB+的值.【答案】（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为()(2214x y-+=，直线l的参数方程为12{ (x tty==为参数）；（Ⅱ）7.【解析】试题分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C的直角坐标方程，根据直线参数的形式0{ (x x tcosty y tsinαα=+=+为参数），即可求出直线的参数方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到12t t+，即可求解PA PB+的值.试题解析：（1）曲线:4cos4cos cos4sin sin333Cπππρθρθθ⎛⎫=-⇒=+⎪⎝⎭，所以22cos sinρρθθ=+，即222x y x+=+，得曲线C的直线坐标方程为()(2214x y-+=，直线l的参数方程为12{ (x tty==-为参数）.（2）将12{ (x tty==为参数）代入圆的方程，得21142t⎛⎫-+-=⎪⎝⎭⎝，整理得2790t t=+=，所以127PA PB t t+=+=.23．选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值以及此时的的取值范围；（2）若实数满足，证明：.【答案】（1）;.(2)证明见解析.【解析】分析：（1）去掉绝对值符号，利用函数的图象求解最小值；（2）由（1）可知，利用，把问题转化为二次函数最值问题.详解：（1）解：依题意得，当时，；当时，，此时；当时，，所以的最大值为，即，此时.（2）证明：由，得，，所以，所以，所以.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

二〇一五级校际联考理科数学答案 2018.5一、选择题：DCDAA CBDDC BB 1．答案：D解析：2(1,3)230:Z Z x x x N x x ∈-⎧--<⎧⇒⎨⎨∈∈⎩⎩}2,1,0{=⇒N ， 所以=N M }2,1{，故选D2．答案：C解析：i z --=22，所以21z z i i i ii 54535)2)(2(22+-=+--=---=，故选C3．答案：D解析：因为21l l ⊥，所以0cos 3sin =-αα，所以3tan =α，所以53tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin 222=+=+==ααααααααα.故选D . 4．答案：A解析：设圆的半径为r ，则圆的面积21πS r =，正六边形的面积2221π6sin 23S r =⨯⨯⨯=，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率22212πS P S r === A. 5．答案：A解析：双曲线22131x y m m -=-+的一条渐近线方程为230x y -=，可得 (3)(1)0m m -+>，解得(1,3)m ∈-，0=23=， 解得313m =，故选A. 6．答案C解析:由“p q ∧”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题，若p 为真命题，则不等式220x x a ++>恒成立，440∆=-<a ，∴1>a ．若q 为真命题，即28a<，所以3a <．即()1,3a ∈.故选C.7．答案B解析:模拟执行程序框图，可得：2n =，0i =，8m =，满足条件8n ≤，满足条件()mod 8,20=，1i =，3n =，满足条件8n ≤，不满足条件()mod 830=,，4n =，满足条件8n ≤，满足条件()mod 8,40=，2i =，5n =，…，*8n∈N ，可得：2，4，8，∴共要循环3次，故3i =．故选B ． 8．答案D解析：以B 为坐标原点，BC 为x 轴、BA 为y 轴建系，则)2,0(),0,32(A C ,1232:=+y xAC ，设4343]32,0[),,(22+-=⇒∈x x y x y x P ,所以2224(,),)43PB PC x y x y x y x x ⋅=--⋅-=+-=-+9[,4]4∈-，故选D.9．答案：D解析：取m ＝1得，11n n a a a n +=++，即11n n a a n +-=+，从而11221()()+()=(1)+----+-+-+-+……2n n n n a a a a a a n n即1=(1)+n a a n n -+-+…2，求得(1)=2n n n a + 20181122214036=212232018201920192019==+++-⨯⨯⨯∑…（1）=i ia ，故选D. 10．答案C ．解析：因为A 昨天值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日若今天为星期二，则A 星期一值夜班， D 星期四值夜班，则星期二与星期三B C ，至少有一人值夜班，与B C ，至少连续4天不值夜班矛盾若今天为星期三，则A 星期二值夜班， D 星期四值夜班，则星期三与星期五B C ，至少有一人值夜班，与B C ，至少连续4天不值夜班矛盾若今天为星期五，则A 星期四值夜班，与D 星期四值夜班矛盾若今天为星期六，则A 星期五值夜班， D 星期四值夜班，则下星期一与星期二B C ，至少有一人值夜班，与B C ，至少连续4天不值夜班矛盾， 综上所述，今天是星期四，故选C. 11．答案B解析：设A(x ,y ),B(x ,y )1122且x ,y >110,易知)0,1(F ，设直线1:+=my x AB 由,0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y x y my x 所以122144y y y y -=⇒-=21111312(0)42OPAB OPA OFA OFBy S S S S y y y ∆∆∆=++=++>22223222)443)(1(24322123)()0(22143)(x x x x x x x x x x f x x x x x f ++-=-+=-+='⇒>++=易知)(x f 在()1,0上为减函数，所以当11=y 时，min 13()4OPAB S =,故选B12． 答案B解析:几何体的直观图如图所示为三棱锥ABC O -， 三棱锥ABCO -中，︒=∠=∠90ABC AOC ，所以外接球的直径为AC ，则半径2221==AC R ，所以外接球的表面积π32π42==R S ,故选B.二、填空题：13．答案：12 14．答案： 7 15．答案：180 16．答案：①②④ 13．答案：12解析： 由()()1,0,,2λ==a b ，则()()()()22,0,22,2,1,2λλλ-=-=--+=+a b a b ，所以()()22222222284,52λλλλλ-=-+-=-++=++a b a b ，又由2-=+a b a b ，所以228452λλλλ-+=++，解得12λ=，故答案为12.14．答案：7解析：由题⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥4201y x y x x ,画出可行域为如图ABC ∆区域，023≠-=y y x z 且，当P 在(1,2)A -处时，7max =z ，故答案为7.15．答案：180 解析：()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦，()()100111x a a x +=+- ()()2102101...1a x a x +-++-， ()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180. 16．答案：①②④ 解析：①()m x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'2120m x x x ∴=+>，()()()m x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意x ∈∞（-,0)恒成立， 即有22010x kx b kx bx ⎧-≥⎨+-≤-⎩对任意x ∈∞（-,0)恒成立.由 210kx bx +-≤对任意x ∈∞（-,0)恒成立得0k ≤. 若=0k 则有=0b 符合题意;若<0k 则有20x kx b --≥对任意x ∈∞（-,0)恒成立,又21=00402k x k b <⇒∆≤⇒+≤对240b k +≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40-≤<b ，④函数()f x 和()h x的图象在=x ()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k若0=k ，则()2e 00-≥>x x 不恒成立.若0<k ，∈x故0<k 不恒成立.所以0>k ，，当0>x 恒成立，时，()0G x '=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x =时，()G x '取到极小值，极小值是0，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离 三、解答题： 17．答案:（Ⅰ） （或120︒）;（Ⅱ）解：（Ⅰ）由正弦定理得， ∵sin 0C ≠cos 2A A -= …………………3分∵0πA <<∴ππ5π666A-<-<…………………6分（Ⅱ）由： ABC S ∆=可得1sin 2S bc A ==∴4bc =…………………9分 ∵5b c +=∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=…………………12分18. 答案：（Ⅰ）见解析;． （Ⅰ）证明：方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．由题意得，PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===， 因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥， …………………2分因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥， …………………4分因为AC OB O =，,AC OB ⊂平面ABC ，OPCA所以PO ⊥平面ABC ， 因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . …………………6分（Ⅱ）解：由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P .由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB =，…………………8分 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =-， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 由0,0,BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：0,0.x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =， …………………10分cos ,||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B -- …………………12分 19.答案：（Ⅰ）0.8185 （Ⅱ）见解析．解：（Ⅰ）350.02450.15550.2650.25750.24850.1950.04EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯65=,故65μ=， …………………2分∴(3793)(5179)(3751)0.13592<≤-<≤<≤==P Z P Z P Z综上,(3779)(3751)(5179)P Z P Z P Z <≤=<≤+<≤0.13590.68260.8185=+=． …………………5分（Ⅱ）易知()1()2P Z P Z μμ<=≥= 获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，80． …………………7分()13320248P ξ==⨯=； ()1113313402424432P ξ==⨯+⨯⨯=； ()13111336024424416P ξ==⨯⨯+⨯⨯=； ()11118024432P ξ==⨯⨯=． …………………9分 ξ的分布列为：∴312040608037.58321632E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………12分 20．答案：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214x y +=，圆A 的方程为228(2)5x y -+=；（Ⅱ） 12+S S 为定值，定值为54π. 解：（Ⅰ）如图，设T 为PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ ，因为0AP AQ ⋅=，即AP ⊥AQ ，所以AT 12PQ =， 又3OP OQ =，所以OT PQ =，所以ATOT 12=，所以12b a =． ………………………………2分由已知得c =所以224,1=a b = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=， …………………………………… 4分 222||||||,AT OT OA +=所以2244+=AT AT ，所以AT ，所以r AP = 所以圆A 的方程为228(2)5x y -+=． ……………………………… 6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1122(,),(,),M x y N x y由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 所以212122284(1)1+41+4km m x x x x k k --+==，，由题设知212k k k =1212y y x x =1212()()kx m kx m x x ++=， 221212(),km x x m k x x ++=+ ………………8分 22221228()0,01+4k m km x x m m k-∴++=+=， 210,4m k ≠∴=， ………………………………………………………………10分 则12+S S 22()4=OM ON π+=22221122(+)4x y x y π++22221212=(+11)444x x x x π-++- 22123=(+)162x x ππ+212123=(+)2162x x x x ππ⎡⎤-+⎣⎦ 2222223648(1)16(1+4)1+42k m m k k ⎡⎤π-π=-+=⎢⎥⎣⎦22344(1)162m m ππ⎡⎤=--+=⎣⎦54π 故12+S S 为定值，该定值为54π． …………………………………………………………12 21．答案：（Ⅰ）(1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减；(2) 当0a >时,()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． （Ⅱ）a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.解：（I ）定义域为{}|2,x x >- ()()()11'e ln 2e e ln 222ax ax ax f x a x a x x x ⎛⎫=⋅++⋅=++ ⎪++⎝⎭ 故()()()1e 'ln 22ax F x f x a x x -==+++ 则 ()()()22121'222a ax a F x x x x +-=-=+++ (1)若0a =，则()()'0,F x F x <在()2,-+∞ 上单调递减；…………………2分(2)若0a ≠，令()1'02F x x a =⇒=-. ①当 0a <时，则122x a =-<-，因此在()2,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()2,-+∞ 上单调递减；②当0a >时，122x a =->-，因而在12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有()'0F x >；因此 ()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上， (1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减； (2) 当0a >时， ()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． …………………5分 （Ⅱ）设 ()()()()1ln 21,1,axg x f x x e x x x =--=+--∈-+∞, ()()()()1''1ln 2112ax ax g x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-， 则 ()()()()()22241''ln 22ax axax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭． (1) 若=0a ,()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞ ()()'1110,1,22x g x x x x --=-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分(2)若0a < ,①当0x ≥时，01ax e <≤，由（1）知()ln 21x x +<+对任意()1,x ∈-+∞恒成立()()()ln 211)1(1()10ax ax ax g x e x x e x x x e ∴=+--<+--=+-≤，故 ()0g x <，对任意[)0,x ∈+∞恒成立，②当10x -<<时,()'1,10ag e -->-= ()1'0ln202g a =-<， 因此当10x -<<时()'g x 必有零点，记第一个零点为0x ，当0(1,)x x ∈-时()'0g x >，()g x 单调递增，()(1)0g x g >-=.由①②可知，当0a <时，()g x 必存在零点. …………………9分(2)当102a <<，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1222114'1e 210,'ln 20,22122a a h a h e a a a a -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-<=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()'h x ∴在 ()1,-+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()1,-+∞的第一个零点为1x ，则当()11,x x ∈-时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()11,x -上为减函数，又 ()()e 110a h x h -=-<-<，所以当()11,x x ∈-时， ()'0g x <，从而 ()g x 在()11,x x ∈-上单调递减，故当()11,x x ∈-时恒有()()10g x g <-=.即()10g x < ，令'()1,()(1)ax ax x e ax x a e ϕϕ=--=-，则()x ϕ在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)x ∈+∞单调递增.()(0)0x ϕϕ≥=即1,ax e ax ≥+注意到1ax e ax ax a ≥+>+，因此()()()()()ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-， 令10a x e =时，则有()11110(1)ln 21(1)ln 10aa a a g x e a e e a e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++->+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理可知函数 ()y g x =在 11,a x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，符合题意.综上可知， a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. …………………12分 （Ⅱ）解法二：设()()()()1ln 21,1,ax g x f x x e x x x =--=+--∈-+∞,()()()()1''1ln 2112ax ax g x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭， (1) 若=0a ,()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞ ()()'1110,1,22x g x x x x --=-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分(2)若0a < ,当10x -<<时,()'1,10a g e -->-=()1'0ln202g a =-<， 因此当10x -<<时()'g x 必有零点，记第一个零点为0x ， 当0(1,)x x ∈-时()'0g x >，()g x 单调递增，()0(1)0g x g >-=又 ()()001ln210,g f =-=-< 所以，当0a <时，()g x 在0(,0)x x ∈必存在零点. …………………9分 (3)当102a <<，由于 ()ln 2100g <-< ， 令'()1,()(1)ax ax x e ax x a e ϕϕ=--=-，则()x ϕ在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)x ∈+∞单调递增.()(0)0x ϕϕ≥=即1,ax e ax ≥+注意到 1ax e ax ax a ≥+>+，因此()()()()()ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-， 令10a x e =时，则有()11110(1)ln 21(1)ln 10aa a a g x e a e e a e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++->+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理可知函数 ()y g x =在()00,x 上存在零点，符合题意.综上可知，a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. …………………12分22．答案:（Ⅰ） 曲线C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=，直线l的参数方程为12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；（其他参数方程酌情给分）（Ⅱ）7.解：（Ⅰ）曲线:4cos 4cos cos 4sin sin 333C πππρθρθθ⎛⎫=-⇒=+ ⎪⎝⎭，所以22cos sin ρρθθ=+，即222x y x +=+， …………………2分 得曲线C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=，直线l的参数方程为12(2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） ． …………………5分（Ⅱ）将12(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入圆的方程，得221142t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝， …………………7分 整理得2790t t -+=， 得12127,9t t t t +== ，所以 120,0t t >> 所以127PA PB t t +=+=． …………………10分23．答案:（Ⅰ） 3=t ，此时),2[+∞∈x ；（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）解：依题意得，当1x ≤-时，()1(2)3f x x x =----=-；当12x -<<时，()(1)(2)21f x x x x =+--=-，此时()(1,3)f x ∈-； 当2x ≥时，()(1)(2)3f x x x =++-=， ………………3分 所以()f x 的最大值为3，即3=t ，此时),2[+∞∈x .……………………5分 （Ⅱ）证明：由222a b t +=-，得，221a b +=， 所以2120a b =-≥，所以12b ≤， ……………………7分 所以412)2(2422222≥--=+-=+b b b b a .……………………10分。

天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试(三）数学（理科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，则（）A. B。

C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以。

选A。

2。

已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则( )A. B。

C. D.【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以，故.所以。

选A。

3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍。

若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）A. B. C。

D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D.4. 已知函数（）的最小值为2,则实数（)A. 2B. 4 C。

8 D。

16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B.5。

已知数列满足，，，则数列前项的和等于（）A。

162 B. 182 C。

234 D. 346【答案】B【解析】由条件得,所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故.选B。

点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵活应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即:若，则与前n项和公式经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程．6. 用,，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68，95，75，88,92，90,80,78，87。

执行如图所示的程序框图,若分别输入的10个值,则输出的的值为( )A。

B。

C。

D。

【答案】C..。

.。

.。

.。

.。

.。

7。

如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A。

16 B. 32 C。

48 D。

60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2，4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。

2018年山东省日照市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A ∩（∁U B）为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1} 2．（5分）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数）钱数为（）A．17B．28C．30D．323．（5分）若sin（x+）＝，则sin（﹣x）+cos（﹣x）值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）若抛物线y2＝2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x5．（5分）已知向量，，m∈R，则“”是“m＝2”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x，若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log26），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于（）A．π+12B．C．π+4D．8．（5分）在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得，则λ+μ＝（）A．B．C．2D．﹣29．（5分）条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN﹣13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用a1，a2，…，a13表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图（1）是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数（例如[365.7]＝365．现有一条形码如图（2）所示（97a37040119917），其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是（）A．6B．7C．8D．910．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），已知集合A＝{（x0，f（x0））|x0为f（x）的极值点}，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有5个元素，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线与双曲线右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足（其中O为坐标原点），且∠MNQ＝30°，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．y＝±2x D．12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈R，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．若f（x）＝2x﹣2﹣1，与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2＜ξ＜4）＝．14．（5分）（a+2b﹣3c）4的展开式中abc2和系数为．15．（5分）在的可行域内任取一点（x，y），则满足2x﹣3y≥0的概率是．16．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，，BD⊥BC，BD＝2BC，则AD的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知{a n}是等比数列，{b n}满足b1＝﹣2，b2＝5，且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）求{b n}的通项公式．18．（12分）如图，在菱形ABCD中，，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE．（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；（Ⅱ）若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．19．（12分）《十九大报告》中指出：坚持人与自然和谐共生．建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．下表1是《环境空气质量指标（AQI ）技术规定（试行）》： 表1：空气质量指标AQI 分组表（注：表中“m ～n ”指包含端点m 和n ）表2是从2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的海曲市的AQI 指数x 和海曲市甲景区的AQI 指数y 对应情况及其海曲市的AQI 指数x 另外10天的情况． 表2：海曲市与甲景区AQI 指数（Ⅰ）若海曲市AQI 指数x 与甲景区AQI 指数y 线性相关，根据前20组数据，经计算得，，，，求出y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计：当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约600元；当景区空气质量为良时，该店平均每天盈利约300元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约180元（将频率看作概率）．①根据2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的甲景区的AQI指数和海曲市的AQI指数另外10天的情况，估计小李的便利店在当年3月份的这30天里每天盈利的数学期望；②求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于1500元的概率．附：线性回归方程系数公式，＝．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，定点A1（1，0）和支点B1，以线段A1B1为直径的圆内切于圆x2+y2＝4．（Ⅰ）求动点B1轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l：x+2y﹣4＝0与曲线C的一个公共点为T，与OT（O为坐标原点）平行的直线l′与曲线C将于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断是否存在常数λ使|P A|•|PB|＝λ|PT|2恒成立，若存在求出常数λ的值，若不存在请说明理由．21．（12分）已知a，b实数，函数，函数g（x）＝ln（x﹣1）．（Ⅰ）令F（x）＝f（x）+g（x+1），当a≤0时，试讨论函数F（x）在其定义域内的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣2时，令G（x）＝f（x）•g（x），是否存在实数b，使得对于函数y＝G（x）定义域中的任意实数x1，均存在实数x2∈[1，+∞），有G（x1）≥x2成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），过点O的直线l交曲线C于M，N两点，且直线l的倾斜角为．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（Ⅰ）解不等式：|g（x）|＜3；（Ⅱ）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2018年山东省日照市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A ∩（∁U B）为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，则∁U B＝{x|x≥1}，所以A∩（∁U B）＝{x|1≤x＜3}．故选：A．2．（5分）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数）钱数为（）A．17B．28C．30D．32【解答】解：根据分层抽样原理，抽样比例为：＝，所以乙应交关税为350×≈32（钱）．故选：D．3．（5分）若sin（x+）＝，则sin（﹣x）+cos（﹣x）值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：sin（﹣x）+cos（﹣x）＝sin[]+cos[]＝sin（x+）+sin（x+）＝2sin（x+），由于：sin（x+）＝，所以：sin（﹣x）+cos（﹣x）＝．故选：C．4．（5分）若抛物线y2＝2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，∴，解得p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x．故选：C．5．（5分）已知向量，，m∈R，则“”是“m＝2”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵，，m∈R，∴+2＝（4，2m）若，则﹣8+2m2＝0，解得：m＝±2，故“”是“m＝2”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x，若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log26），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：函数f（x）＝x+sin x的导数f′（x）＝1+cos x≥0，∴函数f（x）在R上递增，且3log26＞2，∴f（3）＞f（log26）＞f（2），∴b＜c＜a，故选：D．7．（5分）如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于（）A．π+12B．C．π+4D．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部为长方体，中部为半球，上部为圆锥的组合体，结合图中数据，计算该几何体的体积为：V＝2×2×3+××13+×π×12×1＝12+π．故选：A．8．（5分）在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得，则λ+μ＝（）A．B．C．2D．﹣2【解答】解：设＝k＝k﹣k，∴＝（）＝﹣+﹣＝（﹣﹣）+，∴λ＝﹣﹣，μ＝，∴λ+μ＝﹣．故选：B．9．（5分）条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN﹣13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用a1，a2，…，a13表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图（1）是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数（例如[365.7]＝365．现有一条形码如图（2）所示（97a37040119917），其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由已知中程序框图可得：S是条件形码中前12偶数位数字的和，即S＝29，T是条件形码中前12奇数位数字的和，即T＝19+a3，M＝3S+T＝106+a3，N＝M﹣表示M的个数数字，a13＝10﹣N＝7，则N＝3，故a3＝7，故选：B．10．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），已知集合A＝{（x0，f（x0））|x0为f（x）的极值点}，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有5个元素，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，集合A∩B中恰好有5个元素，即椭圆内包括函数f（x）图象的5个最值点；∴顶点（，1）在椭圆上，而顶点（）必满足在椭圆内，把顶点的坐标代入，可得，解得：，由T＝，∴，解得：ω∈．故选：A．11．（5分）已知直线与双曲线右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足（其中O为坐标原点），且∠MNQ＝30°，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．y＝±2x D．【解答】解：由题意可知：M，Q关于原点对称，设M（m，n），N（u，v），则Q（﹣m，﹣n），即有﹣＝1，﹣＝1，两式相减可得＝，可得k MN•k QN＝•＝＝，∵k MN＝﹣，k QN＝tan150°＝﹣，∴＝1，即a＝b，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故选：B．12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈R，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．若f（x）＝2x﹣2﹣1，与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）＝2x﹣2﹣1＝0，解得x＝2，由g（x）＝x2﹣ae x＝0，解得x2＝ae x，设其解为x0，∵f（x）＝2x﹣2﹣1与g（x）＝x2﹣ae x互为“1度零点函数“，∴|x0﹣2|＜1，解得1＜x0＜3，∵，∴a＝，设h（x）＝，则h′（x）＝，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）max＝h（2）＝，h（1）＝，h（3）＝，∴实数a的取值范围为（，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2＜ξ＜4）＝0.35．【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，可得μ＝4，且P（2＜ξ＜6）＝1﹣P（ξ＜2）﹣P（ξ＞6）＝1﹣0.15﹣0.15＝0.70，∴P（2＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜6）＝0.35．故答案为：0.35．14．（5分）（a+2b﹣3c）4的展开式中abc2和系数为216．【解答】解：（a+2b﹣3c）4的表示4个因式（a+2b﹣3c）的乘积，其中有2个因式取﹣3c，一个因式取a，一个因式取﹣2b，可得含有abc2的项，故展开式中abc2和系数为•（﹣3）2••2＝216，故答案为：216．15．（5分）在的可行域内任取一点（x，y），则满足2x﹣3y≥0的概率是．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，2），直线2x﹣3y＝0过B（3，2），满足2x﹣3y≥0的区域为△OAB及其内部区域．则满足2x﹣3y≥0的概率是P＝．故答案为：．16．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，，BD⊥BC，BD＝2BC，则AD的最小值为．【解答】解：设BC＝t，BD＝2t，∠ABD＝θ，在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cosθ＝1+4t2﹣4t cosθ，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos（θ+90°），即为5＝1+t2+2t sinθ，可得sinθ＝，0＜t＜2，则cosθ＝＝，设f（t）＝1+4t2﹣4t cosθ＝1+4t2﹣4t•，即为f（t）＝1+4t2﹣2，0＜t＜2，导数为f′（t）＝8t﹣2××，由f′（t）＝0，解得t＝，检验可得0＜t＜，f（t）递减，2＞t＞时，f（t）递增；可得f（t）的最小值为f（）＝1+8﹣2＝5，则AD的最小值为，故答案为：．另解：由推广的托勒密定理可得四边形ABCD中，AC•BD≤AB•CD+AD•BC，当且仅当四边形ABCD为圆内接四边形，取得等号．设BC＝t，BD＝2t，BD⊥BC，可得CD＝t，则2t≤t+ADt，可得AD≥，当且仅当四边形ABCD为圆内接四边形，AD取得最小值．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知{a n}是等比数列，{b n}满足b1＝﹣2，b2＝5，且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）求{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）∵∴．b1＝﹣2，b2＝5，a1＝1，a2＝4，∵{a n}是等比数列，，∴{a n}的通项公式为∴，∴{a n}的前n项和．（Ⅱ）由∴及，得：①n≥2时，②①﹣②得，当n≥2时，，∴n≥2，b n＝6n﹣7．又当n＝1时，b1＝﹣2，{b n}的通项公式为．18．（12分）如图，在菱形ABCD中，，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE．（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；（Ⅱ）若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（I）∵ABCD为菱形，∴AO⊥BD．∵四边形OAEF为矩形，∴AO⊥FO，EF∥AO，∴EF⊥BD，∴EF⊥FO，又BD∩FO＝O，∴EF⊥平面BDF．又EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面BDF．解：（II）∵平面OAEF⊥平面ABCD，平面OAEF∩平面ABCD＝OA，又FO⊥AO，FO⊥平面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥BO．以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设AB＝AE＝2，则O（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），E（，0，2），F（0，0，2）．＝（，1，2），＝（0，1，2），＝（0，﹣1，2），∵BF＝3HF，＝+＝（）+（0，﹣1，2）＝（），∴＝（）．设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（0，﹣2，1），设直线CH与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线CH与平面DEF 所成角的正弦值为．19．（12分）《十九大报告》中指出：坚持人与自然和谐共生．建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．下表1是《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》：表1：空气质量指标AQI分组表（注：表中“m～n”指包含端点m和n）表2是从2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的海曲市的AQI指数x和海曲市甲景区的AQI指数y对应情况及其海曲市的AQI指数x另外10天的情况．表2：海曲市与甲景区AQI指数（Ⅰ）若海曲市AQI 指数x 与甲景区AQI 指数y 线性相关，根据前20组数据，经计算得，，，，求出y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计：当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约600元；当景区空气质量为良时，该店平均每天盈利约300元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约180元（将频率看作概率）． ①根据2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的甲景区的AQI 指数和海曲市的AQI 指数另外10天的情况，估计小李的便利店在当年3月份的这30天里每天盈利的数学期望；②求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于1500元的概率．附：线性回归方程系数公式，＝．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算，，所以，，所以y 关于x 的回归方程是；（Ⅱ）由，得，由，得x ≤120；根据另10天海曲市的AQI指数估计甲景区的AQI指数，即海曲市的AQI指数当在0～53.3时，甲景区空气质量为优，在54～120时，空气质量为良，120以上，空气质量为轻度污染以及以上．由表2知甲景区的AQI不高于50的频数为8+2＝10，频率为，AQI指数在51～100的频数为10+5＝15，频率为，AQI指数大于100的频数为2+3＝5，频率为；设“便利店每天盈利约600元”为事件A，“便利店每天盈利约300元”为事件B，“便利店每天亏损约180元”为事件C，则，，，①设便利店每天盈利为X元，则X的分布列为：则X的数学期望为（元）；②由①“连续三天便利店盈利不低于1500元包含1B2A，3A三种情况”，则“连续三天便利店盈利不低于1500元”的概率：．答：便利店在这30天里每天盈利的数学期望是320元，连续三天便利店盈利不低于1500元的概率是．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，定点A1（1，0）和支点B1，以线段A1B1为直径的圆内切于圆x2+y2＝4．（Ⅰ）求动点B1轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l：x+2y﹣4＝0与曲线C的一个公共点为T，与OT（O为坐标原点）平行的直线l′与曲线C将于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断是否存在常数λ使|P A|•|PB|＝λ|PT|2恒成立，若存在求出常数λ的值，若不存在请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，设以线段A1B1为直径的圆的圆心为E，取F（﹣1，0），依题意，圆E内切于圆O，设切点为D，则O，E，D三点共线．因为O为A1F的中点，E为A1B1中点，所以FB1＝2OE．所以FB1+A1B1＝2OE+2A1E＝2OE+2DE＝4＞A1F＝2，依椭圆的定义可知，动点B1的轨迹为椭圆，其中：2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以动点B1的轨迹曲线C方程为．（Ⅱ）设直线l′的方程为，由，得P点的坐标为，又由，得T点坐标，所以，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，则有，，所以t2＜12，，，＝，同理|PB|＝，所以|P A||PB|＝＝，所以为定值．21．（12分）已知a，b实数，函数，函数g（x）＝ln（x﹣1）．（Ⅰ）令F（x）＝f（x）+g（x+1），当a≤0时，试讨论函数F（x）在其定义域内的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣2时，令G（x）＝f（x）•g（x），是否存在实数b，使得对于函数y＝G（x）定义域中的任意实数x1，均存在实数x2∈[1，+∞），有G（x1）≥x2成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，①，a＝0，此时函数的定义域为x∈（0，+∞），，故函数F（x）在x∈（1，+∞）内单调递增，在x∈（0，1）内单调递减．②，a＜0，，此时函数F（x）的定义域为x∈（0，﹣a）∪（﹣a+∞），令μ（x）＝x2+（2a﹣1）x+a2，x∈（0，+∞）．△＝1﹣4a，此时△＞0恒成立．令μ（x）＝0得，函数F（x）在x∈（0，x1），（x2，+∞）内单调递增，在x∈（x1，﹣a），（﹣a，x2）内单调递减．综上：当a＜0时，函数F（x）在x∈（0，x1），（x2，+∞）内单调递增，在x∈（x1，﹣a），（﹣a，x2）内单调递减．当a＝0时，函数F（x）在x∈（1，+∞）内单调递增，在x∈（0，1）内单调递减．（Ⅱ）当a＝﹣2时，假设存在实数b满足条件，则在x∈（1，2）∪（2，+∞）上恒成立．（1．当x∈（1，2）时，可化为（bx+2﹣2b）ln（x﹣1）﹣2x+4≤0，令H（x）＝（bx+2﹣2b）ln（x﹣1）﹣2x+4，x∈（1，2），问题转化为：H（x）≤0对任意x∈（1，2）恒成立（*）；又H（2）＝0，．．（1）b≤1时，因为bx﹣2≤x﹣2＜2﹣2＝0，故H''（x）＜0，所以函数y＝H′（x）在x∈（1，2）时单调递减，H′（x）＞H′（2）＝0，即H′（x）＞0，从而函数y＝H（x）在x∈（1，2）时单调递增，故H（x）＜H（2）＝0，所以（*）成立，满足题意；（2）当b＞1，，因为b＞1，所以，记，则当x∈I时，，故H''（x）＞0，所以函数y＝H′（x）在x∈I时单调递增，H′（x）＜H′（2）＝0，从而函数y＝H（x）在x∈I时单调递减，所以H（x）＞H（2）＝0，此时（*）不成立；所以当x∈（1，2），恒成立时，b≤1；（2．当x∈（2，+∞）时，可化为（bx+2﹣2b）ln（x﹣1）﹣2x+4≥0令H（x）＝（bx+2﹣2b）ln（x﹣1）﹣2x+4，x∈（2，+∞），问题转化为：H（x）≥0，对任意的x∈（2，+∞）恒成立（**）；又H（2）＝0，．．（1）b≥1时，bx﹣2≥b﹣2＞2﹣2＝0，故H''（x）＞0，所以函数y＝H′（x）在x∈（2，+∞）时单调递增，H′（x）＞H′（2）＝0，即H′（x）＞0，从而函数y＝H（x）在x∈（2，+∞）时单调递增，所以H（x）＞H（2）＝0，此时（**）成立；（2）当b＜1时，①若b≤0，必有H''（x）＜0，故函数y＝H′（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，所以H′（x）＜H′（2）＝0，即H′（x）＜0，从而函数y＝H（x）在x∈（2，+∞）时单调递减，所以H（x）＜H（2）＝0，此时（**）不成立；②若0＜b＜1，则，所以时，．故函数y＝H′（x）在上单调递减，H′（x）＜H′（2）＝0，即H′（x）＜0，所以函数y＝H（x）在时单调递减，所以H（x）＜H（2）＝0，此时（**）不成立；所以当x∈（2，+∞），恒成立时，b≥1．综上所述，当x∈（1，2）∪（2，+∞），恒成立时，b＝1，从而实数b的取值集合为{1}．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），过点O的直线l交曲线C于M，N两点，且直线l的倾斜角为．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）求的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．由消去φ，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．故曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（2）依题意可设，，且ρ1，ρ2均为正数．将θ＝代入ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，得，所以，ρ1•ρ2＝1所以，＝，＝，＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（Ⅰ）解不等式：|g（x）|＜3；（Ⅱ）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由||x﹣1|+2|＜3，得﹣3＜|x﹣1|+2＜3，即﹣5＜|x﹣1|＜1，…（2分）所以解集为{x|或0＜x＜2} …（5分）（Ⅱ）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，又f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|＝|a+3|，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）。

2018年高三校际联合检测理科综合2018.05 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共16页。

满分300分，考试用时150分钟。

答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考试号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后将答题卡交回。

第I卷(必做，共107分)注意事项：1．第I卷共20小题。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂写其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、选择题(共13小题，每小题5分，共65分。

每小题只有一个选项符合题意。

)1．生物膜系统在细胞的生命活动中起着极其重要的作用。

下列有关生物膜化学成分和结构的叙述，正确的是A．不同的生物膜上的糖类均与蛋白质结合形成糖蛋白B．细胞膜可以通过高尔基体分泌的小泡实现自我更新C．效应T细胞使靶细胞裂解的过程体现了细胞膜的功能特点D．人体肝脏细胞与神经细胞上的膜蛋白种类和含量大体相同2．下面有关生物实验的叙述，错误的是A．将糖尿病病人的尿液加入斐林试剂混匀后出现砖红色沉淀B．用高倍镜观察线粒体可用健那绿染色，线粒体呈现蓝绿色C．纸层析法分离叶绿体色素的实验结果表明，叶绿素b在层析液中溶解度最低D．观察细胞质壁分离时，置于0.3 g／mL蔗糖溶液的洋葱表皮细胞吸水能力变强3．黄瓜幼苗的生长是多种植物激素相互作用的结果。

右图是黄瓜幼苗体内赤霉素(GA)、乙烯对生长素(IAA)的影响示意图，由此不能得出的结论是A.IAA与乙烯对幼苗的生长起拮抗作用B．GA是通过量长素而促进幼苗生长的C．IAA促进生长的原理是促进细胞伸长生长D．GA含量的改变，会影响IAA含量的变化4．急性早幼粒细胞白血病是最凶险的一种白血病，发病机理如下图所示。

“诱导分化疗法”联合应用维甲酸和三氧化二砷治疗该病：维甲酸通过修饰PML—RARa使癌细胞重新分化“改邪归正”三氧化二砷则可以引起这种癌蛋白的降解，使癌细胞发生部分分化导致死亡。

2018年高三校际联合检测理科综合能力测试2018．05 注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共16页，共40题，满分300分，考试时间150分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上的相应区域。

回答选考题时，先用2B铅笔将所选题目的题号在答题卡上指定的位置涂黑。

答案写在本试卷上和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后将答题卡交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 O l 6 P 3 l Cl 35.5 Cr 52Fe 56 Cu 64第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用X射线处理某动物细胞，其结果不可能是A．细胞膜上的糖蛋白会减少B．刺激细胞产生更多的自由基C．细胞中的蛋白质活性下降D．使正常代谢活动受损而凋亡2．右图为某细胞一个DNA分子中a、b、c三个基因的分布状况，图中I、Ⅱ为无遗传效应的序列。

有关叙述正确的是A．该DNA片段中含有3个起始密码子B．a中碱基对缺失，属于染色体结构变异C．c中碱基对若发生变化，生物体性状不一定会发生改变D．在减数分裂的四分体时期，b、c之间可能发生交叉互换3．下列有关酶的叙述，正确的是A．酶分子是在基因的指导下、在核糖体上合成的B．一种酶催化化学反应的种类与其空间结构有关C．经高温处理的酶，加入双缩脲试剂后不会出现紫色D．酶与无机催化剂都通过提高化学反应的活化能来起催化作用4．关于生物体内信号分子的叙述，正确的是A．信号分子不都是蛋白质但都是有机物B．信号分子合成后释放到细胞外需要消耗能量C．信号分子既不构成细胞结构，也不为代谢提供能量D．信号分子在完成信息传递后，数量和性质发生改变5．研究人员在对甲、乙两个不同的生态系统调查后发现，两个生态系统的生产者固定的总能量相同，甲生态系统只有初级和次级消费者，乙生态系统则有初级、次级、三级和四级消费者。

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三数学第二次（12月）联考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（原创，容易）已知复数满足(1)3i z i -=-+，则在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】(1)3i z i -=-+321iz i i-+⇒==---,则2z i =-+.故选B 【考点】复数运算及几何意义.2．（原创，容易）已知全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，则()U AB =ð （ ）A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5 【答案】B【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2U A ==,则()U A B =ð{}3,5.【考点】二次不等式及集合运算.3.（原创，容易）在等差数列{}n a 中，7=14S ，则246a a a ++=（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,则246436a a a a ++==. 【考点】等差数列性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．．．．【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如左下图所示，则三棱锥A BCD -的表面积为A BCD S -=21422282⨯⨯⨯+⨯=+【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 1.10.6122,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小为（ ）A ．b c a >> B.a c b >> C.b a c >> D.a b c >> 【答案】D 【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<, 1.10.622,32a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.（原创，中档）若函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（ ） A ．()cos g x x =B ．()sin g x x =C ．()cos()3g x x π=+D ．()sin()3g x x π=+【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题若a c b c ⋅=⋅，则a b =，命题若2,a b a b +=<，则21b >，则有（ ）A ．为真B.为真 C.p q ∧为真D.p q ∨为真 【答案】D【解析】为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒>，为真.则p q∨为真，故选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑. 8.2cos()4θθ=+，则sin 2θ=（ ）A ．13 B ．23 C ．23- D ．13- 【答案】C【解析】222(cos sin )22(cos sin )2cos sin θθθθθθθθ-=⇒+=⇒- 2244sin 23sin 2sin 23θθθ+=⇒=-或sin 22θ=(舍),故选C考点：三角函数恒等变形．9.（原创，中档）如图所示，扇形AOB 的半径为，圆心角为，若扇形AOB 绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（ ） A ．B ．C ．83πD ．163π 【答案】C【解析】扇形AOB 绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，则321633V r ππ==，AOB ∆绕旋转一周所得几何体的体积为31833r ππ⨯=，阴影部分旋转所得几何体的体积为83π，故选C 【考点】旋转体体积、割与补.10．（原创，中档）函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ）A BC D【答案】A【解析】222()()()()4122x xx xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ；()0x f x →+∞⇒→；排除D ；211(1=()()(1)3242f f f f =⇒<），，排除C ；故选A【考点】函数性质及图象.11.（原创，中档）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=， 按照蛇形排列，第1行到第行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第行末共有990个奇数；第1行到第行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D【考点】等差数列与归纳推理.12.（原创，难）已知函数()2cos()4f x x x π=+，给出下列命题：①函数()f x 的最小正周期为；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x 的值域为[，则其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B.2 C. 3 D.4 【答案】D【解析】()2cos()4f x x x π=+的周期显然为；())cos()2sin 422f x x x x x πππ+=++=；()2)cos()2sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33())cos()2cos 42f x x x x x πππ+=++=33()2)cos()2cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确.2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x x t x x t +=⇒-=-，则[t ∈，32y t t =-2min max 230,399y t t y y '=-=⇒=±⇒=-=，故④正确 【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.（原创，容易）若(,2),(1,1)a x b x ==-，若()()a b a b +⊥-，则x =． 【答案】【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=- 【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.（原创，容易）已知实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为．【答案】【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+，则在点(1,2)A 处取得最小值【考点】基本型的线性规划15.（原创，中档）已知在数列{}n a 的前项之和为，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S =． 【答案】1078 【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒23122211n n n a n a --=+++++-+.。