刚体力学第3讲——刚体力学小结与习题课

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第03章---刚体力学习题汇总

（A）匀角速转动；（B）匀角加速转动；
（D）
（C）角加速度越来越大的变加速运动；
（D）角加速度越来越小的变加速运动。
分析：当棒转到θ角位置时，棒所受到的外力矩为:
θ
M 1 mgLcos 根据转动定律 M I ，有：
2
mg
1 mgL cos
可见角5
5. （a）（b）两图中的细棒和小球均相同，系统可绕o 轴在竖直面内自由转动系统从水平位置静止释放，转
(D)只有动量守恒
（C）
分析：
（A）错。非弹性碰撞，机械能不守恒。（B）错。轴上有外力，动量不守恒。
（C）对。外力矩为零，角动量守恒。
2
2.一绕固定水平轴0匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹并留在盘中，则子弹射入转盘后的角速度
(A)增大 (B)不变分析：
边缘并粘在上面，则系统的角速度是
3v
。
分析：取如图的细长条面积：
4b
b
I r 2ds r 2adr
1 ab3 1 mb2
0
3
3
合外力矩为零，系统角动量守恒。
mvb (1 mb2 mb2 )
3
3v
4b
9
二、填空题
1.如图，半径为R，质量为M的飞轮，
可绕水平轴o在竖直面内自由转动（飞
R2
2 3
mgR
11
3.一飞轮的转动惯量为I，在t=0时角速度为 0 ，此后
飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小与角速度的平方
成正比，比例系数K>0。当 0 / 3 时，飞轮的角加
速度 = k02 9I ，从开始制动到 0 / 3所经过

第三章刚体力学基础

（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。

第三章刚体力学(2)

J 00 ( J 0 mR )
2
J 00 ( J 0 0)
0
J 00 J 0 mR2
R
O’ Cபைடு நூலகம்
B
（2）球与环及地球为系统，机械能守恒
势能零点
1 1 2 1 2 2 J 00 mg 2 R mv J 00 2 2 2
v 2 gR
环上C点处对惯性系的速度为零
d A M d
1 2 Ek J 2
A Md
1
2
定轴转动动能定理势能刚体的机械能
1 1 2 A J 2 J 12 2 2
E p mghc
1 2 E E p Ek mghc J 2 A外 A非保 E
A外+A非保=0 ΔE=0
*
机械能守恒
三、定轴转动定理定律力矩角动量
M r F
L J L J z
dLz M z J dt
定轴转动定律
分析问题：对刚体列出定轴转动定律方程
对质点列出牛顿定律方程线量与角量的关系 M = 0 L = 常量——角动量守恒 J = 常量
力（力矩）对刚体的功定轴转动动能
各质点的位置和速度某点的位矢 = 质心的位矢 + 该质点相对质心的位矢某点的速度 = 质心的平动速度 + 该质点相对质心的速度
y
ri rc ri
vi vc vi vc ri
mi
ri
ri′ rc
x
质心系
ω是该质点相对质心做转动时的角速度
O
八．细杆长l,质量m.从水平位置释放后与物体碰撞,物体质量m,与地面摩擦系数u，撞后滑行S停止,求碰后杆质心C上升的最大高度. 解: 分三阶段考虑杆机械能守恒

理论力学第三章刚体力学课件

理论力学
电子科技大学物理电子学院付传技
Email:fcj@
1
第三章刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)

刚体力学小结

一个质量为m 的质点沿着一条由cos sin r a ti b tj ωω=+定义的空间曲线运动，其中a ,b 及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩.解：d d sin cos r t a ti b tj ωωωω==-+v22d d (cos sin )a t a ti b tj r ωωωω==-+=-v2F ma m r ω==-，通过原点0τ= 20M r F m r r ω=⨯=-⨯=长0.40m l =、质量 1.00kg M =的匀质木棒，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量8g m =的子弹以200m/s =v 的速率从A 点射入棒中，A 点与O 点的距离为34l ，如图所示。

求：⑴ 棒开始运动时的角速度；⑵ 棒的最大偏转角。

解：⑴ 由角动量守恒定律：2233434l Ml l m m ωω⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭v ，得：()()38.9rad/s 39161627m m M m l M m lω===++v 4v⑵ 由机械能守恒定律：222133[()](1cos )(1cos )23424Ml l l l m Mg mg ωθθ+=-+-得： 222239854cos 110.07923(23)(1627)M m l m M m g M m M m glωθ+=-=-=-+++v ，94.5θ=︒0241 一轴承光滑的定滑轮，质量为M ＝2.00 kg ，半径为R ＝0.100 m ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m ＝5.00 kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为22J MR =，其初角速度ω0＝10.0 rad/s ，方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；(2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度；(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．0562 质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J ＝22mr (r 为盘的半径)．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．0155 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为22MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．0157 一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．ABT 'ma TF m g 0提示：各物体受力如上图，T F r J α=，T mg F ma -=，a r α= 又由22S at = 得22a S t =由此四式得：222222()(2)(1)22m g a r m g S t r gt J mr a S t S--===- 0156 如图所示，转轮A 、B 可分别独立地绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转动时的转动惯量分别为2A A A r m J =和22B B B r m J =)0780 两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘的半径r '=2r ，质量 m '=2m ．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量J =9mr 2 / 2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知r = 10 cm ．求：(1) 组合轮的角加速度β ；(2) 当物体A 上升h ＝40 cm 时，组合轮的角速度ω ． 0780解：⑴ 各物体受力如图。

第03章(刚体力学)习题答案

轮子的角速度由w ＝0 增大到w ＝10 rad/s，求摩擦力矩 Mr． [5.0 N·m]
解：摩擦力矩与外力矩均为恒力矩，所以刚体作匀角加速转动。其角加速度为：
b = w - w0 = 10 - 0 = 1rad / s2
Dt
10
合外力矩为： M合 = Jb = 15 ´1 = 15(N × m) = M - M r Þ M r = 5.0(N × m)
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
w
答：左边力的力矩比右边的大，所以刚体会被加速，其角加速
F
F
度增大。 3-4 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是什么？答：刚体所受的合外力矩为零。
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
度w0 ＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w＝0 时，物体上升的高度；
m
习题 310 图
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
[ 81.7 rad/s2 ，垂直纸面向外； 6.12×10-2 m； w = 10.0 rad/s，垂直纸面向外]

第三章-刚体力学基础

薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析：由每分钟150转可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解）假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解：（用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O

大学物理第三章刚体力学基础习题答案

方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J，并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁力矩。解：设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma

g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质量力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律转动定律 M J M dt dt p mv 动量角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量角动量守恒 M 0, J 恒矢量力矩的功 W Md 力的功 W F dr

大学物理课件第3章-刚体

大学物理课件第3章-刚体
刚体力学是大学物理课程的重要组成部分。它涵盖了刚体的定义、运动学、动力学、静力学、力学、弹性和应用等多个方面内容，为学习者提供了全面的知识体系。
刚体的定义
刚体的概念
刚体是指具有固定形状和大小，并且内部各点相对位置保持不变的物体。
理想刚体的定义
理想刚体是指无限刚度、无限强度、不变形且能够保持自身形状和大小的物体。
刚体的动力学
刚体的动量
刚体的动量是其质量乘以速度，刚体受到外力时动量会发生变化。
刚体的角动量
刚体的角动量是其惯性矩乘以角速度，刚体绕固定轴旋转时角动量会发生变化。
刚体的动能
刚体的动能是其质量乘以速度的平方，与速度和质量有关。
刚体的动力学定理
动力学定理描述了刚体受力和加速度之间的关系，F = ma。
实际刚体的特点
实际刚体在外力作用下会发生微小的形变，但变形较小，可以近似看作刚体。
刚体的运动学
1
刚体的运动状态
刚体可以既进行平动运动，也可以进行转动运动。
2
刚体的平动运动
刚体的平动运动包括直线运动和曲线运动，由质心位置和速度决定。
3
刚体的转动运动
刚体的转动运动包括绕固定轴的转动，由角位移和角速度决定。
刚体的静力学
1 刚体的平衡条件
刚体在平衡状态下，力矩和力的合力为零。
2 刚体的平衡性质
刚体在平衡状态下，质心位置不变，不会发生任何运动。
3 刚体的平衡实例
如天平平衡ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ桥梁平衡等实际应用中，刚体的平衡性质起到重要作用。
刚体的力学
刚体的受力分析
通过力的分析，可以确定刚体受力的大小、方向和作用点。

第3章刚体力学基础

将圆盘视为一个系统，破裂后其受合外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用三、转动动能对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。
第三章刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述一、刚体（rigid body）刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生改变的物体。说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。

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( J 0 J 球 ) J 0 0 . 1 1 1 2 2 2 J 0 0 mgR J 0 m mgh 2 2 2 2 2 2 B B ( R B )
B
J 0 R2
2 0
2 gR ;
J 0 mR
2
C点： J 球 0 , h R
点，可绕通过该点的水平轴自由转动。在 O 点又有一轻绳，悬一质量也为 m 的小球。 O 当小球偏离竖直方向某一角度时， x 由静止释放，小球在 O 点正下方与杆发生完全弹性碰撞。问绳长 l m m 为多少时，碰后小球恰好静止。解：设绳长为 x , 开始时绳与竖直方向成角；碰撞瞬间前，小球的速度为；碰撞瞬间后，杆的角速度为 .
例1：一半径为r的圆盘，可绕一垂直于圆盘面的转轴作定轴转动．现在由于某种原因转轴偏离了盘心O，而在C处，如图所示．若A、B是通过CO的圆盘直径上的两个端点，则Ａ、Ｂ两点的速率将有所不同．现在假定圆盘转动的角速度是已知的，而vA、vB可以通过仪器测出，试通过这些量求出偏心距l
C B l
AB：
1 2
J 0 0 mgR
2
1 2 1
J 0 B
2
1 2 1
m ( B 球环 B 环地）
2 2

2
J 0 B
2
2
m ( B 球环 B R )
2 2 2
得
B 球环
2 gR
J 0 0 R
2
2 2
J 0 mR
（1）量纲检验：
对
2 gR
刚体力学第3讲
——刚体力学小结与习题课
主要内容
一、刚体力学小结二、典型例题分析
一、刚体力学小结（与质点力学类比）
平动位移
v d r / dt a d v / dt
转动角位移 2 1 角速度 d / dt 角加速度 d / dt
以角速度w0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯 1 量J＝ 2 mR ．台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心的B处．今A处的人相对于圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于圆台以速率2v逆圆台转向沿圆周走动．求圆台
2
这时的角速度w．
v
2
2
0t t / 2
2
v0 2 a x
2
0 2
2
2
平动平动惯性质量m 动力学牛顿第二定律
F ma
b
转动转动惯性转动惯量J 2 质点系 J m i ri 质量连续分布 J r 2 dm 转动定律
的小球原来静止在 A 点，由于微小的扰动而向下滑动，圆环内壁光滑，则小球滑到 B 点与 C 点时，环的角速度与小球相对环的速率各为多少？

A
0
R
O C
B
系统 — 小球+环分析：轴力和重力对轴的力矩皆为零，即M外= 0，此系统角动量守恒。 2 O AB： J 0 0 ( J 0 mR ) B
2
m ,r m
m ,r
2m
解： 2 mg T 1 2 ma
①
2
(T 1 T 2 )r (T 2 T 3 )r
1 2 1 2
T '2
T
2
mr mr
2
② ③ ④ ⑤

T
3
T '1
T 3 mg ma
T '3
T1
a r
得 a g / 4,
mg
2 mg
T
除保守力外其它力不作功
E0 E
物体系机械能守恒除保守力外其它力不作功
E0 E
平动冲量动量
I
转动
t
P mv
t

F dt
冲量矩角动量
t0
刚体 L J 质点 L r P
t0

t
M dt
质点动量定理动量

t0
F dt m v m v 0
A R B 得 B
J 0 0 J 0 mR
2
B
0
因球获得了角动量，环转动变慢。
C
O
AC： J 0 0 J 0 C
得
C 0
系统 —“小球+环+地球” 过程中，小球与环的一对内力垂直相对位移，又没有摩擦和外力，故 W 外 0 ， W 内非 0 此系统机械能守恒。（对“小球+地球”系统，机械能是否守恒？）取通过环心的水平面重力势能 EPB = 0。 B： v B 球地 v B 球环 v B 环地（ v v B 环地） B 球环
3
11 mg / 3
例4：一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端 B系了一质量为M/4的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ (已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2 / 4 )
O A
练习1：如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度
r
m1
m2
练习2：一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光 1 滑．两个定滑轮的转动惯量均为 2 mr ．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力
释放小球至碰撞前，小球与地球系统机械能守恒：
mgx (1 cos )
1 2
m
2
(1)
碰撞过程中，小球与杆系统受外力对 O 轴力矩为零，角动量守恒： 1 2 (2) m x ml
1 完全弹性碰撞前后动能相等： 2 2 m x mx ml
1 1 1 23 m ml 2 2 3
解：取人和盘为系统，
M
外
0
.
R
R /2
系统的角动量守恒
o
v
(1 ) 开始系统的角动量为

1 1 2 m R 0 M R 0 2 2
后来：
2
m
1 4
R mE
2

1 2
M R
2
ME
mE
2
ME
mM
R /2 R
21 M R 0 / 40
o
v
M R 40
2
ME
2v 2 M R ME / 2 R

( 2 ) 若要
ME
( 21 R 0 2 v ) / 21 R
ME
0，
则要 21 R 0 2 0 ，
得 v 21 R 0 / 2
例6：一长为、质量为 m 的匀质细杆的一端悬于 O
2 0
/2
刚体定轴转动动能定理 2 2 W J / 2 J 0 / 2 物体系动能定理
W 外 W内 E k E k0
质点系动能定理
W 外 W内 E k E k0
平动其中
E k mv
2
转动其中
/2 E k mv
2
/ 2 J
2 2
3
??? (3)
x 3 l /3 或小球自下落至碰撞完毕，整个过程中小球、杆、地球系统的机械能守恒： 1 1 2 2 mgx (1 cos ) ( ml ) (3´)
(2)+(3) 解出
(1)+(2)+(3´)同样可解出
2 3
空心圆环可绕竖直轴 AC 自由转动，其转动惯量例7：为 J 0 . 环的半径为 R , 初始角速度为 0 . 质量为 m
J 0 0 J 0 C
1 2 J 0 mgR
2 0
C0,
1 2 J 0
2 C

1 2
m
2 C
mgR
C 2
gR ,
C 2 gR
小结
一、刚体运动小结二、习题分析
作业：5.16、5.17 预习：第19章复习：第5章
0
( J 0 J 球 ) J 0 0 .
小球、环、地球系统机械能守恒 ( 选 O 处重力势能为零 )：
R
O
C
B
1 2
J 0 mgR
2 0
1 2
J 0
2

1 2
m
2
mgh
( J 0 J 球 ) J 0 0 . 1 1 1 2 2 2 J 0 0 mgR J 0 m mgh 2 2 2
v0
m O R
17、在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上,有一人静止站立在距转轴为 R/2 处,人的质量是圆盘质量的 1/10,开始时盘载人相对地面以角速度 0 匀速转动,然后此人垂直圆盘半径相对于盘以速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运动, 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 MR2 / 2,人可视为质点,求: （1）圆盘对地的角速度。（2）欲使圆盘对地静止,人沿着 R/2 圆周对圆盘的速度 v 的大小及方向？